专题01 一元二次方程（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．A 3．D 4．D 5．A 6．A 7．D 8．D 9．A 10．B 11．B 12．C 13．D 14．A 15．B 16．A 17．C 18．A 19．D 20．B 21．【答案】2 【分析】 把代入方程计算即可求出的值． 【详解】 解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 22．【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 23．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，代数式求值，先得出，再代入即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 根据没有一次项可得，且求解即可． 【详解】 解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 25．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程的解的定义得到，再代入即可． 【详解】 解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：，，为常数且，即可解答． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 28．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：方程是一元二次方程， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 29．【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 30．【答案】（1），方程的根为     （2）；二次项系数为，一次项系数为，常数项为      【分析】 （1）根据一元一次方程的定义得出 ，即可求出k的值，解方程即可求解； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵原方程为一元一次方程， ∴ ， 解得：； 当时，方程为， 解得． (2) 小问详解： 解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 故时，此方程为一元二次方程；该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 考点02 配方法 1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．A 9．C 10．A 11．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 12．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 13．【答案】， 【分析】 根据直接开平方法计算即可． 【详解】 解： 移项，得：， 开平方，得：， 即：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握利用直接开平方法解一元二次方程． 14．【答案】11 【分析】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【详解】 ． ∴． 故答案为：11． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）根据配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 可得或， 解得； (2) 小问详解： 解： 可得或， 解得． 17．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴，． 18．【答案】 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】 解： 移项得 ， 配方得 即 故答案为： 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 19．【答案】，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ，． 20．【答案】 【分析】 本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】 解： ， ∴代数式的最小值是． 考点03 公式法 1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D 11．A 12．C 13．D 14．D 15．A 16．A 17．B 18．A 19．B 20．B 21．【答案】c＞9 【分析】 根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根， ∴△=（-6）2-4c＜0， 即36-4c＜0， 解得：c＞9． 故答案为c＞9． 22．【答案】 【分析】 根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键． 23．【答案】没有 【分析】 本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 24．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：    ∴ 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 25．【答案】四 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】 解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 26．【答案】（1） 证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．     （2）另一个根为2，．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 27．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 则， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 解得，． 28．【答案】±6 【分析】 先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】 解：∵关于x的方程x2-mx+4=0有两个相等实根， ∴△=m2-4×9=0， 解得m=±6． 故答案为：±6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 29．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值， 故答案为：（答案不唯一）． 30．【答案】（1）证明：依题意，得Δ=2-4(m-1)×(-3) =m2-8m+16+12m-12 =m2+4m+4 =（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）m=4，方程的另一个根为x=-1． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）将x=1代入原方程可求出m值，再利用根与系数的关系可求出方程的另一个根． 【详解】 （1）略 （2）将x=1代入原方程得：（m-1）+（m-4）-3=0， 解得：m=4， ∴原方程为3x2-3=0． ∴方程的另一个根为x=-1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 31．【答案】m<且m≠0 【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，可得△=b2-4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根， ∴△=b2-4ac=42-4×m×5=16-20m＞0， 解得：m＜， ∵m≠0， ∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0． 故答案为m＜ 且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 32．【答案】且 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，根据关于x的方程有两个不相等的实数根，得，且，再解得实数a的取值范围，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且， 故答案为：且． 33．【答案】没有 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 34．【答案】（1） 证明∵ ∴此一元二次方程恒有实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义．求出的表达式，再判定符号即可求证，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当时方程总有两个不相等的实数根，当时方程总有两个相等的实数根，当时方程无实数根是解题的关键． （）由根的判别式的符号来判定关于的一元二次方程的根的情况． （）利用求根根式求得方程的两个根，得到其中一根是常数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， 其中根与的取值无关， 所以此方程的定值根为． 35．【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】 解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）略 36．【答案】（1）且     （2），      【分析】 （1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：依题意得： ， 解得且； (2) 小问详解： 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】 本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 37．【答案】 或 【分析】 本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】 解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 38．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得，． 39．【答案】m＝5，x1=x2=2． 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 40．【答案】k＞1. 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 41．【答案】（1） 证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）先由公式法求出，再分两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 42．【答案】（1） 见解析     （2）1或3      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． (1) 小问详解： 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 考点04 因式分解法 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．【答案】x1＝2，x2＝3 【分析】 利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】 利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】 本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 10．【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解. （2）先把x-2移到等式左边，再提公因式因式分解. 【详解】（1）    解得： （2） 解得： 【点睛】一元二次方程求解的方法主要有直接开平方法、配方法、因式分解和公式法.本题解题关键，找准合适的方法解题. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，进而解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：． 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程--因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解： 则或． ，． (2) 小问详解： 解： 则或． ，． 13．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 14．【答案】x1=0，x2=1 【分析】 方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】 方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为x1=0，x2=1． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 15．【答案】（1），     （2），     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程：掌握一元二次方程的解法是关键； （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （3）先计算，再利用公式法解方程即可； （4）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，包括直接开平方法和因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握这两种方法求解方程． （1）等号两边直接开方求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：方程为：， 两边开方：， 解得：，； (2) 小问详解： 方程为：，即， 因式分解：， 解得：，． 17．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴或 (2) 小问详解： 解：， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或． 18．【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）， ， ， 或， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 20．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法转化为，求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，． 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ∴， ∴， 解得：，． 22．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ， ， ， 解得； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 24．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用配方法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：，． 25．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用公式法进行解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： 或， ∴，． 26．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）根据因式分解法提出公因式，可得两个因式乘积等于0的性质，即可得解． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得：，； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，． 27．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）提取公因式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 提取公因式得：， ∴或， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． (4) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：． 28．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后运用直接开平方法进行解答即可； （2）先十字相乘法分解因式，再求出的值即可； （3）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，， 直接开平方，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 29．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 30．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ∴或， ∴； (3) 小问详解： 解： ∴ ∴或， ； (4) 小问详解： 解：， ， 即， ∴或， 31．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可求解； （2）利用因式分解法计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：． 33．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （1）采用因式分解法解方程即可； （2）采用十字相乘法解方程即可； (1) 小问详解： 解： 解得：，． (2) 小问详解： 解： 解得：，． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法（因式分解法）、提取公因式． （1）观察，用十字相乘法分解为，令每个因式为0，得或． （2）把看作整体，提取公因式后得到，解得或． (1) 小问详解： 解： ， (2) 小问详解： 解： ， 35．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．A 2．D 3．A 4．B 5．B 6．A 7．C 8．A 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】 解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为： 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 12．【答案】 【分析】 先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】 设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13．【答案】（1）,      （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及利用完全平方公式变形求值．解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解； （2）利用完全平方公式变形得到，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根， ，； (2) 小问详解： 解：． 14．【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案； 【详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴， 故答案为：4． 15．【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【分析】 （1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得： ， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 16．【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 17．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系得到，进而根据“有一个根为1”求解即可． 【详解】 解：设方程的两根为和，其中， 根据根与系数的关系，两根之积， 代入，得， 所以． 故答案为：． 18．【答案】（1） 证明： ， 故该方程总有两个实数根；     （2）它的另一个根为，的值为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有 是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 19．【答案】（1） 证明：对于方程，当根的判别式时，该方程有实数解， 由解得：， 从，，三个数中，选取，该方程有实数解， 此时原方程为， 解得：，，     （2）34      【分析】 此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解一元二次方程及一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． （1）首先由根的判别式得，由此解得，据此可在，，三个数中选取一个使原方程有解，进而在求出原方程的解即可； （2）当时，原方程为，将代入该方程得，显然，据此可得，然后利用完全平方公式即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，原方程为， 这个方程的一根为， ， 显然， 将的两边同时除以，得：， ， ， ． 20．【答案】（1）m<；（2）x2＝2． 【详解】试题分析：（1）利用根与系数的关系求.(2)利用韦达定理代入求值. 试题解析： （1）由题意得：Δ>0，即：9－4m>0，   ∴m<； （2）∵x1+x2=3；∴x2＝3－x1＝3－1＝2． 点睛：一元二次方程的根的判别式是, △=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项. △>0说明方程有两个不同实数解, △=0说明方程有两个相等实数解, △<0说明方程无实数解. 实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧. (2)已知方程根的情况，利用△的正负求参数的范围. 21．【答案】6 【分析】欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值． 【详解】设方程的另一根为x1，又∵x=1， ∴ ， 解得m=6． 故答案为6． 【点睛】本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解题．此题也可将x=1直接代入方程3x2-9x+m=0中求出m的值． 22．【答案】（1）m为，另一个根为     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； (2) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴． ∴m的取值范围为． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系， 根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】 解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．【答案】（1） 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将方程有一个根为4代入原方程，可得关于的方程，求解即可； （3）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵该方程有一个根为4， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 根据题意得，， ∵，即：， ， 解得，， 的值为或． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系可得，，再把变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．【答案】4092529 【分析】 先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】 解：∵m是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两实数根， ∴， ∴． 故答案为:4092529． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B 11．C 12．C 13．C 14．C 15．B 16．B 17．B 18．B 19．A 20．C 21．C 22．D 23．D 24．B 25．D 26．B 27．D 28．B 29．【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为     （2）这种玩具应降价2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 30．【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用单循环赛的比赛场次公式进行列方程，即可作答． 【详解】 解：∵单循环赛的赛制，每两队之间比赛一场，且设邀请个球队参加比赛， ∴总比赛场次为， ∵总场次为36， 因此可列方程． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：560（1-x）2=315， 故答案为560（1-x）2=315． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，每条小道的宽度为，根据剩余绿地的面积为，列出方程求解即可得． 【详解】 解：每条小道的宽度为， 根据题意得，． 故答案为：． 33．【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】 解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 即有8人参加了选拔赛， 故答案为：8． 34．【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【分析】 （1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】 解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据平均每月增长率，从三月份到五月份经过两个月，利用增长模型列出方程即可． 【详解】 解：设平均每月绿化投入的增长率为，则四月份投入金额为万元，五月份投入金额为万元， 由题意，； 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 该商品第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，据此列出方程即可． 【详解】 解：某商品原价为200元，第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， 则列方程为， 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题考查了列一元二次方程．单循环赛制中，总比赛场数的计算公式为队数乘以队数减一除以二，根据总场数为45，列出方程． 【详解】 解：设有x个队参加比赛，每个队需要与其他个队各赛一场，但每场比赛涉及两个队，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为45，故列方程为． 故答案为：． 38．【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设小正方形边长为，根据题意则大正方形边长为，根据大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少列方程求解即可． 【详解】 解：设小正方形边长为，则大正方形边长为，由题意得： ， 整理得：， 解得，（舍）， 则大正方形边长为：． 故答案为：，． 39．【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元． 【分析】（1）若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程． （2）利用乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可； （3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可． 【详解】（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元， 根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x）-500=67， 解得：x=300， 500-x=200． 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元． （2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为y， 则， 解得：=0.1=10%，=-2.1（不合题意，舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为10%； （3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调 ∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元） ∵商场仍按9折出售，设定价为a元时 0.9a-266.2＞0 解得：a＞ 故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润． 考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题 40．【答案】（1）；（2）长方形菜园的长是，宽是 【分析】 本题考查解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等． （1）利用配方法直接解一元二次方程即可； （2）根据题意设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，再列方程计算即可得到本题答案． 【详解】 （1）解：， ， ， ； （2）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 41．【答案】（1）米     （2）仓库的面积不能为，理由如下： 根据题意得，， ∴， ∴， 则 ， ∴该方程无实数解， ∴仓库的面积不能为．      【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程与图形有关的问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）设的长为米，则米，进而结合题意即可作答； （2）根据题意得到，判断方程的解即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设的长为米，则米， 根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1）6m     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． (2) 小问详解： 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 43．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设页边距为x，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设页边距为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：3． 44．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程； 根据比赛场数和球队数列出方程即可． 【详解】 解：设该县共有个中学，可列方程为： ， 整理得：， 解得：（舍）， 答：共有个中学． 45．【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为；     （2）当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元．      【分析】 本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设画框宽度为未知数，根据工艺品长和宽与画框宽度的关系表示出风景画的长和宽，再利用面积公式列方程求解； （2）设降价金额为未知数，根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用的关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：设画框（空白部分）的宽度为， 可列方程， 整理得， 解得，， 因为，当时，，不符合实际，舍去， 所以， 答：画框（空白部分）的宽度为． (2) 小问详解： 设销售单价降低元， 可列方程， 整理得， 解得（不符合降价让顾客得到优惠的题意，舍去），． 答：当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 46．【答案】（1）是，不是     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； (2) 小问详解： 解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 47．【答案】（1）①，；②，．     （2）每轮感染中平均一台电脑感染11台．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）① 利用因式分解法解一元二次方程即可； ② 利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：① 或 ∴，； ② 或 ∴，； (2) 小问详解： 解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台． 48．【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时     （2）60分钟      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； (2) 小问详解： 解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 49．【答案】（1）     （2）当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为元      【分析】 本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键． （1）设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价利润损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可； (1) 小问详解： 解：设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为， 由题意得： ， 解得： ， 乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：，， 顾客获得最大实惠， ， 当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为1480元． 50．【答案】（1）2、3月份的月平均增长率为     （2）辆     （3）购进辆A型自行车，辆B型自行车      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式组得应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意可方程或不等式组． （1）设月平均增长率为，根据“1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆”列方程解题即可； （2）利用有理数的乘法解题即可； （3）设购进B型自行车辆，利润为元，根据题意列不等式组求出的取值范围，然后求出关于的一次函数，利用增减性解题即可． (1) 小问详解： 解：设2、3月份的月平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：2、3月份的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：商城4月份卖出自行车数量为：辆， 答：商城4月份卖出辆自行车； (3) 小问详解： 解：设购进B型自行车辆，利润为元， 则， 解得：， 又∵为整数， ∴， 又∵， ∵随a的增大而减小， ∴当时，有最大值， 此时，辆， ∴该商城应购进辆A型自行车，辆B型自行车，利润最大． 51．【答案】（1）     （2）牛场的总面积不可能达到180平方米，      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． (1) 小问详解： 解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． (2) 小问详解： 牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 52．【答案】平均每月的增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，则三月份的营业额可以表示为，结合三月份的营业额为288万元列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】 解：设平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平均每月的增长率为． 53．【答案】（1）10元或20元     （2） 商家平均每天的盈利不能达到1800元，理由如下： 假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程无解， 假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”． （1）设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到1800元． (1) 小问详解： 解：设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每箱猕猴桃降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元； (2) 小问详解： 略 54．【答案】（1）每年盈利的年增长率为20%；（2）2019年该公司盈利能达到2500万元. 【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）利用2019年盈利=2160×（1+x），由此计算即可； 【详解】解：（1）设每年盈利的年增长率为，根据题意得          ，         解得，（不合题意，舍去）         答：每年盈利的年增长率为20% .    （2），.           答：2019年该公司盈利能达到2500万元. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 55．【答案】（1）药品的年平均下降率为     （2）预计明年生产药品的成本是2048元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设药品的年平均下降率为，直接根据增长率公式列方程求解即可； （2）用今年成本乘以即可． (1) 小问详解： 解：设药品的年平均下降率为， ， 解得，（舍）， 答：药品的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：（元）， 答：预计明年生产药品的成本是2048元． 56．【答案】为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设矩形的边为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设矩形的边为， 由题可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：当羊圈边为时，能围成一个面积为的羊圈． 57．【答案】（1）     （2）能达到17万人      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． (1) 小问详解： 解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 58．【答案】（1）28     （2）每个模型应降价10元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，列式计算即可； （2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： （个）， 若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型 故答案为：28． (2) 小问详解： 设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 每个模型盈利不少于25元， ． 答：每个模型应降价10元． 59．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】 解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 60．【答案】花圃一边的长为米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．设的长为米，则的长为米，根据花圃的面积为240平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃一边的长为米． 61．【答案】（1）     （2）销售单价为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式， （1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设． 将，；，代入， 得 ，解得 ． 则与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 由题意得： 解得：， 又∵， ∴， 答：如果每天获得元的利润，销售单价为元． 62．【答案】（1）两动点经过秒时，使得；     （2）两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的；     （3）当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形．      【分析】 （1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． (1) 小问详解： 解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； (2) 小问详解： 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3) 小问详解： 解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ① 当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ② 当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③ 当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2），逐一判断各选项，即可． 【详解】 解：A、原方程整理得：，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程中含有分式 和 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程中可能为0，当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、原方程整理得：，最高次项为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A 3．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】 A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 7 B. 9 C. 3 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式中的一次项系数是，进行分析，即可作答． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：D． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入，得，即可解得m 的值． 【详解】 解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 整理得 解得， 故选：A． 6．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、中，当时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 7．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（       ） A.  B.  C. 6 D. 3 【答案】D 【分析】 根据方程的解的定义，直接将代入原方程即可求出参数的值． 【详解】 解：∵是方程的一个解， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的基本定义是解题关键． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，需注意方程中未知数的个数和次数． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2）判断各选项． 【详解】 解：A、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； B、方程中未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程； C、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； D、方程中只含未知数x，且最高次数为2，满足定义，是一元二次方程． 故选：D． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，掌握其概念是解题的关键． 一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程． 【详解】 解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：A ． 10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，由题意可得：，且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，且， 解得：， 故选：B． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）关于的方程 是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，关键是确保二次项系数不为零； 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零 【详解】 ∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 二次项系数 ， ∴ ， 故答案选：B 12．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】 解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程．判断一元二次方程时，需确保方程是整式、只含一个未知数且最高次项系数非零． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）即可判断各选项． 【详解】 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有分母，不是整式方程，所以A不符合题意； 选项B：中、、未指定为常数且可能为0，不一定是二次方程，所以B不符合题意； 选项C：含有两个未知数和，不是一元方程，所以C不符合题意； 选项D：可化为，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，又是整式方程，所以D符合题意． 故选：D． 14．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知是关于的一元二次方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入，即，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴，即， ∴． 故选A． 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A.  B. 4 C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】 ∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 16．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【详解】 解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ． 含有两个未知数，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程不是整式方程，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．含有两个未知数且最高次数为1，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 17．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知一元二次方程的一个根为m，则的值（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识．由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】 解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：C． 18．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】A 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=1代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】根据题意，得 即b−1=0， 解得，b=1. 故选：A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 19．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　(　　) A. 2,5,10 B. 2,5,-10 C. 2,1,5 D. 2,10,-10 【答案】D 【分析】要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】由原方程，得 2x2+10x-10=0， ∴二次项系数是2、一次项系数是10、常数项是-10． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 20．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 0 D. 0或3 【答案】B 【分析】 将代入一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意得， 解方程得， 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 把代入方程计算即可求出的值． 【详解】 解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 22．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，代数式求值，先得出，再代入即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）若关于的一元二次方程没有一次项，则　　． 【答案】 【分析】 根据没有一次项可得，且求解即可． 【详解】 解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 25．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知m是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程的解的定义得到，再代入即可． 【详解】 解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 26．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）将一元二次方程化为一般形式是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：，，为常数且，即可解答． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 27．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：方程是一元二次方程， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 29．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】（1），方程的根为     （2）；二次项系数为，一次项系数为，常数项为      【分析】 （1）根据一元一次方程的定义得出 ，即可求出k的值，解方程即可求解； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵原方程为一元一次方程， ∴ ， 解得：； 当时，方程为， 解得． (2) 小问详解： 解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 故时，此方程为一元二次方程；该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据配方法可直接作答． 【详解】 方程采用配方法变形为：， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）用配方法解方程 时，配方所得的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】 解： ， 故选：D． 3．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）解一元二次方程，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】 解：， ∴， ∴； 故选B． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键；二次系数为1的时候，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可得． 【详解】 解：； ； 两边同时加上4，得， 故选：A． 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）将配成的形式后，m 的值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法的应用，根据题意，则把运用配方法整理得，即可得出m的值． 【详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∵将配成的形式 ∴， 故选：C． 7．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可 【详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 故选：B． 8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：A 9．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】 解： 开方得， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 10．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】 解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 11．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 12．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）用适当的方法求解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 13．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程． 【答案】， 【分析】 根据直接开平方法计算即可． 【详解】 解： 移项，得：， 开平方，得：， 即：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握利用直接开平方法解一元二次方程． 14．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）把方程化成的形式，则m的值是　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【详解】 ． ∴． 故答案为：11． 15．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）根据配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得． 16．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 可得或， 解得； (2) 小问详解： 解： 可得或， 解得． 17．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）用指定的方法解下列方程． （1）；（直接开平方法） （2）．（配方法） 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴，． 18．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）将一元二次方程变形为的形式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】 解： 移项得 ， 配方得 即 故答案为： 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 19．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ，． 20．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】 本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】 解： ， ∴代数式的最小值是． 考点03 公式法 1．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 计算出判别式的值即可得出答案． 【详解】 解：Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0， 所以方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ① 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）方程根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 此题考查一元二次方程根的判别式的应用．求出一元二次方程根的判别式的值，即可判断方程根的情况． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式. ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】 ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴a可取的最大整数为2， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与，有如下关系：当，时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”可得，解不等式即可求出的取值范围，然后从各选项中选择合适的值即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 四个选项中只有选项满足要求， 故选：． 5．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【分析】 本题考查利用判别式判断根的情况．通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况． 【详解】 解：∵ 一元二次方程 中，， ， ， ∴ 判别式， ∵ ， ∴ 方程无实数根， 故选：B． 7．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】 解：，则，，， 故选：C 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）一元二次方程x2﹣4x＋3＝0的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 先求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案． 【详解】 解：一元二次方程x2﹣4x+3＝0中， Δ＝16﹣4×1×3＝4＞0， 则原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式，熟知：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则． 根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∴且． 故选：B． 10．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】 解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 11．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（       ） A. 且 B.  C.  且 D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 12．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算判别式得到△=-4，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵△=12−4×2×1=−7<0， ∴方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式. 13．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 14．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 15．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 16．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根有两个不相等的实数根得到，，据此列不等式求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：A． 17．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．需分情况讨论：当时，方程化为一次方程，有实数解；当时，方程为一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】 解：∵方程有实数解， 当时，方程为， 解得，有实数解； 当时，方程为一元二次方程，则： ， ∴， 解得：； 综上，实数的范围是． 故选：B． 18．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可. 【详解】 由题意得∆=0， ∴4-4k=0， 解得k=1， 故选：A. 【点睛】 此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0. 19．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）对于实数定义运算“*”为，例如：，则关于x的方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查新定义运算，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，再计算判别式判断根的情况． 【详解】 ， ， 方程化为， 整理得， 判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得： 且， 故选：B． 21．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是　　　　　． 【答案】c＞9 【分析】 根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根， ∴△=（-6）2-4c＜0， 即36-4c＜0， 解得：c＞9． 故答案为c＞9． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键． 23．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程　　　　　　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】 本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 24．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：    ∴ 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 25．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）方程无实数根，则点位于第　　　　　　象限． 【答案】四 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】 解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 26．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．     （2）另一个根为2，．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 则， 解得，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 解得，． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是　　． 【答案】±6 【分析】 先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】 解：∵关于x的方程x2-mx+4=0有两个相等实根， ∴△=m2-4×9=0， 解得m=±6． 故答案为：±6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 29．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值， 故答案为：（答案不唯一）． 30．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知关于x的一元二次方程（m为实数，）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程一个根是1，求m的值及方程的另一个根？ 【答案】（1）证明：依题意，得Δ=2-4(m-1)×(-3) =m2-8m+16+12m-12 =m2+4m+4 =（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）m=4，方程的另一个根为x=-1． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）将x=1代入原方程可求出m值，再利用根与系数的关系可求出方程的另一个根． 【详解】 （1）略 （2）将x=1代入原方程得：（m-1）+（m-4）-3=0， 解得：m=4， ∴原方程为3x2-3=0． ∴方程的另一个根为x=-1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 31．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　　　　　　　　 【答案】m<且m≠0 【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，可得△=b2-4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根， ∴△=b2-4ac=42-4×m×5=16-20m＞0， 解得：m＜， ∵m≠0， ∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0． 故答案为m＜ 且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，根据关于x的方程有两个不相等的实数根，得，且，再解得实数a的取值范围，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且， 故答案为：且． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程　　　　　　　　　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 34．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 【答案】（1） 证明∵ ∴此一元二次方程恒有实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义．求出的表达式，再判定符号即可求证，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当时方程总有两个不相等的实数根，当时方程总有两个相等的实数根，当时方程无实数根是解题的关键． （）由根的判别式的符号来判定关于的一元二次方程的根的情况． （）利用求根根式求得方程的两个根，得到其中一根是常数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， 其中根与的取值无关， 所以此方程的定值根为． 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】 解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）略 36．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 【答案】（1）且     （2），      【分析】 （1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：依题意得： ， 解得且； (2) 小问详解： 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】 本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 37．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）定义新运算：规定 ，例如 ，若 ，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 或 【分析】 本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】 解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 38．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得，． 39．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】m＝5，x1=x2=2． 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 40．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】k＞1. 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）先由公式法求出，再分两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 42．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1） 见解析     （2）1或3      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． (1) 小问详解： 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，通过因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】 解：∵， ∴或， ∴, 故选：C． 2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（       ） A. 1或 B. 或7 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 3．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）一元二次方程的根为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解： ∴， 则， ∴或， 故选：C 4．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）下列各式的变形中，正确的是（       ） A. 配方变为 B. 变为 C. 配方变为 D. 因式分解得 【答案】B 【分析】 根据配方法，移项合并同类项和因式分解法将一元二次方程进行变形，逐一进行判断即可． 【详解】 A、配方得：，选项错误，不符合题意； B、变为，选项正确，符合题意； C、配方变为：，选项错误，不符合题意； D、因式分解得：，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的配方和因式分解变形，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 5．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）一元二次方程的解是（       ）. A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解一元二次方程成为解题的关键. 直接运用因式分解法求解即可. 【详解】 解：， ， 所以方程组的解为：，. 故选：C. 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（     ） A.  B.  C. 或 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形定义，先解方程得到或，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三边长，最后计算周长，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：， ， ∴或， 若腰长为，底边为，则，不满足三角形三边关系，故不成立； 若腰长为，底边为，则 和 均成立，满足三角形三边关系； ∴三边长为，，， ∴周长为， 故选：． 7．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）若，则的值为（     ） A. 或1 B.  C. 1 D. 3或1 【答案】C 【分析】 本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】 解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）方程的根为　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程：x2﹣5x+6＝0 【答案】x1＝2，x2＝3 【分析】 利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】 利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】 本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 10．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解. （2）先把x-2移到等式左边，再提公因式因式分解. 【详解】（1）    解得： （2） 解得： 【点睛】一元二次方程求解的方法主要有直接开平方法、配方法、因式分解和公式法.本题解题关键，找准合适的方法解题. 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，进而解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：． 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程--因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解： 则或． ，． (2) 小问详解： 解： 则或． ，． 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 14．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）一元二次方程x2﹣x=0的根是　　　　　． 【答案】x1=0，x2=1 【分析】 方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】 方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为x1=0，x2=1． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程：掌握一元二次方程的解法是关键； （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （3）先计算，再利用公式法解方程即可； （4）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 16．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，包括直接开平方法和因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握这两种方法求解方程． （1）等号两边直接开方求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：方程为：， 两边开方：， 解得：，； (2) 小问详解： 方程为：，即， 因式分解：， 解得：，． 17．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2） 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴或 (2) 小问详解： 解：， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或． 18．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）解方程：（1）（2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）， ， ， 或， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键． 19．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）因式分解　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法转化为，求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ∴， ∴， 解得：，． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ， ， ， 解得； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 24．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用配方法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：，． 25．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用公式法进行解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： 或， ∴，． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）根据因式分解法提出公因式，可得两个因式乘积等于0的性质，即可得解． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得：，； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，． 27．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）提取公因式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 提取公因式得：， ∴或， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． (4) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：． 28．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后运用直接开平方法进行解答即可； （2）先十字相乘法分解因式，再求出的值即可； （3）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，， 直接开平方，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 29．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）分解因式　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 30．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ∴或， ∴； (3) 小问详解： 解： ∴ ∴或， ； (4) 小问详解： 解：， ， 即， ∴或， 31．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可求解； （2）利用因式分解法计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 即， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解： ， 即或， 解得：． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （1）采用因式分解法解方程即可； （2）采用十字相乘法解方程即可； (1) 小问详解： 解： 解得：，． (2) 小问详解： 解： 解得：，． 34．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法（因式分解法）、提取公因式． （1）观察，用十字相乘法分解为，令每个因式为0，得或． （2）把看作整体，提取公因式后得到，解得或． (1) 小问详解： 解： ， (2) 小问详解： 解： ， 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵方程中，，，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：A． 2．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，分别是方程的两根，则的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】 解：∵，分别是方程的两根， ∴． 故选D． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A.  B. 2 C.  D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】 解：∵一元二次方程的系数，， ∴两根之和． 故选：A． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如果一元二次方程的两根为，，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴的值等于． 故选：B． 5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）若m和n是一元二次方程的两个根，那么的值为（     ） A. 8 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，即对于方程，两根之和为，直接计算即可． 【详解】 解：∵方程中，，， ∴， 故选B． 6．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（     ） A.  B.  C. 9 D. 1 【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”求解即可． 【详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 7．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再将已知解代入求出另一解即可． 【详解】 解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n， ∵两根的和为：， ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次一元二次方程的解，数量掌握根与系数的关系式解决本题的关键． 8．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（                 ） A. 4049 B. 4047 C. 2024 D. 1 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 9．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】 解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为： 10．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）若实数、分别满足，，且，则　　　． 【答案】 【分析】 先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】 设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知、是方程的两个根， （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1）,      （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及利用完全平方公式变形求值．解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解； （2）利用完全平方公式变形得到，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根， ，； (2) 小问详解： 解：． 14．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）若、是方程的两个根，则　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案； 【详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴， 故答案为：4． 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）已知关于 的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【分析】 （1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得： ， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 16．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 17．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系得到，进而根据“有一个根为1”求解即可． 【详解】 解：设方程的两根为和，其中， 根据根与系数的关系，两根之积， 代入，得， 所以． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】（1） 证明： ， 故该方程总有两个实数根；     （2）它的另一个根为，的值为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有 是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 19．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知关于的方程． （1）试从，，等三个数中，选取一个数作为的值，使原方程有解，并说明理由，且求此解； （2）当时，原方程有一根为，求的值． 【答案】（1） 证明：对于方程，当根的判别式时，该方程有实数解， 由解得：， 从，，三个数中，选取，该方程有实数解， 此时原方程为， 解得：，，     （2）34      【分析】 此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解一元二次方程及一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． （1）首先由根的判别式得，由此解得，据此可在，，三个数中选取一个使原方程有解，进而在求出原方程的解即可； （2）当时，原方程为，将代入该方程得，显然，据此可得，然后利用完全平方公式即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，原方程为， 这个方程的一根为， ， 显然， 将的两边同时除以，得：， ， ， ． 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知关于x 的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m 的取值范围； （2）当x1＝1时，求另一根x,2的值． 【答案】（1）m<；（2）x2＝2． 【详解】试题分析：（1）利用根与系数的关系求.(2)利用韦达定理代入求值. 试题解析： （1）由题意得：Δ>0，即：9－4m>0，   ∴m<； （2）∵x1+x2=3；∴x2＝3－x1＝3－1＝2． 点睛：一元二次方程的根的判别式是, △=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项. △>0说明方程有两个不同实数解, △=0说明方程有两个相等实数解, △<0说明方程无实数解. 实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧. (2)已知方程根的情况，利用△的正负求参数的范围. 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知方程的一个根为1，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值． 【详解】设方程的另一根为x1，又∵x=1， ∴ ， 解得m=6． 故答案为6． 【点睛】本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解题．此题也可将x=1直接代入方程3x2-9x+m=0中求出m的值． 22．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求m值和方程的另一个根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）m为，另一个根为     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； (2) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴． ∴m的取值范围为． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，是关于x的方程的两个实数根，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系， 根据根与系数的关系可得出，，，将其代入中即可求出结论． 【详解】 解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求的值； （3）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将方程有一个根为4代入原方程，可得关于的方程，求解即可； （3）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵该方程有一个根为4， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 根据题意得，， ∵，即：， ， 解得，， 的值为或． 25．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）关于x的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系可得，，再把变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知，是方程的两实数根，则　　　　　　　　　． 【答案】4092529 【分析】 先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】 解：∵m是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两实数根， ∴， ∴． 故答案为:4092529． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【详解】 解：由题意可得， ． 故选：． 2．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：， 故选：D． 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于一元二次方程增长率的实际应用，设每年增长率为x，根据2022年我国约为121万亿元， 2024年我国约为135万亿元，列出方程即可． 【详解】 解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为： ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，每名运动员都要与其他名运动员握手一次，但每对握手会被重复计算两次，因此总握手次数应为．根据题意，总次数为45次，由此建立方程． 【详解】 解：设有名运动员，每名运动员需与其他名运动员握手，共产生次握手．由于每对握手被计算了两次，实际总握手次数为． 根据题意，总次数为45次，因此方程为； 故选C． 5．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】 解：由题意得，， 故选B． 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】 解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 7．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长周平均增长率第三周人均运动时长列出方程即可． 【详解】 解： 由题意可得： ， 故选C． 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）制造一种产品，原来每件的成本价是100元，经过连续两次的技术改造，现在每件的成本价为81元．那么平均每次降低成本（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意，准确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次降低成本的百分比为，根据两次降低成本后成本变化列出方程求解． 【详解】 原来成本为100元，现在成本为81元，经过两次降低成本， ， ， 或， （舍去） 故平均每次降低成本． 故选：A． 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】 解：由题意可得． 故选：B． 10．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）某校区有一个面积为的矩形篮球场，它的长比宽多，该篮球场的宽是多少米？设该篮球场的宽为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据矩形面积公式，面积等于长乘以宽，已知长比宽多米，设宽为x米，则长为米，据此列方程． 【详解】 解：设宽为x米，则长为米，， ∴． 故选：B． 11．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】 解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 12．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）在“双减政策”推动下，乌鲁木齐市某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系为：，列出方程即可． 【详解】 解：设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为， 根据题意得． 故选：C． 13．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】 解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 14．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（       ） A. 6家 B. 8家 C. 10家 D. 12家 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解合同总数的计算方法是解题关键，注意舍去不符合题意的解. 公司数量为n，每两家公司签订一份合同，合同总数为，据此列方程求解． 【详解】 解：设参加交易会的公司共有n家， 由题意得，， 整理得，， 解得或（舍去）， 故参加交易会的公司共有10家， 故选：C． 15．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设每组x人，则每个人都要与其他人比赛一场，而相同两人之间的比赛只算作一场，故总场次为场，据此列方程即可． 【详解】 解：设每组人， 由题意得，， 故选：B． 16．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于x的一元二次方程； 【详解】 设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x， 依题意，得， 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，空白部分的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：B． 18．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）两年前生产甲种药品的成本为每千克100元，随着生产技术的进步，现在的成本为每千克60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用．根据甲种药品成本的年平均下降率为x，然后根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意可得． 故选：B． 19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长率为则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据增长率的定义，依次表达年投入教育经费万元，年投入教育经费万元，再根据年投入教育经费比年增加万元，建立方程即可． 【详解】 解：设年至年该市投入教育经费的年平均增长率为， ∵年投入教育经费万元， ∴年投入教育经费万元， 年投入教育经费万元， ∴年投入教育经费比年增加了万元， 故可建立方程：， 整理得，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了与增长率相关的一元二次方程的实际应用，准确理解增长率的定义是解题的关键． 20．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）用一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为xcm，可列方程为（　　） A. x（10﹣x）=50 B. x（30﹣x）=50 C. x（15﹣x）=50 D. x（30﹣2x）=50 【答案】C 【分析】先根据可以折成边长为10cm的等边三角形可知这根细铁丝长为30cm，然后根据折成的长方形的一边长为xcm，则可知长方形的另一边长为（15-x）cm，根据长方形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：由题意可知细铁丝长为3×10=30cm， 设折成的长方形的一边长为xcm，则另一边长为（15﹣x）cm， 根据题意得：x（15﹣x）=50， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】 由题意得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）阿图什市全疆足球邀请赛共进行比赛110场，参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，则参加比赛的队伍共有（     ） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据每两队之间进行两场比赛，总比赛场数与队伍数的关系建立方程求解． 【详解】 设参加比赛的队伍有支， 每两队之间进行两场比赛， 总比赛场数为 ． 已知总比赛场数为110， ， 即， 解得（舍去负值）， 参加比赛的队伍共有11支． 故选：D． 23．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）今年是中华人民共和国成立75周年，也是新疆生产建设兵团成立70周年，兵团各地积极开展“讲好红色故事弘扬兵团精神”主题教育学习活动，作为传承红色基因、弘扬兵团精神的重要窗口，新疆某博物馆凝聚着兵团人共同的历史记忆．据了解，今年8月份该博物馆接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据增长后的量增长前的量（1增长率），9月份该博物馆接待参观人数是万人，在9月的基础上再增长，就是10月份该博物馆接待参观人数，即可列出方程． 【详解】 解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 故选：D． 24．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程． 【详解】 解：由题意可得， x（x-1）=182， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 25．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知一个直角三角形的面积为，两直角边长的和为，则两直角边长分别为（ ） A. 3，6 B. 2，7 C. 1，8 D. 4，5 【答案】D 【分析】设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x），根据三角形的面积列出方程解答即可． 【详解】解：设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x）， x（9-x）=10， 整理得x2-9x+20=0， 解得x1=4，x2=5， 9-x=5或4． 答：两直角边长分别为5，4． 故选D． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，此题利用三角形的面积计算公式建立方程解决问题． 26．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）学校举行篮球比赛，采用单循环赛制（每两个班之间都要进行一场比赛），一共进行了36场比赛，问有多少个班级参加比赛？设有个班级参赛，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了列一元二次方程． 根据题意得到每个班级需与其余个班级各进行一场比赛，再根据单循环赛制中，每两个班级之间的比赛会被重复计算一次，可知实际总比赛场次为场，根据总比赛场次为36场列方程即可． 【详解】 解：∵有个班级参赛， ∴每个班级需与其余个班级各进行一场比赛， ∵单循环赛制中，每两个班级之间的比赛会被重复计算一次， ∴实际总比赛场次为场， ∵总比赛场次为36场， ∴可列方程． 故选：B． 27．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答． 【详解】 解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x， 由题意，得：． 故选：D． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可． 【详解】 解：可列方程， 故C选项不符合题意， 变形后，可得或， 故A选项不符合题意，D选项不符合题意， 不能得到， 故B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 29．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为     （2）这种玩具应降价2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排36场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用单循环赛的比赛场次公式进行列方程，即可作答． 【详解】 解：∵单循环赛的赛制，每两队之间比赛一场，且设邀请个球队参加比赛， ∴总比赛场次为， ∵总场次为36， 因此可列方程． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：560（1-x）2=315， 故答案为560（1-x）2=315． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 32．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，每条小道的宽度为，根据剩余绿地的面积为，列出方程求解即可得． 【详解】 解：每条小道的宽度为， 根据题意得，． 故答案为：． 33．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛的人数为　　　　　　　　人． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】 解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 即有8人参加了选拔赛， 故答案为：8． 34．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）（多选）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【分析】 （1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】 解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 35．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）某小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入10万元，五月份绿化投入45万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据平均每月增长率，从三月份到五月份经过两个月，利用增长模型列出方程即可． 【详解】 解：设平均每月绿化投入的增长率为，则四月份投入金额为万元，五月份投入金额为万元， 由题意，； 故答案为：． 36．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 该商品第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，据此列出方程即可． 【详解】 解：某商品原价为200元，第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， 则列方程为， 故答案为：． 37．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列一元二次方程．单循环赛制中，总比赛场数的计算公式为队数乘以队数减一除以二，根据总场数为45，列出方程． 【详解】 解：设有x个队参加比赛，每个队需要与其他个队各赛一场，但每场比赛涉及两个队，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为45，故列方程为． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设小正方形边长为，根据题意则大正方形边长为，根据大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少列方程求解即可． 【详解】 解：设小正方形边长为，则大正方形边长为，由题意得： ， 整理得：， 解得，（舍）， 则大正方形边长为：． 故答案为：，． 39．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元． 【分析】（1）若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程． （2）利用乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可； （3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可． 【详解】（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元， 根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x）-500=67， 解得：x=300， 500-x=200． 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元． （2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为y， 则， 解得：=0.1=10%，=-2.1（不合题意，舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为10%； （3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调 ∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元） ∵商场仍按9折出售，设定价为a元时 0.9a-266.2＞0 解得：a＞ 故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润． 考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题 40．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）（1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 【答案】（1）；（2）长方形菜园的长是，宽是 【分析】 本题考查解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等． （1）利用配方法直接解一元二次方程即可； （2）根据题意设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，再列方程计算即可得到本题答案． 【详解】 （1）解：， ， ， ； （2）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为长的木板（全部使用完），若设为米． （1）若仓库的面积为，求的长？ （2）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1）米     （2）仓库的面积不能为，理由如下： 根据题意得，， ∴， ∴， 则 ， ∴该方程无实数解， ∴仓库的面积不能为．      【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程与图形有关的问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）设的长为米，则米，进而结合题意即可作答； （2）根据题意得到，判断方程的解即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设的长为米，则米， 根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． (2) 小问详解： 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 43．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设页边距为x，根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设页边距为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：3． 44．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，请问该县共有多少个中学？ 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程； 根据比赛场数和球队数列出方程即可． 【详解】 解：设该县共有个中学，可列方程为： ， 整理得：， 解得：（舍）， 答：共有个中学． 45．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为；     （2）当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元．      【分析】 本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设画框宽度为未知数，根据工艺品长和宽与画框宽度的关系表示出风景画的长和宽，再利用面积公式列方程求解； （2）设降价金额为未知数，根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用的关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：设画框（空白部分）的宽度为， 可列方程， 整理得， 解得，， 因为，当时，，不符合实际，舍去， 所以， 答：画框（空白部分）的宽度为． (2) 小问详解： 设销售单价降低元， 可列方程， 整理得， 解得（不符合降价让顾客得到优惠的题意，舍去），． 答：当该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元． 46．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程                       “ 归零方程”；一元二次方程                           “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】（1）是，不是     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； (2) 小问详解： 解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 47．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）回答以下问题： （1）解方程： ①； ②． （2）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 【答案】（1）①，；②，．     （2）每轮感染中平均一台电脑感染11台．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）① 利用因式分解法解一元二次方程即可； ② 利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：① 或 ∴，； ② 或 ∴，； (2) 小问详解： 解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台． 48．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时     （2）60分钟      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； (2) 小问详解： 解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 49．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） （1）直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； （2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 【答案】（1）     （2）当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为元      【分析】 本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键． （1）设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价利润损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可； (1) 小问详解： 解：设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为， 由题意得： ， 解得： ， 乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：，， 顾客获得最大实惠， ， 当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为1480元． 50．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ （2）求商城4月份卖出多少辆自行车？ （3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】（1）2、3月份的月平均增长率为     （2）辆     （3）购进辆A型自行车，辆B型自行车      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式组得应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意可方程或不等式组． （1）设月平均增长率为，根据“1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆”列方程解题即可； （2）利用有理数的乘法解题即可； （3）设购进B型自行车辆，利润为元，根据题意列不等式组求出的取值范围，然后求出关于的一次函数，利用增减性解题即可． (1) 小问详解： 解：设2、3月份的月平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：2、3月份的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：商城4月份卖出自行车数量为：辆， 答：商城4月份卖出辆自行车； (3) 小问详解： 解：设购进B型自行车辆，利润为元， 则， 解得：， 又∵为整数， ∴， 又∵， ∵随a的增大而减小， ∴当时，有最大值， 此时，辆， ∴该商城应购进辆A型自行车，辆B型自行车，利润最大． 51．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）牛场的总面积不可能达到180平方米，      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． (1) 小问详解： 解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． (2) 小问详解： 牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 52．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某超市一月份的营业额为200万元，二、三月份连续两个月营业额增长率相同，三月份的营业额为288万元，求平均每月的增长率． 【答案】平均每月的增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，则三月份的营业额可以表示为，结合三月份的营业额为288万元列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】 解：设平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平均每月的增长率为． 53．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）10元或20元     （2） 商家平均每天的盈利不能达到1800元，理由如下： 假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程无解， 假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”． （1）设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到1800元． (1) 小问详解： 解：设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每箱猕猴桃降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元； (2) 小问详解： 略 54．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同. （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？ 【答案】（1）每年盈利的年增长率为20%；（2）2019年该公司盈利能达到2500万元. 【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）利用2019年盈利=2160×（1+x），由此计算即可； 【详解】解：（1）设每年盈利的年增长率为，根据题意得          ，         解得，（不合题意，舍去）         答：每年盈利的年增长率为20% .    （2），.           答：2019年该公司盈利能达到2500万元. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 55．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）前年生产药品的成本是4000元，随着生产技术进步，今年生产药品成本是2560元． （1）求该药品成本的年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计明年生产该药品的成本是多少元？ 【答案】（1）药品的年平均下降率为     （2）预计明年生产药品的成本是2048元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设药品的年平均下降率为，直接根据增长率公式列方程求解即可； （2）用今年成本乘以即可． (1) 小问详解： 解：设药品的年平均下降率为， ， 解得，（舍）， 答：药品的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：（元）， 答：预计明年生产药品的成本是2048元． 56．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长为）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设矩形的边为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设矩形的边为， 由题可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：当羊圈边为时，能围成一个面积为的羊圈． 57．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． （1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． （2）如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】（1）     （2）能达到17万人      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． (1) 小问详解： 解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 58．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型； （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）28     （2）每个模型应降价10元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，列式计算即可； （2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： （个）， 若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型 故答案为：28． (2) 小问详解： 设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 每个模型盈利不少于25元， ． 答：每个模型应降价10元． 59．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请　　　　　　　　个球队参加比赛 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】 解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 60．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边的长． 【答案】花圃一边的长为米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．设的长为米，则的长为米，根据花圃的面积为240平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃一边的长为米． 61．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本元．试销期间发现每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） （1）求与之间的函数关系式； （2）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 【答案】（1）     （2）销售单价为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式， （1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设． 将，；，代入， 得 ，解得 ． 则与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 由题意得： 解得：， 又∵， ∴， 答：如果每天获得元的利润，销售单价为元． 62．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】（1）两动点经过秒时，使得；     （2）两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的；     （3）当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形．      【分析】 （1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． (1) 小问详解： 解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； (2) 小问详解： 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3) 小问详解： 解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ① 当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ② 当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③ 当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 2．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 7 B. 9 C. 3 D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）若关于x 的一元二次方程的一个根是2，则m 的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 6．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（       ） A.  B.  C. 6 D. 3 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）关于的方程 是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（     ） A. 2 B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知是关于的一元二次方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 5 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A.  B. 4 C. 2 D.  16．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知一元二次方程的一个根为m，则的值（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 18．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 19．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　(　　) A. 2,5,10 B. 2,5,-10 C. 2,1,5 D. 2,10,-10 20．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 0 D. 0或3 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）若关于的一元二次方程没有一次项，则　　． 25．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知m是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值等于　　　　　　． 26．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）将一元二次方程化为一般形式是　　　　　． 27．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　. 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 29．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）用配方法解方程 时，配方所得的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）解一元二次方程，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）将配成的形式后，m 的值为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  7．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 12．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）用适当的方法求解下列方程： （1） （2） 13．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程． 14．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）把方程化成的形式，则m的值是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）解下列方程： （1） （2）． 17．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）用指定的方法解下列方程． （1）；（直接开平方法） （2）．（配方法） 18．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）将一元二次方程变形为的形式为　　　　　　　　． 19．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程：． 20．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 考点03 公式法 1．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）方程根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 7．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）一元二次方程x2﹣4x＋3＝0的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 10．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 11．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（       ） A. 且 B.  C.  且 D.  12．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 13．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 14．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A.  B. 且 C.  D. 且 15．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  16．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  17．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 18．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（          ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）对于实数定义运算“*”为，例如：，则关于x的方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  21．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是　　　　　． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　 ． 23．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程　　　　　　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 24．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）解方程： （1）； （2）． 25．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）方程无实数根，则点位于第　　　　　　象限． 26．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 27．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0有两个相等的实数根，则m的值是　　． 29．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　　　　　　　　． 30．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知关于x的一元二次方程（m为实数，）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程一个根是1，求m的值及方程的另一个根？ 31．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　　　　　　　　 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程　　　　　　　　　（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 34．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 36．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 37．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）定义新运算：规定 ，例如 ，若 ，则的值为　　　　　　　　　　　． 38．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 39．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 40．（25-26学年九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 42．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（       ） A. 1或 B. 或7 C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）一元二次方程的根为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）下列各式的变形中，正确的是（       ） A. 配方变为 B. 变为 C. 配方变为 D. 因式分解得 5．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）一元二次方程的解是（       ）. A.  B.  C. ， D. ， 6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（     ） A.  B.  C. 或 D. 以上都不对 7．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）若，则的值为（     ） A. 或1 B.  C. 1 D. 3或1 8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）方程的根为　　　　　　　． 9．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程：x2﹣5x+6＝0 10．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）解下列方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 12．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程： （1） （2） 13．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）一元二次方程x2﹣x=0的根是　　　　　． 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 16．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2） 18．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）解方程：（1）（2） 19．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）因式分解　　　　　　　　　　　 20．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）方程的解是　　　　　　． 23．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 24．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）解方程 （1） （2） 25．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）解方程： （1）； （2）． 27．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 28．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）解方程 （1）； （2）； （3）． 29．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）分解因式　　　　　　． 30．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 31．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）解方程： （1）； （2）． 32．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期末）解方程： （1）； （2）． 33．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）解方程： （1）； （2）． 34．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）解方程： （1） （2） 35．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）解方程： （1）； （2）． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（） A.  B. 2 C. 3 D.  2．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，分别是方程的两根，则的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A.  B. 2 C.  D. 1 4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）如果一元二次方程的两根为，，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）若m和n是一元二次方程的两个根，那么的值为（     ） A. 8 B.  C. 3 D.  6．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（     ） A.  B.  C. 9 D. 1 7．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（        ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（                 ） A. 4049 B. 4047 C. 2024 D. 1 9．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 10．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 12．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）若实数、分别满足，，且，则　　　． 13．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）已知、是方程的两个根， （1）求、的值； （2）求的值． 14．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）若、是方程的两个根，则　　　　　　　　． 15．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）已知关于 的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一根． 16．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 17．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为　　　　　． 18．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 19．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）已知关于的方程． （1）试从，，等三个数中，选取一个数作为的值，使原方程有解，并说明理由，且求此解； （2）当时，原方程有一根为，求的值． 20．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）已知关于x 的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m 的取值范围； （2）当x1＝1时，求另一根x,2的值． 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）已知方程的一个根为1，则的值为　　　　　　　　　　. 22．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求m值和方程的另一个根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 23．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，是关于x的方程的两个实数根，则　　　　　　． 24．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求的值； （3）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 25．（2025·新疆自治区喀什·质量监测）关于x的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为　　　　　　　　　　　 26．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）已知，是方程的两实数根，则　　　　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什第二中学·期末）党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区克拉玛依独山子区第二中学·期中）“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）每年8月8日是我国全民健身日，据有关部门统计，我省某市居民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）制造一种产品，原来每件的成本价是100元，经过连续两次的技术改造，现在每件的成本价为81元．那么平均每次降低成本（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·新疆阿克苏地·期中）某校区有一个面积为的矩形篮球场，它的长比宽多，该篮球场的宽是多少米？设该篮球场的宽为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）在“双减政策”推动下，乌鲁木齐市某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（      ） A.  B.  C.  D.  13．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（       ） A. 6家 B. 8家 C. 10家 D. 12家 15．（25-26学年九·新疆昌吉回族自·期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，设每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（2026·新疆克孜勒苏柯·质量监测）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·新疆吐鲁番·期末）某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·新疆喀什地·期末）两年前生产甲种药品的成本为每千克100元，随着生产技术的进步，现在的成本为每千克60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长率为则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐新疆农业大学附属中学·期中）用一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为xcm，可列方程为（　　） A. x（10﹣x）=50 B. x（30﹣x）=50 C. x（15﹣x）=50 D. x（30﹣2x）=50 21．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）阿图什市全疆足球邀请赛共进行比赛110场，参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，则参加比赛的队伍共有（     ） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 23．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）今年是中华人民共和国成立75周年，也是新疆生产建设兵团成立70周年，兵团各地积极开展“讲好红色故事弘扬兵团精神”主题教育学习活动，作为传承红色基因、弘扬兵团精神的重要窗口，新疆某博物馆凝聚着兵团人共同的历史记忆．据了解，今年8月份该博物馆接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）已知一个直角三角形的面积为，两直角边长的和为，则两直角边长分别为（ ） A. 3，6 B. 2，7 C. 1，8 D. 4，5 26．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）学校举行篮球比赛，采用单循环赛制（每两个班之间都要进行一场比赛），一共进行了36场比赛，问有多少个班级参加比赛？设有个班级参赛，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  27．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区和田地区·期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第七十中学·期中）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 30．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排36场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程为　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是　　　　　　． 32．（25-26学年九上·新疆自治区哈密·期中）如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程：　　　　　　　　． 33．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛的人数为　　　　　　　　人． 34．（24-25学年九上·新疆昌吉回族自·期中）（多选）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 35．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）某小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入10万元，五月份绿化投入45万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，则可列方程为　　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·新疆乌鲁木齐第九十八中学·期中）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 40．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区）（1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 41．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为长的木板（全部使用完），若设为米． （1）若仓库的面积为，求的长？ （2）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 42．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 43．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为a、b 、c 、d ．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为　　　　　　． 44．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区喀什地区部分学校·期中）某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，请问该县共有多少个中学？ 45．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制 成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品长32， 宽20． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为， 求画框（空白部分）的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件，另外每天 除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价 销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把 销售单价降低多少元时，每天所获利润为10000元？ 46．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程                       “ 归零方程”；一元二次方程                           “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 47．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）回答以下问题： （1）解方程： ①； ②． （2）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 48．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 49．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐·期中）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） （1）直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； （2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 50．（24-25学年九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ （2）求商城4月份卖出多少辆自行车？ （3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 51．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 52．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区·期中）某超市一月份的营业额为200万元，二、三月份连续两个月营业额增长率相同，三月份的营业额为288万元，求平均每月的增长率． 53．（24-25学年九上·新疆行政单位师·期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 54．（24-25学年九上·新疆维吾尔自治区吐鲁番·期中）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同. （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？ 55．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐·期末）前年生产药品的成本是4000元，随着生产技术进步，今年生产药品成本是2560元． （1）求该药品成本的年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计明年生产该药品的成本是多少元？ 56．（25-26学年九·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长为）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 57．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． （1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． （2）如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 58．（25-26学年九·新疆伊犁哈萨克·期末）中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型； （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 59．（2026·新疆伊犁哈萨克·质量监测）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请　　　　　　　　个球队参加比赛 60．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区博州地区·期末）为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边的长． 61．（25-26学年九上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期末）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本元．试销期间发现每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） （1）求与之间的函数关系式； （2）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 62．（25-26学年九上·新疆生产建设兵团·期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $