专题03 轴对称（期中真题汇编，新疆专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）下列四个标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）下列关于桥梁结构的图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下面四个垃圾分类图标中的图案，可看作轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩．中国队跳水项目包揽8金，射击、乒乓球和举重各夺5金，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是 （     ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）下列图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则度数为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图图案中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  20．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A. 打喷嚏捂口鼻 B. 戴口罩讲卫生 C. 喷嚏后慎揉眼 D. 勤洗手勤通风 21．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）下列图案中是轴对称图形的有（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，将一张长方形纸片折叠后再展开，若，则的度数为　　　　　　． 23．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A配合，若已知BE = 4 cm，DE = 3 cm，则△ABC的周长与△ADC的周长的差为　　　　　　　　． 24．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 　　　　　　　　　． 25．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 2．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列图形中对称轴条数最多的是（       ）. A. 等边三角形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 线段 3．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列尺规作图中，能判断线段是中边上的中线的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）下面图形中，对称轴最多的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，中，，是的垂直平分线，垂足为，交于，若，的周长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）下列命题中，逆命题成立的有（     ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 14．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为　　　　　　　 15．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 　　　　　　． 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为　　　　　　　cm． 17．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 18．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到两条公路的距离相等． 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ．（                       ）（填推理的依据） ________． ， ． ________． ． ．（                    ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 20．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 22．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是　　　　　　　　． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）点关于轴的对称点是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称为点P1，则点P1的坐标是（　　） A.  B.  C. (-3，-4) D.  4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若坐标平面上点P(a，1)与点Q(-4，b)关于x轴对称，则(   ) A. a=4，b=-1 B. a=-4，b=1 C. a=-4，b=-1 D. a=4，b=1 6．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知点，关于轴对称，则　　　　　　　． 11．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别在边长为1的格点上． （1）作出关于y轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置． 13．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）点关于x轴的对称点坐标是　　　　　　． 14．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标：(             ，             )，(             ，             )，(             ，             )． 15．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 17．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如果点P关于x轴的对称点的坐标为，那么点P关于y轴的对称点的坐标为　　　　　　． 18．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x＋y＝　　　　　． 20．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 21．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： （1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）； （2）求三角形的面积； （3）在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 22．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在平面直角坐标系中，，，． （1）计算的面积是 　　； （2）在图中作出关于x轴对称的图形． 23．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）若点关于轴对称，则　　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 24．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 25．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）点和点关于轴对称，则　　　　　　　　． 26．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出关于y轴对称的三角形； （2）直接写出，，的坐标； （3）直接写出的面积． 27．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 28．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）在轴上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点（不必写过程，但要保留作图痕迹），并说明理由． 29．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出与关于y轴对称的； （2）求的面积． 30．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 31．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）画出与关于轴对称的图形； （2）画出的边上的高． 32．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中． （1）求三角形的面积； （2）画出关于轴对称的图形，并直接写出各顶点的坐标． 33．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 34．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知：如图，已知三个点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的图形；写出各顶点坐标； （2）求的面积． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，，且点D为上一点，，则为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（     ） A. 11 B. 14 C. 13 D. 19 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  7．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，若于，于，且，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（     ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 10．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（     ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 11．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A. 45n mile B. 30n mile C. 20n mile D. 15n mile 12．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A(3，1)，点 P 在 x 轴上，若以 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（     ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 13．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（       ）    ①；②平分；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在四边形中，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 15．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C.  D. CD=BD 17．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 18．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 19．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（       ） A.  B. 或 C. 或或 D. 或或 20．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（       ） A.  B.  C.  D.  21．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，中是的平分线，是边上一点，且，若，，那么　　　　　　　　. 22．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，，的中垂线交于点，交于点．求证：平分． 23．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）已知等腰的一个外角的度数为，则其底角的度数为　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由． 27．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）已知，在中，，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，，若平分，求证：． 28．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，在中，． （1）在上求作点E，使，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 29．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，在中，，平分，若，则点D到直线的距离　　　　　． 30．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 31．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形． 33．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则　　　　°．  35．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 36．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 37．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，某轮船以20海里时的速度自西向东航行，在处测得有一小岛在北偏东的方向上，航行了2小时到达处，该小岛在北偏东的方向上，则轮船在处时与小岛的距离是　　　　　海里． 38．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹）； （2）应用与计算：若，求的长． 39．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　　　　　． 40．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，，，的垂直平分线交于点D．求的度数． 41．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点，．    （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 42．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为　　　　　　　　　　　 43．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，，． （1）尺规作图：作的角平分线（保留作图痕迹）； （2）若的面积为3，求的面积． 44．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）在中，，，交于点，，则的长为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小，则的度数为　　　　　　． 48．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，把一张长方形的纸ABCD沿EF折叠，重合部分是△MEF．问：△MEF是等腰三角形吗？为什么？ 49．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 50．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知，，． （1）如图1，证明：； （2）如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 51．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 52．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是　　　　　个 ①是的平分线；②；③点在的垂线上且这条垂线平分线段；④ 53．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，，，是的角平分线，则的长为　　　　　　． 54．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在中，点在边上，，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 55．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 　　　cm． 56．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）求证：垂直平分． （2）若，，，求的长． 57．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，，，点在上且，连结，则　　　　　　　　. 58．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在中，：：1：2：3，于点D，若，则　　　　　　 59．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是          ； （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 60．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为　　　　　　　． 61．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 62．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 63．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 64．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 　　　　　　　　． 65．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 66．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． （1）如图①，若，写一个未知角的度数：___________； （2）如图②，连接，交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 67．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 68．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ． （1）证明：CP=CQ； （2）求∠PCQ的度数； （3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形． 69．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为            ，的度数为          ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 70．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是　　　　　　　　（填序号） 71．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）在中，，是的角平分线，于点E． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． （3）如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，为等边三角形，，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 3．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题的逆命题不成立的是（     ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的三组对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 若，则a与b互为相反数 4．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论： ①是等边三角形； ②四边形的面积是一个定值； ③当时，的周长最小； ④当时，也平行于． 其中正确的是（     ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    （1）求证：； （2）若，，求的长． 6．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，，都是等边三角形．求证： 7．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是　　　　　　． 9．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 10．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，若，求证：F为中点． 11．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 13．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　　　　　　． 14．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　　　　　　　　°． 15．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 16．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是　　　　　　三角形． 17．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？请直接写出的度数． 18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)． (1)求证：∠BAD=∠EDC； (2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM． 19．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）下列四个标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故不符合要求； B、不是轴对称图形，故不符合要求； C、是轴对称图形，故符合要求； D、不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 4．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】 解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）下列关于桥梁结构的图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下面四个垃圾分类图标中的图案，可看作轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 9．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据中心对称图形的定义结合题目中的图形逐个判断即可解答． 【详解】 解：、 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、 是中心对称图形，故本选项符合题意； 、 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩．中国队跳水项目包揽8金，射击、乒乓球和举重各夺5金，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是 （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此分析即可． 【详解】 解：A、B、C均不能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意，D选项能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故符合题意， 故选：D． 11．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）下列图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此判定即可． 【详解】 A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质、折叠的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理和外角的性质是解答本题的关键．根据三角形外角的性质可得，再根据翻折的性质可得，运用三角形内角和定理可得，进而由即可解答． 【详解】 解：， ， 根据翻折的性质， ∵在中， ∴． 故选：B 13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 14．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】 解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 15．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】 解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 17．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】 解：作关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为12，长为6， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是4， 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】 解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 19．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图图案中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解： A、不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故A符合题意； B、C、D、能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故B、C、D不符合题意； 故选：A． 20．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A. 打喷嚏捂口鼻 B. 戴口罩讲卫生 C. 喷嚏后慎揉眼 D. 勤洗手勤通风 【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．沿图形中线轴对称，是轴对称图形，故本选项符合题意； C．没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 21．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）下列图案中是轴对称图形的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形的定义判断即可； 【详解】 A是中心对称图形，不符合题意， B不是轴对称，不符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，符合题意； 故答案选D． 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的判定，准确分析判断是解题的关键． 22．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，将一张长方形纸片折叠后再展开，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】>度 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质可得，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此计算求解即可． 【详解】 解：如图所示，由折叠得， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A配合，若已知BE = 4 cm，DE = 3 cm，则△ABC的周长与△ADC的周长的差为　　　　　　　　． 【答案】8cm 【分析】 根据题意易得BD=AD，BE=AE，然后把△ABC的周长与△ADC的周长分别表示出来，然后进行求解即可． 【详解】 解：由将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A配合，BE = 4 cm， BD=AD，BE=AE=4cm， ， ； 故答案为8cm． 【点睛】 本题主要考查折叠的性质与三角形周长，关键是根据折叠得到线段的相等，然后根据题意直接求解即可． 24．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 　　　　　　　　　． 【答案】}度 【分析】 本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案． 【详解】 解：四边形为长方形， ． 在直角三角形中， ， ， 根据折叠重合的角相等，得． ， ， 再根据折叠的性质得到． 故答案为：． 25．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=　　　　　． 【答案】 【分析】 由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】 ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质解答即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】 解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：． 2．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列图形中对称轴条数最多的是（       ）. A. 等边三角形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 线段 【答案】B 【分析】 根据对称轴的定义逐一判断出每种图形的对称轴条数，然后即可得出结论． 【详解】 解：A． 等边三角形有3条对称轴；        B． 正方形有4条对称轴；        C． 等腰三角形有1条对称轴；        D． 线段有2条对称轴． ∵4＞3＞2＞1 ∴正方形的对称轴条数最多． 故选B． 【点睛】 此题考查的是轴对称图形对称轴条数的判断，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键． 3．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列尺规作图中，能判断线段是中边上的中线的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查作图-基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线的定义判断即可． 【详解】 解：观察图形可知，选项B中，故线段是的中线， 故选：B． 4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 过点A作BC的垂线，垂足为D， 故选B． 【点睛】 考点：作图—基本作图． 6．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）下面图形中，对称轴最多的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了对称轴图形的对称轴数量，根据轴对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【详解】 解：选项A的图形有四条对称轴，选项B的图形有一条对称轴，选项C的图形有两条对称轴，选项D的图形有三条对称轴， 所以对称轴最多的是A． 故选：A． 7．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可． 【详解】 解：∵AB的垂直平分线交BC于D， ∴AD=BD， ∵AC=3，BC=4 ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7． 故选A． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 8．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，中，是的垂直平分线，垂足为，交于，若，的周长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形的周长公式及题意可进行求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴； 故选D． 9．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．根据垂直平分线的性质，得；根据的周长为9，则，的周长为：，，即可计算结果． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】 解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 11．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）下列命题中，逆命题成立的有（     ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了写出命题的逆命题，命题真假的判定，判断每个命题的逆命题是否正确，需先写出逆命题，再根据相关定理判断其真假． 【详解】 解：①原命题：同旁内角互补，两直线平行． 逆命题：两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线性质，两直线平行时同旁内角互补，逆命题成立． ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角． 相等的角不一定是直角（如角），逆命题不成立． ③原命题：全等三角形的对应边相等． 逆命题：对应边相等的三角形全等． 根据全等三角形判定定理，三边对应相等的三角形全等，逆命题成立． ④原命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 逆命题：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据垂直平分线判定定理，逆命题成立． 综上，逆命题成立的为①、③、④，共3个， 故选C． 12．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 作A关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过A作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】 解：作A关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， ∵， ∴， 过作于，交于， ∵垂线段最短， ∴最小， ∴的值最小，的最小值， 过A作于， ∵的面积为10，长为4， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是5， 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 13．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，分别是和的高， 在与中， ， ， ， 垂直平分；     （2）3．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）由，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 14．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为　　　　　　　 【答案】2 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：2． 15．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 　　　　　　． 【答案】42° *度 【分析】 由作图可知，根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题． 【详解】 解：∵AD＝AB，∠A＝32°， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°， 由作图可知，EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A＝32°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由作图得到是解题的关键． 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为　　　　　　　cm． 【答案】14 【分析】 本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】 解：由作图可得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 17．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到两条公路的距离相等． 【答案】解：如图，点P为所求． 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P点． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ．（                       ）（填推理的依据） ________． ， ． ________． ． ．（                    ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；等角对等边      【分析】 本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． (1) 小问详解： 解：作法：① 以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③ 连接． (2) 小问详解： 直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；等角对等边． 20．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，若，则　　　　　　　　（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 利用基本作图得到，垂直平分，则，设，所以，根据三角形外角性质得到，再根据三角形内角和定理得到，所以，然后利用得到． 【详解】 解：由作法得，垂直平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，求出即可． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标；根据关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，解答即可． 【详解】 解：点关于x轴对称的点是：， 故选：B． 2．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）点关于轴的对称点是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点是， 故选：． 3．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称为点P1，则点P1的坐标是（　　） A.  B.  C. (-3，-4) D.  【答案】B 【分析】 根据关于轴对称点的坐标特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）即可求解． 【详解】 解：点关于y轴的对称为点， 故选：B 【点睛】 此题考查关于轴对称的点，解题的关键是熟知关于轴对称点的坐标特点． 4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可. 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A 【点睛】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律： (1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 5．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若坐标平面上点P(a，1)与点Q(-4，b)关于x轴对称，则(   ) A. a=4，b=-1 B. a=-4，b=1 C. a=-4，b=-1 D. a=4，b=1 【答案】C 【详解】 由题意得a=-4，b=-1 故选∶C． 【点睛】 本题考查了坐标与图形变化-轴对称，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 6．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论． 【详解】 解：点与点关于y轴对称， ∴，， ∴在第一象限， 故选：A． 【点睛】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，关于y轴对称的点的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】 解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 8．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：A． 9．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．由此即可得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）已知点，关于轴对称，则　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了点与坐标，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此作答即可． 【详解】 解：因为点，关于轴对称， 所以，， 故， 故答案为：7． 11．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，即， 因此对称点的坐标为． 故答案为 12．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别在边长为1的格点上． （1）作出关于y轴的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （2） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，写出点，，的坐标即可； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）点关于x轴的对称点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，来求解点关于轴的对称点坐标． 【详解】 解：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 已知点，所以其关于轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为，即． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标：(             ，             )，(             ，             )，(             ，             )． 【答案】（1） 即为所求作的三角形，如图所示，      （2）；；；；1；2      【分析】 本题主要考查作图−轴对称变换，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数”解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得：，，． 15．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 【答案】（1） 即为所求；      （2） 点P即为所求： P点的坐标为．     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小 （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标． （3）连接关于x轴的对称点和点C，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知， ， 故答案为： (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如果点P关于x轴的对称点的坐标为，那么点P关于y轴的对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标的规律；本题先求解点P的坐标为，再求解P关于y轴对称的点的坐标即可；熟记关于x轴对称的两个点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解本题的关键． 【详解】 解：∵点P关于x轴的对称点的坐标是， ∴点P的坐标为， ∴点P关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为： 18．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 由题意得：点关于轴对称的点为， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x＋y＝　　　　　． 【答案】﹣5 【分析】 利用关于x轴对称的点的坐标特点可得x、y的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称， ∴x＝﹣2，y＝﹣3， ∴x＋y＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点睛】 本题考查了坐标与图象变化的轴对称问题，如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数．相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变． 20．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析     （2），，     （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变化，点的坐标，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据关于轴对称点的坐标标出对应点，再连接即可； （2）根据（1）写出各点的坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：点，，的坐标分别为，，． (3) 小问详解： 解：． 21．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： （1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）； （2）求三角形的面积； （3）在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）     （3） 如图， 【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 22．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在平面直角坐标系中，，． （1）计算的面积是 　　； （2）在图中作出关于x轴对称的图形． 【答案】（1）4     （2） 如图，即为所求． 【分析】 （1）利用割补法求的面积即可； （2）利用关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，先求出A、B、C对称点坐标，，，然后描点顺次连接线段，．即可． (1) 小问详解： 解：的面积． 故答案为：4； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了用割补法求三角形面积和用描点法画轴对称图形，掌握以上知识是解题的关键． 23．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）若点关于轴对称，则　　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 【答案】① 2    ② 4 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 24．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），     （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得：，； (3) 小问详解： 解：的面积为． 25．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）点和点关于轴对称，则　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键；因此此题可根据点的坐标关于坐标轴对称“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”进行求解即可． 【详解】 解：由点和点关于轴对称，可知：， ∴； 故答案为0． 26．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出关于y轴对称的三角形； （2）直接写出，，的坐标； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求；         （2），，     （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，根据关于y轴对称的点的特征，网格中求三角形面积： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所画图，写出对应点坐标即可； （3）利用割补法，利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，，； (3) 小问详解： 解：由图可知，． 27．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析,     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 28．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）在轴上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点（不必写过程，但要保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】（1） 如图所示      （2）     （3） 解：如图所示，点P即为所求， ∵B和关于x轴对称， ∴， ∴，当共线时，最小      【分析】 本题考查了坐标的对称问题，熟练掌握对称点坐标的特征，正确作图是解题的关键． （1）画出各个顶点关于y轴的对应点，顺次连接起来即可； （2）根据纵不变，横相反，求出坐标，即可． （3）作出点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示， (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出与关于y轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）6      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求出对应点的坐标，然后连接三个顶点即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：略． (2) 小问详解： 解：的面积为． 30．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，，     （2） 解：如图，即为所求作： ，，，      【分析】 本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称的，写出坐标，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）画出与关于轴对称的图形； （2）画出的边上的高． 【答案】（1）如图，即为所求；     （2） 如图，取格点，连接交于，则即为所求； 【分析】 本题考查的是画轴对称图形，画三角形的高，全等三角形的判定与性质； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）如图，取格点，连接交于，则即为所求； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴为的边上的高． 32．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中． （1）求三角形的面积； （2）画出关于轴对称的图形，并直接写出各顶点的坐标． 【答案】（1）； （2）如图 ． 【分析】 （1）利用割补法求解可得； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；根据图形可直接得出各顶点的坐标． 【详解】 解：（1）如图； （2）略． 【点睛】 本题主要考查三角形面积的求法以及复杂作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点． 33．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）或      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）设点的坐标为，由题意得：，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设点的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 34．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）已知：如图，已知三个点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的图形；写出各顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析，     （2）5      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、网格中图形的面积等知识点，掌握轴对称的性质以及割补法求面积是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可解答；然后写出点的坐标即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图：即为所求．． (2) 小问详解： 解：的面积为． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【分析】 可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形． 【详解】 解：如图， ∵DC平分∠ACE，且AB∥CD， ∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE ∴∠B＝∠A， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】 本题的考点是三角形外角的性质及平行线的性质.方法是先作出一个简单的三角形，再根据题意画出三角形即可得出答案. 2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图所示，在中，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出NM的长是解题的关键．延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】 解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，且点D为上一点，则为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和为是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（     ） A. 11 B. 14 C. 13 D. 19 【答案】B 【分析】 本题考查平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，内错角相等，以及等角对等边，是解题的关键．注意题目中既有角平分线又有平行线，往往会有等腰三角形．根据角平分线的定义，以及平行线的性质，得到均为等腰三角形即可得解． 【详解】 分别是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选择：B． 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的判定、等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可进行排除选项． 【详解】 解：① 两边及其它们的夹角相等的两个三角形全等，故原说法错误；② 等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线及顶角的角平分线互相重合，故原说法错误；③ 等腰三角形的两腰上的高相等，故原说法正确；④ 由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质定理可知等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故原说法正确； 所以正确的有2个； 故选B． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】 解：是的角平分线，是的外角的平分线， ， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，若于，于，且，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据角平分线的判定得出平分，从而得出，根据三角形外角的性质得出，根据，得出，求出，，得出． 【详解】 解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴，故A错误； ∵， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴，， ∴，故D错误． 故选：B． 9．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知：如图，中，点是边上一点，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（     ） A. ①③⑤ B. ①④⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【分析】 证明，判断① ，角平分线结合全等三角形的性质，判断② ，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③ ，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④ ，证明，得到垂直平分，判断⑤ ． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故① 正确； ∵平分， ∴， ∴；故② 错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③ 正确； 在中， ∴，故④ 错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤ 正确； 故选：A． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 10．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，中，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（     ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 解：如图所示，连接，， 中，， ． 是的垂直平分线， ， ∴， ，即． 是的垂直平分线， ， ， 在中， ，即． 故选：B． 11．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A. 45n mile B. 30n mile C. 20n mile D. 15n mile 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质，求证∠C=∠NAC，然后即可证明BC=AB，从而求得B到C的距离． 【详解】∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°， ∴∠C＝84°﹣42°＝42°． ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB， ∵上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处， ∴BC＝AB＝15×2＝30n mile． 故选B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，灵活运用等腰三角形性质是解题的关键． 12．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A(3，1)，点 P 在 x 轴上，若以 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（     ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【分析】 分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出，找到满足条件的P点即可 【详解】 以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个； 以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″(O除外)，此时三角形是等腰三角形，即1个； 作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，则AP=OP，此时三角形是等腰三角形，即1个； 2+1+1=4    故选：C 【点睛】 本题是假设一点是x轴上的一点，可以满足已知条件的情况有几种，本题重点是三种情况都考虑到，不能遗漏. 13．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（       ）    ①；②平分；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可． 【详解】 解：延长交的延长线于点M，    ， ， ， 故① 选项符合题意； ， 是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故④ 选项符合题意， ， 平分， 故② 、⑤ 选项符合题意； 和的大小关系不确定， 故③ 选项不符合题意， 综上可知，正确的有① ② ④ ⑤ ， 故选：C． 14．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在四边形中，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，先由平行线的性质得到，，，再由角平分线的定义推出，进而由三线合一定理推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形；，即是等腰三角形； ，即是等腰三角形； ∴共有四个等腰三角形．分别是，，，， 故选：C． 15．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，在中，是高，则下列关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】 解：是边上的高线， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 16．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C.  D. CD=BD 【答案】C 【分析】 A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定； B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定； C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定. 【详解】 解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，所以B选项的结论正确； ∵∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误． 故选C． 【点睛】 此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算. 17．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 先根据垂直定义和等角的余角相等证得，再利用可判断① 正确；再证明可判断② 正确；利用全等三角形的面积相等可判断③ 正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④ 错误． 【详解】 在中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴，故① 正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴， 故③ 正确； 中， 故④ 错误， 综上，正确的是① ② ③ ， 故选：C． 18．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故① 正确；当时，可证明，即可得到，故② 正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③ 正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④ 不正确． 【详解】 解：∵， ， ，， ，故① 正确； 若， 由① 得， ， ，故② 正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③ 正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④ 不正确， 所以正确的为① ② ③ ， 故选：A． 19．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（       ） A.  B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】D 【分析】 本题考查了动点型问题，直角三角形，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论得思想是解题得关键； 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当→时，当→时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 【详解】 解：∵中，，， ∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ① 若， 当→时，∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当→时， ② 若时， 当→时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或， 故选：D． 20．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，等腰中，当的值最小时，的面积（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：过点作，使，连接，    ∵， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 连接交于， 在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ， 在和中， ， ， ， 过点作于， ， ， 的面积为． 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 21．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，中是的平分线，是边上一点，且，若，，那么　　　　　　　　. 【答案】5； 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，等量代换得到∠EDB=∠EBD，求得DE=BE，于是得到结论． 【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE， ∴AE=AB-BE=AB-DE=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 22．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，，的中垂线交于点，交于点．求证：平分． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵的中垂线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】 解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 24．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】 解：连接， 由题意， 由图知， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）已知等腰的一个外角的度数为，则其底角的度数为　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与角相邻的内角为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴当的角为等腰三角形的底角时，另外一个底角为， ∵， ∴的角不可能为该等腰三角形的底角， ∴的角为此等腰三角形的顶角， ∴其底角的度数为． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，已知中，是内一点，且，试说明的理由． 【答案】证明：在与中， ， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∵（已知） ∴（等腰三角形的三线合一） 【分析】 先证明，再利用全等三角形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用． 27．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）已知，在中，于点H． （1）求证：； （2）点D为外一点，若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ；     （2） 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ，                  ．      【分析】 本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，在中，． （1）在上求作点E，使，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图所示，点E即为所求；      （2） 证明：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）以A为圆心，以的长为半径画弧交于E（不与D重合），点E即为所求； （2）过点A作于H，根据三线合一定理得到，由此即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作图—作线段，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键． 29．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，在中，平分，若，则点D到直线的距离　　　　　． 【答案】3 【分析】 过点作于点，先根据直角三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，    在中，， ， 在中， ， 即点到直线的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键． 30．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，，平分交于点D．若，求的长度． 【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 31．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了最短路径、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是找到使的周长最小时点的位置．连接，，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得周长，然后根据三角形的面积求得即可解答． 【详解】 解：如图，连接，， ∵，是的中点， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当、、三点共线时，的周长最小，最小为， ∵，的面积为8， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：9． 32．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形． 【答案】（1）① ③，① ④，② ③，② ④     （2） 解：由①③ 判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，， ， ， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ①④ 判定是等腰三角形，理由如下： ， ， 又， ， 即：， ， 即是等腰三角形； 由② ③ 判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ② ④ 判定是等腰三角形，理由如下： ， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法． （1）根据三角形全等的判定得出答案； （2）选择① ③：证明，得出，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，又，得到，进而证出； 选择② ③：证明，得出，，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，根据三角形内角和定理得出，得到，进而证出． (1) 小问详解： 解：① ③，① ④根据证三角形全等即可；② ③、② ④根据等腰三角形的性质与判定即可； (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，即可得答案． 【详解】 解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是灵活运用含30度角的直角三角形的性质解决问题． 34．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则　　　　°．  【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，可设，再证明，得出，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵ ， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，，点D在边上，相交于点O．， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明一：∵，且， ∴ 又∵， ∴ 证明二：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 即 又∵ ∴     （2）70°      【分析】 （1）根据对顶角相等，可得．再根据，可得．从而得到，进而得到．即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质定理是解题的关键． 37．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，某轮船以20海里时的速度自西向东航行，在处测得有一小岛在北偏东的方向上，航行了2小时到达处，该小岛在北偏东的方向上，则轮船在处时与小岛的距离是　　　　　海里． 【答案】40 【分析】 首先根据题意可得的度数为，的度数为，由三角形的内角和定理可得的度数；利用等腰三角形的性质可得，易得结果． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， （海里） 处时与小岛的距离为40海里． 故答案为：40． 【点睛】 本题主要考查了与方向角有关的计算，等腰三角形的性质，证得为等腰三角形是解答此题的关键． 38．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹）； （2）应用与计算：若，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； ；     （2）．      【分析】 本题考查了尺规作图——作角平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）根据作角平分线的方法即可； （）由，则，然后通过角平分线定义，三角形内角和定理求得，从而有． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴． 39．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，，的垂直平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线性质的应用及等腰三角形的性质，先利用等腰三角形的性质求的度数，再根据线段垂直平分线的性质求的度数，最后通过角的和差关系求的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点，．    （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分平分， ． ， ， ， ． 是等腰三角形；     （2）．      【分析】 （1）由角平分线的定义和平行线的性质，得出，再由等角对等边的性质，即可证明结论； （2）取的中点，连接．证明，得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，得出，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取的中点，连接．    ， ， 在和中， ． ． 又是边上的中线， 平分，即． ． ， ， 解得． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 42．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线（保留作图痕迹）； （2）若的面积为3，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求作的角平分线．      （2）6      【分析】 本题主要考查了尺规作图—作角平分线，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据作一个角等于已知角的方法，进行作图即可； （2）根据含角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，得出，最后求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为3， ∴． 44．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为　　　　　　　． 【答案】n度 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】124°或76°或28° 【分析】 题目要求∠OEC的度数，而没有告诉∠OEC是等腰△OCE的顶角还是底角，由此此题要分类讨论;由角平分线的定义先求出∠AOC的度数，再分OE=CE、OC=CE、OE=OC进行讨论，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠OEC的度数. 【详解】 ∵∠AOB=56°，0C平分∠AOB, ∴∠AOC=28°,    ① 当E在时，OE=CE, ∵∠AOC=∠OCE=28° ∴∠OEC'=180°-28°-28°=124°， ② 当E在点时，OC=OE,可得： =(1) /(2) ( 180^°-28^° )=76^° ③ 当E在时，OC'=CE, 则∠OEC=∠A0C=28°, 故答案为: 124°或76°或28°. 【点睛] 本题考查等腰三角形内角的题目，解决本题的关键是结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答. 46．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）在中，，交于点，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查含角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质． 在中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出，由，，可得，，从而可得，进而可得的长． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在五边形中，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质等知识，根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案，根据已知得出，的位置是解题的关键． 【详解】 解：如图，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则，，即为的周长最小，作的延长线，      ∵， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，把一张长方形的纸ABCD沿EF折叠，重合部分是△MEF．问：△MEF是等腰三角形吗？为什么？ 【答案】是等腰三角形， 理由如下： 四边形是长方形， ， 长方形的纸沿折叠，重合部分是， ， ， ， 即是等腰三角形． 【分析】 根据四边形是长方形，得，由长方形的纸沿折叠，重合部分是，得，从而，即得，是等腰三角形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查长方形中得折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及平行线的性质． 49．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）在中，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ． 50．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知，，． （1）如图1，证明：； （2）如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1） 证明: ， ，即， 又，， ．     （2） 解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2） 解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 52．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是　　　　　个 ①是的平分线；②；③点在的垂线上且这条垂线平分线段；④ 【答案】4 【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质． 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】 解：由作法得平分， 所以①正确； ∵，， ∴，， ∴，所以②正确； ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点在的垂线上且这条垂线平分线段，所以③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ，所以④正确． ∴正确的有① ② ③ ④ ， 故答案为：4． 53．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，，是的角平分线，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质（三线合一），运用直接推理思想．解题关键是识别出是等腰三角形，结合角平分线的条件，利用“三线合一”得出是的中线；易错点是对“三线合一”的适用条件理解不清，误判的性质． 首先由，可知是等腰三角形．其次因为是的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”，可得也是边上的中线，即．最后已知，所以． 【详解】 在中，所以是等腰三角形． 是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”， 也是边上的中线． ． ， ． 故答案为：． 54．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在中，点在边上，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等，进而推导线段垂直平分线的条件． （1）证明，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： ， 在与中， (2) 小问详解： 如图， 即过点的直线垂直平分． 55．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 　　　cm． 【答案】4 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得∠ACD=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】 解：∵AC＝BC，∠B＝15°， ∴∠BAC=∠B=15°， ∴∠ACD=2∠B=30°， ∵AD⊥BD，AC＝8cm， ∴AD= AC=4cm， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 56．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）求证：垂直平分． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：设，的交点为K，    平分，，， ． ，， ． 在和中， ， ∴≌． ． 又，， ∴≌， ，， 是线段的垂直平分线；     （2）6      【分析】 （1）根据角平分线的性质定理可知，再证明≌，推出，进而证明≌，可知，，即可证明垂直平分； （2）根据，，利用三角形面积公式可以求得的长度，再证明，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ，即， ． 在四边形中，， ， ， 在中，． 即的长为6． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式、含30度的直角三角形的性质等，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识． 57．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，，点在上且，连结，则　　　　　　　　. 【答案】10 【分析】 根据三角形的内角和定理求出度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出即可求出度数. 【详解】 解：中，， . ， . ，， ， ， . 故答案为：10. 【点睛】 本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式. 58．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在中，：：1：2：3，于点D，若，则　　　　　　 【答案】2.5 【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=AB=5， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=BC=2.5． 故答案为2.5． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键． 59．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是          ； （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)、直角三角形；(2) 、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°. 【分析】 (1) 、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形； (2) 、分类讨论：当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算． 【详解】 (1) 、∵△ABC中，AC=BC， ∴∠A=∠B===30°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=30°， 又∵∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°， ∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，    ∴△ACD是直角三角形； 故答案为:直角三角形 (2) 、△ECD可以是等腰三角形．理由如下： ① 当∠CDE=∠ECD时，EC=DE， ∴∠ECD=∠CDE=30°， ∵∠AED=∠ECD+∠CDE， ∴∠AED=60°， ② 当∠ECD=∠CED时，CD=DE， ∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°， ∴∠CED===75°， ∴∠AED=180°﹣∠CED=105°， ③ 当∠CED=∠CDE时，EC=CD， ∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠ACB=120°， ∴此时，点D与点B重合，不合题意． 综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105° 60．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当三点共线时，周长最小为的长． 【详解】 ∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称，连接，交于点P， ∵， ∴周长， 当三点共线时，周长最小， ∵为边的中点， ∴， 的面积为， ， ， ， 的周长的最小值， 故答案为：． 61．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在△和△中， ， ．     （2）      【分析】 （1）由，推导出，而，，即可根据“”证明，则； （2）由，，求得，则，由，得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 【点睛】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理，证明是解题的关键． 62．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形．     （2）32      【分析】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 63．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一）     （3）不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 64．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 根据题意，在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故① 正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③ 正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③ 设，，则，故④ 正确． 【详解】 解：在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故② 错误； 在中，和的平分线相交于点， ∴，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故④ 正确； 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点到各边的距离相等，故③ 正确． 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义及性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 65．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）已知，如图，为等边三角形，相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 66．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． （1）如图①，若，写一个未知角的度数：___________； （2）如图②，连接，交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） 证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【分析】 （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 67．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 68．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ． （1）证明：CP=CQ； （2）求∠PCQ的度数； （3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形． 【答案】（1）证明：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴CP=CD=CQ； （2）∠PCQ=120°； （3）△PDQ是等边三角形. 【分析】 (1)由折叠直接得到结论； (2)由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°； (3)先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可． 【详解】 (1)略 (2)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD， ∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°， ∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°； (3)△PDQ是等边三角形． 理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴AD=AP，∠DAC=∠PAC， ∵∠DAC=30°， ∴∠PAD=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PD=AD，∠ADP=60°， 同理：△BDQ是等边三角形， ∴DQ=BD，∠BDQ=60°， ∴∠PDQ=60°， ∵当点D在AB的中点， ∴AD=BD， ∴PD=DQ， ∴△DPQ是等边三角形 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 69．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为            ，的度数为          ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；     （2），；理由见解析     （3）①；②，理由见解析      【分析】 （1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）① 作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ② 延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：① 过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ② 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 70．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知在和中，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是　　　　　　　　（填序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定是解题的关键．证明，则 ， ，可判断① 的正误；由，可得 ，即 ，可判断② 的正误；作 于 G，于 H ，则，由，，可得   是 的平分线，可判断④ 的正误；若③ 成立，则，得到，即，结合题意可知，不一定等于 ，可判断③ 的正误． 【详解】 解：∵    ，    ∴ ，即 ，    ∵ ， ，，    ∴ ，    ∴ ， ，故① 正确；    ∴ ， ∴，即 ，故② 正确；    如图，作 于 G，于 H ，    ∵ ∴，    ∵， ，    ∴是的平分线， ∴ ， 由② 可知，即 ∴，故④ 正确；    若③ 成立，即， 则， 由④ 可知， ∴ ，    由① 可知， ∴， ∴，由题知，不一定等于， ∴ 不平分，故③ 错误；    综上，正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 71．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）在中，是的角平分线，于点E． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． （3）如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1所示：     在中， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2） 如图2所示：      （3） 结论：． 证明：延长至H，使得． 由（2）得，， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形； （2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 如图2所示：延长使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，等腰三角形的判定，根据已知作出正确的辅助线是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在等边三角形中，于点D，由等边三角形的性质得到，由得到是等腰三角形，利用等边对等角即可得到答案． 【详解】 解：在等边三角形中，于点D， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：D 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一和等边对等角是解题的关键． 2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】 提示：如图，连接． ，是等边三角形， ，， ， ， ， 平分， ，，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值， 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选：B． 3．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题的逆命题不成立的是（     ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的三组对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 若，则a与b互为相反数 【答案】C 【分析】 本题考查了逆命题、平行线的判定、全等三角形的判定、等边三角形等知识，正确写出逆命题是解题关键．先写出每个命题的逆命题，再根据平行线的判定、全等三角形的判定、等边三角形、相反数的定义逐项判断即可得． 【详解】 解：A、逆命题：同位角相等，两直线平行；成立，则此项不符合题意； B、逆命题：三组对应边相等的两个三角形是全等三角形；成立，则此项不符合题意； C、逆命题：锐角三角形是等边三角形；不成立，反例：三个内角分别为的三角形，是锐角三角形，但不是等边三角形，则此项符合题意； D、若与互为相反数，则；成立，则此项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论： ①是等边三角形； ②四边形的面积是一个定值； ③当时，的周长最小； ④当时，也平行于． 其中正确的是（     ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称的最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地做出辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，如图所示：根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故① 正确；根据全等三角形 到现在得到，求得，即，推出四边形的面积是一个定值，故② 正确；根据垂线段最短，得到的值最小，当最小时，的周长最小，于是得到当时，最小，的周长最小，故③ 正确；根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行，故④ 错误； 【详解】 解：过点作于点，于点，如图所示： ， ∵点是的平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故① 正确； ∵， ∴， ∴， 即， ∵点是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故② 正确； ∵， ∴点与重合， ∵垂线段最短， ∴的值最小， 当最小时，的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小，故③ 正确； ∵，，如图： ， ∵， ∴， ∴一定与不平行，故④ 错误． 综上所述：① ② ③ 正确， 故选：D； 5．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的灵活运用是结果的关键． （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解； （2）根据等边三角形的性质可求出的值，根据，可求出的值，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，都是等边三角形．求证： 【答案】证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∵ ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质得到，，，进而由得到，利用“”即可证明，得到，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】 略 7．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE ∴在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE=CD. 【详解】 试题分析：根据△ABC和△BDE都是等边三角形可得AB=BC，BE=BD，∠ABE=∠DBE=60°，即可证得△ABE≌△CBD，从而得到结论. 略 考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质 点评：全等三角形的判定和性质的应用是平面图形中极为重要的知识点，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注. 8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键．首先证明，得到，得到是等边三角形，判断② 正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到① ③ 正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为，判断④ 正确． 【详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故② 正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，故① 正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是的边上的中线， ∴，故③ 正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，故④ 正确， 综上所述，① ② ③ ④ 都正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 9．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1）不变，     （2）或     （3）不变，．      【分析】 （）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． (1) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； (3) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 10．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）已知，在等边△中，、分别为、边上的点，连接、相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，若，求证：F为中点． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， 又， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）得：， ∴，， ， 又， ∴， ， ∴， ， ，即， ，即F为中点．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，结合，利用可证明，则； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，在等腰中，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：． 【答案】证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 【分析】 此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】 略 13．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，点，在的同侧，，，点为的中点，若，则的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 14．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　　　　　　　　°． 【答案】60 【分析】 连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 15．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在和中，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 16．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）在中，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是　　　　　　三角形． 【答案】等边正 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 17．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）求的度数． （3）当为多少度时，是等腰三角形？请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明： 和都是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）50°     （3）125°或110°或140°      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用等边三角形的性质，根据证明，即可证明； （2）先根据得，再根据等边三角形的定义和周角的定义可得和的度数，最后根据三角形的内角和定理可得结论； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是等边三角形， ， ， ， 中，； (3) 小问详解： 解：由（2）知：，，， ① 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； ② 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； ③ 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； 综上，当为或或时，是等腰三角形． 18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)． (1)求证：∠BAD=∠EDC； (2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM． 【答案】证明：(1)如图1， ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E， 又∵DE=DA， ∴∠E=∠DAE， ∴∠BAD=∠EDC． (2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC， ∵DE=DA， ∴DM=DA， 由(1)可得，∠BAD=∠EDC， ∴∠MDC=∠BAD， ∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°， ∴∠MDC+∠ADB=120°， ∴∠ADM=60°， ∴△ADM是等边三角形， ∴AD=AM． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可. （2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质. 19．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D 11．A 12．B 13．C 14．D 15．A 16．B 17．B 18．C 19．A 20．B 21．D 22．【答案】>度 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质可得，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此计算求解即可． 【详解】 解：如图所示，由折叠得， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．【答案】8cm 【分析】 根据题意易得BD=AD，BE=AE，然后把△ABC的周长与△ADC的周长分别表示出来，然后进行求解即可． 【详解】 解：由将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A配合，BE = 4 cm， BD=AD，BE=AE=4cm， ， ； 故答案为8cm． 【点睛】 本题主要考查折叠的性质与三角形周长，关键是根据折叠得到线段的相等，然后根据题意直接求解即可． 24．【答案】}度 【分析】 本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案． 【详解】 解：四边形为长方形， ． 在直角三角形中， ， ， 根据折叠重合的角相等，得． ， ， 再根据折叠的性质得到． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】 ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D 11．C 12．C 13．【答案】（1） 证明：是的角平分线，分别是和的高， 在与中， ， ， ， 垂直平分；     （2）3．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）由，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 14．【答案】2 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：2． 15．【答案】42° *度 【分析】 由作图可知，根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题． 【详解】 解：∵AD＝AB，∠A＝32°， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°， 由作图可知，EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A＝32°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由作图得到是解题的关键． 16．【答案】14 【分析】 本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】 解：由作图可得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 17．【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】解：如图，点P为所求． 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P点． 【详解】 略 19．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；等角对等边      【分析】 本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． (1) 小问详解： 解：作法：① 以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③ 连接． (2) 小问详解： 直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；等角对等边． 20．【答案】 【分析】 利用基本作图得到，垂直平分，则，设，所以，根据三角形外角性质得到，再根据三角形内角和定理得到，所以，然后利用得到． 【详解】 解：由作法得，垂直平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 21．【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．【答案】 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，求出即可． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A 9．【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．由此即可得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．【答案】7 【分析】 本题考查了点与坐标，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此作答即可． 【详解】 解：因为点，关于轴对称， 所以，， 故， 故答案为：7． 11．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，即， 因此对称点的坐标为． 故答案为 12．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （2） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，写出点，，的坐标即可； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，来求解点关于轴的对称点坐标． 【详解】 解：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 已知点，所以其关于轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为，即． 故答案为：． 14．【答案】（1） 即为所求作的三角形，如图所示，      （2）；；；；1；2      【分析】 本题主要考查作图−轴对称变换，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数”解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得：，，． 15．【答案】（1） 即为所求；      （2） 点P即为所求： P点的坐标为．     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小 （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 16．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标． （3）连接关于x轴的对称点和点C，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知， ， 故答案为： (3) 小问详解： 略 17．【答案】 【分析】 本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标的规律；本题先求解点P的坐标为，再求解P关于y轴对称的点的坐标即可；熟记关于x轴对称的两个点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解本题的关键． 【详解】 解：∵点P关于x轴的对称点的坐标是， ∴点P的坐标为， ∴点P关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为： 18．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 由题意得：点关于轴对称的点为， 故答案为：． 19．【答案】﹣5 【分析】 利用关于x轴对称的点的坐标特点可得x、y的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称， ∴x＝﹣2，y＝﹣3， ∴x＋y＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点睛】 本题考查了坐标与图象变化的轴对称问题，如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数．相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变． 20．【答案】（1）图见解析     （2），，     （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变化，点的坐标，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据关于轴对称点的坐标标出对应点，再连接即可； （2）根据（1）写出各点的坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：点，，的坐标分别为，，． (3) 小问详解： 解：． 21．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）     （3） 如图， 【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 22．【答案】（1）4     （2） 如图，即为所求． 【分析】 （1）利用割补法求的面积即可； （2）利用关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，先求出A、B、C对称点坐标，，，然后描点顺次连接线段，．即可． (1) 小问详解： 解：的面积． 故答案为：4； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了用割补法求三角形面积和用描点法画轴对称图形，掌握以上知识是解题的关键． 23．【答案】① 2    ② 4 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 24．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），     （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得：，； (3) 小问详解： 解：的面积为． 25．【答案】0 【分析】 本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键；因此此题可根据点的坐标关于坐标轴对称“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”进行求解即可． 【详解】 解：由点和点关于轴对称，可知：， ∴； 故答案为0． 26．【答案】（1）如图所示，即为所求；         （2），，     （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，根据关于y轴对称的点的特征，网格中求三角形面积： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所画图，写出对应点坐标即可； （3）利用割补法，利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，，； (3) 小问详解： 解：由图可知，． 27．【答案】（1）见解析,     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 28．【答案】（1） 如图所示      （2）     （3） 解：如图所示，点P即为所求， ∵B和关于x轴对称， ∴， ∴，当共线时，最小      【分析】 本题考查了坐标的对称问题，熟练掌握对称点坐标的特征，正确作图是解题的关键． （1）画出各个顶点关于y轴的对应点，顺次连接起来即可； （2）根据纵不变，横相反，求出坐标，即可． （3）作出点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示， (3) 小问详解： 略 29．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）6      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求出对应点的坐标，然后连接三个顶点即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：略． (2) 小问详解： 解：的面积为． 30．【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，，     （2） 解：如图，即为所求作： ，，，      【分析】 本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称的，写出坐标，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）如图，即为所求；     （2） 如图，取格点，连接交于，则即为所求； 【分析】 本题考查的是画轴对称图形，画三角形的高，全等三角形的判定与性质； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）如图，取格点，连接交于，则即为所求； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴为的边上的高． 32．【答案】（1）； （2）如图 ． 【分析】 （1）利用割补法求解可得； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；根据图形可直接得出各顶点的坐标． 【详解】 解：（1）如图； （2）略． 【点睛】 本题主要考查三角形面积的求法以及复杂作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点． 33．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）或      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）设点的坐标为，由题意得：，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设点的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 34．【答案】（1）见解析，     （2）5      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、网格中图形的面积等知识点，掌握轴对称的性质以及割补法求面积是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可解答；然后写出点的坐标即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图：即为所求．． (2) 小问详解： 解：的面积为． 考点04 等腰三角形 1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 13．C 14．C 15．D 16．C 17．C 18．A 19．D 20．C 21．【答案】5； 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，等量代换得到∠EDB=∠EBD，求得DE=BE，于是得到结论． 【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE， ∴AE=AB-BE=AB-DE=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 22．【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵的中垂线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论． 【详解】 略 23．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】 解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 24．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】 解：连接， 由题意， 由图知， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与角相邻的内角为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴当的角为等腰三角形的底角时，另外一个底角为， ∵， ∴的角不可能为该等腰三角形的底角， ∴的角为此等腰三角形的顶角， ∴其底角的度数为． 故答案为：． 26．【答案】证明：在与中， ， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∵（已知） ∴（等腰三角形的三线合一） 【分析】 先证明，再利用全等三角形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用． 27．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ；     （2） 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ，                  ．      【分析】 本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】（1） 解：如图所示，点E即为所求；      （2） 证明：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）以A为圆心，以的长为半径画弧交于E（不与D重合），点E即为所求； （2）过点A作于H，根据三线合一定理得到，由此即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作图—作线段，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键． 29．【答案】3 【分析】 过点作于点，先根据直角三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，    在中，， ， 在中， ， 即点到直线的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键． 30．【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 31．【答案】9 【分析】 本题考查了最短路径、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是找到使的周长最小时点的位置．连接，，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得周长，然后根据三角形的面积求得即可解答． 【详解】 解：如图，连接，， ∵，是的中点， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当、、三点共线时，的周长最小，最小为， ∵，的面积为8， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：9． 32．【答案】（1）① ③，① ④，② ③，② ④     （2） 解：由①③ 判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，， ， ， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ①④ 判定是等腰三角形，理由如下： ， ， 又， ， 即：， ， 即是等腰三角形； 由② ③ 判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ② ④ 判定是等腰三角形，理由如下： ， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形．      【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法． （1）根据三角形全等的判定得出答案； （2）选择① ③：证明，得出，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，又，得到，进而证出； 选择② ③：证明，得出，，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，根据三角形内角和定理得出，得到，进而证出． (1) 小问详解： 解：① ③，① ④根据证三角形全等即可；② ③、② ④根据等腰三角形的性质与判定即可； (2) 小问详解： 略 33．【答案】3 【分析】 由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，即可得答案． 【详解】 解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是灵活运用含30度角的直角三角形的性质解决问题． 34．【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，可设，再证明，得出，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴， 故答案为：． 35．【答案】证明：∵ ， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 略 36．【答案】（1） 证明一：∵，且， ∴ 又∵， ∴ 证明二：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 即 又∵ ∴     （2）70°      【分析】 （1）根据对顶角相等，可得．再根据，可得．从而得到，进而得到．即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质定理是解题的关键． 37．【答案】40 【分析】 首先根据题意可得的度数为，的度数为，由三角形的内角和定理可得的度数；利用等腰三角形的性质可得，易得结果． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， （海里） 处时与小岛的距离为40海里． 故答案为：40． 【点睛】 本题主要考查了与方向角有关的计算，等腰三角形的性质，证得为等腰三角形是解答此题的关键． 38．【答案】（1） 如图，即为所求； ；     （2）．      【分析】 本题考查了尺规作图——作角平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）根据作角平分线的方法即可； （）由，则，然后通过角平分线定义，三角形内角和定理求得，从而有． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴． 39．【答案】度 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线性质的应用及等腰三角形的性质，先利用等腰三角形的性质求的度数，再根据线段垂直平分线的性质求的度数，最后通过角的和差关系求的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 41．【答案】（1） 证明：平分平分， ． ， ， ， ． 是等腰三角形；     （2）．      【分析】 （1）由角平分线的定义和平行线的性质，得出，再由等角对等边的性质，即可证明结论； （2）取的中点，连接．证明，得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，得出，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取的中点，连接．    ， ， 在和中， ． ． 又是边上的中线， 平分，即． ． ， ， 解得． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 42．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 43．【答案】（1） 如图，即为所求作的角平分线．      （2）6      【分析】 本题主要考查了尺规作图—作角平分线，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据作一个角等于已知角的方法，进行作图即可； （2）根据含角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，得出，最后求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为3， ∴． 44．【答案】n度 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故答案为：． 45．【答案】124°或76°或28° 【分析】 题目要求∠OEC的度数，而没有告诉∠OEC是等腰△OCE的顶角还是底角，由此此题要分类讨论;由角平分线的定义先求出∠AOC的度数，再分OE=CE、OC=CE、OE=OC进行讨论，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠OEC的度数. 【详解】 ∵∠AOB=56°，0C平分∠AOB, ∴∠AOC=28°,    ① 当E在时，OE=CE, ∵∠AOC=∠OCE=28° ∴∠OEC'=180°-28°-28°=124°， ② 当E在点时，OC=OE,可得： =(1) /(2) ( 180^°-28^° )=76^° ③ 当E在时，OC'=CE, 则∠OEC=∠A0C=28°, 故答案为: 124°或76°或28°. 【点睛] 本题考查等腰三角形内角的题目，解决本题的关键是结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答. 46．【答案】 【分析】 本题考查含角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质． 在中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出，由，，可得，，从而可得，进而可得的长． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 此题主要考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质等知识，根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案，根据已知得出，的位置是解题的关键． 【详解】 解：如图，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则，，即为的周长最小，作的延长线，      ∵， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 48．【答案】是等腰三角形， 理由如下： 四边形是长方形， ， 长方形的纸沿折叠，重合部分是， ， ， ， 即是等腰三角形． 【分析】 根据四边形是长方形，得，由长方形的纸沿折叠，重合部分是，得，从而，即得，是等腰三角形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查长方形中得折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及平行线的性质． 49．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ． 50．【答案】（1） 证明: ， ，即， 又，， ．     （2） 解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2） 解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 52．【答案】4 【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质． 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】 解：由作法得平分， 所以①正确； ∵，， ∴，， ∴，所以②正确； ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点在的垂线上且这条垂线平分线段，所以③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ，所以④正确． ∴正确的有① ② ③ ④ ， 故答案为：4． 53．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质（三线合一），运用直接推理思想．解题关键是识别出是等腰三角形，结合角平分线的条件，利用“三线合一”得出是的中线；易错点是对“三线合一”的适用条件理解不清，误判的性质． 首先由，可知是等腰三角形．其次因为是的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”，可得也是边上的中线，即．最后已知，所以． 【详解】 在中，所以是等腰三角形． 是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”， 也是边上的中线． ． ， ． 故答案为：． 54．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等，进而推导线段垂直平分线的条件． （1）证明，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： ， 在与中， (2) 小问详解： 如图， 即过点的直线垂直平分． 55．【答案】4 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得∠ACD=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】 解：∵AC＝BC，∠B＝15°， ∴∠BAC=∠B=15°， ∴∠ACD=2∠B=30°， ∵AD⊥BD，AC＝8cm， ∴AD= AC=4cm， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 56．【答案】（1） 证明：设，的交点为K，    平分，，， ． ，， ． 在和中， ， ∴≌． ． 又，， ∴≌， ，， 是线段的垂直平分线；     （2）6      【分析】 （1）根据角平分线的性质定理可知，再证明≌，推出，进而证明≌，可知，，即可证明垂直平分； （2）根据，，利用三角形面积公式可以求得的长度，再证明，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ，即， ． 在四边形中，， ， ， 在中，． 即的长为6． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式、含30度的直角三角形的性质等，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识． 57．【答案】10 【分析】 根据三角形的内角和定理求出度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出即可求出度数. 【详解】 解：中，， . ， . ，， ， ， . 故答案为：10. 【点睛】 本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式. 58．【答案】2.5 【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=AB=5， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=BC=2.5． 故答案为2.5． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键． 59．【答案】(1)、直角三角形；(2) 、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°. 【分析】 (1) 、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形； (2) 、分类讨论：当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算． 【详解】 (1) 、∵△ABC中，AC=BC， ∴∠A=∠B===30°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=30°， 又∵∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°， ∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，    ∴△ACD是直角三角形； 故答案为:直角三角形 (2) 、△ECD可以是等腰三角形．理由如下： ① 当∠CDE=∠ECD时，EC=DE， ∴∠ECD=∠CDE=30°， ∵∠AED=∠ECD+∠CDE， ∴∠AED=60°， ② 当∠ECD=∠CED时，CD=DE， ∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°， ∴∠CED===75°， ∴∠AED=180°﹣∠CED=105°， ③ 当∠CED=∠CDE时，EC=CD， ∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠ACB=120°， ∴此时，点D与点B重合，不合题意． 综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105° 60．【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当三点共线时，周长最小为的长． 【详解】 ∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称，连接，交于点P， ∵， ∴周长， 当三点共线时，周长最小， ∵为边的中点， ∴， 的面积为， ， ， ， 的周长的最小值， 故答案为：． 61．【答案】（1） 证明：， ， ， 在△和△中， ， ．     （2）      【分析】 （1）由，推导出，而，，即可根据“”证明，则； （2）由，，求得，则，由，得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 【点睛】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理，证明是解题的关键． 62．【答案】（1） 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形．     （2）32      【分析】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 63．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一）     （3）不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 64．【答案】① ③ ④ 【分析】 根据题意，在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故① 正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③ 正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③ 设，，则，故④ 正确． 【详解】 解：在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故② 错误； 在中，和的平分线相交于点， ∴，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故④ 正确； 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点到各边的距离相等，故③ 正确． 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义及性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 65．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 66．【答案】（1）（答案不唯一）     （2） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴；     （3） 证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【分析】 （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 67．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 68．【答案】（1）证明：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴CP=CD=CQ； （2）∠PCQ=120°； （3）△PDQ是等边三角形. 【分析】 (1)由折叠直接得到结论； (2)由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°； (3)先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可． 【详解】 (1)略 (2)∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD， ∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°， ∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°； (3)△PDQ是等边三角形． 理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴AD=AP，∠DAC=∠PAC， ∵∠DAC=30°， ∴∠PAD=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PD=AD，∠ADP=60°， 同理：△BDQ是等边三角形， ∴DQ=BD，∠BDQ=60°， ∴∠PDQ=60°， ∵当点D在AB的中点， ∴AD=BD， ∴PD=DQ， ∴△DPQ是等边三角形 【点睛】 本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 69．【答案】（1）；     （2），；理由见解析     （3）①；②，理由见解析      【分析】 （1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）① 作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ② 延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：① 过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ② 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 70．【答案】① ② ④ 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定是解题的关键．证明，则 ， ，可判断① 的正误；由，可得 ，即 ，可判断② 的正误；作 于 G，于 H ，则，由，，可得   是 的平分线，可判断④ 的正误；若③ 成立，则，得到，即，结合题意可知，不一定等于 ，可判断③ 的正误． 【详解】 解：∵    ，    ∴ ，即 ，    ∵ ， ，，    ∴ ，    ∴ ， ，故① 正确；    ∴ ， ∴，即 ，故② 正确；    如图，作 于 G，于 H ，    ∵ ∴，    ∵， ，    ∴是的平分线， ∴ ， 由② 可知，即 ∴，故④ 正确；    若③ 成立，即， 则， 由④ 可知， ∴ ，    由① 可知， ∴， ∴，由题知，不一定等于， ∴ 不平分，故③ 错误；    综上，正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 71．【答案】（1） 证明：如图1所示：     在中， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2） 如图2所示：      （3） 结论：． 证明：延长至H，使得． 由（2）得，， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形； （2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 如图2所示：延长使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，等腰三角形的判定，根据已知作出正确的辅助线是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．D 2．B 3．C 4．D 5．【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的灵活运用是结果的关键． （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解； （2）根据等边三角形的性质可求出的值，根据，可求出的值，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．【答案】证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∵ ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质得到，，，进而由得到，利用“”即可证明，得到，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】 略 7．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE ∴在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE=CD. 【详解】 试题分析：根据△ABC和△BDE都是等边三角形可得AB=BC，BE=BD，∠ABE=∠DBE=60°，即可证得△ABE≌△CBD，从而得到结论. 略 考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质 点评：全等三角形的判定和性质的应用是平面图形中极为重要的知识点，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注. 8．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键．首先证明，得到，得到是等边三角形，判断② 正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到① ③ 正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为，判断④ 正确． 【详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故② 正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，故① 正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是的边上的中线， ∴，故③ 正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，故④ 正确， 综上所述，① ② ③ ④ 都正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 9．【答案】（1）不变，     （2）或     （3）不变，．      【分析】 （）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． (1) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； (3) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 10．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， 又， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）得：， ∴，， ， 又， ∴， ， ∴， ， ，即， ，即F为中点．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，结合，利用可证明，则； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．【答案】18 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 12．【答案】证明：是等边三角形，是中线， ．（等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ． ． ． 【分析】 此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】 略 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 14．【答案】60 【分析】 连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 15．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 16．【答案】等边正 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 17．【答案】（1） 证明： 和都是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）50°     （3）125°或110°或140°      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用等边三角形的性质，根据证明，即可证明； （2）先根据得，再根据等边三角形的定义和周角的定义可得和的度数，最后根据三角形的内角和定理可得结论； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是等边三角形， ， ， ， 中，； (3) 小问详解： 解：由（2）知：，，， ① 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； ② 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； ③ 当时，是等腰三角形， 即， 解得：； 综上，当为或或时，是等腰三角形． 18．【答案】证明：(1)如图1， ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E， 又∵DE=DA， ∴∠E=∠DAE， ∴∠BAD=∠EDC． (2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC， ∵DE=DA， ∴DM=DA， 由(1)可得，∠BAD=∠EDC， ∴∠MDC=∠BAD， ∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°， ∴∠MDC+∠ADB=120°， ∴∠ADM=60°， ∴△ADM是等边三角形， ∴AD=AM． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可. （2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质. 19．【答案】 【分析】 作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $