专题06 直线与圆（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 直线与圆相离、相切、相交 考点08 圆的切线 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．B 2．D 3．A 4．【答案】． 【分析】 本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形的外角性质．连接，根据等边对等角可得，利用三角形的外角性质可得，再根据等边对等角可得，再利用三角形的外角性质可得，据此求解即可． 【详解】 解：连接，如图，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．【答案】 【分析】 连接，取的中点O，连接，则易得．由于O点时定点，的长为定值，由此可得M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．当过圆心时，的值最大，求出的长，再加上的长，即可得的最大值． 【详解】 如图，连接，取的中点O，连接 ∵正方形的边长分别为1， ． ∵O是的中点，M是的中点， ， ∴M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆． 连接并延长交于H点， 当M点运动到H点时，的值最大． ∵正方形的边长分别为4， ， ， ， ， 即CM的最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、动点轨迹问题，以及圆外一点到圆上各点的最值问题．见中点，想中位线．找到M点的运动轨迹是解题的关键． 6．【答案】4 【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】 解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为； 故答案为：4． 考点02 过三点的圆 1．【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，解题的关键在于确定圆心的位置．作线段的垂直平分线交的延长线于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． 【详解】 略 2．【答案】如图，⊙O即为所求． 【分析】 如图：作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】 略 【点睛】 掌握垂直平分线的性质以及尺规作图的做法是解题的关键． 考点03 垂直于弦的直径 1．D 2．D 3．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为：． 4．【答案】如图，点O即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键． 根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，尺规作线段和的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】 略 5．【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，过O作于C，交于D，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差关系求出即可． 【详解】 解：过O作于C，交于D， 由题意知：，，为棚顶的弓高， ∴， ∴， ∴， 即棚顶的弓高为， 故答案为：4． 6．【答案】半径的长为． 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 7．【答案】如图，弦即为所求，（作法不唯一） 【分析】 本题考查了尺规基本作图——经过一点作直线的垂线，垂径定理，过作直径垂线，然后通过垂径定理即可求证，解题的关键是掌握垂径定理和经过直线上一点尺规作直线的垂线的方法． 【详解】 解：由作图可知，， ∵是的直径， ∴． 8．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 9．【答案】米 【分析】 在中，利用勾股定理求得的长，等于弦的长，即可得解． 【详解】 解：∵直径米， （米）， ， ， ， ， ∴设，， ∴在中， ， 解得：， （米）． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 10．【答案】如图，即为所求 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【详解】 解：根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 11．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 考点04 圆心角 1．D 2．B 3．【答案】（1）；40；     （2）17     （3）2.62小时      【分析】 本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、中位数与加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先求总人数，那么组对应扇形的圆心角的度数利用乘以占比即可；组的占比直接由对应人数除以总人数即可求解；由50人，确定中位数为第25，26人的劳动时间的平均数，由表格即可获取； （2）拿总人数减去别的组的人数即为组人数； （3）把每组的组中值乘以人数，再相加，最后除以总人数即为平均数． (1) 小问详解： 解：总人数为：人， ∴组对应扇形的圆心角的度数是：； ∵， ∴ 组的人数为：人， ∵有50人，那么中位数为第25，26人的劳动时间的平均数， ∴从表格可知第25，26人在组， 故答案为：；40；； (2) 小问详解： 解：组的人数为：人，补充表格如图： 每周在家劳动时间（小时） 组 组 组 组 组中值 1 2 3 4 人数（人） 5 17 20 8 (3) 小问详解： 解：由题意得，（小时）， 答：估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间为2.62小时． 考点05 圆周角 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．A 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【答案】8 【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 延长交于点E，连接，证得，进而得到，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长交于点E，连接， 则 为的直径 、 故答案为：8． 10．【答案】（1）解：如图所示，则即为所求作；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，角平分线定义， （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，则即为所求作； （2）先根据角平分线定义求出，再根据等腰三角形的性质得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 11．【答案】$度 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理. 先根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】 解：由圆周角定理可得，， ， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵，平分， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 此题考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理得，则有，然后通过圆周角定理即可求解． 【详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】�度 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数； （2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求 ． (1) 小问详解： 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， (2) 小问详解： 过作交于，连接， 由题可知， 又∵， 为中点， ， ， 所以圆心O到弦的距离． 17．【答案】度 【分析】 本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，由为直径得，即得，进而由平行线的性质得，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．【答案】（1）；（2）①；②当为时，停车场的面积最大，最大为 【分析】 （1）利用矩形的性质和割补法求解面积即可； （2）① 先由已知得，进而得到、、、四点共圆，利用角平分线的定义和圆周角、弦的关系得到，过作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用三角形面积公式求解即可得到函数关系式； ② 利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ， 即； （2）① ∵，， ∴，， ∴、、、四点共圆，如图， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， 过E作于F，则， ∴， ∴ ∴的面积， 即 ② 由于， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当为时，停车场的面积最大，最大为． 【点睛】 本题考查矩形的性质、圆的有关性质、二次函数的性质、含度角的直角三角的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，得到、、、四点共圆是解答的关键． 19．【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 20．【答案】（1） 证明：∵是的直径，是的弦，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）4；      【分析】 本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． （1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论； （2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，，则， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴； ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵是的直径，， ∴． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴劣弧的长： 22．【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， 在四边形中，， 又， ， ， ， ；     （2）．      【分析】 根据直径所对的圆周角为直角，可得：，根据四边形内角和为，可得：，又因为，可得，根据等量代换可得：，根据等角对等边可证结论成立； 利用勾股定理可求，由可知，又因为，所以可求，利用勾股定理可求，根据等腰三角形的三线合一定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， ， 由可知， ， 在中，， ，， ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理、四边形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 23．【答案】（1） 证明：为的直径，于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）利用垂径定理得到，，进而得出，结合圆心角、弧、弦之间的关系，推出，进而得到，，最后利用等腰三角形的性质即可证明； （2）连接，设，利用勾股定理算出，再结合建立等式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，    设， ，， ， ，， ， 解得． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，理解垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24．【答案】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CDA+∠B＝180°， ∵∠B＝50°， ∴∠CDA＝180°﹣50°＝130°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣130°＝50°， ∵∠DCB＝100°， ∴∠CDE+∠E＝100°， ∴∠E＝50°， ∴∠E＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰三角形． 【分析】 根据圆内接四边形的性质得到∠CDA+∠B＝180°，求得∠CDA＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的判定定理得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，可求得，进一步可推得，再根据同弧所对的圆周角相等，即得答案． 【详解】 解：为的直径， ， ， ， ， 平分， ， ． 26．【答案】（1）112； （2）； （3） 【分析】 （1）根据圆的内接四边形的性质进行解答即可； （2）易得是等边三角形，进而得到，则点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上，进而得到，过点C作于点E，则，进而得到，，再利用解答即可； （3）作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可求出，连接，交于点，此时最小，在中，根据勾股定理求得，易证得为等腰直角三角形和四边形是正方形，进而得到，根据勾股定理求得，再利用解答即可． 【详解】 （1）解：四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：112； （2）解：，， ， 是等边三角形， ，， ， 点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上， ， ， 过点C作于点E，如图： ， ，， ； （3）解：如图，作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、， , , , 在中，，， ， 连接，交于点，此时最小， ， 过点作于点，交的延长线于点， ， 在中，， ， 为等腰直角三角形， 、、且， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】 本题考查圆的内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 27．【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键． （1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． 【详解】 解：（1） 如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值， 最大值为：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点， 则的长度即为的最小值． ∵，中点为E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即CF的最小值为． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，   ∵点E在以为直径的半圆上， ∴， ∵中点为M，中点为F，中点为N， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的左侧半圆上， 取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ∵，中点为O，，中点为N， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 28．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ；     （2）.      【分析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 29．【答案】（1）①；②的最大值为 （2）当长廊的长度最大时，休闲步道的长为 【分析】 （1）① 根据圆周角定理可知； ② 当为的直径时，最大，由是等腰直角三角形，求出的长，可知直径的长； （2）先作的外接圆，连接，，，则，，，求得，由三角形中位线定理得到，所以当为直径时，最大，最大；由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得到，从而可求出，根据勾股定理即可求得． 【详解】 （1）① ∵一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∴， 故答案为：； ② 当为的直径时，最大， 在中，， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 即的最大值为； （2）解：如图，作的外接圆，连接，，， 则，，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为直径时，最大，最大，此时， 如图 ∵为直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴当长廊的长度最大时，休闲步道的长为． 【点睛】 主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，明确直径是圆中最大的弦是解题的关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．C 2．D 3．【答案】 【分析】 本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式计算即可得到答案． 【详解】 解：根据题意得，， ∴重物上升了， 故答案为： ． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由旋转可知，，则可得，，则，再由，可得，即可得． （2）阴影部分的面积可用求得． (1) 小问详解： 解：由旋转可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积和三角形面积的计算．圆中求角度就找同弧或等弧所对的角和利用三角形的内角和等；计算扇形面积就找圆心角和半径，圆中阴影部分的面积往往利用到图形的面积差来求解． 考点07 直线与圆相离、相切、相交 1．B 考点08 圆的切线 1．【答案】 【分析】 本题考查切线的性质，勾股定理，垂线段最短，连接，根据切线的性质和勾股定理得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到最小，进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵直线切于点， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是直线上的一个动点， ∴当直线时，最小，此时， ∴的最小值为：； 故答案为：． 2．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）的长为，的长为      【分析】 本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 3．【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）2      【分析】 （1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，求出方程即可求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 在△和△中， ， ， ， 设，则， ， 在△中有：，即：， （舍去）， ． 【点睛】 此题是圆的综合题，考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点09 正多边形与圆 1．B 2．【答案】5 【分析】 本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．【答案】 【分析】 根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴ 则， ， ， ∵ ， ，， ， ． 故答案为： 4．【答案】如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【分析】 作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 5．【答案】 【分析】 本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】 解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 直线与圆相离、相切、相交 考点08 圆的切线 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知中最长的弦为8，则的半径是（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，是的直径，延长至点A，连接点A与上另一点E，交于点B，连接，则有，若，求的度数． 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为　　　　　　． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为　　　　　　． 4．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为　　　　　　． 6．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 7．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 8．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 9．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得，求水位线的长． 10．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． （1）求证：； （2）若，，求． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，，且，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）为了加强劳动教育，某校随机抽取了八年级若干学生，对学生每周在家劳动时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 学生每周在家劳动时间统计图表 每周在家劳动时间（小时） 组 组 组 组 组中值 1 2 3 4 人数（人） 5 20 8 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）扇形统计图中，组对应扇形的圆心角的度数是_____，_____，样本数据的中位数位于_____组（填、、、）； （2）请将表格补充完整； （3）若每组数据按组中值估算，请估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间． 每周在家劳动时间（小时） 组 组 组 组 组中值 1 2 3 4 人数（人） 5 17 20 8 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，四边形内接于是的直径，点在上，且，则的度数为（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 6．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 8．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，A，B是上的两点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（只保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接．若，求的度数． 11．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在中，直径与弦相交，连接，．若，则　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为　　　　　． 16．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 17．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为　　　　　． 18．（24-25学年九上·陕西安康·期末）【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 19．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 20．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．    （1）求证：； （2）若，的直径，求、的长． 21．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 22．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，为的直径，是的弦，，于点，交于点，连接交于点．    （1）求证； （2）若，，求的半径． 24．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）（多选）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形． 25．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 26．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）【问题背景】 （1）如图1，四边形是的内接四边形，，则的度数为________°； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，以为边在右侧作等边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，矩形是某公园绿化工程的一片绿地，，，规划在该绿地中的点M处修建一个凉亭（大小忽略不计），并沿、修建两条小路，沿铺设地下水管，要求，为节省铺设地下水管的费用，要求铺设地下水管的长度最小，请你求出的最小值． 27．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 28．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为，，求弦的长． 29．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）【问题探究】 （1）如图，在中，弦所对的圆心角，点在弦所对的优弧上运动（点不与点、重合），连接、． ① 的度数为_____°； ②若，求弦的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在一片足够大的空地上规划一个三角形商业区，根据规划要求，需使，．在边、上分别取中点、，连接，将区域建造成大型商场，沿修建主题宣传长廊（长廊的宽度忽略不计），以便宣传城市文化，根据设计思路，要尽可能长，沿修一条休闲步道，求当长廊的长度最大时，休闲步道的长． 考点06 弧长和扇形面积 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）在半径为2cm的圆中，的圆心角所对的弧长是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　　　　　　　　　　　．（结果保留） 4．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 考点07 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 考点08 圆的切线 1．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 2．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及的长． 3．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数　　　　　　． 3．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是　　　　　　　°． 4．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）（多选）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 直线与圆相离、相切、相交 考点08 圆的切线 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解题的关键．求出各点到圆心的距离，再与半径比较大小即可得到答案． 【详解】 解：A. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； B. 到圆心的距离为,，点在圆内，故该选项不符合题意； C. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； D. 到圆心的距离为，，点在圆外，故该选项符合题意； 故选：D ． 3．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知中最长的弦为8，则的半径是（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】 本题考查了直径是圆中最长的弦，根据半径是直径的一半计算即可． 【详解】 ∵中最长的弦为8, ∴的直径为8， 故半径为4， 故选A． 4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，是的直径，延长至点A，连接点A与上另一点E，交于点B，连接，则有，若，求的度数． 【答案】． 【分析】 本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形的外角性质．连接，根据等边对等角可得，利用三角形的外角性质可得，再根据等边对等角可得，再利用三角形的外角性质可得，据此求解即可． 【详解】 解：连接，如图，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，取的中点O，连接，则易得．由于O点时定点，的长为定值，由此可得M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．当过圆心时，的值最大，求出的长，再加上的长，即可得的最大值． 【详解】 如图，连接，取的中点O，连接 ∵正方形的边长分别为1， ． ∵O是的中点，M是的中点， ， ∴M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆． 连接并延长交于H点， 当M点运动到H点时，的值最大． ∵正方形的边长分别为4， ， ， ， ， 即CM的最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、动点轨迹问题，以及圆外一点到圆上各点的最值问题．见中点，想中位线．找到M点的运动轨迹是解题的关键． 6．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】 解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为； 故答案为：4． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，解题的关键在于确定圆心的位置．作线段的垂直平分线交的延长线于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． 【详解】 略 2．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图，⊙O即为所求． 【分析】 如图：作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】 略 【点睛】 掌握垂直平分线的性质以及尺规作图的做法是解题的关键． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】 解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】 如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 3．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点，连接，作AB的垂直平分线交于点，交于点，测出，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为：． 4．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点O即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键． 根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，尺规作线段和的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】 略 5．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，过O作于C，交于D，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差关系求出即可． 【详解】 解：过O作于C，交于D， 由题意知：，，为棚顶的弓高， ∴， ∴， ∴， 即棚顶的弓高为， 故答案为：4． 6．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 【答案】半径的长为． 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 7．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，弦即为所求，（作法不唯一） 【分析】 本题考查了尺规基本作图——经过一点作直线的垂线，垂径定理，过作直径垂线，然后通过垂径定理即可求证，解题的关键是掌握垂径定理和经过直线上一点尺规作直线的垂线的方法． 【详解】 解：由作图可知，， ∵是的直径， ∴． 8．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 9．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得，求水位线的长． 【答案】米 【分析】 在中，利用勾股定理求得的长，等于弦的长，即可得解． 【详解】 解：∵直径米， （米）， ， ， ， ， ∴设，， ∴在中， ， 解得：， （米）． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 10．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【详解】 解：根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 11．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，，且，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答． 【详解】 解：， ， 又，， ， 解得：． 故选：B． 3．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）为了加强劳动教育，某校随机抽取了八年级若干学生，对学生每周在家劳动时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 学生每周在家劳动时间统计图表 每周在家劳动时间（小时） 组 组 组 组 组中值 1 2 3 4 人数（人） 5 20 8 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）扇形统计图中，组对应扇形的圆心角的度数是_____，_____，样本数据的中位数位于_____组（填、、、）； （2）请将表格补充完整； （3）若每组数据按组中值估算，请估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间． 【答案】（1）；40；     （2）17     （3）2.62小时      【分析】 本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、中位数与加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先求总人数，那么组对应扇形的圆心角的度数利用乘以占比即可；组的占比直接由对应人数除以总人数即可求解；由50人，确定中位数为第25，26人的劳动时间的平均数，由表格即可获取； （2）拿总人数减去别的组的人数即为组人数； （3）把每组的组中值乘以人数，再相加，最后除以总人数即为平均数． (1) 小问详解： 解：总人数为：人， ∴组对应扇形的圆心角的度数是：； ∵， ∴ 组的人数为：人， ∵有50人，那么中位数为第25，26人的劳动时间的平均数， ∴从表格可知第25，26人在组， 故答案为：；40；； (2) 小问详解： 解：组的人数为：人，补充表格如图： 每周在家劳动时间（小时） 组 组 组 组 组中值 1 2 3 4 人数（人） 5 17 20 8 (3) 小问详解： 解：由题意得，（小时）， 答：估计该校八年级学生周末在家劳动的平均时间为2.62小时． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 【详解】 解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 2．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 故选：D ． 4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】 解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，四边形内接于是的直径，点在上，且，则的度数为（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】C 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：C． 6．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识，在优弧上取一点，连接，．利用圆周角定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题． 【详解】 解：在优弧上取一点，连接，． ， ， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，，是的两条弦，如果，那么与的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 连接，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 延长交于点E，连接，证得，进而得到，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长交于点E，连接， 则 为的直径 、 故答案为：8． 10．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，A，B是上的两点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（只保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接．若，求的度数． 【答案】（1）解：如图所示，则即为所求作；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，角平分线定义， （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，则即为所求作； （2）先根据角平分线定义求出，再根据等腰三角形的性质得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 11．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为　　　　　　． 【答案】$度 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理. 先根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】 解：由圆周角定理可得，， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵，平分， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在中，直径与弦相交，连接，．若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理得，则有，然后通过圆周角定理即可求解． 【详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数； （2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求 ． (1) 小问详解： 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， (2) 小问详解： 过作交于，连接， 由题可知， 又∵， 为中点， ， ， 所以圆心O到弦的距离． 17．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，由为直径得，即得，进而由平行线的性质得，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（24-25学年九上·陕西安康·期末）【问题探究】（1）如图1，在矩形中，点、、、分别在边、、、上，且．已知，，设，四边形的面积为．求与之间的函数关系式； 【问题解决】（2）如图2是某市的一块圆形空地，已知弦，为打造宜居生活，建设生态家园，市政府计划将这块空地打造成城市运动公园．具体实施方案为：在弦所对的优弧上取一点，连接、，已知，作的平分线交于点，再过点作，点落在上，其中规划为停车场，四边形区域作为户外活动广场．设，的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②试求当为多长时，停车场的面积最大，最大为多少？ 【答案】（1）；（2）①；②当为时，停车场的面积最大，最大为 【分析】 （1）利用矩形的性质和割补法求解面积即可； （2）① 先由已知得，进而得到、、、四点共圆，利用角平分线的定义和圆周角、弦的关系得到，过作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用三角形面积公式求解即可得到函数关系式； ② 利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ， 即； （2）① ∵，， ∴，， ∴、、、四点共圆，如图， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， 过E作于F，则， ∴， ∴ ∴的面积， 即 ② 由于， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当为时，停车场的面积最大，最大为． 【点睛】 本题考查矩形的性质、圆的有关性质、二次函数的性质、含度角的直角三角的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，得到、、、四点共圆是解答的关键． 19．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 20．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．    （1）求证：； （2）若，的直径，求、的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，是的弦，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）4；      【分析】 本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． （1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论； （2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，，则， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴； ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵是的直径，， ∴． 21．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴劣弧的长： 22．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， 在四边形中，， 又， ， ， ， ；     （2）．      【分析】 根据直径所对的圆周角为直角，可得：，根据四边形内角和为，可得：，又因为，可得，根据等量代换可得：，根据等角对等边可证结论成立； 利用勾股定理可求，由可知，又因为，所以可求，利用勾股定理可求，根据等腰三角形的三线合一定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， ， 由可知， ， 在中，， ，， ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理、四边形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，为的直径，是的弦，，于点，交于点，连接交于点．    （1）求证； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：为的直径，于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）利用垂径定理得到，，进而得出，结合圆心角、弧、弦之间的关系，推出，进而得到，，最后利用等腰三角形的性质即可证明； （2）连接，设，利用勾股定理算出，再结合建立等式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，    设， ，， ， ，， ， 解得． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，理解垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）（多选）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CDA+∠B＝180°， ∵∠B＝50°， ∴∠CDA＝180°﹣50°＝130°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣130°＝50°， ∵∠DCB＝100°， ∴∠CDE+∠E＝100°， ∴∠E＝50°， ∴∠E＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰三角形． 【分析】 根据圆内接四边形的性质得到∠CDA+∠B＝180°，求得∠CDA＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的判定定理得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 25．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，可求得，进一步可推得，再根据同弧所对的圆周角相等，即得答案． 【详解】 解：为的直径， ， ， ， ， 平分， ， ． 26．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）【问题背景】 （1）如图1，四边形是的内接四边形，，则的度数为________°； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，以为边在右侧作等边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，矩形是某公园绿化工程的一片绿地，，，规划在该绿地中的点M处修建一个凉亭（大小忽略不计），并沿、修建两条小路，沿铺设地下水管，要求，为节省铺设地下水管的费用，要求铺设地下水管的长度最小，请你求出的最小值． 【答案】（1）112； （2）； （3） 【分析】 （1）根据圆的内接四边形的性质进行解答即可； （2）易得是等边三角形，进而得到，则点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上，进而得到，过点C作于点E，则，进而得到，，再利用解答即可； （3）作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可求出，连接，交于点，此时最小，在中，根据勾股定理求得，易证得为等腰直角三角形和四边形是正方形，进而得到，根据勾股定理求得，再利用解答即可． 【详解】 （1）解：四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：112； （2）解：，， ， 是等边三角形， ，， ， 点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上， ， ， 过点C作于点E，如图： ， ，， ； （3）解：如图，作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、， , , , 在中，，， ， 连接，交于点，此时最小， ， 过点作于点，交的延长线于点， ， 在中，， ， 为等腰直角三角形， 、、且， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】 本题考查圆的内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 27．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键． （1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． 【详解】 解：（1） 如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值， 最大值为：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点， 则的长度即为的最小值． ∵，中点为E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即CF的最小值为． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，   ∵点E在以为直径的半圆上， ∴， ∵中点为M，中点为F，中点为N， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的左侧半圆上， 取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ∵，中点为O，，中点为N， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 28．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ；     （2）.      【分析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 29．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）【问题探究】 （1）如图，在中，弦所对的圆心角，点在弦所对的优弧上运动（点不与点、重合），连接、． ① 的度数为_____°； ②若，求弦的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在一片足够大的空地上规划一个三角形商业区，根据规划要求，需使，．在边、上分别取中点、，连接，将区域建造成大型商场，沿修建主题宣传长廊（长廊的宽度忽略不计），以便宣传城市文化，根据设计思路，要尽可能长，沿修一条休闲步道，求当长廊的长度最大时，休闲步道的长． 【答案】（1）①；②的最大值为 （2）当长廊的长度最大时，休闲步道的长为 【分析】 （1）① 根据圆周角定理可知； ② 当为的直径时，最大，由是等腰直角三角形，求出的长，可知直径的长； （2）先作的外接圆，连接，，，则，，，求得，由三角形中位线定理得到，所以当为直径时，最大，最大；由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得到，从而可求出，根据勾股定理即可求得． 【详解】 （1）① ∵一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∴， 故答案为：； ② 当为的直径时，最大， 在中，， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 即的最大值为； （2）解：如图，作的外接圆，连接，，， 则，，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为直径时，最大，最大，此时， 如图 ∵为直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴当长廊的长度最大时，休闲步道的长为． 【点睛】 主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，明确直径是圆中最大的弦是解题的关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．（24-25学年九上·陕西安康·期末）在半径为2cm的圆中，的圆心角所对的弧长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求弧长，利用弧长公式计算即可解题． 【详解】 解：弧长为：， 故选：C． 2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆锥和扇形的计算等知识点，掌握扇形的面积公式、弧长公式是解题的关键． 根据圆的周长公式可得圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为，再根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可． 【详解】 解：∵圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为， ∴此圆锥的侧面积为：． 故选：D． 3．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　　　　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式计算即可得到答案． 【详解】 解：根据题意得，， ∴重物上升了， 故答案为： ． 4．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由旋转可知，，则可得，，则，再由，可得，即可得． （2）阴影部分的面积可用求得． (1) 小问详解： 解：由旋转可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积和三角形面积的计算．圆中求角度就找同弧或等弧所对的角和利用三角形的内角和等；计算扇形面积就找圆心角和半径，圆中阴影部分的面积往往利用到图形的面积差来求解． 考点07 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】B 【分析】 圆心到直线的距离与圆的半径满足 则直线是圆的切线，根据原理直接可得答案． 【详解】 解： ⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2， 的半径 点O到直线m的距离 与直线相切， 故选： 【点睛】 本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握圆心到直线的距离与圆的半径的关系是解题的关键． 考点08 圆的切线 1．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查切线的性质，勾股定理，垂线段最短，连接，根据切线的性质和勾股定理得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到最小，进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵直线切于点， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是直线上的一个动点， ∴当直线时，最小，此时， ∴的最小值为：； 故答案为：． 2．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）的长为，的长为      【分析】 本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 3．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）2      【分析】 （1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，求出方程即可求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 在△和△中， ， ， ， 设，则， ， 在△中有：，即：， （舍去）， ． 【点睛】 此题是圆的综合题，考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】 解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴ 则， ， ， ∵ ， ，， ， ． 故答案为： 4．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）（多选）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【分析】 作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】 解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $