专题03 二次函数（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．B 2．C 3．D 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．【答案】（1）     （2）不在      【分析】 本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． (1) 小问详解： 解：把代入线得：， 解得， ； (2) 小问详解： 解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．A 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．D 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据规律“左加右减，上加下减．”进行解题即可． 【详解】 解：由题意得 ， 故答案：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】 解：由题意知，抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 12．【答案】0（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】 解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 13．【答案】 【分析】 本题考查二次函数顶点坐标的求法，通过配方法将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：将二次函数 配方得， 顶点坐标为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为y轴．据此求解即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是． 故答案为：． 15．【答案】> 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标等知识点，难度不大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【详解】 解：∵二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线， ∴抛物线C的函数关系式为： ∴抛物线C开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在抛物线上，且 ∴． 故答案为：>． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． (2) 小问详解： 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．D 16．D 17．D 18．【答案】 【分析】 把抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二次函数顶点式，解此题的关键在于熟练掌握配方法． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 【详解】 解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得 ， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 20．【答案】（1）开口向上，对称轴为直线     （2），交点坐标为，      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟知二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次项系数和对称轴公式求解即可； （2）将已知点代入函数解析式中求得m值，再令，然后解方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数中，，， ∴该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵该二次函数的图象经过点， ∴， 解得； ∴， 令，由得，， ∴此二次函数与轴的交点坐标为，． 21．【答案】4 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 【详解】 解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 22．【答案】（1）该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为     （2）该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为      【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数顶点的方法，通过配方求解． （1）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． （2）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． 23．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数顶点横坐标公式求解即可． 【详解】 解：对于二次函数 ，顶点横坐标为， ，， 顶点横坐标为， 根据题意，顶点横坐标为1， ∴， 解得． 24．【答案】（1） 解：完成表格，如下： 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 …      （2）      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 先确定抛物线开口向下的条件，选取的值（如），再将点代入抛物线一般式，确定、的关系，进而写出一个满足条件的解析式． 【详解】 解：设抛物线的一般式为 ． ∵抛物线开口向下， ∴，取 ． 点 代入解析式 ，得 ，即 ． 取 ，则 ， ∴解析式为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 26．【答案】4 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及对称性． 由点A和点B的纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式求出b的值，再代入点求解即可． 【详解】 ∵点，是抛物线（b为常数）上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵点也在抛物线上， ∴代入得． 故答案为：4． 27．【答案】（1）     （2）     （3）最大值为，最小值为      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的图象与性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）把化为顶点式，然后根据上加下减、左加右减的规律求解即可； （3）由二次函数的性质得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后求出当时和当时的函数值即可求解． (1) 小问详解： 设，把点，，代入，得 ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 ； (3) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵当时，， 当时，， ∴最大值为，最小值为． 28．【答案】 【详解】 解：由二次函数的图象过点， ，即， 解得， ， 则二次函数的解析式为． 29．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 30．【答案】（1）-6；（2）6. 【分析】 （1）将已知点的坐标代入到二次函数的解析式即可求得c值； （2）首先求得对称轴，然后求得点C的坐标，从而求得线段AC的长，最后求得三角形ABC的面积即可． 【详解】 解：（1）把代入 得 （2）由（1）得的坐标为（0，－6） 抛物线对称轴为： 点坐标为 的面积为： 【点睛】 本题考查了二次函数的性质及图象上点的坐标，属于二次函数的基础知识，应重点掌握． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由和时，确定对称轴为直线；利用对称性求的值；根据开口方向和增减性判断结论；由函数值小于求的取值范围。 【详解】 解：由表可知，当和时，， 抛物线的对称轴为直线， 和关于对称轴对称， 时， 时， 即， 故结论错误； 由表格中的数据可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上， 故结论正确； 抛物线的对称轴是， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而增大， 故结论正确， 当时，的取值范围是， 故结论正确． 故正确的结论有个． 故答案为：3. 32．【答案】，顶点坐标为 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线的图象经过点，则，求出a可得抛物线为，化成顶点式即可判断得解． 【详解】 解：由题意，∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∴函数图象的顶点坐标为． 33．【答案】① ③ ④ 【分析】 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断① ；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断② ；先由对称轴公式得到，再由，得，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③ ；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，， 即，故① 正确； 当且时， 则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故② 错误； ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ， ， ∴点的坐标为，故③ 正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， 解得：， ∴，故④ 正确． 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 34．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）把点代入即可求解； （2）令，求出点，结合图象写出不等式的解集即可； （3）过作轴，交于，先求直线方程，设，则，得到，再根据，结合二次函数最值求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意抛物线过点， 代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： 由（1）知抛物线解析式为， 令，即， 解得， ， 结合图象，不等式的解集为或； (3) 小问详解： 如图，过作轴，交于， 因为：直线过点所以： ， 解得： ， 所以直线为：， 设，则， 所以：，    所以： ， 所以当时，面积取最大值，最大值为． 35．【答案】（1）     （2）存在； 先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， 抛物线L的表达式为； (2) 小问详解： 解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， 过点P作轴于点C， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ∵点的对应点为点， ∴抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ，， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 综上所述：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 36．【答案】4 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性是解题的关键． 首先利用二次函数的性质，判断二次函数开口向下，顶点在区间内，即可求解y的最大值在顶点处；再计算区间端点对应的y的值，判断最小值，最后计算的值即可． 【详解】 解：∵，对称轴为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴在区间内，当时，取最大值4； 当时，； 当时，； ∴，， ∴． 37．【答案】（1）     （2）点D的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，包括待定系数法求二次函数解析式，利用三角形面积求点的坐标． （1）根据已知的两点坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式； （2）首先求得点C的坐标，由得出点D和点C到x轴的距离相等，可求出点D到x轴的距离，再根据点D在第二象限推出点D的纵坐标为3，代入二次函数解析式可求得x的值，最终得到点D的坐标． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与x轴交于，两点， ∴ ，解得： ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴点D的坐标为． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．【答案】1 【分析】 本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，先求得点A、B坐标，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴． 8．【答案】 【分析】 根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0，得到交点的纵坐标即可．熟练掌握与y轴的交点坐标的特点是解题的关键． 【详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为： 9．【答案】且 【分析】 根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 10．【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】 解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 11．【答案】证明： ∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点. 【分析】 根据题意利用二次函数的定义进行分析，然后计算判别式的值得到△=，从而得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，注意掌握把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 12．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】 解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据抛物线的平移规律写出平移后抛物线的解析式，再根据根的判别式解方程即可． 【详解】 解：根据题意，平移后的抛物线解析式为：， 平移后的抛物线与轴只有一个交点， ， 解得：． 14．【答案】证明：∵ ， ∴不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【分析】 此题考查了二次函数与轴的交点问题，根据判别式与函数图象与轴交点的关系即可求解，熟练掌握判别式与函数图象与轴交点的关系是解题的关键． 【详解】 略 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．D 3．D 4．C 5．【答案】（1）     （2）5m      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 6．【答案】（1）     （2）2或6m      【分析】 （1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， (2) 小问详解： 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】 解：， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）此次击球越过球网并落在对方区域内      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，函数解析式的求解，读懂题意，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， 设抛物线解析式为， 将代入，解析式得， 解得：， 抛物线解析式为 (2) 小问详解： 此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ， 当时， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域内； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 9．【答案】1250元 【分析】 本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个苹果的利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】 ：解：设每箱苹果售价下降了x元，店铺每天的销售利润为y元． 降价后店铺平均每天可售出箱装苹果数量为箱； 由题意得，， 所以当时，y有最大值1250． 答：该店铺每天获得的最大利润是1250元． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】 解：解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为， 如图，设水位为警戒线位，则D的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水位为警戒水位时的水面宽度． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，对称轴为直线则由题意得，则，可知为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，则，那么，则，即可求出，继而求出． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∴， 设解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：， 设， 由可得对称轴为直线 则由题意得， ∵， ∴， ∵，由抛物线对称性可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 即横梁的长为． 12．【答案】（1）     （2）最大高度为，最远距离为      【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，抛物线经过点，，， 设抛物线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由， ∴当时，有最大值，最大值为6； 令，由得，（舍去）， 答：飞机飞行的最大高度为，最远距离为． 13．【答案】（1）第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为     （2）水流能到达点处， 理由：由题意得第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 令，得， 第二次灭火时水流所在抛物线过点， 水流能到达点处．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线的解析式为，用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值，即可判断求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ， 第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中得优秀      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 15．【答案】（1）     （2）喷头A应该向上调整      【分析】 本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由题意得抛物线的顶点为，，由待定系数法设顶点式，即可求解； （2）设向上调高，由抛物线的平移规律得，将代入计算，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，能熟练用待定系数法求函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， ， 解得：， 抛物线的表达式； (2) 小问详解： 解：设向上调高，则有 ， 经过， ， 解得：， 故喷头A应该向上调整． 16．【答案】（1）     （2）测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求      【分析】 本题主要查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意得：点，，可设抛物线的函数表达式为， 利用待定系数法解答，即可求解； （2）设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，把点代入，可求出抛物线的函数表达式，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：点，， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 根据题意得：点在喷洒农药的轨迹所在抛物线上， ∴， 解得：， ∴喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 当时，， 即无人机喷头到水平地面的高度为， ∵， ∴测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求． 17．【答案】（1）     （2）     （3） 解：飞行的高度不能达到，理由如下： 由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到．      【分析】 本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）根据表格可以得出答案； （2）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （3）结合（2）根据函数的性质求出最大值与3比较即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：把，代入， 得 ， ∴ ； ∴y与x的函数表达式为； (3) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）米．      【分析】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）求出抛物线的顶点，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的自变量的值，根据题意选择合适的解即可． (1) 小问详解： 解：∵船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）． ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入得到 解得 ∴该船轮廓线所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴船头到点的水平距离为米． 19．【答案】（1）     （2） 大绳能顺利从该同学的脚下通过， 理由：由题意，该同学所处的位置与点之间的距离米，即点的横坐标为4， 当时，， ∴大绳能顺利从该同学的脚下通过．      【分析】 本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点D为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得点的横坐标为4，求出当时的值，与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 又∵抛物线经过点， ∴将点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1）     （2） 解：水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时，， ， 水柱不会喷射到护栏上．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1）     （2）小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分．      【分析】 （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． (1) 小问详解： 解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，顶点， ∵O为的中点，，， ∴点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 23．【答案】（1）y与x之间的函数表达式为：     （2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米      【分析】 （1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． (1) 小问详解： 解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. (2) 小问详解： 解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．【答案】（1）     （2）这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物， 理由：将代入， 将代入 ∴这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物．      【分析】 此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设抛物线解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意分别将和代入比较判断即可． (1) 小问详解： ∵当石子运动到距小明时，达到了最大高度， ∴根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的定义，熟练掌握二次函数的定义（形如的函数）是解题的关键． 根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合二次函数的形式． 【详解】 解：A.是一次函数，不符合； B.是二次函数，符合； C.是一次函数，不符合； D.是反比例函数，不符合． 故选：B． 2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】 解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、自变量x最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（       ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型， ∴函数图像是抛物线的是二次函数， 故选：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1）     （2）不在      【分析】 本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． (1) 小问详解： 解：把代入线得：， 解得， ； (2) 小问详解： 解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式， 根据二次函数的顶点式 的性质，对称轴为直线． 【详解】 解： ∵是顶点形式， ∴对称轴为直线． 故选：A． 2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平移规则“左加右减，上加下减”，即可求解，本题考查了函数图像的平移，解题的关键是：熟记平移规律． 【详解】 解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：， 故选：． 3．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式写出顶点坐标．根据二次函数的解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】 解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：B 4．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】 ∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 5．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）已知二次函数（m为常数），其图象上有两点，，如果，那么a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质． 由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点到对称轴的距离分别为，结合，可得，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上， ∴点到对称轴的距离分别为， ， ， 即， 解得：， 故选：A． 6．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答． 【详解】 解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 即解析式为：． 故选：A． 7．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 8．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查了函数的对称轴问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答此题的关键．根据对称轴，将的值代入即可． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，即， 故选：D． 9．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图像的平移，掌握知识点是解题的关键． 由题意，原二次函数为，向上平移m个单位后得到新函数，由于新函数经过点，代入计算即可求出m的值． 【详解】 解：∵将二次函数的图象向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数为， 将点代入，得 ， 即， ， ∴， 因此m的值为6． 故选B． 10．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据规律“左加右减，上加下减．”进行解题即可． 【详解】 解：由题意得 ， 故答案：． 11．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】 解：由题意知，抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】 解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 13．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数顶点坐标的求法，通过配方法将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：将二次函数 配方得， 顶点坐标为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为y轴．据此求解即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，则　　　　　　　　　（填“”或“”）． 【答案】> 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标等知识点，难度不大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【详解】 解：∵二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线， ∴抛物线C的函数关系式为： ∴抛物线C开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在抛物线上，且 ∴． 故答案为：>． 16．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． (1) 小问详解： 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． (2) 小问详解： 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式；将已知的抛物线化为，即可作答． 【详解】 解：依题意，， 故选：A． 2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴和开口方向，再根据所给点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】 解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 3．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可． 【详解】 解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此① 错误， 对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以② 正确, 由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确， 由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确， 所以正确的个数有3个， 故答案为：C 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围. 4．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 2 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】 解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线．与轴的一个交点为，则：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与a，b，c的关系是解题关键． 通过二次函数图象的开口方向，对称轴和与坐标轴的交点坐标，确定a，b，c的正负，再通过代入特殊值，判断对应式子的正负，逐项判断即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，① 错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 由二次函数的对称性可知，与x轴的另一个交点为， ∴由图象可知，当时，，故② 正确； 当时，，故④ 正确； 由图象可知，当时，y先增大再减小，故③ 错误， 综上，正确命题的个数是2个，   故选： B． 6．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知抛物线（为常数），当时，；当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，由当时，可得一个关于的不等式；由当时，随增大而减小，可得对称轴的位置条件，从而列出另一个不等式，联立求解即可． 【详解】 解：∵当时，， ∴， 解得． ∵抛物线开口向上（），且当时，随增大而减小， ∴对称轴满足， 解得． 综上，的取值范围为． 故选C． 7．（25-26学年九上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，过点，其对称轴是直线，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（       ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的开口方向得，再根据抛物线与y轴的交点坐标可得，然后根据对称轴得，解答① ；根据对称轴说明② ；接下来确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，解答③ ． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴； ∵， ∴， ∴，则① 正确； ∵对称轴， ∴， 即， ∴② 不正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为，且对称轴是， ∴另一个交点的横坐标为， ∴当时，， 则③ 正确； 正确的有① ③ ． 故选：C． 8．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知抛物线（是常数，）的顶点为，小颖同学得出以下结论，其中一定正确的是（     ） A.  B. 当时，随的增大而增大 C. 若的一个根为3，则 D. 抛物线是由拋物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断A；根据开口方向和对称轴判断B；用表示、，再解方程判断C；根据平移法则判断D． 【详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的符号无法判断，故A错误； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； ∵，， ∴， ∵的一个根为， ∴， ∴，故C正确； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故D错误； 故选：C． 9．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且），下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识，先根据平移方向和距离求出抛物线的对称轴为直线，可得出，，即可判断① ；得到抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线与y轴的负半轴相交，即可判断② ；当时，，即可判断③ ；抛物线与x轴有两个交点，即可判断④ ． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴，即， 故① 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点为，， 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，故② 正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线开口向下， ∴当时，， 故③ 正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④ 正确； 综上可知，正确的结论是② ③ ④ ， 故选：C． 10．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】 解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为．其中正确结论的个数是（　　） ．．． 0 1 ．．． ．．． 3 2 ．．． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图像和性质，由表格数据可知对称轴为直线，即可得出，a与b同正负，即可判断②，当时，，可得出，再结合a与b同正负即可得出，即可判断①，时，y可能先随x的增大而减小，再随x的增大而增大或先随x的增大而增大，再随x的增大而减小可判断③，将代入函数表达式可得，可得出是一个解，由二次函数的对称性可得出对称点，即可判断④ 【详解】 解：根据表格可知：和时，y的值均为n， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴，a与b同正负， ∴， 故②错误 当时， ∴， 又∵a与b同正负， ∴， 故①正确， 时，y可能先随x的增大而减小，再随x的增大而增大或先随x的增大而增大，再随x的增大而减小， 故③错误 将代入函数表达式 可得，即， 显然是一个解，即点， ∵点关于对称轴在二次函数图像上点为： ∴的两个根为 故④正确， 综上所述，① ④正确，共2个． 故选：B． 12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 方程的一个解的取值范围是 D. 图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：把带入函数解析式， 可得 ， 解得 ， 二次函数的解析式为． ， 抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． ， 当时，随的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令得，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 方程的一个解的取值范围是． 故C选项符合题意． 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 故D选项不符合题意． 故选：C． 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 则如下结论错误的是（   ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质．由题干函数解析式可知，当时；由表格数据可知抛物线经过点和，且当时，代入函数可求得，，从而得到函数解析式，再根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴代入得： ， 解得 ， ∴． A、∵，∴抛物线的开口向上，正确； B、对称轴，正确； C、∵，对称轴，∴当时，随的增大而减小，正确； D、当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为，不是，错误． 故选：D． 14．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（       ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的对称轴方程可判断、同号，判断① 错误；由对称轴方程可判断② 错误；代入结合图象可判断③ 正确；代入结合函数的图象判断④ 正确． 【详解】 解：①，、同号，故，原结论错误； ② 由对称轴可知， ，原结论错误； ③ 当时，由图象可知，即，原结论正确； ④ 当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论是③ ④． 故选：C． 15．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】 解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误； ∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵， ∴，故A错误； ∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为， 则 ，解的 ， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴， ∴，故D正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 17．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的图象经过，两点，则下列说法中错误的是（） A. 该函数图象的对称轴为直线 B. 无论取何值，均满足 C. 函数在处取得最值 D. 若为该函数图象上的点，则当时，一定成立 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质．根据两点纵坐标相同，可得对称轴；代入点坐标和对称轴关系可推导出系数关系；最值在顶点处取得；函数值大小比较需考虑开口方向． 【详解】 解：∵二次函数图像经过点和， ∴对称轴为直线，故A正确． ∵对称轴， ∴， 代入点得，即， ∴，即，故B正确． ∵对称轴为， ∴函数在处取得最值，故C正确． 对于D，当时，开口向上，时；当时，开口向下，，故不一定成立，D错误． 故选：D． 18．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二次函数顶点式，解此题的关键在于熟练掌握配方法． 19．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 【详解】 解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得 ， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 20．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； （2）当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线     （2），交点坐标为，      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟知二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次项系数和对称轴公式求解即可； （2）将已知点代入函数解析式中求得m值，再令，然后解方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数中，，， ∴该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵该二次函数的图象经过点， ∴， 解得； ∴， 令，由得，， ∴此二次函数与轴的交点坐标为，． 21．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 【详解】 解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 22．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1） （2） 【答案】（1）该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为     （2）该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为      【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数顶点的方法，通过配方求解． （1）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． （2）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． 23．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知抛物线（为常数）的顶点的横坐标为1，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数顶点横坐标公式求解即可． 【详解】 解：对于二次函数 ，顶点横坐标为， ，， 顶点横坐标为， 根据题意，顶点横坐标为1， ∴， 解得． 24．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】（1） 解：完成表格，如下： 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 …      （2）      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 25．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）请写出一个开口向下，且经过点的抛物线解析式：　　　　　（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 先确定抛物线开口向下的条件，选取的值（如），再将点代入抛物线一般式，确定、的关系，进而写出一个满足条件的解析式． 【详解】 解：设抛物线的一般式为 ． ∵抛物线开口向下， ∴，取 ． 点 代入解析式 ，得 ，即 ． 取 ，则 ， ∴解析式为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 26．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及对称性． 由点A和点B的纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式求出b的值，再代入点求解即可． 【详解】 ∵点，是抛物线（b为常数）上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵点也在抛物线上， ∴代入得． 故答案为：4． 27．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． （3）直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）最大值为，最小值为      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的图象与性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）把化为顶点式，然后根据上加下减、左加右减的规律求解即可； （3）由二次函数的性质得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后求出当时和当时的函数值即可求解． (1) 小问详解： 设，把点，，代入，得 ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 ； (3) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵当时，， 当时，， ∴最大值为，最小值为． 28．（25-26学年九上·陕西安康·期中）关于的二次函数的图象过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【详解】 解：由二次函数的图象过点， ，即， 解得， ， 则二次函数的解析式为． 29．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，已知二次函数的图象经过A（2,0）. （1）求的值. （2）若二次函数于轴相交于的点，且该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积. 【答案】（1）-6；（2）6. 【分析】 （1）将已知点的坐标代入到二次函数的解析式即可求得c值； （2）首先求得对称轴，然后求得点C的坐标，从而求得线段AC的长，最后求得三角形ABC的面积即可． 【详解】 解：（1）把代入 得 （2）由（1）得的坐标为（0，－6） 抛物线对称轴为： 点坐标为 的面积为： 【点睛】 本题考查了二次函数的性质及图象上点的坐标，属于二次函数的基础知识，应重点掌握． 31．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： ①当时，随增大而增大；②抛物线的开口向上；③；④当时，的取值范围是．以上结论正确的有　　　　　　　　个． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由和时，确定对称轴为直线；利用对称性求的值；根据开口方向和增减性判断结论；由函数值小于求的取值范围。 【详解】 解：由表可知，当和时，， 抛物线的对称轴为直线， 和关于对称轴对称， 时， 时， 即， 故结论错误； 由表格中的数据可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上， 故结论正确； 抛物线的对称轴是， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而增大， 故结论正确， 当时，的取值范围是， 故结论正确． 故正确的结论有个． 故答案为：3. 32．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知抛物线的图象经过点．求的值及函数图象的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线的图象经过点，则，求出a可得抛物线为，化成顶点式即可判断得解． 【详解】 解：由题意，∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∴函数图象的顶点坐标为． 33．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；②若且，则；③若，则；④若，，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则．以上说法正确的有　　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断① ；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断② ；先由对称轴公式得到，再由，得，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③ ；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，， 即，故① 正确； 当且时， 则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故② 错误； ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ， ， ∴点的坐标为，故③ 正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， 解得：， ∴，故④ 正确． 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 34．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，抛物线与直线相交于点A和点． （1）求抛物线的解析式． （2）结合图象，求不等式的解集． （3）设P是抛物线上直线下方的一个动点，求面积的最大值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）把点代入即可求解； （2）令，求出点，结合图象写出不等式的解集即可； （3）过作轴，交于，先求直线方程，设，则，得到，再根据，结合二次函数最值求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意抛物线过点， 代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： 由（1）知抛物线解析式为， 令，即， 解得， ， 结合图象，不等式的解集为或； (3) 小问详解： 如图，过作轴，交于， 因为：直线过点所以： ， 解得： ， 所以直线为：， 设，则， 所以：，    所以： ， 所以当时，面积取最大值，最大值为． 35．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求拋物线的表达式； （2）若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在； 先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， 抛物线L的表达式为； (2) 小问详解： 解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， 过点P作轴于点C， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ∵点的对应点为点， ∴抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ，， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 综上所述：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 36．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】4 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性是解题的关键． 首先利用二次函数的性质，判断二次函数开口向下，顶点在区间内，即可求解y的最大值在顶点处；再计算区间端点对应的y的值，判断最小值，最后计算的值即可． 【详解】 解：∵，对称轴为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴在区间内，当时，取最大值4； 当时，； 当时，； ∴，， ∴． 37．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，求点D的坐标． 【答案】（1）     （2）点D的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，包括待定系数法求二次函数解析式，利用三角形面积求点的坐标． （1）根据已知的两点坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式； （2）首先求得点C的坐标，由得出点D和点C到x轴的距离相等，可求出点D到x轴的距离，再根据点D在第二象限推出点D的纵坐标为3，代入二次函数解析式可求得x的值，最终得到点D的坐标． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与x轴交于，两点， ∴ ，解得： ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴点D的坐标为． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】 解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立 （时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 2．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象与轴的交点为和，且，可得对称轴直线，从而得出；根据抛物线与x轴有两个交点，从而得出，可得出；根据，，得出时，，从而得出；当时和时两种情况可以判断D． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点为和，且， ∴， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵，， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 当时，，即； 当时，，即；故D错误． 故选：C． 3．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：（为常数），则下面选项正确的是（     ） A. 若点，在抛物线上，则 B. 若点，在抛物线上，则 C. 当时，抛物线只经过第一、二象限 D. 当时，抛物线只经过第一、二象限 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，当时，，可判断；根据可判断，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：、当时，，，则，故该选项错误； 、当时，，，则，故该选项错误； 、∵， ∵， ∴的值可能小于， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线此时经过第四象限，故该选项错误； 、∵，， ∴， ∴抛物线与轴无交点，即抛物线在轴上方， ∴当时，抛物线只经过第一、二象限，该选项正确； 故选：． 4．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在(        ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）关于抛物线，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【分析】 根据判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令求出函数值，判断是否经过点，再求出顶点坐标，判断所在象限． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征． 【详解】 解：在中， ，故开口向上，故① 错误； ∵， ∴当时，抛物线与x轴有一个交点， 当时，抛物线与x轴有两个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，或3个交点，故② 错误； 令，则，故一定过点，故③ 正确； ∵， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④ 正确； ∴正确的有③ ④ ， 故选C． 6．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，已知二次函数（、、均为常数，且）的图象与轴交于点，顶点为，则下列选项中错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 若，则 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，确定二次函数与轴的另一交点是解题关键． 利用二次函数的对称轴、顶点坐标、与轴的交点，结合二次函数的系数特征分析选项． 【详解】 解： 已知函数顶点为，对称轴为． 选项：由图像开口向下，可得，当，图像与轴交点在正半轴，可得，故，正确； 选项：由图像与轴交点为，对称轴为，根据二次函数的对称性可得图像与轴另一交点为，代入函数解析式可得，正确； 选项：由对称轴为，可得对称轴，即，，不正确； 选项：当时，，其对称点为，由图像开口向下，故时，，正确． 综上，错误选项为. 故选：. 7．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 【答案】1 【分析】 本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，先求得点A、B坐标，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴． 8．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）抛物线与y轴的交点坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0，得到交点的纵坐标即可．熟练掌握与y轴的交点坐标的特点是解题的关键． 【详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为： 9．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 10．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】 解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 11．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知二次函数，证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 【答案】证明： ∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点. 【分析】 根据题意利用二次函数的定义进行分析，然后计算判别式的值得到△=，从而得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，注意掌握把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 12．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． x 0 1 y 3 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】 解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据抛物线的平移规律写出平移后抛物线的解析式，再根据根的判别式解方程即可． 【详解】 解：根据题意，平移后的抛物线解析式为：， 平移后的抛物线与轴只有一个交点， ， 解得：． 14．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【答案】证明：∵ ， ∴不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【分析】 此题考查了二次函数与轴的交点问题，根据判别式与函数图象与轴交点的关系即可求解，熟练掌握判别式与函数图象与轴交点的关系是解题的关键． 【详解】 略 15．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）体育老师对小明某次投实心球训练的录像进行技术分析，发现实心球在行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，当实心球的飞行高度为时，实心球的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的应用，将代入函数解析式，解方程得到或，根据实际意义，水平距离为非负数，故取． 【详解】 解：代入， 得， 解得或， ∵水平距离为非负数， ∴， ∴实心球的水平距离为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．将飞行高度代入函数关系式，得到关于x的二次方程，解该方程即可得到水平距离．由于水平距离应为正数，舍去负根． 【详解】 解：∵，且， ∴， 整理得：， ∴或， ∵水平距离， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C.  D. 1 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=-=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：① 当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．② 当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A. 定价70元时，利润为6000元 B. 定价元时，利润为6105元 C. 降价3元，能使所获利润最大 D. 涨价5元，能使所获利润最大 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】 解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求喷出的水柱所在抛物线的解析式； （2）若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】（1）     （2）5m      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 6．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1）     （2）2或6m      【分析】 （1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， (2) 小问详解： 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】 解：， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．以球场中心O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员在距离球网水平距离为9米，距离地面高度为1.5米的点D处将网球击出，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点E处达到最高点，此时网球距离球网的水平距离为3米，距离地面高度为2.1米． （1）求抛物线的解析式； （2）请判断此次击球是否能越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． 【答案】（1）     （2）此次击球越过球网并落在对方区域内      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，函数解析式的求解，读懂题意，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， 设抛物线解析式为， 将代入，解析式得， 解得：， 抛物线解析式为 (2) 小问详解： 此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ， 当时， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域内； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 9．（25-26学年九上·陕西安康·期中）陕西苹果是全球知名农产品，且曾作为“国礼”赠送国际友人．某店铺销售一批箱装苹果，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．中秋佳节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，每箱每降低1元，每天可多销售2箱．求该店铺每天可获得的最大利润． 【答案】1250元 【分析】 本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个苹果的利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】 ：解：设每箱苹果售价下降了x元，店铺每天的销售利润为y元． 降价后店铺平均每天可售出箱装苹果数量为箱； 由题意得，， 所以当时，y有最大值1250． 答：该店铺每天获得的最大利润是1250元． 10．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为．当水位上升到水面距离拱桥顶时，此时的水位为警戒水位．建立如图所示的平面直角坐标系，求水位为警戒水位时的水面宽度． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】 解：解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为， 如图，设水位为警戒线位，则D的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水位为警戒水位时的水面宽度． 11．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．如图2，以所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段、），且．在上有个照明灯，经过照明灯的横梁与平行．若照明灯到支架顶端的距离与横梁之和恰为6米（即），求横梁的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，对称轴为直线则由题意得，则，可知为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，则，那么，则，即可求出，继而求出． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∴， 设解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：， 设， 由可得对称轴为直线 则由题意得， ∵， ∴， ∵，由抛物线对称性可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 即横梁的长为． 12．（24-25学年九上·陕西安康·期末）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 【答案】（1）     （2）最大高度为，最远距离为      【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，抛物线经过点，，， 设抛物线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由， ∴当时，有最大值，最大值为6； 令，由得，（舍去）， 答：飞机飞行的最大高度为，最远距离为． 13．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 【答案】（1）第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为     （2）水流能到达点处， 理由：由题意得第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 令，得， 第二次灭火时水流所在抛物线过点， 水流能到达点处．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线的解析式为，用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值，即可判断求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ， 第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 14．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中得优秀      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 15．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 【答案】（1）     （2）喷头A应该向上调整      【分析】 本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由题意得抛物线的顶点为，，由待定系数法设顶点式，即可求解； （2）设向上调高，由抛物线的平移规律得，将代入计算，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，能熟练用待定系数法求函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， ， 解得：， 抛物线的表达式； (2) 小问详解： 解：设向上调高，则有 ， 经过， ， 解得：， 故喷头A应该向上调整． 16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？ 【答案】（1）     （2）测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求      【分析】 本题主要查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意得：点，，可设抛物线的函数表达式为， 利用待定系数法解答，即可求解； （2）设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，把点代入，可求出抛物线的函数表达式，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：点，， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 根据题意得：点在喷洒农药的轨迹所在抛物线上， ∴， 解得：， ∴喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 当时，， 即无人机喷头到水平地面的高度为， ∵， ∴测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求． 17．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时，______． （2）求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：飞行的高度不能达到，理由如下： 由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到．      【分析】 本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）根据表格可以得出答案； （2）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （3）结合（2）根据函数的性质求出最大值与3比较即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：把，代入， 得 ， ∴ ； ∴y与x的函数表达式为； (3) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）．以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该船轮廓线所在抛物线的解析式； （2）已知船头高出水面2米（即点到水面的距离为2米），求船头到点的水平距离． 【答案】（1）     （2）米．      【分析】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）求出抛物线的顶点，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的自变量的值，根据题意选择合适的解即可． (1) 小问详解： 解：∵船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）． ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入得到 解得 ∴该船轮廓线所在抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴船头到点的水平距离为米． 19．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与其中一个小伙伴分别站在、两点摇绳，两位同学的摇绳点、距地面的高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的解析式； （2）若参与跳绳的同学站在点处，米，当大绳处于图中抛物线的位置，且该同学跳起米时，大绳能否顺利从该同学的脚下通过？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 大绳能顺利从该同学的脚下通过， 理由：由题意，该同学所处的位置与点之间的距离米，即点的横坐标为4， 当时，， ∴大绳能顺利从该同学的脚下通过．      【分析】 本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点D为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得点的横坐标为4，求出当时的值，与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 又∵抛物线经过点， ∴将点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时，， ， 水柱不会喷射到护栏上．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． （1）求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． （2）若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）     （2）小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分．      【分析】 （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． (1) 小问详解： 解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，顶点， ∵O为的中点，，， ∴点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 23．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为：     （2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米      【分析】 （1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． (1) 小问详解： 解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. (2) 小问详解： 解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 【答案】（1）     （2）这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物， 理由：将代入， 将代入 ∴这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物．      【分析】 此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设抛物线解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意分别将和代入比较判断即可． (1) 小问详解： ∵当石子运动到距小明时，达到了最大高度， ∴根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（       ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·陕西安康·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 5．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）已知二次函数（m为常数），其图象上有两点，，如果，那么a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的表达式为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 13．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数的图象向右平移3个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，则　　　　　　　　　（填“”或“”）． 16．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 2 D. 6 5．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线．与轴的一个交点为，则：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知抛物线（为常数），当时，；当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，过点，其对称轴是直线，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（       ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 8．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知抛物线（是常数，）的顶点为，小颖同学得出以下结论，其中一定正确的是（     ） A.  B. 当时，随的增大而增大 C. 若的一个根为3，则 D. 抛物线是由拋物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 9．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且），下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为．其中正确结论的个数是（　　） ．．． 0 1 ．．． ．．． 3 2 ．．． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 方程的一个解的取值范围是 D. 图象的对称轴是直线 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 则如下结论错误的是（   ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴的交点坐标为 14．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（       ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 15．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的图象经过，两点，则下列说法中错误的是（） A. 该函数图象的对称轴为直线 B. 无论取何值，均满足 C. 函数在处取得最值 D. 若为该函数图象上的点，则当时，一定成立 18．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 20．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知二次函数． （1）写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； （2）当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 21．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为　　　　　　． 22．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1） （2） 23．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知抛物线（为常数）的顶点的横坐标为1，求的值． 24．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 25．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）请写出一个开口向下，且经过点的抛物线解析式：　　　　　（写出一个即可） 26．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为　　　　　． 27．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． （3）直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 28．（25-26学年九上·陕西安康·期中）关于的二次函数的图象过点，求该二次函数的解析式． 29．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 30．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，已知二次函数的图象经过A（2,0）. （1）求的值. （2）若二次函数于轴相交于的点，且该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积. 31．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： ①当时，随增大而增大；②抛物线的开口向上；③；④当时，的取值范围是．以上结论正确的有　　　　　　　　个． 32．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知抛物线的图象经过点．求的值及函数图象的顶点坐标． 33．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；②若且，则；③若，则；④若，，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则．以上说法正确的有　　　　　　（填序号）． 34．（25-26学年九上·陕西安康·期中）如图，抛物线与直线相交于点A和点． （1）求抛物线的解析式． （2）结合图象，求不等式的解集． （3）设P是抛物线上直线下方的一个动点，求面积的最大值． 35．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求拋物线的表达式； （2）若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 36．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 37．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，求点D的坐标． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 2．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：（为常数），则下面选项正确的是（     ） A. 若点，在抛物线上，则 B. 若点，在抛物线上，则 C. 当时，抛物线只经过第一、二象限 D. 当时，抛物线只经过第一、二象限 4．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在(        ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）关于抛物线，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 6．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，已知二次函数（、、均为常数，且）的图象与轴交于点，顶点为，则下列选项中错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 若，则 7．（24-25学年九上·陕西安康·期末）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 8．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）抛物线与y轴的交点坐标为　　　　　． 9．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为　　　　　． 11．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）已知二次函数，证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 12．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． x 0 1 y 3 13．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 14．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 15．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）体育老师对小明某次投实心球训练的录像进行技术分析，发现实心球在行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，当实心球的飞行高度为时，实心球的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C.  D. 1 4．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A. 定价70元时，利润为6000元 B. 定价元时，利润为6105元 C. 降价3元，能使所获利润最大 D. 涨价5元，能使所获利润最大 5．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求喷出的水柱所在抛物线的解析式； （2）若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 6．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 7．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是　　　　　　米． 8．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．以球场中心O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员在距离球网水平距离为9米，距离地面高度为1.5米的点D处将网球击出，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点E处达到最高点，此时网球距离球网的水平距离为3米，距离地面高度为2.1米． （1）求抛物线的解析式； （2）请判断此次击球是否能越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． 9．（25-26学年九上·陕西安康·期中）陕西苹果是全球知名农产品，且曾作为“国礼”赠送国际友人．某店铺销售一批箱装苹果，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．中秋佳节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，每箱每降低1元，每天可多销售2箱．求该店铺每天可获得的最大利润． 10．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为．当水位上升到水面距离拱桥顶时，此时的水位为警戒水位．建立如图所示的平面直角坐标系，求水位为警戒水位时的水面宽度． 11．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．如图2，以所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段、），且．在上有个照明灯，经过照明灯的横梁与平行．若照明灯到支架顶端的距离与横梁之和恰为6米（即），求横梁的长． 12．（24-25学年九上·陕西安康·期末）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 13．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 14．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 15．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 16．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？ 17．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时，______． （2）求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 18．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）．以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该船轮廓线所在抛物线的解析式； （2）已知船头高出水面2米（即点到水面的距离为2米），求船头到点的水平距离． 19．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与其中一个小伙伴分别站在、两点摇绳，两位同学的摇绳点、距地面的高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的解析式； （2）若参与跳绳的同学站在点处，米，当大绳处于图中抛物线的位置，且该同学跳起米时，大绳能否顺利从该同学的脚下通过？请说明理由． 20．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 21．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． （1）求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． （2）若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 22．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 23．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 24．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $