专题05 一元一次方程（期中真题汇编，陕西专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）若关于的方程的解是，则的值为（     ）. A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是使方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入方程得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】 解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， ∴，解得：． 故选 C． 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·陕西西安第三中学·期中）若，，且，则的值是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 先解绝对值方程，求出、的值，再根据有理数的加减法运算法则进行计算即可得解． 【详解】 解：，， ，， ， ，， ， 或， 的值是或， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了绝对值方程，有理数的加法运算，代数式求值，有理数的减法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关性质并确定出、的值是解题的关键． 2．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）对于任意有理数、，定义新运算：．等式右边是通常的减法及乘法运算．例如，2⊕．若，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程．根据新运算的定义，将问题转化为一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】 依题意，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程． 通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】 解：， 两边同时乘以2，得， 展开，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．（25-26学年七上·陕西安康旬阳县·期中）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． （1）则第二边的边长为_____，第三边的边长为_____； （2）用含，的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）当，三角形的周长为26时，求此三角形各边的长． 【答案】（1）；     （2）周长为；     （3）三角形各边的长为7，11，8      【分析】 本题主要考查了整式加法的应用，正确列出代数式并运用整式混合运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意表示出第二边与第三边即可； （2）三边之和表示出周长，再化简即可； （3）根据当，三角形的周长为26时，求出b的值，即可． (1) 小问详解： 解：∵第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短， ∴第二边的边长为，第三边的边长为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：这个三角形的周长为 ； (3) 小问详解： 解：∵当时，三角形的周长为26， ∴， 解得：， ∴此三角形各边的长为， ， ． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键． 【详解】 解：设正方形的边长为， ∴, 故选：D． 2．（25-26学年七上·陕西榆林·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一行、每一列以及每条对角线上的数字之和都相等，则代数式的值为（     ） 0 a 1 c b A.  B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据幻方中，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，求解得出，然后代入计算即可． 【详解】 解：根据题意得：， 解得： ∴， 故选：C． 3．（25-26学年七上·陕西西安鄠邑区·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为（     ） y b a 3 x A. 6 B. 8 C. -6 D. -8 【答案】C 【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 通过幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等，建立方程求解出变量值，再代入代数式计算． 【详解】 解：∵ 幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等， 设公共和为 S． 第二行：， ∴． 第一列：， ∴， 解得； 主对角线：， ∴，即， 第二列：（为第三行第二列未知数）， ∴， 第三行：， ∴， ∴， 第三行：， 第三列：，设第一行第三列的数为， ∴， ∴， ∴另一对角线：， ∴，， ∴，，． ∴． 故选：C． 4．（25-26学年七上·陕西西安第三中学·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． （1）当时，分别求出线段的长； （2）当时，求出所有符合条件的的值； （3）若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】（1）3；4；     （2）3和13；     （3）或或      【分析】 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （2）根据两点间的距离公式列方程求解； （3）根据t的取值范围，分类讨论，列方程求解． (1) 小问详解： 依题意可得：点P表示的数为t，点Q表示的数为， ∴， 当时，， 当时，； (2) 小问详解： 由题意得：， 解得：或； (3) 小问详解： 解：根据题意得：秒时，点运动到点， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或或 5．（25-26学年七上·陕西安康汉阴县·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个：的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则的值为　　　　　　　　　 4 x y 1 3 -2 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第一行第三列上的数为，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等可得，，，解方程分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】 解：如图，设第一行第三列上的数为， 由题意得：，解得， ，解得， ， 则，解得， 所以， 故答案为：． 4 x m y 1 3 -2 6．（25-26学年七上·陕西渭南华阴·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．将九个数分别填入如图的九宫格内，使每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数之和相等，则代数式的值为　　　　　　　　　　　　． a 5 0 3 1 c b 4 【答案】 【分析】 此题考查了有理数的加减运算能力，解题关键是能利用九宫格进行有理数加减运算．由可知，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和为3，则可求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：， 解得：， 故答案为． 7．（25-26学年七上·陕西咸阳兴平·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． （1）若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； （2）若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】（1）小辰家8月应缴的电费金额是元     （2）她家8月份用电350度      【分析】 本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； (2) 小问详解： 解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 8．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为，则扇形最大圆心角的度数为　　　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题主要考查了求扇形的圆心角，四个圆心角的度数之和等于360°． 设它们的圆心角的度数分别为x，，，，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】 解：设它们的圆心角的度数分别为x，，，，则 ， 解得：， ∴ ， 即扇形最大圆心角的度数为． 故答案为：． 9．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每名工人每天能加工甲种零件30个，或加工乙种零件20个． （1）若一辆轿车只需要1个甲种零件和1个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应安排多少名工人加工甲种零件？ （2）若一辆轿车只需要3个甲种零件和2个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应分别安排多少名工人加工甲、乙两种零件？ 【答案】（1）应安排20名工人加工甲种零件     （2）应安排25名工人加工甲种零件，25名工人加工乙种零件      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用； （1）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量相等列方程求解； （2）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量满足的比例关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴ 解得： ∴应安排名工人加工甲种零件 (2) 小问详解： 解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件 每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴甲种零件数量与乙种零件数量的比应为，即套数相等 ∴ 解得： ∴ ∴应安排名工人加工甲种零件，名工人加工乙种零件 10．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，为了促进消费，他们各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费． 若某顾客准备购买元的商品． （1）用含的代数式表示该顾客在甲商场购买这些商品需要付_____元，在乙商场购买这些商品需要付_____元；（结果化为最简） （2）当该顾客在甲、乙两个商场购买这些商品所付的钱数相同时，求的值． 【答案】（1）；；     （2）400．      【分析】 本题考查列代数式及一元一次方程的应用． （1）根据优惠方案列出付费表达式； （2）令两表达式相等求解即可． (1) 小问详解： 解：对于甲商场，，付费元； 对于乙商场，，付费元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：当该顾客在甲、乙两个商场购买这些商品所付的钱数相同时，， 移项得， 即， ∴． 11．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）小静用一些大小相同的小正方形纸片按如图所示的规律摆图案，第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，第4个图案中有13个小正方形，…，按照这样的规律摆下去． （1）摆第6个图案需要_____个小正方形，用含的代数式表示摆第个图案需要_____个小正方形（结果化为最简）； （2）若小静在摆某一个图案时用到了208个小正方形，请你通过计算判断小静摆的是第几个图案． 【答案】（1）19，     （2）69      【分析】 本题主要考查了图形的变化规律、一元一次方程的应用等知识点，发现图形的变化规律是解题的关键． （1）根据已知的前四个图案即可得到第五个图案需要小正方形的个数；进而归纳第n个图案所需小正方形的个数； （2）根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：第1个图案需要4个小正方形， 第2个图案需要个小正方形， 第3个图案需要个小正方形， 第4个图案需要个小正方形， …… 第6个图案需要个小正方形， …… 第n个图案需要个小正方形． 故答案为：19，． (2) 小问详解： 解：由题意可得， 解得：， 所以小静摆的是第69个图案． 12．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 【答案】共有6个客人 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用． 根据银子总量不变，列出方程求解即可． 【详解】 解：设共有n个客人， 每人分七两，则多四两，则银子总量为， 每人分九两，则还差半斤（即八两），则银子总量为， 所以， 解得：． 13．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱，一个大纸箱能装20包糖果，一个小纸箱能装12包糖果．现在用了8个纸箱刚好装完136包糖果，则用了　　　　　个小纸箱． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用． 设用了个小纸箱，则用了个大纸箱，根据题意列方程求解即可． 【详解】 解：设用了个小纸箱，则用了个大纸箱， ∵一个大纸箱能装20包糖果，一个小纸箱能装12包糖果， ∴共装包糖果， ∵刚好装完136包糖果， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．（25-26学年七上·陕西渭南蒲城县·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则代数式的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题为幻方题目，考查了等式的性质，解一元一次方程，求代数式的值等知识，理解幻方的意义并列出方程是解题关键．如图，根据题意得到，，，求出，，，代入即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得，，， ∴，，， ∴． 15．（25-26学年七上·陕西安康汉阴县·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． （1）点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； （2）已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ （3）已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【答案】（1）3，9     （2）     （3）第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是      【分析】 本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． (1) 小问详解： 解：点到原点的距离是，两点之间的距离是， 故答案为：3，9； (2) 小问详解： 解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是． 5秒后点向左运动了个单位长度，， 所以点表示的数是； (3) 小问详解： 解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度， 所以点表示的数是． 第1次运动后点表示的数， 此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：． ， 所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 16．（25-26学年七上·陕西咸阳兴平·期中）背景知识   表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示7与差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 问题解决 （1）点A，B的位置如图所示，把点B向左移动4个单位，得到点C，则点C表示的数是          ；A，C两点间的距离是          ； （2）若点M、N分别在数轴上表示的数为m、，且M、N两点之间的距离为3，求m的值； （3）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等？ 【答案】（1），2     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． （1）由图可知点A和点B表示的数，根据数轴上点的平移即可求出C点表示的数，进而可求出A，C两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出x的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． (1) 小问详解： 解：∵点B表示的数是3， ∴把点B向左移动4个单位，得到点C，则点C表示的数是， ∴A，C两点间的距离是， 故答案为：，2； (2) 小问详解： 解：由题意，得，即， 即或， 解得或； (3) 小问详解： 解：可以看成数轴上表示数x的点与表示的点的距离，可以看成数轴上表示数x的点与表示8的点的距离， 因为与的值相等， 所以当表示数x的点（用P表示）在D、E的中间位置时，与的值相等， 如图所示， 此时， 解得． 17．（25-26学年七上·陕西安康旬阳县·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是、、，且满足，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求，，的值； （2）若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．在点开始运动后第几秒时，，两点之间的距离为5？请说明理由． 【答案】（1），，     （2）点的对应的数是或     （3）当点开始运动后第、秒时，、两点之间的距离为      【分析】 本题考查的是绝对值及平方的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）根据绝对值及平方的非负性求出结论即可； （2）先求出点A、B间的距离，再分情况：点在之间或点在的延长线上，分别求出结论即可； （3）设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为，分两种情况分别求出即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， 解得，，； (2) 小问详解： 解：， 点在之间，，则， ， 点的对应的数是； 点在的延长线上，，则， ， 点的对应的数是； 综上所述，点的对应的数是或； (3) 小问详解： 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得； 当在点左侧时，且点追上点后，， 解得； 综上所述：当点开始运动后第、秒时，、两点之间的距离为． 18．（25-26学年七上·陕西宝鸡·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，点P，点Q为两个动点，点P从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点Q同时从点B出发，速度为每秒2个单位长度． （1）点C到A、B两点的距离相等，直接写出点C表示的数为___________； （2）若点P和点Q都向右运动，它们在点M处相遇，直接写出点M所表示的数为___________； （3）若点P向右运动，点Q向左运动，且，直接写出此时点P所表示的数为___________ 【答案】（1）3     （2）21     （3）13或      【分析】 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据点C到A、B两点的距离相等求出点C表示的数即可； （2）根据追及问题可列方程可得追及所需时间，即可求M点所表示的数； （3）根据相遇问题可列方程，可求得时间的值． (1) 小问详解： ∵， ∴，， ∴， ∵点C到A，B两点的距离相等， ∴点C表示的数． 故答案为：3； (2) 小问详解： 设运动时间为t秒， ， 解得：， 点P运动路程， ∴点M所表示的数为． 故答案为：21； (3) 小问详解： 设经过t秒，满足， t秒后点P对应的数为，点Q所对应的数为， ∴， 可得方程：或， 解方程得：或， ∴点P对应的数或． 故答案为：13或． 【点睛】 本题考查了数轴，绝对值，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用数轴让学生体会“数”与“形”的结合是本题的关键． 19．（25-26学年七上·陕西渭南澄城县·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了代数式求值，解一元一次方程．根据每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，列方程求出，，，再代入计算结果即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 20．（25-26学年七上·陕西西安雁塔区曲江第一中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当时，或4．如图，在数轴上、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点到点、点的距离相等，则点对应的数为___________； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？ 【答案】（1）1     （2）当或时，存在     （3）或      【分析】 本题考查数轴的应用和绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B的距离相等，所以点P在A、B两点之间，设点P对应的数为x，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案； （2）设点P对应的数为x，根据题意分情况讨论：① 当点P在点A左侧时，② 当点P在点B右侧时，③ 当点P在A，B两点之间时，分别表示出、的长，再根据，求出符合题意的x即可； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等．根据题意得到点P在t分钟后对应的数为，点A在t分钟后对应的数为，点B在t分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到t的值． (1) 小问详解： 解：点P到点 A、点B的距离相等， 点P在A、B两点之间， 设点P对应的数为x， ， 解得， 点 P 对应的数为1， 故答案为：1； (2) 小问详解： 存在， 设点P对应的数为x，由题可得： ① 当点P在点A左侧时， ， ， 解得； ② 当点P在点B右侧时， ， ， ， 解得， ③ 当点P在A，B两点之间时，由（1）可知，不合题意舍去， 综上所述：当或时，存在； (3) 小问详解： 设t分钟后点P到点A、点B的距离相等． 点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ，， ， 或， 解得：或． 21．（25-26学年七上·陕西西安西安高新第一中学·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 （1）某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； （2）某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）380     （2）     （3）该户去年一年的用水量是      【分析】 本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用户一年用水量是在第一档，根据题意计算即可； （2）用户一年用水量是在第二档，根据题意计算即可； （3）某户去年一年的水费是元是在第二档，根据题意计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． (2) 小问详解： 由题意，得 ． 故答案为：． (3) 小问详解： 当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 22．（25-26学年七上·陕西榆林神木·期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的运算与方程思想，通过设公共和为定值，利用横、竖及内外圈数字和相等列方程求解，关键是建立等式关系，易错点是数字求和或解方程时的计算错误；解题思路：设公共和为定值，根据横、竖、内外圈数字和相等列方程，求解． 【详解】 解：先计算外圈数字的和：； 再计算内圈数字的和：； 因为内外圈数字和相等，所以； 再看横向数字和：； 纵向数字和：； 因为横、纵向数字和相等，所以； 即； 将代入：，解得； ； 故答案为． 23．（25-26学年七上·陕西榆林·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数混合运算的法则．设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，列方程求出a、b、c的值，再代入计算结果即可． 【详解】 解：设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，由题意得： ， 解得：， ∴， 解得：， 同理，， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）[知识引导] 在数轴上，两点之间的距离可以用右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数来表示，例：点M、N在数轴上对应的数分别为2、，则点在点的右侧，所以点M、N之间的距离为． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右的点，，对应的数分别是，，6． （1）点到原点的距离是_____，、两点之间的距离是_____； （2）已知点和点之间的距离是2，数轴上一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴匀速运动，当运动时间为6秒时，求点对应的数及、两点之间的距离； 【拓展提升】 （3）已知数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，同时数轴上的动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，设点和点的运动时间均为秒． ①当点M、N相遇时，求出的值； ②当点M、N相距3个单位长度时，求出的值． 【答案】（1）3，9；（2），1；（3）①3；②4或2 【分析】 本题主要考查数轴上的动点问题、绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点，理解数轴上两点间距离是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，据此即可解答； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可确定点P表示的数，然后再求出、两点之间的距离即可； （3）① 当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可；② 先根据题意得点M表示的数为，点N表示的数为，当点M、N相距3个单位长度时，则，再解绝对值方程即可． 【详解】 解：（1）在一条数轴上，从左往右的点，，对应的数分别是，，6． ∴点到原点的距离是：，、两点之间的距离是：． 故答案为：3，9． （2）由题意得：点B表示的数是， 当运动时间为6秒时，点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：，即点P表示的数是； ∴、两点之间的距离． （3）① 根据题意得：，解得． ∴当点M、N相遇时，求t的值为3； ② 根据题意得点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M、N相距3个单位长度， ∴， ∴或，解得或2． ∴当点M、N相距3个单位长度时，t的值为4或2． 25．（25-26学年七上·陕西渭南华阴·期中）【定义新知】 数轴上有三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”． 例如：数轴上点表示的数分别为1，3，4，则点之间的距离是2．点之间的距离是1，此时点是点的“关联点”． 【初步探究】 （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数分别是，6．其中是点的“关联点”的是点____________； 【拓展延伸】 （2）若点表示的数为4，点表示的数为10，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点的“关联点”，则点表示的数是多少？ ②若点在点的右侧，且点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，则点表示的数是多少？ 【答案】（1） ；（2） ① 或6或8；② 13或16或22 【分析】 本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，一元一次方程的应用，认真理解新定义是解题关键． （1）根据题意求得与的关系，与的关系，进一步得到答案； （2）① 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x当点P在A的左侧时，则有：，当点P在A、B之间时，有或，再进一步求解即可； ② 当点P在点B的右侧，分情况：当点P是点A、B的“关联点”，当点B是点A、P的“关联点”，当点A是点B、P的“关联点”，再列方程解答． 【详解】 解：（1）∵点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数是， ∴，， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数是， ∴，， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）① 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x 当点P在A的左侧时，则有：， 即， 解得，； 当点P在A、B之间时，有或， ∴或， 解得，或； ∴点P表示的数为或6或8； ② 若点P在点B的右侧， 当点P是点A、B的“关联点”， ∴， ∴， 解得，； 当点B是点A、P的“关联点”， ∴或， ∴或， ∴或； 当点A是点B、P的“关联点”， ∴， ∴， 解得，； ∴点P表示的数为16或22或13． 26．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】36 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． 利用幻方中每一行、每一列及每条对角线上的三个数字之和相等的性质，列出方程求解出未知数，，，的值，再代入代数式 计算． 【详解】 解：如图所示，设另外两个数分别为，， 由，得， 由，得， 由，得， 由，得， ． 故答案为：36． 27．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的三阶幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等，则的值为　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，根据题意完善三阶幻方是解题的关键． 先完善幻方，然后分别列一元一次方程求得x、y、m的值，最后代入计算即可． 【详解】 解：如图：由第二行可得：， 则第一行第一列的空格为：； 第一行第三列的空格为：； 第三行第二列的空格为：； ∴，解得：； ，解得：； ，即，解得：． ． 故答案为9． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．C 考点02 解一元一次方程 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程．根据新运算的定义，将问题转化为一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】 依题意，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程． 通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】 解：， 两边同时乘以2，得， 展开，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．【答案】（1）；     （2）周长为；     （3）三角形各边的长为7，11，8      【分析】 本题主要考查了整式加法的应用，正确列出代数式并运用整式混合运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意表示出第二边与第三边即可； （2）三边之和表示出周长，再化简即可； （3）根据当，三角形的周长为26时，求出b的值，即可． (1) 小问详解： 解：∵第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短， ∴第二边的边长为，第三边的边长为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：这个三角形的周长为 ； (3) 小问详解： 解：∵当时，三角形的周长为26， ∴， 解得：， ∴此三角形各边的长为， ， ． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．D 2．C 3．C 4．【答案】（1）3；4；     （2）3和13；     （3）或或      【分析】 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （2）根据两点间的距离公式列方程求解； （3）根据t的取值范围，分类讨论，列方程求解． (1) 小问详解： 依题意可得：点P表示的数为t，点Q表示的数为， ∴， 当时，， 当时，； (2) 小问详解： 由题意得：， 解得：或； (3) 小问详解： 解：根据题意得：秒时，点运动到点， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或或 5．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第一行第三列上的数为，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等可得，，，解方程分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】 解：如图，设第一行第三列上的数为， 由题意得：，解得， ，解得， ， 则，解得， 所以， 故答案为：． 4 x m y 1 3 -2 6．【答案】 【分析】 此题考查了有理数的加减运算能力，解题关键是能利用九宫格进行有理数加减运算．由可知，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和为3，则可求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：， 解得：， 故答案为． 7．【答案】（1）小辰家8月应缴的电费金额是元     （2）她家8月份用电350度      【分析】 本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； (2) 小问详解： 解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 8．【答案】�度 【分析】 本题主要考查了求扇形的圆心角，四个圆心角的度数之和等于360°． 设它们的圆心角的度数分别为x，，，，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】 解：设它们的圆心角的度数分别为x，，，，则 ， 解得：， ∴ ， 即扇形最大圆心角的度数为． 故答案为：． 9．【答案】（1）应安排20名工人加工甲种零件     （2）应安排25名工人加工甲种零件，25名工人加工乙种零件      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用； （1）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量相等列方程求解； （2）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量满足的比例关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴ 解得： ∴应安排名工人加工甲种零件 (2) 小问详解： 解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件 每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴甲种零件数量与乙种零件数量的比应为，即套数相等 ∴ 解得： ∴ ∴应安排名工人加工甲种零件，名工人加工乙种零件 10．【答案】（1）；；     （2）400．      【分析】 本题考查列代数式及一元一次方程的应用． （1）根据优惠方案列出付费表达式； （2）令两表达式相等求解即可． (1) 小问详解： 解：对于甲商场，，付费元； 对于乙商场，，付费元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：当该顾客在甲、乙两个商场购买这些商品所付的钱数相同时，， 移项得， 即， ∴． 11．【答案】（1）19，     （2）69      【分析】 本题主要考查了图形的变化规律、一元一次方程的应用等知识点，发现图形的变化规律是解题的关键． （1）根据已知的前四个图案即可得到第五个图案需要小正方形的个数；进而归纳第n个图案所需小正方形的个数； （2）根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：第1个图案需要4个小正方形， 第2个图案需要个小正方形， 第3个图案需要个小正方形， 第4个图案需要个小正方形， …… 第6个图案需要个小正方形， …… 第n个图案需要个小正方形． 故答案为：19，． (2) 小问详解： 解：由题意可得， 解得：， 所以小静摆的是第69个图案． 12．【答案】共有6个客人 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用． 根据银子总量不变，列出方程求解即可． 【详解】 解：设共有n个客人， 每人分七两，则多四两，则银子总量为， 每人分九两，则还差半斤（即八两），则银子总量为， 所以， 解得：． 13．【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用． 设用了个小纸箱，则用了个大纸箱，根据题意列方程求解即可． 【详解】 解：设用了个小纸箱，则用了个大纸箱， ∵一个大纸箱能装20包糖果，一个小纸箱能装12包糖果， ∴共装包糖果， ∵刚好装完136包糖果， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题为幻方题目，考查了等式的性质，解一元一次方程，求代数式的值等知识，理解幻方的意义并列出方程是解题关键．如图，根据题意得到，，，求出，，，代入即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得，，， ∴，，， ∴． 15．【答案】（1）3，9     （2）     （3）第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是      【分析】 本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． (1) 小问详解： 解：点到原点的距离是，两点之间的距离是， 故答案为：3，9； (2) 小问详解： 解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是． 5秒后点向左运动了个单位长度，， 所以点表示的数是； (3) 小问详解： 解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度， 所以点表示的数是． 第1次运动后点表示的数， 此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：． ， 所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 16．【答案】（1），2     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． （1）由图可知点A和点B表示的数，根据数轴上点的平移即可求出C点表示的数，进而可求出A，C两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出x的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． (1) 小问详解： 解：∵点B表示的数是3， ∴把点B向左移动4个单位，得到点C，则点C表示的数是， ∴A，C两点间的距离是， 故答案为：，2； (2) 小问详解： 解：由题意，得，即， 即或， 解得或； (3) 小问详解： 解：可以看成数轴上表示数x的点与表示的点的距离，可以看成数轴上表示数x的点与表示8的点的距离， 因为与的值相等， 所以当表示数x的点（用P表示）在D、E的中间位置时，与的值相等， 如图所示， 此时， 解得． 17．【答案】（1），，     （2）点的对应的数是或     （3）当点开始运动后第、秒时，、两点之间的距离为      【分析】 本题考查的是绝对值及平方的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）根据绝对值及平方的非负性求出结论即可； （2）先求出点A、B间的距离，再分情况：点在之间或点在的延长线上，分别求出结论即可； （3）设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为，分两种情况分别求出即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， 解得，，； (2) 小问详解： 解：， 点在之间，，则， ， 点的对应的数是； 点在的延长线上，，则， ， 点的对应的数是； 综上所述，点的对应的数是或； (3) 小问详解： 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得； 当在点左侧时，且点追上点后，， 解得； 综上所述：当点开始运动后第、秒时，、两点之间的距离为． 18．【答案】（1）3     （2）21     （3）13或      【分析】 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据点C到A、B两点的距离相等求出点C表示的数即可； （2）根据追及问题可列方程可得追及所需时间，即可求M点所表示的数； （3）根据相遇问题可列方程，可求得时间的值． (1) 小问详解： ∵， ∴，， ∴， ∵点C到A，B两点的距离相等， ∴点C表示的数． 故答案为：3； (2) 小问详解： 设运动时间为t秒， ， 解得：， 点P运动路程， ∴点M所表示的数为． 故答案为：21； (3) 小问详解： 设经过t秒，满足， t秒后点P对应的数为，点Q所对应的数为， ∴， 可得方程：或， 解方程得：或， ∴点P对应的数或． 故答案为：13或． 【点睛】 本题考查了数轴，绝对值，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用数轴让学生体会“数”与“形”的结合是本题的关键． 19．【答案】4 【分析】 本题考查了代数式求值，解一元一次方程．根据每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，列方程求出，，，再代入计算结果即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 20．【答案】（1）1     （2）当或时，存在     （3）或      【分析】 本题考查数轴的应用和绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B的距离相等，所以点P在A、B两点之间，设点P对应的数为x，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案； （2）设点P对应的数为x，根据题意分情况讨论：① 当点P在点A左侧时，② 当点P在点B右侧时，③ 当点P在A，B两点之间时，分别表示出、的长，再根据，求出符合题意的x即可； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等．根据题意得到点P在t分钟后对应的数为，点A在t分钟后对应的数为，点B在t分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到t的值． (1) 小问详解： 解：点P到点 A、点B的距离相等， 点P在A、B两点之间， 设点P对应的数为x， ， 解得， 点 P 对应的数为1， 故答案为：1； (2) 小问详解： 存在， 设点P对应的数为x，由题可得： ① 当点P在点A左侧时， ， ， 解得； ② 当点P在点B右侧时， ， ， ， 解得， ③ 当点P在A，B两点之间时，由（1）可知，不合题意舍去， 综上所述：当或时，存在； (3) 小问详解： 设t分钟后点P到点A、点B的距离相等． 点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ，， ， 或， 解得：或． 21．【答案】（1）380     （2）     （3）该户去年一年的用水量是      【分析】 本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用户一年用水量是在第一档，根据题意计算即可； （2）用户一年用水量是在第二档，根据题意计算即可； （3）某户去年一年的水费是元是在第二档，根据题意计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． (2) 小问详解： 由题意，得 ． 故答案为：． (3) 小问详解： 当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 22．【答案】 【分析】 本题考查有理数的运算与方程思想，通过设公共和为定值，利用横、竖及内外圈数字和相等列方程求解，关键是建立等式关系，易错点是数字求和或解方程时的计算错误；解题思路：设公共和为定值，根据横、竖、内外圈数字和相等列方程，求解． 【详解】 解：先计算外圈数字的和：； 再计算内圈数字的和：； 因为内外圈数字和相等，所以； 再看横向数字和：； 纵向数字和：； 因为横、纵向数字和相等，所以； 即； 将代入：，解得； ； 故答案为． 23．【答案】 【分析】 本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数混合运算的法则．设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，列方程求出a、b、c的值，再代入计算结果即可． 【详解】 解：设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，由题意得： ， 解得：， ∴， 解得：， 同理，， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．【答案】（1）3，9；（2），1；（3）①3；②4或2 【分析】 本题主要考查数轴上的动点问题、绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点，理解数轴上两点间距离是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，据此即可解答； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可确定点P表示的数，然后再求出、两点之间的距离即可； （3）① 当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可；② 先根据题意得点M表示的数为，点N表示的数为，当点M、N相距3个单位长度时，则，再解绝对值方程即可． 【详解】 解：（1）在一条数轴上，从左往右的点，，对应的数分别是，，6． ∴点到原点的距离是：，、两点之间的距离是：． 故答案为：3，9． （2）由题意得：点B表示的数是， 当运动时间为6秒时，点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：，即点P表示的数是； ∴、两点之间的距离． （3）① 根据题意得：，解得． ∴当点M、N相遇时，求t的值为3； ② 根据题意得点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M、N相距3个单位长度， ∴， ∴或，解得或2． ∴当点M、N相距3个单位长度时，t的值为4或2． 25．【答案】（1） ；（2） ① 或6或8；② 13或16或22 【分析】 本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，一元一次方程的应用，认真理解新定义是解题关键． （1）根据题意求得与的关系，与的关系，进一步得到答案； （2）① 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x当点P在A的左侧时，则有：，当点P在A、B之间时，有或，再进一步求解即可； ② 当点P在点B的右侧，分情况：当点P是点A、B的“关联点”，当点B是点A、P的“关联点”，当点A是点B、P的“关联点”，再列方程解答． 【详解】 解：（1）∵点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数是， ∴，， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数是， ∴，， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）① 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x 当点P在A的左侧时，则有：， 即， 解得，； 当点P在A、B之间时，有或， ∴或， 解得，或； ∴点P表示的数为或6或8； ② 若点P在点B的右侧， 当点P是点A、B的“关联点”， ∴， ∴， 解得，； 当点B是点A、P的“关联点”， ∴或， ∴或， ∴或； 当点A是点B、P的“关联点”， ∴， ∴， 解得，； ∴点P表示的数为16或22或13． 26．【答案】36 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． 利用幻方中每一行、每一列及每条对角线上的三个数字之和相等的性质，列出方程求解出未知数，，，的值，再代入代数式 计算． 【详解】 解：如图所示，设另外两个数分别为，， 由，得， 由，得， 由，得， 由，得， ． 故答案为：36． 27．【答案】9 【分析】 本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，根据题意完善三阶幻方是解题的关键． 先完善幻方，然后分别列一元一次方程求得x、y、m的值，最后代入计算即可． 【详解】 解：如图：由第二行可得：， 则第一行第一列的空格为：； 第一行第三列的空格为：； 第三行第二列的空格为：； ∴，解得：； ，解得：； ，即，解得：． ． 故答案为9． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）若关于的方程的解是，则的值为（     ）. A.  B. 1 C.  D.  考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·陕西西安第三中学·期中）若，，且，则的值是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）对于任意有理数、，定义新运算：．等式右边是通常的减法及乘法运算．例如，2⊕．若，则的值为　　　　　． 3．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）解方程：． 4．（25-26学年七上·陕西安康旬阳县·期中）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． （1）则第二边的边长为_____，第三边的边长为_____； （2）用含，的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）当，三角形的周长为26时，求此三角形各边的长． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·陕西榆林·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一行、每一列以及每条对角线上的数字之和都相等，则代数式的值为（     ） 0 a 1 c b A.  B. 4 C.  D.  3．（25-26学年七上·陕西西安鄠邑区·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为（     ） y b a 3 x A. 6 B. 8 C. -6 D. -8 4．（25-26学年七上·陕西西安第三中学·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． （1）当时，分别求出线段的长； （2）当时，求出所有符合条件的的值； （3）若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 5．（25-26学年七上·陕西安康汉阴县·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个：的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则的值为　　　　　　　　　 4 x y 1 3 -2 4 x m y 1 3 -2 6．（25-26学年七上·陕西渭南华阴·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．将九个数分别填入如图的九宫格内，使每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数之和相等，则代数式的值为　　　　　　　　　　　　． a 5 0 3 1 c b 4 7．（25-26学年七上·陕西咸阳兴平·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． （1）若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； （2）若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 8．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为，则扇形最大圆心角的度数为　　　　　　　　　． 9．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每名工人每天能加工甲种零件30个，或加工乙种零件20个． （1）若一辆轿车只需要1个甲种零件和1个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应安排多少名工人加工甲种零件？ （2）若一辆轿车只需要3个甲种零件和2个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应分别安排多少名工人加工甲、乙两种零件？ 10．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，为了促进消费，他们各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费． 若某顾客准备购买元的商品． （1）用含的代数式表示该顾客在甲商场购买这些商品需要付_____元，在乙商场购买这些商品需要付_____元；（结果化为最简） （2）当该顾客在甲、乙两个商场购买这些商品所付的钱数相同时，求的值． 11．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）小静用一些大小相同的小正方形纸片按如图所示的规律摆图案，第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，第4个图案中有13个小正方形，…，按照这样的规律摆下去． （1）摆第6个图案需要_____个小正方形，用含的代数式表示摆第个图案需要_____个小正方形（结果化为最简）； （2）若小静在摆某一个图案时用到了208个小正方形，请你通过计算判断小静摆的是第几个图案． 12．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 13．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱，一个大纸箱能装20包糖果，一个小纸箱能装12包糖果．现在用了8个纸箱刚好装完136包糖果，则用了　　　　　个小纸箱． 14．（25-26学年七上·陕西渭南蒲城县·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则代数式的值为　　　　　． 15．（25-26学年七上·陕西安康汉阴县·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． （1）点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； （2）已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ （3）已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 16．（25-26学年七上·陕西咸阳兴平·期中）背景知识   表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示7与差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 问题解决 （1）点A，B的位置如图所示，把点B向左移动4个单位，得到点C，则点C表示的数是          ；A，C两点间的距离是          ； （2）若点M、N分别在数轴上表示的数为m、，且M、N两点之间的距离为3，求m的值； （3）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等？ 17．（25-26学年七上·陕西安康旬阳县·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是、、，且满足，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求，，的值； （2）若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．在点开始运动后第几秒时，，两点之间的距离为5？请说明理由． 18．（25-26学年七上·陕西宝鸡·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，点P，点Q为两个动点，点P从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点Q同时从点B出发，速度为每秒2个单位长度． （1）点C到A、B两点的距离相等，直接写出点C表示的数为___________； （2）若点P和点Q都向右运动，它们在点M处相遇，直接写出点M所表示的数为___________； （3）若点P向右运动，点Q向左运动，且，直接写出此时点P所表示的数为___________ 19．（25-26学年七上·陕西渭南澄城县·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为　　　　　　　　． 20．（25-26学年七上·陕西西安雁塔区曲江第一中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当时，或4．如图，在数轴上、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点到点、点的距离相等，则点对应的数为___________； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？ 21．（25-26学年七上·陕西西安西安高新第一中学·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 （1）某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； （2）某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 22．（25-26学年七上·陕西榆林神木·期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，则的值为　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年七上·陕西榆林·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）[知识引导] 在数轴上，两点之间的距离可以用右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数来表示，例：点M、N在数轴上对应的数分别为2、，则点在点的右侧，所以点M、N之间的距离为． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右的点，，对应的数分别是，，6． （1）点到原点的距离是_____，、两点之间的距离是_____； （2）已知点和点之间的距离是2，数轴上一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴匀速运动，当运动时间为6秒时，求点对应的数及、两点之间的距离； 【拓展提升】 （3）已知数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，同时数轴上的动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，设点和点的运动时间均为秒． ①当点M、N相遇时，求出的值； ②当点M、N相距3个单位长度时，求出的值． 25．（25-26学年七上·陕西渭南华阴·期中）【定义新知】 数轴上有三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”． 例如：数轴上点表示的数分别为1，3，4，则点之间的距离是2．点之间的距离是1，此时点是点的“关联点”． 【初步探究】 （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数分别是，6．其中是点的“关联点”的是点____________； 【拓展延伸】 （2）若点表示的数为4，点表示的数为10，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点的“关联点”，则点表示的数是多少？ ②若点在点的右侧，且点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，则点表示的数是多少？ 26．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式的值为　　　　　　． 27．（25-26学年七上·陕西榆林靖边县·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的三阶幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等，则的值为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $