专题02 全等三角形（期中真题汇编，新疆专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝2，CD＝4，则BD的长为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 4.5 D. 6 3．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，，若，则的长为（     ） A. 2.5 B. 3 C. 4.5 D. 5 4．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，已知，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，ABC≌ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是（　　） A. 80° B. 60° C. 40° D. 20° 7．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，，对于下列结论其中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）已知下图中的两个三角形全等，则边的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 10．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是佳佳制作的风筝模型．已知，且，则的长为 　　　　　　　　　 11．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，点D，E分别在边，上，若，，则　　　　　　　　． 12．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，则　　　　　　　　　　． 13．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，，则　　　　　　，　　　　　　 ；若，，则　　　　　　． 14．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，，，，则的度数是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：，，，，则　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图所示的两个三角形全等，则的值为　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）已知，，，则的长为　　　　　　． 18．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 19．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，． （1）求的度数； （2）求的长． 20．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是　　　　　　　　． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，若，且，，则　　　　　　　　　　　　　　　 22．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，，点E在上，与交于点F，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 23．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝　　　． 24．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为　　　　　　　　　　． 25．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为　　　　　　　，可以使与全等． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，AB＝AD，BC＝DC，则△ABC≌△ADC，判定这两个三角形全等的依据是（       ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，已知则可判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（          ）． A. 可以带1号去 B. 可以带2号去 C. 可以带3号去 D. 都不行 4．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，若，，则可判定，这是根据（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（     ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（          ）． A.  B. 或 C.  D. 或 9．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（     ） A. 以为圆心，为半径的弧 B. 以为圆心，为半径的弧 C. 以为圆心，为半径的弧 D. 以为圆心，为半径的弧 10．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，已知，，且 C 是的中点，则判定的方法是（        ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，下列条件中，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（     ）． A.  B.  C.  D.  13．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是(       ) A.  B.  C.  D.  14．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 全等三角形的周长和面积相等 D. 所有等边三角形是全等三角形 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（     ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 17．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 20．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（       ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A. ①-②-③-④ B. ③-②-④-① C. ④-③-①-② D. ④-①-③-② 21．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 23．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，在直角三角形中，，，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、重合，连接、．下列判断正确的有（       ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）下列命题是真命题的是(       ) A. 如果，那么 B. 三个内角分别对应相等的两个三角形相等 C. 两边一角对应相等的两个三角形全等 D. 如果是有理数，那么是实数 25．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在RtAEB和RtAFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④ACN≌ABM．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 28．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的异侧，，，．求证：． 29．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，是任意一个角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线便是平分线，此作法依据全等三角形的判定方法是　　　　　　． 30．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在和中，．若要使得，则应添加的条件是　　　　　．（添加一个条件即可） 31．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）（多选）如图，已知平分，，则根据“　　　　　　　　　”，就可判断． 32．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  33．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为　　　　　　　　　　　时，剪下的两个三角形全等． 34．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，，，若，求的大小． 35．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 36．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，，，．求证：． 37．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 38．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 39．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，海岸上有，两个观测点，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，如果海岛，所在海岸的距离相等，那么从观测点看海岛，D的视角与从观测点看海岛，的视角是否相等？请你说明理由. 40．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在和中，，，当添加条件　　　　　时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 41．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，， （1）求证： （2）若，则等于多少？ 42．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，点D在边上，于点E，，交于点F，，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（                                               ）． 在与中， ∴（                                               ）， ∴                       （全等的性质）． ∵                       （平角的定义）， ∴． 43．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，点D 在 边上，于点E，， 交 于点 F，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（             ）． 在与中， ∴（           ）， ∴           （全等的性质）． ∵           （           ）， ∴． 44．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：　　　　　　　（写一个即可）． 45．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数． 46．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 47．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图所示，，是的中点，求证：． 48．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：． 49．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 50．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 51．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，．判断和的位置关系，并说明理由． 52．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 53．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 54．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，点在上，点在上，，．求证：． 55．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数． 56．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，已知平分，．求证：． 57．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，，，，求证：． 58．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝54°，则∠E＝　　　　　　　　°． 59．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________． （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 60．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 61．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图， （1）试判断线段与的关系，并说明理由． （2）证明． 62．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北分别有C，D两个棉花种植场，其中C到A站的距离为25千米，D到B站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂E，棉花种植场C，D到E的距离相等，且，则A，B两站的距离为　　　　　　　　　　千米． 63．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 64．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 65．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 66．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，与相交于点C，，，，点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，求t的值． 67．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 68．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 69．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G． （1）求证：BF＝CG； （2）若AB＝10，AC＝6，求线段CG的长. 70．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则　　　　　　　． 71．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）综合与实践：八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在旗杆与教学楼之间选定一点P；②测量旗杆顶的视线与楼顶的视线的夹角；③测量点到楼底的距离的长度；④测量旗杆的高度；⑤测量旗杆与教学楼之间的距离的长度． 测量数据 米，米 （1）根据兴趣小组测量方案及数据，教学楼高度为___________米； （2）请你证明以上测量方案的正确性． 72．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 任务： （1）求证：； （2）经测量，得知点B到点D的距离是8cm，细绳的长是17cm，求的长． 73．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 74．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                                 图2 任务： （1）求证：． （2）经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 75．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，与相交于点O，连接，，点O是的中点，，求证：． 76．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论． 77．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF． 78．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，AC、BD 相交于点 O，∠A=∠D, AB=CD.求证：△AOB≌△DOC. 79．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动．，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）当时，______，当时，______； （2）连接，当线段经过点时，求的长． 80．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 81．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线与地面的夹角，测楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都等于9米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度多少米？ 82．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 83．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当　　　　　　　　　　　秒时，与全等． 84．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，中，，，是边上的中线，，，与相交点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 85．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 86．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则　　　　　　　　　　． 87．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示的正方形的方格中，　　　　　　　　　度． 88．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 89．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 90．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 91．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 92．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件　　　　　，使得．（填一个即可） 93．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （1）如图，下列操作中，作的平分线的正确顺序是___________（将序号按正确的顺序写在横线上） ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，在内，两弧交于点． ②以点为圆心，适当长为半径画弧．交于点，交于点． ③画射线，交于点． ④线段即为的一条角平分线． （2）上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的___________（判定方法）； （3）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，图中与相等的角是___________；请你猜想与的数量关系，并说明理由． 94．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　　　　　　． 95．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是             ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 96．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）（多选）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是                  （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 97．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是              ，位置关系是              ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，是中的平分线， 于点，于点，若， 则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，平分交于点D，，若点P是上的动点，则线段的最小值是（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 5 4．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  5．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（       ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于6，点Q是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20， 其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO： S△CAO等于 A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 9．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（          ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（     ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 12．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（       ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 13．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（       ）处． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（       ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 15．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，是的平分线，于E，，，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（多选）如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于点E. 求证：AD＋DE＝BE. 20．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 　　　　　　　　　　(“”“”“”或“”)． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．    （1）求证：AD平分∠BAC： （2）已知AC=18，BE=4，求AB的长． 22．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 23．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 24．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是　　　　　　． 26．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，． （1）请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的面积． 27．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 28．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM； （2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； （3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 2．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝2，CD＝4，则BD的长为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 4.5 D. 6 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】 解：∵△ABC≌△DEC，CE＝2，CD＝4， ∴BC＝CE＝2， ∴BD＝BC＋CD＝4＋2＝6， 故选：D． 【点睛】 此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答． 3．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，，若，则的长为（     ） A. 2.5 B. 3 C. 4.5 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等得到，再根据线段和差计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】 解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 5．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，已知，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，ABC≌ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是（　　） A. 80° B. 60° C. 40° D. 20° 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：设AD与BC交于点G， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， ∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°， ∴∠BAD＋∠CAE＝135°−55°＝80°， ∴∠BAD＝∠CAE＝40°， ∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF， ∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°， 故选C． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴，故① 正确； ，故③ 正确； ， ∴，即：；故④ 正确； 与明显不相等，故② 错误； 故选B． 8．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，，对于下列结论其中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可知对应角相等，对应边相等，据此判断即可得出答案． 【详解】 解：， ，，，，， 选项、正确，不符合题意； 选项错误，符合题意； ， 即：， 选项正确，不符合题意； 故选：． 9．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）已知下图中的两个三角形全等，则边的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，能利用全等三角形对应角相等、对应边相等的性质准确找出对应边是解决本题的关键． 先利用三角形内角和是求得三角形内角的度数，再根据全等三角形对应角相等找到对应点，进而确定的对应边，即可求得的长． 【详解】 解：在中，． ． ． 又，． ． 故选：B． 10．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图是佳佳制作的风筝模型．已知，且，则的长为 　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等得到，再由即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，点D，E分别在边，上，若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，由可得，最后根据计算即可． 【详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，则　　　　　　　　　　． 【答案】97° a度 【分析】 根据全等三角形对应角相等求出∠DAC的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】 解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°， ∴∠DAC=∠BAC=60°， 又∵∠ACD=23°， ∴在△ACD中， ∠D=180°-60°-23°=97°． 故答案为：97°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母放在对应位置结合图形准确确定对应角是解题的关键，还利用了三角形的内角和定理． 13．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，，则　　　　　　，　　　　　　 ；若，，则　　　　　　． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 根据，可得其对应边对应角相等，即可得，，；由是公共角易证得，已知，，即可求得的度数． 【详解】 解：， ，，； 是公共角 ，即， 已知，， ，． 故答案为：、、． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边． 14．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，，，，则的度数是　　　　　　． 【答案】}度 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据全等三角形的性质求出，，进而可求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， ． 故答案为： 15．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：，，，，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等的性质． 【详解】 解：， ， 故答案为：5． 16．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图所示的两个三角形全等，则的值为　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及内角和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵两个三角形是全等三角形， ∴对应角相等， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）已知，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等的性质． 根据全等三角形对应边相等即可进行解答． 【详解】 解：，， ， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，点A，C，D，B在一条直线上，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质（对应边相等），运用直接推理思想．解题关键是利用全等三角形对应边相等得出，再结合线段的和差关系计算；易错点是对线段之间的位置关系判断错误，导致的计算式列错． 首先根据，由全等三角形对应边相等得．其次观察图形，，代入，最后计算得． 【详解】 解：，，， ， ． 19．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“全等三角形的性质”“三角形外角的性质”，利用全等三角形的性质求出所需边、角的大小是解题关键． 根据，可知，． （1）是的外角，故，代入即可求出的度数． （2）由，代入即可求出的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． 20．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】 解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，若，且，，则　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，，点E在上，与交于点F，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 23．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝　　　． 【答案】60° 【分析】 根据全等三角形的性质，得∠B＝∠E＝80°，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠E＝80° ∵∠A＝40° ∴∠C＝180°-∠A-∠B＝60° 故答案为：60°． 【点睛】 本题考查了全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 24．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为　　　　　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】 解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：30． 25．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为　　　　　　　，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，AB＝AD，BC＝DC，则△ABC≌△ADC，判定这两个三角形全等的依据是（       ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【分析】 利用SSS可判定全等． 【详解】 解：∵AB＝AD，BC＝DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 故选：D． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题关键是掌握根据SSS判定全等． 2．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，已知则可判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件发现满足证明全等． 【详解】 解：∵，， ∴两个直角三角形中斜边和一组直角边分别对应相等，即满足证明， 故选：D． 3．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具（          ）． A. 可以带1号去 B. 可以带2号去 C. 可以带3号去 D. 都不行 【答案】A 【分析】 根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】 由图形可知，1号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；2号没有完整的边或角，3号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，2号和3号都不可以作出与原三角形全等的三角形． 故选A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 4．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了全等三角形的判定定理，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】 解：已知，且， 如果添加，不能判定全等，不符合题意； 添加，不能判定全等，不符合题意； 当添加，不能判定全等，不符合题意； 当添加，根据能判断，符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，若，，则可判定，这是根据（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】 解：和中，， 若，， 则根据可判定， 故选：C． 6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（     ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】 解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误； B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误； D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 7．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（          ）． A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 设运动时间为秒，点的运动速度为，则，，，根据三等分点求出，根据全等三角形的判定得出：当，时；当，时；能够使得与全等，分别列方程求解，即可求出点的运动速度． 【详解】 解：设运动时间为秒，点的运动速度为， 则，，， 点是线段的三等分点（靠近处）， ， ， 要使与全等，则必须满足，或，， 分两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与全等， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了列代数式，线段等分点的有关计算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 9．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（     ） A. 以为圆心，为半径的弧 B. 以为圆心，为半径的弧 C. 以为圆心，为半径的弧 D. 以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】 本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】 在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 10．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，已知，，且 C 是的中点，则判定的方法是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查全等三角形的判定，关键是利用即可证明解答．先由线段中点的定义得到，再利用即可证明，即可得解． 【详解】 解：∵C 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：D． 11．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，下列条件中，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：A、依据可知，故A不符合要求； B、依据可知，故B不符合要求； C、依据可知，故C不符合要求； D、依据无法判定，故D符合要求． 故选：D． 12．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有、、、、． 根据题意可得，即可根据证明． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 13．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，得出，即可证明，即可求解． 【详解】 解：依题意， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有等等． 【详解】 解：∵， ∴， 添加条件，结合，不可以证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合不可以证明，故C不符合题意； 添加条件，则，即，结合，可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 15．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 全等三角形的周长和面积相等 D. 所有等边三角形是全等三角形 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的判定．根据全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可． 【详解】 解：∵能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形， ∴指形状相同的两个三角形、面积相等的两个三角形以及所有等边三角形都不是全等三角形， ∴选项A、B、D的说法错误，不符合题意； 全等三角形的周长和面积相等， ∴选项C说法正确，符合题意； 故选：C． 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（     ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故选：B． 17．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能 判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】 解：∵， ∴，即， 添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：A． 18．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 19．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断① ；根据全等三角形的判定和性质判断② ④ ；根据和判断③ 即可． 【详解】 解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故② 正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④ 正确； ，， ， ， ， ，故③ 错误； 故选：C． 20．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（       ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A. ①-②-③-④ B. ③-②-④-① C. ④-③-①-② D. ④-①-③-② 【答案】D 【分析】 本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】 解：作图过程正确的顺序是：④ 以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ① 以为圆心，长为半径画，交于点； ③ 以为圆心，长为半径画弧，交于点； ② 作射线，则， 故正确的顺序是④ ① ③ ② ， 故选：D． 21．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 22．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A. 2 B. 3或1.5 C. 2或1.5 D. 2或3 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】 根据题意得， ∴当时，， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 综上所述，的值为3或． 故选：D． 23．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，在直角三角形中，，，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、重合，连接、．下列判断正确的有（       ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 由是锐角为45°的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由确定的性质判断其它三个选项是否正确． 【详解】 解：，点是的中点， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ，故① 正确； （全等三角形的对应边相等），故② 正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ，故③ 正确； ， ， ， ，故④ 错误． 综上分析，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质和判断，熟练运用全等三角形的性质和判断是解题的关键． 24．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）下列命题是真命题的是(       ) A. 如果，那么 B. 三个内角分别对应相等的两个三角形相等 C. 两边一角对应相等的两个三角形全等 D. 如果是有理数，那么是实数 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义、全等三角形的判定、实数的分类等知识对各选项逐一进行判断即可． 【详解】A． 如果，那么，故A选项错误； B． 三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等，故B选项错误； C． 两边一角对应相等的两个三角形不一定全等，当满足SAS时全等，当SSA时不全等，故C选项错误； D． 如果是有理数，那么是实数，正确， 故选D． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，涉及了绝对值、全等三角形的判定、实数等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 25．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 26．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 27．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在RtAEB和RtAFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④ACN≌ABM．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断． 【详解】 解：∵∠EAC＝∠FAB， ∴∠EAB＝∠CAF， 在△ABE和△ACF， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠B＝∠C．AE＝AF， 故① 正确； 由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB； 在△ACN和△ABM， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA）， 故④ 正确； ∴AN＝AM． ∵AC＝AB， ∴CM＝BN， 故③ 正确； 由于条件不足，无法证得②CD＝DN； 综上所述，正确的结论是① ③ ④ ，共有3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 28．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的异侧，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ． 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用证明即可． 【详解】 略 29．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，是任意一个角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线便是平分线，此作法依据全等三角形的判定方法是　　　　　　． 【答案】 【分析】 证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，寻找这两个三角形全等的条件，利用全等三角形的性质，对应角相等． 【详解】 解：由题意可知，    ∴在和中， ， ∴ ∴， 即平分． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法；解答本题的关键是把要证明相等的两个角放到两个三角形中，证明这两个三角形全等，借助两个三角形全等的性质． 30．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）在和中，．若要使得，则应添加的条件是　　　　　．（添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 在已经具备一边一角对应相等的情况下，可添加另外一组角的对应相等即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 31．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）（多选）如图，已知平分，，则根据“　　　　　　　　　”，就可判断． 【答案】AAS 【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAB=∠CAB，从而根据AAS可证明△ABD≌△ACD． 【详解】 解：∵AB平分∠DAC， ∴∠DAB=∠CAB， ∵∠D=∠C，AB=AB， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， 故答案为：AAS． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握利用AAS判定三角形全等是解题的关键． 32．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 33．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为　　　　　　　　　　　时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】 解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 34．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，，，，若，求的大小． 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意可证得，则有，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 35．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）（多选）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90°， ∵在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD． 【分析】 求出∠B=∠D，根据AAS证△ABC≌△ADC，即可推出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟知全等三角形的判定方法是解决此题的关键．根据得出，然后根据“”证出，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】 略 38．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，由，得，然后证明，所以，再通过平行线的判定即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，海岸上有，两个观测点，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，如果海岛，所在海岸的距离相等，那么从观测点看海岛，D的视角与从观测点看海岛，的视角是否相等？请你说明理由. 【答案】解：相等，理由如下： 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴从观测点看海岛，D的视角与从观测点看海岛，的视角相等． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．证明得到，再由角度的和差计算即可证明． 【详解】 略 40．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在和中，，，当添加条件　　　　　时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【答案】或或． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．要证明两个三角形全等，需要根据全等三角形的判定条件(如、等)添加一个合适的条件．题目已给出一边和一个角，可以考虑用、、判定． 【详解】 解：添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 故答案为：或或． 41．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，， （1）求证： （2）若，则等于多少？ 【答案】（1） 证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ，     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意可得，，即可解答； （2）利用线段之间的关系即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，‘ ． 42．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，在中，点D在边上，于点E，，交于点F，，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（                                               ）． 在与中， ∴（                                               ）， ∴                       （全等的性质）． ∵                       （平角的定义）， ∴． 【答案】垂直的定义；；；； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证． 【详解】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． 在与中， ， ∴， ∴（全等的性质）． ∵（平角的定义）， ， 故答案为：垂直的定义；；；；． 43．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，点D 在 边上，于点E，， 交 于点 F，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（             ）． 在与中， ∴（           ）， ∴           （全等的性质）． ∵           （           ）， ∴． 【答案】垂直的意义；；；；；邻补角的意义 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证． 【详解】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的意义）． 在与中， ∴（）， ∴（全等的性质）． ∵（邻补角的意义）， ∴． 故答案为：垂直的意义；；；；；邻补角的意义． 44．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：　　　　　　　（写一个即可）． 【答案】∠ABC=∠ABD 【分析】 根据AB=AB，然后根据“AAS”的判定方法添加条件即可． 【详解】 解：可添加∠ABC=∠ABD． 理由如下：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， 故答案为：∠ABC=∠ABD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一． 45．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】 解：∵平分， ． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即． ∵， ∴． 46．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】 略 47．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图所示，，是的中点，求证：． 【答案】证明：，是的中点， ， ∴， 在和中， ． 【分析】 本题考查中点性质、三角形全等的判定与性质等知识，先由中点定义得到，再由两个三角形全等的判定定理得到即可，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】 略 48．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】 略 49．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）由全等三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 50．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE；     （2）65°      【分析】 （1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证； （2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 51．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，．判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】解：结论：． 理由：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，欲证明，只要证明，只要证明即可． 【详解】 略 52．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由，得，即可用证明，即可证明． 【详解】 略 53．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 【答案】证明：， ，， 点D是的中点， ， 在与中， ， ． 【分析】 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法即可证明． 【详解】 略 54．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件证明，即可得结论． 【详解】 略 55．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 56．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，已知平分，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质的运用是解题的关键，根据证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 略 57．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 即． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】 略 58．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝54°，则∠E＝　　　　　　　　°． 【答案】27 【详解】 ∵BE⊥AC，AD=CD， ∴AB=CB，即△ABC为等腰三角形， ∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE=∠ABC=27°， 在△ABD和△CED中， , ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴∠E=∠ABE=27°． 故答案是：27． 59．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________． （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 【答案】（1）三角形具有稳定性； （2），理由如下： ∵O是和的中点， ∴， 在△AOD和△BOC中， ， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 （1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明，得，结合已知条件则可知的长度 【详解】 解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性； （2）略 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明是解题的关键． 60．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明：∵BE＝CF，                   ∴BE＋EC＝CF＋EC．                     即 ∴BC＝EF． 又∵ABDE，                   ∴∠B＝∠1.      在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 【分析】 根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 61．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图， （1）试判断线段与的关系，并说明理由． （2）证明． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明； （2）由可得，进而可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北分别有C，D两个棉花种植场，其中C到A站的距离为25千米，D到B站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂E，棉花种植场C，D到E的距离相等，且，则A，B两站的距离为　　　　　　　　　　千米． 【答案】40 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用．证明，可得到千米，即可求解． 【详解】 解：由题意得，，， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴千米， ∵千米， ∴A，B两站的距离为千米． 故答案为：40 63．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】 略 64．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【答案】（1） 证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴；     （2） 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理．      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 65．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，与相交于点C，，，，点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，求t的值． 【答案】当或3时，点P，Q，C三点在同一条直线上 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可分当点P未到达点B时，有P，Q，C三点在同一条直线上，即，当点P到达点B后返回点A的途中，有P，Q，C三点在同一条直线上，即，进而分类进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P未到达点B时，有P，Q，C三点在同一条直线上，即， 由题意得：，，则有， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P到达点B后返回点A的途中，有P，Q，C三点在同一条直线上，即， 由题意得：，，则有， 同理可得：， ∴， 解得：； 综上所述：当或3时，点P，Q，C三点在同一条直线上． 67．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 【答案】解：结论：，． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ， ， ∴． ∴，． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的意义，先由条件可以得出，再证明就可以得出结论； 【详解】 略 68．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 69．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G． （1）求证：BF＝CG； （2）若AB＝10，AC＝6，求线段CG的长. （1）连接EC、EB AE是∠CAB的平分线， EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G， EG=EF 点D是BC的中点，ED垂直BC ∴ED垂直平分BC， EC=EB Rt△CGE≌Rt△BFE（HL）， BF＝CG （2）CG=2. 【分析】 本题需先连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌Rt△BFE，从而证出BF=CG; 本题根据AE是∠CAB的平分线，得出∠FAE=∠GAE，再根据EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，得出∠AFE=∠AGE ,即可证得△AFE≌△AGE ，从而得到AF=AG， 设BF=CG=x, AG=AF=y，组成二元一次方程组即可求解. 【详解】 （1）略 (2)AE是∠CAB的平分线 ∴∠FAE=∠GAE ∵EF⊥AB于点F，EG⊥AC ∴∠AFE=∠AGE=90° 在△AFE和△AGE中 , ∴△AFE≌△AGE（AAS） ∴AF=AG 设BF=CG=x, AG=AF=y ∴AB=AF+BF=x+y=10 AC=AG-CG=y-x=6 ∴ 解得 ∴CG=BF=2. 【点睛】 本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，解题关键是在解题时要注意判定和性质的灵活应用以及与角平分线的性质的联系． 70．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 【详解】 解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 71．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）综合与实践：八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在旗杆与教学楼之间选定一点P；②测量旗杆顶的视线与楼顶的视线的夹角；③测量点到楼底的距离的长度；④测量旗杆的高度；⑤测量旗杆与教学楼之间的距离的长度． 测量数据 米，米 （1）根据兴趣小组测量方案及数据，教学楼高度为___________米； （2）请你证明以上测量方案的正确性． 【答案】（1）     （2） 证明：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，进而可得，再根据平角定义可得：，从而可得：，然后利用证明，从而可得，即可解答． （2）同（1）的证明步骤． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴教学楼高度为18米． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 72．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 任务： （1）求证：； （2）经测量，得知点B到点D的距离是8cm，细绳的长是17cm，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 73．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】 （1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）略 74．（25-26学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                                 图2 任务： （1）求证：． （2）经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质： （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴． 由题意，得． 由（1），得． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 75．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，与相交于点O，连接，，点O是的中点，，求证：． 【答案】证明：∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、对顶角相等，由点O是的中点得出，再证明，即可得证． 【详解】 略 76．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论． 【答案】且 【分析】 根据SAS推出，由全等的性质得，，，M，N分别是AE，CD的中点，故，从而可证，进而得出，，由，故可证． 【详解】 且．理由如下： 在与中， ， ， ， M，N分别是AE，CD的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 且． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 77．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【分析】 首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 78．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，AC、BD 相交于点 O，∠A=∠D, AB=CD.求证：△AOB≌△DOC. 【答案】证明：在△AOB和△DOC中, ， 所以,△AOB≌△DOC(AAS). 【分析】 根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC，然后利用“角角边”证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，根据对顶角相等得出∠AOB=∠DOC是解题的突破口. 79．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动．，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）当时，______，当时，______； （2）连接，当线段经过点时，求的长． 【答案】（1），；     （2）的长为或．      【分析】 （1）根据点的运动速度、运动时间、运动方向即可求解； （2）先根据证明，得出，，当线段经过点时，根据可证，推出，用含的代数式表示，，分情况列出等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时．， 当时．， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ∴，， 当线段经过点时，如下所示： 在和中， ， ， ， ，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动， 时，点到达点，时，点返回点， ， 当时，， 解得， 的长为； 当时，， 解得， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质及一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点的运动方向不同，需要分情况讨论． 80．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质： （1）由“”可证； （2）由，根据三角形的外角性质，即可求的度数． 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴． 81．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，，为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线与地面的夹角，测楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都等于9米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度多少米？ 【答案】每层楼的高度3米． 【分析】 由题意可得出，从而可求出．结合题意米，即可证明，得出，进而即可解答． 【详解】 解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 每层楼的高度米． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质的实际应用．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 82．（24-25学年八上·新疆克孜勒苏柯·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 【答案】52米 【分析】 先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可． 【详解】 解：由题意可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又CD=12米，BD=64米， 米， 米， 答：该居民楼ED的高度为52米． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键． 83．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当　　　　　　　　　　　秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 84．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，中，，，是边上的中线，，，与相交点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要查了全等三角形的判定和性质： （1）根据证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由是边上的中线，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， 是边上的中线， ， ． 85．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）， 证明：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 【分析】 本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论； （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 86．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则　　　　　　　　　　． 【答案】140 【分析】 此题重点考查坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作轴于点，轴于点，因为，所以，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作轴于点，轴于点，则， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 87．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）如图所示的正方形的方格中，　　　　　　　　　度． 【答案】150 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明是解题的关键．根据证明，得出，即可推出结果． 【详解】 解：由图形可知，，，， 在与△中， ， ， ， ， ， 由网格知，， ∴， 故答案为：150． 88．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAE， 在△ABC与△AED中，∠B=∠E，AB=AE，∠CAB=∠DAE， ∴△ABC≌△AED， ∴BC=ED． 【分析】 由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE，再根据ASA证明△ABC≌△AED，即可得出答案． 【详解】 略 89．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】（1） ，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴；     （2） ，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即；     （3）18      【分析】 此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 90．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 在与中， ， ．     （2）3      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，所以，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得， ， ， ， ． 91．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 92．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，与相交于点，，添加一个条件　　　　　，使得．（填一个即可） 【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】 此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 【详解】 解：∵，， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴，，同理， 故答案为：或或或（答案不唯一）． 93．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （1）如图，下列操作中，作的平分线的正确顺序是___________（将序号按正确的顺序写在横线上） ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，在内，两弧交于点． ②以点为圆心，适当长为半径画弧．交于点，交于点． ③画射线，交于点． ④线段即为的一条角平分线． （2）上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的___________（判定方法）； （3）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，图中与相等的角是___________；请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）② ① ③ ④     （2）     （3）；， 理由：∵， ∴， ∵的平分线与平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）连接，然后根据全等三角形的判定定理解答即可； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与相等的角；在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：作的平分线的正确顺序是② ① ③④； 故答案为：② ① ③ ④ ； (2) 小问详解： 如图：连接， 由作图可知：， 又， ∴ 故答案为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了角平分线的作法、与角平分线有关的三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 94．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】 解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 95．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是             ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】 解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 96．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）（多选）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是                  （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）AD     （2） 证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3） ，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 97．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是              ，位置关系是              ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3） ，，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·新疆阿克苏地·期中）如图，是中的平分线， 于点，于点，若， 则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是中的平分线， 于点，于点， ∴， 故选：． 3．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在中，平分交于点D，，若点P是上的动点，则线段的最小值是（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 过点D作DE⊥BC于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，根据角平分线的性质即可得到DE=DA=3． 【详解】 解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E， ∵垂线段最短， ∴当P与E重合时DP最短， ∴线段的最小值即DE的长度， ∵BD平分交于点D，AD⊥AB，DE⊥BC， ∴DE=DA=3． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 4．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，先利用的面积，求得点到直线的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：∵，的面积为， ∴点到直线的距离， ∵为平分线上一点， ∴点到直线的距离点到直线的距离． 故选：A． 5．（25-26学年八上·新疆疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆师范大学附属中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（       ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△ACD列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF， 由图可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴×6×3＋×AC×3＝15， 解得AC＝4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，熟记性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于6，点Q是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是关键，过点P作，得出，最根据垂线段最短即可解答． 【详解】 解：如图：平分，， 过点P作， ∴， ∵点Q是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】 解：过D作于F， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20， 其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO： S△CAO等于 A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 【答案】C 【分析】 利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是10，15，20，所以面积之比就是2：3：4． 【详解】 解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三条角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝(AB•OE)：(BC•OF)：(AC•OD)＝AB：BC：AC＝10：15：20=2：3：4， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 9．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（          ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】 解：如图，过作于，于，于，则，    ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 10．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 11．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（     ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【分析】 本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 12．（25-26学年八上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（       ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】 解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（       ）处． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】 解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】 此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 14．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（       ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，① 正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，② 正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④ 正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③ 错误；即可得出结论． 【详解】 ∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，② 正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，② 正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④ 正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③ 错误； 正确的有① ② ④ ； 故选B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 15．（24-25学年八上·新疆治区乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中）如图，是的平分线，于E，，，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据的面积列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，过点D作于F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断① ；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断② ；根据三角形的外角性质判断③ ；根据全等三角形的性质判断④ ． 【详解】 解：① 过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故① 正确； ② ∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，② 正确； ③ ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③ 正确； ④ 由② 可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④ 正确， 故选：D 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 18．（25-26学年八上·新疆治区乌鲁木齐沙依巴克区新疆农业大学附属中学·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（多选）如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于点E. 求证：AD＋DE＝BE. 【答案】证明:∵BD平分∠CBA， ∴∠EBD＝∠CBD， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DEB＝∠C， 在△DEB和△DCB中： , ∴△DEB≌△DCB（AAS）， ∴DE＝DC，BE＝BC， ∵AD+DE＝AD+DC=AC＝BC， ∴AD+DE＝BE. 【详解】 试题分析：（1）由∠DEB＝∠C，∠EBD＝∠CBD，DB＝DB可得△DEB≌△DCB，所以BC=BE，又因为AC＝BC，所以AC＝BE，由题意可得，△ABC为等腰直角三角形，故不难得出△ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE，所以AD＋DE=AD+DC=AC=BC=BE. 试题解析：略 点睛：要证明两线段之和等于第三条线段,可以将两线段中的一条线段用等线段代换使两线段之和转变为一条线段,将问题转化为证明两条线段相等即可. 20．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第十二中学·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 　　　　　　　　　　(“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】 本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，证明，可得结论． 【详解】 解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 故答案为：“”． 21．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．    （1）求证：AD平分∠BAC： （2）已知AC=18，BE=4，求AB的长． 【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 平分； （2）． 【分析】 （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：，， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 22．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第八中学·期中）已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】 略． 23．（24-25学年八上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐八一中学·期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24．（24-25学年八上·新疆库尔勒第四中学·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】 解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 25．（25-26学年八上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·新疆维吾尔自治·期中）如图，在中，． （1）请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的基本作图． （1）① 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交､于点､；② 分别以点､为圆心，大于为半径作弧，相交于点D；③ 作射线，交于点P，即为所求的的角平分线； （2）过点P作于点E，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，过点P作于点E，     ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 27．（24-25学年八上·新疆治区吐鲁番·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 28．（24-25学年八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM； （2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； （3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）； （2）； （3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM， ∴， ∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动， ∴AE=2tcm，CG=tcm， ∴=2， 即， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【分析】 （1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD； （2）分两种情况进行讨论：① 当0＜t＜4时，② 当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可． （3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【详解】 解：（1）略 （2）解：① 当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=4-t ∴10-2t=4-t， ∴t=6（不合题意，舍去）； ② 当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=t-4， ∴10-2t=t-4， ∴t=， 综上：当t=时，△DFE与△DMG全等； （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等得到，再由即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，由可得，最后根据计算即可． 【详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．【答案】97° a度 【分析】 根据全等三角形对应角相等求出∠DAC的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】 解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°， ∴∠DAC=∠BAC=60°， 又∵∠ACD=23°， ∴在△ACD中， ∠D=180°-60°-23°=97°． 故答案为：97°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母放在对应位置结合图形准确确定对应角是解题的关键，还利用了三角形的内角和定理． 13．【答案】①     ②     ③ 【分析】 根据，可得其对应边对应角相等，即可得，，；由是公共角易证得，已知，，即可求得的度数． 【详解】 解：， ，，； 是公共角 ，即， 已知，， ，． 故答案为：、、． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边． 14．【答案】}度 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据全等三角形的性质求出，，进而可求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， ． 故答案为： 15．【答案】5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等的性质． 【详解】 解：， ， 故答案为：5． 16．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及内角和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵两个三角形是全等三角形， ∴对应角相等， ∴， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等的性质． 根据全等三角形对应边相等即可进行解答． 【详解】 解：，， ， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质（对应边相等），运用直接推理思想．解题关键是利用全等三角形对应边相等得出，再结合线段的和差关系计算；易错点是对线段之间的位置关系判断错误，导致的计算式列错． 首先根据，由全等三角形对应边相等得．其次观察图形，，代入，最后计算得． 【详解】 解：，，， ， ． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“全等三角形的性质”“三角形外角的性质”，利用全等三角形的性质求出所需边、角的大小是解题关键． 根据，可知，． （1）是的外角，故，代入即可求出的度数． （2）由，代入即可求出的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． 20．【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】 解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 21．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 23．【答案】60° 【分析】 根据全等三角形的性质，得∠B＝∠E＝80°，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠E＝80° ∵∠A＝40° ∴∠C＝180°-∠A-∠B＝60° 故答案为：60°． 【点睛】 本题考查了全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 24．【答案】30 【分析】 本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】 解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：30． 25．【答案】2.4或2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D 11．D 12．A 13．B 14．D 15．C 16．B 17．A 18．A 19．C 20．D 21．A 22．D 23．C 24．D 25．A 26．D 27．C 28．【答案】证明：， ，即． 在和中， ． 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用证明即可． 【详解】 略 29．【答案】 【分析】 证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，寻找这两个三角形全等的条件，利用全等三角形的性质，对应角相等． 【详解】 解：由题意可知，    ∴在和中， ， ∴ ∴， 即平分． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法；解答本题的关键是把要证明相等的两个角放到两个三角形中，证明这两个三角形全等，借助两个三角形全等的性质． 30．【答案】（答案不唯一） 【分析】 在已经具备一边一角对应相等的情况下，可添加另外一组角的对应相等即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 31．【答案】AAS 【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAB=∠CAB，从而根据AAS可证明△ABD≌△ACD． 【详解】 解：∵AB平分∠DAC， ∴∠DAB=∠CAB， ∵∠D=∠C，AB=AB， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， 故答案为：AAS． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握利用AAS判定三角形全等是解题的关键． 32．【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 33．【答案】2 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】 解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意可证得，则有，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 35．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90°， ∵在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD． 【分析】 求出∠B=∠D，根据AAS证△ABC≌△ADC，即可推出结论． 【详解】 略 36．【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟知全等三角形的判定方法是解决此题的关键．根据得出，然后根据“”证出，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】 略 37．【答案】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】 略 38．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，由，得，然后证明，所以，再通过平行线的判定即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 略 39．【答案】解：相等，理由如下： 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴从观测点看海岛，D的视角与从观测点看海岛，的视角相等． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．证明得到，再由角度的和差计算即可证明． 【详解】 略 40．【答案】或或． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．要证明两个三角形全等，需要根据全等三角形的判定条件(如、等)添加一个合适的条件．题目已给出一边和一个角，可以考虑用、、判定． 【详解】 解：添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 故答案为：或或． 41．【答案】（1） 证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ，     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意可得，，即可解答； （2）利用线段之间的关系即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，‘ ． 42．【答案】垂直的定义；；；； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证． 【详解】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． 在与中， ， ∴， ∴（全等的性质）． ∵（平角的定义）， ， 故答案为：垂直的定义；；；；． 43．【答案】垂直的意义；；；；；邻补角的意义 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证． 【详解】 证明：∵（已知）， ∴（垂直的意义）． 在与中， ∴（）， ∴（全等的性质）． ∵（邻补角的意义）， ∴． 故答案为：垂直的意义；；；；；邻补角的意义． 44．【答案】∠ABC=∠ABD 【分析】 根据AB=AB，然后根据“AAS”的判定方法添加条件即可． 【详解】 解：可添加∠ABC=∠ABD． 理由如下：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， 故答案为：∠ABC=∠ABD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一． 45．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】 解：∵平分， ． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即． ∵， ∴． 46．【答案】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】 略 47．【答案】证明：，是的中点， ， ∴， 在和中， ． 【分析】 本题考查中点性质、三角形全等的判定与性质等知识，先由中点定义得到，再由两个三角形全等的判定定理得到即可，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】 略 48．【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】 略 49．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）由全等三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 50．【答案】（1） 证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE；     （2）65°      【分析】 （1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证； （2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 51．【答案】解：结论：． 理由：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，欲证明，只要证明，只要证明即可． 【详解】 略 52．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由，得，即可用证明，即可证明． 【详解】 略 53．【答案】证明：， ，， 点D是的中点， ， 在与中， ， ． 【分析】 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法即可证明． 【详解】 略 54．【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件证明，即可得结论． 【详解】 略 55．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 56．【答案】证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质的运用是解题的关键，根据证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 略 57．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 即． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】 略 58．【答案】27 【详解】 ∵BE⊥AC，AD=CD， ∴AB=CB，即△ABC为等腰三角形， ∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE=∠ABC=27°， 在△ABD和△CED中， , ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴∠E=∠ABE=27°． 故答案是：27． 59．【答案】（1）三角形具有稳定性； （2），理由如下： ∵O是和的中点， ∴， 在△AOD和△BOC中， ， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 （1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明，得，结合已知条件则可知的长度 【详解】 解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性； （2）略 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明是解题的关键． 60．【答案】证明：∵BE＝CF，                   ∴BE＋EC＝CF＋EC．                     即 ∴BC＝EF． 又∵ABDE，                   ∴∠B＝∠1.      在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 【分析】 根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 61．【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明； （2）由可得，进而可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．【答案】40 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用．证明，可得到千米，即可求解． 【详解】 解：由题意得，，， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴千米， ∵千米， ∴A，B两站的距离为千米． 故答案为：40 63．【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】 略 64．【答案】（1） 证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴；     （2） 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理．      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 65．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．【答案】当或3时，点P，Q，C三点在同一条直线上 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可分当点P未到达点B时，有P，Q，C三点在同一条直线上，即，当点P到达点B后返回点A的途中，有P，Q，C三点在同一条直线上，即，进而分类进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P未到达点B时，有P，Q，C三点在同一条直线上，即， 由题意得：，，则有， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P到达点B后返回点A的途中，有P，Q，C三点在同一条直线上，即， 由题意得：，，则有， 同理可得：， ∴， 解得：； 综上所述：当或3时，点P，Q，C三点在同一条直线上． 67．【答案】解：结论：，． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ， ， ∴． ∴，． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的意义，先由条件可以得出，再证明就可以得出结论； 【详解】 略 68．【答案】（1） 证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 70．【答案】6 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 【详解】 解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 71．【答案】（1）     （2） 证明：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，进而可得，再根据平角定义可得：，从而可得：，然后利用证明，从而可得，即可解答． （2）同（1）的证明步骤． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴教学楼高度为18米． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 72．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 73．【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】 （1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）略 74．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质： （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴． 由题意，得． 由（1），得． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 75．【答案】证明：∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、对顶角相等，由点O是的中点得出，再证明，即可得证． 【详解】 略 76．【答案】且 【分析】 根据SAS推出，由全等的性质得，，，M，N分别是AE，CD的中点，故，从而可证，进而得出，，由，故可证． 【详解】 且．理由如下： 在与中， ， ， ， M，N分别是AE，CD的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 且． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 77．【答案】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【分析】 首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 78．【答案】证明：在△AOB和△DOC中, ， 所以,△AOB≌△DOC(AAS). 【分析】 根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC，然后利用“角角边”证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，根据对顶角相等得出∠AOB=∠DOC是解题的突破口. 79．【答案】（1），；     （2）的长为或．      【分析】 （1）根据点的运动速度、运动时间、运动方向即可求解； （2）先根据证明，得出，，当线段经过点时，根据可证，推出，用含的代数式表示，，分情况列出等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时．， 当时．， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ∴，， 当线段经过点时，如下所示： 在和中， ， ， ， ，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动， 时，点到达点，时，点返回点， ， 当时，， 解得， 的长为； 当时，， 解得， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质及一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点的运动方向不同，需要分情况讨论． 80．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质： （1）由“”可证； （2）由，根据三角形的外角性质，即可求的度数． 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴． 81．【答案】每层楼的高度3米． 【分析】 由题意可得出，从而可求出．结合题意米，即可证明，得出，进而即可解答． 【详解】 解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 每层楼的高度米． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质的实际应用．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 82．【答案】52米 【分析】 先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可． 【详解】 解：由题意可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又CD=12米，BD=64米， 米， 米， 答：该居民楼ED的高度为52米． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键． 83．【答案】3或7或10 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 84．【答案】（1） 证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要查了全等三角形的判定和性质： （1）根据证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由是边上的中线，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， 是边上的中线， ， ． 85．【答案】（1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）， 证明：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 【分析】 本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论； （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 86．【答案】140 【分析】 此题重点考查坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作轴于点，轴于点，因为，所以，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作轴于点，轴于点，则， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 87．【答案】150 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明是解题的关键．根据证明，得出，即可推出结果． 【详解】 解：由图形可知，，，， 在与△中， ， ， ， ， ， 由网格知，， ∴， 故答案为：150． 88．【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAE， 在△ABC与△AED中，∠B=∠E，AB=AE，∠CAB=∠DAE， ∴△ABC≌△AED， ∴BC=ED． 【分析】 由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE，再根据ASA证明△ABC≌△AED，即可得出答案． 【详解】 略 89．【答案】（1） ，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴；     （2） ，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即；     （3）18      【分析】 此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 90．【答案】（1） 证明：， ， 在与中， ， ．     （2）3      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，所以，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得， ， ， ， ． 91．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 92．【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】 此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 【详解】 解：∵，， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴，，同理， 故答案为：或或或（答案不唯一）． 93．【答案】（1）② ① ③ ④     （2）     （3）；， 理由：∵， ∴， ∵的平分线与平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）连接，然后根据全等三角形的判定定理解答即可； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与相等的角；在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：作的平分线的正确顺序是② ① ③④； 故答案为：② ① ③ ④ ； (2) 小问详解： 如图：连接， 由作图可知：， 又， ∴ 故答案为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了角平分线的作法、与角平分线有关的三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 94．【答案】.5 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】 解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 95．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】 解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 96．【答案】（1）AD     （2） 证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3） ，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 97．【答案】（1），     （2）     （3） ，，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 考点03 角的平分线 1．【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．B 13．D 14．B 15．C 16．D 17．（1） 18．【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 19．【答案】证明:∵BD平分∠CBA， ∴∠EBD＝∠CBD， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DEB＝∠C， 在△DEB和△DCB中： , ∴△DEB≌△DCB（AAS）， ∴DE＝DC，BE＝BC， ∵AD+DE＝AD+DC=AC＝BC， ∴AD+DE＝BE. 【详解】 试题分析：（1）由∠DEB＝∠C，∠EBD＝∠CBD，DB＝DB可得△DEB≌△DCB，所以BC=BE，又因为AC＝BC，所以AC＝BE，由题意可得，△ABC为等腰直角三角形，故不难得出△ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE，所以AD＋DE=AD+DC=AC=BC=BE. 试题解析：略 点睛：要证明两线段之和等于第三条线段,可以将两线段中的一条线段用等线段代换使两线段之和转变为一条线段,将问题转化为证明两条线段相等即可. 20．【答案】 【分析】 本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，证明，可得结论． 【详解】 解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 故答案为：“”． 21．【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 平分； （2）． 【分析】 （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：，， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 22．【答案】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】 略． 23．【答案】（1）见详解     （2），见详解      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24．【答案】4 【分析】 过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】 解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 25．【答案】厘米 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 26．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的基本作图． （1）① 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交､于点､；② 分别以点､为圆心，大于为半径作弧，相交于点D；③ 作射线，交于点P，即为所求的的角平分线； （2）过点P作于点E，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，过点P作于点E，     ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 27．【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 28．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）； （2）； （3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM， ∴， ∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动， ∴AE=2tcm，CG=tcm， ∴=2， 即， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【分析】 （1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD； （2）分两种情况进行讨论：① 当0＜t＜4时，② 当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可． （3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【详解】 解：（1）略 （2）解：① 当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=4-t ∴10-2t=4-t， ∴t=6（不合题意，舍去）； ② 当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=t-4， ∴10-2t=t-4， ∴t=， 综上：当t=时，△DFE与△DMG全等； （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $