专题10 一次函数（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期

专题10 一次函数 考点01 函数的概念与表示 考点02 一次函数的概念 考点03 一次函数的图象和性质 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 考点05 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念与表示 1．D 2．C 3．B 4．【答案】（1）18     （2）y＝4x+18     （3）所挂物体质量为8kg      【分析】 （1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． (1) 小问详解： 解：（1）根据表格可知，当时， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． (2) 小问详解： 由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． (3) 小问详解： 把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】 本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 5．【答案】 【分析】 由表格知，距离地面高度增加，温度降低，据此写出随变化的关系式即可； 本题考查函数关系式，找到变量的变化规律是解题的关键． 【详解】 由表格可知，距离地面高度增加，温度降低， 随变化的关系式为； 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查的是列函数关系式及图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．以此类推即可解答． 【详解】 解：由图形可知： 第1个图形中有个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为：． 考点02 一次函数的概念 1．C 2．【答案】（1）     （2）11      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握与x成正比例，即设为． (1)因为与x成正比例，所以可设，又因时，所以，即，从而可求出y与x之间的函数关系式； (2)利用(1)中求得的函数关系式，求出时，y的值即可． (1) 小问详解： 解： 与x成正比例， 设， 又时， ，即 ， 即． 故y与x之间的函数关系式． (2) 小问详解： 解：当时，． 故y的值为11． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设， ∵当时， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 4．【答案】 【分析】 本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 将点代入中，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】 解：点在函数的图像上， 解得：． ，． 故点的坐标为． 5．【答案】0 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】 解：由题意得：且， 解得：． 故答案为：0． 6．【答案】 【分析】 本题考查正比例函数的图象与性质，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求解． 已知正比例函数解析式和函数图象经过的点的纵坐标，将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【详解】 解：因为正比例函数的图象经过点， 所以将代入中，可得：， 两边同时乘以，得：． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1． 根据正比例函数的定义，令，且求出即可． 【详解】 解：∵函数是正比例函数， 且， ，且， ∴． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）不在 由（1）知 ，，点  的坐标为 ， 当时， ∴点不在一次函数的图像上．      【分析】 本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1）     （2） 解：点在直线上，理由如下： 当时， ∴点在直线上．      【分析】 本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令点的纵坐标为即可解题； （2）将点的坐标代入解析式验证即可． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为，且点在轴上， 解得：， ； (2) 小问详解： 略 考点03 一次函数的图象和性质 1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．D 10．A 11．B 12．A 13．A 14．A 15．B 16．C 17．A 18．A 19．D 20．B 21．B 22．D 23．D 24．B 25．【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象的平移．由“上加下减”的原则求解即可． 【详解】 解：将函数的图象向上平移2个单位所得函数图象的解析式为， 故答案为：． 26．【答案】（1） 描点、连线，画出函数图象如图所示． ．     （2）     （3）      【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象； （2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； （3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜． (1) 小问详解： 解：当x=0时，y=-1×0+3=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）； 当y=0时，-x+3=0， 解得：x=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）． (2) 小问详解： 解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3）， ∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=； (3) 小问详解： 解：∵k=-1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵图象上有两点（，），（，），且＞， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”． 27．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的增减性．根据，可得一次函数的函数值y随x的增大而减小解答即可． 【详解】 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为： 28．【答案】> 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，由于直线斜率，函数值随x的增大而减小，因此当时，． 【详解】 解：将点代入直线方程，得； 将点代入直线方程，得； 比较与：， 所以． 故答案为：>． 29．【答案】（1）0，1，2，3     （2） 画出函数图象如图： 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象． （1）代入x的值，求出y值即可； （2）描点、连线，画出函数图象． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 故答案为：0，1，2，3； (2) 小问详解： 略 30．【答案】 【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质．根据函数图象平移的法则，向上平移3个单位后，函数表达式中的常数项增加3，得到平移后的函数表达式，再将点代入平移后的表达式，解方程即可求出b的值，即可作答． 【详解】 解：依题意，一次函数的图象向上平移3个单位后，得到的新函数表达式为， ∵平移后的图象经过点， ∴得， ∴， 解得， 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，此类题目只需要根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．由一次函数判断函数值y随自变量x的值增加而增加，即可求解． 【详解】 解：由题意可知一次函数解析式为： ， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得， 点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，． 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小．根据一次函数，得到函数值随自变量的增大而增大，据此判断即可． 【详解】 解：∵一次函数，， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∵点、在该函数的图象上，并有， ∴， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数．正比例函数图象过第二、四象限时，比例系数k为负数． 【详解】 解：正比例函数的一般形式为（k为常数，），其图象是一条过原点的直线． 当时，图象经过第二象限和第四象限． 因此，满足条件的函数如． 故答案为：（答案不唯一）． 34．【答案】 【分析】 本题考查一次函数的应用，通过待定系数法求解函数关系式即可． 【详解】 解：设v与t之间的函数关系式为， 将点和代入得： ， 解得： ， 故v与t之间的函数关系式为． 35．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象性质，画函数图像，准确描点连线作出函数图象是解题的关键． （1）把，代入到函数解析式中，求值即可； （2）利用描点、连线的方法画图，再根据图象求取值范围即可； (1) 小问详解： ， 当时，；当时，； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由（1）可得，函数经过点，，，函数图象如图所示： 由图象可知，当时，． 故答案是：． 36．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】 解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的性质，包括一次函数的表达式、两直线平行时斜率的关系以及一次函数与坐标轴交点的求法．由两直线平行，得；再根据与横轴交点横坐标是，得点，代入函数解析式求．解题关键在于理解两直线平行时，一次函数中值相等这一性质，准确求出．掌握一次函数与横轴交点的坐标特征，即交点的纵坐标为，通过代入交点坐标求解．即可求出解． 【详解】 解：∵一次函数 平行于函数 ， ∴， ∵一次函数与横轴的交点横坐标是， ∴当时，即点在函数图像上．将点代入， 得， 解得． ∴一次函数表达式为． 故答案为：． 38．【答案】< 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】 解：点在一次函数的图象上， 解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：<． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得 ，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，先求出当时，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵，且是关于的正比例函数， ∴ ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，当时， ∵在中， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为． 40．【答案】 【分析】 本题考查了求一次函数解析式． 由平行关系可知，再代入点即可求解解析式． 【详解】 解：设一次函数表达式为， ∵图象与直线平行， ∴． 将点代入得：， 解得． ∴一次函数表达式为． 故答案为：． 41．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴ ， 解得： ∴； (2) 小问详解： 解：一次函数的解析式为， 直线向上平移个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 42．【答案】（1）；     （2）点的坐标为或．      【分析】 本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法求出解析式即可； （）由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为，根据题意得，然后分当在轴上方时，当在轴下方时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∵点，在直线上， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 由的面积是面积的倍， ∴， 如图，当在轴上方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； 如图，当在轴下方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或． 43．【答案】（1）     （2）点C的坐标为或或．      【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得： ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 44．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的表达式为； (3) 小问详解： 解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 45．【答案】（1）（2）； 【分析】点，带入一次函数，就可求出函数的表达式； 一次函数图象上P到x轴的距离为6，即可求出P的坐标． 【详解】点，带入中， ，可得，． 一次函数的表达式：． 点P为一次函数图象上一点，设， 有一点P到x轴的距离为6，分两种情况讨论． ，解得，此时． ，解得，此时． 故点P的坐标；． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，以及求一次函数上点的特点来求坐标． 46．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P坐标为或或      【分析】 （1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． (1) 小问详解： 解：长方形的顶点分别在轴与轴上， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得 ， 直线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当点P在上时，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为 ； (3) 小问详解： 解：存在， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时，        在中，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q，        ， ， ； 当时，过点D作于点E，        在中， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 47．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】 解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：② ③ ④． 48．【答案】或 【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式、平行线的判定，等腰三角形的性质和判定，两点间的距离等知识点，熟知相关性质进行分类讨论是正确解答此题的关键． 分两种情况：① 点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标．② 点P在点A左侧，根据等腰三角形的性质及两点距离即可求解． 【详解】 解：① 点P在点A右侧，如下图所示，过点作， ， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． ② 点P在点A左侧，如图所示：交于点， ， ， 点在直线上， 设， 当时， ，得， 解得， ， ， 设直线为， 分别代入，， 得 ， 解得 ， 直线为， 时，， ， 故答案为：或． 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 1．C 2．【答案】0 【分析】 本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，根据题意可得一元一次方程的解是一次函数的图象与交点的横坐标，据此可得答案． 【详解】 解：一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 一元一次方程的解是 故答案为：． 3．【答案】（1）3     （2）①；②；③，      【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）① 由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ② 函数可以改写成 ，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③ 根据题意得，令或，解方程即可． (1) 小问详解： 解：令，则，即 故答案为：； (2) 小问详解： ① 解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ② 根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③ 根据题意得， 则或 解得或 故答案为：，． 4．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． (1) 小问详解： 一次函数的图象经过点及点， 把两点的坐标分别代入，得 ， 解得： ， 即一次函数的表达式是； (2) 小问详解： 如图， 当时， ， 即， 因为， 所以， 故此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵直线，和变于点， ∴方程组 的解为 ； (2) 小问详解： 解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，则， ∴， ∴． 考点05 实际问题与一次函数 1．B 2．B 3．B 4．【答案】（1） 描点、连线如图所示：      （2）     （3）若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为      【分析】 本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得： ， 解得： ， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：由题意得：当时， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用一次函数的模型解决实际问题的能力，要先根据题意列出函数关系式，再代数求值，解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解． （1）根据收费标准列出关系式即可； （2）首先判断出9月份的用水量超过但不超过，把代入关系式解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：当时， ∴当用水量超过但不超过时，写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式为：； (2) 小问详解： ∵，， ， ∴此用户9月份用水量超过但不超过， ∴把代入得： ， 解得， ∴此用户9月份用水量为． 6．【答案】21 【分析】 本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式求解y的值． 【详解】 解：设y与x的函数解析式为， 由和在函数图象上， 得方程组： 因此函数解析式为， 当时，． 故答案为：21． 7．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】 第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 8．【答案】 【分析】 本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键，设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的自变量的值即可． 【详解】 解：设，由题意，得： ， 解得 ， ∴， ∴当时，； 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）     （3）李老师选乙商店比较合算，理由见解析      【分析】 （）求出时的值即可求解； （）根据题意解答即可求解； （）求出时和的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：当时， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得， ∴ 的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：选乙商店比较合算．理由如下： 当时，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 10．【答案】（1）2     （2）或     （3）或      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． （1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小； （2）由点的“微距值”为2，点到轴的距离，“微距值”为2，根据定义可知且，进而求解的值； （3）设点的坐标为，由点在直线上，点的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，分别求解和的值确定点坐标． (1) 小问详解： 解：∵点到轴的距离，到轴的距离，且， 点的“微距值”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为2， ∴点到轴的距离， 或； (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， 点在直线上， 情况一：当时 ，此时，即， 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ，满足， 点坐标为； 情况二：当时 ，此时，即， 当时，代入， 得，此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 11．【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】 本题主要考查了一次函数的综合问题，求一次函数解析式，一次函数与几何问题等知识． （1）①先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． ②设点，然后分两种情况当点P在线段上时和当点P在的延长线上时，根据面积的和差关系求解即可． （2）先求出的面积为，再分两种情况，当时和当时，根据面积公式得出点P的横坐标，进而求出的解析式即可． 【详解】 解：（1）① ∵直线分别与x轴和y轴交于点A和点C， 当时，当时， ∴点，点， 设直线的表达式为， ∵直线过点， ∴， 又∵直线过点， ∴， 解得， 所以直线的表达式为． ② ∵，，， ∴，， ∴， 设点， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：或． （2）由题意可得，，，，且， 的面积为， 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为； 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或． 12．【答案】（1）；     （2）该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．      【分析】 （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出日照时间10小时时该太阳能光伏板某日的发电量，再求出路灯12个小时的耗电量，比较即可． (1) 小问详解： 解：设段与之间的函数关系式为， 把和代入解析式得： ， 解得： ， 段与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知段与之间的函数关系式为， 当时， ， ， 该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间． 13．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，一次函数的应用，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时值最小，先求出，，从而可得，进而可得，求出直线的解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 在中，当时，即， 当时，即， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 故答案为：． 14．【答案】（1）90     （2）     （3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内      【分析】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）先由函数图象得在上，则把分别代入，解方程组即可； （3）先整理得分钟，再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． (1) 小问详解： 由图象可知，热水刚倒入保温壶时的温度是90°C， 故答案为：90； (2) 小问详解： 保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系， 设一次函数关系为，把分别代入得： ， 解得 ， 与x之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内；理由如下： 依题意得：分钟， 把代入得： ， 健康饮水的适宜温度是，且 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 15．【答案】（1）每本笔记本30元，每支钢笔40元     （2）总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． (1) 小问详解： 解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得 ， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； (2) 小问详解： 根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 16．【答案】（1）的解析式为，的解析式为     （2）千米     （3）分钟      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线，的函数值即可得到答案； （3）两者相遇时，距离A地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设的解析式为， 把点，代入得 ， 解得 ， ∴的解析式为； 设的解析式为， 把点代入得 解得， ∴的解析式为； (2) 小问详解： 当时， 乙车：， 甲车：， （千米）， ∴2小时后，两车相距千米； (3) 小问详解： 联立 ， 解得 ， ∴行驶分钟后，甲、乙两车相遇． 17．【答案】（1） 描点并连线如图所示：      （2）     （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是．      【分析】 本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得 ， 解得 ， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，得， 解得， ∵经过小时后是， ∴如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是． 18．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查一次函数的图象和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （2）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵点C的横坐标为t， ∴， 当时， ∴． ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵点F在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 19．【答案】（1）（2）的长（3）点坐标是或 【分析】 （1）根据轴对称性质得出点的坐标即可； （2）作垂足为H，求出三边长，设，在中根据勾股定理列方程并解方程即可； （3）分两种情况，作于点T，根据四边形是正方形，利用正方形性质结合三角形全等的判定与性质分别求出即可 【详解】 解：（1），，， ， 由翻折得：，， ， ， 故答案为：； （2）作垂足为H， 直线与x轴、y轴的交点分别为A，B， 当时， ，即， 当时， ，即， ， 设， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 在中， 解得：， 的长； （3）① 如图，作于点T， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， 重合时，有， 点坐标是； ② 如图，作于点H， ， ， ， ， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， 解得：， ， ， ， 综上所述，点坐标是或． 【点睛】 本题考查一次函数应用、轴对称、正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质及勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 20．【答案】（1），；     （2）件．      【分析】 （）根据甲、乙两店的租用方式即可用式表示和的函数解析式； （）分别计算出租用40件汉服时，甲、乙两店的租金，即可求解； 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，根据题意求出一次函数的解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意可得， ， ∴关于的函数关系式为，关于的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当两家汉服体验店的总租金相同时， 则， 解得， ∴当该旅行团租用件汉服时，选择两家汉服体验店的总租金相同． 21．【答案】150 【分析】 本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】 解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得： ， 线段的解析式为． 当时， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时， 千米． 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）     （3）存在，或      【分析】 （1）求出A的坐标，再利用待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点，点分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：对于， 当时， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时， ∴， ∵点，， ∴， ∵点在射线上， ∴且， 当时，点在线段上， ∴； 当时，点在线段的延长线上， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； (3) 小问详解： 解：存在， 设直线的解析式为， 当时，当时， ∴，， 当点为直角顶点时，设，如图： 过点作，设直线m交轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，直线轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23．【答案】（1），     （2）购买300本笔记本，张老师选择去书店更省钱．     （3）去两家书店购买的笔记本一样多．      【分析】 本题考查的是一次函数的应用． （1）根据两家各自的优惠方案列函数关系式即可． （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算，再比较即可． （3）把代入（1）中的函数关系式进行计算，再比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 当时， 当时， ∴ ． (2) 小问详解： 解：当时， （元）； （元）， ∴若要购买300本笔记本，张老师选择去书店更省钱． (3) 小问详解： 解：当时， ∴选择去书店有， 解得：， ∵， ∴选择去书店有， 解得：， ∴张老师准备用3600元购买笔记本，去两家书店购买的笔记本一样多． 24．【答案】（1）；     （2）；     （3）无人机飞行时与地面的距离为．      【分析】 本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）设与飞行的时间之间的关系式为，将，代入计算即可； （3）将代入函数解析式计算即可． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知，升降平台与地面的距离为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设与飞行的时间之间的关系式为， 由函数图象可知，经过，， 即 ， 解得： ， 即与飞行的时间之间的关系式为； (3) 小问详解： 解：当时， 解得：， 即无人机飞行时与地面的距离为． 25．【答案】（1），     （2）所在直线的函数表达式为     （3）乙机器人工作分钟      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）由图象可得，乙机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）设所在直线的函数表达式为，将点和代入求出、即可； （3）把代入，求出值，结合乙停工的时间进一步即可得到答案． (1) 小问详解： 解：乙机器人停工保养的时间为（分钟）， 甲乙合作的效率为：（件/分钟）， （件）， 故答案为：，； (2) 小问详解： 设所在直线的函数表达式为， 将点和代入得 ， 解得 ， 所在直线的函数表达式为； (3) 小问详解： 当时， 解得， （分钟）， 答：乙机器人工作分钟． 26．【答案】（1）     （2）4小时      【分析】 本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （2）根据“时间路程速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：把代入，得， 从A服务区到家的时间为：（小时）， （小时）， 答：小亮从度假村回到自己家共用了4小时． 27．【答案】（1），     （2）欢欢选择甲公司更划算      【分析】 本题考查了一次函数与正比例函数的应用，读懂函数图象和熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据函数图象，求出函数经过的点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出时，再结合函数图象求解即可得． (1) 小问详解： 解：设， 由题意和图象可知，函数图象经过点和，代入得： ， 解得 ， 所以； 设， 由函数图象可知，图象经过点，代入得：， 所以． (2) 小问详解： 解：当时，则，解得， 所以结合函数图象可知，当时，则选择乙公司更划算， 当时，则选择甲、乙公司一样， 当时，则选择甲公司更划算， ∵欢欢一家前往某地“一日游”， ∴， ∴欢欢选择甲公司更划算． 28．【答案】（1）A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元     （2）购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元      【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确找出等量关系列出二元一次方程组，列出函数解析式，是解题关键． （1）设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元，列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得出答案； （2）设总费用为w元，根据两种树苗的单价列出函数解析式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据题意得： ∴ ， 解得： ， 答：A、B两种树苗每棵的价格分别是40元、10元． (2) 小问详解： 解：购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，则购买B种树苗棵， 设总费用为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随t的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，且最小值为， 答：购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元． 29．【答案】（1），     （2）选择乙汉服体验店总租金更便宜      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数关系式，求出值，进行比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； ； (2) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴选择乙汉服体验店总租金更便宜． 30．【答案】（1）300100     （2）线段BC所在直线的函数解析式为：     （3），，      【分析】 （1）根据图象可求解析式，从而可求，进而可求乙的速度； （2）由（1）可求，，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意，建立方程，进而可求解． (1) 小问详解： 解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设， 经过， ， 解得：， ， 当时， 乙的速度为：． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：当时，即：， 解得：， ， 乙行驶的时间为：， ， ， 设段的函数解析式，则有 ， 解得： ， 段的函数解析式为：． (3) 小问详解： 解：由（1）知甲车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 由（2）知乙车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 当， 解得：， 此时乙车还没走，甲乙两车相距； 当乙车开始走时，由图像知此时甲、乙两车相距，乙车开始走之后， 解得：； 当乙车超过甲车后，在没出故障前， 解得：； 乙车出现故障前甲乙两车相距时，． 【点睛】 本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 31．【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为     （2）或      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． (1) 小问详解： 解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得： ，解得 ， 则直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时， 当时， 则点的坐标为或． 32．【答案】（1）：，：     （2）4小时或小时      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式． （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解． (1) 小问详解： 解：设的函数关系式为：， 因为过点，即， 解得， 故， 设的函数关系式为：， 因为过点，即， 所以， 又因为过点，即， 解得， 所以的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：两人相距40千米分两种情况： ① 当相遇后相距40千米时，即， 解得， ② 当相遇前相距40千米时，即， 解得， 所以经过4小时或小时时，两人相距40千米． 33．【答案】（1） 解：关于的函数图象如图所示； 故答案为：一次；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数解析式、一次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用描点法画出图象即可； （2）根据待定系数法进行解题； （3）令，代入解析式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设容器内盛水量与滴水时间之间的函数关系式为， ∵过点，即， ， 又∵过点， 即，解得：， ∴与之间的函数关系式为：； (3) 小问详解： 解：当时，； 答：这个水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为． 34．【答案】（1）当时，     （2）该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉      【分析】 本题考查的是一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题关键， （1）先确定购买质量属于第二档，再根据题意列出函数关系式即可； （2）先确定购买质量属于第二档，再将代入求值即可． (1) 小问详解： 解：当时，购买质量属于第二档，则 ， 故当时，购买的总金额与之间的关系式为． (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以该和田玉爱好者的购买质量为第二档， 将代入中， 解得， 故该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉． 35．【答案】（1）5     （2）     （3）存在，点B的坐标为或      【分析】 （1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中， ∴， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ ， 解得： ， 直线的解析式为：， 令得， ； (3) 小问详解： 解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，     则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 36．【答案】（1）     （2）点Q的坐标为或     （3）      【分析】 （1）根据要求建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式，通过联立解析式求出交点坐标，然后根据割补法求四边形的面积即可； （2）根据等腰三角的性质及判定定理，分情况进行讨论，分别利用勾股定理和两边长度相等，列出方程求解即可； （3）于相交于点，根据给出的示例，利用两直线垂直和待定系数法求出直线的解析式，联立解析式求出交点坐标，然后根据平移的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：如图建立坐标系，，， ∵四边形为长方形，， 且， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立以上两个解析式得， ， 解得 ， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：① 如图所示， 当点在线段上运动，时， 此时，为等腰三角形， 根据勾股定理得， ∴； ② 如图所示， 当点在线段的垂直平分线上时，假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∵，不符合题意； 假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∵，符合题意； ∴； 综上，点Q的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图所示，与相交于点，根据翻折的性质可得， 根据给出的例子可得， 由和得，直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， ， 解得 ， ∴， 点平移到点和点平移到点轨迹一样， ∴由平移的性质得，， 可以看作向左平移了，向下平移了， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了建立平面直角坐标系，一次函数的图象和性质，翻折的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，解题的关键是理解题目给出的建立坐标系的方法． 37．【答案】（）；（）；（）． 【分析】 （）由，则，即，然后证明即可； （）先求出，所以，过作轴于，过作轴于，得是等腰直角三角形，则有，求得，所以，证明，得，，然后通过勾股定理即可求解； （）在轴的正、负半轴上各取一点，连接，使，作直线，证明是等边三角形，得，又是等边三角形，所以，，证明，则，所以，则有点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动，设直线交轴于点，作于点，则，证明，所以，，可得，从而有． 【详解】 解：（）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （）∵与轴、轴分别交于点， ∴，， ∴， ∴， 如图，过作轴于，过作轴于， ∴， ∵， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （）在轴的正、负半轴上各取一点，连接，使，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动， 设直线交轴于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 38．【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，折叠的性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入，求出值，把代入，求出的值，再把点代入，求出值，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】 解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为， 把点代入中， 得，所以， 把代入中，得， 所以直线的表达式为， 所以当时，即点， 所以当，的边上的高为4， 所以； （2）因为点在直线上， 所以， 所以，即直线的表达式为， 当时， 解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ① 如图，当时，由题可得， 所以， 因为轴，所以， 所以， 因为， 所以 ② 如图，当时，由题可知，，， 所以， 所以， 设，则， 在中， 所以， 解得， 所以， 所以， 综上所述，点的坐标为或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 5大高频考点概览 考点01 函数的概念与表示 考点02 一次函数的概念 考点03 一次函数的图象和性质 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 考点05 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念与表示 1．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）下列关系式中，不是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断. 【详解】解：A、，y是x的函数； B、，y是x的函数； C、，y是x的函数； D、，当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应， ∴y不是x的函数. 故选：D. 【点睛】本题考查的是函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数. 2．（25-26学年八上·陕西·期中）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（     ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】 解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查函数的定义以及根据图象判断是否为的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】 解：选项A：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项B：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，符合题意； 选项C：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项D：当取一个大于的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 故选B． 4．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 【答案】（1）18     （2）y＝4x+18     （3）所挂物体质量为8kg      【分析】 （1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． (1) 小问详解： 解：（1）根据表格可知，当时， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． (2) 小问详解： 由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． (3) 小问详解： 把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】 本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小琛对某地距离地面的高度与温度测量得到的表格．写出随变化的关系式　　　　　　　　　　． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 温度 20 14 8 2 【答案】 【分析】 由表格知，距离地面高度增加，温度降低，据此写出随变化的关系式即可； 本题考查函数关系式，找到变量的变化规律是解题的关键． 【详解】 由表格可知，距离地面高度增加，温度降低， 随变化的关系式为； 故答案为：． 6．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为　　　　　　．（无需写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】 本题考查的是列函数关系式及图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．以此类推即可解答． 【详解】 解：由图形可知： 第1个图形中有个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为：． 考点02 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知与x成正比例，当时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算时，y的值． 【答案】（1）     （2）11      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握与x成正比例，即设为． (1)因为与x成正比例，所以可设，又因时，所以，即，从而可求出y与x之间的函数关系式； (2)利用(1)中求得的函数关系式，求出时，y的值即可． (1) 小问详解： 解： 与x成正比例， 设， 又时， ，即 ， 即． 故y与x之间的函数关系式． (2) 小问详解： 解：当时，． 故y的值为11． 3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设， ∵当时， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 4．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知点在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 将点代入中，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】 解：点在函数的图像上， 解得：． ，． 故点的坐标为． 5．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如果函数是正比例函数，那么　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】 解：由题意得：且， 解得：． 故答案为：0． 6．（25-26学年八上·陕西·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正比例函数的图象与性质，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求解． 已知正比例函数解析式和函数图象经过的点的纵坐标，将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【详解】 解：因为正比例函数的图象经过点， 所以将代入中，可得：， 两边同时乘以，得：． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）若函数是正比例函数，则m的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1． 根据正比例函数的定义，令，且求出即可． 【详解】 解：∵函数是正比例函数， 且， ，且， ∴． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【答案】（1）     （2）不在 由（1）知 ，，点  的坐标为 ， 当时， ∴点不在一次函数的图像上．      【分析】 本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）试判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：点在直线上，理由如下： 当时， ∴点在直线上．      【分析】 本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令点的纵坐标为即可解题； （2）将点的坐标代入解析式验证即可． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为，且点在轴上， 解得：， ； (2) 小问详解： 略 考点03 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值． 【详解】 解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴k的值等于． 故选：A． 2．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了正比例函数图象的性质，一次函数图象与其系数的关系，根据正比例函数的增减性可得，则，据此可判断出一次函数图象经过的象限，由此可得答案． 【详解】 解：∵函数中随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限． 故选A． 3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 两条直线关于y轴对称，则它们的对应点关于y轴对称，点关于y轴对称的点的坐标为，利用对称性求出直线关于y轴对称的直线的解析式，与直线比较后建立方程求解。 【详解】 直线关于y轴对称的直线的解析式为：， ∵直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称， ∴，， 即，， 故选：C. 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到（m，n为常数，且）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（     ） A. y的值随着x值的增大而减小 B. 经过第一、二、四象限 C. 与两坐标轴围成的三角形的面积为 D. 与x轴的交点坐标点是 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，求一次函数的解析式．先根据给定点求出原一次函数解析式，再根据平移规律得到新函数解析式，最后逐一判断各选项是否正确，即可作答． 【详解】 解：∵一次函数经过点和， ∴得 ∴ ， ∴原函数为， 将向下平移3个单位长度，得新函数， 即，， ∵， ∴随增大而增大， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故B选项不符合题意； 与轴交点：令，则， 解得，交点为； 与轴交点：令，，交点为； 面积， 故C选项不符合题意； 与轴交点：令，则， 解得，交点为； 故D选项符合题意； 故选：D 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 【详解】 解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故D选项正确，A选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、C选项错误； 故选：D 6．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）与直线平行的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数图象的性质， 两条直线平行的条件是k值相等，给定直线，只需比较各选项可得答案． 【详解】 解：∵一次函数中， 选项A：一次函数中，； 选项B：一次函数中，符合； 选项C：一次函数中，； 选项D：一次函数中， ∴与给定直线平行的是选项B． 故选：B． 7．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出正比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】 解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； C、一次函数图象过第一、二、三象限， ，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过二、四象限，故本选项符合题意； D、一次函数图象过第一、三、四象限， ，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项不符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数 ()图象的平移，一次函数图象的平移规律是：①向左平移m个单位是，向右平移m个单位是，即左右平移时，自变量x左加右减；②向上平移n个单位是，向下平移n个单位是，即上下平移时，b的值上加下减． 根据一次函数图象的平移规律作答即可． 【详解】 解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为， 故选：A． 9．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）若正比例函数的图象经过点，则k的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可得出k的值． 【详解】 解：由题意，将点代入， 可得：， 解得：． 故选：D． 10．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】 解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】 本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 11．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 现将代入解析式，得到，则得到一次函数为，再根据随的增大而增大得，将选项中各点代入函数解析式，验证是否满足即可得到答案． 【详解】 解：一次函数（）的图象经过点， ∴，即， 又∵随的增大而增大， ∴， 则一次函数为， A、将代入得，解得，不符合题意； B、将代入得，解得，符合题意； C、将代入得，解得，不符合题意； D 、将代入得，解得，不符合题意； 故选：B． 12．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点，均在直线上，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正比例函数的图象与性质，通过点的坐标求出，进而得到直线的解析式，再代入点的坐标，即可求解． 【详解】 解：点在直线上， 解得， ， 又点在直线上， 故选：A． 13．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】 解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故B，D选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、三、四象限， 故C选项不符合题意，A选项符合题意． 故选：A． 14．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查待定系数法求正比例函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式求解，设正比例函数解析式为，将点代入求出k的值． 【详解】 解：设正比例函数解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴函数表达式为， 故选：A． 15．（25-26学年八上·陕西·期中）已知一次函数，则该函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数为常数，的图象性质． 根据一次函数中和的符号，确定函数图象经过的象限，从而选出正确选项． 【详解】 解：因为，所以函数图象从左到右呈上升趋势，经过第一、三象限， 又因为，所以函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综上，该一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有选项B符合． 故选：B． 16．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）、是一次函数图象上的不同的两点，则（       ） A.  B.  C.  D. 的符号无法判断 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：一次函数， 该函数y随x的增大而减小， 、是一次函数图象上的两点， 当时，即，， 则， 当时，即，， 则， 故选：C． 17．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】 解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 18．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 无法比较大小 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 19．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）关于一次函数，下列说法中错误的是（       ） A. 该函数的图象是一条直线 B. 该函数的图象一定经过第一象限 C. 该函数的图象向下平移3个单位后一定经过坐标原点 D. 若点，点是该函数图象上的两点，则 【答案】D 【详解】 本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握这些知识点，对选项作出判断．根据一次函数的定义和特征，逐一分析各选项． 【分析】 解：∵ 一次函数（）的图象是直线， ∴ A正确； ∵ 当时，图象与y轴交于正半轴，且直线必经过第一象限， ∴ B正确； ∵ 图象向下平移3个单位后函数为，当时，即经过原点， ∴ C正确； ∵若，则随增大而增大，此时；若，则随 增大而减小，此时， ∴ D错误． 故选：D． 20．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③若时，；④．其中正确的有（     ）个． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出点、坐标，即可求出的面积，可判定②结论正确；直接观察图像，即可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误． 【详解】 解：∵直线经过二，一，四象限， ∴，， ∴，故① 结论错误； ∵当时，当时，； ∴点，， ∴，， ∴的面积，故② 结论正确； 直接观察图像，当时，故③ 结论正确； 将，，代入直线解析式，得 ， ∴， ∴，故④ 结论错误； ∴正确的有：② ③ ． 故选：B． 21．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】 解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 22．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 一次函数y＝kx+b中，k的符号决定了直线的方向，b的符号决定了直线与y轴的交点位置，据此判断即可． 【详解】 ∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0 ∴直线必经过二、四象限； 又∵常数项﹣6＜0 ∴直线与y轴交于负半轴 ∴直线经过第二、三、四象限 故选：D． 【点睛】 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 23．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（       ） A.  B. 随的增大而减小 C. 图像与轴、轴均交于正半轴 D. 点在该函数的图像上 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像的平移等知识，现根据题意，通过函数图像平移得到，由一次函数图像与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像， 一次函数为， A、由一次函数为得到，该选项正确，不符合题意； B、由一次函数为得到，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； C、由一次函数为得到、，图像过一、二、四象限，即图像与轴、轴均交于正半轴，该选项正确，不符合题意； D、由一次函数为，当时，点不在该函数的图像上，该选项错误，符合题意； 故选：D． 24．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查正比例函数的定义，判断一次函数经过的象限，先根据正比例函数的定义，求出的值，进而确定一次函数的解析式，进行判断即可． 【详解】 解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， ∴， ∴关于的一次函数为， ∴一次函数的图像过一，三，四象限，不经过第二象限； 故选：B． 25．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）将函数的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象的平移．由“上加下减”的原则求解即可． 【详解】 解：将函数的图象向上平移2个单位所得函数图象的解析式为， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）求坐标轴所围成的三角形的面积； （3）图象上有两点，，当时，则______填、或． 【答案】（1） 描点、连线，画出函数图象如图所示． ．     （2）     （3）      【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象； （2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； （3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜． (1) 小问详解： 解：当x=0时，y=-1×0+3=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）； 当y=0时，-x+3=0， 解得：x=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）． (2) 小问详解： 解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3）， ∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=； (3) 小问详解： 解：∵k=-1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵图象上有两点（，），（，），且＞， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”． 27．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若点和点在一次函数的图象上，则　　　　　　　　．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的增减性．根据，可得一次函数的函数值y随x的增大而减小解答即可． 【详解】 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为： 28．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）若点，在直线上，则与的大小关系是：　　　　　　　　（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，由于直线斜率，函数值随x的增大而减小，因此当时，． 【详解】 解：将点代入直线方程，得； 将点代入直线方程，得； 比较与：， 所以． 故答案为：>． 29．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）已知一次函数 （1）填表： x … 0 3 6 … y … ___________ ___________ ___________ ___________ … （2）画出该函数图象． 【答案】（1）0，1，2，3     （2） 画出函数图象如图： 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象． （1）代入x的值，求出y值即可； （2）描点、连线，画出函数图象． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 故答案为：0，1，2，3； (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）将一次函数（是常数）的图象向上平移3个单位后，该一次函数图象经过，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质．根据函数图象平移的法则，向上平移3个单位后，函数表达式中的常数项增加3，得到平移后的函数表达式，再将点代入平移后的表达式，解方程即可求出b的值，即可作答． 【详解】 解：依题意，一次函数的图象向上平移3个单位后，得到的新函数表达式为， ∵平移后的图象经过点， ∴得， ∴， 解得， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，此类题目只需要根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．由一次函数判断函数值y随自变量x的值增加而增加，即可求解． 【详解】 解：由题意可知一次函数解析式为： ， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得， 点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）已知一次函数，点、在该函数图象上，则与的大小关系是：　　　　　　　　（填“＞”“＜”或“＝”）； 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小．根据一次函数，得到函数值随自变量的增大而增大，据此判断即可． 【详解】 解：∵一次函数，， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∵点、在该函数的图象上，并有， ∴， 故答案为：． 33．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，某正比例函数的图象过第二、四象限，写出一个满足条件的正比例函数：　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数．正比例函数图象过第二、四象限时，比例系数k为负数． 【详解】 解：正比例函数的一般形式为（k为常数，），其图象是一条过原点的直线． 当时，图象经过第二象限和第四象限． 因此，满足条件的函数如． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大，实验发现声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则与之间的函数关系式为　　　　　． 温度 0 10 20 30 40 … 声速 1380 1430 1480 1530 1580 … 【答案】 【分析】 本题考查一次函数的应用，通过待定系数法求解函数关系式即可． 【详解】 解：设v与t之间的函数关系式为， 将点和代入得： ， 解得： ， 故v与t之间的函数关系式为． 35．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）已知一次函数． （1）补全表格，在如图所示的平面直角坐标系中指出相应的点，画出该一次函数图象； … 0 1 … … _______ _______ … （2）根据图象回答：当时，的取值范围为_____． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象性质，画函数图像，准确描点连线作出函数图象是解题的关键． （1）把，代入到函数解析式中，求值即可； （2）利用描点、连线的方法画图，再根据图象求取值范围即可； (1) 小问详解： ， 当时，；当时，； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由（1）可得，函数经过点，，，函数图象如图所示： 由图象可知，当时，． 故答案是：． 36．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则　　　　　．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】 解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知一次函数与横轴的交点横坐标是，且平行于函数，那么这个一次函数表达式是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的性质，包括一次函数的表达式、两直线平行时斜率的关系以及一次函数与坐标轴交点的求法．由两直线平行，得；再根据与横轴交点横坐标是，得点，代入函数解析式求．解题关键在于理解两直线平行时，一次函数中值相等这一性质，准确求出．掌握一次函数与横轴交点的坐标特征，即交点的纵坐标为，通过代入交点坐标求解．即可求出解． 【详解】 解：∵一次函数 平行于函数 ， ∴， ∵一次函数与横轴的交点横坐标是， ∴当时，即点在函数图像上．将点代入， 得， 解得． ∴一次函数表达式为． 故答案为：． 38．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）若，，三点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　　　　　　　．（填“>”，“<”，“=”） 【答案】< 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】 解：点在一次函数的图象上， 解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：<． 39．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得 ，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，先求出当时，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵，且是关于的正比例函数， ∴ ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，当时， ∵在中， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为． 40．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知一次函数的图象过，且与直线平行，则这个一次函数的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求一次函数解析式． 由平行关系可知，再代入点即可求解解析式． 【详解】 解：设一次函数表达式为， ∵图象与直线平行， ∴． 将点代入得：， 解得． ∴一次函数表达式为． 故答案为：． 41．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴ ， 解得： ∴； (2) 小问详解： 解：一次函数的解析式为， 直线向上平移个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 42．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】（1）；     （2）点的坐标为或．      【分析】 本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法求出解析式即可； （）由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为，根据题意得，然后分当在轴上方时，当在轴下方时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∵点，在直线上， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 由的面积是面积的倍， ∴， 如图，当在轴上方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； 如图，当在轴下方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或． 43．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】（1）     （2）点C的坐标为或或．      【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得： ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 44．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． （1）点A的坐标为            ； （2）求直线的表达式； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的表达式为； (3) 小问详解： 解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 45．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，． 求函数的表达式． 在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标． 【答案】（1）（2）； 【分析】点，带入一次函数，就可求出函数的表达式； 一次函数图象上P到x轴的距离为6，即可求出P的坐标． 【详解】点，带入中， ，可得，． 一次函数的表达式：． 点P为一次函数图象上一点，设， 有一点P到x轴的距离为6，分两种情况讨论． ，解得，此时． ，解得，此时． 故点P的坐标；． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，以及求一次函数上点的特点来求坐标． 46．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P坐标为或或      【分析】 （1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． (1) 小问详解： 解：长方形的顶点分别在轴与轴上， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得 ， 直线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当点P在上时，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为 ； (3) 小问详解： 解：存在， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时，        在中，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q，        ， ， ； 当时，过点D作于点E，        在中， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 47．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是　　　　　　　　　　　．（填序号） 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】 解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：② ③ ④． 48．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式、平行线的判定，等腰三角形的性质和判定，两点间的距离等知识点，熟知相关性质进行分类讨论是正确解答此题的关键． 分两种情况：① 点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标．② 点P在点A左侧，根据等腰三角形的性质及两点距离即可求解． 【详解】 解：① 点P在点A右侧，如下图所示，过点作， ， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． ② 点P在点A左侧，如图所示：交于点， ， ， 点在直线上， 设， 当时， ，得， 解得， ， ， 设直线为， 分别代入，， 得 ， 解得 ， 直线为， 时，， ， 故答案为：或． 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】 解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，根据题意可得一元一次方程的解是一次函数的图象与交点的横坐标，据此可得答案． 【详解】 解：一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 一元一次方程的解是 故答案为：． 3．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝            ； （2）如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是                 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是                 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是                 ． 【答案】（1）3     （2）①；②；③，      【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）① 由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ② 函数可以改写成 ，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③ 根据题意得，令或，解方程即可． (1) 小问详解： 解：令，则，即 故答案为：； (2) 小问详解： ① 解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ② 根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③ 根据题意得， 则或 解得或 故答案为：，． 4．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求此一次函数的表达式； （2）求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． (1) 小问详解： 一次函数的图象经过点及点， 把两点的坐标分别代入，得 ， 解得： ， 即一次函数的表达式是； (2) 小问详解： 如图， 当时， ， 即， 因为， 所以， 故此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是． 5．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． （1）观察图象，写出方程组 的解：_____； （2）求直线与轴围成的的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵直线，和变于点， ∴方程组 的解为 ； (2) 小问详解： 解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，则， ∴， ∴． 考点05 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数、翻折的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先求出，推出，由折叠可知：，，得的长；然后设点，则，根据即可求解． 【详解】 解：对于函数， 令，则；令，则， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∴， 设点，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】 解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 3．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，连接．点C是直线的图象在第三象限上的一点．若，则点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了坐标与图形的性质，正比例函数的性质．先计算的面积，再根据的面积是面积的两倍，设设点C坐标为，其中，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∵点C在直线上，且在第三象限， 故设点C坐标为，其中， 根据面积公式：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故点C坐标为． 故选：B． 4．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 【答案】（1） 描点、连线如图所示：      （2）     （3）若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为      【分析】 本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得： ， 解得： ， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：由题意得：当时， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 收费标准/（元） 2 3 （1）当用水量超过但不超过时，写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式； （2）某用户9月份交水费元，求所用水量． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用一次函数的模型解决实际问题的能力，要先根据题意列出函数关系式，再代数求值，解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解． （1）根据收费标准列出关系式即可； （2）首先判断出9月份的用水量超过但不超过，把代入关系式解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：当时， ∴当用水量超过但不超过时，写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式为：； (2) 小问详解： ∵，， ， ∴此用户9月份用水量超过但不超过， ∴把代入得： ， 解得， ∴此用户9月份用水量为． 6．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为　　　　　　　　　　　． 【答案】21 【分析】 本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式求解y的值． 【详解】 解：设y与x的函数解析式为， 由和在函数图象上， 得方程组： 因此函数解析式为， 当时，． 故答案为：21． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，天然气费（单位：元）与之间的关系式是　　　　　　． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】 第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 8．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上的物体后，弹簧总长为，当弹簧总长为时，所挂的物体重　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键，设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的自变量的值即可． 【详解】 解：设，由题意，得： ， 解得 ， ∴， ∴当时，； 故答案为：． 9．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为             元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）李老师选乙商店比较合算，理由见解析      【分析】 （）求出时的值即可求解； （）根据题意解答即可求解； （）求出时和的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：当时， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得， ∴ 的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：选乙商店比较合算．理由如下： 当时，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 10．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 【答案】（1）2     （2）或     （3）或      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． （1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小； （2）由点的“微距值”为2，点到轴的距离，“微距值”为2，根据定义可知且，进而求解的值； （3）设点的坐标为，由点在直线上，点的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，分别求解和的值确定点坐标． (1) 小问详解： 解：∵点到轴的距离，到轴的距离，且， 点的“微距值”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为2， ∴点到轴的距离， 或； (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， 点在直线上， 情况一：当时 ，此时，即， 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ，满足， 点坐标为； 情况二：当时 ，此时，即， 当时，代入， 得，此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 11．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）【问题探究】 （1）如图1，直线分别与x轴和y轴交于点A和点C，点在y轴上，连接． ①求直线的表达式； ②点P为直线上的动点，若，求点P的坐标； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标中，O为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点P，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出直线的表达式．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②或；（2）或 【分析】 本题主要考查了一次函数的综合问题，求一次函数解析式，一次函数与几何问题等知识． （1）①先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． ②设点，然后分两种情况当点P在线段上时和当点P在的延长线上时，根据面积的和差关系求解即可． （2）先求出的面积为，再分两种情况，当时和当时，根据面积公式得出点P的横坐标，进而求出的解析式即可． 【详解】 解：（1）① ∵直线分别与x轴和y轴交于点A和点C， 当时，当时， ∴点，点， 设直线的表达式为， ∵直线过点， ∴， 又∵直线过点， ∴， 解得， 所以直线的表达式为． ② ∵，，， ∴，， ∴， 设点， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：或． （2）由题意可得，，，，且， 的面积为， 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为； 当时， 则， 即， 解得， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 又∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴点P的坐标为， 此时直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或． 12．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）太阳能光伏板是将太阳能转化为电能，并将电能储存起来的装置．某市政部门计划在路灯上安装一种智能太阳能光伏板，已知该太阳能光伏板某日的发电量与日照时间之间的关系如图所示．（假设早上8：00开始有光照） （1）求段y与x之间的函数关系式； （2）该市政部门规定每日（即日照后）打开路灯，次日的6：00关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为，试判断该太阳能光伏板当日提供的电量能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响） 【答案】（1）；     （2）该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．      【分析】 （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出日照时间10小时时该太阳能光伏板某日的发电量，再求出路灯12个小时的耗电量，比较即可． (1) 小问详解： 解：设段与之间的函数关系式为， 把和代入解析式得： ， 解得： ， 段与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知段与之间的函数关系式为， 当时， ， ， 该太阳能光伏板当日提供的电量能使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间． 13．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，一次函数的应用，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时值最小，先求出，，从而可得，进而可得，求出直线的解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 在中，当时，即， 当时，即， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）热水刚倒入保温壶时的温度是___________； （2）求y与x之间的关系式； （3）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 【答案】（1）90     （2）     （3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内      【分析】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）先由函数图象得在上，则把分别代入，解方程组即可； （3）先整理得分钟，再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． (1) 小问详解： 由图象可知，热水刚倒入保温壶时的温度是90°C， 故答案为：90； (2) 小问详解： 保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系， 设一次函数关系为，把分别代入得： ， 解得 ， 与x之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内；理由如下： 依题意得：分钟， 把代入得： ， 健康饮水的适宜温度是，且 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 15．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】（1）每本笔记本30元，每支钢笔40元     （2）总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． (1) 小问详解： 解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得 ， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； (2) 小问详解： 根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 16．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车与地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，分别表示两辆汽车的与的关系． （1）求，分别表示的两辆汽车的与的关系式； （2）2小时后，两车相距多少千米？ （3）行驶多长时间的，甲、乙两车相遇？ 【答案】（1）的解析式为，的解析式为     （2）千米     （3）分钟      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线，的函数值即可得到答案； （3）两者相遇时，距离A地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设的解析式为， 把点，代入得 ， 解得 ， ∴的解析式为； 设的解析式为， 把点代入得 解得， ∴的解析式为； (2) 小问详解： 当时， 乙车：， 甲车：， （千米）， ∴2小时后，两车相距千米； (3) 小问详解： 联立 ， 解得 ， ∴行驶分钟后，甲、乙两车相遇． 17．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】（1） 描点并连线如图所示：      （2）     （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是．      【分析】 本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得 ， 解得 ， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，得， 解得， ∵经过小时后是， ∴如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是． 18．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查一次函数的图象和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （2）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵点C的横坐标为t， ∴， 当时， ∴． ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵点F在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 19．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）（1）问题发现：如图1，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．将纸片沿AB翻折，得到点O的对应点为，则点的坐标是______． （2）问题探究：如图2，直线与x轴、y轴的交点分别为A，B，若的平分线与y轴交于点C，求的长． （3）问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品．现有一块形状为四边形ABDC的设计图纸，如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是，，，．为了设计出图案，计划在这个四边形的边上找一点E，沿着画出两条分割线，使得平分请问是否存在点E符合要求?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）的长（3）点坐标是或 【分析】 （1）根据轴对称性质得出点的坐标即可； （2）作垂足为H，求出三边长，设，在中根据勾股定理列方程并解方程即可； （3）分两种情况，作于点T，根据四边形是正方形，利用正方形性质结合三角形全等的判定与性质分别求出即可 【详解】 解：（1），，， ， 由翻折得：，， ， ， 故答案为：； （2）作垂足为H， 直线与x轴、y轴的交点分别为A，B， 当时， ，即， 当时， ，即， ， 设， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 在中， 解得：， 的长； （3）① 如图，作于点T， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， 重合时，有， 点坐标是； ② 如图，作于点H， ， ， ， ， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中， 解得：， ， ， ， 综上所述，点坐标是或． 【点睛】 本题考查一次函数应用、轴对称、正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质及勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 20．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）西安屡登国内热门旅游城市榜单，是文旅热门打卡城市，同时也带火了汉服体验.某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是元/件、元/件，国庆期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过件时，按原价收取租金；若租用件以上，超出件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用：件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式； （2）当该旅行团租用多少件汉服时，选择两家汉服体验店的总租金相同? 【答案】（1），；     （2）件．      【分析】 （）根据甲、乙两店的租用方式即可用式表示和的函数解析式； （）分别计算出租用40件汉服时，甲、乙两店的租金，即可求解； 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，根据题意求出一次函数的解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意可得， ， ∴关于的函数关系式为，关于的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当两家汉服体验店的总租金相同时， 则， 解得， ∴当该旅行团租用件汉服时，选择两家汉服体验店的总租金相同． 21．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距　　　　　　千米． 【答案】150 【分析】 本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】 解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得： ， 线段的解析式为． 当时， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时， 千米． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，或      【分析】 （1）求出A的坐标，再利用待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点，点分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：对于， 当时， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时， ∴， ∵点，， ∴， ∵点在射线上， ∴且， 当时，点在线段上， ∴； 当时，点在线段的延长线上， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； (3) 小问详解： 解：存在， 设直线的解析式为， 当时，当时， ∴，， 当点为直角顶点时，设，如图： 过点作，设直线m交轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，直线轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为探索中华优秀传统文化与现代科技的深度融合，激发学生的文化自信与创新精神．学校以“争做时代先锋少年”为主题，举办了一场别开生面的演讲比赛、张老师去商店购买笔记本作为奖品、两家书店以10元/本的标价出售相同的笔记本．为了让利酬宾，、两家书店给出如下优惠： 书店：该笔记本按标价的9折出售； 书店：一次性购买该笔记本不超过200本，按标价出售，超过200本的部分按标价的8折出售、 （1）若购买笔记本的数量为（单位：本），到，两家书店购买笔记本支付的金额分别为，（单位：元），请写出与之间的关系式； （2）若要购买300本笔记本，张老师选择去哪家书店更省钱？ （3）若张老师准备用3600元购买笔记本，去两家书店购买的笔记本一样多吗？ 【答案】（1），     （2）购买300本笔记本，张老师选择去书店更省钱．     （3）去两家书店购买的笔记本一样多．      【分析】 本题考查的是一次函数的应用． （1）根据两家各自的优惠方案列函数关系式即可． （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算，再比较即可． （3）把代入（1）中的函数关系式进行计算，再比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ， 当时， 当时， ∴ ． (2) 小问详解： 解：当时， （元）； （元）， ∴若要购买300本笔记本，张老师选择去书店更省钱． (3) 小问详解： 解：当时， ∴选择去书店有， 解得：， ∵， ∴选择去书店有， 解得：， ∴张老师准备用3600元购买笔记本，去两家书店购买的笔记本一样多． 24．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．要求无人机从距离地面一定距离的升降平台起飞工作人员通过记录仪得到其中一架无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）升降平台与地面的距离为_____； （2）求该无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的关系式； （3）无人机飞行多长时间时与地面的距离为？ 【答案】（1）；     （2）；     （3）无人机飞行时与地面的距离为．      【分析】 本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）设与飞行的时间之间的关系式为，将，代入计算即可； （3）将代入函数解析式计算即可． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知，升降平台与地面的距离为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设与飞行的时间之间的关系式为， 由函数图象可知，经过，， 即 ， 解得： ， 即与飞行的时间之间的关系式为； (3) 小问详解： 解：当时， 解得：， 即无人机飞行时与地面的距离为． 25．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）乙机器人停工保养的时间为______分钟，______； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 【答案】（1），     （2）所在直线的函数表达式为     （3）乙机器人工作分钟      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）由图象可得，乙机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）设所在直线的函数表达式为，将点和代入求出、即可； （3）把代入，求出值，结合乙停工的时间进一步即可得到答案． (1) 小问详解： 解：乙机器人停工保养的时间为（分钟）， 甲乙合作的效率为：（件/分钟）， （件）， 故答案为：，； (2) 小问详解： 设所在直线的函数表达式为， 将点和代入得 ， 解得 ， 所在直线的函数表达式为； (3) 小问详解： 当时， 解得， （分钟）， 答：乙机器人工作分钟． 26．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 【答案】（1）     （2）4小时      【分析】 本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （2）根据“时间路程速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：把代入，得， 从A服务区到家的时间为：（小时）， （小时）， 答：小亮从度假村回到自己家共用了4小时． 27．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）欢欢一家前往某地“一日游”，计划租用汽车自驾出游．根据所给信息，解答下列问题： 甲公司：按日收取固定租金90元，另外再按租车时间（小时）计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间（小时）计费，每小时租金30元． 方案一：选择甲公司；方案二：选择乙公司．选择哪个方案合理呢？ （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； （2）欢欢选择哪一家租车公司更划算． 【答案】（1），     （2）欢欢选择甲公司更划算      【分析】 本题考查了一次函数与正比例函数的应用，读懂函数图象和熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据函数图象，求出函数经过的点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出时，再结合函数图象求解即可得． (1) 小问详解： 解：设， 由题意和图象可知，函数图象经过点和，代入得： ， 解得 ， 所以； 设， 由函数图象可知，图象经过点，代入得：， 所以． (2) 小问详解： 解：当时，则，解得， 所以结合函数图象可知，当时，则选择乙公司更划算， 当时，则选择甲、乙公司一样， 当时，则选择甲公司更划算， ∵欢欢一家前往某地“一日游”， ∴， ∴欢欢选择甲公司更划算． 28．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗30棵，种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进种树苗24棵，种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变） （1），两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，应如何购买才能最省钱？此时总费用为多少元？ 【答案】（1）A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元     （2）购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元      【分析】 本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确找出等量关系列出二元一次方程组，列出函数解析式，是解题关键． （1）设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元，列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得出答案； （2）设总费用为w元，根据两种树苗的单价列出函数解析式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据题意得： ∴ ， 解得： ， 答：A、B两种树苗每棵的价格分别是40元、10元． (2) 小问详解： 解：购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，则购买B种树苗棵， 设总费用为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随t的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，且最小值为， 答：购买A种树苗14棵，B种树苗28棵才能最省钱，此时总费用为840元． 29．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）洛邑古城是洛阳文旅热门打卡地，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出关于的函数关系式； （2）若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 【答案】（1），     （2）选择乙汉服体验店总租金更便宜      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数关系式，求出值，进行比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； ； (2) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴选择乙汉服体验店总租金更便宜． 30．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）（多选）某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修．当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）a______，乙车的速度是______ km/h． （2）求线段BC所在直线的函数解析式． （3）直接写出乙车出现故障前甲乙两车相距时x的值． 【答案】（1）300100     （2）线段BC所在直线的函数解析式为：     （3），，      【分析】 （1）根据图象可求解析式，从而可求，进而可求乙的速度； （2）由（1）可求，，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意，建立方程，进而可求解． (1) 小问详解： 解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设， 经过， ， 解得：， ， 当时， 乙的速度为：． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：当时，即：， 解得：， ， 乙行驶的时间为：， ， ， 设段的函数解析式，则有 ， 解得： ， 段的函数解析式为：． (3) 小问详解： 解：由（1）知甲车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 由（2）知乙车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 当， 解得：， 此时乙车还没走，甲乙两车相距； 当乙车开始走时，由图像知此时甲、乙两车相距，乙车开始走之后， 解得：； 当乙车超过甲车后，在没出故障前， 解得：； 乙车出现故障前甲乙两车相距时，． 【点睛】 本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 31．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为     （2）或      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． (1) 小问详解： 解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得： ，解得 ， 则直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时， 当时， 则点的坐标为或． 32．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； （2）经过多长时间，两人相距40千米？ 【答案】（1）：，：     （2）4小时或小时      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式． （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解． (1) 小问详解： 解：设的函数关系式为：， 因为过点，即， 解得， 故， 设的函数关系式为：， 因为过点，即， 所以， 又因为过点，即， 解得， 所以的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：两人相距40千米分两种情况： ① 当相遇后相距40千米时，即， 解得， ② 当相遇前相距40千米时，即， 解得， 所以经过4小时或小时时，两人相距40千米． 33．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据： 时间 0 5 15 20 … 盛水量 5 20 50 65 … （1）请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数； （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量． 【答案】（1） 解：关于的函数图象如图所示； 故答案为：一次；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数解析式、一次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用描点法画出图象即可； （2）根据待定系数法进行解题； （3）令，代入解析式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设容器内盛水量与滴水时间之间的函数关系式为， ∵过点，即， ， 又∵过点， 即，解得：， ∴与之间的函数关系式为：； (3) 小问详解： 解：当时，； 答：这个水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为． 34．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）为了庆祝国庆，某和田玉专卖店在国庆期间推出促销活动，下表是此专卖店贴出的购买质量及分档计费标准： 购买质量（x/克） 单价（元/克） 300 240 160 （1）当时，写出购买的总金额与之间的关系式； （2）已知某和田玉爱好者在该店购买和田玉，最后付款了61800元，请问该和田玉爱好者共购买了多少克的和田玉？ 【答案】（1）当时，     （2）该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉      【分析】 本题考查的是一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题关键， （1）先确定购买质量属于第二档，再根据题意列出函数关系式即可； （2）先确定购买质量属于第二档，再将代入求值即可． (1) 小问详解： 解：当时，购买质量属于第二档，则 ， 故当时，购买的总金额与之间的关系式为． (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以该和田玉爱好者的购买质量为第二档， 将代入中， 解得， 故该和田玉爱好者共购买了220克的和田玉． 35．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图1，等腰直角三角形中，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为             ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5     （2）     （3）存在，点B的坐标为或      【分析】 （1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中， ∴， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ ， 解得： ， 直线的解析式为：， 令得， ； (3) 小问详解： 解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，     则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 36．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，点E是边上的一点，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）点Q的坐标为或     （3）      【分析】 （1）根据要求建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式，通过联立解析式求出交点坐标，然后根据割补法求四边形的面积即可； （2）根据等腰三角的性质及判定定理，分情况进行讨论，分别利用勾股定理和两边长度相等，列出方程求解即可； （3）于相交于点，根据给出的示例，利用两直线垂直和待定系数法求出直线的解析式，联立解析式求出交点坐标，然后根据平移的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：如图建立坐标系，，， ∵四边形为长方形，， 且， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立以上两个解析式得， ， 解得 ， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：① 如图所示， 当点在线段上运动，时， 此时，为等腰三角形， 根据勾股定理得， ∴； ② 如图所示， 当点在线段的垂直平分线上时，假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∵，不符合题意； 假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∵，符合题意； ∴； 综上，点Q的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图所示，与相交于点，根据翻折的性质可得， 根据给出的例子可得， 由和得，直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， ， 解得 ， ∴， 点平移到点和点平移到点轨迹一样， ∴由平移的性质得，， 可以看作向左平移了，向下平移了， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了建立平面直角坐标系，一次函数的图象和性质，翻折的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，解题的关键是理解题目给出的建立坐标系的方法． 37．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）（1）如图，与都是等腰三角形，，且，则与的数量关系是______； （2）如图，直线：与轴、轴分别交于点，在第二象限内直线上取一点，使得点到原点的距离等于，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形，若点为的中点，连接，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】 （）由，则，即，然后证明即可； （）先求出，所以，过作轴于，过作轴于，得是等腰直角三角形，则有，求得，所以，证明，得，，然后通过勾股定理即可求解； （）在轴的正、负半轴上各取一点，连接，使，作直线，证明是等边三角形，得，又是等边三角形，所以，，证明，则，所以，则有点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动，设直线交轴于点，作于点，则，证明，所以，，可得，从而有． 【详解】 解：（）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （）∵与轴、轴分别交于点， ∴，， ∴， ∴， 如图，过作轴于，过作轴于， ∴， ∵， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （）在轴的正、负半轴上各取一点，连接，使，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动， 设直线交轴于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 38．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，折叠的性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入，求出值，把代入，求出的值，再把点代入，求出值，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】 解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为， 把点代入中， 得，所以， 把代入中，得， 所以直线的表达式为， 所以当时，即点， 所以当，的边上的高为4， 所以； （2）因为点在直线上， 所以， 所以，即直线的表达式为， 当时， 解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ① 如图，当时，由题可得， 所以， 因为轴，所以， 所以， 因为， 所以 ② 如图，当时，由题可知，，， 所以， 所以， 设，则， 在中， 所以， 解得， 所以， 所以， 综上所述，点的坐标为或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 5大高频考点概览 考点01 函数的概念与表示 考点02 一次函数的概念 考点03 一次函数的图象和性质 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 考点05 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念与表示 1．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）下列关系式中，不是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西·期中）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（     ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 3．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小琛对某地距离地面的高度与温度测量得到的表格．写出随变化的关系式　　　　　　　　　　． 距离地面的高度 0 1 2 3 4 温度 20 14 8 2 6．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为　　　　　　．（无需写出自变量的取值范围） 考点02 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知与x成正比例，当时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算时，y的值． 3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 4．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知点在函数的图像上，求点的坐标． 5．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如果函数是正比例函数，那么　　　　　　． 6．（25-26学年八上·陕西·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为　　　　　　． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）若函数是正比例函数，则m的值是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 9．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）试判断点是否在直线上，并说明理由． 考点03 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到（m，n为常数，且）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（     ） A. y的值随着x值的增大而减小 B. 经过第一、二、四象限 C. 与两坐标轴围成的三角形的面积为 D. 与x轴的交点坐标点是 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）与直线平行的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）若正比例函数的图象经过点，则k的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点，均在直线上，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·陕西·期中）已知一次函数，则该函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）、是一次函数图象上的不同的两点，则（       ） A.  B.  C.  D. 的符号无法判断 17．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 无法比较大小 19．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）关于一次函数，下列说法中错误的是（       ） A. 该函数的图象是一条直线 B. 该函数的图象一定经过第一象限 C. 该函数的图象向下平移3个单位后一定经过坐标原点 D. 若点，点是该函数图象上的两点，则 20．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③若时，；④．其中正确的有（     ）个． A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（       ） A.  B. 随的增大而减小 C. 图像与轴、轴均交于正半轴 D. 点在该函数的图像上 24．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 25．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）将函数的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为　　　　． 26．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）求坐标轴所围成的三角形的面积； （3）图象上有两点，，当时，则______填、或． 27．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若点和点在一次函数的图象上，则　　　　　　　　．（用“”“”或“”连接） 28．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）若点，在直线上，则与的大小关系是：　　　　　　　　（填“>”“<”或“=”） 29．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）已知一次函数 （1）填表： x … 0 3 6 … y … ___________ ___________ ___________ ___________ … （2）画出该函数图象． 30．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）将一次函数（是常数）的图象向上平移3个单位后，该一次函数图象经过，则　　　　　　． 31．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）已知一次函数，点、在该函数图象上，则与的大小关系是：　　　　　　　　（填“＞”“＜”或“＝”）； 33．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，某正比例函数的图象过第二、四象限，写出一个满足条件的正比例函数：　　　　　　　； 34．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大，实验发现声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则与之间的函数关系式为　　　　　． 温度 0 10 20 30 40 … 声速 1380 1430 1480 1530 1580 … 35．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）已知一次函数． （1）补全表格，在如图所示的平面直角坐标系中指出相应的点，画出该一次函数图象； … 0 1 … … _______ _______ … （2）根据图象回答：当时，的取值范围为_____． 36．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则　　　　　．（填“”“”或“”） 37．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知一次函数与横轴的交点横坐标是，且平行于函数，那么这个一次函数表达式是　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）若，，三点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　　　　　　　．（填“>”，“<”，“=”） 39．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 40．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）已知一次函数的图象过，且与直线平行，则这个一次函数的表达式为　　　　　　． 41．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 42．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 43．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 44．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． （1）点A的坐标为            ； （2）求直线的表达式； （3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，． 求函数的表达式． 在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标． 46．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是　　　　　　　　　　　．（填序号） 48．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是　　　　　　． 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为　　　　　　． 3．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝            ； （2）如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是                 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是                 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是                 ． 4．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求此一次函数的表达式； （2）求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 5．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． （1）观察图象，写出方程组 的解：_____； （2）求直线与轴围成的的面积． 考点05 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，连接．点C是直线的图象在第三象限上的一点．若，则点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； （2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； （3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 5．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 收费标准/（元） 2 3 （1）当用水量超过但不超过时，写出应交水费（元）与月用水量之间的关系式； （2）某用户9月份交水费元，求所用水量． 6．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，天然气费（单位：元）与之间的关系式是　　　　　　． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 8．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上的物体后，弹簧总长为，当弹簧总长为时，所挂的物体重　　　　　　． 9．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为             元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 10．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 11．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）【问题探究】 （1）如图1，直线分别与x轴和y轴交于点A和点C，点在y轴上，连接． ①求直线的表达式； ②点P为直线上的动点，若，求点P的坐标； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标中，O为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点P，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出直线的表达式．（小路的宽度忽略不计） 12．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）太阳能光伏板是将太阳能转化为电能，并将电能储存起来的装置．某市政部门计划在路灯上安装一种智能太阳能光伏板，已知该太阳能光伏板某日的发电量与日照时间之间的关系如图所示．（假设早上8：00开始有光照） （1）求段y与x之间的函数关系式； （2）该市政部门规定每日（即日照后）打开路灯，次日的6：00关闭路灯，若路灯亮灯后每小时的耗电量为，试判断该太阳能光伏板当日提供的电量能否使路灯达到该市政部门规定的亮灯时间．（忽略其他因素对电能储存及消耗的影响） 13．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）热水刚倒入保温壶时的温度是___________； （2）求y与x之间的关系式； （3）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 15．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 16．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车与地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与的关系． （1）求，分别表示的两辆汽车的与的关系式； （2）2小时后，两车相距多少千米？ （3）行驶多长时间的，甲、乙两车相遇？ 17．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 18．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 19．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）（1）问题发现：如图1，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．将纸片沿AB翻折，得到点O的对应点为，则点的坐标是______． （2）问题探究：如图2，直线与x轴、y轴的交点分别为A，B，若的平分线与y轴交于点C，求的长． （3）问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品．现有一块形状为四边形ABDC的设计图纸，如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是，，，．为了设计出图案，计划在这个四边形的边上找一点E，沿着画出两条分割线，使得平分请问是否存在点E符合要求?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）西安屡登国内热门旅游城市榜单，是文旅热门打卡城市，同时也带火了汉服体验.某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是元/件、元/件，国庆期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过件时，按原价收取租金；若租用件以上，超出件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用：件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式； （2）当该旅行团租用多少件汉服时，选择两家汉服体验店的总租金相同? 21．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距　　　　　　千米． 22．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 23．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为探索中华优秀传统文化与现代科技的深度融合，激发学生的文化自信与创新精神．学校以“争做时代先锋少年”为主题，举办了一场别开生面的演讲比赛、张老师去商店购买笔记本作为奖品、、两家书店以10元/本的标价出售相同的笔记本．为了让利酬宾，、两家书店给出如下优惠： 书店：该笔记本按标价的9折出售； 书店：一次性购买该笔记本不超过200本，按标价出售，超过200本的部分按标价的8折出售、 （1）若购买笔记本的数量为（单位：本），到，两家书店购买笔记本支付的金额分别为，（单位：元），请写出与之间的关系式； （2）若要购买300本笔记本，张老师选择去哪家书店更省钱？ （3）若张老师准备用3600元购买笔记本，去两家书店购买的笔记本一样多吗？ 24．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．要求无人机从距离地面一定距离的升降平台起飞工作人员通过记录仪得到其中一架无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）升降平台与地面的距离为_____； （2）求该无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的关系式； （3）无人机飞行多长时间时与地面的距离为？ 25．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）乙机器人停工保养的时间为______分钟，______； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 26．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 27．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）欢欢一家前往某地“一日游”，计划租用汽车自驾出游．根据所给信息，解答下列问题： 甲公司：按日收取固定租金90元，另外再按租车时间（小时）计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间（小时）计费，每小时租金30元． 方案一：选择甲公司；方案二：选择乙公司．选择哪个方案合理呢？ （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式； （2）欢欢选择哪一家租车公司更划算． 28．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗30棵，种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进种树苗24棵，种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变） （1），两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买，两种树苗共42棵，其中种树苗棵，应如何购买才能最省钱？此时总费用为多少元？ 29．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）洛邑古城是洛阳文旅热门打卡地，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出关于的函数关系式； （2）若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 30．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）（多选）某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修．当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）a______，乙车的速度是______ km/h． （2）求线段BC所在直线的函数解析式． （3）直接写出乙车出现故障前甲乙两车相距时x的值． 31．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 32．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； （2）经过多长时间，两人相距40千米？ 33．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据： 时间 0 5 15 20 … 盛水量 5 20 50 65 … （1）请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数； （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量． 34．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）为了庆祝国庆，某和田玉专卖店在国庆期间推出促销活动，下表是此专卖店贴出的购买质量及分档计费标准： 购买质量（x/克） 单价（元/克） 300 240 160 （1）当时，写出购买的总金额与之间的关系式； （2）已知某和田玉爱好者在该店购买和田玉，最后付款了61800元，请问该和田玉爱好者共购买了多少克的和田玉？ 35．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为             ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 37．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）（1）如图，与都是等腰三角形，，，且，则与的数量关系是______； （2）如图，直线：与轴、轴分别交于点，在第二象限内直线上取一点，使得点到原点的距离等于，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形，若点为的中点，连接，求长的最小值． 38．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $