专题10 随机事件的概率（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）事件“任意写一个数，这个数大于”属于（     ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 考点02 概率 1．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）小李有蓝色和绿色的弹珠共100个，这些弹珠除颜色外均相同，现将所有弹珠放入不透明的箱子中，混匀后任意取出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠，请你估计小李有多少个绿色的弹珠． 4．（24-25学年九上·陕西安康·期末）一个不透明的口袋中装有15支蓝色水彩笔和若干支红色水彩笔，这些水彩笔除颜色不同外其他都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一支水彩笔，记下颜色后放回袋中．通过大量重复试验后发现，摸到蓝色水彩笔的频率稳定在，请你估计口袋中红色水彩笔的支数． 5．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　　　　　　． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  第一题第二题 2．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  小霞               小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 3．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A.  B.  C.  D.  正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 6．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 9．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 10．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是　　　　　． 11．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是　　　　　　． 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 12．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为                       ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 14．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张外观相同的卡片，分别写有材料A：《论语》，材料B：《三字经》，材料C：《弟子规》，材料D：《千字文》．活动规则如下：将4张卡片洗匀后，小明先从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回洗匀，小亮再从盒子中任意抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读． （1）小明抽到的诵读材料是材料A：《论语》的概率是_______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率． 小明小亮 15．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德，小刚、小强计划利用寒假从A，B，C三处养老服务中心中，各自随机选择一处参加志愿服务活动，则两人选择的是不同的养老服务中心的概率是　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． （1）小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率．    小玉小洋 17．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 18．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 19．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是____________； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 20．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 22．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是　　　　　　　　． 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 23．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）现有四张外观、形状、大小完全相同的卡片，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、，则数字、的积为负数的概率为　　　　　　　　　　　． 积 0 2 3 1 0 0 0 0 0 0 2 0 4 6 3 0 6 9 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）某学校食堂准备了A、B、C、D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是　　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）在一个不透明的口袋中装有5张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4、5，随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字． （1）计算第一次摸出的纸牌上数字是奇数的概率； （2）用树状图或列表法分析两次摸出的数字和不小于6的概率． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 28．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的3个黄球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是　　　　　　． 29．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口B进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 进入展厅离开展厅 A B C D A B C D 31．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． A B C D A B C D 33．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个． （1）小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是___________． （2）用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率P．           小平小何 A B C A B C 34．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． （1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； （2）某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 35．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小亮再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 36．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为______． （2）随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号是相邻整数的概率． 1 2 3 4 1 —— （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） —— （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） —— （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） —— 37．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 小亮小刚 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，每个区域分别标有数字、、，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字．此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交界处的半径时，不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）转动转盘一次，则转出的数字为的概率为______； （2）转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为正数的概率． 结果        第次第次 39．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 40．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 41．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）小宇和小欣所在的科学社团研究了以下四种生活现象，并制作了，，，四张卡片，这些卡片除了内容不同，其余完全相同．卡片正面写着四种生活现象的名称，将卡片洗匀背面朝上放置在桌面上．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化，生成其他物质的变化叫做化学变化．） （1）小宇随机从四张卡片中抽取一张，抽中卡片的概率是________； （2）小欣从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或者树状图法求小欣抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 42．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 43．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）秦腔是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有秦腔经典剧目的三张卡片如图所示（分别用字母表示《王宝钏》《赵氏孤儿》《铡美案》），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张．用树状图或列表法求两次抽取的卡片正面相同的概率． 44．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）在一个陕西文化展览活动中，有四个展区，分别为A皮影戏，B剪纸，C泥塑，D秦绣． （1）小明从这四个展区中，随机选择一个区域参观，他选中A皮影戏展区的概率为______． （2）因时间有限，小明打算从这四个展区中，选择两个展区参观，请用列表或画树状图的方法，求选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率． 45．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）陕西红色革命遗址中具有代表性的五处分别是：A．西安市红色旅游系列景区，B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址，C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址，D．汉中市川陕革命纪念馆，E．延安革命纪念地系列景区．小英和小阳想利用周末时间，各自从这五处革命遗址中选择一处进行参观，并相互分享观后感，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的五张卡片(卡片除正面内容不同外，其余均相同)，将卡片背面朝上洗匀后，小英先从中随机抽取一张，不放回，小阳再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己抽到的卡片为准进行参观． （1）小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为____________； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率． 46．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，热闹非凡．游客既能体验游园的乐趣，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌，探索悠久的人文底蕴．据统计《盛唐密盒》的问题可分为：．诗词类；．历史类；．百科类；．科技类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同，且同一类问题可以多次被提问． （1）若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是_____． （2）用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率． 47．（24-25学年九上·陕西安康·期末）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 48．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感． （1）小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率． 49．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 50．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）马年吉祥，事事如意，这是丙午马年与如意吉祥之间最妙的创意连接．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地等完全相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，求摸出的这张卡片上印有“事”的概率． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求两次摸出的卡片上印有“如”“意”的概率． 51．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 52．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　　　　　　　　． 0 4 0 4 53．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动、小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A、B、C、D依次代表这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是               ； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 54．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率．      甲乙 A B C D A B C D 55．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 小慧小智 56．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数是______； （2）在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为               ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 58．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是             ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 59．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 60．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 61．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（     ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 2．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 3．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（     ） A. 2张 B. 8张 C. 15张 D. 18张 4．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（     ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 5．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（     ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.95 D. 0.90 6．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在一个不透明的布袋中装有白球和黑球共150个，它们除颜色外其他都相同．小红每次摸出1个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能是（     ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 90 7．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）在一个不透明的盒子里装有60个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（       ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 8．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（     ） A. 20支 B. 12支 C. 10支 D. 8支 9．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（     ）. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 11．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（     ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 12．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 13．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A. 12张 B. 9张 C. 6张 D. 3张 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（     ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是　　 A. 20个 B. 16个 C. 15个 D. 12个 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是（     ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 18．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（     ） A. 18张 B. 12张 C. 10张 D. 8张 19．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（     ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 20．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（       ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 21．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为　　　　　　．（结果保留小数点后一位） 22．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为　　　　　　　　　． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 23．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）一个口袋中有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有79次摸到红球，估计这个口袋中红球有　　　　　　个． 24．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如上表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　　　　　（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 25．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是　　　　　　精确到 26．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 27．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共26个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有150次，由此估计袋子中白球的个数为　　　　　　　　　　　个． 28．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求的值． 29．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为　　　　　　　　．（结果精确到） 30．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 31．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 32．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）在一个不透明的箱子中装有蓝色玻璃球和红色玻璃球共20个，这些玻璃球除颜色不同外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个玻璃球，记录颜色后再放回摇匀．不断重复这一过程，已知共摸了100次，其中有25次摸到红色玻璃球，由此可估计箱子中有多少个红色玻璃球． 33．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的4个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有　　　　　　个． 34．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）小明通过做实验用频率估计概率，统计了某一实验结果的频率，并绘制了如图所示的统计图，下列问题：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率；②从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率；③将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率；④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率．其中符合小明实验结果的问题可能是　　　　　　　． 1 2 3 1 2 3 2 2 6 3 3 6 35．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 （1）补全表格； （2）估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 37．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有　　　　　　个白色乒乓球． 38．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 39．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）一个不透明的布袋中装有除颜色不同外其余均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到红球，请你估计袋中红球的个数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．B 考点02 概率 1．B 2．C 3．【答案】75个 【分析】 本题考查利用频率估计概率，设小李有个绿色的弹珠，根据概率的求法列方程求解即可 【详解】 解：设小李有个绿色的弹珠， 由题意得：， 解得， 小李有75个绿色的弹珠． 4．【答案】估计口袋中红色水彩笔有10支． 【分析】 根据蓝色水彩笔支数和频率，可以估算出水彩笔的总数，然后即可计算出红色水彩笔的支数． 本题考查了已知频率求数量，解题的关键是：熟练掌握已知频率求数量． 【详解】 解：由题意可得，袋中约有红色水彩笔：（个）， 答：估计口袋中红色水彩笔有10支． 5．【答案】 【分析】 本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】 解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 考点03 用列举法求概率 1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． ()直接根据概率公式求解即可； ()画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率为． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 10．【答案】 【分析】 本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】 解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】 解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】 解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 13．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 本题考查了树状图法求随机事件发生的概率， （1）直接列举出第一次摸出所有可能的结果利用概率公式即可求解； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：． (2) 小问详解： 依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为． 14．【答案】（1）     （2）小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率为      【分析】 本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． (1) 小问详解： 解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 小明小亮 15．【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人选择的是不同的养老服务中心的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人选择的是不同的养老服务中心的结果数为6， ∴两人选择的是不同的养老服务中心的概率， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表求概率即可求解． (1) 小问详解： 解：共有四种活动课，小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的有7种结果， 所以小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率为．    小玉小洋 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． (1) 小问详解： 解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接利用概率公式求解； （2）画出树状图，再利用概率公式求解． (1) 小问详解： 解：阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修． 九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们两人选择的劳动课程相同的情况有5种， 所以他们两人选择的劳动课程相同的概率为． 20．【答案】.25 【分析】 本题主要考查利用树状图求得结果的概率，画树状图是解题的关键． 首先依据题意画出树状图，根据树状图得到最终的结果即可． 【详解】 解：如图，画树状图， 共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择相同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同， ∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择相同入口进入植物园的结果数有4种， ∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率． A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 【点睛】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两个转盘均停在红色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘均停在红色区域的结果有2种， ∴两个转盘均停在红色区域的概率为． 故答案为：． 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 23．【答案】（1）     （2）不公平 理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平．      【分析】 本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 (2) 小问详解： 略 24．【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出a、b积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：依题意，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、， 列表如下： ∴一共有16种等可能的情况，其中a、b积为负数的有4种情况， ∴a、b积为负数的概率为． 故答案为：． 积 0 2 3 1 0 0 0 0 0 0 2 0 4 6 3 0 6 9 25．【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，通过列举所有等可能结果，计算两人选择同一种套餐的概率即可． 【详解】 解：小明和小亮每人都有4种选择，总共有种等可能结果，其中，两人选择同一种套餐的情况有4种（都选A、都选B、都选C或都选D）， 因此概率为， 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握知识点是解题的关键． (1)直接根据概率公式用出现情况数除以总情况数即可． (2)画出树状图，得到共有25种等可能结果，两次摸出的球上的数字之和不小于6的情况有15种，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵第一次摸出的纸牌上数字是1，2，3，4，5，共5种等可能性结果，其中纸牌上数字是奇数的情况有3种， ∴第一次摸出的纸牌上数字是奇数的概率为． (2) 小问详解： 画树状图为： 共有25种等可能结果，其中两次摸出的纸牌上的数字之和不小于6的情况有15种， ∴两次摸出的数字和不小于6的概率为． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 28．【答案】.16 【分析】 根据题意画出树状图，利用树状图求解即可． 【详解】 解：根据题意画出树状图如下：    ∵共有25种等可能的情况数，两次都摸出红球的情况有4种， ∴两次都摸出红球的概率是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确列出所有可能的结果． 29．【答案】 【分析】 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】 解：画树状图，如图所示， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴两名同学均来自相同班级的概率是， 故答案为：． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列出表格，得出总共的等可能的结果数，以及小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果数，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得，展厅总共有4个出入口， 所以小华从出入口B进入展厅的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，小华进入展厅和离开展厅的出入口选择共有16种， 其中进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果有12种， 因此小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率为． 进入展厅离开展厅 A B C D A B C D 31．【答案】 【分析】 本题考查概率的计算，采用列举法求解，总共有5种颜色，随机选择2种，共有10种等可能情况，正好选中淡与清是其中一种情况，因此概率为 ． 【详解】 解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择两色，那么有焦浓，焦重，焦淡，焦清，浓重，浓淡，浓清，重淡，重清，淡清等10种等可能情况，其中正好选中淡与清只有1种组合，因此概率为 ． 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：将写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”卡片盲盒分别记为A，B，C，D， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：，共2种， ∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． A B C D A B C D 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的计算，包括树状图法或列表法求概率． （1）三个文件袋里的图片完全相同，小何随机抽1个时，每个文件袋被抽到的可能性均等，所以小何抽到的概率为； （2）列表列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：在A，B，C三张图片中，小何每张抽到的概率均为， ∴当小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：所有可能的结果列表如下： 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的结果有4种，即、、、， ∴恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的概率．           小平小何 A B C A B C 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：抽到《四元玉鉴》的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，以及根据概率公式求解概率，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据概率求解公式求解即可； （2）先列出树状图，然后分别找到所有的等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数，最后依据概率求解公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有5张明信片，其中有2张“乐融融"图案的明信片， ∴志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为； (2) 小问详解： 解：设用、，代表图案是“喜洋洋”的明信片，用、代表图案是“乐融融”的明信片，列树状图如下所示： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数有12种， ∴恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率公式以及用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式，用列表法或画树状图法分析是解题的关键． （1）直接由概率公式求即可； （2）利用列表法分析出共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种，然后由概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中标号为奇数的结果有2种， ∴随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 依题意列表如下： 由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种， ∴P（两次取出的小球的标号是相邻整数）＝． 1 2 3 4 1 —— （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） —— （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） —— （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） —— 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的运算，熟悉掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）分析可能性求解即可； （2）利用列表法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有A，B，C，D，E五种情况，B为其中一种， ∴小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意列表可得： 由上表可知，一共有25种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的情况有9种， ∴． 小亮小刚 38．【答案】（1）     （2）（两次转出的数字之和为正数）      【分析】 本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数的比． （1）根据周角的定义可得，自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是，根据概率公式即可得答案． （2）由（1）可知转出、、的概率相同，画出树状图或列表法，得出所有可能结果和两次分别转出的数字之和为正数的结果，根据概率公式即可得答案． (1) 小问详解： ∵自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是， ∴转到、、三种情况的可能性相同， ∴转出的数字为这一种情况发生的概率为． (2) 小问详解： 列表法： 只有、、这三种情况时，两次转出的数字之和为正数， ∴（两次转出的数字之和为正数）． 树状图法： 结果        第次第次 两次转出的数字之和为正数的情况有三种， ∴（两次转出的数字之和为正数）． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有4种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有1种可能，即概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道”卡片盲盒的结果数为2． 所以他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道” 卡片盲盒的概率为． 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小宇从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：四张卡片内容中是化学变化的有A（铁钉生锈）、C（酒精燃烧）、D（牛奶变质）， 画树状图如图： 由树状图可得，共有12种等可能出现的结果，其中小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的情况有6种， ∴小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题题考查了概率的计算，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为． 故答案为： (2) 小问详解： 解：画树状图如下：         由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为． 43．【答案】 【分析】 本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 44．【答案】（1） ；     （2）选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率是解决此题的关键． 直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选择B剪纸展区和C泥塑展区的结果数，然后根据概率公式计算； (1) 小问详解： 解：小明选中A皮影戏展区的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选择B剪纸展区和C泥塑展区的结果数为2， ∴选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种， ∴小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果有12种， ∴小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率为 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据概率公式计算即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵小颖参加这个节目，第一个问题可能被问到的问题共有种等可能的结果， ∴第一个问题被问到科技类问题的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中前两个问题均没有被问到百科类问题的结果有种， ∴小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率为． 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下：                                 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 48．【答案】（1）不可能；     （2）；      【分析】 （1）本题考查事件的分类，根据事件结果情况直接判断即可得到答案； （2）本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图，求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书， ∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 解：由题意可得，树状图如图所示， 总共有种情况，他们恰好选到同一本书的有4种， ∴． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙同学选中C号球拍的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：甲先从中随机选取1个，则甲同学未选中A球拍的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴． 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“事”的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“如”“意”的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“事”的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“事”的概率为． (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的结果有2种， ∴（摸出的这两张卡片上印有“如”“意”）． 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了概率公式． （1）直接根据概率公式计算； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种， 所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 52．【答案】 【分析】 本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 0 4 0 4 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，正确通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率是解题关键． （1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团的结果数，然后根据概率公式求解． (1) 小问详解： （1）解：小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率为． 答：小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， （甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）．      甲乙 A B C D A B C D 55．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先列出表格，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中摸中写有陈景润名字的小球的结果有种， （摸中写有陈景润名字的小球的概率）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：将写有赵爽、刘徽、陈景润、陈省身的小球分别记为、、、， 根据题意列表如下： 由表可知：共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种， （两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）． 小慧小智 56．【答案】（1）40；；     （2）      【分析】 本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）类人数除以所占的比例求出总人数，类人数除以总人数求出所占的百分比，类人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）； ； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 设2名男生为、，4名女生为、、、，列表为： 共有30种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数为16， 所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为：． 57．【答案】（1）     （2） 小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表： 由表格可得共9种等可能结果， 则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种， ∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．       A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 【分析】 本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意直接利用概率公式可得答案； （2）用表格表示出两人的抽取结果，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个， ∴小明抽到该主题的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用树状图法求概率以及随机事件的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由概率公式即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小辰从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片是呈现的变化是物理变化的结果只有2种， ∴概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种， ∴小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率为． 59．【答案】（1）     （2） 由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平．      【分析】 本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：略． 60．【答案】（1）     （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．D 11．A 12．B 13．C 14．C 15．B 16．D 17．D 18．A 19．C 20．C 21．【答案】0.9 【分析】 根据当实验次数较多时，可以用频率估计概率解答即可． 【详解】 解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】 本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值就是概率，解决本题的关键是掌握利用频率估计概率． 22．【答案】20 【分析】 利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】 解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴＝0.2， 解得：m＝20． 经检验m＝20是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系． 23．【答案】6六 【分析】 本题考查了利用频率估计概率． 先求出摸到红球的概率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】 解：由题意可得， 摸到红球的概率为， 则这个口袋中红球的个数：（个， 故答案是：6． 24．【答案】0.9 【分析】 根据大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率求解即可． 【详解】 解：观察表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.9附近， 故投中的概率估计值为0.9； 故答案为：0.9． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 25．【答案】0.75 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】 解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 26．【答案】30个 【分析】 本题考查了频数、频率与数据总数的关系，掌握这一关系是关键；根据频数、频率与数据总数三者的关系即可求解． 【详解】 解：（个） ∴估计布袋中白球的个数为：（个）． 27．【答案】13 【分析】 题目主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，利用概率公式列出方程即可求解． 【详解】 解：设袋子中白球有个， 根据题意，摸出白球的频率为， ∴， 解得， 故估计袋子中白球有13个， 故答案为：13． 28．【答案】 【分析】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄色乒乓球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】 解：由题意，摸到黄球的频率稳定在，因此摸到黄球的概率为 即 ， 所以 ． 解得 ． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量试验中频率稳定于概率的原理，观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，据此即可解答． 【详解】 解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率约为， 故答案为：． 30．【答案】估计盒子里白色棋子的数量有颗 【分析】 本题考查了由频率估计概率，已知概率求数量，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出摸到白棋的频率，再利用频率估计概率，从而可利用概率求数量． 【详解】 解：∵一共摸了次，有次摸到白棋， ∴摸到白棋的频率， ∴估计摸到白棋的概率是， ∴估计盒子里白色棋子的数量为（颗） 答：估计盒子里白色棋子的数量有颗． 31．【答案】70 【分析】 本题考查了已知概率求数量，用频率估计概率，理解题意是解题的关键． 根据题意可得随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率为0.125，则根据概率计算公式可求出黄色彩笔的数量，再用80减去黄色彩笔的数量即可得答案． 【详解】 解：∵经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125， ∴随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率是0.125， （支）， 答：估计袋中有70支红色彩笔． 32．【答案】个 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握简单概率的求法和频率的意义是解题的关键．先计算红色玻璃球的频率，利用频率估计红色玻璃球的数量即可． 【详解】 解：∵摸了100次，其中有25次摸到红色玻璃球， ∴估计摸到红色玻璃球的概率为， ∴红色玻璃球的个数为：（个）． 答：由此可估计箱子中有5个红色玻璃球． 33．【答案】6 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量． 根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率稳定在，即摸到白球的概率为0.4．利用概率公式建立方程求解黑球个数． 【详解】 解：设黑球有个，则总球数为个． 由题意得，． 解得． 故袋中黑球有6个． 故答案为：6． 34．【答案】② ③ 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，分别求得每个选项的概率是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果频率在左右，因此事件的概率也为，符合此概率的即为正确答案． 【详解】 解：根据统计图可知，实验结果频率在左右，① 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，故不符合题意； ② 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率为，故符合题意； ③ 将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，列表如下，故摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率为，符合题意； ④ 从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，不符合题意； 故答案为：② ③ ． 1 2 3 1 2 3 2 2 6 3 3 6 35．【答案】0.78 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】 解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 36．【答案】（1） 完成表格如下：     （2）      转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 【分析】 本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． (1) 小问详解： 解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； (2) 小问详解： 解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 37．【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】 解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 38．【答案】5 【分析】 本题考查了概率公式，用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 【详解】 解：箱子中原有红球3个，蓝球1个，放入n个蓝球后，蓝球数量为个， 则球的总数量为（个）， ∵摸到蓝球的频率稳定在，即摸到蓝球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴n的值为5． 39．【答案】估计袋中红球的个数为8个 【分析】 本题考查了用频率估计概率；理解频率和概率的关系是解题的关键．根据摸到红球的频率，可得摸到红球的概率为，再根据概率计算公式列方程即可求得红球个数． 【详解】 解：摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率为， 设袋中红球的个数为个， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 估计袋中红球的个数为8个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）事件“任意写一个数，这个数大于”属于（     ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【分析】 本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】 解：事件“任意写一个数，这个数大于”属于随机事件， 故选：B． 考点02 概率 1．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】 解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的， ∴它最终停留在黑砖上的概率是． 故选：B． 【点睛】 本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中，根据概率公式求解即可． 【详解】 解：∵有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， ∴次品的概率是， 故选：C． 3．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）小李有蓝色和绿色的弹珠共100个，这些弹珠除颜色外均相同，现将所有弹珠放入不透明的箱子中，混匀后任意取出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠，请你估计小李有多少个绿色的弹珠． 【答案】75个 【分析】 本题考查利用频率估计概率，设小李有个绿色的弹珠，根据概率的求法列方程求解即可 【详解】 解：设小李有个绿色的弹珠， 由题意得：， 解得， 小李有75个绿色的弹珠． 4．（24-25学年九上·陕西安康·期末）一个不透明的口袋中装有15支蓝色水彩笔和若干支红色水彩笔，这些水彩笔除颜色不同外其他都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一支水彩笔，记下颜色后放回袋中．通过大量重复试验后发现，摸到蓝色水彩笔的频率稳定在，请你估计口袋中红色水彩笔的支数． 【答案】估计口袋中红色水彩笔有10支． 【分析】 根据蓝色水彩笔支数和频率，可以估算出水彩笔的总数，然后即可计算出红色水彩笔的支数． 本题考查了已知频率求数量，解题的关键是：熟练掌握已知频率求数量． 【详解】 解：由题意可得，袋中约有红色水彩笔：（个）， 答：估计口袋中红色水彩笔有10支． 5．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】 解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出这两道题恰好全部猜对的概率． 【详解】 解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种， 所以，两道题恰好全部猜对的概率为． 故选：D． 第一题第二题 2．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】 解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 小霞               小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 3．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种， ∴溶液都为紫色的概率是． 故选：D． 4．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】 解：令：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题不同有种， 两人选择不同主题的概率为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 6．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】 解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：① 和为2：，共1种；   ② 和为3：共2种；③ 和为4：共3种；④ 和为5：共4种；    ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．    ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 7．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了画树状图法求概率，根据题意画树状图，得出总共有12种等可能结果．两次颜色相同只能是两次都摸到白球，有2种方式，根据概率公式求解，即可． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况 ∴两次都摸到白球的概率是： 故选：B． 8．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． ()直接根据概率公式求解即可； ()画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率为． 9．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 10．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】 解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】 解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 12．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】 解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为                       ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 本题考查了树状图法求随机事件发生的概率， （1）直接列举出第一次摸出所有可能的结果利用概率公式即可求解； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：． (2) 小问详解： 依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为． 14．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张外观相同的卡片，分别写有材料A：《论语》，材料B：《三字经》，材料C：《弟子规》，材料D：《千字文》．活动规则如下：将4张卡片洗匀后，小明先从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回洗匀，小亮再从盒子中任意抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读． （1）小明抽到的诵读材料是材料A：《论语》的概率是_______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率． 【答案】（1）     （2）小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率为      【分析】 本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． (1) 小问详解： 解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 小明小亮 15．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德，小刚、小强计划利用寒假从A，B，C三处养老服务中心中，各自随机选择一处参加志愿服务活动，则两人选择的是不同的养老服务中心的概率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人选择的是不同的养老服务中心的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人选择的是不同的养老服务中心的结果数为6， ∴两人选择的是不同的养老服务中心的概率， 故答案为：． 16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． （1）小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表求概率即可求解． (1) 小问详解： 解：共有四种活动课，小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的有7种结果， 所以小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率为．    小玉小洋 17．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． (1) 小问详解： 解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 18．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 19．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程中随机选择一门学习． （1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是____________； （2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求他们两人选择的劳动课程相同的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接利用概率公式求解； （2）画出树状图，再利用概率公式求解． (1) 小问详解： 解：阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修． 九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们两人选择的劳动课程相同的情况有5种， 所以他们两人选择的劳动课程相同的概率为． 20．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）燕子是众所周知的益鸟，它的繁殖方式是靠产卵，然后孵化，孵化后雏鸟为雌性与为雄性的概率相同．一个燕子窝中有2枚卵．如果这2枚卵都成功孵化，则2只雏鸟都为雄性的概率是　　　　　　　　． 【答案】.25 【分析】 本题主要考查利用树状图求得结果的概率，画树状图是解题的关键． 首先依据题意画出树状图，根据树状图得到最终的结果即可． 【详解】 解：如图，画树状图， 共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择相同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同， ∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择相同入口进入植物园的结果数有4种， ∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率． A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 【点睛】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两个转盘均停在红色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘均停在红色区域的结果有2种， ∴两个转盘均停在红色区域的概率为． 故答案为：． 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 23．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1）     （2）不公平 理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平．      【分析】 本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）现有四张外观、形状、大小完全相同的卡片，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、，则数字、的积为负数的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出a、b积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：依题意，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、， 列表如下： ∴一共有16种等可能的情况，其中a、b积为负数的有4种情况， ∴a、b积为负数的概率为． 故答案为：． 积 0 2 3 1 0 0 0 0 0 0 2 0 4 6 3 0 6 9 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）某学校食堂准备了A、B、C、D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，通过列举所有等可能结果，计算两人选择同一种套餐的概率即可． 【详解】 解：小明和小亮每人都有4种选择，总共有种等可能结果，其中，两人选择同一种套餐的情况有4种（都选A、都选B、都选C或都选D）， 因此概率为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）在一个不透明的口袋中装有5张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4、5，随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字． （1）计算第一次摸出的纸牌上数字是奇数的概率； （2）用树状图或列表法分析两次摸出的数字和不小于6的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握知识点是解题的关键． (1)直接根据概率公式用出现情况数除以总情况数即可． (2)画出树状图，得到共有25种等可能结果，两次摸出的球上的数字之和不小于6的情况有15种，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵第一次摸出的纸牌上数字是1，2，3，4，5，共5种等可能性结果，其中纸牌上数字是奇数的情况有3种， ∴第一次摸出的纸牌上数字是奇数的概率为． (2) 小问详解： 画树状图为： 共有25种等可能结果，其中两次摸出的纸牌上的数字之和不小于6的情况有15种， ∴两次摸出的数字和不小于6的概率为． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 第一次                 第二次 A B C D A B C D 28．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的3个黄球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是　　　　　　． 【答案】.16 【分析】 根据题意画出树状图，利用树状图求解即可． 【详解】 解：根据题意画出树状图如下：    ∵共有25种等可能的情况数，两次都摸出红球的情况有4种， ∴两次都摸出红球的概率是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确列出所有可能的结果． 29．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】 解：画树状图，如图所示， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴两名同学均来自相同班级的概率是， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口B进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列出表格，得出总共的等可能的结果数，以及小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果数，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得，展厅总共有4个出入口， 所以小华从出入口B进入展厅的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表格可知，小华进入展厅和离开展厅的出入口选择共有16种， 其中进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果有12种， 因此小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率为． 进入展厅离开展厅 A B C D A B C D 31．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查概率的计算，采用列举法求解，总共有5种颜色，随机选择2种，共有10种等可能情况，正好选中淡与清是其中一种情况，因此概率为 ． 【详解】 解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择两色，那么有焦浓，焦重，焦淡，焦清，浓重，浓淡，浓清，重淡，重清，淡清等10种等可能情况，其中正好选中淡与清只有1种组合，因此概率为 ． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】 【分析】 列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：将写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”卡片盲盒分别记为A，B，C，D， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有：，共2种， ∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． A B C D A B C D 33．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个． （1）小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是___________． （2）用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率P． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的计算，包括树状图法或列表法求概率． （1）三个文件袋里的图片完全相同，小何随机抽1个时，每个文件袋被抽到的可能性均等，所以小何抽到的概率为； （2）列表列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：在A，B，C三张图片中，小何每张抽到的概率均为， ∴当小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：所有可能的结果列表如下： 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的结果有4种，即、、、， ∴恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的概率．           小平小何 A B C A B C 34．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． （1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； （2）某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：抽到《四元玉鉴》的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 35．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小亮再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，以及根据概率公式求解概率，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据概率求解公式求解即可； （2）先列出树状图，然后分别找到所有的等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数，最后依据概率求解公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有5张明信片，其中有2张“乐融融"图案的明信片， ∴志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为； (2) 小问详解： 解：设用、，代表图案是“喜洋洋”的明信片，用、代表图案是“乐融融”的明信片，列树状图如下所示： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数有12种， ∴恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 36．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为______． （2）随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号是相邻整数的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率公式以及用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式，用列表法或画树状图法分析是解题的关键． （1）直接由概率公式求即可； （2）利用列表法分析出共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种，然后由概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中标号为奇数的结果有2种， ∴随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 依题意列表如下： 由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种， ∴P（两次取出的小球的标号是相邻整数）＝． 1 2 3 4 1 —— （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） —— （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） —— （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） —— 37．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的运算，熟悉掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）分析可能性求解即可； （2）利用列表法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有A，B，C，D，E五种情况，B为其中一种， ∴小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意列表可得： 由上表可知，一共有25种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的情况有9种， ∴． 小亮小刚 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，每个区域分别标有数字、、，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字．此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交界处的半径时，不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）转动转盘一次，则转出的数字为的概率为______； （2）转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为正数的概率． 【答案】（1）     （2）（两次转出的数字之和为正数）      【分析】 本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数的比． （1）根据周角的定义可得，自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是，根据概率公式即可得答案． （2）由（1）可知转出、、的概率相同，画出树状图或列表法，得出所有可能结果和两次分别转出的数字之和为正数的结果，根据概率公式即可得答案． (1) 小问详解： ∵自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是， ∴转到、、三种情况的可能性相同， ∴转出的数字为这一种情况发生的概率为． (2) 小问详解： 列表法： 只有、、这三种情况时，两次转出的数字之和为正数， ∴（两次转出的数字之和为正数）． 树状图法： 结果        第次第次 两次转出的数字之和为正数的情况有三种， ∴（两次转出的数字之和为正数）． 39．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有4种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有1种可能，即概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道”卡片盲盒的结果数为2． 所以他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道” 卡片盲盒的概率为． 40．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 41．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）小宇和小欣所在的科学社团研究了以下四种生活现象，并制作了，，，四张卡片，这些卡片除了内容不同，其余完全相同．卡片正面写着四种生活现象的名称，将卡片洗匀背面朝上放置在桌面上．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化，生成其他物质的变化叫做化学变化．） （1）小宇随机从四张卡片中抽取一张，抽中卡片的概率是________； （2）小欣从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或者树状图法求小欣抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小宇从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：四张卡片内容中是化学变化的有A（铁钉生锈）、C（酒精燃烧）、D（牛奶变质）， 画树状图如图： 由树状图可得，共有12种等可能出现的结果，其中小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的情况有6种， ∴小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 42．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题题考查了概率的计算，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为． 故答案为： (2) 小问详解： 解：画树状图如下：         由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为． 43．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）秦腔是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有秦腔经典剧目的三张卡片如图所示（分别用字母表示《王宝钏》《赵氏孤儿》《铡美案》），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张．用树状图或列表法求两次抽取的卡片正面相同的概率． 【答案】 【分析】 本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 44．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）在一个陕西文化展览活动中，有四个展区，分别为A皮影戏，B剪纸，C泥塑，D秦绣． （1）小明从这四个展区中，随机选择一个区域参观，他选中A皮影戏展区的概率为______． （2）因时间有限，小明打算从这四个展区中，选择两个展区参观，请用列表或画树状图的方法，求选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率． 【答案】（1） ；     （2）选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率      【分析】 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率是解决此题的关键． 直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选择B剪纸展区和C泥塑展区的结果数，然后根据概率公式计算； (1) 小问详解： 解：小明选中A皮影戏展区的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选择B剪纸展区和C泥塑展区的结果数为2， ∴选择B剪纸展区和C泥塑展区的概率 45．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）陕西红色革命遗址中具有代表性的五处分别是：A．西安市红色旅游系列景区，B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址，C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址，D．汉中市川陕革命纪念馆，E．延安革命纪念地系列景区．小英和小阳想利用周末时间，各自从这五处革命遗址中选择一处进行参观，并相互分享观后感，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的五张卡片(卡片除正面内容不同外，其余均相同)，将卡片背面朝上洗匀后，小英先从中随机抽取一张，不放回，小阳再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己抽到的卡片为准进行参观． （1）小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为____________； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种， ∴小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果有12种， ∴小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率为 46．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，热闹非凡．游客既能体验游园的乐趣，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌，探索悠久的人文底蕴．据统计《盛唐密盒》的问题可分为：．诗词类；．历史类；．百科类；．科技类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同，且同一类问题可以多次被提问． （1）若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是_____． （2）用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据概率公式计算即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵小颖参加这个节目，第一个问题可能被问到的问题共有种等可能的结果， ∴第一个问题被问到科技类问题的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中前两个问题均没有被问到百科类问题的结果有种， ∴小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率为． 47．（24-25学年九上·陕西安康·期末）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下：                                 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 48．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感． （1）小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率． 【答案】（1）不可能；     （2）；      【分析】 （1）本题考查事件的分类，根据事件结果情况直接判断即可得到答案； （2）本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图，求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书， ∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 解：由题意可得，树状图如图所示， 总共有种情况，他们恰好选到同一本书的有4种， ∴． 49．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙同学选中C号球拍的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：甲先从中随机选取1个，则甲同学未选中A球拍的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴． 50．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）马年吉祥，事事如意，这是丙午马年与如意吉祥之间最妙的创意连接．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地等完全相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，求摸出的这张卡片上印有“事”的概率． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求两次摸出的卡片上印有“如”“意”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“事”的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“如”“意”的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“事”的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“事”的概率为． (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的结果有2种， ∴（摸出的这两张卡片上印有“如”“意”）． 51．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了概率公式． （1）直接根据概率公式计算； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种， 所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 52．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 0 4 0 4 53．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动、小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A、B、C、D依次代表这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是               ； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，正确通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率是解题关键． （1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团的结果数，然后根据概率公式求解． (1) 小问详解： （1）解：小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率为． 答：小明两次抽取的卡片中有一张是合唱社团A的概率． 54．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下： 如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， （甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）．      甲乙 A B C D A B C D 55．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先列出表格，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中摸中写有陈景润名字的小球的结果有种， （摸中写有陈景润名字的小球的概率）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：将写有赵爽、刘徽、陈景润、陈省身的小球分别记为、、、， 根据题意列表如下： 由表可知：共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种， （两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）． 小慧小智 56．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数是______； （2）在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40；；     （2）      【分析】 本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）类人数除以所占的比例求出总人数，类人数除以总人数求出所占的百分比，类人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）； ； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 设2名男生为、，4名女生为、、、，列表为： 共有30种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数为16， 所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为：． 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为               ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． 【答案】（1）     （2） 小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表： 由表格可得共9种等可能结果， 则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种， ∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．       A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 【分析】 本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意直接利用概率公式可得答案； （2）用表格表示出两人的抽取结果，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个， ∴小明抽到该主题的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 58．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． （1）小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是             ； （2）小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用树状图法求概率以及随机事件的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由概率公式即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小辰从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片是呈现的变化是物理变化的结果只有2种， ∴概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种， ∴小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率为． 59．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】（1）     （2） 由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平．      【分析】 本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：略． 60．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1）     （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 61．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 8 39 81 120 160 命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80 根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（     ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 【答案】C 【分析】 本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键． 根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案． 【详解】 解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是， 故选：C． 2．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】 解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 3．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（     ） A. 2张 B. 8张 C. 15张 D. 18张 【答案】B 【分析】 本题考查概率的定义，熟练掌握其定义和概率公式是解题的关键． 频率稳定在，表明抽到红色卡片的概率约为，利用概率公式计算红色卡片数量即可． 【详解】 解：抽到红色卡片的频率稳定在， 则抽到红色卡片的概率约为， 因此，红色卡片的数量约为（张）， 故选：B． 4．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（     ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】A 【分析】 本题考查了用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在附近，即可认为摸到红球的概率约为，从而通过计算总球数的得到红球的大致数量． 【详解】 解：摸到红球的频率稳定在附近， 口袋中红球可能有（个）． 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（     ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.95 D. 0.90 【答案】C 【分析】 本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意；通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值． 【详解】 解：∵总检测次数为100次，其中不合格品5次， ∴合格品的次数为次， ∴合格品的概率估计值为； 故选C． 6．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在一个不透明的布袋中装有白球和黑球共150个，它们除颜色外其他都相同．小红每次摸出1个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能是（     ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 90 【答案】D 【分析】 本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右，得到摸到黑球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】 解：∵根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右， ∴摸到黑球的概率为0.6， ∴布袋中黑球的个数可能是（个）； 故选D． 7．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）在一个不透明的盒子里装有60个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（       ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】D 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】 解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 8．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（     ） A. 20支 B. 12支 C. 10支 D. 8支 【答案】D 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设盒子中蓝笔有x支，根据题意可知从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设盒子中蓝笔有x支， ∵通过多次重复试验发现摸出黑笔的频率稳定在， ∴从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴盒子中蓝笔有支． 故选：D 9．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】 解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（     ）. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】D 【分析】 本题考查用频率估计概率．熟悉用频率估计概率的一般步骤是解题的关键．根据频率的稳定性，当抽取数量足够大时，频率接近概率．随着抽取数量的增大从表格中观察到频率稳定在，故合格率估计为． 【详解】 解：∵当抽取数量足够大时，频率接近概率， ∴抽取条数为和时，合格频率均为，频率稳定，接近概率， ∴ 合格概率估计为， ∴条裤子中合格数量为条． 故选：． 11．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（     ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【分析】 本题考查了已知概率求数量，频率估计概率，根据红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球，得出袋子的红球概率为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为， ∴（个）， 故选：A． 12．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】 解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 13．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A. 12张 B. 9张 C. 6张 D. 3张 【答案】C 【分析】 本题考查了利用频率求数量，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率，红桃出现的频率稳定在，即概率约为，再根据概率公式计算红桃牌的数量． 【详解】 解：∵摸到红桃的频率稳定在， ∴（红桃）． ∵总牌数为20张， 设红桃牌有x张， ∴（红桃）． ∴， ∴． 故估计红桃牌有6张． 故选：C． 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（     ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【分析】 本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】 解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【详解】 解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 16．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是　　 A. 20个 B. 16个 C. 15个 D. 12个 【答案】D 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】设红球有x个，根据题意得， 3：（3+x）＝1：5， 解得x＝12， 经检验：x＝12是原分式方程的解， 所以估计盒子中红球的个数大约有12个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是（     ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【分析】 根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在，则红球的概率约为，由此可计算红球个数，进而得到黄球个数． 【详解】 解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴红球的概率约为， ∴红球个数约为（个）， ∴黄球个数约为（个）． 故选：D． 18．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（     ） A. 18张 B. 12张 C. 10张 D. 8张 【答案】A 【分析】 本题主要考查已知概率求数量．根据频率估计概率的原理，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，即其概率约为，由此可计算“国庆”贺卡的数量，进而求得“中秋”贺卡的数量． 【详解】 解：∵抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在， ∴“国庆”主题贺卡的数量约为张， ∴“中秋”主题贺卡的数量约为张． 故选：A． 19．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（     ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在附近，可得摸到红球的概率为，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】 解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选：C． 20．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（       ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】 本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】 解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有   1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 21．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为　　　　　　．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.9 【分析】 根据当实验次数较多时，可以用频率估计概率解答即可． 【详解】 解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】 本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值就是概率，解决本题的关键是掌握利用频率估计概率． 22．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为　　　　　　　　　． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】20 【分析】 利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】 解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴＝0.2， 解得：m＝20． 经检验m＝20是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系． 23．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）一个口袋中有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有79次摸到红球，估计这个口袋中红球有　　　　　　个． 【答案】6六 【分析】 本题考查了利用频率估计概率． 先求出摸到红球的概率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】 解：由题意可得， 摸到红球的概率为， 则这个口袋中红球的个数：（个， 故答案是：6． 24．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如上表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　　　　　（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 905 9012 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 【答案】0.9 【分析】 根据大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率求解即可． 【详解】 解：观察表格发现，随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.9附近， 故投中的概率估计值为0.9； 故答案为：0.9． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 25．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是　　　　　　精确到 【答案】0.75 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】 解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 26．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 【答案】30个 【分析】 本题考查了频数、频率与数据总数的关系，掌握这一关系是关键；根据频数、频率与数据总数三者的关系即可求解． 【详解】 解：（个） ∴估计布袋中白球的个数为：（个）． 27．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共26个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有150次，由此估计袋子中白球的个数为　　　　　　　　　　　个． 【答案】13 【分析】 题目主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，利用概率公式列出方程即可求解． 【详解】 解：设袋子中白球有个， 根据题意，摸出白球的频率为， ∴， 解得， 故估计袋子中白球有13个， 故答案为：13． 28．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求的值． 【答案】 【分析】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄色乒乓球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】 解：由题意，摸到黄球的频率稳定在，因此摸到黄球的概率为 即 ， 所以 ． 解得 ． 29．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为　　　　　　　　．（结果精确到） 【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量试验中频率稳定于概率的原理，观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，据此即可解答． 【详解】 解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率约为， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）围棋是一种智力游戏，棋子分黑白两色，形状为扁圆形体．一个不透明的盒子里放了黑、白两种棋子共颗．张毅将盒子里的棋子搅匀后从中随机摸出一颗，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白棋，请你估计盒子里白色棋子的数量． 【答案】估计盒子里白色棋子的数量有颗 【分析】 本题考查了由频率估计概率，已知概率求数量，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出摸到白棋的频率，再利用频率估计概率，从而可利用概率求数量． 【详解】 解：∵一共摸了次，有次摸到白棋， ∴摸到白棋的频率， ∴估计摸到白棋的概率是， ∴估计盒子里白色棋子的数量为（颗） 答：估计盒子里白色棋子的数量有颗． 31．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 【答案】70 【分析】 本题考查了已知概率求数量，用频率估计概率，理解题意是解题的关键． 根据题意可得随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率为0.125，则根据概率计算公式可求出黄色彩笔的数量，再用80减去黄色彩笔的数量即可得答案． 【详解】 解：∵经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125， ∴随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率是0.125， （支）， 答：估计袋中有70支红色彩笔． 32．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）在一个不透明的箱子中装有蓝色玻璃球和红色玻璃球共20个，这些玻璃球除颜色不同外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个玻璃球，记录颜色后再放回摇匀．不断重复这一过程，已知共摸了100次，其中有25次摸到红色玻璃球，由此可估计箱子中有多少个红色玻璃球． 【答案】个 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握简单概率的求法和频率的意义是解题的关键．先计算红色玻璃球的频率，利用频率估计红色玻璃球的数量即可． 【详解】 解：∵摸了100次，其中有25次摸到红色玻璃球， ∴估计摸到红色玻璃球的概率为， ∴红色玻璃球的个数为：（个）． 答：由此可估计箱子中有5个红色玻璃球． 33．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的4个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有　　　　　　个． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量． 根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率稳定在，即摸到白球的概率为0.4．利用概率公式建立方程求解黑球个数． 【详解】 解：设黑球有个，则总球数为个． 由题意得，． 解得． 故袋中黑球有6个． 故答案为：6． 34．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）小明通过做实验用频率估计概率，统计了某一实验结果的频率，并绘制了如图所示的统计图，下列问题：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率；②从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率；③将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率；④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率．其中符合小明实验结果的问题可能是　　　　　　　． 【答案】② ③ 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，分别求得每个选项的概率是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果频率在左右，因此事件的概率也为，符合此概率的即为正确答案． 【详解】 解：根据统计图可知，实验结果频率在左右，① 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，故不符合题意； ② 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率为，故符合题意； ③ 将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，列表如下，故摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率为，符合题意； ④ 从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，不符合题意； 故答案为：② ③ ． 1 2 3 1 2 3 2 2 6 3 3 6 35．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是　　　　　　． 【答案】0.78 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】 解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 36．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 （1）补全表格； （2）估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】（1） 完成表格如下：     （2）      转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 【分析】 本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． (1) 小问详解： 解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； (2) 小问详解： 解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 37．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有　　　　　　个白色乒乓球． 【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】 解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 【答案】5 【分析】 本题考查了概率公式，用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 【详解】 解：箱子中原有红球3个，蓝球1个，放入n个蓝球后，蓝球数量为个， 则球的总数量为（个）， ∵摸到蓝球的频率稳定在，即摸到蓝球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴n的值为5． 39．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）一个不透明的布袋中装有除颜色不同外其余均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到红球，请你估计袋中红球的个数． 【答案】估计袋中红球的个数为8个 【分析】 本题考查了用频率估计概率；理解频率和概率的关系是解题的关键．根据摸到红球的频率，可得摸到红球的概率为，再根据概率计算公式列方程即可求得红球个数． 【详解】 解：摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率为， 设袋中红球的个数为个， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 估计袋中红球的个数为8个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $