精品解析：内蒙古包头市第二十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

包二十四中学期中数学试卷2024.11.28 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 5. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（ ） A. 2：5 B. 14：25 C. 16：25 D. 4：21 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 10. 某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（　　） A. 39米 B. 30米 C. 24米 D. 15米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比约为0.618）．如上图，P为的黄金分割点，则的长约为______．（结果精确到） 13. 如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则__________． 14. 如图，在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为，所列方程式是______． 15. 如图，中，，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线（）与的边、分别交于点C、D，点C为的中点，连接、．若，则为_____． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，且，连接并延长交于点，过点作于点交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的是____________． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）． （1）分数段在-----范围的人数最多； （2）全校共有多少人参加比赛？ （3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率． 19. 如图，在中，，交于点，交于点． 求证： （1）； （2）． 20. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． （2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 21. 一款服装每件进价为70元，销售价为150元/件时，每天可售出15件．经市场调查发现，如果每件服装降价5元，那么每天可多售出3件．在尽可能让顾客得到实惠的前提下，每件服装降价多少元时，商家每天能盈利1620元？ 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）在轴上有一动点，若的值最小，求点的坐标； （3）在轴上有一动点，若的面积为3，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包二十四中学期中数学试卷2024.11.28 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有条实线段，    故选：C． 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 3. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4. 已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2． 则由得， ，即． 解得k＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． ． 5. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可． 【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： ． 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键． 6. 如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（ ） A. 2：5 B. 14：25 C. 16：25 D. 4：21 【答案】B 【解析】 【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8-x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x＝，则EC＝，利用三角形面积公式计算出S△BCE＝BC•CE＝×6×＝，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED＝＝，利用三角形面积公式计算出S△BDE＝BD•DE＝×5×＝，然后求出两面积的比． 【详解】解：在Rt△BAC中，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10， ∵把△ABC沿DE使A与B重合， ∴AD＝BD，EA＝EB， ∴BD＝AB＝5， 设AE＝x，则BE＝x，EC＝8﹣x， 在Rt△BEC中，∵BE2＝EC2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+62， ∴x＝， ∴EC＝8﹣x＝8﹣＝， ∴S△BCE＝BC•CE＝×6×＝， 在Rt△BED中，∵BE2＝ED2+BD2， ∴ED＝＝， ∴S△BDE＝BD•DE＝×5×＝， ∴S△BCE：S△BDE＝：＝14：25． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理． 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误； B．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误； D．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确． 故选：D． 9. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可. 【详解】根据题意得=30%，解得：n=30， 经检验：n=30符合题意， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键. 10. 某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（　　） A. 39米 B. 30米 C. 24米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP， ∵∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△PDC， ∴， ∴CD＝×AB＝×1.5＝39米； 那么该大厦的高度是39米． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握当且时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比约为0.618）．如上图，P为的黄金分割点，则的长约为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，近似数．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 13. 如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，，设，则，根据题意可求得，，推得点的坐标，代入，即可求解． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图： ∵，轴，轴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵点在上， 将代入得：， ∴， 则， 故， ∵点在上， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键． 14. 如图，在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为，所列方程式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据小路的宽度，可得出矩形花园的长为，宽为，结合矩形花园所占面积为荒地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小路的宽度为， ∴矩形花园的长为，宽为． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，中，，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线（）与的边、分别交于点C、D，点C为的中点，连接、．若，则为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过C作于E，根据反比例函数关系式与面积的关系得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据C是的中点，可得，根据，求得，根据C是的中点，可得，即可求解． 【详解】解：过C作于E， ∵点C、D在双曲线（）上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵C是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵C是的中点 ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，所成的三角形的面积是定值，且保持不变． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，且，连接并延长交于点，过点作于点交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的是____________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到，由此得到判断①正确；先求出，利用等腰三角形的性质求出，再根据对顶角相等及平角求出，由此判断②；根据等腰三角形的三线合一的性质求出，推出，即可判断③；证明，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即①正确； ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故④正确． 故正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查用公式法和因式分解法解一元二次方程； （1）用公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， 18. 2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）． （1）分数段在-----范围的人数最多； （2）全校共有多少人参加比赛？ （3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率． 【答案】（1）85～90（2）24人（3）1/3 【解析】 【详解】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人， 故答案为85～90； （2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人； （3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示， 共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种， 上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为： （1）由条形图可直接得出人数最多的分数段； （2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数； （3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率 19. 如图，在中，，交于点，交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， ． ． ， ， ； （2） ， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解决问题的关键． （1）利用已知得出，即可得出答案； （2）利用，得出，进而求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． （2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 【答案】（1）2t，（5﹣t） （2）当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； （3）当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【解析】 【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论； （2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案； （3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm， ∴OQ=（5-t）cm， 故答案为：2t，（5-t）； 【小问2详解】 解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm， ∵△POQ的面积为6cm2， ∴6=×2t×（5-t）， ∴t=2或3， ∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； 【小问3详解】 （3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA， ∴或， 当，则， ∴t=； 当时，则， ∴t=1， ∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，用方程的思想是解本题的关键． 21. 一款服装每件进价为70元，销售价为150元/件时，每天可售出15件．经市场调查发现，如果每件服装降价5元，那么每天可多售出3件．在尽可能让顾客得到实惠的前提下，每件服装降价多少元时，商家每天能盈利1620元？ 【答案】每件服装降价35元时，商家每天能盈利1620元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件服装降价x元时，商家每天能盈利1620元，再根据利润单件利润销售量列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设每件服装降价x元时，商家每天能盈利1620元， 由题意得，， 整理得： 解得 或， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：每件服装降价35元时，商家每天能盈利1620元． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）在轴上有一动点，若的值最小，求点的坐标； （3）在轴上有一动点，若的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入，，进而解方程即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，由（1）结果可得，联立，求得，得，可得，求出直线解析式为，即可求出； （3）过点Q作轴交直线于点G，设,可得，根据，得，解得或，即得． 【小问1详解】 解：把代入，， 得， 解得； 【小问2详解】 解： 作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 则， ∴，最小， 由（1）知：， ∴， 联立，得， 解得， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：过点Q作轴，交直线于点G， 设， 则， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，或， 解得，或． ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，轴对称性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $