专题02 一元二次方程（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西安康·期中）一元二次方程的一次项的系数是（       ） A.  B. 2 C. 1 D.  3．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）下列是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（九·陕西汉中南郑区·期末）一元二次方程的二次项系数是（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 1 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B.  C. 9 D.  6．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则c的值为（） A. 2 B. 1 C.  D.  9．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（     ） A. 2 B.  C. 5 D.  13．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 1 D.  14．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A. 5 B.  C. 2 D.  15．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 19．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则（     ） A. 9 B.  C. 3 D.  20．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A.  B. 6 C.  D. 3 21．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）若关于的方程的一个根是，则的值是() A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则m的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  23．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）若是关于x的方程的解，则a的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 24．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）若a为方程的解，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是　　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 26．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知一个一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是　　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 27．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）若一个一元二次方程有一个根为，则这个一元二次方程可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　. 29．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 32．（25-26学年九上·陕西安康·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 33．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 34．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 35．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　． 38．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为　　　　　． 39．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么　　　　　　． 40．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 41．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知关于x的一元二次方程的一个整数解是3，则m的值为　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）已知a是方程的一个根，则　　　　　　． 43．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 45．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 46．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 47．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 48．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）用配方法解一元二次方程时可配方得（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）一元二次方程的根为（       ） A.  B.  C. ， D.  3．（25-26学年九上·陕西安康·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）用配方法解方程时，配方的结果为，则表示的是（     ） A. 15 B. 17 C. 16 D.  9．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A.  B. 2024 C.  D. 1 10．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 2024 D. 2025 13．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）方程的解是（     ） A. ， B.  C. ， D. ， 14．（24-25学年九上·陕西安康·期末）用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）解方程：． 16．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）解方程：． 17．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）解方程：． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）解方程：． 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）方程的解是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）用配方法解方程：． 21．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）解方程：． 22．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）用配方法解方程：． 24．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）解方程：． 25．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）解方程： （1）； （2）； （3）（用配方法）； （4）． 26．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用配方法解方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若关于的方程有实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 6．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）一元二次方程根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A. 2 B. 0 C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D. 且 9．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 10．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 12．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 13．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B.  C. 1 D. 2 14．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（       ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 15．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  16．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 17．（24-25学年九上·陕西安康·期末）解方程：． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知关于x的方程没有实数根，那么k的取值范围是 　　　　　 19．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）解方程：． 20．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）解方程：x2+6x+3=0． 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）解方程：． 23．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　　　　　　　 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）解方程：． 26．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）用公式法解方程：． 28．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用公式法解方程：． 29．（25-26学年九上·陕西安康·期中）关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 30．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）写一个关于x的一元二次方程，使得这个方程有两个相等的实数根，你写的方程是　　　　　　．（写出一个即可） 31．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 32．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）若关于的一元二次方程的解为，求的值． 33．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）解方程： （1）． （2） 34．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知关于的一元二次方程；求证：无论取任何值，该方程总有实数根． 35．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有实数根． 37．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）解方程：． 38．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）一元二次方程的解为（       ） A. ， B. ， C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）对于任意实数定义运算：，例如：，则方程的根为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（     ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（       ） A. ， B. ， C. ， D.  5．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A.  B. 或 C. 6或 D. 6或 6．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长是方程的一个根，则该三角形的周长为（     ） A. 10 B. 16 C. 14 D. 16或14 7．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（     ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 12 8．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·陕西安康·期中）解一元二次方程． 10．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）解方程： 11．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）解方程：． 12．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）解方程：． 14．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）解方程：． 15．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）解方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　　． 17．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）解方程：． 18．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）解方程： （1） （2） 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 20．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）解方程：． 21．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）解方程：． 22．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）解方程：． 23．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）解方程：． 24．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）解方程:x(2x+1)=4x+2 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）解方程：． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）用适当的方法解方程：． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）用因式分解法解方程：． 29．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用因式分解法解方程：． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）解方程：． 31．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）解方程：． 32．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）选择适当的方法解方程：． 33．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）解方程： （1） （2） 34．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 35．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）一元二次方程的解是　　． 36．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 37．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 38．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）解方程： （1） （2） 39．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）解方程：． 40．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）解方程：． 41．（九·陕西汉中南郑区·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 42．（九·陕西汉中南郑区·期末）解方程： （1） （2） 43．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第             步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 44．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）解方程：． 46．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）当时，求该方程的根． 47．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）解方程：． 48．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 49．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）解方程：． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  2．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（     ） A. 8 B. 4 C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A.  B.  C. 1 D. 2 4．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A.  B.  C. 8 D. 12 5．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则另一根为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）若是方程的一个根，则方程的另一个根是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的腰长是　　　　　　　　　　　． 9．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根，满足，则的值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知关于 x 的一元二次方程． （1）求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设是方程的两个根，当时，求的值． 13．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知是关于的一元二次方程． （1）证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，当时，求的值． 14．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．若，求的值． 15．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的周长． 16．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程的一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值． 18．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知关于的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若，且、是该方程的两个实数根，求、，的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹备组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台， 并设计了如图所示的方案， 其中阴影部分为舞台． 舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 （       ）． A. 5 B. 20 C. 20 或 15 D. 15 2．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（九·陕西汉中南郑区·期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（       ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 5．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（       ） A. 216人 B. 226人 C. 236人 D. 246人 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（       ） A. 6m或7m B. 3m或3.5m C. 3.5m D. 6m 9．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西安康·期中）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是　　　　　　. 13．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 14．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．红星商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出150个，六月份售出216个，且从四月份到六月份每月的增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）如果每个头盔的售价为50元，进价为40元，请计算该商店四、五、六三个月份的总利润是多少元？ 15．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 16．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍（靠墙的一面不用铁丝网），其面积为，在鸭舍侧面的中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），设边的长度为，则由题意可列方程为　　　　　　　　　　　 17．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为多少元/千克？ 18．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 19．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 20．（24-25学年九上·陕西安康·期末）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 21．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为　　　　　　　　　　　　个. 22．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一种球鞋原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，则据题意可列出的方程是　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，因受益于支持政策，某村大学生自主创立的公司利润逐年提高．据统计，该公司2023年的利润为100万元，2025年的利润为144万元，设该公司从2023年到2025年利润的年平均增长率为，则根据题意列方程为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．求门高． 27．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 29．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售400个，8月份销售676个，且从6月份到8月份销售量的月均增长率相同．求该品牌头盔销售量的月均增长率． 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有　　　　　　人． 31．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 32．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 33．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）某校九年级开展社会实践活动，如表是某小组的记录表的部分信息，请根据相关信息解决表中的两个问题． 社会实践记录表 实践内容 调查神木小米行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 神木小米的进价为10元/千克； 神木小米的售价为16元/千克时，每天的销售量为200千克； 每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． 解决问题 问题（1） 若该超市计划进行降价销售，且要保证每天销售神木小米获利1400元，那么每千克神木小米的售价应降低多少元？ 问题（2） 若该超市销售神木小米想要每天获利2000元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每千克神木小米的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 34．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）春节临近，年味渐浓，家长们都忙着给孩子选购新年衣物，小颖妈妈的童装店迎来了销售旺季．店里主打一款红色喜庆款儿童服，这款童装的进货价为每件元，原售价为每件元，节日期间前两周平均每天能卖出件．为了抓住春节消费热潮、扩大销量，小颖妈妈计划调整价格促销，决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售_____件，每件盈利______元；（用含的代数式表示） （2）若想要每天销售这款童装的利润达到元，且兼顾利润与销量（让顾客买到更多实惠），每件童装应降价多少元？ 37．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 38．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 39．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）综合与实践 有一块长100cm、宽40cm的矩形硬纸板做收纳盒． （1）如图1，设计无盖长方体收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若收纳盒的底面积为1600，则剪去的小正方形的边长为多少cm？ （2）如图2，设计有盖长方体收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．问能否折出底面积为1350的有盖盒子？若能，请求出盒子的体积；若不能，请说明理由． 40．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为　　　　　． 41．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一．某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售． （1）已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若将其以90元/件的价格进行销售，则每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．现该公司决定涨价销售该工艺品，经市场调研发现，每件工艺品的售价每上涨1元，每天将少售出10件，则当该公司将销售单价上涨多少元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 42．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 43．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 44．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 46．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 47．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 48．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某公司今年8月份的生产成本是300万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到10月份生产成本是243万元．求每个月生产成本下降的百分率． 49．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 50．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 51．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）某商品的进价为每件50元，当售价为每件80元时，可销售100件．经市场调研，售价每件每提高1元，销售量将减少5件．当售价每件提高多少元时，销售利润为2880元？ 52．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． （1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 53．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，每周销售量为180个，若售价每提高1元，销售量每周就会减少10个，王大伯为了每周获得840元利润，并同时让利给顾客售价应定为多少？ 54．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 55．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 56．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长 57．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 58．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 59．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）汉中产茶始于商周，兴于秦汉，盛于唐宋，繁荣于明清，自古就是贡茶名优茶的知名产地．某茶叶店销售成本价为每盒360元的汉中仙毫，经市场调查发现如下信息： 信息一 当售价为每盒430元时，每天可售出20盒 信息二 每盒的售价每降低5元，每天可多售出10盒 （1）若该茶叶店计划进行降价销售，且要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元，那么每盒汉中仙毫的售价应降低多少元？ （2）若该茶叶店销售这种汉中仙毫想要每天获利3500元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每盒汉中仙毫的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 60．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 61．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元（不计其他费用），据市场调研发现，当这款工艺品的销售单价是50元/件时，每天的销售量是100件，且每件工艺品的售价每提高1元，每天的销售量将减少2件，该公司计划在售价为50元/件的基础上适当提价销售，但销售单价不得超过65元/件． （1）该公司要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品的售价应为多少元？ （2）该公司每天销售这种工艺品盈利能否达到2000元？请计算并说明理由． 62．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 63．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程　　　　　　　　　　　　　． 64．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）体育是学生综合素质发展的重要组成部分．某体育用品商店为满足学生需求，购人一批篮球进行销售． （1）为吸引顾客，该体育用品商店的工作人员准备制作一个矩形展牌．若该展牌的面积为，且长比宽多，求该展牌的长： （2）已知篮球的进价为50元/个（不计其他成本），当它的售价为80元/个时，每月可售出100个．经过市场调研发现，每个篮球的售价每上涨1元，月销售量将减少5个．若该体育用品商店某月涨价销售篮球，并盈利了2000元，求该体育用品商店该月篮球的售价． 65．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）洛川苹果肉质细嫩紧致，汁多松脆，酸甜可口，一家水果店以每斤元的价格购进洛川苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤．通过市场调研发现，洛川苹果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．设洛川苹果每斤的售价降低元． （1）该水果店每天洛川苹果的销售量是_____斤；（用含的代数式表示） （2）若该水果店销售洛川苹果想要每天盈利元，且每天至少售出斤，则该水果店应将洛川苹果每斤的售价降低多少元？ 66．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某款芯片价格由2023年的1600元下降到2025年的900元，则该芯片价格这两年平均每年下降的百分率为　　　　　　． 67．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 68．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 69．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 70．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）某品牌童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为100元，销售价为160元时，每天可售出15件，为了庆祝国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价2元，那么平均每天可多售出1件． （1）如果每件童装降价4元，求平均每天盈利多少元； （2）求每件童装降价多少元，平均每天盈利1000元． 71．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接．当的面积为225时，求点P运动的时间． 72．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）今年双十一购物节期间，某商店为了促销，决定下调某款服装的价格，已知经过两次降价后，每件服装的价格由125元降到80元，则这款服装平均每次降价的百分率为　　　　　　　． 73．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 74．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 75．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，实验中学有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（阴影部分），将这块基地分成了20个种植区域（空白部分），其中种植区域面积为．设石板小路的宽为，则根据题意可列方程为　　　　　　． 76．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）李叔叔投资建设了西红柿采摘基地，据悉，年李叔叔的采摘基地经济收益从年的万元升至万元． （1）求该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率； （2）年月份，西红柿成熟并开始采摘销售，若每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量就减少千克．若要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，每千克西红柿应涨价多少元? 77．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 78．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 79．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 80．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 13．D 14．C 15．C 16．C 17．D 18．B 19．B 20．D 21．D 22．B 23．A 24．C 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 该题考查了一元二次方程，根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为6．二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 【详解】 解：设一元二次方程为 ，其中 a 为二次项系数，c 为常数项． 由条件知， 选择，则，再选择， 得到方程． 故答案为：（答案不唯一）． 26．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查根据一元二次方程的根构造方程，根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 27．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 28．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】 解：由题意得：且， ∴， 故答案为： 29．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】 解：由题意，方程是关于的一元二次方程，则的最高次数为2，即， ， ∴．又因为二次项系数，即， 故． 故答案为． 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为3， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 将代入方程求解即可． 【详解】 将代入方程，得， 整理得， 解得． 故答案为． 32．【答案】1 【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 将代入一元二次方程，利用方程的解的定义建立关于的方程，然后求解． 【详解】 解：∵ 关于x的一元二次方程 的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即， 整理得， 解得． 故答案为：1． 33．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】 解：由题意，得 且， 解得， 故答案为： 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．”是解题的关键． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 38．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】 解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 39．【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 因为是关于的一元二次方程的一个根， 所以把代入方程得：，求得， 所以． 故答案为2025． 40．【答案】1 【分析】 此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】 解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为1． 41．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将已知的整数解代入一元二次方程，直接求解m的值． 【详解】 解：将代入方程，得 ． 解得． 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】 ∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 43．【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用方程根的定义，得，整体代入求值． 【详解】 解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴，即， 则 ． 故答案为：5． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 45．【答案】（1）且     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可获得答案； （2）首先将代入方程并求解，即可确定的值，然后利用因式分解法解该方程即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有实数根， 则有，且， 解得且； (2) 小问详解： 若方程有一个根为， 则有，解得， 即该方程为， 整理可得， ∴， 解得， 该方程的另一个根为． 46．【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 47．【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】 此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】 解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 48．【答案】3或 【分析】 本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】 解：方程的一个根为， ， 即， 解得，， 的值为或． 考点02 配方法 1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．A 11．D 12．A 13．C 14．D 15．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用配方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 16．【答案】， 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．本题可通过配方法求解．配方法是将方程转化为完全平方式的形式求解， 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴， ． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．先整理，再利用配方法解答即可． 【详解】 解：原方程整理为， 配方得，， ， ． 18．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，． 19．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】 解： ， 故答案为：． 20．【答案】, 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 再直接开平方求解．据此解答即可． 【详解】 解： 或 ∴，． 21．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 22．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 整理得， 解得； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 23．【答案】，． 【分析】 本题主要考查配方法解一元二次方程的能力．利用配方法求解即可． 【详解】 解：移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 24．【答案】 【分析】 利用配方法解方程即可求解． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 【详解】 解：配方，得，即． 两边开平方，得， 即， 所以 25．【答案】（1），．     （2），．     （3），．     （4），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用分解因式法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 两边开平方得：， 即或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 方程可化为：， 或， ∴，． (3) 小问详解： 解：， 方程可化为：， ， ， ∴，． (4) 小问详解： 解：， 方程可化为：， 即， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 26．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程；利用配方法求解一元二次方程． 【详解】 解：移项得 ， 配方得 ， 即 ， 开方得 ， ∴ ． 考点03 公式法 1．A 2．C 3．D 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．C 10．D 11．A 12．C 13．A 14．C 15．A 16．A 17．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程即可． 【详解】 解：，， ∴， ∴， ∴，． 18．【答案】 【分析】首先将方程转化成一般形式，然后根据没有实数根，即，即可得解. 【详解】由已知，得 ∵方程没有实数根 ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查根据方程根的情况求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 19．【答案】， 【分析】 利用公式法求解可得． 【详解】 解： ，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】 方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 21．【答案】=-3+，=-3- 【详解】试题分析：公式法. 试题解析： 22．【答案】， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用公式法解方程即可． 【详解】 解：， 其中，，，， ， ， ，． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．根据根的判别式的意义得到，然后求解即可． 【详解】 解：由得：， ∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 25．【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 根据公式法解题即可． 【详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴或． 26．【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 27．【答案】 【分析】 本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握是解题的关键．直接根据公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ， ， ． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得． 29．【答案】证明：∵ ∴ ∴方程总有两个实数根． 【分析】 根据根的判别式可得，即可得证方程总有两个实数根． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 30．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 31．【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式．熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键， 根据方程有两个不相等的实数根得到，进而求解即可． 【详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 将代入得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴的值为． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 其中，，， ， ， 解得：； (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：． 34．【答案】证明：在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取任何值，该方程总有实数根． 【分析】 本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟悉根的判别式是解决本题的关键． 根据根的判别式即可计算一元二次方程根的情况． 【详解】 略 35．【答案】1或2 【分析】 本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 36．【答案】（1）     （2） 证明：由题意可知，， 不论取何实数，该方程总有实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）把代入方程中即可求出答案； （2）根据根的判别式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：把代入方程得， 解得，故的值为1； (2) 小问详解： 略 37．【答案】， 【分析】 本题主要考查了公式法解一元二次方程．先根据得出方程有两个不相等的实数根，然后代入公式求解即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 38．【答案】10或14 【分析】 解法一：在对角线上截取，使，连接，分两种情况：点H在点O上方，点H在点O下方，分别画出图形，求出结果即可； 解法二：延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】 解：解法一：在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O上方时，如图所示： ∵F为的中点． ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O下方时，如图所示： ∵F为的中点， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为10或14． 解法二：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 9．【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是解题的关键． 根据题意即可求解． 【详解】 ， ，． 10．【答案】， 【分析】 本题考查了运用因式分解法进行解一元二次方程．令每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴或， ∴，． 11．【答案】， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】 本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解： ， ∴或， 解得，, ， 故答案为：，． 13．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 于是，得，或， ∴，． 14．【答案】，． 【分析】 本题考查了一元二次方程的求法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：原方程可化为， 因式分解得， ∴，， ∴，． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的去分母方法和一元二次方程的因式分解法． （1）先将分式方程化为整式方程，求解后检验； （2）将一元二次方程整理为一般形式，再因式分解求解． (1) 小问详解： 解：方程，分母， 两边同乘得：， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解：方程，整理得， 因式分解得， 则或， 解得． 16．【答案】﹣1或4 【详解】 解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 17．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或， ∴， 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， 移项得， ∴， ∴或， ． 19．【答案】，方程的另一个根为 【分析】 本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】 ∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 20．【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，原方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程即可 【详解】 解： ∴ 则或 解得， 21．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解： ∴， ∴或， ∴，． 22．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 23．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 24．【答案】x1=2,x2=- 【分析】方程整理后, 利用因式分解法求出解即可. 【详解】x(2x+1)=2(2x+1)                       即(x-2)(2x+1)=0                             ∴x-2=0或2x+1=0                               ∴x1=2,x2=-， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法. 25．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先把原方程整理得，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 26．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 先移项，再利用因式分解—提公因式法解一元二次方程即可得解． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 27．【答案】（1） 证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根；     （2）7．      【分析】 （1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 28．【答案】， 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：， ∴， ∴ ， 即或， 解得：，． 29．【答案】 【分析】 先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】 此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键． 30．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算，理解因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解的：， ∴或， 解得：，． 31．【答案】 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 32．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解解一元二次方程． 利用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】 解： ∴或 ∴，． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ， ， ， ， 或， ∴． 34．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）移项后提取公因式得到，即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 35．【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 36．【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；     （2）6      【分析】 （1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 37．【答案】（1） 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”．     （2）2      【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 38．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 39．【答案】 【分析】 此题考查解一元二次方程，根据方程特点选择恰当解法是解题的关键，根据因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 ∴． 40．【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：． ． 或， 解得，． 41．【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为．      【分析】 （1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 42．【答案】（1），      （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 43．【答案】（1）一     （2），      【分析】 本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况； （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 ∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴，． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求得方程是解题的关键． 首先根据求得方程，再解方程得出另一个解即可． 【详解】 解：将代入方程中， ∴，解得：， ∴，解得：，， ∴方程的另一个解是， 故答案为：． 45．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， 通过提取公因式、移项、整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 46．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程有两个实数根，则判别式是非负数． （1）根据方程有实数根列出不等式，即可解得m的范围； （2）代入，利用因式分解法可求出方程的实数根． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，                  解得， ∴m的取值范围是； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得，． 47．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得：． 48．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）通过因式分解法解方程； （2）通过公式法解方程． (1) 小问详解： 解： 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ，． 49．【答案】 【详解】 解：移项，得， 提公因式，得， 即， 或， ． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．A 3．A 4．B 5．【答案】﹣3 【分析】设方程x2+kx﹣3＝0的解为x1、x2，根据根与系数的关系即可得出x1•x2==-3，把x1=1代入即可求出x2的值． 【详解】解：设方程x2+kx﹣3＝0的解为x1、x2， 则有：x1∙x2==-3， ∵x1=1， ∴x2=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=． 6．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：2． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为 由一元二次方程根与系数的关系可得，， 解得， ∴方程的另一个根为 故答案为：． 8．【答案】6 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 等腰三角形的底边长为3，另两边为腰且相等，因此关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零，根据根与系数的关系，两根之和等于12，可求出腰长，即可作答． 【详解】 解：设腰长为a， ∵等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根， ∴方程的两个根均为a， 根据根与系数的关系，， 解得， 此时等腰三角形的三边分别为3，6，6，满足三边关系， 故答案为：6． 9．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】 解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 10．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，又因为满足，所以代入并解方程，即可求出的值． 【详解】 解：是方程的两个实数根， ． ， ， 解得． 检验：当时，方程为，，方程有两个实数根，符合题意 故答案为：1． 12．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴． 13．【答案】（1） 证明：依题意， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解； （1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可； （2）运用根与系数的关系求得，，再整体代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，方程化为， ∵该方程的两根为，， ∴，， ∴． 14．【答案】的值为． 【分析】 此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系，，然后代入求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， ∵， ∴， ∴的值为． 15．【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）12      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根以及是解答的关键． （1）求得即可证得结论； （2）先求得一元二次方程为，再根据根与系数关系得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，一元二次方程为， ∵的一条边的长为5，另两边、的长分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴的周长为． 16．【答案】（1） 解：由题意得 故不论m取何实数，该方程总有实数根；     （2），另一个根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式得，判断符号，即可求解； （2）将代入原方程求出，再由根与系数的关系，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是该方程的一个实数根， ， 解得， 设另一个根为， 解得， 故，另一个根为． 17．【答案】（1）m＜；（2）m=-3 【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值． 试题解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根， 解得： ∴当时，方程有两个不相等的实数根. (2)设方程的两根分别为a、b， 根据题意得： ∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长， 解得：m=−3或m=5. ∵a>0，b>0， ∴a+b=−2m+1>0， ∴m=−3. 若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3. 18．【答案】（1）     （2），，      【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，求出k的取值范围即可； （2）根据配方法解一元二次方程的步骤求出、，再根与系数的关系求出两根之和，两根之积，再代入中，计算即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为； (2) 小问详解： 将代入，得 ， 配方，得 ， ∴， 解得 ，， ∵、是该方程的两个实数根， ∴， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．A 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】 解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 11．【答案】6 【分析】 设八年级有x个班，根据题意列方程，进行解答即可得． 【详解】 解：设八年级有x个班， 解得，（舍）， 则八年级有6个班， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 12．【答案】 【分析】 设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】 解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 13．【答案】2m． 【分析】 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】 解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米， 由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60． 解得x＝2或x＝18（舍去）． 答：道路的宽应设计为2m． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 14．【答案】（1）     （2）5460元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用（增长率问题）和利润计算，解题的关键是根据增长率公式列出方程并求解，再结合利润公式计算总利润． （1）设月平均增长率为，根据四月份销售量和增长率表示出六月份销售量，列方程求解；（2）先求出五月份销售量，再根据每个月的销售量和单利润计算总利润． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 四月份售出150个，五月份售出个，六月份售出个， 由题意得：， 解得：（增长率不能为负，舍去）， 故该品牌头盔销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：五月份销售量：（个）， 每个头盔的利润：（元）， 四、五、六月总销售量：（个）， 总利润：（元）． 15．【答案】任务1：20%；任务2：4条． 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． （1）根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； （2）根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】 解：任务1：设第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为20%； 任务2：设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度． 根据题意得：， 解得：（舍） 答：应该再增加4条生产线． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找出数量关系列出方程是解题的关键． 设边的长度为，则边的长为，根据“面积为”即可列出方程． 【详解】 解：设边的长度为，则边的长为，根据题意，得 ， 即． 故答案为：． 17．【答案】22元/千克或18元/千克 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，分别整理得这批红枣降价为元/千克后的每天的销售量以及每千克的利润，再结合这批红枣的利润达到2880元，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：设这批红枣降价为元/千克， 则每天的销售量为千克，每千克的利润是（元） ∵每天销售这批红枣的利润达到2880元， ∴ ∴， 整理得 ∴ 解得 ∴（元）或（元） 即该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为22元/千克或18元/千克． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】 解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为． 20．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意，设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x，根据等量关系正确列方程求解即可． 【详解】 解：设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为． 21．【答案】7 【分析】 设参赛队数为x个，根据计划安排21场比赛列方程，解方程即可得到答案. 【详解】 解：设参赛队数为x个， 则， 解得（不合题意，舍去）， ∴参赛队数为7个 故答案为：7 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键. 22．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】 解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题．根据原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，进行列式得． 【详解】 解：依题意，可列出的方程是， 故答案为：． 24．【答案】（形式不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 根据年平均增长率的定义，利润逐年增长，2025年利润是2023年利润的倍． 【详解】 解：设年平均增长率为x， 则2024年利润为万元，2025年利润为万元． 根据题意，2025年利润为144万元， 因此列方程得． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：． 26．【答案】8尺 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】 解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 27．【答案】2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】 解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 28．【答案】 【分析】 本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】 解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 29．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为． 30．【答案】9 【分析】 由题意设参加聚会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯36次，则可得每个人可碰（x-1）次，继而可得x人一共碰杯x（x-1）次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加聚会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=36， 整理，可得：x2-x-72=0， 解得：x1=9，x2=（不合题意，舍去）， 则参加聚会的人数为9人， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程． 31．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 32．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 【详解】 解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 33．【答案】（1）每千克神木小米的售价应降低1元或元 （2）解：不能达到，理由如下： 与（1）同理，设每千克神木小米的售价降低元， 得， ∴， ∴， 则， 此时方程无实数根． 即 该超市销售神木小米不可以达到每天获利2000元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设每千克神木小米的售价降低元，充分理解题意，再根据每天销售神木小米获利1400元进行列方程，即可作答． （2）理解题意进行列出方程，再结合进行分析，即可作答． 【详解】 （1）解：依题意，设每千克神木小米的售价降低元， ∵每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． ∴销量为（千克）， 此时每千克的利润是（元）， ∵每天销售神木小米获利1400元 ∴， ∴， 整理得， 解得，； 即每千克神木小米的售价应降低1元或元． （2）略 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】 解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 35．【答案】20%　 【分析】 设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设每年绿化面积的增长率为x， 依题意，得：3000（1+x）2=4320， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．【答案】（1），     （2）每件童装应降价元．      【分析】 本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用． (1)这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，列出降价元时童装的销量和每件的利润； (2) 根据销售利润销量单件利润，可列方程，解方程可得：，，根据为了让顾客买到更多实惠应降价元． (1) 小问详解： 解：这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件， 每天可销售件，每件可盈利元， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：想要每天销售这款童装的利润达到元， 可得：， 整理得：， 解方程可得：，， 为了让顾客买到更多实惠应降价元， 答：每件童装应降价元． 37．【答案】（1）     （2）5元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 38．【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】 解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 39．【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm．     （2）      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设剪去的小正方形的边长为．收纳盒的底面积为1600，据此列方程并解方程即可； （2）设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为．根据折出底面积为1350的有盖盒子列方程并解方程即可． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为． 由题意，得，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为10cm． (2) 小问详解： 能． 设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 盒子的体积为． 40．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 【详解】 解：设这两年平均每年的增长率为x，根据题意得， ， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 41．【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为     （2）当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框（空白部分）的宽度为，根据该工艺品中间的水墨画的面积为列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设销售单价上涨元/件，根据总利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：设画框（空白部分）的宽度为， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：画框（空白部分）的宽度为； (2) 小问详解： 解：设销售单价上涨元/件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 42．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 43．【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 44．【答案】（其他形式正确也可） 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有名同学，则每位同学向其他成员赠送件标本，总赠送标本数为与的乘积，据此列出方程． 【详解】 解：由题意，每位同学赠送的标本数量为件，小组共有名同学， ∴总赠送标本数为件， ∵总赠送标本数为210件， ∴可列方程为． 故答案为：． 45．【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【分析】 可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 46．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔每个售价应定为50元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 47．【答案】商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元，根据“平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个”，列出一元二次方程，解方程再根据最快时间将该电热毯的库存清空，即可得出答案． 【详解】 解：设每个电热毯降价元时，利润能达到2100元， 由题意可列方程为， 整理方程得， 解得，， ∵需要尽快清空库存， ∴取较大值20， 答：商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元． 48．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个月生产成本下降的百分率为x，根据8月份和10月份的生产成本列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设每个月生产成本下降的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为． 49．【答案】（1）     （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； (2) 小问详解： 解：降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则：， 整理得：， 解得：，， ∴每盒月饼的售价为：元或元； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 50．【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱，根据现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 51．【答案】当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件，根据销售利润为2880元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 52．【答案】（1）销售价应定为40元     （2）这两周的平均增长率为      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，根据商场计划一周的利润达到3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了216个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：销售价应定为40元； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 53．【答案】售价定为元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设售价定为元，根据题意可得销售量为，列方程即可解答，根据题意得到售价和销售量的关系是解答本题的关键． 【详解】 解：设售价定为元， 根据题意可得销售量为， 可列方程， 解得， 需要同时让利给顾客， 售价定为元． 54．【答案】（1）     （2）20元或40元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； (2) 小问详解： 解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 55．【答案】（1）1050元     （2）50元      【分析】 （1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． (1) 题详解： 解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． (2) 题详解： 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件， 依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200， 整理，得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 56．【答案】任务1：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为；任务2：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 任务一：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的天平均增长率为x，根据11月26日的票房收入费用为7万元，11月28日的票房收入达到10.08万元，列出方程，解方程即可； 任务二：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据底面面积是列出方程，然后解方程即可． 【详解】 解：任务1：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 57．【答案】（1）当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润     （2）张阿姨每天的销售利润不能达到260元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用。 （1）设当每个手工编织挂件降价x元时，根据“张阿姨每天可获得192元利润”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润，列出一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润； (2) 小问详解： 解：张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 理由如下： 设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， 由题意，得， 整理，得， ， 所以该方程没有实数根． 所以张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 58．【答案】该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意列出一元二次方程，求出x的值，并根据题意取舍即可． 【详解】 解：设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意，得，                               解得，（不符合题意，舍去）． 故该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为． 59．【答案】（1）降低20元或40元     （2） 不能达到，理由如下： 设每盒汉中仙毫的售价应降低y元， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 不能达到．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程． （1）设每盒汉中仙毫的售价应降低x元，根据“要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元”列出方程并解答； （2）若每天的利润达到3500元，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式判断该方程是否存在实数解：若存在，则说明每天的利润能达到3500元，否则，则说明每天的利润不能达到3500元． (1) 小问详解： 设每盒汉中仙毫的售价应降低x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每盒汉中仙毫的售价应降低20元或40元； (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1）；     （2）销售单价应上涨元或元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）依题意得，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶， ∴当这款洗手液的销售单价上涨元时，每天的销售量为瓶， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 解得：，， 答：销售单价应上涨元或元． 61．【答案】（1）60     （2） 设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据题意，得 ， ， ， 方程无解． 答：该公司每天销售这种工艺品盈利不能达到2000元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利润问题是解题的关键． （1）设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据利润公式列方程，求解即可． （2）方法同第（1），根据利润公式列方程，求解发现，所以方程无解，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据题意，得 ， ， 解得或． ， ． 答：每件工艺品的售价应为60元． (2) 小问详解： 略 62．【答案】（1）平均下降率为     （2）单价应降低27元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． (1) 小问详解： 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； (2) 小问详解： 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 63．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】 解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 64．【答案】（1）该展牌的长为     （2）该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该展牌的长为，根据题意列方程求解即可； （2）设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个，根据题意列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该展牌的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 该展牌的长为； (2) 小问详解： 解：设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个． 65．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程和不等式的性质解答． （1）根据题意可以用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得水果店需将每斤的售价降低多少元． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 每天的销售量是：（斤）， 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得，， 解得：，， 保证每天至少售出斤， ， 解得， ， 即水果店需将每斤的售价降低1元． 66．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设平均每年下降的百分率为，根据指数下降模型，列出方程，通过解方程求得． 【详解】 解：设平均每年下降的百分率为． 由题意，得， 即， 所以（取算术平方根）， 解得． 故答案为：． 67．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了场激烈对决列方程求解即可． 【详解】 解：设有支参赛队伍，依题意得， ， ， 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍． 68．【答案】（1）     （2）4条      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． (1) 小问详解： 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 69．【答案】经过2秒后的面积等于 【分析】 过点Q作于E，根据直角三角形30度角的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图， 过点Q作于E，则． ∵， ∴． ∴． 设经过t秒后的面积等于， 则 根据题意，． ． ． 当时，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于． 【点睛】 此题考查了直角三角形30度角的性质，动点问题，三角形的面积计算公式，解一元二次方程，正确理解直角三角形的性质是解题的关键． 70．【答案】（1）元     （2）每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1000元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总利润每件的销售利润日销售量，即可求出结论； （2）设每件童装降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：每件童装降价4元，则每件盈利为元，每天可售出件， 所以平均每天盈利为：元； (2) 小问详解： 解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元，每天可售出件 根据题意可列方程：， 解这个方程得：，． 所以每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1000元． 71．【答案】点P运动的时间为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键． 设点P运动的时间为，根据题意得到和，再根据勾股定理得到，最后根据三角形面积公式进行列式求解即可． 【详解】 解：设点P运动的时间为， ∵点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动， ∴， ∵点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动， ∴， ∵，且四边形是矩形， ∴，， ∴在中， ， ∴， ∵的面积为225， ∴ ， ∴ 解得， 当时，，， ∴符合题意， 当时，，， ∵， ∴不符合题意舍去， 综上所述，点P运动的时间为． 72．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据降价规律列出方程求解即可． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为x． 经过两次降价，价格关系为， 解得：（不符合题意）． 答：这款服装平均每次降价的百分率为． 故答案为：． 73．【答案】（1）该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为     （2）销售单价应降低3元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地 “户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据总利润=每千克的利润×销售数量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由到2024年年底的种植面积达到169亩得：， 解得（舍去）， 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解： 设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据每天可获利1750元得：， 整理得：， 解得：． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 74．【答案】（1）千克     （2）元     （3）5元      【分析】 本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； (2) 小问详解： 以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； (3) 小问详解： 设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 75．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，将种植区域看作边长是和的矩形，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 故答案为：． 76．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每千克西红柿应涨价元，根据题意列出方程即可求解； (1) 小问详解： 解：设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每千克西红柿应涨价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克西红柿应涨价元． 77．【答案】任务：；任务：元/件 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】 解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 78．【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10%     （2）每千克甜瓜应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 79．【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是     （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元      【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 80．【答案】（1）220     （2）参加活动的学生人数为18人      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； (2) 小问详解： 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】 解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是一元二次方程，故选项符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·陕西安康·期中）一元二次方程的一次项的系数是（       ） A.  B. 2 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，一次项系数是方程中一次项的系数． 【详解】 ∵ 一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数， ∴ 对于方程，一次项系数为． 故选：D． 3．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）下列是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫作一元二次方程，进行判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选C． 4．（九·陕西汉中南郑区·期末）一元二次方程的二次项系数是（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 1 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项， b叫做一次项系数， c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B.  C. 9 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 6．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【分析】 解：选项A：，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义； 选项B：，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：，满足所有条件，符合一元二次方程的定义． 故选：D． 8．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则c的值为（） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于的方程求解即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴代入得，即，解得：． 故选C． 9．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握需要注意的三点：① 只含有一个未知数，② 未知数的最高次数是2，③ 二次项系数不是0，是解题的关键； 根据一元二次方程的一般形式即可得出． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行排除选项即可． 【详解】 解：A、由于二次项系数的取值不确定，当时，该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的概念依次判断即可． 【详解】 解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意； B、，当时，是一元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，等式左边不是整式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 12．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（     ） A. 2 B.  C. 5 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程后，通过移项直接求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， ∴； 故选：A． 13．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，将已知根代入方程，直接求解的值即可． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴代入得 ， 即， ， ， ， ． 故选：D． 14．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A. 5 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式知识点，解题的关键是将给定方程化为一元二次方程的一般形式． 先把方程化为一般形式，再根据一般形式确定常数项． 【详解】 一元二次方程的一般形式是，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将方程移项化为一般形式为， 常数项是2． 故选：C． 15．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】 解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．是一元三次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 16．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．含有两个未知数，故本选项不符合题意； B．含有两个未知数，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．，整理得：，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 17．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】 解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 18．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：B． 19．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则（     ） A. 9 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即． 【详解】 解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， 故选：B． 20．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A.  B. 6 C.  D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根．利用一元二次方程根的定义，将代入方程，得，即可求解． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 即代数式的值为． 故选：D 21．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）若关于的方程的一个根是，则的值是() A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根的概念，直接代入根即可求解参数关系．将根代入方程，得到关于和的方程，通过代数变形求解． 【详解】 解：是方程的根， 代入得， 即， ， ， ． 故选：D． 22．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则m的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 将根代入方程，直接求解m的值． 【详解】 解：∵是方程 的一个根， ∴代入得：，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 23．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）若是关于x的方程的解，则a的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的解．把代入方程，把问题转化为关于a的方程求解． 【详解】 解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 24．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）若a为方程的解，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得到，则有，再整体代入到代数式求值即可． 【详解】 解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是　　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 该题考查了一元二次方程，根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为6．二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 【详解】 解：设一元二次方程为 ，其中 a 为二次项系数，c 为常数项． 由条件知， 选择，则，再选择， 得到方程． 故答案为：（答案不唯一）． 26．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）已知一个一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是　　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查根据一元二次方程的根构造方程，根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 27．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）若一个一元二次方程有一个根为，则这个一元二次方程可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】 解：由题意得：且， ∴， 故答案为： 29．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】 解：由题意，方程是关于的一元二次方程，则的最高次数为2，即， ， ∴．又因为二次项系数，即， 故． 故答案为． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为3， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 将代入方程求解即可． 【详解】 将代入方程，得， 整理得， 解得． 故答案为． 32．（25-26学年九上·陕西安康·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 将代入一元二次方程，利用方程的解的定义建立关于的方程，然后求解． 【详解】 解：∵ 关于x的一元二次方程 的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即， 整理得， 解得． 故答案为：1． 33．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】 解：由题意，得 且， 解得， 故答案为： 34．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．”是解题的关键． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 38．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】 解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如果关于x的一元二次方程的一个根是，那么　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 因为是关于的一元二次方程的一个根， 所以把代入方程得：，求得， 所以． 故答案为2025． 40．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】 解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为1． 41．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知关于x的一元二次方程的一个整数解是3，则m的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将已知的整数解代入一元二次方程，直接求解m的值． 【详解】 解：将代入方程，得 ． 解得． 故答案为：． 42．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）已知a是方程的一个根，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】 ∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 43．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用方程根的定义，得，整体代入求值． 【详解】 解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴，即， 则 ． 故答案为：5． 44．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 45．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 【答案】（1）且     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可获得答案； （2）首先将代入方程并求解，即可确定的值，然后利用因式分解法解该方程即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有实数根， 则有，且， 解得且； (2) 小问详解： 若方程有一个根为， 则有，解得， 即该方程为， 整理可得， ∴， 解得， 该方程的另一个根为． 46．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 47．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】 此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】 解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 48．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】3或 【分析】 本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】 解：方程的一个根为， ， 即， 解得，， 的值为或． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）用配方法解一元二次方程时可配方得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 2．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）一元二次方程的根为（       ） A.  B.  C. ， D.  【答案】A 【分析】 本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】 解：， 直接开方得：， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年九上·陕西安康·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 4．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查用配方法解一元二次方程的步骤，掌握配方法是解题的关键． 先将原方程进行移项，再通过配方得到完全平方公式，即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤以及方法． 使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，再两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式． 【详解】 ∵, ∴ ∴ ∴ 故配方后方程为 ， 故选：D． 6．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式． 【详解】 解： 配方，得 即． 故选：A． 7．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】 解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）用配方法解方程时，配方的结果为，则表示的是（     ） A. 15 B. 17 C. 16 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，根据，得，再运用配方法进行整理，即可作答． 【详解】 解：∵ ∴， 配方：， 即：， ∵用配方法解方程时，配方的结果为， ∴表示的是17， 故选：B 9．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A.  B. 2024 C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 11．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查配方法的基本操作，关键是正确计算一次项系数一半的平方． 使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，以完成配方． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． ∴ 原方程变形为 ． 故选D． 12．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 2024 D. 2025 【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程．用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 13．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）方程的解是（     ） A. ， B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】 解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 14．（24-25学年九上·陕西安康·期末）用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程． 【详解】 解： ， ， 故选：． 15．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用配方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 16．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．本题可通过配方法求解．配方法是将方程转化为完全平方式的形式求解， 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴， ． 17．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．先整理，再利用配方法解答即可． 【详解】 解：原方程整理为， 配方得，， ， ． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，． 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】 解： ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）用配方法解方程：． 【答案】, 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 再直接开平方求解．据此解答即可． 【详解】 解： 或 ∴，． 21．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 22．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 整理得， 解得； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 23．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查配方法解一元二次方程的能力．利用配方法求解即可． 【详解】 解：移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 24．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 利用配方法解方程即可求解． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 【详解】 解：配方，得，即． 两边开平方，得， 即， 所以 25．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）解方程： （1）； （2）； （3）（用配方法）； （4）． 【答案】（1），．     （2），．     （3），．     （4），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用分解因式法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 两边开平方得：， 即或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 方程可化为：， 或， ∴，． (3) 小问详解： 解：， 方程可化为：， ， ， ∴，． (4) 小问详解： 解：， 方程可化为：， 即， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 26．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程；利用配方法求解一元二次方程． 【详解】 解：移项得 ， 配方得 ， 即 ， 开方得 ， ∴ ． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 2．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：，且， 解得：且； 故选C． 3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若关于的方程有实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次不等式，准确的计算是解决本题的关键． 根据题意得，当判别式大于或等于零时，方程有实数根．由此列出不等式求解m的范围即可． 【详解】 解：在中，， ∴ ， ∴ 解得． 故选：D． 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【详解】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【分析】 解：∵一元二次方程为 ， ∴， ， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， 故选：D． 6．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）一元二次方程根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【分析】 根据根的判别式计算判断即可． 【详解】 ∵， ∴， 故方程没有实数根， 故选D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A. 2 B. 0 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查由一元二次方程判别式求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，利用判别式公式求解即可得到答案． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得， 故选：D． 8．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式列不等式，求得，再根据二次项系数，即得答案． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又二次项系数， 的取值范围是且． 故选：C． 9．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可： ∵a=1，b=，c=， ∴． ∴此方程有两个不相等的实数根．故选C． 10．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零得，即可求解． 【详解】 解：方程 有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：D． 11．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 直接利用根的判别式进行判断即可得到答案. 【详解】 解：∵△＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴方程无实数根． 故选A． 【点睛】 本题主要考查根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：① 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；② 当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③ 当△＜0时，方程无实数根． 12．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且，故C正确． 故选：C． 13．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，再根据“有两个相等的实数根”列出关于m的方程求解即可． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵方程有两个相等的实数根，且，，， ∴， 解得：或，均满足， ∴为或． 14．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（       ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程根的定义求出，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论． 【详解】 解：∵是关于x的方程的实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴，即； ①， ∴此方程有两个不相等的实数根，故① 说法正确； ② ∵， ∴当时，一定有，故② 说法错误； ③ ∵是关于x的方程的实数根．且， ∴也是关于x的方程的实数根．故③ 说法正确； ④ 此方程有两个不相等的实数根，故④ 说法错误； 所以，正确的结论是① ③ ， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键． 15．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题关键是时需注意二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】 解：方程化为标准形式， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，且， 解得：且． 故选：A． 16．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：． 17．（24-25学年九上·陕西安康·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程即可． 【详解】 解：，， ∴， ∴， ∴，． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知关于x的方程没有实数根，那么k的取值范围是 　　　　　 【答案】 【分析】首先将方程转化成一般形式，然后根据没有实数根，即，即可得解. 【详解】由已知，得 ∵方程没有实数根 ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查根据方程根的情况求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 19．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 利用公式法求解可得． 【详解】 解： ，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键． 20．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】 方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 21．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）解方程：x2+6x+3=0． 【答案】=-3+，=-3- 【详解】试题分析：公式法. 试题解析： 22．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用公式法解方程即可． 【详解】 解：， 其中，，，， ， ， ，． 23．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．根据根的判别式的意义得到，然后求解即可． 【详解】 解：由得：， ∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 根据公式法解题即可． 【详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴或． 26．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握是解题的关键．直接根据公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ， ， ． 28．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得． 29．（25-26学年九上·陕西安康·期中）关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵ ∴ ∴方程总有两个实数根． 【分析】 根据根的判别式可得，即可得证方程总有两个实数根． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 30．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）写一个关于x的一元二次方程，使得这个方程有两个相等的实数根，你写的方程是　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式．熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键， 根据方程有两个不相等的实数根得到，进而求解即可． 【详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为． 32．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）若关于的一元二次方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 将代入得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴的值为． 33．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）解方程： （1）． （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 其中，，， ， ， 解得：； (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：． 34．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）已知关于的一元二次方程；求证：无论取任何值，该方程总有实数根． 【答案】证明：在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取任何值，该方程总有实数根． 【分析】 本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟悉根的判别式是解决本题的关键． 根据根的判别式即可计算一元二次方程根的情况． 【详解】 略 35．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为　　　　　　． 【答案】1或2 【分析】 本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 36．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1）     （2） 证明：由题意可知，， 不论取何实数，该方程总有实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）把代入方程中即可求出答案； （2）根据根的判别式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：把代入方程得， 解得，故的值为1； (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了公式法解一元二次方程．先根据得出方程有两个不相等的实数根，然后代入公式求解即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 38．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为　　　　　　． 【答案】10或14 【分析】 解法一：在对角线上截取，使，连接，分两种情况：点H在点O上方，点H在点O下方，分别画出图形，求出结果即可； 解法二：延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】 解：解法一：在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O上方时，如图所示： ∵F为的中点． ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O下方时，如图所示： ∵F为的中点， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为10或14． 解法二：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）一元二次方程的解为（       ） A. ， B. ， C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】 解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：B． 2．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）对于任意实数定义运算：，例如：，则方程的根为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了实数的新定义和解一元二次方程．根据定义的运算规则，将方程转化为一元二次方程，然后通过因式分解求解． 【详解】 解：∵定义运算为， ∴， 即， 两边乘以，得， 因式分解，得， ∴或． 因此，方程的根为，， 故选：A． 3．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（     ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】 解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（       ） A. ， B. ， C. ， D.  【答案】A 【分析】 本题考查对新运算的理解和一元二次方程的解法，关键是将新运算转化为代数表达式后求解． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】 解：， ， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：A． 5．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A.  B. 或 C. 6或 D. 6或 【答案】C 【分析】 此题考查解一元二次方程，勾股定理，先解方程得到两根为4和6，再分两种情况讨论斜边的可能长度：当4和6均为直角边时，斜边为；当6为斜边时，斜边为6，由于斜边必为最长边，4不可能是斜边，因此斜边为6或 【详解】 ∵ 方程可因式分解为， ∴ 两根为，， 即的两边长分别为4和6； 情况1：当4和6均为直角边时，斜边长为； 情况2：当6为斜边时，斜边长为6 ∴ 斜边长为6或， 故选C 6．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长是方程的一个根，则该三角形的周长为（     ） A. 10 B. 16 C. 14 D. 16或14 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先求出方程得到，，再分2种情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】 解： 解得，， 当第三边为5时，， ∴2，5，7不能构成三角形，不符合题意，舍去； 当第三边为7时，， ∴2，7，7能构成三角形，此时三角形的周长为； ∴综上所述，该三角形的周长为16． 故选：B． 7．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）已知等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（     ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 解方程得两根为2和6，分别作为底和腰讨论，只有底为2、腰为6时满足三角形三边关系，周长为14． 【详解】 解：∵可化为， ∴或． 当底边长为2、腰长为6时，三边长为2、6、6， ∵，，满足三边关系， ∴周长为； 当底边长为6、腰长为2时，三边长为2、2、6， ∵， ∴不满足三边关系，故舍去； ∴周长为14． 故选：B． 8．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 9．（25-26学年九上·陕西安康·期中）解一元二次方程． 【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是解题的关键． 根据题意即可求解． 【详解】 ， ，． 10．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了运用因式分解法进行解一元二次方程．令每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴或， ∴，． 11．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】 本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 12．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解： ， ∴或， 解得，, ， 故答案为：，． 13．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 于是，得，或， ∴，． 14．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题考查了一元二次方程的求法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：原方程可化为， 因式分解得， ∴，， ∴，． 15．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的去分母方法和一元二次方程的因式分解法． （1）先将分式方程化为整式方程，求解后检验； （2）将一元二次方程整理为一般形式，再因式分解求解． (1) 小问详解： 解：方程，分母， 两边同乘得：， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解：方程，整理得， 因式分解得， 则或， 解得． 16．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　　． 【答案】﹣1或4 【详解】 解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 17．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或， ∴， 18．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， 移项得， ∴， ∴或， ． 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】 本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】 ∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 20．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，原方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程即可 【详解】 解： ∴ 则或 解得， 21．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解： ∴， ∴或， ∴，． 22．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 23．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 24．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）解方程:x(2x+1)=4x+2 【答案】x1=2,x2=- 【分析】方程整理后, 利用因式分解法求出解即可. 【详解】x(2x+1)=2(2x+1)                       即(x-2)(2x+1)=0                             ∴x-2=0或2x+1=0                               ∴x1=2,x2=-， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法. 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先把原方程整理得，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 先移项，再利用因式分解—提公因式法解一元二次方程即可得解． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 27．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根；     （2）7．      【分析】 （1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：， ∴， ∴ ， 即或， 解得：，． 29．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】 先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】 此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算，理解因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解的：， ∴或， 解得：，． 31．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）解方程：． 【答案】 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 32．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）选择适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解解一元二次方程． 利用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】 解： ∴或 ∴，． 33．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ， ， ， ， 或， ∴． 34．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）移项后提取公因式得到，即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 35．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）一元二次方程的解是　　． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 36．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；     （2）6      【分析】 （1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 37．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”．     （2）2      【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 38．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 39．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 此题考查解一元二次方程，根据方程特点选择恰当解法是解题的关键，根据因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 ∴． 40．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：． ． 或， 解得，． 41．（九·陕西汉中南郑区·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为．      【分析】 （1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 42．（九·陕西汉中南郑区·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），      （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 43．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小睿的解题方法是从第             步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确的解出这道题． 【答案】（1）一     （2），      【分析】 本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况； （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 ∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴，． 44．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）若是方程的一个解，则这个方程的另一个解是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求得方程是解题的关键． 首先根据求得方程，再解方程得出另一个解即可． 【详解】 解：将代入方程中， ∴，解得：， ∴，解得：，， ∴方程的另一个解是， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， 通过提取公因式、移项、整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 46．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）当时，求该方程的根． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程有两个实数根，则判别式是非负数． （1）根据方程有实数根列出不等式，即可解得m的范围； （2）代入，利用因式分解法可求出方程的实数根． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，                  解得， ∴m的取值范围是； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得，． 47．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得：． 48．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）通过因式分解法解方程； （2）通过公式法解方程． (1) 小问详解： 解： 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ，． 49．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）解方程：． 【答案】 【详解】 解：移项，得， 提公因式，得， 即， 或， ． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 2．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（     ） A. 8 B. 4 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．利用两根之和等于求解即可． 【详解】 解：设另一个根为t，则有， 故选：A 3．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】 解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 4．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A.  B.  C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，运用根与系数的关系得到的值是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到的值，再对变形后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选B． 5．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则另一根为　　　　　　． 【答案】﹣3 【分析】设方程x2+kx﹣3＝0的解为x1、x2，根据根与系数的关系即可得出x1•x2==-3，把x1=1代入即可求出x2的值． 【详解】解：设方程x2+kx﹣3＝0的解为x1、x2， 则有：x1∙x2==-3， ∵x1=1， ∴x2=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=． 6．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：2． 7．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）若是方程的一个根，则方程的另一个根是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为 由一元二次方程根与系数的关系可得，， 解得， ∴方程的另一个根为 故答案为：． 8．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的腰长是　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 等腰三角形的底边长为3，另两边为腰且相等，因此关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零，根据根与系数的关系，两根之和等于12，可求出腰长，即可作答． 【详解】 解：设腰长为a， ∵等腰三角形的底边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根， ∴方程的两个根均为a， 根据根与系数的关系，， 解得， 此时等腰三角形的三边分别为3，6，6，满足三边关系， 故答案为：6． 9．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】 解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根，满足，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，又因为满足，所以代入并解方程，即可求出的值． 【详解】 解：是方程的两个实数根， ． ， ， 解得． 检验：当时，方程为，，方程有两个实数根，符合题意 故答案为：1． 12．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知关于 x 的一元二次方程． （1）求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设是方程的两个根，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴． 13．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知是关于的一元二次方程． （1）证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：依题意， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解； （1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可； （2）运用根与系数的关系求得，，再整体代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，方程化为， ∵该方程的两根为，， ∴，， ∴． 14．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】 此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系，，然后代入求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， ∵， ∴， ∴的值为． 15．（24-25学年九上·陕西安康·期末）已知的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）12      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根以及是解答的关键． （1）求得即可证得结论； （2）先求得一元二次方程为，再根据根与系数关系得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，一元二次方程为， ∵的一条边的长为5，另两边、的长分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴的周长为． 16．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程的一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 【答案】（1） 解：由题意得 故不论m取何实数，该方程总有实数根；     （2），另一个根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式得，判断符号，即可求解； （2）将代入原方程求出，再由根与系数的关系，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是该方程的一个实数根， ， 解得， 设另一个根为， 解得， 故，另一个根为． 17．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值． 【答案】（1）m＜；（2）m=-3 【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值． 试题解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根， 解得： ∴当时，方程有两个不相等的实数根. (2)设方程的两根分别为a、b， 根据题意得： ∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长， 解得：m=−3或m=5. ∵a>0，b>0， ∴a+b=−2m+1>0， ∴m=−3. 若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3. 18．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）已知关于的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若，且、是该方程的两个实数根，求、，的值． 【答案】（1）     （2），，      【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，求出k的取值范围即可； （2）根据配方法解一元二次方程的步骤求出、，再根与系数的关系求出两根之和，两根之积，再代入中，计算即可． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围为； (2) 小问详解： 将代入，得 ， 配方，得 ， ∴， 解得 ，， ∵、是该方程的两个实数根， ∴， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹备组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台， 并设计了如图所示的方案， 其中阴影部分为舞台． 舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 （       ）． A. 5 B. 20 C. 20 或 15 D. 15 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析题意以及观察图中的信息，得出中间空白部分的长和宽分别是，又因为中间空白部分的面积为，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】 解：依题意，， ∴， 整理的， ∴（舍去）， ∴该正方形空地的边长为， 故选：D． 2．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】 解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B ． 3．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 ， 故选：A． 4．（九·陕西汉中南郑区·期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（       ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【分析】 设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据照片的长、宽及空白边的宽度，可得出图案部分的长为，宽为，结合图案部分的面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设空白边的宽度为，根据题意得：． 故选：D． 6．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（       ） A. 216人 B. 226人 C. 236人 D. 246人 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每人传染x人，根据两轮传染后总人数为36人，列出方程求解x，再计算第三轮新传染人数，加上原有人数得到总人数，即可作答． 【详解】 解：设每轮传染中平均每人传染x人， ∵初始1人患流感， ∴第一轮后患病人数为人，第二轮后患病人数为人， 依题意，得， 解得或（舍去）， ∵两轮后患病人数为36人， ∴第三轮新传染人数为：（人）， 故选：A． 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2025年2月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率），2025年3月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率，再根据第一季度总销量达到万辆即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：D． 8．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（       ） A. 6m或7m B. 3m或3.5m C. 3.5m D. 6m 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又墙长， ， 长为6m． 故选：D． 9．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x元，根据题意，即可列出方程． 【详解】 解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 10．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】 解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 设八年级有x个班，根据题意列方程，进行解答即可得． 【详解】 解：设八年级有x个班， 解得，（舍）， 则八年级有6个班， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 12．（25-26学年九上·陕西安康·期中）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】 解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 13．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 【答案】2m． 【分析】 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】 解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米， 由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60． 解得x＝2或x＝18（舍去）． 答：道路的宽应设计为2m． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 14．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．红星商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出150个，六月份售出216个，且从四月份到六月份每月的增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）如果每个头盔的售价为50元，进价为40元，请计算该商店四、五、六三个月份的总利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）5460元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用（增长率问题）和利润计算，解题的关键是根据增长率公式列出方程并求解，再结合利润公式计算总利润． （1）设月平均增长率为，根据四月份销售量和增长率表示出六月份销售量，列方程求解；（2）先求出五月份销售量，再根据每个月的销售量和单利润计算总利润． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 四月份售出150个，五月份售出个，六月份售出个， 由题意得：， 解得：（增长率不能为负，舍去）， 故该品牌头盔销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：五月份销售量：（个）， 每个头盔的利润：（元）， 四、五、六月总销售量：（个）， 总利润：（元）． 15．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】任务1：20%；任务2：4条． 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． （1）根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； （2）根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】 解：任务1：设第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为20%； 任务2：设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度． 根据题意得：， 解得：（舍） 答：应该再增加4条生产线． 16．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍（靠墙的一面不用铁丝网），其面积为，在鸭舍侧面的中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），设边的长度为，则由题意可列方程为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找出数量关系列出方程是解题的关键． 设边的长度为，则边的长为，根据“面积为”即可列出方程． 【详解】 解：设边的长度为，则边的长为，根据题意，得 ， 即． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为多少元/千克？ 【答案】22元/千克或18元/千克 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，分别整理得这批红枣降价为元/千克后的每天的销售量以及每千克的利润，再结合这批红枣的利润达到2880元，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：设这批红枣降价为元/千克， 则每天的销售量为千克，每千克的利润是（元） ∵每天销售这批红枣的利润达到2880元， ∴ ∴， 整理得 ∴ 解得 ∴（元）或（元） 即该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为22元/千克或18元/千克． 18．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】 解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 19．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为． 20．（24-25学年九上·陕西安康·期末）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意，设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x，根据等量关系正确列方程求解即可． 【详解】 解：设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为． 21．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为　　　　　　　　　　　　个. 【答案】7 【分析】 设参赛队数为x个，根据计划安排21场比赛列方程，解方程即可得到答案. 【详解】 解：设参赛队数为x个， 则， 解得（不合题意，舍去）， ∴参赛队数为7个 故答案为：7 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键. 22．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】 解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）一种球鞋原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，则据题意可列出的方程是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题．根据原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，进行列式得． 【详解】 解：依题意，可列出的方程是， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，因受益于支持政策，某村大学生自主创立的公司利润逐年提高．据统计，该公司2023年的利润为100万元，2025年的利润为144万元，设该公司从2023年到2025年利润的年平均增长率为，则根据题意列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】（形式不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 根据年平均增长率的定义，利润逐年增长，2025年利润是2023年利润的倍． 【详解】 解：设年平均增长率为x， 则2024年利润为万元，2025年利润为万元． 根据题意，2025年利润为144万元， 因此列方程得． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·陕西安康汉阴县·期中）据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．求门高． 【答案】8尺 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】 解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 27．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 【答案】2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】 解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 28．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【分析】 本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】 解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 29．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售400个，8月份销售676个，且从6月份到8月份销售量的月均增长率相同．求该品牌头盔销售量的月均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为． 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有　　　　　　人． 【答案】9 【分析】 由题意设参加聚会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯36次，则可得每个人可碰（x-1）次，继而可得x人一共碰杯x（x-1）次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加聚会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=36， 整理，可得：x2-x-72=0， 解得：x1=9，x2=（不合题意，舍去）， 则参加聚会的人数为9人， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程． 31．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 32．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 【详解】 解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 33．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）某校九年级开展社会实践活动，如表是某小组的记录表的部分信息，请根据相关信息解决表中的两个问题． 社会实践记录表 实践内容 调查神木小米行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 神木小米的进价为10元/千克； 神木小米的售价为16元/千克时，每天的销售量为200千克； 每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． 解决问题 问题（1） 若该超市计划进行降价销售，且要保证每天销售神木小米获利1400元，那么每千克神木小米的售价应降低多少元？ 问题（2） 若该超市销售神木小米想要每天获利2000元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每千克神木小米的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）每千克神木小米的售价应降低1元或元 （2）解：不能达到，理由如下： 与（1）同理，设每千克神木小米的售价降低元， 得， ∴， ∴， 则， 此时方程无实数根． 即 该超市销售神木小米不可以达到每天获利2000元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设每千克神木小米的售价降低元，充分理解题意，再根据每天销售神木小米获利1400元进行列方程，即可作答． （2）理解题意进行列出方程，再结合进行分析，即可作答． 【详解】 （1）解：依题意，设每千克神木小米的售价降低元， ∵每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． ∴销量为（千克）， 此时每千克的利润是（元）， ∵每天销售神木小米获利1400元 ∴， ∴， 整理得， 解得，； 即每千克神木小米的售价应降低1元或元． （2）略 34．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】 解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　　　　　　　　　． 【答案】20%　 【分析】 设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设每年绿化面积的增长率为x， 依题意，得：3000（1+x）2=4320， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）春节临近，年味渐浓，家长们都忙着给孩子选购新年衣物，小颖妈妈的童装店迎来了销售旺季．店里主打一款红色喜庆款儿童服，这款童装的进货价为每件元，原售价为每件元，节日期间前两周平均每天能卖出件．为了抓住春节消费热潮、扩大销量，小颖妈妈计划调整价格促销，决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售_____件，每件盈利______元；（用含的代数式表示） （2）若想要每天销售这款童装的利润达到元，且兼顾利润与销量（让顾客买到更多实惠），每件童装应降价多少元？ 【答案】（1），     （2）每件童装应降价元．      【分析】 本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用． (1)这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，列出降价元时童装的销量和每件的利润； (2) 根据销售利润销量单件利润，可列方程，解方程可得：，，根据为了让顾客买到更多实惠应降价元． (1) 小问详解： 解：这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件， 每天可销售件，每件可盈利元， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：想要每天销售这款童装的利润达到元， 可得：， 整理得：， 解方程可得：，， 为了让顾客买到更多实惠应降价元， 答：每件童装应降价元． 37．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）5元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 38．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】 解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 39．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）综合与实践 有一块长100cm、宽40cm的矩形硬纸板做收纳盒． （1）如图1，设计无盖长方体收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若收纳盒的底面积为1600，则剪去的小正方形的边长为多少cm？ （2）如图2，设计有盖长方体收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．问能否折出底面积为1350的有盖盒子？若能，请求出盒子的体积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm．     （2）      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设剪去的小正方形的边长为．收纳盒的底面积为1600，据此列方程并解方程即可； （2）设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为．根据折出底面积为1350的有盖盒子列方程并解方程即可． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为． 由题意，得，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为10cm． (2) 小问详解： 能． 设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 盒子的体积为． 40．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 【详解】 解：设这两年平均每年的增长率为x，根据题意得， ， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 41．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一．某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售． （1）已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若将其以90元/件的价格进行销售，则每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．现该公司决定涨价销售该工艺品，经市场调研发现，每件工艺品的售价每上涨1元，每天将少售出10件，则当该公司将销售单价上涨多少元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为     （2）当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框（空白部分）的宽度为，根据该工艺品中间的水墨画的面积为列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设销售单价上涨元/件，根据总利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：设画框（空白部分）的宽度为， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：画框（空白部分）的宽度为； (2) 小问详解： 解：设销售单价上涨元/件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 42．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 43．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 44．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（其他形式正确也可） 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有名同学，则每位同学向其他成员赠送件标本，总赠送标本数为与的乘积，据此列出方程． 【详解】 解：由题意，每位同学赠送的标本数量为件，小组共有名同学， ∴总赠送标本数为件， ∵总赠送标本数为210件， ∴可列方程为． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【分析】 可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 46．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔每个售价应定为50元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 47．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【答案】商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元，根据“平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个”，列出一元二次方程，解方程再根据最快时间将该电热毯的库存清空，即可得出答案． 【详解】 解：设每个电热毯降价元时，利润能达到2100元， 由题意可列方程为， 整理方程得， 解得，， ∵需要尽快清空库存， ∴取较大值20， 答：商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元． 48．（25-26学年九上·陕西安康·期中）某公司今年8月份的生产成本是300万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到10月份生产成本是243万元．求每个月生产成本下降的百分率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个月生产成本下降的百分率为x，根据8月份和10月份的生产成本列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设每个月生产成本下降的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为． 49．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 【答案】（1）     （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； (2) 小问详解： 解：降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则：， 整理得：， 解得：，， ∴每盒月饼的售价为：元或元； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 50．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱，根据现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 51．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）某商品的进价为每件50元，当售价为每件80元时，可销售100件．经市场调研，售价每件每提高1元，销售量将减少5件．当售价每件提高多少元时，销售利润为2880元？ 【答案】当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件，根据销售利润为2880元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 52．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． （1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）销售价应定为40元     （2）这两周的平均增长率为      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，根据商场计划一周的利润达到3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了216个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：销售价应定为40元； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 53．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，每周销售量为180个，若售价每提高1元，销售量每周就会减少10个，王大伯为了每周获得840元利润，并同时让利给顾客售价应定为多少？ 【答案】售价定为元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设售价定为元，根据题意可得销售量为，列方程即可解答，根据题意得到售价和销售量的关系是解答本题的关键． 【详解】 解：设售价定为元， 根据题意可得销售量为， 可列方程， 解得， 需要同时让利给顾客， 售价定为元． 54．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】（1）     （2）20元或40元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； (2) 小问详解： 解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 55．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】（1）1050元     （2）50元      【分析】 （1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． (1) 题详解： 解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． (2) 题详解： 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件， 依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200， 整理，得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 56．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长 【答案】任务1：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为；任务2：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 任务一：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的天平均增长率为x，根据11月26日的票房收入费用为7万元，11月28日的票房收入达到10.08万元，列出方程，解方程即可； 任务二：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据底面面积是列出方程，然后解方程即可． 【详解】 解：任务1：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 57．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价元，那么平均每天可以多售出2件． （1）当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ （2）张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润     （2）张阿姨每天的销售利润不能达到260元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用。 （1）设当每个手工编织挂件降价x元时，根据“张阿姨每天可获得192元利润”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润，列出一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润； (2) 小问详解： 解：张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 理由如下： 设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， 由题意，得， 整理，得， ， 所以该方程没有实数根． 所以张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 58．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）智能充电桩通过技术创新实现了“安全、高效、便捷、经济、环保”的全方位突破，可以为用户提供优质充电服务．某地为了方便居民充电，8月份新安装了200个充电桩，随着居民对智能充电桩需求量的增加，10月份新安装充电桩338个．求该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率． 【答案】该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意列出一元二次方程，求出x的值，并根据题意取舍即可． 【详解】 解：设该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x．由题意，得，                               解得，（不符合题意，舍去）． 故该地9，10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为． 59．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）汉中产茶始于商周，兴于秦汉，盛于唐宋，繁荣于明清，自古就是贡茶名优茶的知名产地．某茶叶店销售成本价为每盒360元的汉中仙毫，经市场调查发现如下信息： 信息一 当售价为每盒430元时，每天可售出20盒 信息二 每盒的售价每降低5元，每天可多售出10盒 （1）若该茶叶店计划进行降价销售，且要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元，那么每盒汉中仙毫的售价应降低多少元？ （2）若该茶叶店销售这种汉中仙毫想要每天获利3500元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每盒汉中仙毫的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）降低20元或40元     （2） 不能达到，理由如下： 设每盒汉中仙毫的售价应降低y元， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 不能达到．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程． （1）设每盒汉中仙毫的售价应降低x元，根据“要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元”列出方程并解答； （2）若每天的利润达到3500元，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式判断该方程是否存在实数解：若存在，则说明每天的利润能达到3500元，否则，则说明每天的利润不能达到3500元． (1) 小问详解： 设每盒汉中仙毫的售价应降低x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每盒汉中仙毫的售价应降低20元或40元； (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县·期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 【答案】（1）；     （2）销售单价应上涨元或元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）依题意得，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶， ∴当这款洗手液的销售单价上涨元时，每天的销售量为瓶， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 解得：，， 答：销售单价应上涨元或元． 61．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元（不计其他费用），据市场调研发现，当这款工艺品的销售单价是50元/件时，每天的销售量是100件，且每件工艺品的售价每提高1元，每天的销售量将减少2件，该公司计划在售价为50元/件的基础上适当提价销售，但销售单价不得超过65元/件． （1）该公司要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品的售价应为多少元？ （2）该公司每天销售这种工艺品盈利能否达到2000元？请计算并说明理由． 【答案】（1）60     （2） 设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据题意，得 ， ， ， 方程无解． 答：该公司每天销售这种工艺品盈利不能达到2000元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利润问题是解题的关键． （1）设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据利润公式列方程，求解即可． （2）方法同第（1），根据利润公式列方程，求解发现，所以方程无解，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据题意，得 ， ， 解得或． ， ． 答：每件工艺品的售价应为60元． (2) 小问详解： 略 62．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为     （2）单价应降低27元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． (1) 小问详解： 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； (2) 小问详解： 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 63．（25-26学年九上·陕西咸阳兴平·期中）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】 解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 64．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）体育是学生综合素质发展的重要组成部分．某体育用品商店为满足学生需求，购人一批篮球进行销售． （1）为吸引顾客，该体育用品商店的工作人员准备制作一个矩形展牌．若该展牌的面积为，且长比宽多，求该展牌的长： （2）已知篮球的进价为50元/个（不计其他成本），当它的售价为80元/个时，每月可售出100个．经过市场调研发现，每个篮球的售价每上涨1元，月销售量将减少5个．若该体育用品商店某月涨价销售篮球，并盈利了2000元，求该体育用品商店该月篮球的售价． 【答案】（1）该展牌的长为     （2）该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该展牌的长为，根据题意列方程求解即可； （2）设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个，根据题意列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该展牌的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 该展牌的长为； (2) 小问详解： 解：设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个． 65．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）洛川苹果肉质细嫩紧致，汁多松脆，酸甜可口，一家水果店以每斤元的价格购进洛川苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤．通过市场调研发现，洛川苹果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．设洛川苹果每斤的售价降低元． （1）该水果店每天洛川苹果的销售量是_____斤；（用含的代数式表示） （2）若该水果店销售洛川苹果想要每天盈利元，且每天至少售出斤，则该水果店应将洛川苹果每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程和不等式的性质解答． （1）根据题意可以用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得水果店需将每斤的售价降低多少元． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 每天的销售量是：（斤）， 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得，， 解得：，， 保证每天至少售出斤， ， 解得， ， 即水果店需将每斤的售价降低1元． 66．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）某款芯片价格由2023年的1600元下降到2025年的900元，则该芯片价格这两年平均每年下降的百分率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设平均每年下降的百分率为，根据指数下降模型，列出方程，通过解方程求得． 【详解】 解：设平均每年下降的百分率为． 由题意，得， 即， 所以（取算术平方根）， 解得． 故答案为：． 67．（25-26学年九上·陕西渭南韩城·期中）“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了场激烈对决列方程求解即可． 【详解】 解：设有支参赛队伍，依题意得， ， ， 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍． 68．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1）     （2）4条      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． (1) 小问详解： 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 69．（25-26学年九上·陕西宝鸡金台区·期中）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 【答案】经过2秒后的面积等于 【分析】 过点Q作于E，根据直角三角形30度角的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图， 过点Q作于E，则． ∵， ∴． ∴． 设经过t秒后的面积等于， 则 根据题意，． ． ． 当时，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于． 【点睛】 此题考查了直角三角形30度角的性质，动点问题，三角形的面积计算公式，解一元二次方程，正确理解直角三角形的性质是解题的关键． 70．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）某品牌童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为100元，销售价为160元时，每天可售出15件，为了庆祝国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价2元，那么平均每天可多售出1件． （1）如果每件童装降价4元，求平均每天盈利多少元； （2）求每件童装降价多少元，平均每天盈利1000元． 【答案】（1）元     （2）每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1000元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总利润每件的销售利润日销售量，即可求出结论； （2）设每件童装降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：每件童装降价4元，则每件盈利为元，每天可售出件， 所以平均每天盈利为：元； (2) 小问详解： 解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元，每天可售出件 根据题意可列方程：， 解这个方程得：，． 所以每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1000元． 71．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接．当的面积为225时，求点P运动的时间． 【答案】点P运动的时间为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键． 设点P运动的时间为，根据题意得到和，再根据勾股定理得到，最后根据三角形面积公式进行列式求解即可． 【详解】 解：设点P运动的时间为， ∵点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动， ∴， ∵点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动， ∴， ∵，且四边形是矩形， ∴，， ∴在中， ， ∴， ∵的面积为225， ∴ ， ∴ 解得， 当时，，， ∴符合题意， 当时，，， ∵， ∴不符合题意舍去， 综上所述，点P运动的时间为． 72．（25-26学年九上·陕西西安临潼区·期中）今年双十一购物节期间，某商店为了促销，决定下调某款服装的价格，已知经过两次降价后，每件服装的价格由125元降到80元，则这款服装平均每次降价的百分率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据降价规律列出方程求解即可． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为x． 经过两次降价，价格关系为， 解得：（不符合题意）． 答：这款服装平均每次降价的百分率为． 故答案为：． 73．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为     （2）销售单价应降低3元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地 “户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据总利润=每千克的利润×销售数量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由到2024年年底的种植面积达到169亩得：， 解得（舍去）， 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解： 设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据每天可获利1750元得：， 整理得：， 解得：． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 74．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 【答案】（1）千克     （2）元     （3）5元      【分析】 本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； (2) 小问详解： 以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； (3) 小问详解： 设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 75．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，实验中学有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（阴影部分），将这块基地分成了20个种植区域（空白部分），其中种植区域面积为．设石板小路的宽为，则根据题意可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，将种植区域看作边长是和的矩形，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 故答案为：． 76．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）李叔叔投资建设了西红柿采摘基地，据悉，年李叔叔的采摘基地经济收益从年的万元升至万元． （1）求该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率； （2）年月份，西红柿成熟并开始采摘销售，若每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量就减少千克．若要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，每千克西红柿应涨价多少元? 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每千克西红柿应涨价元，根据题意列出方程即可求解； (1) 小问详解： 解：设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每千克西红柿应涨价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克西红柿应涨价元． 77．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务：；任务：元/件 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】 解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 78．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10%     （2）每千克甜瓜应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 79．（25-26学年九上·陕西商洛山阳县·期中）全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是     （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元      【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 80．（25-26学年九上·陕西渭南大荔县）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220     （2）参加活动的学生人数为18人      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； (2) 小问详解： 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $