专题04 反比例函数（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题04 反比例函数 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．B 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴ ， 解得， 故答案为：． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．A 7．D 8．D 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B 14．B 15．D 16．C 17．D 18．C 19．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 【详解】 解：令点P的坐标为， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】 解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 21．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】 解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第二、四象限，， 则． 故答案为：． 22．【答案】＞ 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，在第三象限内y随x的增大而减小．比较两点的横坐标大小关系，即可判断y值的大小． 【详解】 解：∵反比例函数 中，， ∴函数图象在第一、三象限，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵点 和 的横坐标均为负数，且， ∴． 故答案为＞． 23．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， ∵矩形为的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．【答案】（1）反比例函数解析式为：；     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数解析式，再按照平移法则得到平移后的解析式，与反比例函数解析式联立得到一元二次方程，根据根的判别式求出b值即可． (1) 小问详解： 解：点，都在反比例函数图象上， ， 解得， ，， ， 反比例函数解析式为：； (2) 小问详解： 解：，在一次函数的图象上， ，解得 ， 一次函数解析式为， 把一次函数的图象向下平移b个单位长度， 平移后的直线解析式为， 令，整理得：， 平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点， ， 解得或 25．【答案】 【分析】 本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握反比例函数中系数得几何意义是解题的关键．设点，其中，根据对称性得到点，又易知点，由的面积为16，由面积公式可得，结合图象即可求解． 【详解】 设点，其中 ∵点与点关于轴对称 ∴点， 轴于点， ∴， ， 即 又点是反比例函数（，）图象上一点， 即 故答案为： 26．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．设反比例函数的解析式为，因为，则，由垂线与坐标轴围成的矩形的面积为12，得出，结合反比例函数的图象经过第二象限可知，即，结合在第二象限内，随的增大而增大，可得出结论． 【详解】 解：依题意，设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点， 则， 过分别向轴，轴作垂线段且交轴，轴于一点， ∵， ∴四边形是矩形， 矩形的面积为12， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 即， 在第二象限内，随的增大而增大， 即把代入中，得， 把代入中，得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】 解：如图，连接交于点，    四边形是菱形，在轴上，， ，， ， ， 故答案为：． 28．【答案】2 【分析】 本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 先判断比例系数的正负，再根据反比例的性质，确定a的不等式，并解不等式便可． 【详解】 解：∵y＝中，k=1＞0， ∴在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小， ∵a-1＜a+1，＞， ∴点A，B不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上． ∴a-1＜0，且a+1＞0， ∴-1＜a＜1， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的性质，关键是根据反比例函数的性质列出a的不等式． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． (1) 小问详解： 解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 31．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由可得反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴． 32．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，设，则，据此表示出，根据建立关于m的方程，求出m的值，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】 解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 34．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点代入反比例函数的解析式求出，从而即可求出，再利用待定系数法计算即可得解； （2）结合函数图象即可得出结果； （3）连接、，令直线交轴于点，求出，再根据三角形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式可得 ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由函数图象可得，不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：连接、，令直线交轴于点， ， 在中，当时，，解得，即， ∴， ∴面积． 35．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 该题主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，再求解即可； （2）先求出交点坐标，再直接观察图象即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为12，列出等式求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴， ∵在图象上， ∴， ； (2) 小问详解： 解：联立和可得 ， 解得：或， ∴， 由图象可知：的解集为：或； (3) 小问详解： 解：，令，则，解得：， ∴， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； ∴或． 36．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先由点在直线上得出，再由点，在双曲线上得，求出，进而可求出该双曲线的表达式． 【详解】 解：点在直线上， ∴， ∴． ∵点，在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，（舍去）， ． 故答案为：． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到A的横坐标为3，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出k即可； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，结合，，得到，，进而得出，再根据“的面积与的面积相等”得，解方程取合适的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵轴于点， ∴点A的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ∴， 将代入反比例函数中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立 ， 解得 或 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：或（不符合，舍去）， ∴点D的坐标为． 38．【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的性质． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可； （2）根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可； (1) 小问详解： ∵点在这个函数的图象上， ， 解得； (2) 小问详解： ∵当时，y的值随x值的增大而减小， ， ∴． 39．【答案】（1） ② 如图：      （2）在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）     （3）左，1     （4）      【分析】 本题考查反比例函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）② 描点连线即可得到函数图象； （2）类比反比例函数图象性质可得； （3）观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； （4）观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象，根据图象可得题目所求． (1) 小问详解： ② 略 (2) 小问详解： 解：类比反比例函数图象性质可得，在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形； 故答案为：在每一分支上，y随x增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）； (3) 小问详解： 解：观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 故答案为：左，1； (4) 小问详解： 解：如图： 观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象， 由函数的图象知，当时，． 故答案为：． 40．【答案】6 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】 解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 42．【答案】（1）     （2）存在，或      【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出，可得点、坐标，继而求出反比例函数解析式； （2）先求出矩形的面积，进一步求得的面积，再设，则根据三角形面积公式得到，解方程求出值可得点坐标． (1) 小问详解： 解：、在反比例函数的图象上， ， ， 、， ， 反比例函数解析式为； (2) 小问详解： 解：存在， 、， ， ， ，， 的面积是矩形面积的一半， ， 设，则， 即， 解得或， 或． 43．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线与反比例函数的图象都关于原点对称，可得两点也关于原点对称，则有，，再代入整理得，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【详解】 解：直线的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于两点， ，， 又， ， 整理得：， 在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移问题． （1）将点代入正比例函数中求出坐标，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）由题意得到直线的表达式，再联立直线的表达式和反比例函数的表达式，求出点C的横坐标，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：将点代入正比例函数中， 得，解得． ． 将点代入反比例函数中， ． 反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意知，直线的表达式为，． 联立直线的表达式和反比例函数的表达式， 得 ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 点C的横坐标为． ． 45．【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】 解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 46．【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围． (1) 小问详解： 解：把点代入得，， 解得． 故答案为：7． (2) 小问详解： 解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 47．【答案】4 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可以得到，，据此可计算出长． 【详解】 解：∵点A，B在反比例函数图象上，， ∴， ∵矩形的面积为5， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 48．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意，将分别代入、，即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由，代入数据计算即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得：，； (2) 小问详解： ∵直线与轴交于点， ∴当时，，即， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， 当时，， ∴， ∵， 设表示点的横坐标，表示点的横坐标，表示点的纵坐标，表示点的纵坐标， ∴，， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】 本题考查待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，确定函数解析式是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 【详解】 解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 50．【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得 ， 一次函数解析式为：． (2) 小问详解： 解：在一次函数中，令，则， ， ； (3) 小问详解： 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 51．【答案】24 【分析】 该题考查了反比例函数的几何应用，根据，得出，设，则，根据在反比例函数上，得出，根据在反比例函数上，平行于y轴，得出，结合的面积为15，得出，求出，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵在反比例函数上， ∴， ∴， ∵在反比例函数上，平行于y轴， ∴， ∵的面积为15， ∴， 即， ∴， 故答案为：24． 52．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图像和性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设点 的坐标为 ，设 ，则B，C两点坐标可表示，因为 是中点，根据中点坐标公式D点坐标可表示，因为 在反比例函数 上，D点横纵坐标之积为k，可得，再利用的面积为4列方程则题目可解． 【详解】 解：∵ 在反比例函数 上， ∴设点 的坐标为 ， ∵四边形是平行四边形， ∴ 且 ， ∴点 的纵坐标与 的纵坐标相同为 ， 设 ， 则点 的坐标为 ，， ∵ 是中点，根据中点坐标公式： ∴，即 ∵ 在反比例函数 上， ∴ ∵ ∴， ∴， 则 的底为 ，高为 点的纵坐标 ， ∵， ∴ ． 53．【答案】 【分析】 设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 54．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】 解:设点坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 考点03 实际问题与反比例函数 1．A 2．D 3．【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）用待定系数法即可完成； （2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度． (1) 小问详解： 设密度关于体积的函数解析式为， 把点A的坐标代入上式中得：， 解得：k=10， ∴． (2) 小问详解： 当时，（）． 即此时该气体的密度为1． 【点睛】 本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键． 4．【答案】（1）     （2）半径为米      【分析】 （1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． (1) 小问详解： 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】 本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 7．【答案】（1） ；     （2）4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用． （1）分当和时，分别利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当时，的值，由题意结合图象得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，是反比例函数， 设其函数解析式为， 由题意得在反比例函数图象上， 则， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，是一次函数， 设其函数解析式为， ∴ ，解得 ， ∴其函数解析式为， 综上，生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴没达到200万件时，， ∴4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件． 8．【答案】（1）这一函数的表达式为；     （2）当气球的气体体积为时，气体压强是；     （3）当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，根据给定点的坐标，求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与V的函数关系式为，由点在反比例函数图象上，可求出k值，进而可得出这一函数的表达式； （2）把代入即可得到结论； （3）代入，求出V值即可． (1) 小问详解： 解：设与V的函数关系式为， 点在反比例函数图象上， ， ， 这一函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：把代入得；， 答：当气球的气体体积为时，气体压强是； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：， 当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于． 9．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用．解决本题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用解析式求出相应的点的坐标即可． 把点的坐标代入，求出的值，从而得到反比例函数的解析式为，再把点代入解析式即可求出的值； 求出当时，，可知汽车通过该路段至少需要． (1) 小问详解： 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 10．【答案】（1）12；（2）19.6 【分析】 （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标； （2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案． 【详解】 （1）设CD段是反比例函数图象的一部分 ∵D(24,10)， ∴ 解得， （2）直线与交点N坐标为 ∵ ∴直线AB解析式为 ∴直线与直线AB 的交点M坐标为 ∴MN横坐标差为 即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． 11．【答案】（1）     （2）分钟      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确读懂函数图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）当时，设，再由待定系数法求解即可； （2）把时，依次代入及中，求出对应的时间，即可求出时间差． (1) 小问详解： 解：当时，设， 将代入得：    ∴机器温度y与时间x的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；    答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）反比例函数的图象不经过的点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握：函数图象上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立．据此逐一判断即可． 【详解】 解：∵反比例函数解析式为 ， A、当，，满足方程，则该点在图象上； B、当，，不满足方程，则该点不在图象上； C、当，，满足方程，则该点在图象上； D、当，，满足方程，则该点在图象上． 故选：B． 2．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）若函数是反比例函数，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴ ， 解得， 故答案为：． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与增减性的关系是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）反比例函数的图象在某象限内y随着x的增大而增大，且点在该反比例函数上，则n的值可能是（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当比例系数时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大．由点A在函数上可得，结合推出，故只有选项A符合． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在某象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数， 又∵点在函数上， ∴． ∴，故n的值可能为． 故选：A． 3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数的图象性质列出不等式求解即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴，解得：. 故选D． 4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）关于反比例函数，下列说法中错误的是（       ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【分析】 根据反比例函数的图像性质判断即可； 【详解】 解：∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意； ∵ ， ∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意； 当 时， ，故C不符合题意； 当 时，   ，故D错误，符合题意； 故答案选D． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 5．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 6．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】 解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ，， ， 故选：A． 7．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象一定经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．先根据点在反比例函数 的图象上求出k的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断． 【详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， A、， 此点不在反比例函数图象上； B、， 此点不在反比例函数图象上； C、， 此点不在反比例函数图象上； D、， 此点在反比例函数图象上． 故选：D． 8．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出反比例函数解析式为，再逐项判断即可求解． 【详解】 解∶∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意； D、当时，，即在该函数图象上，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】 本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于常考题型． 9．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（       ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  【答案】D 【分析】 本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】 解：∵函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，即， ∴当时，y的值可以是． 故选：D． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查反比例函数图象上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的．先由点 求出反比例函数的比例系数 k，得到函数解析式，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 函数解析式为， 即反比例函数上的点满足， 故只有C选项满足． 故选：C． 11．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】 解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 12．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】 解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 13．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．先分别确定反比例函数k的正负，再判定一次函数图象的位置即可． 【详解】 解：A、反比例函数在第二、四象限，，则，则一次函数应该在第一、二、三象限，选项直线位置不符合条件，故不符合题意； B、反比例函数在第一、三象限，，则，则一次函数应该在第一、二、四象限，选项直线位置符合条件，故符合题意； C、反比例函数在第一、三象限，，则，则一次函数应该在第一、二、四象限，选项直线位置不符合条件，故不符合题意； D、反比例函数在第二、四象限，，则，则一次函数应该在第一、二、三象限，选项直线位置不符合条件，故不符合题意； 故选：B． 14．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【分析】 本题考查一次函数的性质，根据一次函数，函数值随自变量的增大而增大，可以得到，再根据图像可以得到，即可得出，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数的图象经过哪几个象限． 【详解】 解：一次函数，函数值随自变量的增大而增大， ， 交y轴负半轴， ， ∴ 函数的图象经过二、四象限， 故选：B． 15．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键． 根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项． 【详解】 解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（     ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】 解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：C． 17．（九·陕西汉中南郑区·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】 解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 18．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：① 当时，，② 当时，，逐项分析判断即可． 【详解】 解：① 当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ② 当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 19．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 【详解】 解：令点P的坐标为， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】 解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 21．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则　　　　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】 解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第二、四象限，， 则． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）若点，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，的大小关系为　　　　　（填“>”“<”或“=”） 【答案】＞ 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，在第三象限内y随x的增大而减小．比较两点的横坐标大小关系，即可判断y值的大小． 【详解】 解：∵反比例函数 中，， ∴函数图象在第一、三象限，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵点 和 的横坐标均为负数，且， ∴． 故答案为＞． 23．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， ∵矩形为的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点， （1）求该反比例函数表达式． （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】（1）反比例函数解析式为：；     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数解析式，再按照平移法则得到平移后的解析式，与反比例函数解析式联立得到一元二次方程，根据根的判别式求出b值即可． (1) 小问详解： 解：点，都在反比例函数图象上， ， 解得， ，， ， 反比例函数解析式为：； (2) 小问详解： 解：，在一次函数的图象上， ，解得 ， 一次函数解析式为， 把一次函数的图象向下平移b个单位长度， 平移后的直线解析式为， 令，整理得：， 平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点， ， 解得或 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，点是反比例函数（，）图象上一点，点与点关于轴对称，过点作轴于点，连接，若的面积为16，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握反比例函数中系数得几何意义是解题的关键．设点，其中，根据对称性得到点，又易知点，由的面积为16，由面积公式可得，结合图象即可求解． 【详解】 设点，其中 ∵点与点关于轴对称 ∴点， 轴于点， ∴， ， 即 又点是反比例函数（，）图象上一点， 即 故答案为： 26．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．设反比例函数的解析式为，因为，则，由垂线与坐标轴围成的矩形的面积为12，得出，结合反比例函数的图象经过第二象限可知，即，结合在第二象限内，随的增大而增大，可得出结论． 【详解】 解：依题意，设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点， 则， 过分别向轴，轴作垂线段且交轴，轴于一点， ∵， ∴四边形是矩形， 矩形的面积为12， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 即， 在第二象限内，随的增大而增大， 即把代入中，得， 把代入中，得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 27．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】 解：如图，连接交于点，    四边形是菱形，在轴上，， ，， ， ， 故答案为：． 28．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 29．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 先判断比例系数的正负，再根据反比例的性质，确定a的不等式，并解不等式便可． 【详解】 解：∵y＝中，k=1＞0， ∴在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小， ∵a-1＜a+1，＞， ∴点A，B不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上． ∴a-1＜0，且a+1＞0， ∴-1＜a＜1， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的性质，关键是根据反比例函数的性质列出a的不等式． 30．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． (1) 小问详解： 解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 31．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知点，，均在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由可得反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴． 32．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，设，则，据此表示出，根据建立关于m的方程，求出m的值，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】 解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 34．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）连接、，求面积． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点代入反比例函数的解析式求出，从而即可求出，再利用待定系数法计算即可得解； （2）结合函数图象即可得出结果； （3）连接、，令直线交轴于点，求出，再根据三角形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式可得 ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由函数图象可得，不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：连接、，令直线交轴于点， ， 在中，当时，，解得，即， ∴， ∴面积． 35．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 该题主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，再求解即可； （2）先求出交点坐标，再直接观察图象即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为12，列出等式求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴， ∵在图象上， ∴， ； (2) 小问详解： 解：联立和可得 ， 解得：或， ∴， 由图象可知：的解集为：或； (3) 小问详解： 解：，令，则，解得：， ∴， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； ∴或． 36．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先由点在直线上得出，再由点，在双曲线上得，求出，进而可求出该双曲线的表达式． 【详解】 解：点在直线上， ∴， ∴． ∵点，在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，（舍去）， ． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到A的横坐标为3，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出k即可； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，结合，，得到，，进而得出，再根据“的面积与的面积相等”得，解方程取合适的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵轴于点， ∴点A的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ∴， 将代入反比例函数中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立 ， 解得 或 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：或（不符合，舍去）， ∴点D的坐标为． 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为______； （2）若在反比例函数（k为常数，）的图象上，当时，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的性质． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可； （2）根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可； (1) 小问详解： ∵点在这个函数的图象上， ， 解得； (2) 小问详解： ∵当时，y的值随x值的增大而减小， ， ∴． 39．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．    （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 【答案】（1） ② 如图：      （2）在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）     （3）左，1     （4）      【分析】 本题考查反比例函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）② 描点连线即可得到函数图象； （2）类比反比例函数图象性质可得； （3）观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； （4）观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象，根据图象可得题目所求． (1) 小问详解： ② 略 (2) 小问详解： 解：类比反比例函数图象性质可得，在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形； 故答案为：在每一分支上，y随x增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）； (3) 小问详解： 解：观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 故答案为：左，1； (4) 小问详解： 解：如图： 观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象， 由函数的图象知，当时，． 故答案为：． 40．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】 解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 41．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 42．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，矩形与反比例函数的图象相交于两点，点的坐标，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，在反比例函数图象上是否存在一点（点不与点重合），使得的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，或      【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出，可得点、坐标，继而求出反比例函数解析式； （2）先求出矩形的面积，进一步求得的面积，再设，则根据三角形面积公式得到，解方程求出值可得点坐标． (1) 小问详解： 解：、在反比例函数的图象上， ， ， 、， ， 反比例函数解析式为； (2) 小问详解： 解：存在， 、， ， ， ，， 的面积是矩形面积的一半， ， 设，则， 即， 解得或， 或． 43．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线与反比例函数的图象都关于原点对称，可得两点也关于原点对称，则有，，再代入整理得，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【详解】 解：直线的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于两点， ，， 又， ， 整理得：， 在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 44．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移问题． （1）将点代入正比例函数中求出坐标，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）由题意得到直线的表达式，再联立直线的表达式和反比例函数的表达式，求出点C的横坐标，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：将点代入正比例函数中， 得，解得． ． 将点代入反比例函数中， ． 反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意知，直线的表达式为，． 联立直线的表达式和反比例函数的表达式， 得 ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 点C的横坐标为． ． 45．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】 解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 46．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； （2）若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围． (1) 小问详解： 解：把点代入得，， 解得． 故答案为：7． (2) 小问详解： 解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 47．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，点A，B在反比例函数的图像上，作轴，垂足为C，作轴，轴，垂足分别为D，E，连接．若，矩形的面积为5，则线段的长是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可以得到，，据此可计算出长． 【详解】 解：∵点A，B在反比例函数图象上，， ∴， ∵矩形的面积为5， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 48．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求的面积． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由题意，将分别代入、，即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由，代入数据计算即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得：，； (2) 小问详解： ∵直线与轴交于点， ∴当时，，即， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， 当时，， ∴， ∵， 设表示点的横坐标，表示点的横坐标，表示点的纵坐标，表示点的纵坐标， ∴，， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】 本题考查待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，确定函数解析式是解题的关键． 49．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 【详解】 解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 50．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得 ， 一次函数解析式为：． (2) 小问详解： 解：在一次函数中，令，则， ， ； (3) 小问详解： 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 51．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，已知的一边平行于y轴，且反比例函数的图象经过顶点A和边上的点C，若的面积为15，，则k的值为　　　　　　． 【答案】24 【分析】 该题考查了反比例函数的几何应用，根据，得出，设，则，根据在反比例函数上，得出，根据在反比例函数上，平行于y轴，得出，结合的面积为15，得出，求出，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵在反比例函数上， ∴， ∴， ∵在反比例函数上，平行于y轴， ∴， ∵的面积为15， ∴， 即， ∴， 故答案为：24． 52．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图像和性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设点 的坐标为 ，设 ，则B，C两点坐标可表示，因为 是中点，根据中点坐标公式D点坐标可表示，因为 在反比例函数 上，D点横纵坐标之积为k，可得，再利用的面积为4列方程则题目可解． 【详解】 解：∵ 在反比例函数 上， ∴设点 的坐标为 ， ∵四边形是平行四边形， ∴ 且 ， ∴点 的纵坐标与 的纵坐标相同为 ， 设 ， 则点 的坐标为 ，， ∵ 是中点，根据中点坐标公式： ∴，即 ∵ 在反比例函数 上， ∴ ∵ ∴， ∴， 则 的底为 ，高为 点的纵坐标 ， ∵， ∴ ． 53．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 54．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】 解:设点坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（     ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，根据表中数据，气压p与体积V的乘积均为96，故p与V成反比例关系，即，代入计算即可得p值． 【详解】 解：∵由表数据：， ∴，即p与V成反比例关系． 当时，． ∴ p为， 故选A． 2．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】 解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，，解得， 故选：D． 3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求该气体的密度． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）用待定系数法即可完成； （2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度． (1) 小问详解： 设密度关于体积的函数解析式为， 把点A的坐标代入上式中得：， 解得：k=10， ∴． (2) 小问详解： 当时，（）． 即此时该气体的密度为1． 【点睛】 本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键． 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1）     （2）半径为米      【分析】 （1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 5．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． (1) 小问详解： 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． (2) 小问详解： 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】 本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 6．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 7．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x之间的变化如图所示，生产前期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根据题目所给出的条件，回答下列问题： （1）求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式； （2）求该企业月生产数量没达到200万件的月份． 【答案】（1） ；     （2）4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用． （1）分当和时，分别利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当时，的值，由题意结合图象得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，是反比例函数， 设其函数解析式为， 由题意得在反比例函数图象上， 则， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，是一次函数， 设其函数解析式为， ∴ ，解得 ， ∴其函数解析式为， 综上，生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴没达到200万件时，， ∴4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件． 8．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围 （2）当气球的气体体积为时，气体压强是多少？ （3）当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 【答案】（1）这一函数的表达式为；     （2）当气球的气体体积为时，气体压强是；     （3）当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，根据给定点的坐标，求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与V的函数关系式为，由点在反比例函数图象上，可求出k值，进而可得出这一函数的表达式； （2）把代入即可得到结论； （3）代入，求出V值即可． (1) 小问详解： 解：设与V的函数关系式为， 点在反比例函数图象上， ， ， 这一函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：把代入得；， 答：当气球的气体体积为时，气体压强是； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：， 当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于． 9．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． （1）求与的值； （2）受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用．解决本题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用解析式求出相应的点的坐标即可． 把点的坐标代入，求出的值，从而得到反比例函数的解析式为，再把点代入解析式即可求出的值； 求出当时，，可知汽车通过该路段至少需要． (1) 小问详解： 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 10．（九·陕西汉中南郑区·期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】（1）12；（2）19.6 【分析】 （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标； （2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案． 【详解】 （1）设CD段是反比例函数图象的一部分 ∵D(24,10)， ∴ 解得， （2）直线与交点N坐标为 ∵ ∴直线AB解析式为 ∴直线与直线AB 的交点M坐标为 ∴MN横坐标差为 即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． 11．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： （1）当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； （2）已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 【答案】（1）     （2）分钟      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确读懂函数图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）当时，设，再由待定系数法求解即可； （2）把时，依次代入及中，求出对应的时间，即可求出时间差． (1) 小问详解： 解：当时，设， 将代入得：    ∴机器温度y与时间x的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；    答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）反比例函数的图象不经过的点是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）若函数是反比例函数，则的值为　　　　　　　　　　． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）反比例函数的图象在某象限内y随着x的增大而增大，且点在该反比例函数上，则n的值可能是（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）关于反比例函数，下列说法中错误的是（       ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 5．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象一定经过点（     ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（       ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 15．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（     ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 17．（九·陕西汉中南郑区·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则　　　　　　　　　　　； 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）若点，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，的大小关系为　　　　　（填“>”“<”或“=”） 23．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为　　　　　　　． 24．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点， （1）求该反比例函数表达式． （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值． 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，点是反比例函数（，）图象上一点，点与点关于轴对称，过点作轴于点，连接，若的面积为16，则的值为　　　　　． 26．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是　　　　　　． 27．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为　　　　　　． 28．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为　　　　　　　　　　 30．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 31．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知点，，均在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 32．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为　　　　　　． 33．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则　　　　　． 34．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）连接、，求面积． 35．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 36．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标． 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为______； （2）若在反比例函数（k为常数，）的图象上，当时，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 39．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．    （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 40．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 41．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值． 42．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，矩形与反比例函数的图象相交于两点，点的坐标，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，在反比例函数图象上是否存在一点（点不与点重合），使得的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 45．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为　　　　　． 46．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； （2）若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 47．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，点A，B在反比例函数的图像上，作轴，垂足为C，作轴，轴，垂足分别为D，E，连接．若，矩形的面积为5，则线段的长是　　　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求的面积． 49．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为　　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 51．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，已知的一边平行于y轴，且反比例函数的图象经过顶点A和边上的点C，若的面积为15，，则k的值为　　　　　　． 52．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　　　　　　　　　　． 54．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为　　　　　　． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（     ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 2．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求该气体的密度． 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 5．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 6．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 7．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x之间的变化如图所示，生产前期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根据题目所给出的条件，回答下列问题： （1）求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式； （2）求该企业月生产数量没达到200万件的月份． 8．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围 （2）当气球的气体体积为时，气体压强是多少？ （3）当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 9．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． （1）求与的值； （2）受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 10．（九·陕西汉中南郑区·期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 11．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： （1）当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； （2）已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $