专题09 勾股定理（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期

专题09 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】 解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长（cm）， ∴阴影部分的面积=10×2=20（cm2）． 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 2．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（     ） A. 23 B. 17 C. 15 D. 13 【答案】B 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】 解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为8， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故选：B 3．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【详解】 解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 4．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）下列是勾股数的是（     ） A. 1.5，2，2.5 B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. 5，11，12 【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键；勾股数是指三个正整数，满足勾股定理（其中为最大数）；通过计算各选项的平方和与平方，判断是否相等且均为正整数即可． 【详解】 解：∵勾股数需为正整数且满足， 对于选项A：1.5，2，2.5不是正整数，∴不符合； 对于选项B：，，，∴不满足； 对于选项C：，，，∴满足； 对于选项D：，，，∴不满足； 故选C． 5．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用勾股定理求出，再加上点B表示的数可得结果． 【详解】 解：由题意得：， 数轴上点表示的实数是：， 故选：B． 【点睛】 本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理求出相应线段的长度是解题的关键． 6．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（     ） A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】 解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 7．（25-26学年八上·陕西·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. ，， C. 13，14，15 D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股数的定义，勾股数必须是三个正整数，且满足勾股定理． 逐项验证各选项是否符合勾股数的定义即可． 【详解】 解：A．； B．，，不是正整数； C．； D．，且均为正整数； 故选：D． 8．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（       ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】 解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 9．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（   ） A. 嘉嘉 B. 琪琪 C. 亮亮 D. 明明 【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件． 根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】 解：A．不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B．，不是勾股数，故本选项不符合题意； C．是勾股数，本选项符合题意； D．，不是勾股数，本选项不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文：波平如镜一湖面半尺高处生红莲亭亭多姿湖中里突遭狂风吹一边离开原处二尺远花贴湖面象睡莲 A. 3.5尺 B. 3.75尺 C. 4尺 D. 4.5尺 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 故选：B． 11．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（       ） A. 7 B. 17 C. 19 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股数，勾股数要求三个正整数，且满足，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不是正整数，故该选项不符合题意； 故选：B 12．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，，，平分交于点，则线段为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等面积法等知识，过作于点，由角平分线性质可得，再通过勾股定理得出，再由，求出，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴， 故选：． 13．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，则（       ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 10 【答案】D 【分析】 本题主要考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形和折叠的性质，可得，，然后设，则，，在和 中，利用勾股定理，即可求解． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ， 由题意得：， 设，则，． 在 中，由勾股定理得∶ ， ∴， 在 中，由勾股定理得∶ ， 解得：． 即． 故选：D． 14．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（     ）． A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】 解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 15．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（     ） A. 3或5或7 B. 4或 C. 4或或7 D. 4或7 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题． 当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】 解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ① 当点在上时， ， ； ， 时， ② 当点在上时， 同理可得：， ， 时， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 故选D． 16．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在中，点是的中点，连接并延长至点，使，作交的延长线于点，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，实数的混合运算，解题关键是熟练掌握勾股定理．利用勾股定理求得的长，证明，求得，，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 17．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】 解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：D． 18．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为6，8，24，则正方形的面积是（       ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】 解：由图可知，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故选：B 19．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（       ） A.  B.  C. 10 D.  【答案】A 【分析】 本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 20．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 21．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是　　　　　　　(用字母表示)． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】 解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】 解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，数轴上点A表示的数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，利用数轴上的点表示实数，解题的关键是掌握勾股定理及数轴． 根据勾股定理得，然后根据两点之间的距离，求数轴上点表示的数即可． 【详解】 解：根据勾股定理得， ∴， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】 设AB边上的高为h 如图，由网格的特点得： 解得 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键． 25．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，在中，为的中点，求边的长． 【答案】18 【分析】 本题考查了勾股定理，中点的定义，掌握这些是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据中点的定义得出的长即可． 【详解】 解：在中，由勾股定理可得： ， 又因为为的中点， 所以． 26．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　　　　　米 【答案】 【分析】 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，    由题意可得，米，米， 米， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 27．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，则点P到原点的距离为　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式：是解题的关键；根据点P坐标和原点坐标，直接代入公式计算即可． 【详解】 解：点P坐标为，原点坐标为，则点P到原点的距离为； 故答案为：． 28．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】 解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 30．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　　　　　． 【答案】10m 【分析】 作BE⊥DC于点E，首先由题意得：AD=BE=3m，AB=DE=2m，然后根据DC=6米，得到EC=4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可． 【详解】 解：如图，作BE⊥DC于点E， 由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m， ∵DC＝6m， ∴EC＝4m， ∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC＝＝5（m）， ∴大树的高度为5+5＝10（m）， 故答案为：10m． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键． 31．（25-26学年八上·陕西·期中）请在数轴上找到表示的点．（作图过程中需标出必要线段的长） 【答案】如图，C即为表示的点． 【分析】 本题考查数轴上无理数的表示，解题的关键是利用勾股定理构造出长度为的线段，再结合数轴的平移来确定表示的点． 先构造直角三角形，使其斜边长度为，以数轴上的点为圆心，以该对角线长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点，从而找到表示的点． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，为原点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与数轴上的点表示数，运用数形结合思想．解题关键是先利用勾股定理求出的长度（即的长度），再结合点A的位置计算点C表示的数；易错点是对与数轴上点的位置关系判断错误，导致数的符号或数值计算出错．首先在中，根据勾股定理计算的长度：．其次因为以A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于C，所以．最后点A表示的数是2，则点C表示的数为． 【详解】 解：在中，，根据勾股定理： ． 由题意得． 由图可知点C表示的数为：． 故答案为：． 33．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】 解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中， ∴； 故答案为： 34．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标为_______，的长为_______． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2），      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）作A、B、C关于y轴的对称点，，，连线即可； （2）根据（1）中画出的图象，直接写出点的坐标即可，根据勾股定理可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为，． 故答案为：，． 35．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，某海滨浴场岸边处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，．若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？ 【答案】解：救生员的选择合理，理由如下： 由题意得， ，， ， 救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是 救生员由点直接游向处需要的时间为：， 救生员由点跑到再游向处需要的时间为：， ， 救生员的选择合理． 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长． 分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在中，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴． 37．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛对角线的长． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理，对角线的平方为，再进行计算，得这个花坛对角线的长，即可作答． 【详解】 解：依题意， 则这个花坛对角线的长， 答：花坛对角线的长为． 38．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，是等腰直角三角形，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 39．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【详解】 解：根据题意得米，米， 在中， 在中， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 40．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点在轴的正半轴上，连接、．若，则点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离．设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，利用勾股定理可得：，根据可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】 解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， 在中， ， ， ， 两边同时平方可得：， 解得：， 点的坐标为． 故答案为： ． 41．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 【答案】（1）解：梯形的面积为 ， ， 所以； （2）中转站应建在离点37.5千米处； （3）示意图如图： 三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）① 如图1，，等腰三角形的面积； ② 如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③ 如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 42．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 43．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能根据题意分别求出及的长是解题的关键． 过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题． 【详解】 解：过点A作的垂线，垂足为M， ，且， ， 又点B的坐标是，点C的坐标是， ， ， 点M的纵坐标为， 则点A的纵坐标为7， 在中， 则， 点A的坐标为， 故答案为：． 44．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，求树干的高度． 【答案】树干的高度为． 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用． 在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】 解：在中， 在中， ∴， 解得：， 所以， 即树杆的高度为． 45．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在四边形中，，点为上一点，若，,，求的长． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了勾股定理，关键是掌握根据勾股定理，在直角三角形中已知两条边，求第三条边． 在中，已知，的长，可求的长，即可得的长；在中，已知，的长，可求的长． 【详解】 解：在中，， 由勾股定理得：． ，． 在中，， 由勾股定理得：． 46．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在中，平分交于点．过点作于点，连接，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作于点F，根据勾股定理可求出的长，再由三角形面积可得的长，从而得到的长，然后根据角平分线的性质定理可得，利用可证明，得到，从而求得的长，再利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：如图，过点C作于点F， 在中， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，平分交，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤ 组勾股数为； 故答案为：． 48．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，P是x轴上的一个动点． （1）已知点和点关于x轴对称，是点A关于y轴的对称点，请在图中描出点，，并写出点，的坐标． （2）若是以为腰的等腰三角形，求出此时点P的坐标． 【答案】（1） 如图，点，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为     （2）点P的坐标为或或      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的对称点坐标及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征以及等腰三角形的性质． （1）根据关于轴、轴对称的点的坐标规律描点并求坐标； （2）先求出的长度，再分和两种情况，结合平面直角坐标系的性质求解点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为，， 当时，点P的坐标为或， 当时，点P的坐标为。 综上所述，点P的坐标为或或． 49．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． （1）求城镇A，B之间的距离． （2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 【答案】（1）千米     （2）中转站P应修建在离点M千米处      【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出千米，由勾股定理可得城镇A，B之间的距离； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为千米； (2) 小问详解： 解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 50．（25-26学年八上·陕西·期中）对于边长为4的等边三角形，请建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. 【答案】此题答案不唯一， 如图，点B、C的坐标分别为B（-2，0），C（2，0），点A的坐标为（0，） 【详解】 解：如图 以BC所在的直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∵正三角形ABC的边长为4， ∴BO=CO=2， ∴点B、C的坐标分别为B（-2，0），C（2，0）， ∵AO= ∴点A的坐标为（0，） 【点睛】 本题主要考查坐标与图形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 51．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在中，C是边上一点．已知，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用，解题的关键是在两个直角三角形中分别运用勾股定理，通过公共边建立联系求解． 先求出的长度，再在中用勾股定理求出的长度，最后在中用勾股定理求出的长度． 【详解】 解：， ， 在中，根据勾股定理，可得． ， ． 在中，根据勾股定理， 将代入，可得， ． 52．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】 解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 53．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知， ， ， 由折叠的性质可知， 设， 则由折叠的性质可知， ， 又， 在中，由勾股定理可知， ， 整理得， 解得， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知， ， 由折叠的性质可知， 此时，设， 则由折叠的性质可知， ， 又， 在中，由勾股定理可知， ， 整理得， 解得， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 54．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】 可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】 解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】 本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 55．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为　　　　． 【答案】4 【分析】 根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解． 【详解】 解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3， ∴AD2=10， ∴在中，DH=， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形EFGH的面积=10-=4， 故答案是：4． 【点睛】 本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键． 56．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），求点所表示的数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握实数和数轴的关系是解题的关键． 由条件可知，再结合数轴即可解答． 【详解】 解：由条件可知， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ∴， ∴点所表示的数为． 57．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，过点作于点，已知，，． （1）求的长； （2）试判断线段与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： ，，， ∴， 是直角三角形， ∴．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． (1) 小问详解： 解：由题意可知， 在中， ∴， ∴在中，； (2) 小问详解： 略 58．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查全等三角形性质，勾股定理等．根据题意可得设正方形的边长为，则，继而得到，，，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】 解：∵根据题意可知，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵，， ∴设正方形的边长为，则， ∴，，，， ∴，解得：， ∴正方形的边长为1， 故答案为：1． 59．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，点是正方体的棱上的一点，点是正方体的一个顶点，已知正方体的棱长为3，且，则一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据题意求出有两种不同结果：画出图形，根据勾股定理求出，再比较即可． 【详解】 解：共有两种不同结果： ① 如下图， ∵正方体的棱长为3，且， ， ， 则由勾股定理得：； ② 如下图， ， 由勾股定理得：； ∵， ∴蚂蚁从点A沿正方体的表面爬行到点B的最短路程是5， 故答案为：5． 60．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上的动点，连接，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质应用，勾股定理的应用，正确转化的值是解题的关键．根据题意先作点B关于y轴的对称点，求出坐标，连结，交y轴于P，用勾股定理求出即可． 【详解】 解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于P，连接， ，即的最小值为线段的长， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 61．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）【问题探究】 （1）在中，点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，设运动时间为秒． ①如图1，为斜边上的高，求的长度； ②如图2，点为边的中点，过点作的垂直平分线交于点，连接，在点运动的过程中，当点运动到线段的垂直平分线上时，求出此时的值，并求出的长度； 【问题解决】 （2）如图3为某社区的直角三角形花园，其中，可移动喷头从点出发，以每秒的速度沿的路线巡视，设巡视时间为秒，为了覆盖整个草坪，在直角顶点处安装了一根垂直于斜边的供水管，当喷头移动到上时，连接，若是以为腰的等腰三角形时，喷头会暂停并切换为全功率洒水模式，已知，，则喷头从点出发后，当为何值时，会触发全功率洒水模式？ 【答案】（1）①；②的值为或的长度为；（2）或 【分析】 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质及等腰三角形定义， （1）① 先求出，再利用三角形面积求出结论；②，则，根据勾股定理列方程求出，再根据勾股定理求出，进而求出结论； （2）是以为腰的等腰三角形的情况有2种，分别是：当时，或当时，分别求出结论即可． 【详解】 解：（1）① 在中， 所以， 解得， 故的长为． ② 因为垂直平分， 所以， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 当点运动到点时， 当点运动到点时， 故此时的值为或的长度为． （2）当在上时，是以为腰的等腰三角形的情况有2种， ① 当时，由题得， 解得：， ② 如图，当时， 因为， 所以， 因为， 所以在中，由勾股定理得， 因为， 所以， 在中， 所以， 所以， 所以当或时，会触发全功率洒水模式． 62．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 过C作于点F，先证明，得，再由等腰三角形的性质得，进而求出，然后在中，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过C作于点F， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为： 63．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【详解】 解：在中，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 64．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，，以为腰向三角形外作等腰直角，为直角顶点，连接，则的最大值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确构造全等三角形． 在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，先由勾股定理求出，再证明，则，由于，当点共线时，取得最大值． 【详解】 解：如图，在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，则， ∴， 连接， 由题意得， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点共线时，取得最大值为 故答案为：． 65．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，连接，证明，得，设，则，，由可得，即得，，得到，由角平分线的性质得点到的距离相等，即可得，再代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ∴，， ∴， ∵和的平分线，相交于点， ∴点到的距离相等， ∴， 故答案为：． 66．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点E是的中点，点M和点N分别是线段和上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，则，结合已知得和，即可得和四边形为平行四边形，有，将线段绕点N旋转得到，连接和，即可利用证明，则和，利用三角形三边关系得，进一步利用勾股定理得，当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为即可． 【详解】 解：作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，如图， 则 ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 将线段绕点N旋转得到，连接和， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∵点E是的中点， ∴， 则， ∵ ∴， 当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形三边关系的应用和勾股定理的应用，解题的关键是利用相等将线段转化． 67．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）问题初探 （1）如图1，等边三角形中，是的平分线，发现与、之间存在数量关系，请你写出它们之间的数量关系：______，______． 请你运用上面的结论来解决下面的问题： 深入研究 （2）已知是等边三角形，点是直线上一动点，连接，以为边构造等边三角形，连接，过点作，交直线于点． ①如图2，当点在延长线上时，线段、、之间存在怎样的数量关系？请写出结论并证明； ②如图3，当点在延长线上时，请你直接写出线段、、之间的数量关系：________ 拓展延伸 （3）如图4，已知、是等腰三角形，且，，，、、三点在同一条直线上，过点作，交直线于点．若，，求的长度． 【答案】（1），；（2）① ；②；（3） 【分析】 （1）由题意可得，，得到，； （2）①根据等边三角形的性质可得，，，推出，证明得到，，推出，结合得到，推出，即可求解； ② 根据等边三角形的性质可得，，，推出，证明得到，，推出，结合得到，推出，即可求解； （3）连接，过作于点，由，，可得，，证明，得到，，推出，结合可得，进而得到，，求出，，，最后根据含角直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）等边三角形中，是的平分线， ， ， ， 故答案为：，； （2）①， 证明：和是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即； ②和是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，过作于点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 68．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】 解：设，则cm， 由题可得，cm，， ∴在中，在中， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 69．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）（1）如图，在中，．若，则                 ； （2）如图，在中，已知，，，点为边上的动点，连接，当为最小值时，求的长． （3）如图，为三个村庄，为了出行方便，在三个村庄之间修了四条公路，经测量得知：公路与相等且夹角为，公路与垂直，村庄之间的距离为．为提升村民的生活质量，某通讯公司需要在区域内部署一个基站，基站必须满足．在公路上有一个移动中继站（在上移动）经实践发现，当基站到村庄和移动中继站的距离和（即）最小时，通信效果最好，求此时信号覆盖区域的面积．（结果保留根号） 【答案】（）；（）的长为；（）此时信号覆盖区域的面积． 【分析】 （）由，，得，然后通过勾股定理即可求解； （）当时，有最小值，此时，由勾股定理得，再由等面积法求出，最后通过勾股定理即可求解； （）先求出，作关于对称点，过作于点，交于点，，即当三点共线时，最小，证明，则有，所以，得，由勾股定理得：，过作于点，如图，由角平分线性质可得，最后由，求出即可． 【详解】 解：（）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，当时，有最小值，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （）如图，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于对称点，过作于点，交于点， ∴，即当三点共线时，最小， ∵与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时信号覆盖区域的面积． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质，垂线段最短，轴对称性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 2，3，5 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 11，12，15 【答案】C 【分析】 此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】 解：A、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（       ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】 解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B 3．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知一个三角形的三边长分别为5，10，，这是一个（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【分析】 本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法是关键． 根据勾股定理的逆定理，计算两边平方和是否等于第三边平方，判断三角形是否为直角三角形即可． 【详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ∴ 该三角形是直角三角形， 又∵ 三边长度均不相等， ∴ 不是等腰三角形， 故选：B． 4．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中） 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ， C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】 解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故C选项符合题意； D、∵， ∴可以假设，，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ）． A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 6，8，9 D. 1，1， 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理．根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”即可判断． 【详解】 解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，本选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 7．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（       ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 【答案】A 【分析】 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】 解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度，故此选项符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 8．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可． 【详解】 解：由勾股定理得：AB，AC，BC， ∵AB2+AC2＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABC， ∴， ∴AD＝2， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键． 9．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． (2) 小问详解： ∵，．， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长． 【答案】 【分析】 根据中线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得，再利用等面积法即可求解． 【详解】 解：，AD为BC边上的中线， ，，， ， ，即， ∵AD为BC边上的中线，即AD垂直平分BC， ， ∵的面积， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了中线的性质，勾股定理的逆定理的应用及等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理的逆定理及等面积法求三角形的高是解题的关键． 11．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，米，米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？ 【答案】1200元 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积．连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出，求出空地面积，即可求出答案． 【详解】 解：连接，如图所示：     在Rt中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 该空地面积为：平方米， 即铺满这块空地共需花费元． 12．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为     （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，是的中线，于点E， （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：与的位置关系是垂直平分， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 是直角三角形，且， 又是的中线， 与的位置关系是垂直平分      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据中线的定义可得出结论． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得， ； (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． （1）求的度数； （2）若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 【答案】（1）     （2）修小路的最少花费是288元．      【分析】 本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． (1) 小问详解： 因为，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 在中，由勾股定理得： （米） ， 即， （米）， （元）， 故修小路的最少花费是288元． 15．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则　　　　 【答案】度 【分析】 取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】 解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 16．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在四边形中，垂直平分，且，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，证明如下： 垂直平分， ， ，， ， ，即是直角三角形；     （2）的面积．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， 点E是的中点， ， ， 四边形的面积． 17．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． （1）求证： （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：点是边的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点是边的中点， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 9．C 10．B 11．B 12．C 13．D 14．A 15．D 16．C 17．D 18．B 19．A 20．A 21．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】 解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】 解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，利用数轴上的点表示实数，解题的关键是掌握勾股定理及数轴． 根据勾股定理得，然后根据两点之间的距离，求数轴上点表示的数即可． 【详解】 解：根据勾股定理得， ∴， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】 设AB边上的高为h 如图，由网格的特点得： 解得 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键． 25．【答案】18 【分析】 本题考查了勾股定理，中点的定义，掌握这些是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据中点的定义得出的长即可． 【详解】 解：在中，由勾股定理可得： ， 又因为为的中点， 所以． 26．【答案】 【分析】 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，    由题意可得，米，米， 米， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 27．【答案】 【分析】 本题考查两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式：是解题的关键；根据点P坐标和原点坐标，直接代入公式计算即可． 【详解】 解：点P坐标为，原点坐标为，则点P到原点的距离为； 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】 解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 30．【答案】10m 【分析】 作BE⊥DC于点E，首先由题意得：AD=BE=3m，AB=DE=2m，然后根据DC=6米，得到EC=4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可． 【详解】 解：如图，作BE⊥DC于点E， 由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m， ∵DC＝6m， ∴EC＝4m， ∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC＝＝5（m）， ∴大树的高度为5+5＝10（m）， 故答案为：10m． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键． 31．【答案】如图，C即为表示的点． 【分析】 本题考查数轴上无理数的表示，解题的关键是利用勾股定理构造出长度为的线段，再结合数轴的平移来确定表示的点． 先构造直角三角形，使其斜边长度为，以数轴上的点为圆心，以该对角线长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点，从而找到表示的点． 【详解】 略 32．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与数轴上的点表示数，运用数形结合思想．解题关键是先利用勾股定理求出的长度（即的长度），再结合点A的位置计算点C表示的数；易错点是对与数轴上点的位置关系判断错误，导致数的符号或数值计算出错．首先在中，根据勾股定理计算的长度：．其次因为以A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于C，所以．最后点A表示的数是2，则点C表示的数为． 【详解】 解：在中，，根据勾股定理： ． 由题意得． 由图可知点C表示的数为：． 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】 解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中， ∴； 故答案为： 34．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2），      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）作A、B、C关于y轴的对称点，，，连线即可； （2）根据（1）中画出的图象，直接写出点的坐标即可，根据勾股定理可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为，． 故答案为：，． 35．【答案】解：救生员的选择合理，理由如下： 由题意得， ，， ， 救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是 救生员由点直接游向处需要的时间为：， 救生员由点跑到再游向处需要的时间为：， ， 救生员的选择合理． 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长． 分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案． 【详解】 略 36．【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴． 37．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理，对角线的平方为，再进行计算，得这个花坛对角线的长，即可作答． 【详解】 解：依题意， 则这个花坛对角线的长， 答：花坛对角线的长为． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 39．【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【详解】 解：根据题意得米，米， 在中， 在中， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 40．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离．设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，利用勾股定理可得：，根据可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】 解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， 在中， ， ， ， 两边同时平方可得：， 解得：， 点的坐标为． 故答案为： ． 41．【答案】（1）解：梯形的面积为 ， ， 所以； （2）中转站应建在离点37.5千米处； （3）示意图如图： 三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）① 如图1，，等腰三角形的面积； ② 如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③ 如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 43．【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能根据题意分别求出及的长是解题的关键． 过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题． 【详解】 解：过点A作的垂线，垂足为M， ，且， ， 又点B的坐标是，点C的坐标是， ， ， 点M的纵坐标为， 则点A的纵坐标为7， 在中， 则， 点A的坐标为， 故答案为：． 44．【答案】树干的高度为． 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用． 在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】 解：在中， 在中， ∴， 解得：， 所以， 即树杆的高度为． 45．【答案】7 【分析】 本题主要考查了勾股定理，关键是掌握根据勾股定理，在直角三角形中已知两条边，求第三条边． 在中，已知，的长，可求的长，即可得的长；在中，已知，的长，可求的长． 【详解】 解：在中，， 由勾股定理得：． ，． 在中，， 由勾股定理得：． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作于点F，根据勾股定理可求出的长，再由三角形面积可得的长，从而得到的长，然后根据角平分线的性质定理可得，利用可证明，得到，从而求得的长，再利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：如图，过点C作于点F， 在中， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，平分交，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤ 组勾股数为； 故答案为：． 48．【答案】（1） 如图，点，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为     （2）点P的坐标为或或      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的对称点坐标及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征以及等腰三角形的性质． （1）根据关于轴、轴对称的点的坐标规律描点并求坐标； （2）先求出的长度，再分和两种情况，结合平面直角坐标系的性质求解点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为，， 当时，点P的坐标为或， 当时，点P的坐标为。 综上所述，点P的坐标为或或． 49．【答案】（1）千米     （2）中转站P应修建在离点M千米处      【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出千米，由勾股定理可得城镇A，B之间的距离； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为千米； (2) 小问详解： 解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 50．【答案】此题答案不唯一， 如图，点B、C的坐标分别为B（-2，0），C（2，0），点A的坐标为（0，） 【详解】 解：如图 以BC所在的直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∵正三角形ABC的边长为4， ∴BO=CO=2， ∴点B、C的坐标分别为B（-2，0），C（2，0）， ∵AO= ∴点A的坐标为（0，） 【点睛】 本题主要考查坐标与图形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 51．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用，解题的关键是在两个直角三角形中分别运用勾股定理，通过公共边建立联系求解． 先求出的长度，再在中用勾股定理求出的长度，最后在中用勾股定理求出的长度． 【详解】 解：， ， 在中，根据勾股定理，可得． ， ． 在中，根据勾股定理， 将代入，可得， ． 52．【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】 解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 53．【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知， ， ， 由折叠的性质可知， 设， 则由折叠的性质可知， ， 又， 在中，由勾股定理可知， ， 整理得， 解得， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知， ， 由折叠的性质可知， 此时，设， 则由折叠的性质可知， ， 又， 在中，由勾股定理可知， ， 整理得， 解得， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 54．【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】 可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】 解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】 本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 55．【答案】4 【分析】 根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解． 【详解】 解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3， ∴AD2=10， ∴在中，DH=， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形EFGH的面积=10-=4， 故答案是：4． 【点睛】 本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键． 56．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握实数和数轴的关系是解题的关键． 由条件可知，再结合数轴即可解答． 【详解】 解：由条件可知， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ∴， ∴点所表示的数为． 57．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： ，，， ∴， 是直角三角形， ∴．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． (1) 小问详解： 解：由题意可知， 在中， ∴， ∴在中，； (2) 小问详解： 略 58．【答案】1 【分析】 本题考查全等三角形性质，勾股定理等．根据题意可得设正方形的边长为，则，继而得到，，，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】 解：∵根据题意可知，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵，， ∴设正方形的边长为，则， ∴，，，， ∴，解得：， ∴正方形的边长为1， 故答案为：1． 59．【答案】5 【分析】 本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据题意求出有两种不同结果：画出图形，根据勾股定理求出，再比较即可． 【详解】 解：共有两种不同结果： ① 如下图， ∵正方体的棱长为3，且， ， ， 则由勾股定理得：； ② 如下图， ， 由勾股定理得：； ∵， ∴蚂蚁从点A沿正方体的表面爬行到点B的最短路程是5， 故答案为：5． 60．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质应用，勾股定理的应用，正确转化的值是解题的关键．根据题意先作点B关于y轴的对称点，求出坐标，连结，交y轴于P，用勾股定理求出即可． 【详解】 解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于P，连接， ，即的最小值为线段的长， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 61．【答案】（1）①；②的值为或的长度为；（2）或 【分析】 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质及等腰三角形定义， （1）① 先求出，再利用三角形面积求出结论；②，则，根据勾股定理列方程求出，再根据勾股定理求出，进而求出结论； （2）是以为腰的等腰三角形的情况有2种，分别是：当时，或当时，分别求出结论即可． 【详解】 解：（1）① 在中， 所以， 解得， 故的长为． ② 因为垂直平分， 所以， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 当点运动到点时， 当点运动到点时， 故此时的值为或的长度为． （2）当在上时，是以为腰的等腰三角形的情况有2种， ① 当时，由题得， 解得：， ② 如图，当时， 因为， 所以， 因为， 所以在中，由勾股定理得， 因为， 所以， 在中， 所以， 所以， 所以当或时，会触发全功率洒水模式． 62．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 过C作于点F，先证明，得，再由等腰三角形的性质得，进而求出，然后在中，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过C作于点F， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为： 63．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【详解】 解：在中，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 64．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确构造全等三角形． 在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，先由勾股定理求出，再证明，则，由于，当点共线时，取得最大值． 【详解】 解：如图，在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，则， ∴， 连接， 由题意得， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点共线时，取得最大值为 故答案为：． 65．【答案】 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，连接，证明，得，设，则，，由可得，即得，，得到，由角平分线的性质得点到的距离相等，即可得，再代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ∴，， ∴， ∵和的平分线，相交于点， ∴点到的距离相等， ∴， 故答案为：． 66．【答案】 【分析】 作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，则，结合已知得和，即可得和四边形为平行四边形，有，将线段绕点N旋转得到，连接和，即可利用证明，则和，利用三角形三边关系得，进一步利用勾股定理得，当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为即可． 【详解】 解：作点N关于，过点B作点相交于点D，连接，如图， 则 ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 将线段绕点N旋转得到，连接和， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∵点E是的中点， ∴， 则， ∵ ∴， 当点E、点N和点三点共线时，的最小值即为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形三边关系的应用和勾股定理的应用，解题的关键是利用相等将线段转化． 67．【答案】（1），；（2）① ；②；（3） 【分析】 （1）由题意可得，，得到，； （2）①根据等边三角形的性质可得，，，推出，证明得到，，推出，结合得到，推出，即可求解； ② 根据等边三角形的性质可得，，，推出，证明得到，，推出，结合得到，推出，即可求解； （3）连接，过作于点，由，，可得，，证明，得到，，推出，结合可得，进而得到，，求出，，，最后根据含角直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）等边三角形中，是的平分线， ， ， ， 故答案为：，； （2）①， 证明：和是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即； ②和是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，过作于点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 68．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】 解：设，则cm， 由题可得，cm，， ∴在中，在中， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 69．【答案】（）；（）的长为；（）此时信号覆盖区域的面积． 【分析】 （）由，，得，然后通过勾股定理即可求解； （）当时，有最小值，此时，由勾股定理得，再由等面积法求出，最后通过勾股定理即可求解； （）先求出，作关于对称点，过作于点，交于点，，即当三点共线时，最小，证明，则有，所以，得，由勾股定理得：，过作于点，如图，由角平分线性质可得，最后由，求出即可． 【详解】 解：（）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，当时，有最小值，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （）如图，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于对称点，过作于点，交于点， ∴，即当三点共线时，最小， ∵与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时信号覆盖区域的面积． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质，垂线段最短，轴对称性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． (2) 小问详解： ∵，．， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 10．【答案】 【分析】 根据中线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得，再利用等面积法即可求解． 【详解】 解：，AD为BC边上的中线， ，，， ， ，即， ∵AD为BC边上的中线，即AD垂直平分BC， ， ∵的面积， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了中线的性质，勾股定理的逆定理的应用及等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理的逆定理及等面积法求三角形的高是解题的关键． 11．【答案】1200元 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积．连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出，求出空地面积，即可求出答案． 【详解】 解：连接，如图所示：     在Rt中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 该空地面积为：平方米， 即铺满这块空地共需花费元． 12．【答案】（1）供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为     （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2） 解：与的位置关系是垂直平分， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 是直角三角形，且， 又是的中线， 与的位置关系是垂直平分      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据中线的定义可得出结论． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得， ； (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1）     （2）修小路的最少花费是288元．      【分析】 本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． (1) 小问详解： 因为，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 在中，由勾股定理得： （米） ， 即， （米）， （元）， 故修小路的最少花费是288元． 15．【答案】度 【分析】 取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】 解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 16．【答案】（1） 解：是直角三角形，证明如下： 垂直平分， ， ，， ， ，即是直角三角形；     （2）的面积．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， 点E是的中点， ， ， 四边形的面积． 17．【答案】（1） 证明：点是边的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点是边的中点， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（     ） A. 23 B. 17 C. 15 D. 13 3．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）下列是勾股数的是（     ） A. 1.5，2，2.5 B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. 5，11，12 5．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（     ） A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 7．（25-26学年八上·陕西·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. ，， C. 13，14，15 D. 5，12，13 8．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（       ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 9．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（   ） A. 嘉嘉 B. 琪琪 C. 亮亮 D. 明明 10．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文：波平如镜一湖面半尺高处生红莲亭亭多姿湖中里突遭狂风吹一边离开原处二尺远花贴湖面象睡莲 A. 3.5尺 B. 3.75尺 C. 4尺 D. 4.5尺 11．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（       ） A. 7 B. 17 C. 19 D.  12．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，则（       ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 10 14．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（     ）． A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 15．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（     ） A. 3或5或7 B. 4或 C. 4或或7 D. 4或7 16．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在中，，点是的中点，连接并延长至点，使，作交的延长线于点，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C.  D. 6 17．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为6，8，24，则正方形的面积是（       ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 9 19．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（       ） A.  B.  C. 10 D.  20．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是　　　　　　　(用字母表示)． 22．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，，数轴上点A表示的数是　　　　　　． 24．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，在中，，为的中点，求边的长． 26．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　　　　　米 27．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，则点P到原点的距离为　　　　　　　　； 28．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为　　　　． 29．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 30．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　　　　　． 31．（25-26学年八上·陕西·期中）请在数轴上找到表示的点．（作图过程中需标出必要线段的长） 32．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，为原点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　　　　　　　　　　　　　　 34．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标为_______，的长为_______． 35．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，某海滨浴场岸边处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，．若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？ 36．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在中，，，，求的长． 37．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛对角线的长． 38．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 40．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点在轴的正半轴上，连接、．若，则点的坐标是　　　　　　． 41．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 42．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 43．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是　　　　　． 44．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度． 45．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在四边形中，，，点为上一点，若，,，求的长． 46．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在中，平分交于点．过点作于点，连接，则的长为　　　　　． 47．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　． 48．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，P是x轴上的一个动点． （1）已知点和点关于x轴对称，是点A关于y轴的对称点，请在图中描出点，，并写出点，的坐标． （2）若是以为腰的等腰三角形，求出此时点P的坐标． 49．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． （1）求城镇A，B之间的距离． （2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 50．（25-26学年八上·陕西·期中）对于边长为4的等边三角形，请建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标. 51．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在中，，C是边上一点．已知，，，求的长． 52．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 53．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 55．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为　　　　． 56．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），求点所表示的数． 57．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，过点作于点，已知，，． （1）求的长； （2）试判断线段与之间的位置关系，并说明理由． 58．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，点是正方体的棱上的一点，点是正方体的一个顶点，已知正方体的棱长为3，且，则一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程为　　　　　　． 60．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点，连接，则的最小值为　　　　　　． 61．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）【问题探究】 （1）在中，，点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，设运动时间为秒． ①如图1，为斜边上的高，求的长度； ②如图2，点为边的中点，过点作的垂直平分线交于点，连接，在点运动的过程中，当点运动到线段的垂直平分线上时，求出此时的值，并求出的长度； 【问题解决】 （2）如图3为某社区的直角三角形花园，其中，可移动喷头从点出发，以每秒的速度沿的路线巡视，设巡视时间为秒，为了覆盖整个草坪，在直角顶点处安装了一根垂直于斜边的供水管，当喷头移动到上时，连接，若是以为腰的等腰三角形时，喷头会暂停并切换为全功率洒水模式，已知，，则喷头从点出发后，当为何值时，会触发全功率洒水模式？ 62．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点若，则的长为　　　　　　　　　　　． 63．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是　　　　　　． 64．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，，，以为腰向三角形外作等腰直角，为直角顶点，连接，则的最大值为　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为　　　　　　． 66．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点E是的中点，点M和点N分别是线段和上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）问题初探 （1）如图1，等边三角形中，是的平分线，发现与、之间存在数量关系，请你写出它们之间的数量关系：______，______． 请你运用上面的结论来解决下面的问题： 深入研究 （2）已知是等边三角形，点是直线上一动点，连接，以为边构造等边三角形，连接，过点作，交直线于点． ①如图2，当点在延长线上时，线段、、之间存在怎样的数量关系？请写出结论并证明； ②如图3，当点在延长线上时，请你直接写出线段、、之间的数量关系：________ 拓展延伸 （3）如图4，已知、是等腰三角形，且，，，、、三点在同一条直线上，过点作，交直线于点．若，，求的长度． 68．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 69．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）（1）如图，在中，，．若，则                 ； （2）如图，在中，已知，，，点为边上的动点，连接，当为最小值时，求的长． （3）如图，为三个村庄，为了出行方便，在三个村庄之间修了四条公路，经测量得知：公路与相等且夹角为，公路与垂直，村庄之间的距离为．为提升村民的生活质量，某通讯公司需要在区域内部署一个基站，基站必须满足．在公路上有一个移动中继站（在上移动）经实践发现，当基站到村庄和移动中继站的距离和（即）最小时，通信效果最好，求此时信号覆盖区域的面积．（结果保留根号） 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 2，3，5 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 11，12，15 2．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（       ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 3．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知一个三角形的三边长分别为5，10，，这是一个（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中） 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ， C.  D.  5．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ）． A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 6，8，9 D. 1，1， 6．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（       ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 8．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A.  B. 2 C.  D. 3 9．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长． 11．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？ 12．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 13．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在中，是的中线，于点E， （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 14．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． （1）求的度数； （2）若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 15．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则　　　　 16．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在四边形中，垂直平分，且，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）求四边形的面积． 17．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． （1）求证： （2）若，，求的长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $