专题03 二元一次方程组（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期

专题03 二元一次方程组 考点01 二元一次方程组的概念 考点02 代入消元法 考点03 加减消元法 考点04 实际问题与二元一次方程组 考点01 二元一次方程组的概念 1．C 2．C 3．C 4．【答案】1 【分析】 本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把 代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值． 【详解】 解：把 代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 考点02 代入消元法 1．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法等知识﹒ （1）利用代入法解二元一次方程组即可； （2）利用代入法解二元一次方程组即可﹒ (1) 小问详解： 解： 由① 得， 把③ 代入② 得， 解得， 把代入③ 得， ∴方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解： 由① 得， 把③ 代入② 得， 解得， 把代入③ 得， ∴方程组的解为 ； 考点03 加减消元法 1．C 2．【答案】 ． 【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进一步进行相加减． 【详解】解： ，① ×2，得 ③-② ，得：x=1 把x=1代入① ，得：y=2 所以方程组的解为： ． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】 解： ， ，得：， 解得：， 把代入① 得：， 解得：， ∴方程组的解是 ． 4．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组为 ，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解： 把代入，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解：∵ ， 整理得 ， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为 ． 5．【答案】（1）是     （2）     （3） 【分析】 本题考查二元一次方程和二元一次方程组的新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入原方程组，再进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴是“最佳”方程； (2) 小问详解： ∵关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程， ∴，解得． (3) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以原方程组为 ， 因为 是关于x，y的“最佳”方程组 的解， 所以 ，解得 ． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论． 【详解】 解：关于，的二元一次方程组 ， ①② 得：， ， ， ∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变 ∴ 故答案为：． 7．【答案】，，． 【分析】 此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：将 代入方程组中的得：，解得， 将 代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 8．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有：代入消元法和加减消元法，灵活选用二元一次方程组的解法并正确计算是解题的关键． （1）直接用加减消元法求解即可； （2）先将第二个方程化为整数系数方程，再用加减消元法求解即可． (1) 小问详解： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是： ； (2) 小问详解： 方程组整理得 ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是： 9．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解： ， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为 ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组； 分别把给出的方程组的解代入到没有看错的方程中求出a、b的值，得到原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】 解：把 代入得：， 解得：， 把 代入得：， 解得：， ∴原方程组为 ， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为 ． 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． (1) 小问详解： 解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， ①② 的：， 把代入① 得：， 解得：， ∴方程组的解为： ， 故答案为： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为 ，解得 ， ∴把 代入可得，即， ∴， 考点04 实际问题与二元一次方程组 1．C 2．A 3．A 4．C 5．【答案】（1）梨买了1千克，橙子买了2千克     （2）他买了4千克梨      【分析】 本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设买了梨千克，买了橙子千克，则 ，解得 ， 答：梨买了1千克，橙子买了2千克； (2) 小问详解： 解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则 ， 解得， 梨买了千克， 答：他买了4千克梨． 6．【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，即可根据3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65列出方程组即可． 【详解】 解：设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为 ， 故答案为： ． 7．【答案】（1）大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹     （2）有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个      【分析】 （）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得， ， 解得 ， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； (2) 小问详解： 解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴ 或 或 ， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 8．【答案】6 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】 解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得： ， 解得： ， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 9．【答案】（1）每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元     （2）总利润最高为440元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设售出套普通版明信片，表示出总利润为，再结合，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元． (2) 小问详解： 解：设售出套普通版明信片，则总利润为：， 因为， 所以． 答：总利润最高为440元． 10．【答案】（1），两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元     （2）该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆      【分析】 本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得： ， 解得： ， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； (2) 小问详解： 解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴ 或 或 ， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01 二元一次方程组的概念 考点02 代入消元法 考点03 加减消元法 考点04 实际问题与二元一次方程组 考点01 二元一次方程组的概念 1．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若 是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值． 【详解】 将 代入得 ∴ 故选C． 2．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项，即可作答． 【详解】 解：A、的次数为二次，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是二元一次方程，故该选项符合题意； D、只有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程应含有两个未知数，且每个未知数的次数均为1，同时未知数的系数不能为零，据此求出结论即可． 【详解】 解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程， ∴的指数必须为1，即， 解得：， ∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义）， ∴， ， 故选：C． 4．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如果 是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把 代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值． 【详解】 解：把 代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 考点02 代入消元法 1．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法等知识﹒ （1）利用代入法解二元一次方程组即可； （2）利用代入法解二元一次方程组即可﹒ (1) 小问详解： 解： 由① 得， 把③ 代入② 得， 解得， 把代入③ 得， ∴方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解： 由① 得， 把③ 代入② 得， 解得， 把代入③ 得， ∴方程组的解为 ； 考点03 加减消元法 1．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）已知关于的二元一次方程组 的解满足，则的值为（     ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】 解：令方程组 ， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 2．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）解方程组 【答案】 ． 【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进一步进行相加减． 【详解】解： ，① ×2，得 ③-② ，得：x=1 把x=1代入① ，得：y=2 所以方程组的解为： ． 3．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）解方程组： ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】 解： ， ，得：， 解得：， 把代入① 得：， 解得：， ∴方程组的解是 ． 4．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组为 ，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解： 把代入，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解：∵ ， 整理得 ， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为 ． 5．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： （1）方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； （3）若 是关于x，y的“最佳”方程组 的解，求p，q的值． 【答案】（1）是     （2）     （3） 【分析】 本题考查二元一次方程和二元一次方程组的新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入原方程组，再进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴是“最佳”方程； (2) 小问详解： ∵关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程， ∴，解得． (3) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以原方程组为 ， 因为 是关于x，y的“最佳”方程组 的解， 所以 ，解得 ． 6．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论． 【详解】 解：关于，的二元一次方程组 ， ①② 得：， ， ， ∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变 ∴ 故答案为：． 7．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为 ，乙看错了方程中的，得到方程组的解为 ，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】 此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：将 代入方程组中的得：，解得， 将 代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 8．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）解方程组： （1） ； （2） 【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有：代入消元法和加减消元法，灵活选用二元一次方程组的解法并正确计算是解题的关键． （1）直接用加减消元法求解即可； （2）先将第二个方程化为整数系数方程，再用加减消元法求解即可． (1) 小问详解： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是： ； (2) 小问详解： 方程组整理得 ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是： 9．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为 ； (2) 小问详解： 解： ， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为 ． 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组 ，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组； 分别把给出的方程组的解代入到没有看错的方程中求出a、b的值，得到原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】 解：把 代入得：， 解得：， 把 代入得：， 解得：， ∴原方程组为 ， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为 ． 11．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为________； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； （3）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． (1) 小问详解： 解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， ①② 的：， 把代入① 得：， 解得：， ∴方程组的解为： ， 故答案为： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为 ，解得 ， ∴把 代入可得，即， ∴， 考点04 实际问题与二元一次方程组 1．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（       ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【分析】 本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用．设小长方形的长为，宽为，观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，据此计算即可求出结论． 【详解】 解：设小长方形的长为，宽为，则图中每个小长方形的面积为， 依题意得： ， 解得： ， ∴， 即图中每个小长方形的面积为， 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据容量为10斗的桶得到；根据共得米7斗，得到，列出方程组进行判断即可． 【详解】 解：由题意，可列方程组为： ； 故选A． 3．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）甲、乙两人各带了若干钱．若甲从乙处得到8钱，则甲拥有的钱是乙的9倍，若乙从甲处得到9钱，则乙拥有的钱是甲的8倍．甲、乙两人原来各有多少钱？设甲、乙两人原来各有钱、钱，则可列方程组（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用． 根据题意，设甲原有x钱，乙原有y钱．当甲从乙处得到8钱时，甲的钱变为，乙的钱变为，此时甲的钱是乙的9倍；当乙从甲处得到9钱时，乙的钱变为，甲的钱变为，此时乙的钱是甲的8倍．据此列方程组． 【详解】 ∵甲从乙得8钱后，甲的钱是乙的9倍， ∴； ∵乙从甲得9钱后，乙的钱是甲的8倍， ∴． ∴ 方程组为 ， 故选A． 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（     ） 2x 3 2 4y A. ，0 B. 1， C. ，1 D. 1，0 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】 解：由题意得 ， 整理得 ， 得，解得； 将代入① ，得， 解得； ∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． （1）小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 【答案】（1）梨买了1千克，橙子买了2千克     （2）他买了4千克梨      【分析】 本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设买了梨千克，买了橙子千克，则 ，解得 ， 答：梨买了1千克，橙子买了2千克； (2) 小问详解： 解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则 ， 解得， 梨买了千克， 答：他买了4千克梨． 6．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，即可根据3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65列出方程组即可． 【详解】 解：设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为 ， 故答案为： ． 7．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹     （2）有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个      【分析】 （）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得， ， 解得 ， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； (2) 小问详解： 解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴ 或 或 ， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 8．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　　分． 【答案】6 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】 解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得： ， 解得： ， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 9．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． （1）求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元     （2）总利润最高为440元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设售出套普通版明信片，表示出总利润为，再结合，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元． (2) 小问详解： 解：设售出套普通版明信片，则总利润为：， 因为， 所以． 答：总利润最高为440元． 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】（1），两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元     （2）该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆      【分析】 本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得： ， 解得： ， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； (2) 小问详解： 解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴ 或 或 ， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01 二元一次方程组的概念 考点02 代入消元法 考点03 加减消元法 考点04 实际问题与二元一次方程组 考点01 二元一次方程组的概念 1．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若 是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如果 是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为　　　　　　　　　　． 考点02 代入消元法 1．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）解下列方程组： （1） （2） 考点03 加减消元法 1．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）已知关于的二元一次方程组 的解满足，则的值为（     ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 2．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）解方程组 3．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）解方程组： ． 4．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）解方程组： （1） （2） 5．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： （1）方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； （3）若 是关于x，y的“最佳”方程组 的解，求p，q的值． 6．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为 ，乙看错了方程中的，得到方程组的解为 ，试求出，的正确值，并计算的值． 8．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）解方程组： （1） ； （2） 9．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）解方程组： （1） （2） 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组 ，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 11．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为________； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； （3）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 考点04 实际问题与二元一次方程组 1．（25-26学年八上·陕西西安雁塔区高新第一中学·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（       ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 48 2．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西西安曲江第一中学·期中）甲、乙两人各带了若干钱．若甲从乙处得到8钱，则甲拥有的钱是乙的9倍，若乙从甲处得到9钱，则乙拥有的钱是甲的8倍．甲、乙两人原来各有多少钱？设甲、乙两人原来各有钱、钱，则可列方程组（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（     ） 2x 3 2 4y A. ，0 B. 1， C. ，1 D. 1，0 5．（25-26学年八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． （1）小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 6．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为　　　　　　． 7．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 8．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　　分． 9．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． （1）求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 10．（25-26学年八上·陕西西安高新区·期中）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $