精品解析：陕西白河县卡子初级中学2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学试题

2025~2026学年度第一学期期中考试九年级数学试题 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（） A. B. C. D. 4. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 5. 如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则______． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 14. 信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 15. 一副直角三角板先按如图1所示的方式叠放，再让含的三角板固定不动，然后将含的三角板绕顶点按顺时针方向旋转半周． （1）当时（如图），的度数是_____． （2）当平行于三角板的其他边时，的度数是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）． （2）． 17. 已知抛物线． （1）用配方法求顶点坐标、对称轴． （2）直接写出取何值时，随的增大而减小． （3）直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）当时，求的值． 19. 在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． （1）若围成花园的面积为，求的值． （2）已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． （2）将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． （3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． （1）求，的值． （2）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 22. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）当点在轴上方时，求出的取值范围． （3）若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 23. 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． （1）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． （2）如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试九年级数学试题 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、它不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不合题意； D、它既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意 ． 2. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 3. 方程的解是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 4. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根， ∴m+n=5，mn=-2， ∴m+n-mn=5-（-2）=7． 故选：B 5. 如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C，     ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 6. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 7. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 10. 如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形的对称性可得，即，当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长，由图中此时，即，在菱形中点E是边的中点，再说明，可得，当点F和点B重合时，此时的最大值为6，可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵菱形中点A与点C关于对称， ∴， 即， 当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长， 由图象知此时，即， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴． 当点F和点B重合时，此时的最大值为6，， ∴点Q的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 14. 信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【解析】 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 15. 一副直角三角板先按如图1所示的方式叠放，再让含的三角板固定不动，然后将含的三角板绕顶点按顺时针方向旋转半周． （1）当时（如图），的度数是_____． （2）当平行于三角板的其他边时，的度数是_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）设与交于点，根据平行线的性质得出，进而得出点在上，根据角的和差关系即可得出答案； （2）分和两种情况，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点与点重合，即点在上， ∴． （2）如图，当时，则， ∴； 如图，当时，则； 综上所述：的度数是或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ． 17. 已知抛物线． （1）用配方法求顶点坐标、对称轴． （2）直接写出取何值时，随的增大而减小． （3）直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2） （3）当或时，；当或时，；当时， 【解析】 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【小问1详解】 解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【小问1详解】 解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． 【小问2详解】 解：且， 即． ， ． 19. 在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． （1）若围成花园的面积为，求的值． （2）已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】（1）12或16 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； 【小问2详解】 解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． （2）将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． （3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求；点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点即为所求，由图可知. 21. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． （1）求，的值． （2）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】（1）， （2）的整数值为， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． 【小问2详解】 解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 22. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）当点在轴上方时，求出的取值范围． （3）若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 23. 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． （1）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． （2）如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】（1）①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② （2）正方形； 【解析】 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【小问1详解】 ①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； 【小问2详解】 解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $