专题01 四边形（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（     ） A. 3 B. 2 C. 12 D. 6 3．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在下列条件中，能够判定为矩形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（            ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 7．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（     ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 9．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（       ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂足为．若，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C.  D. 6 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是(     ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 18．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，，点，分别是，的中点，，垂足为，若，，则的长为（     ） A. 5 B.  C. 4 D. 3 19．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 20．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接． 求证：四边形为矩形． 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在中，是斜边上的中线，，则　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，平分，，求的长． 24．（25-26学年九上·陕西榆林·期中）如图，点E为矩形ABCD内一点，且．求证：． 25．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，，D是边的中点，连接，则　　　　　　　　　　　　 27．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 28．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）求四边形AEBD的周长． 29．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形是矩形． 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 31．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是　　　　　　　　　　°． 32．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 33．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，，请用尺规作图，在边上求作一点D，连接，使得将分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 34．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 35．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在矩形中，点E为对角线上一点，连接，过点D作，交于点F．求证：． 36．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）（多选）如图，的对角线与相交于点E，点G为的中点，连接，的延长线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 37．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．求证：四边形是矩形． 38．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，点为矩形内一点，连接，，，，且．求证：． 39．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若四边形的面积为24，，求的长． 41．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的值． 42．（24-25学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期末）如图，为平行四边形的对角线，试在边上确定点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 43．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求　　　　　　　　 ． 44．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 45．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 48．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边于点，连接． （1）四边形是菱形吗？请说明理由； （2）若，求的长． 49．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在矩形中，为边上的动线段，且，连接，．若，，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　 51．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 52．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，已知四边形是矩形，，点在边上，，平分，则的长度为　　　　　　． 53．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）（多选）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 54．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是　　　　　． 55．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　　　　　． 56．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为　　　　　　． 58．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 59．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 60．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是          ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 61．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在矩形中，连接，，点是边上的动点，过点作于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 62．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为　　　　　． 63．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是　　　　　　． 64．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在矩形中，，，点E是平面内一动点，且满足，连接，F为的中点，连接，在点E的运动过程中，线段长度的最大值是　　　　　　 ． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）在菱形中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在四边形中，对角线与交于点，且，．在下列条件中，能够判定四边形是矩形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 4．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（       ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 5．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 7．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（     ） A.  B.  C. 平分 D.  9．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）在菱形中，，，则（     ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在菱形中，，，点为边中点，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为（     ） A.  B. 16 C.  D. 8 11．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在菱形中，O为对角线的中点，E是对角线上一点，且，连接，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 13．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（     ） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 14．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（　　）． A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（        ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  18．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，菱形的边长为10，对角线与交于点O，，则该菱形的面积为（     ） A. 30 B. 48 C. 60 D. 96 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，为四边形的对角线，点E、F为的两个三等分点，分别连接，四边形为菱形，若，，则四边形的面积为（     ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 24 20．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，菱形中，，点E，F分别在和上，，求证：． 24．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 25．（九·陕西汉中南郑区·期末）任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个　　　　　　　　（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 26．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 27．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为　　　　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 30．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图所示，在菱形中，点，分别在，上，且，求证：． 31．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 33．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为　　　　　　　　　　　 °．  34．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，已知，． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）若，求四边形的周长． 36．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 37．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形． 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 39．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 40．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）（多选）如图，四边形ABCD是平行四边形，用尺规作菱形ABEF,使点E ，F分别在BC，AD上.（不写作法，保留作图痕迹） 41．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 42．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为　　　　　． 44．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，菱形的边长为10，对角线、交于点，，则菱形的面积为　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 46．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 47．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 48．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 49．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 51．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 52．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：． 53．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为　　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）（多选）如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 55．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是　　　　　　． 56．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知：如图，在△中，是的平分线，，．求证：四边形是菱形． 59．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，点O在的平分线上，请用尺规作图法求作菱形，使是该菱形的一个内角，且点O为它的对称中心．（保留作图痕迹，不写作法） 60．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 61．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 62．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为　　　　　　． 63．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 64．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，E、F分别是的中点，连接，且，交于点．在的延长线上取一点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 65．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 66．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，，．若为线段上一点，分别以、为边向右构造，则的最小值是　　　　　　． 67．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处，若，，，则的长为　　　　　　． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 2．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（       ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 3．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(     ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 6．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（       ） A. 两条对角线互相平分 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 正方形面积等于对角线长的平方 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）下列说法正确的是（     ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 8．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）下列判断错误的是（       ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 10．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在四边形中，，再添加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为4．其中正确结论的个数有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，边长为的正方形按如图位置放置，点为坐标原点，对角线在轴上，则顶点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）下列说法正确的是（       ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 17．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 18．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 8 20．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　） A. 2 B. 4 C.  D.  21．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，其中点B、C分别位于第一、二象限，且与x轴正半轴的夹角为，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（       ） A. 7 B.  C. 9 D.  23．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 24．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，点为正方形内一点，连接，若，，求的度数． 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为　　　　　． 26．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）（多选）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 27．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为　　　　　． 30．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗?请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 31．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，求的长． 32．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是　　　　　　． 33．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为　　　　　　． 34．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为　　　　　　． 35．（九·陕西汉中南郑区·期末）正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则　　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在中，，，请用尺规作图法在平面内找一点D，连接，，使得四边形是正方形．（不写作法，保留作图痕迹） 38．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，，判断与是否相等，并说明理由． 39．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且，点在边上，连接、，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． （1）【提出问题】，，之间的数量关系为______； （2）【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 41．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）证明：； （2）四边形是怎样的特殊四边形？请说明理由． 42．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 43．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在正方形中，为边上一点，为的延长线上一点，连接、、，且．求证：． 44．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 45．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． （1）如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； （2）如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 46．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为　　　　　． 47．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 48．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 49．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）【问题解决】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，连接相交于点G，，延长至点H，使得，连接，求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，某地动物园的平面图为菱形，入口E在边上，出口F在边上，是两条观赏主道，且，的交点G为游客服务中心，已知，，，求其中一条观赏主道的长． 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． （1）初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； （2）深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； （3）拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 51．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接， （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】 解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（     ） A. 3 B. 2 C. 12 D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】 解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 3．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，结合，则是直角三角形，因为F是的中点，则，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 则是直角三角形， ∵F是的中点， ∴， 故选：C 4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在下列条件中，能够判定为矩形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】 当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 5．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案． 【详解】 解：∵矩形中， ∴ ∵：：， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键． 【详解】 6．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵点G，H分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选：A 7．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（     ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】 本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】 解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 9．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（       ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】 解：A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键． 10．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】 解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 11．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用矩形的性质得到，,结合等腰三角形的性质的度数，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 13．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线的性质求得，再利用勾股定理求得． 【详解】 解：∵，点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ， ， 故选：B． 14．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，进而可求出的度数． 【详解】 解：，是的中点， ，， ， ，， ∵， ， 故选C． 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用线段中点正确作辅助线是解题关键．连接并延长交于点，连接，利用矩形的性质证明，再利用勾股定理，求得，最后利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】 解：连接并延长交于点，连接， 在矩形中，点E、F分别是边、的中点，，， ，，，，， ，， 点H分别是的中点， ， ， ，， ， ， 点G、H分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 16．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂足为．若，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，，再根据，证明是等边三角形，得，结合，得，。运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：C． 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是(     ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【分析】 先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而得出四边形DEAO为菱形，① 正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，② 错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③ 错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后证明△ABD≌△EDB即可得出④ 正确． 【详解】 解：① ∵DEAC，AEBD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形，故① 正确； ② 当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故② 错误； ③ 当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③ 错误； ④ 如图，连接OE，     ∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OE＝OB＝OD， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝OD， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠EDO＝60°， ∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠EBD， 又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB， ∴△ABD≌△EDB（AAS）， ∴AD＝BE，故④ 正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 18．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，，点，分别是，的中点，，垂足为，若，，则的长为（     ） A. 5 B.  C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质． 先由等腰三角形的性质得到，，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】 解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵，点是的中点 ∴， 故选：C． 19．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查三角形中位线，勾股定理．取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】 解：取中点，连接和， ∵在矩形中， ， ， ∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， 三点共线， ． 故选：C． 20．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形中位线、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出三角形的中位线是解题的关键． 如图：取中点M，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，可求得，再根据线段的和差求得，最后代入计算即可． 【详解】 解：如图：取中点M，连接和， ∵O为对角线的中点，F为的中点，M为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， ∴三点共线， ． ∴ 故选：C． 21．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接． 求证：四边形为矩形． 【答案】解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为中点，，证明，再根据，为边上的中线，得出，，证明四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形为矩形． 【详解】 略 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在中，是斜边上的中线，，则　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题． 【详解】 解：在中， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点在边上，点在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，则， ∴平行四线是矩形．     （2）的长为      【分析】 （1）根据的性质可得，，由此即可求证； （2）根据，在中，可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，根据四边形是矩形，可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，则， 在中，， ∴， ∴，， ∵由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， 已知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 24．（25-26学年九上·陕西榆林·期中）如图，点E为矩形ABCD内一点，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴． 【分析】 根据矩形的性质以及证明，进而证明即可解决问题。 【详解】 略 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等边对等角，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 25．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】 解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 26．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，，D是边的中点，连接，则　　　　　　　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角，即可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形．     （2）      【分析】 （1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）求四边形AEBD的周长． 【答案】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AC， ∴四边形AEDC是平行四边形 ∴AE=CD 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90°，BD=CD ∴BD=AE． 又∵AE∥BD ∴四边形AEBD是平行四边形 ∴四边形AEBD是矩形． （2）14． 【分析】 （1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形． （2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，即可得出结果． 【详解】 （1）略 （2）在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3， ∴， ∴四边形AEBD的周长=2（AD+BD)=2×(4+3)=14． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点． 29．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质，以及，得，故四边形是平行四边形，再根据，，所以，四边形是矩形． 【详解】 略． 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 【答案】证明：在矩形中， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可证明，即可得到． 【详解】 略 31．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是　　　　　　　　　　°． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 33．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，，请用尺规作图，在边上求作一点D，连接，使得将分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求： 【分析】 本题考查等腰三角形的判定、直角三角形的性质、尺规作图-作线段垂直平分线，解题关键是正确作图． 根据线段垂直平分线的作图方法，作的垂直平分线，垂足为点，此时点D是中点，则，则是等腰三角形． 【详解】 略 34．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 35．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在矩形中，点E为对角线上一点，连接，过点D作，交于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由矩形的性质得，，再由平行线的性质得，，根据同角的补角相等得，再证明即可得出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）（多选）如图，的对角线与相交于点E，点G为的中点，连接，的延长线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FAG=∠CDG， ∵点G是AD的中点， ∴GA=GD， 在△AGF和△DGC中 ， ∴△AGF≌△DGC（ASA）； ∴GF=GC,AF=DC ∴四边形ACDF是平行四边形 ∴AC=DF 又∵在平行四边形ABCD中， ∴； （2）四边形ACDF是矩形． 理由：由（1）可知四边形是ACDF平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∴AB=AF， 又∵AG=AB， ∴AG=AF， ∴AB=AG=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BCD=120° ∴∠BAD=120°，∠FAG=60°， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG， ∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【分析】 （1）根据ASA定理证得△AGF≌△DGC，从而得到GF=GC，求得四边形ACDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求证； （2）利用平行四边形的判定与性质结合全等三角形的性质得出△AFG是等边三角形，从而得到AD=CF，再利用矩形的判定方法得出答案． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、矩形的判定方法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键． 37．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】 略 38．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，点为矩形内一点，连接，，，，且．求证：． 【答案】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【分析】 本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．利用矩形的性质得到边和角的关系，结合已知，通过证明三角形全等得出． 【详解】 略 39．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据矩形的性质证明是的中位线，得，，然后证明，设，根据勾股定理得到，代入列方程求出x的值即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若四边形的面积为24，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形．     （2）5      【分析】 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，则，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形面积求出，得，由勾股定理得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：矩形的面积为， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 又 ． 41．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形；     （2）的值为．      【分析】 （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 42．（24-25学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期末）如图，为平行四边形的对角线，试在边上确定点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】点即为所求， 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，作垂直平分线；根据题意作的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交于点， 设的垂直平分线为直线， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴ 又∵是平行四边形 ∴ ∴． 43．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 44．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 【分析】 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】 略 45．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据矩形的性质得出，，，从而可得，再说明是的中点，结合，可说明是等腰三角形，再证明是等边三角形．然后利用中位线的性质求得，从而可求得． 【详解】 解：由矩形的性质可知，，， ∴． ∵， ∴是的中点． ∵， ∴是等腰三角形， 即， ∴， 即是等边三角形． 又∵，， ∴是的中点． 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 46．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过矩形性质以及角平分线推导为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值． 【详解】 解：矩形中，，，平分， 因此， 在中，，， 故是等腰直角三角形，即， 点是上的动点，是的中点， 根据中位线定理，当F在直线上运动时，的轨迹是一条平行于的线段， 取的两个特殊点：当运动到点时，是的中点，记为； 当运动到点时，是的中点，记为，连接M、N， 则线段即为的轨迹，且∥，， 所以， 要使最小，需，即， 所以的最小值是即为的长度， 所以，即的最小值为． 【点睛】 本题考查了动点轨迹与转化最小值问题，角平分线的性质，利用三角形中位线定理，分析出垂线段最短原理是解决本题的关键． 47．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．     （2）4      【分析】 本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 48．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边于点，连接． （1）四边形是菱形吗？请说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， 即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质证明，得到四边形为平行四边形，根据即可证明四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据矩形的性质得到，，在中，，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 即， ． 49．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在矩形中，为边上的动线段，且，连接，．若，，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称求最短线段，勾股定理等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、，根据矩形的性质，证明四边形是平行四边形，进而得出，，由轴对称的性质可知，，，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出即可得解． 【详解】 解：如图，过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、， 在矩形中，，，， ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 由轴对称的性质可知，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 平行四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先通过证明三角形全等得到线段相等，进而得出四边形是平行四边形，再结合一个角是直角的平行四边形是矩形来证明． 【详解】 略 52．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，已知四边形是矩形，，点在边上，，平分，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质等知识，由矩形性质可得，，，则有，又平分，所以，则有，得，设，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 53．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）（多选）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BD＝BE； （2）24 【分析】 （1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证； （2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，根据平行四边形的性质得出AC＝BE，求出OF和EF的长，从而求得三角形的面积即可． 【详解】 （1）略 （2）解：过点O作OF⊥CD于点F， ∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BE＝BD＝10， ∵△BCD≌△BCE， ∴CD＝CE＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝OB，∠BCD＝90°， ∵OF⊥CD， ∴OF∥BC， ∴CF＝DF＝CD＝3， ∴EF＝6+3＝9， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8， ∵OB＝OD， ∴OF为△BCD的中位线， ∴OF＝BC＝4． ∴△ODE的面积为DE•OF＝×12×4＝24． 【点睛】 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 54．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 55．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【详解】 解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 56．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 【答案】证明：四边形为矩形， ，， 又， ， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得到，，易证，即可证明结论． 【详解】 略 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 58．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明． 【详解】 略 59．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； (2) 小问详解： 解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 60．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是          ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】 [问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】 解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 61．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在矩形中，连接，，点是边上的动点，过点作于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质及三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】 解：在矩形中，，，垂足为， 如图，延长，使得，连接，， ，，， 平分， ∵， ， ， ∴点在定直线上， 是的中点， 是三角形的中位线， ， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， 的最小值为， 故答案为：． 62．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 63．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 64．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在矩形中，，，点E是平面内一动点，且满足，连接，F为的中点，连接，在点E的运动过程中，线段长度的最大值是　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 连接，取其中点M，连接，由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得、的长，根据线段的性质得，当点M在线段上时，取得最大值，从而求得的最大值． 【详解】 解：如图，连接，取中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴； ∵，F为的中点，点为中点， ∴是的中位线 ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∴的最大值为． 故答案为：7． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）在菱形中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质进行判断即可. 【详解】 解：在菱形中，两条对角线相交于点O， ∴，，， 但不一定成立， 故选：D 2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在四边形中，对角线与交于点，且，．在下列条件中，能够判定四边形是矩形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 添加当时， 能判定四边形是菱形；故A不符合题意； 添加， 则四边形是菱形，故选项B不符合题意， 添加，则， ∴四边形是矩形；故选项C符合题意； 添加， ∴四边形为菱形，故D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【分析】 本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】 解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 4．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（       ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【分析】 本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 首先求出，然后求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 5．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，根据菱形的性质得，由可得． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【分析】 本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】 A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了菱形的性质，点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得，因为点C的坐标为，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：过点C作轴，如图所示： 设菱形的边长为， 则， ∵点C的坐标为， ∴， ∵轴， ∴在中，则， ∴， 解得， ∴， 即点B的坐标为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（     ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】 解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）在菱形中，，，则（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在菱形中，，，点为边中点，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为（     ） A.  B. 16 C.  D. 8 【答案】C 【分析】 连接，作于点，作于点，利用菱形的性质，推出，证明是等边三角形，再结合勾股定理算出，根据题意得到四边形是平行四边形，推出，结合，即可解题． 【详解】 解：连接，作于点，作于点， ∵四边形为菱形，． ， ∴是等边三角形， ， ， ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 11．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在菱形中，O为对角线的中点，E是对角线上一点，且，连接，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 由菱形的性质可得、，即，再根据等腰三角形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】 解：∵菱形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 故选：D． 12．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】 本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】 解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（     ） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质．根据菱形的性质得到，是直角三角形，由E是的中点得到． 【详解】 解：∵菱形的对角线、相交于点O，菱形的周长为48， ∴，垂足为点O， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， ∴， 故选：B 14．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上， ， ， 点的坐标是：． 故选：C． 15．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（        ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断② ④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故① ②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④ 正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 16．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】 解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵F为中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质），即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又由折叠的性质得：， ， 在中，由三角形的内角和定理得：， 故选：C． 【点睛】 本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键． 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 18．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，菱形的边长为10，对角线与交于点O，，则该菱形的面积为（     ） A. 30 B. 48 C. 60 D. 96 【答案】D 【分析】 本题考查了菱形的性质、勾股定理．根据勾股定理得出的长，得到的长，据此求解即可． 【详解】 解：∵菱形的边长为10，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形的面积， 故选：D． 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，为四边形的对角线，点E、F为的两个三等分点，分别连接，四边形为菱形，若，，则四边形的面积为（     ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 24 【答案】B 【分析】 本题考查菱形的性质，勾股定理，连接，交于点，得到，勾股定理求出的长，根据四边形的面积进行求解即可． 【详解】 解：连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵点E、F为的两个三等分点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积； 故选B． 20．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线性质，菱形的面积公式，关键是根据三角形中位线性质求得． 由是的中位线可得，再根据菱形的性质可得，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】 解： ∵、分别为、的中点， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， 菱形的面积． 故选：B． 21．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 22．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据斜边中线定理可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：5． 23．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，菱形中，，点E，F分别在和上，，求证：． 【答案】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴，平分． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∴在与中， ． ∴． ∴． 【分析】 连接，证即可 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 24．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【分析】 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】 略 25．（九·陕西汉中南郑区·期末）任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个　　　　　　　　（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，连接、，根据菱形的对角线互相垂直得到，由三角形的中位线定理得到，，则，同理可得，，，据此可得答案． 【详解】 解：如图，在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点， 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， 同理，，， ∴四边形是矩形． ∴任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形． 26．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 【答案】（1）， 四边形是平行四边形， ，CE是的中线， ， 四边形是菱形； （2） 【分析】 （1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】 （1） 略 （2）如图，连接， ，， ， 在中， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【点睛】 本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 27．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，根据菱形面积对角线积的一半即可． 【详解】 解：是菱形， ∴， ， ∴ 为直角三角形 ． ， 故答案为：24． 28．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】24 【分析】 根据菱形的性质推出另一条对角线长． 【详解】 解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半， 可得另一条对角线长为：； 故答案为：24． 【点睛】 主要考查了菱形的面积公式，解题的关键是掌握两条对角线的积的一半或是边长乘以高． 29．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ． ， ， ． 【分析】 此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】 略 30．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图所示，在菱形中，点，分别在，上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】 连接，根据菱形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】 证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 31．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为　　　　　　　． 【答案】7度 【分析】 本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】 解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ，． ，， ． 在与中， ． ． 【分析】 本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质．熟知菱形的性质证全等是解题的关键．根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】 略 33．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为　　　　　　　　　　　 °．  【答案】 【分析】 本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 35．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，已知，． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴是等边三角形， ， ∴平行四边形是菱形；     （2）8      【分析】 （1）先判定是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再根据三角函数求出，即可得出四边形的周长． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形的周长． 【点睛】 本题考查了菱形的判定，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质；判定出是等边三角形是解题的关键，也是本题的突破口． 36．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是菱形，证明如下： ∵，且四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 【分析】 本题考查了菱形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得四边形是菱形，则，又因为点，，，分别是，，，的中点，则，即，进行作答． 【详解】 略 37．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形． 【答案】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【分析】 本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，可得到四边形为平行四边形，再由，可得，然后证明四边形为平行四边形，即可求证． 【详解】 略 38．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）作交延长线于G，证明四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据中位线得到，进而求出，，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作交延长线于G， ∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 39．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；     （2）20      【分析】 （1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 40．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）（多选）如图，四边形ABCD是平行四边形，用尺规作菱形ABEF,使点E ，F分别在BC，AD上.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示： 所以四边形ABEF即为所求. 【分析】 以A为圆心，以AB为半径画弧，交AD于点F；以B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点E，连接EF，四边形ABEF即为所求. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、作图-基本作图、菱形的判定，根据平行四边形的性质结合菱形的判定方法作图是解决问题的关键． 41．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】 本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，从而，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】 略 42．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】 解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 43．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为　　　　　． 【答案】4 【分析】 要求PM＋PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解． 【详解】 解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12， ∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴OB＝， 由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2， ∴， ∴AB＝4， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴BN＝BM＝AM， ∵ME⊥AC交AD于E， ∴AE＝AM， ∴AE＝BN，AE∥BN， ∴四边形ABNE是平行四边形， ∴ENAB， ∴PM+PN的最小值为4， 故答案为4． 【点睛】 本题考了查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 44．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，菱形的边长为10，对角线、交于点，，则菱形的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，所对的直角边等于斜边一半，勾股定理等知识；由菱形的性质得，，，根据所对的直角边等于斜边一半求出，根据勾股定理得出，从而得出，，利用菱形面积计算公式可得结论． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形，， ， ， 在和中，， ， ． 【分析】 本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得出，，再证明即可． 【详解】 略 46．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】 先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】 解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 47．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】 利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 48．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 49．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】（1）① （或③ ）     （2） 选① ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③ ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形．      【分析】 本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选① 或③ ，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． (1) 小问详解： 解：① （或③ ） (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点 ， 四边形是菱形． 【分析】 本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的判定定理是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． 【详解】 略 51．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）8     （2）      【分析】 本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． (1) 小问详解： 解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； (2) 小问详解： 解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 52．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 53．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】65 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】 解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 54．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）（多选）如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 【答案】证明：四边形ABCD是菱形 AB//DC，BC＝CD B＝ DCF 在BCE和CDF中： BCECDF CE＝DF． 【分析】 根据菱形的性质可得BC = CD，AB∥DC，再根据两直线平行，同位角相等可得B＝ DCF，然后利用“边角边”证明BCECDF，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． 55．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是　　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】 解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 56．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （2）24      【分析】 本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，可得，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积． ∵ ∴ ∴ ∴ 57．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为12， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， ∴． ∴． 故答案为：． 58．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知：如图，在△中，是的平分线，，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形． 【分析】 本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】 略 59．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，点O在的平分线上，请用尺规作图法求作菱形，使是该菱形的一个内角，且点O为它的对称中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，菱形即为所求： 【分析】 本题考查了菱形的判定，尺规作图等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 过点作的垂线交射线于点，在延长线上截取，连接，则菱形即为所求． 【详解】 解：由作图可得，， ∴， ∵点O在的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 60．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质与勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到的长． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 61．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． (1) 小问详解： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 62．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 考查菱形的性质、勾股定理，解题关键是利用菱形性质得出边的关系，结合勾股定理求出点的坐标，再根据线段长度关系确定点的坐标先利用菱形性质及勾股定理求出点坐标，再得出长度，结合求出长度，进而确定点坐标． 【详解】 解：∵ 四边形是菱形，， ∴ ． ∵ ，在轴上， ∴ 平行于轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同． 设点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得， 解得或, ∵点在轴正半轴， ∴， ∴ 点的坐标为． ∵点的坐标为，平行于轴， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 63．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 64．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，E、F分别是的中点，连接，且，交于点．在的延长线上取一点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）由四边形是菱形，得到，，，然后由勾股定理求解出，再推导，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由可知四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ， ， ， ∴． 65．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由对称性知，， ∴， 又∵， ∴，     （2）6      【分析】 本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，，．若为线段上一点，分别以、为边向右构造，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先充分理解题意得，结合为线段上一点，分别以、为边向右构造，得，过点B作，再作点P关于直线的对称点，则，当三点共线时，则的最小值是，然后证明四边形是矩形，四边形是矩形，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是菱形，对角线与交于点，，， ∴， ∵为线段上一点，分别以、为边向右构造， ∴， ∵ ∴ 过点B作，再作点P关于直线的对称点，连接，且 交于一点T，如图所示： ∴， 则， 当三点共线时，则的最小值是， ∵为线段上一点， ∴为线段上的一点， 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即的最小值是， 故答案为： 【点睛】 本题考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 67．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处，若，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】 根据矩形、菱形、正方形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】 ∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项A不符合题意； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意； ∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴选项C不符合题意； ∵每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，∴选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的判定、菱形的判定、以及正方形的判定．熟练掌握矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定定理是解题的关键． 2．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（       ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】 解：A、① ，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、② ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③ ，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④ ，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】 解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意；     B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意；     C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 5．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(     ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【分析】 本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 6．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（       ） A. 两条对角线互相平分 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】 解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）下列说法正确的是（     ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】 本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】 解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 8．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）下列判断错误的是（       ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】 本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．根据各图形的判定条件逐一分析选项，判断是否存在错误即可． 【详解】 解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项的判断正确,不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项的判断正确,不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项的判断正确,不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故本选项的判断错误,符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在四边形中，，再添加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的判定，由可推知四边形为矩形，要使矩形成为正方形，需添加邻边相等或对角形互相垂直的条件，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：， ， ∴ 四边形是矩形． 当添加时，矩形中邻边相等， ∴ 四边形是正方形． 故选项C符合题意； 选项A：为矩形对边相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项B：为矩形对角线相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项D：已隐含，无法判断四边形是正方形； 故选：C． 11．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是正方形的性质．由正方形的性质可得，，证明的度数，再利用三角形的外角性质可得答案． 【详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】 此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 13．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为4．其中正确结论的个数有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 ① 连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG，证明△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；② 由OF＝OB可得∠OBF＝∠OFB，由∠OBF＝∠ADE可得∠OFB＝∠ADE，由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD＋∠ADH＝90°，所以∠AHD＋∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③ 由② 中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④ 由FG＝BE＝DE，点E为AC上一动点，可知当DE⊥AC时，DE最小，即FG最小，求出最小值为，可得FG的最小值为． 【详解】 解：① 连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形， ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE， ∴DE＝FG，① 正确； ② 延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE， ∵OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE， ∴∠OFB＝∠ADE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE＋∠AHD＝90°， ∴∠OFB＋∠AHD＝90°， ∴∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG，② 正确； ③ 由② 知：∠OFB＝∠ADE， 即∠BFG＝∠ADE，③ 正确； ④ ∵FG＝BE＝DE，点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小，即FG最小， ∵AD＝CD＝6，∠ADC＝90°， ∴， ∴DE＝AC＝． ∴FG的最小值为，④ 错误， 综上，正确的结论为：① ② ③ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边对等角，勾股定理等知识，根据图形特点通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 14．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形． 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，即， 菱形是正方形； 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 15．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，边长为的正方形按如图位置放置，点为坐标原点，对角线在轴上，则顶点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．先根据正方形的性质以及勾股定理可得，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质可得A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，据此即可解答． 【详解】 解：∵边长为的正方形如图这样放置， ∴， 如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 故选：B． 16．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）下列说法正确的是（       ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】 根据特殊平行四边形的判定和性质逐项判断即可.熟练掌握判定定理是解题的关键. 【详解】 解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确； B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此选项错误； C、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，此选项错误； D、两条对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，此选项错误. 故选A. 17．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点C作轴于H，根据题意可得，由正方形的性质得到，，则由勾股定理可得，证明，得到，则，据此可得． 【详解】 解：如图所示，过点C作轴于H， ∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，运用转化思想是解题的关键． 过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】 解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：C． 20．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值． 【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD=∠AFD′， ∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16， ∵AP′=P′D’， 2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16， ∴P′D′=2， 即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为C． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的 21．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，其中点B、C分别位于第一、二象限，且与x轴正半轴的夹角为，则点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出辅助线是解题的关键．连接，作轴，由正方形的性质得到，和的长度，然后由角度的和差求得，进而由30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求得和，即可求出点B的坐标． 【详解】 解：如图，连接，作轴，与x轴正半轴的夹角为，    则，， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：A． 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（       ） A. 7 B.  C. 9 D.  【答案】B 【分析】 根据题意得，由正方形性质得，，然后通过同角的余角相等得，进而证得，根据全等三角形的性质得到，通过勾股定理求出，最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】 解： 四边形是正方形 ，， ，，， 在和中， 为的中点 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 【答案】3 【分析】 本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定；根据正方形的性质得到各边的数量关系和位置关系是解题的关键．已知和的长，根据图中的隐含条件可以求出；根据正方形的性质并结合已知条件易得四边形是平行四边形，于是有；再根据四边形和四边形都是正方形推出多组相等的边，则有，进而得到的长． 【详解】 解：，， ． 四边形，四边形都是正方形， ． ，， 四边形平行四边形， ． 四边形，四边形都是正方形， ，， ， ． 24．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，点为正方形内一点，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质，得，又因为，，故，则运用三角形内角和性质进行列式计算，得，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 ∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 26．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）（多选）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△ABF和△DAE中，      ∴， ∴， ∴矩形ABCD是正方形． 【分析】 先根据矩形的性质及余角证明，再利用AAS证明，推出，即可证明矩形ABCD是正方形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，本题中证明是解题的关键． 27．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，正方形的对角线相交于点，的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 28．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，则，再根据等腰三角形的性质可得到，进而可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】 解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 30．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗?请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 四边形是正方形．     （2）4      【分析】 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，，再证明四边形是矩形和，得出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，从而可得，进而得出，最后由正方形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 31．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形．     （2）      【分析】 （1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 32．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 33．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和勾股定理． 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接，此时，，值最小，即的值最小，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】 解：如图所示， 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接， 此时，，值最小，即的值最小， ∵点为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得，， 故答案为：． 34．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】 解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 35．（九·陕西汉中南郑区·期末）正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 先证明△BFC≌△CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求的长，由面积法可求． 【详解】 解：正方形的边长为，E为的中点， ，，DE＝2， ， ， ∴∠CGF＝90°， ， ， ≌（AAS）， ，， ， ， ， ， ， ∴EG＝CE－CG＝， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解本题的关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】 解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ， 在中，， ， 最小值为． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，在中，，，请用尺规作图法在平面内找一点D，连接，，使得四边形是正方形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，则正方形即为所求，如图：                  【分析】 本题考查了作图-复杂作图，正方形的判定，分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，则正方形即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 38．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，，判断与是否相等，并说明理由． 【答案】， 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 结合正方形的性质证明，易得，再证明，由等腰三角形的性质即可证明结论． 【详解】 略 39．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，且，点在边上，连接、，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了正方形基本性质以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键； 根据正方形对角线得到，再通过等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再通过等角对等边即可求解． 【详解】 解：∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 40．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． （1）【提出问题】，，之间的数量关系为______； （2）【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】（1）     （2） 解：成立，证明如下：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系； （3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． (1) 小问详解： 解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 41．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）证明：； （2）四边形是怎样的特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1） 解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴；     （2） 解：四边形是正方形．理由如下， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．      【分析】 本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定． （1）先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，推出，，利用即可证明结论成立； （2）结合，得到四边形是菱形，由，推出，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】 （1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）略 （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】 此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 43．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在正方形中，为边上一点，为的延长线上一点，连接、、，且．求证：． 【答案】证明：正方形中，，， ∴， ∵， ∴ 在和中，    ， ∴（）， ∴． 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键． 根据等边对等角，由可得，再根据正方形的性质得出 ，，进而可得，所以，然后利用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得出． 【详解】 略 44．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴；     （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 45．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． （1）如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； （2）如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． (1) 小问详解： ，是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； (2) 小问详解： 如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 47．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）①；② 【分析】 （1）证明，得出即可； （2）① 设，得出，求出，，，根据的面积为6，求出正方形的面积为，得出，解方程求出，即可得出答案； ② 连接，并延长交于点H，连接，证明，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质得出． 【详解】 （1）略 （2）① 解：设， ，， ， ，，， 又的面积为6，正方形的面积为， ， ， 整理得：， ， ， ， 在中，； ② 解：如图，连接，并延长交于点H，连接． ∵在① 的条件下，， 在正方形中，， ，， ∴点M是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， 又， ， 在中，， ，点N是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解． 48．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵过点B作于点E．过点D作于点F， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．     （2）      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，即；再根据矩形的性质可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论； （2）由矩形的性质以及已知条件可得，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）【问题解决】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，连接相交于点G，，延长至点H，使得，连接，求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，某地动物园的平面图为菱形，入口E在边上，出口F在边上，是两条观赏主道，且，的交点G为游客服务中心，已知，，，求其中一条观赏主道的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2） 【分析】 （1）结合正方形的性质，证明，则，又因为，故，因为，即可得是线段的垂直平分线，故； （2）根据四边形是菱形，得，，再证明， 又因为，，得出是等边三角形，则， 代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】 解：（1）略 （2）如图2，延长至点K，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即其中一条观赏主道的长为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 50．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． （1）初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； （2）深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； （3）拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 【答案】（1）     （2） ，证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到， 点的对应点为点， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）利用折叠的性质，得到，， 即可得到，最后求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，结合全等三角形的性质和角度和差关系通过证明，根据全等三角形对应边相等和等量代换即可求解； （3）连接，，，通过证明，由全等三角形的性质得到为等腰直角三角形，设，分别用含的代数式表示，，再结合勾股定理和三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质，得，， ， 即：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如下图所示：连接，，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 垂直平分， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即：，解得， ，， ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，折叠和旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，添加适当辅助线是解题的关键． 51．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接， （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质、正方形的性质及解直角三角形，解题的关键是利用菱形的面积公式求出高，结合图形性质建立方程求解． （1）利用菱形面积公式求出边上的高，再结合菱形边长求出； （2）过作交于，利用正方形和菱形的性质建立方程，求解正方形边长． (1) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式， 可得， 在中， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图：过作交于， 由（1）知， ， 设正方形的边长为，又， ，， 在中， ，， 四边形是正方形， ，又， ， ， 四边形是菱形，， ， 解得： 正方形的边长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．C 10．D 11．A 12．D 13．B 14．C 15．D 16．C 17．C 18．C 19．C 20．C 21．【答案】解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为中点，，证明，再根据，为边上的中线，得出，，证明四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形为矩形． 【详解】 略 22．【答案】度 【分析】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题． 【详解】 解：在中， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 23．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点在边上，点在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，则， ∴平行四线是矩形．     （2）的长为      【分析】 （1）根据的性质可得，，由此即可求证； （2）根据，在中，可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，根据四边形是矩形，可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，则， 在中，， ∴， ∴，， ∵由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， 已知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 24．【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中 ， ∴， ∴． 【分析】 根据矩形的性质以及证明，进而证明即可解决问题。 【详解】 略 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等边对等角，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 25．【答案】度 【分析】 此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】 解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 26．【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角，即可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 27．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形．     （2）      【分析】 （1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．【答案】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AC， ∴四边形AEDC是平行四边形 ∴AE=CD 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90°，BD=CD ∴BD=AE． 又∵AE∥BD ∴四边形AEBD是平行四边形 ∴四边形AEBD是矩形． （2）14． 【分析】 （1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形． （2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，即可得出结果． 【详解】 （1）略 （2）在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3， ∴， ∴四边形AEBD的周长=2（AD+BD)=2×(4+3)=14． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点． 29．【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质，以及，得，故四边形是平行四边形，再根据，，所以，四边形是矩形． 【详解】 略． 30．【答案】证明：在矩形中， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可证明，即可得到． 【详解】 略 31．【答案】度 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 32．【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 33．【答案】如图，点即为所求： 【分析】 本题考查等腰三角形的判定、直角三角形的性质、尺规作图-作线段垂直平分线，解题关键是正确作图． 根据线段垂直平分线的作图方法，作的垂直平分线，垂足为点，此时点D是中点，则，则是等腰三角形． 【详解】 略 34．【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 35．【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由矩形的性质得，，再由平行线的性质得，，根据同角的补角相等得，再证明即可得出结论． 【详解】 略 36．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FAG=∠CDG， ∵点G是AD的中点， ∴GA=GD， 在△AGF和△DGC中 ， ∴△AGF≌△DGC（ASA）； ∴GF=GC,AF=DC ∴四边形ACDF是平行四边形 ∴AC=DF 又∵在平行四边形ABCD中， ∴； （2）四边形ACDF是矩形． 理由：由（1）可知四边形是ACDF平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∴AB=AF， 又∵AG=AB， ∴AG=AF， ∴AB=AG=AF， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BCD=120° ∴∠BAD=120°，∠FAG=60°， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG， ∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【分析】 （1）根据ASA定理证得△AGF≌△DGC，从而得到GF=GC，求得四边形ACDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求证； （2）利用平行四边形的判定与性质结合全等三角形的性质得出△AFG是等边三角形，从而得到AD=CF，再利用矩形的判定方法得出答案． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、矩形的判定方法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键． 37．【答案】证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】 略 38．【答案】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【分析】 本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．利用矩形的性质得到边和角的关系，结合已知，通过证明三角形全等得出． 【详解】 略 39．【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据矩形的性质证明是的中位线，得，，然后证明，设，根据勾股定理得到，代入列方程求出x的值即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 40．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形．     （2）5      【分析】 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，则，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形面积求出，得，由勾股定理得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：矩形的面积为， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 又 ． 41．【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形；     （2）的值为．      【分析】 （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 42．【答案】点即为所求， 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，作垂直平分线；根据题意作的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交于点， 设的垂直平分线为直线， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴ 又∵是平行四边形 ∴ ∴． 43．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 44．【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 【分析】 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】 略 45．【答案】 【分析】 先根据矩形的性质得出，，，从而可得，再说明是的中点，结合，可说明是等腰三角形，再证明是等边三角形．然后利用中位线的性质求得，从而可求得． 【详解】 解：由矩形的性质可知，，， ∴． ∵， ∴是的中点． ∵， ∴是等腰三角形， 即， ∴， 即是等边三角形． 又∵，， ∴是的中点． 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 46．【答案】 【分析】 通过矩形性质以及角平分线推导为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值． 【详解】 解：矩形中，，，平分， 因此， 在中，，， 故是等腰直角三角形，即， 点是上的动点，是的中点， 根据中位线定理，当F在直线上运动时，的轨迹是一条平行于的线段， 取的两个特殊点：当运动到点时，是的中点，记为； 当运动到点时，是的中点，记为，连接M、N， 则线段即为的轨迹，且∥，， 所以， 要使最小，需，即， 所以的最小值是即为的长度， 所以，即的最小值为． 【点睛】 本题考查了动点轨迹与转化最小值问题，角平分线的性质，利用三角形中位线定理，分析出垂线段最短原理是解决本题的关键． 47．【答案】（1） 解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．     （2）4      【分析】 本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 48．【答案】（1） 解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， 即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质证明，得到四边形为平行四边形，根据即可证明四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据矩形的性质得到，，在中，，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 即， ． 49．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称求最短线段，勾股定理等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、，根据矩形的性质，证明四边形是平行四边形，进而得出，，由轴对称的性质可知，，，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出即可得解． 【详解】 解：如图，过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、， 在矩形中，，，， ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 由轴对称的性质可知，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 51．【答案】证明：∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 平行四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先通过证明三角形全等得到线段相等，进而得出四边形是平行四边形，再结合一个角是直角的平行四边形是矩形来证明． 【详解】 略 52．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质等知识，由矩形性质可得，，，则有，又平分，所以，则有，得，设，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 53．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BD＝BE； （2）24 【分析】 （1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证； （2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，根据平行四边形的性质得出AC＝BE，求出OF和EF的长，从而求得三角形的面积即可． 【详解】 （1）略 （2）解：过点O作OF⊥CD于点F， ∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BE＝BD＝10， ∵△BCD≌△BCE， ∴CD＝CE＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝OB，∠BCD＝90°， ∵OF⊥CD， ∴OF∥BC， ∴CF＝DF＝CD＝3， ∴EF＝6+3＝9， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8， ∵OB＝OD， ∴OF为△BCD的中位线， ∴OF＝BC＝4． ∴△ODE的面积为DE•OF＝×12×4＝24． 【点睛】 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 54．【答案】7 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 55．【答案】 【分析】 连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【详解】 解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 56．【答案】证明：四边形为矩形， ，， 又， ， ． 【分析】 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得到，，易证，即可证明结论． 【详解】 略 57．【答案】12 【分析】 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 58．【答案】证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明． 【详解】 略 59．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； (2) 小问详解： 解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 60．【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】 [问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】 解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 61．【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质及三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】 解：在矩形中，，，垂足为， 如图，延长，使得，连接，， ，，， 平分， ∵， ， ， ∴点在定直线上， 是的中点， 是三角形的中位线， ， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， 的最小值为， 故答案为：． 62．【答案】 【分析】 过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 63．【答案】 【分析】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 64．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 连接，取其中点M，连接，由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得、的长，根据线段的性质得，当点M在线段上时，取得最大值，从而求得的最大值． 【详解】 解：如图，连接，取中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴； ∵，F为的中点，点为中点， ∴是的中位线 ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∴的最大值为． 故答案为：7． 考点02 菱形 1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 11．D 12．A 13．B 14．C 15．D 16．C 17．B 18．D 19．B 20．B 21．D 22．【答案】5 【分析】 本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据斜边中线定理可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：5． 23．【答案】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴，平分． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∴在与中， ． ∴． ∴． 【分析】 连接，证即可 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 24．【答案】证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【分析】 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】 略 25．【答案】矩形 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，连接、，根据菱形的对角线互相垂直得到，由三角形的中位线定理得到，，则，同理可得，，，据此可得答案． 【详解】 解：如图，在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点， 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， 同理，，， ∴四边形是矩形． ∴任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形． 26．【答案】（1）， 四边形是平行四边形， ，CE是的中线， ， 四边形是菱形； （2） 【分析】 （1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】 （1） 略 （2）如图，连接， ，， ， 在中， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【点睛】 本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 27．【答案】24 【分析】 本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，根据菱形面积对角线积的一半即可． 【详解】 解：是菱形， ∴， ， ∴ 为直角三角形 ． ， 故答案为：24． 28．【答案】24 【分析】 根据菱形的性质推出另一条对角线长． 【详解】 解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半， 可得另一条对角线长为：； 故答案为：24． 【点睛】 主要考查了菱形的面积公式，解题的关键是掌握两条对角线的积的一半或是边长乘以高． 29．【答案】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ． ， ， ． 【分析】 此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】 略 30．【答案】见解析 【分析】 连接，根据菱形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】 证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 31．【答案】7度 【分析】 本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】 解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 32．【答案】证明：四边形是菱形， ，． ，， ． 在与中， ． ． 【分析】 本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质．熟知菱形的性质证全等是解题的关键．根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】 略 33．【答案】 【分析】 本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 35．【答案】（1） 证明：∵， ∴是等边三角形， ， ∴平行四边形是菱形；     （2）8      【分析】 （1）先判定是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再根据三角函数求出，即可得出四边形的周长． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形的周长． 【点睛】 本题考查了菱形的判定，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质；判定出是等边三角形是解题的关键，也是本题的突破口． 36．【答案】四边形是菱形，证明如下： ∵，且四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 【分析】 本题考查了菱形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得四边形是菱形，则，又因为点，，，分别是，，，的中点，则，即，进行作答． 【详解】 略 37．【答案】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【分析】 本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，可得到四边形为平行四边形，再由，可得，然后证明四边形为平行四边形，即可求证． 【详解】 略 38．【答案】（1） 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）作交延长线于G，证明四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据中位线得到，进而求出，，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作交延长线于G， ∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 39．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；     （2）20      【分析】 （1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 40．【答案】如图所示： 所以四边形ABEF即为所求. 【分析】 以A为圆心，以AB为半径画弧，交AD于点F；以B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点E，连接EF，四边形ABEF即为所求. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、作图-基本作图、菱形的判定，根据平行四边形的性质结合菱形的判定方法作图是解决问题的关键． 41．【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】 本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，从而，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】 略 42．【答案】16 【分析】 如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】 解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 43．【答案】4 【分析】 要求PM＋PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解． 【详解】 解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12， ∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴OB＝， 由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2， ∴， ∴AB＝4， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴BN＝BM＝AM， ∵ME⊥AC交AD于E， ∴AE＝AM， ∴AE＝BN，AE∥BN， ∴四边形ABNE是平行四边形， ∴ENAB， ∴PM+PN的最小值为4， 故答案为4． 【点睛】 本题考了查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 44．【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，所对的直角边等于斜边一半，勾股定理等知识；由菱形的性质得，，，根据所对的直角边等于斜边一半求出，根据勾股定理得出，从而得出，，利用菱形面积计算公式可得结论． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 45．【答案】证明：四边形是菱形，， ， ， 在和中，， ， ． 【分析】 本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得出，，再证明即可． 【详解】 略 46．【答案】见解析 【分析】 先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】 解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 47．【答案】见解析 【分析】 利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 48．【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 49．【答案】（1）① （或③ ）     （2） 选① ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③ ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形．      【分析】 本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选① 或③ ，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． (1) 小问详解： 解：① （或③ ） (2) 小问详解： 略 50．【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点 ， 四边形是菱形． 【分析】 本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的判定定理是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． 【详解】 略 51．【答案】（1）8     （2）      【分析】 本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． (1) 小问详解： 解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； (2) 小问详解： 解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 52．【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 53．【答案】65 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】 解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 54．【答案】证明：四边形ABCD是菱形 AB//DC，BC＝CD B＝ DCF 在BCE和CDF中： BCECDF CE＝DF． 【分析】 根据菱形的性质可得BC = CD，AB∥DC，再根据两直线平行，同位角相等可得B＝ DCF，然后利用“边角边”证明BCECDF，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． 55．【答案】24 【分析】 本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】 解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 56．【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （2）24      【分析】 本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，可得，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积． ∵ ∴ ∴ ∴ 57．【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为12， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， ∴． ∴． 故答案为：． 58．【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形． 【分析】 本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】 略 59．【答案】如图，菱形即为所求： 【分析】 本题考查了菱形的判定，尺规作图等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 过点作的垂线交射线于点，在延长线上截取，连接，则菱形即为所求． 【详解】 解：由作图可得，， ∴， ∵点O在的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 60．【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质与勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到的长． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 61．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． (1) 小问详解： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 62．【答案】 【分析】 考查菱形的性质、勾股定理，解题关键是利用菱形性质得出边的关系，结合勾股定理求出点的坐标，再根据线段长度关系确定点的坐标先利用菱形性质及勾股定理求出点坐标，再得出长度，结合求出长度，进而确定点坐标． 【详解】 解：∵ 四边形是菱形，， ∴ ． ∵ ，在轴上， ∴ 平行于轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同． 设点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得， 解得或, ∵点在轴正半轴， ∴， ∴ 点的坐标为． ∵点的坐标为，平行于轴， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 63．【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 64．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）由四边形是菱形，得到，，，然后由勾股定理求解出，再推导，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由可知四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ， ， ， ∴． 65．【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由对称性知，， ∴， 又∵， ∴，     （2）6      【分析】 本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．【答案】 【分析】 先充分理解题意得，结合为线段上一点，分别以、为边向右构造，得，过点B作，再作点P关于直线的对称点，则，当三点共线时，则的最小值是，然后证明四边形是矩形，四边形是矩形，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是菱形，对角线与交于点，，， ∴， ∵为线段上一点，分别以、为边向右构造， ∴， ∵ ∴ 过点B作，再作点P关于直线的对称点，连接，且 交于一点T，如图所示： ∴， 则， 当三点共线时，则的最小值是， ∵为线段上一点， ∴为线段上的一点， 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即的最小值是， 故答案为： 【点睛】 本题考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 67．【答案】 【分析】 此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 考点03 正方形 1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．C 11．B 12．D 13．C 14．A 15．B 16．A 17．B 18．C 19．C 20．C 21．A 22．B 23．【答案】3 【分析】 本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定；根据正方形的性质得到各边的数量关系和位置关系是解题的关键．已知和的长，根据图中的隐含条件可以求出；根据正方形的性质并结合已知条件易得四边形是平行四边形，于是有；再根据四边形和四边形都是正方形推出多组相等的边，则有，进而得到的长． 【详解】 解：，， ． 四边形，四边形都是正方形， ． ，， 四边形平行四边形， ． 四边形，四边形都是正方形， ，， ， ． 24．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质，得，又因为，，故，则运用三角形内角和性质进行列式计算，得，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 25．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 ∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 26．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△ABF和△DAE中，      ∴， ∴， ∴矩形ABCD是正方形． 【分析】 先根据矩形的性质及余角证明，再利用AAS证明，推出，即可证明矩形ABCD是正方形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，本题中证明是解题的关键． 27．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，则，再根据等腰三角形的性质可得到，进而可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】 解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 30．【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 四边形是正方形．     （2）4      【分析】 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，，再证明四边形是矩形和，得出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，从而可得，进而得出，最后由正方形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 31．【答案】（1） 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形．     （2）      【分析】 （1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 32．【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和勾股定理． 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接，此时，，值最小，即的值最小，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】 解：如图所示， 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接， 此时，，值最小，即的值最小， ∵点为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得，， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】 解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 先证明△BFC≌△CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求的长，由面积法可求． 【详解】 解：正方形的边长为，E为的中点， ，，DE＝2， ， ， ∴∠CGF＝90°， ， ， ≌（AAS）， ，， ， ， ， ， ， ∴EG＝CE－CG＝， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解本题的关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】 解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ， 在中，， ， 最小值为． 故答案为：． 37．【答案】分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，则正方形即为所求，如图：                  【分析】 本题考查了作图-复杂作图，正方形的判定，分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，则正方形即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 38．【答案】， 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 结合正方形的性质证明，易得，再证明，由等腰三角形的性质即可证明结论． 【详解】 略 39．【答案】2 【分析】 本题考查了正方形基本性质以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键； 根据正方形对角线得到，再通过等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再通过等角对等边即可求解． 【详解】 解：∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 40．【答案】（1）     （2） 解：成立，证明如下：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系； （3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． (1) 小问详解： 解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 41．【答案】（1） 解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴；     （2） 解：四边形是正方形．理由如下， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．      【分析】 本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定． （1）先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，推出，，利用即可证明结论成立； （2）结合，得到四边形是菱形，由，推出，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】 （1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）略 （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】 此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 43．【答案】证明：正方形中，，， ∴， ∵， ∴ 在和中，    ， ∴（）， ∴． 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键． 根据等边对等角，由可得，再根据正方形的性质得出 ，，进而可得，所以，然后利用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得出． 【详解】 略 44．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴；     （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 45．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． (1) 小问详解： ，是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； (2) 小问详解： 如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．【答案】 【分析】 延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 47．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）①；② 【分析】 （1）证明，得出即可； （2）① 设，得出，求出，，，根据的面积为6，求出正方形的面积为，得出，解方程求出，即可得出答案； ② 连接，并延长交于点H，连接，证明，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质得出． 【详解】 （1）略 （2）① 解：设， ，， ， ，，， 又的面积为6，正方形的面积为， ， ， 整理得：， ， ， ， 在中，； ② 解：如图，连接，并延长交于点H，连接． ∵在① 的条件下，， 在正方形中，， ，， ∴点M是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， 又， ， 在中，， ，点N是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解． 48．【答案】（1） 证明：∵过点B作于点E．过点D作于点F， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．     （2）      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，即；再根据矩形的性质可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论； （2）由矩形的性质以及已知条件可得，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2） 【分析】 （1）结合正方形的性质，证明，则，又因为，故，因为，即可得是线段的垂直平分线，故； （2）根据四边形是菱形，得，，再证明， 又因为，，得出是等边三角形，则， 代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】 解：（1）略 （2）如图2，延长至点K，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即其中一条观赏主道的长为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 50．【答案】（1）     （2） ，证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到， 点的对应点为点， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）利用折叠的性质，得到，， 即可得到，最后求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，结合全等三角形的性质和角度和差关系通过证明，根据全等三角形对应边相等和等量代换即可求解； （3）连接，，，通过证明，由全等三角形的性质得到为等腰直角三角形，设，分别用含的代数式表示，，再结合勾股定理和三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质，得，， ， 即：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如下图所示：连接，，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 垂直平分， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即：，解得， ，， ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，折叠和旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，添加适当辅助线是解题的关键． 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质、正方形的性质及解直角三角形，解题的关键是利用菱形的面积公式求出高，结合图形性质建立方程求解． （1）利用菱形面积公式求出边上的高，再结合菱形边长求出； （2）过作交于，利用正方形和菱形的性质建立方程，求解正方形边长． (1) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式， 可得， 在中， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图：过作交于， 由（1）知， ， 设正方形的边长为，又， ，， 在中， ，， 四边形是正方形， ，又， ， ， 四边形是菱形，， ， 解得： 正方形的边长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $