精品解析：陕西西安市阎良区西飞第二中学2025-2026学年度第一学期期中调研九年级数学试题

2025~2026学年度第一学期九年级数学期中调研试题（卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列英文字母中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是上两点，连接，并延长相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 10. 若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，弦平分，若，则_____． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位后过点，则m的值为________． 14. 如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 18. 如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 21. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 22. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 23. 如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 24. 如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． （1）求证：； （2）过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 25. 实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求图中抛物线的函数解析式； （2）若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 26. 探究以下问题： 【探索求知】 （1）如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 （2）如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期九年级数学期中调研试题（卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列英文字母中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形是中心对称图形．进行判断即可． 【详解】解：A选项：它不是中心对称图形； B选项：它是中心对称图形； C选项：它不是中心对称图形； D选项：它不是中心对称图形． 故选：B 2. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程后，通过移项直接求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴； 故选：A． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式，直接读出、的值，得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 4. 如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 6. 为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 7. 如图，是的直径，是上两点，连接，并延长相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 故选：C． 8. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误； ∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵， ∴，故A错误； ∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为， 则，解的， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴， ∴，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 10. 若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 【答案】（其他形式正确也可） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有名同学，则每位同学向其他成员赠送件标本，总赠送标本数为与的乘积，据此列出方程． 【详解】解：由题意，每位同学赠送的标本数量为件，小组共有名同学， ∴总赠送标本数为件， ∵总赠送标本数为210件， ∴可列方程为． 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，弦平分，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补等知识．根据是的直径得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵弦平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位后过点，则m的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象平移，解一元二次方程，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解是解答的关键． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位可得， 把代入得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：3． 14. 如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 因式分解得， ∴，， ∴，． 16. 已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【解析】 【分析】利用这个二次函数对应的一元二次方程根的判别式可得无论为何实数值，这个方程总有实数根，由此即可得证． 【详解】略． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：方程的一个根为， ， 即， 解得，， 的值为或． 18. 如图，点是半圆的圆心，是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点和点（点在点右侧），连接、、，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，的长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． 【详解】解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点，③连接、、，从而得到菱形． 19. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求： ； 【解析】 【分析】利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】略 21. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出,在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点，， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 22. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 23. 如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 24. 如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． （1）求证：； （2）过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 25. 实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求图中抛物线的函数解析式； （2）若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】（1） （2）小军第一次投掷实心球不能得满分 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 26. 探究以下问题： 【探索求知】 （1）如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 （2）如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 【答案】（1）①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $