精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级数学期中试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 八年级数学上册第13~15章（三角形+全等三角形+轴对称） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 5. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  11. 如图，点是内一点，、分别平分、，，则_______． 12. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_____． 13. 等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为__________． 14. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为___________． 15. 如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共6小题，满分55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 17. 如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到两条公路的距离相等． 18. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）在轴上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点（不必写过程，但要保留作图痕迹），并说明理由． 19. 如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形． 20. 小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 21. 如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． （1）如图①，若，写一个未知角度数：___________； （2）如图②，连接，交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 22 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学期中试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 八年级数学上册第13~15章（三角形+全等三角形+轴对称） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合； 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，据此概念对各选项逐一分析判断即可得答案． 【详解】A．能找到一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，不符合题意， B．找不到一条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，符合题意， C．能找到一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，不符合题意， D．能找到一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 3. 如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 4. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A. 3，4，5 B. 5，7，7 C. 10，6，4.5 D. 4，5，9 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解． 【详解】解：A、3＋4＞5，故正确，不符合题意； B、5＋7＞7，故正确，不符合题意； C、6＋4.5＞10，故正确，不符合题意； D、4＋5＝9，故错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5. 如图，中，分别为的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据中线平分三角形的面积即可得到. 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 11. 如图，点是内一点，、分别平分、，，则_______． 【答案】##122度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，由题意得：，求出；根据即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， 故答案为： 13. 等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为__________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等． 分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论． 【详解】若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 14. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了最短路径、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是找到使的周长最小时点的位置．连接，，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得周长，然后根据三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的中点，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当、、三点共线时，的周长最小，最小为， ∵，的面积为8， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故答案为：9． 15. 如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，即可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是灵活运用含30度角的直角三角形的性质解决问题． 三、解答题（本大题共6小题，满分55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 17. 如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到两条公路的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P点． 【详解】解：如图，点P为所求． 18. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）在轴上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点（不必写过程，但要保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】（1）见详解； （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了坐标的对称问题，熟练掌握对称点坐标的特征，正确作图是解题的关键． （1）画出各个顶点关于y轴的对应点，顺次连接起来即可； （2）根据纵不变，横相反，求出坐标，即可． （3）作出点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 解：如图所示，， 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求， ∵B和关于x轴对称， ∴， ∴，当共线时，最小 19. 如图所示，在中，分别是和上的一点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选择（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形． 【答案】（1）①③，①④，②③，②④ （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法． （1）根据三角形全等的判定得出答案； （2）选择①③：证明，得出，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，又，得到，进而证出； 选择②③：证明，得出，，根据等边对等角得出，进而得出，然后根据等角对等边即可得证； 选择①④：由等腰三角形的性质，得出，根据三角形内角和定理得出，得到，进而证出． 【小问1详解】 解：①③，①④根据证三角形全等即可；②③、②④根据等腰三角形的性质与判定即可； 【小问2详解】 解：由①③判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ①④判定是等腰三角形，理由如下： ， ， 又， ， 即：， ， 即是等腰三角形； 由②③判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，，， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ②④判定是等腰三角形，理由如下： ， ， ，， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． 20. 小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）合理，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园秋千高度设置合理． 21. 如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． （1）如图①，若，写一个未知角的度数：___________； （2）如图②，连接，交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 22. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $