专题06 轴对称（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期

专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）下列图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，D为边上的一点，，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（     ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 2．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，直线是四边形的对称轴，是直线上的点，连接，下列判断错误的是（     ） A. 垂直平分线段 B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，某大学有A、B、C三栋教学楼，A、B在校内的主干道上，C在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划修建一栋办公楼P，使办公室到公路AB、BC的距离相等，且到B、C两栋教学楼的距离也相等，请在图中作出办公楼P的位置（要求：尺规作图，不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，在所作图中标出P的位置）． 4．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）命题“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”的逆命题是　　　　　　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 6．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，线段与线段交于点，现要在内部作一点，连接、，使得点到的距离与点到的距离相等，且，请你利用尺规作图法找出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 7．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是　　　　　命题（填“真”或“假”） 8．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点（点在上），过点作，交的延长线于点，作于点，连接．若，则的长为　　　　　． 9．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）尺规作图：如图，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是的垂直平分线．点在上，连接、、，且， （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）设，若，求的度数． 12．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，E是内的一点，，连接，且，延长AE交BC边于点D． （1）求证：； （2）若，求的长． 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度数为　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知线段a，b，h（），请用尺规作图法作锐角三角形，使，，边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 考点03 画轴对称的图形 1．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）已知点与点关于轴对称，那么点的值为（    ） A. 7 B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 5．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 6．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．请画出与关于轴对称的（点的对应点分别为点，），并写出点的坐标． 7．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）点的坐标为___________． 8．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 9．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于x轴对称的，且点的对应点分别是； （2）点的坐标是________． 10．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）若点和点关于y轴对称，则a的值是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知点关于轴的对称点为点，则的值为　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的；（点的对应点分别是点）； （2）直接写出点的坐标． 13．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，． （1）画出关于轴对称的，点的对应点分别为； （2）点的坐标为_____． 14．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，正方形网格每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将关于轴对称，得到；再将关于轴对称，得到，画出，并写出点、的坐标．（其中点与对应，点与对应，依此类推） 15．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出A、B两点的坐标：A______；B______； （2）画出关于y轴对称的； （3）的面积为______． 16．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点关于轴的对称点的坐标为　　　　　． 17．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是，，； （2）点的坐标为_____． 18．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 19．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．在图中画出关于轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并直接写出点E、F的坐标． 20．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）求的周长． 21．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）已知点与点关于轴对称，则的结果为　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　． 23．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）请画出与关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点）； （2）请画出与关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标． 24．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．在图中作出关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出点的坐标． 25．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）若点为内部一点，则点P的对应点的坐标是______； （3）求的面积． 26．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为：，，． （1）写出点B关于y轴对称的点的坐标：          ； （2）请在图中作＇，使得和关于x轴对称； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，请在第四象限内找一格点E，使得，则点E的坐标为          ． 27．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，其中点A的对应点是点，点B的对应点是点； （2）求的面积． 29．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标依次为、、，画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点、的坐标． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）下列命题中，其逆命题不是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 4．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，于点的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接．下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 点E是的中点 D. 平分 5．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A. 4 B.  C. 5 D. 7 6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，点B关于的对称点E恰好落在边上，连接，若为的角平分线，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在BA的延长线上，点在BC边上，连接ED，EC，且，过点作于点，若，则BD的长为（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 8．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，直角的顶点是的中点，连接，两边分别交于点E、F，连接．若，则的长为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（         ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（       ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 11．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若AF＝6，求CD的长． 12．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别是、上的点，连接，并交于点，M、N分别是，上的点，若．求证：． 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，为上一点，连接． （1）若，求的度数； （2）若点是的中点，，求的长． 14．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 15．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 16．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　　　　　． 18．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，交的延长线于点于点F，则的长为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点P，交边于点Q，连接平分，交边于点D． （1）若，求的度数； （2）若，在直线上是否存在点M，使以点为顶点的的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，为的高线，已知，求证：． 21．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，求的度数． 22．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，为上一点，过点作．若，，则的长为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，，且，过点D作，交的平分线于点，连接．，和是对应边．和是对应角，连接． （1）求证：垂直平分； （2）延长交于点．求证：． 24．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是　　　　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 26．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点是线段上一点，连接平分交于点，作于点，交的延长线于点是的高，延长交于点，若，则的长为　　　　　． 27．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，E是上的一点，且，，求证：． 28．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　　　　cm． 29．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 30．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 31．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是                   32．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）【问题提出】 如图①，在四边形中，，是边的中点，平分，试判断，，之间的数量关系．小颖的解题思路为：如图②，延长，交于点，构造即可判断． （1）按照小颖的解题思路，判断，，之间的数量关系是________； （2）如图③，在中，是边的中点，点在边上，连接交于点，且，求证：； 【问题解决】 （3）如图④，四边形是一个物流中心的平面示意图，对角线是中间的一条主传送带，为提高分拣效率，要沿对角线铺设一条辅助传送带，在两条传送带的交点处设置-一个临时分拣台（分拣台大小忽略不计），在边的中点处设置一个快递出口，再沿铺设一条分流传送带方便快递转运．设备部需要知道与之间的数量关系，以确定采购传送带的长度．按照设计要求，，，请你帮设备部探究辅助传送带与分流传送带之间的数量关系．（传送带宽度忽略不计） 33．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 34．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）【探究证明】 （1）如图，在中，，点为边上一动点，连接，过点作于点，以为边向右作，使，连接，且，延长交于点． 求证：； 试判断与是否相等，并说明理由． 【灵活应用】 （2）如图，在某校园中心，有一片三角形的绿化区域，其中，，为了美化环境，学校在边上安置了一个喷水装置点，点满足，为绿化区域内一点，在边上有一盏路灯，连接，且，是的中点，为了扩大喷水范围，现需铺设管线和，当管线总长度最小时，求的度数． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 2．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，是边长为2的等边三角形，以边所在直线为轴，以边的中垂线为轴建立平面直角坐标系，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动，第秒点在（       ）处． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，是等边三角形，以为边在边的左侧作，且，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，已知等边的边长为，点为上一点，过点作于点，过点作于点，连接．若也是等边三角形，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（       ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 6 6．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小． 8．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为　　　　　． 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是边上一点，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的面积． 10．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，和均是边长为2的等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 11．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，且，在线段上取、两点，使，连接、．    （1）求证：平分； （2）如图，过点作于点，若，求证：是等边三角形． 12．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点D是边上的点，且点D在线段的垂直平分线上，，．求证：是等边三角形． 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点，分别在，的延长线上，且，； （1）求证：； （2）求证：是等边三角形 14．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于点，交于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 15．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为　　　　　　　　　　； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查轴对称图形的定义，解答本题掌握好轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，依次进行选择即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）下列图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．直接根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、B、C选项都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D ． 3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念及判别．根据轴对称图形的概念，判断每个选项是否为轴对称图形即可． 【详解】 解：A项：图标是一个灯泡形状，可以看到它左右两边是对称的，如果沿着中间的竖直直线折叠，两边可以完全重合，因此它是轴对称图形，故符合题意； B项：图标是一个插头形状，显然没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； C项：图标是一个温度计形状，同样没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； D项：图标是一个水龙头滴水形状，也没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 逐一分析每个选项，判断是否符合轴对称图形的定义． 【详解】 是轴对称图形，故不符合题意； 不是轴对称图形，故符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，D为边上的一点，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（     ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】 解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 2．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，直线是四边形的对称轴，是直线上的点，连接，下列判断错误的是（     ） A. 垂直平分线段 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】 解：直线是四边形的对称轴，是直线上的点， 点与点对应， 垂直平分线段， A，B，C正确，D错误， 故选：D． 3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，某大学有A、B、C三栋教学楼，A、B在校内的主干道上，C在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划修建一栋办公楼P，使办公室到公路AB、BC的距离相等，且到B、C两栋教学楼的距离也相等，请在图中作出办公楼P的位置（要求：尺规作图，不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，在所作图中标出P的位置）． 【答案】如图所示： 【详解】 试题分析：要使到AB和BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上；要使到B、C两点的距离相等，则点P在线段BC的中垂线上，故点P就是∠ABC的角平分线和线段BC的中垂线的交点． 4．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】 略 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）命题“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”的逆命题是　　　　　　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】 本题考查的知识点是逆命题的概念，判断真假命题的能力、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握逆命题的概念． 逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到，再根据全等三角形的性质即可判断命题真假． 【详解】 解：原命题“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”的逆命题为“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”． 由于全等三角形的对应边和对应角都相等，根据三角形面积公式，它们的面积必然相等，因此该逆命题是真命题． 故答案为：真． 6．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，线段与线段交于点，现要在内部作一点，连接、，使得点到的距离与点到的距离相等，且，请你利用尺规作图法找出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，作角平分线，作线段垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求的点． 【详解】 略 7．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是　　　　　命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】 本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 8．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点（点在上），过点作，交的延长线于点，作于点，连接．若，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质并证明三角形全等是解题的关键． 先利用角平分线的性质得到，垂直平分线的性质得到，再证明，得出；接着证明，得出，最后结合、的长度建立等式求解． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）尺规作图：如图，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点为所作． 【分析】 本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为　　　　　　　． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】 本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】 解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 11．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是的垂直平分线．点在上，连接、、，且， （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）设，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由是的垂直平分线可知， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上；     （2）      【分析】 本题考查了线段中垂线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明； （2）由推出，，证明是等腰直角三角形，结合三角形内角和进行解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 化简得：． 12．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，E是内的一点，连接，且，延长AE交BC边于点D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点A、E都在线段的垂直平分线上， ∵延长AE交BC边于点D． ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴．     （2）2      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）证明点A，E都在线段的垂直平分线上，再根据两点决定一条直线可得所在直线是线段的垂直平分线，据此即可证明结论； （2）由垂直平分线的定义可得，进而完成解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，和分别垂直平分边、，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】 解：连接、， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知线段a，b，h（），请用尺规作图法作锐角三角形，使，，边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图： 【分析】 本题考查了复杂的尺规作图，掌握基本尺规作图是解题的关键，解答时，要从不同角度即锐角三角形和钝角三角形考虑问题． 根据基本尺规作图的方法，作出不同情况的三角形即可． 【详解】 解：第一步：作直线，在直线上任取一点，作； 第二步：在上截取线段； 第三步：以为圆心，为半径画弧交射线于C； 第四步：以C为圆心，为半径画弧，交射线于B； 第五步：连接、则即为所求． 考点03 画轴对称的图形 1．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵关于y轴对称点的坐标是纵坐标不变横坐标变为原来的相反数， ∴关于y轴对称点的坐标是． 故选：B． 2．（25-26学年八上·陕西西安西光中学·期中）已知点与点关于轴对称，那么点的值为（    ） A. 7 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接利用关于轴对称点的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了关于x轴对称点的坐标变化规律，解题关键是熟练运用对称点坐标变化规律，求出a、b的值．两点关于x轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 3．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出点位置是解题关键． 根据轴对称作最短路线得出，进而得出，即可得出的周长最小时点坐标． 【详解】 解：作点关于轴对称点点，连接，交轴于点， 此时的周长最小， 点、的坐标分别为和， 点坐标为：，， 则，即， ， ， 点的坐标是，此时的周长最小． 故选：A． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称点的坐标；根据关于轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点关于轴对称，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，仍为， ∴对称点的坐标为 故答案为：． 5．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 【答案】（1），，；     （2） 如图， ∴即为所求；     （3） 如图， 此时点即为所求．      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平面直角坐标系即可求解； （）作，，关于轴对称点，，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，，； (2) 小问详解： 解：作，，关于轴对称点，，，连接各点， (3) 小问详解： 解：连接，交轴于点，则点即为所求， 理由：∵与对称， ∴， ∴， ∴根据“两点之间线段最短”可得，的和最小． 6．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．请画出与关于轴对称的（点的对应点分别为点，），并写出点的坐标． 【答案】如图所示， ，， 【分析】 本题考查了直角坐标系以及关于轴对称，先找到点的对应点，依次连接． 【详解】 解：关于轴对称， 横坐标不变，纵坐标为相反数， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 在直角坐标系上找到，依次连接，与关于轴对称． 7．（25-26学年八上·陕西西安第八十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）点的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．对于（1）根据轴对称的性质作图即可；对于（2）由图可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），     （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得：，； (3) 小问详解： 解：的面积为． 9．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于x轴对称的，且点的对应点分别是； （2）点的坐标是________． 【答案】（1） 所作如图所示：      （2）．      【分析】 本题主要考查了画轴对称三角形，写出坐标系中点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）借助网格，根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：由图知，点的坐标是； 故答案为：． 10．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）若点和点关于y轴对称，则a的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此问题可求解． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴，， 故的值为； 故答案为． 11．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）已知点关于轴的对称点为点，则的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】-7 【分析】 本题考查关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】 解：∵点关于y轴的对称点坐标为． 已知对称点为， ∴． ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·陕西西安第八十三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的；（点的对应点分别是点）； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了在直角坐标系中画轴对称图形，并能写出坐标，知道图形关于x轴对称各点坐标的变化特点是解题的关键．（1）根据图形关于x轴对称各点坐标的变化特点描点连线即可；（2）根据点的坐标位置写出坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点的坐标为，点的坐标为． 13．（25-26学年八上·陕西西安莲湖区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，． （1）画出关于轴对称的，点的对应点分别为； （2）点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与轴对称，掌握关于轴对称的点的坐标特征为纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征得到点，依次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：.． 14．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）如图，正方形网格每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将关于轴对称，得到；再将关于轴对称，得到，画出，并写出点、的坐标．（其中点与对应，点与对应，依此类推） 【答案】如图即为所求， ， 【分析】 本题考查了画轴对称图形，解题的关键是掌握对称的性质，根据题意画出图形，再根据图形即可求出点、的坐标． 【详解】 略 15．（25-26学年八上·陕西西安庆安初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出A、B两点的坐标：A______；B______； （2）画出关于y轴对称的； （3）的面积为______． 【答案】（1）；     （2） 如图，即为所作；      （3）4      【分析】 本题考查了点坐标，利用轴对称的性质作图，利用网格求三角形的面积．熟练掌握点坐标，利用轴对称的性质作图，是解题的关键． （1）根据图形直接写出点的坐标即可； （2）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （3）利用割补法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意知，． 16．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点关于轴的对称点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的横坐标为以及关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）是解题的关键． 先根据点在轴上的坐标特征求出的值，确定点的坐标，再依据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标． 【详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 点关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出与关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是，，； （2）点的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图， 即为所求作；      （2）      【分析】 本题考查坐标与图形变化轴对称，掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称性质得到对应点的位置，然后顺次连接即可画出图形； （2）直接根据图形求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，． 18．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b的值，再计算． 本题考查了轴对称的坐标特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：1． 19．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．在图中画出关于轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并直接写出点E、F的坐标． 【答案】如图，即为所画， 点的坐标为，点的坐标为 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，求出点、关于轴对称的点、的坐标，再画出． 【详解】 解：关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 已知，则其关于轴对称的点的坐标为， 已知，则其关于轴对称的点的坐标为， 综上，点的坐标为，点的坐标为． 20．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）求的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）      【分析】 此题考查了作图-轴对称变换及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接可得即可． （2）根据勾股定理求出三边长，进而求出周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图得，，， 所以的周长为． 21．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）已知点与点关于轴对称，则的结果为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3 22．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】 解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）请画出与关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点）； （2）请画出与关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，       【分析】 本题考查了轴对称变换——作图，正确得出对应点位置是解题关键； （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，的坐标为 24．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．在图中作出关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求． ，． 【分析】 本题考查了作图形的轴对称图形，准确作出三个点的对称点是解题关键． 利用关于x轴对称的点的坐标特征得到点，，的坐标，然后描点即可． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·陕西西安第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）若点为内部一点，则点P的对应点的坐标是______； （3）求的面积． 【答案】（1） 即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，找到，，关于轴的对称点，，顺次连接，则即为所求； （2）根据关于y轴对称点的特点，得出点P对应点的坐标即可； （3）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点为内部一点，则点P的对应点的坐标是． (3) 小问详解： 解：． 26．（25-26学年八上·陕西西安铁一中学·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为：，，． （1）写出点B关于y轴对称的点的坐标：          ； （2）请在图中作＇，使得和关于x轴对称； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，请在第四象限内找一格点E，使得，则点E的坐标为          ． 【答案】（1）     （2） 如图：      （3）      【分析】 本题考查了轴对称的性质、一次函数解析式的求解，熟练掌握点关于轴对称的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据关于轴对称点的坐标变化规律，进行解题即可； （2）根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点、、关于轴对称点、、的坐标，在平面直角坐标系中，将点、、连接起来得到； （3）根据两点间距离公式计算、、的长度，由于，则分情况讨论，、或、，设在第四象限内点E的坐标为，根据距离相等列方程计算求解即可． (1) 小问详解： 解：根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同得， 点关于y轴对称的点的坐标为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数得， 点关于轴对称点的坐标为， 点关于轴对称点的坐标为， 点关于轴对称点的坐标为， 在平面直角坐标系中，将点、、连接起来； (3) 小问详解： 解：根据题意得，， 则， ， ， 由于，则分情况讨论， 第一种情况：、 设在第四象限内点E的坐标为， 则， ， 两式联立，得： 解得或（舍去） 当时， 因此，点E的坐标为； 第二种情况：、 设在第四象限内点E的坐标为， 则， ， 两式联立，得： 解得或 由于点E在第四象限内， 所以，即或都不符合要求， 因此，第二种情况没有符合条件的格点， 综上所述，点E的坐标为， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可． 【详解】 解：∵，点的纵坐标为1， ∴AC∥x轴， ∵点，是第一象限角平分线上的两点， ∴∠BAC=45°， ∵， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠C=90°， ∴BC∥y轴， ∴AC=BC=2， 作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小， ∴此时四边形的周长最小， 作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG， ∴EG=2，GA=4， 在Rt△AGE中， ∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ． 【点睛】 本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键． 28．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，其中点A的对应点是点，点B的对应点是点； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，为作三角形；            （2）      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质. （1）分别作出点，关于y轴的对称点，再顺次连接可得； （2）利用整体减部分法求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的顶点坐标分别是，， ∴. 29．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标依次为、、，画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点、的坐标． 【答案】解：如图：即为所求； 点、的坐标分别为：、． 【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 先作出点、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点、的坐标即可． 【详解】 略 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在三角形纸片中，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意证得，，，由三角形外角的性质及等角对等边 ，据此即可求解． 【详解】 ∵是由沿直线折叠而成， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由可得，进而利用直角三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作的延长线于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）下列命题中，其逆命题不是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】A 【分析】 本题考查了命题与逆命题，真命题与假命题的判定，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质进行判定即可求解．通过判断每个命题的逆命题的真假，发现选项A的逆命题不成立，因为对应角相等的三角形不一定全等；而选项B、C、D的逆命题均成立． 【详解】 解：∵ 选项A的原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，但对应角相等的三角形可能相似而不全等（如两个大小不同的等边三角形），故逆命题不成立； ∵ 选项B的原命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，由等角对等边，成立； ∵ 选项C的原命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，成立； ∵ 选项D的原命题“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“角平分线上的点到角两边距离相等”，是角平分线的性质，成立． ∴ 逆命题不是真命题的是A． 故选A． 4．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，于点的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接．下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 点E是的中点 D. 平分 【答案】C 【分析】 本题主要考查直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；根据直角三角形的性质可得A选项，然后可得，进而根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； 综上所述：只有C选项错误； 故选C． 5．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A. 4 B.  C. 5 D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，证明是等腰三角形，得到，由角平分线的性质得到，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：， 是等腰三角形， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，点B关于的对称点E恰好落在边上，连接，若为的角平分线，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】 解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点在BA的延长线上，点在BC边上，连接ED，EC，且，过点作于点，若，则BD的长为（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【详解】 解：，， 在中，则，， ∵ ，， ， ， 又，即，而， ，同时，即， 将代入，可得， ． 故选：A． 8．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，直角的顶点是的中点，连接，两边分别交于点E、F，连接．若，则的长为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 先根据等腰直角三角形的性质得出，再通过角的关系推出 ，从而证明，进而得出． 【详解】 解：，，直角的顶点是的中点， ，． ，， ， ， ， 故选：C． 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（         ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】① ∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBC中， BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA， ∴△ABD≌△EBC(SAS)， ∴① 正确； ② ∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴② 正确； ③ ∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， ∴③ 正确； ④ 因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD， 故④ 错误. 故选：C. 【点睛】此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 10．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（       ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形； 根据角平分线的性质和平行线的性质证明和为等腰三角形即可求解． 【详解】 ∵的平分线，与的外角的平分线相交于点F， ， ∵， ， ， ， 和为等腰三角形， ， 故选：C． 11．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若AF＝6，求CD的长． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在和中， ， ∴（ASA）； （2）3 【分析】 （1）先证明∠EAF＝∠ECB，再由ASA证明△AEF≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别是、上的点，连接，并交于点，M、N分别是，上的点，若．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，得到，再根据等腰三角形的性质即可解题． 【详解】 略 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，为上一点，连接． （1）若，求的度数； （2）若点是的中点，求的长． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据，得出，再根据，得出，再根据等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点是的中点，得出，根据含直角三角形的性质，得出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 15．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）     （2）见解析      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； (2) 小问详解： 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 16．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，，则可得，，再作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，则可得点即为所求，然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】 解：将代入得：，即， ∴， 将代入得：，解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴， 即当值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长　　　　　． 【答案】5 【分析】 过D作交BC于H，求出，延长GC到M，使，连接DM，DG，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 解：过D作交BC于H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴（AAS）， ∴， 延长GC到M，使，连接DM，DG， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 18．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，交的延长线于点于点F，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等角对等角，由等角对等角得出由含，由三角形外角的定义和性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由含30度直角三角形的性质得出，最后再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 19．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点P，交边于点Q，连接平分，交边于点D． （1）若，求的度数； （2）若，在直线上是否存在点M，使以点为顶点的的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）存在，周长的最小值为      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）在上任取一点M，连接，由题意易得，然后可得的周长为，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：， ． ． 垂直平分， ． ． 平分， ， ． (2) 小问详解： 解：存在． 如图，在上任取一点M，连接． 垂直平分，点M在上， ． 的周长为． 当点M与点P重合时，的周长最小． ， 周长的最小值为． 20．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，为的高线，已知，求证：． 【答案】证明：，为的高线， ， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关判定与性质定理，是解决问题的关键．易知和均为直角三角形， 依据“”判定， 得到， 然后再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 22．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，为上一点，过点作．若，，则的长为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等腰三角形的判定及三角形外角的性质可得，，进而可求解，再利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 23．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，且，过点D作，交的平分线于点，连接．，和是对应边．和是对应角，连接． （1）求证：垂直平分； （2）延长交于点．求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ． ，， ， ． ， ，， ． 垂直平分．     （2） 如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定、等腰三角形的性质等，解（2）问关键是利用平行线+角平分线模型证明． （1）先证明，进而可得，结合可得，，由垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）得出结论； （2）连接．先证明，，进而可以证明，由此得出，结合即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图：是等边三角形，，相交于点，于，，，则的长是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键. 25．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点是线段上一点，连接平分交于点，作于点，交的延长线于点是的高，延长交于点，若，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到线段相等，再通过全等三角形和线段的和差关系求出的长． 先根据角平分线的性质得出，结合三角形面积比求出的长度；再利用角平分线和垂直的条件证明，得到；最后结合推出，进而求出的长． 【详解】 解：平分， ， 由三角形面积公式（为底，为高），可得， ， ，解得， 平分， ，又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【分析】 利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】 略 28．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　　　　cm． 【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 29．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1） 解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：平分交于点E， ， 设， ，， ．      【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角，可得，然后利用三角形内角和定理，可证，结合对顶角相等，可得，从而判定其为等腰三角形； （2）不妨设，然后利用三角形内角和定理，分别表示出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】米 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；先证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 31．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是                   【答案】（1） 证明：，分别是和 的高， ， 又是的角平分线， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，，根据角平分线的性质得到，推出点在的垂直平分线上，根据全等三角形的判定和性质定理以及线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据含直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， ， 是的平分线， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）【问题提出】 如图①，在四边形中，是边的中点，平分，试判断，，之间的数量关系．小颖的解题思路为：如图②，延长，交于点，构造即可判断． （1）按照小颖的解题思路，判断，，之间的数量关系是________； （2）如图③，在中，是边的中点，点在边上，连接交于点，且，求证：； 【问题解决】 （3）如图④，四边形是一个物流中心的平面示意图，对角线是中间的一条主传送带，为提高分拣效率，要沿对角线铺设一条辅助传送带，在两条传送带的交点处设置-一个临时分拣台（分拣台大小忽略不计），在边的中点处设置一个快递出口，再沿铺设一条分流传送带方便快递转运．设备部需要知道与之间的数量关系，以确定采购传送带的长度．按照设计要求，，请你帮设备部探究辅助传送带与分流传送带之间的数量关系．（传送带宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）证明：如图③ ，延长到点，使，连接， 是边的中点， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ． ， ， ； （3）． 【分析】 （1）延长，交于点，根据平行线的性质可得根据可得，，由是边的中点可得，证明得到，根据角平分线的定义可得，推出，即可求解； （2）延长到点，使，连接，先证明得到，，推出，得到即可得证； （3）延长到点，使，连接，延长到点，使，连接，先证可得，，推出，得到，进而得到，再证明得到，，推出，最后证明，得到，即可求解． 【详解】 解：（1）如图② ，延长，交于点， ， ，， 是边的中点， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图④ ，延长到点，使，连接，延长到点，使，连接， 是边的中点， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即辅助传送带与分流传送带之间的数量关系为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 33．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）【初步感知】 （1）如图1，在中，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【答案】（1）（2）；（3）400000元 【分析】 （1）利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； （2）延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为10，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 【详解】 解：（1）作于点， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴； （3）作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）． 【点睛】 本题考查了30度角直角三角形的性质，勾股定理，直角斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 34．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）【探究证明】 （1）如图，在中，点为边上一动点，连接，过点作于点，以为边向右作，使，连接，且，延长交于点． 求证：； 试判断与是否相等，并说明理由． 【灵活应用】 （2）如图，在某校园中心，有一片三角形的绿化区域，其中，，为了美化环境，学校在边上安置了一个喷水装置点，点满足，为绿化区域内一点，在边上有一盏路灯，连接，且，是的中点，为了扩大喷水范围，现需铺设管线和，当管线总长度最小时，求的度数． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解本题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； 由全等的性质可得，从而得到， 根据等边对等角可得， 从而得证结论； （2）取的中点，连接，，证明， 得出， 则有， 得到当，，三点共线时，最小， 证明， 再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】 （1）略 略 （2）解：如图所示，取的中点，连接，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，最小， ， ， ，， ， 当，，三点共线时， 即当管线总长度最小时，的度数为． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】C 【分析】 先根据等边三角形性质得，，再根据得，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】 解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，是边长为2的等边三角形，以边所在直线为轴，以边的中垂线为轴建立平面直角坐标系，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动，第秒点在（       ）处． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，数形结合寻找规律是正确解答此题的关键． 根据题意得到，，，则第1秒点P运动到点B，第2秒点P运动到点C，第3秒点P回到点A，观察出点P运动的时间周期为3秒，计算没有余数，说明第秒时，点P刚好完成个完整的循环，回到了起始点A处，据此可得答案． 【详解】 解：∵是边长为2的等边三角形，以边所在直线为轴，以边的中垂线为轴建立平面直角坐标系， ∴，， ∵点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴第1秒点P运动到点B，第2秒点P运动到点C，第3秒点P回到点A， ∴观察出点P运动的时间周期为3秒， ∵， ∴第秒点P在处． 故选：A． 3．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，是等边三角形，以为边在边的左侧作，且，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质定理是解题的关键．由等边三角形的性质推出，， 得到，推出，根据三角形的内角和定理求出的度数，进而即可得到的度数． 【详解】 解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故选：D ． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，已知等边的边长为，点为上一点，过点作于点，过点作于点，连接．若也是等边三角形，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先根据等边三角形和垂直的性质证明， 推出，在中，易知，可得， 从而推出， 从而可求得的长． 【详解】 解：为等边三角形， ． 为等边三角形， ． ，， ． 在和中， ， ， ， 在中，， ， 即， ，   即， ． 故选：B ． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（       ） A. 12 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 6．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，在中，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）     （2）见解析      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． ． ， ． ． ； (2) 小问详解： 证明：， ， ， ． 是等边三角形． 7．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1） 即为所作：      （2）     （3）如图： 【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积 ； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 8．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质易知，结合等边三角形性质得到，根据，得到，即可得解． 【详解】 解：点在轴上，交轴于点、轴， 是边长为的等边三角形， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是边上一点，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质，三角形外角性质解答即可； （2）根据等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，是边上的中线， ∴，，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：． 10．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，和均是边长为2的等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴， 在和中， ， ；     （2）是等边三角形， 说明：， ，， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质证明全等． （1）根据等边三角形的性质证明，，，再利用证明即可； （2）根据全等的性质得到，，从而证明，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，且，在线段上取、两点，使，连接、．    （1）求证：平分； （2）如图，过点作于点，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵，且，    ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴平分．     （2） 证明：由（1）得，， 在中， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 此题考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识； （1）由且，得，而，则，所以垂直平分，则，所以平分； （2）由（1）得，，而，所以，由，，得，即可证明，得，所以，则是等边三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点D是边上的点，且点D在线段的垂直平分线上，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：在中， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等边三角形． 【分析】 此题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解决问题的关键． 先求出，再根据点在线段的垂直平分线上得，然后根据等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】 略 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，； （1）求证：； （2）求证：是等边三角形 【答案】（1） 证明：在和中， ， ；     （2） 证明：由可知， ， ， ， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． 利用证明即可； 根据全等三角形的性质可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，是边上的中线，作的垂直平分线交于点，交于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是等边三角形．理由： ∵在中， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】 由已知判定是等腰三角形，得，由等腰三角形性质得，由线段垂直平分线性质得，由三角形外角性质和余角定义得，即得是等边三角形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，三角形外角性质，余角定义．掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为　　　　　　　　　　； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 【答案】（1）4； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3） 【分析】 本题考查了两点之间线段最短、全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得答案； （2）根据题目给出的两组对应边相等，结合平行线的性质推出夹角相等，利用边角边证得全等三角形，从而得到对应线段相等即可； （3）以为边，为顶点，向下作，使得，连接，证明，推出，当、、三点共线时，最小，进而计算的度数． 【详解】 解：（1）∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线的时候，的最小值为； 故答案为：4； （2）略 （3）如图所示，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．D 3．【答案】如图所示： 【详解】 试题分析：要使到AB和BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上；要使到B、C两点的距离相等，则点P在线段BC的中垂线上，故点P就是∠ABC的角平分线和线段BC的中垂线的交点． 4．【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】 略 5．【答案】真 【分析】 本题考查的知识点是逆命题的概念，判断真假命题的能力、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握逆命题的概念． 逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到，再根据全等三角形的性质即可判断命题真假． 【详解】 解：原命题“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”的逆命题为“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”． 由于全等三角形的对应边和对应角都相等，根据三角形面积公式，它们的面积必然相等，因此该逆命题是真命题． 故答案为：真． 6．【答案】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 【分析】 本题考查了尺规作图，作角平分线，作线段垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求的点． 【详解】 略 7．【答案】假 【分析】 本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质并证明三角形全等是解题的关键． 先利用角平分线的性质得到，垂直平分线的性质得到，再证明，得出；接着证明，得出，最后结合、的长度建立等式求解． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 9．【答案】解：如图，点为所作． 【分析】 本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】 略 10．【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】 本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】 解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 11．【答案】（1） 证明：由是的垂直平分线可知， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上；     （2）      【分析】 本题考查了线段中垂线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明； （2）由推出，，证明是等腰直角三角形，结合三角形内角和进行解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 化简得：． 12．【答案】（1） 证明：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点A、E都在线段的垂直平分线上， ∵延长AE交BC边于点D． ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴．     （2）2      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）证明点A，E都在线段的垂直平分线上，再根据两点决定一条直线可得所在直线是线段的垂直平分线，据此即可证明结论； （2）由垂直平分线的定义可得，进而完成解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 13．【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】 解：连接、， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．【答案】如图： 【分析】 本题考查了复杂的尺规作图，掌握基本尺规作图是解题的关键，解答时，要从不同角度即锐角三角形和钝角三角形考虑问题． 根据基本尺规作图的方法，作出不同情况的三角形即可． 【详解】 解：第一步：作直线，在直线上任取一点，作； 第二步：在上截取线段； 第三步：以为圆心，为半径画弧交射线于C； 第四步：以C为圆心，为半径画弧，交射线于B； 第五步：连接、则即为所求． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．A 3．A 4．【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称点的坐标；根据关于轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点关于轴对称，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，仍为， ∴对称点的坐标为 故答案为：． 5．【答案】（1），，；     （2） 如图， ∴即为所求；     （3） 如图， 此时点即为所求．      【分析】 本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平面直角坐标系即可求解； （）作，，关于轴对称点，，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可得，，； (2) 小问详解： 解：作，，关于轴对称点，，，连接各点， (3) 小问详解： 解：连接，交轴于点，则点即为所求， 理由：∵与对称， ∴， ∴， ∴根据“两点之间线段最短”可得，的和最小． 6．【答案】如图所示， ，， 【分析】 本题考查了直角坐标系以及关于轴对称，先找到点的对应点，依次连接． 【详解】 解：关于轴对称， 横坐标不变，纵坐标为相反数， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 在直角坐标系上找到，依次连接，与关于轴对称． 7．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．对于（1）根据轴对称的性质作图即可；对于（2）由图可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为， 故答案为：． 8．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），     （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得：，； (3) 小问详解： 解：的面积为． 9．【答案】（1） 所作如图所示：      （2）．      【分析】 本题主要考查了画轴对称三角形，写出坐标系中点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）借助网格，根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：由图知，点的坐标是； 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此问题可求解． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴，， 故的值为； 故答案为． 11．【答案】-7 【分析】 本题考查关于y轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】 解：∵点关于y轴的对称点坐标为． 已知对称点为， ∴． ∴． 故答案为：． 12．【答案】（1） 如图即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了在直角坐标系中画轴对称图形，并能写出坐标，知道图形关于x轴对称各点坐标的变化特点是解题的关键．（1）根据图形关于x轴对称各点坐标的变化特点描点连线即可；（2）根据点的坐标位置写出坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点的坐标为，点的坐标为． 13．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与轴对称，掌握关于轴对称的点的坐标特征为纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征得到点，依次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：.． 14．【答案】如图即为所求， ， 【分析】 本题考查了画轴对称图形，解题的关键是掌握对称的性质，根据题意画出图形，再根据图形即可求出点、的坐标． 【详解】 略 15．【答案】（1）；     （2） 如图，即为所作；      （3）4      【分析】 本题考查了点坐标，利用轴对称的性质作图，利用网格求三角形的面积．熟练掌握点坐标，利用轴对称的性质作图，是解题的关键． （1）根据图形直接写出点的坐标即可； （2）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （3）利用割补法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意知，． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的横坐标为以及关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）是解题的关键． 先根据点在轴上的坐标特征求出的值，确定点的坐标，再依据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标． 【详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 点关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 17．【答案】（1） 解：如图， 即为所求作；      （2）      【分析】 本题考查坐标与图形变化轴对称，掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称性质得到对应点的位置，然后顺次连接即可画出图形； （2）直接根据图形求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，． 18．【答案】1 【分析】 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b的值，再计算． 本题考查了轴对称的坐标特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：1． 19．【答案】如图，即为所画， 点的坐标为，点的坐标为 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，求出点、关于轴对称的点、的坐标，再画出． 【详解】 解：关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 已知，则其关于轴对称的点的坐标为， 已知，则其关于轴对称的点的坐标为， 综上，点的坐标为，点的坐标为． 20．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）      【分析】 此题考查了作图-轴对称变换及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出三顶点关于y轴的对称点，再顺次连接可得即可． （2）根据勾股定理求出三边长，进而求出周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图得，，， 所以的周长为． 21．【答案】3 【分析】 本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3 22．【答案】 【分析】 本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】 解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 23．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，       【分析】 本题考查了轴对称变换——作图，正确得出对应点位置是解题关键； （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知，的坐标为 24．【答案】如图，即为所求． ，． 【分析】 本题考查了作图形的轴对称图形，准确作出三个点的对称点是解题关键． 利用关于x轴对称的点的坐标特征得到点，，的坐标，然后描点即可． 【详解】 略 25．【答案】（1） 即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，找到，，关于轴的对称点，，顺次连接，则即为所求； （2）根据关于y轴对称点的特点，得出点P对应点的坐标即可； （3）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点为内部一点，则点P的对应点的坐标是． (3) 小问详解： 解：． 26．【答案】（1）     （2） 如图：      （3）      【分析】 本题考查了轴对称的性质、一次函数解析式的求解，熟练掌握点关于轴对称的坐标变换规律是解题的关键． （1）根据关于轴对称点的坐标变化规律，进行解题即可； （2）根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点、、关于轴对称点、、的坐标，在平面直角坐标系中，将点、、连接起来得到； （3）根据两点间距离公式计算、、的长度，由于，则分情况讨论，、或、，设在第四象限内点E的坐标为，根据距离相等列方程计算求解即可． (1) 小问详解： 解：根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同得， 点关于y轴对称的点的坐标为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称点的坐标变化规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数得， 点关于轴对称点的坐标为， 点关于轴对称点的坐标为， 点关于轴对称点的坐标为， 在平面直角坐标系中，将点、、连接起来； (3) 小问详解： 解：根据题意得，， 则， ， ， 由于，则分情况讨论， 第一种情况：、 设在第四象限内点E的坐标为， 则， ， 两式联立，得： 解得或（舍去） 当时， 因此，点E的坐标为； 第二种情况：、 设在第四象限内点E的坐标为， 则， ， 两式联立，得： 解得或 由于点E在第四象限内， 所以，即或都不符合要求， 因此，第二种情况没有符合条件的格点， 综上所述，点E的坐标为， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可． 【详解】 解：∵，点的纵坐标为1， ∴AC∥x轴， ∵点，是第一象限角平分线上的两点， ∴∠BAC=45°， ∵， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠C=90°， ∴BC∥y轴， ∴AC=BC=2， 作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小， ∴此时四边形的周长最小， 作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG， ∴EG=2，GA=4， 在Rt△AGE中， ∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ． 【点睛】 本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键． 28．【答案】（1） 如图，为作三角形；            （2）      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质. （1）分别作出点，关于y轴的对称点，再顺次连接可得； （2）利用整体减部分法求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的顶点坐标分别是，， ∴. 29．【答案】解：如图：即为所求； 点、的坐标分别为：、． 【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 先作出点、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点、的坐标即可． 【详解】 略 考点04 等腰三角形 1．D 2．C 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A 8．C 9．C 10．C 11．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在和中， ， ∴（ASA）； （2）3 【分析】 （1）先证明∠EAF＝∠ECB，再由ASA证明△AEF≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，得到，再根据等腰三角形的性质即可解题． 【详解】 略 13．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据，得出，再根据，得出，再根据等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点是的中点，得出，根据含直角三角形的性质，得出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 15．【答案】（1）     （2）见解析      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； (2) 小问详解： 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 16．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，，则可得，，再作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，则可得点即为所求，然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】 解：将代入得：，即， ∴， 将代入得：，解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴， 即当值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 17．【答案】5 【分析】 过D作交BC于H，求出，延长GC到M，使，连接DM，DG，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 解：过D作交BC于H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴（AAS）， ∴， 延长GC到M，使，连接DM，DG， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等角对等角，由等角对等角得出由含，由三角形外角的定义和性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由含30度直角三角形的性质得出，最后再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 19．【答案】（1）；     （2）存在，周长的最小值为      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）在上任取一点M，连接，由题意易得，然后可得的周长为，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：， ． ． 垂直平分， ． ． 平分， ， ． (2) 小问详解： 解：存在． 如图，在上任取一点M，连接． 垂直平分，点M在上， ． 的周长为． 当点M与点P重合时，的周长最小． ， 周长的最小值为． 20．【答案】证明：，为的高线， ， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关判定与性质定理，是解决问题的关键．易知和均为直角三角形， 依据“”判定， 得到， 然后再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 21．【答案】（1） 证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 22．【答案】8 【分析】 本题主要考查含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等腰三角形的判定及三角形外角的性质可得，，进而可求解，再利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 23．【答案】（1） 证明：平分， ． ，， ， ． ， ，， ． 垂直平分．     （2） 如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定、等腰三角形的性质等，解（2）问关键是利用平行线+角平分线模型证明． （1）先证明，进而可得，结合可得，，由垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）得出结论； （2）连接．先证明，，进而可以证明，由此得出，结合即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．【答案】9 【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键. 25．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 26．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到线段相等，再通过全等三角形和线段的和差关系求出的长． 先根据角平分线的性质得出，结合三角形面积比求出的长度；再利用角平分线和垂直的条件证明，得到；最后结合推出，进而求出的长． 【详解】 解：平分， ， 由三角形面积公式（为底，为高），可得， ， ，解得， 平分， ，又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 27．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【分析】 利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】 略 28．【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 29．【答案】（1） 解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：平分交于点E， ， 设， ，， ．      【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角，可得，然后利用三角形内角和定理，可证，结合对顶角相等，可得，从而判定其为等腰三角形； （2）不妨设，然后利用三角形内角和定理，分别表示出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．【答案】米 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；先证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 31．【答案】（1） 证明：，分别是和 的高， ， 又是的角平分线， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，，根据角平分线的性质得到，推出点在的垂直平分线上，根据全等三角形的判定和性质定理以及线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据含直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， ， 是的平分线， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 32．【答案】（1）； （2）证明：如图③ ，延长到点，使，连接， 是边的中点， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ． ， ， ； （3）． 【分析】 （1）延长，交于点，根据平行线的性质可得根据可得，，由是边的中点可得，证明得到，根据角平分线的定义可得，推出，即可求解； （2）延长到点，使，连接，先证明得到，，推出，得到即可得证； （3）延长到点，使，连接，延长到点，使，连接，先证可得，，推出，得到，进而得到，再证明得到，，推出，最后证明，得到，即可求解． 【详解】 解：（1）如图② ，延长，交于点， ， ，， 是边的中点， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图④ ，延长到点，使，连接，延长到点，使，连接， 是边的中点， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即辅助传送带与分流传送带之间的数量关系为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 33．【答案】（1）（2）；（3）400000元 【分析】 （1）利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； （2）延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为10，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 【详解】 解：（1）作于点， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴； （3）作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）． 【点睛】 本题考查了30度角直角三角形的性质，勾股定理，直角斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 34．【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解本题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； 由全等的性质可得，从而得到， 根据等边对等角可得， 从而得证结论； （2）取的中点，连接，，证明， 得出， 则有， 得到当，，三点共线时，最小， 证明， 再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】 （1）略 略 （2）解：如图所示，取的中点，连接，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，最小， ， ， ，， ， 当，，三点共线时， 即当管线总长度最小时，的度数为． 考点05 等边三角形 1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．【答案】（1）     （2）见解析      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． ． ， ． ． ； (2) 小问详解： 证明：， ， ， ． 是等边三角形． 7．【答案】（1） 即为所作：      （2）     （3）如图： 【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积 ； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 8．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质易知，结合等边三角形性质得到，根据，得到，即可得解． 【详解】 解：点在轴上，交轴于点、轴， 是边长为的等边三角形， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质，三角形外角性质解答即可； （2）根据等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，是边上的中线， ∴，，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：． 10．【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴， 在和中， ， ；     （2）是等边三角形， 说明：， ，， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质证明全等． （1）根据等边三角形的性质证明，，，再利用证明即可； （2）根据全等的性质得到，，从而证明，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1） 证明：∵，且，    ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴平分．     （2） 证明：由（1）得，， 在中， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 此题考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识； （1）由且，得，而，则，所以垂直平分，则，所以平分； （2）由（1）得，，而，所以，由，，得，即可证明，得，所以，则是等边三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】证明：在中， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等边三角形． 【分析】 此题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解决问题的关键． 先求出，再根据点在线段的垂直平分线上得，然后根据等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】 略 13．【答案】（1） 证明：在和中， ， ；     （2） 证明：由可知， ， ， ， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． 利用证明即可； 根据全等三角形的性质可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．【答案】解：是等边三角形．理由： ∵在中， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】 由已知判定是等腰三角形，得，由等腰三角形性质得，由线段垂直平分线性质得，由三角形外角性质和余角定义得，即得是等边三角形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，三角形外角性质，余角定义．掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 15．【答案】（1）4； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3） 【分析】 本题考查了两点之间线段最短、全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得答案； （2）根据题目给出的两组对应边相等，结合平行线的性质推出夹角相等，利用边角边证得全等三角形，从而得到对应线段相等即可； （3）以为边，为顶点，向下作，使得，连接，证明，推出，当、、三点共线时，最小，进而计算的度数． 【详解】 解：（1）∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线的时候，的最小值为； 故答案为：4； （2）略 （3）如图所示，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $