专题05 圆（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期

专题05 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（     ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 2．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ） A. 一定在⊙O的内部 B. 一定在⊙O的外部 C. 一定在⊙O的上 D. 不能确定 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．（要求自行画草图，写出已知、求证再证明） 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（     ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 2．（24-25学年九上·期末）拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D.  4．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.2 6．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径，李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为，用刻度尺量得，，则纸杯的半径为　　　　　　　　．（结果保留根号） 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为　　　　　　　　． 考点03 圆心角 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）问题提出 （1）如图1，在中，，是它的一条中线，则与的数量关系式是：______； （2）如图2，在中，，，于点，于点，为边上一点，且，连接，求的长； 问题解决 （3）如图3，某次施工中，工人师傅需要画一个20°的角，但他手里只有一把带刻度的直角尺，工程监理给出了下面简易的作图方法： ①画线段，再过它的中点作； ②利用刻度尺在上寻找点使得，再过点作； ③利用刻度尺过点作射线，将射线与和的交点分别记为点、，调节刻度尺使时（“”内的数字被汗渍侵蚀无法看清），则． 你认为监理给的方法可行吗?如果可行，请写出“”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案． 3．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为　　　　　　　　． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，在中，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是圆的直径，，，，的顶点均在上方的圆弧上，，的一边分别经过点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为(　　) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点，，在⊙O上，，垂足为，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知：如图，弦的垂直平分线交于点C、D，则下列说法中不正确的是 （   ） A. 弦一定是的直径 B. 点O到的距离相等 C. 与互余 D. 与互补 10．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A.  B.  C.  D. 不确定 11．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  13．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 14．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为　　　　　　　　　　　 15．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于　　　　　　　　　　　　　度． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． （1）连接，求证：； （2）连接，，求证：． 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为　　　　　　． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）图是“中国第一泉”鸣沙山月牙泉，其示意图如图，它是由和组成的封闭图形，，分别为和的中点，测得，．记所在圆的半径为米，所在圆的半径为米，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；测得为米，则，两点之间的距离为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　米． 19．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是　　　． 20．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，为的直径，弦，点P是直径上一点，连接交于点D，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 21．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是的弦，交于点C，D是上一点，连接、．若，，则的半径长为　　　　　　． 22．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）（1）如图1，在等边三角形中，，点D是线段上的一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到，连接、．求的长 （2）如图2，是等边三角形，且点A，B，C三点都在上，点D是上任一点，求证：． 23．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的角平分线交⊙O于D，则CD长为　　　　　． 24．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）有公共顶点A的两个正方形与，连接，点M是的中点，连接交于点N． （1）如图1，当点E，G分别在边上时，直接写出线段与之间的数量关系和位置关系： （2）如图2，将正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由： （3）如图3，将正方形绕点A顺时针旋转，当点E在边的延长线上、点G在边上时，连接与相交于点H， ①求的度数； ②连接交于点I，请直接写出的值． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为　　　　　　．（结果保留） 6．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　　　　　　　． 7．（24-25学年九上·期末）“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为　　　　　　　　　． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为　　　　　　米．（结果保留） 9．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为　　　　　　（结果保留）． 10．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点B成中心对称的； （2）画出绕点O顺时针旋转所得的，并直接写出线段在旋转过程中扫过的面积是          ．（结果保留π） 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在☉O中，弦CD与直径AB平行，CD=OA=2，则阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　　　． 14．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是的直径，C、D为上两点，于点F，交的延长线于点E，且．    （1）求证：点C是的中点； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于原点对称的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，求线段旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．A 2．C 3．B 4．C 5．【答案】已知：设的直径为，直线为直线l； 求证：直线l是的对称轴； 证明：设P为上任意一点，作P关于直线l的对称点， 直线l是直径所在的直线， 圆心O在直线l上， 是P关于直线l的对称点， 直线l垂直平分线段， 半径， 在上， 是上任意一点，其关于直线l的对称点也在上， 直线l是的对称轴． 【分析】 本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质写出已知、求证进而证明即可． 【详解】 略 考点02 垂直于弦的直径 1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．【答案】34厘米 【分析】 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长即可得解． 【详解】 解：如图2，，过圆心O，连接， 纸条宽为， ， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：过O点作半径于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为， 故答案为：． 考点03 圆心角 1．D 2．【答案】（1）     （2）     （3）可行，      【分析】 （1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可得证； （2）连接，证出为等边三角形即可得证； （3）取中点，连接，证出即可求解． (1) 小问详解： 解：，是它的一条中线， ， ， ， ， 故答案：． (2) 小问详解： 解：， ， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，，，在以为圆心，为半径的圆上， ， ， 为等边三角形， ． (3) 小问详解： 解：可行， 30 理由： 在中 ， ， 取中点，连接，如图， ， ，， ， ，， ， ． 故答案：可行，． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，四点共圆的判定及圆的基本知识，掌握并灵活运用相关的性质及判定是解题的关键． 3．【答案】8 【分析】 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A 11．C 12．D 13．【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）由圆周角定理可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】 解：（1） ∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆内接四边形对角互补得到的度数，再由可得，据此求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 16．【答案】（1） 证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】 【分析】 本题主要考查弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，则有，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； 故答案为． 18．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理以及垂径定理的应用，关键是结合图形利用圆的有关知识解答．设所在圆的圆心为，所在圆的圆心为，连接，然后根据，求出，从而得出；再根据米，求出即可． 【详解】 解：设所在圆的圆心为，所在圆的圆心为，连接如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 当米时，， ∴（米），米， ∴（米）， ∴米． 故答案为：，． 19．【答案】30°或150° 【分析】 连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数． 【详解】 连接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=30°， ∴∠D=180°﹣30°=150°． 故答案为30°或150°． 20．【答案】 【分析】 连接，过点O作，设与交于点F，由，可得，再证明是等边三角形，可得，从而得出，再通过勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点O作，设与交于点F， ， ， ，为的直径， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，先由圆周角定理得到，再由垂径定理求出的长，求出，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】 解：设交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． 22．【答案】（1）2； （2）证明：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴D、B、E三点共线， 由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的性质． （1）由题意易得，则有，然后由旋转的性质证明，可进行求解； （2）将绕点A顺时针旋转得到，再证明D、B、E三点共线，从而得到等边三角形，进而证得． 【详解】 解：（1）在等边中，，点D是线段上的一点，， ∴，， ∴， 将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 略 23．【答案】7． 【详解】 解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90°， ∴△AFD≌△BGD， ∴AF=BG． 易证△CDF≌△CDG， ∴CF=CG． ∵AC=6，BC=8， ∴AF=1，（也可以：设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8-X=6+X，解X=1） ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）． ∴CD=． 故选B． 24．【答案】5 【分析】 本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点．根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】 解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 25．【答案】（1），．     （2） 仍然成立，理由如下： 延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ∴ 即 ∴， 四边形和四边形是正方形， ，，， ∵， ， 则 ， ， ∵ ∴ 即 即． 故线段与之间的数量关系是．线段与之间的位置关系是．     （3）①②      【分析】 （1）由正方形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，结合角的等量代换，则可得出答案． （3）① 过点C作交于一点M，连接，证明四边形是平行四边形，再推出，再进行角的等量代换得出，得出是等腰直角三角形，即可作答． ② 连接交于点I，连接，根据同弧所对的圆周角是相等是，得出点四点共圆，结合圆内接四边形对角互补，得出，因为是等腰直角三角形，，即可作答． (1) 小问详解： 解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ，， ， ， 在中，是的中点， ， ． ， ， 又， ， ， 即； 故答案为：，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如图：过点C作交于一点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ② 连接交于点I，连接，如图 ∵， ∴点四点共圆， ∴ ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．B 2．D 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． 6．【答案】160°  度 【详解】 解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π， ∵母线长90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π， ∴=3600π， 解得：n=160． 【点睛】 此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式． 7．【答案】13 【分析】 本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：由题知，设，则， 解得， 即． 在中，由勾股定理得母线长为： ， 故答案为：13． 8．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 此题考查了弧长的计算，熟记弧长计算公式是解题的关键，根据弧长计算公式求解即可． 【详解】 解：，转弯角度，，转弯角度， 的长，的长， ， 大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多， 故答案为：． 10．【答案】30 【分析】 先求出圆锥底面周长，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm）， ∴，即：r=30， 故答案是：30． 【点睛】 本题主要考查弧长公式，圆锥底面周长，掌握圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图的弧长，是解题的关键． 11．【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 12．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2） 如图所示：即为所求，       【分析】 (1)分别作出点A、C的对应点、，再连线即可画得； (2)分别作出点A、B、C的对应点，，，再连线即可画得；再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图： ，， 故线段在旋转过程中扫过的面积为： ． 【点睛】 此题主要考查了扇形面积公式的应用，画中心对称图形及旋转图形，根据已知得出对应点的位置是解题关键． 13．【答案】 【分析】 连接OC，AD，OD，OD交AC于点P．由题意可证明四边形AOCD为菱形，且．从而可得出AD=CD，AC与OD互相垂直平分，进而可得出线段AD与劣弧围成的面积=线段CD与劣弧围成的面积，，即．再求出的值，即得出答案． 【详解】 解：如图，连接OC，AD，OD，OD交AC于点P． ∵CD=OA，， ∴四边形AOCD为平行四边形． ∵OA=OC， ∴平行四边形AOCD为菱形， ∴AD=CD，AC与OD互相垂直平分，且． ∴线段AD与劣弧围成的面积=线段CD与劣弧围成的面积，， ∴，如图． ∵CD=OA=2，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查不规则图形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，理解是解题关键． 14．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴点C是的中点；     （2）阴影部分的面积为      【分析】 （1）根据角平分线的判定得出，证明，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，求出扇形的面积和的面积，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，过点O作于点G，如图所示：    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 【点睛】 本题主要考查了扇形面积计算，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的判定定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握扇形面积公式，准确计算． 15．【答案】（1） 解：如图1，      （2）如图2， 扫过的面积      【分析】 （1）分别确定A，B，C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定A，B，C绕点逆时针旋转后的对应点，，C，再顺次连接，再利用勾股定理求解，从而可得扫过的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∴， ∴扫过的面积 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，求解扇形的面积，画关于原点对称的中心对称图形，画旋转图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（     ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】 解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 2．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此判断即可． 【详解】 解： 的半径是，线段， 点到圆心的距离小于半径， 点在内． 故选：C． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ） A. 一定在⊙O的内部 B. 一定在⊙O的外部 C. 一定在⊙O的上 D. 不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，故选B． 考点：点与圆的位置关系． 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用平行线的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，最后由等腰三角形性质求． 【详解】 解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．（要求自行画草图，写出已知、求证再证明） 【答案】已知：设的直径为，直线为直线l； 求证：直线l是的对称轴； 证明：设P为上任意一点，作P关于直线l的对称点， 直线l是直径所在的直线， 圆心O在直线l上， 是P关于直线l的对称点， 直线l垂直平分线段， 半径， 在上， 是上任意一点，其关于直线l的对称点也在上， 直线l是的对称轴． 【分析】 本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质写出已知、求证进而证明即可． 【详解】 略 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（     ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】 解：连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25学年九上·期末）拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理的运用、勾股定理，解答的关键是构建直角三角形．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【详解】 解：延长到O，使得，则O为圆心， 由题意，跨度，拱的半径为，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴拱高， 故选：B． 3．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】 解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.2 【答案】B 【分析】 本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案． 【详解】 解：如图所示： ，为的直径， ，， 则， 在中，，则由勾股定理可得， 四边形为菱形， ， 则， 故选：B． 6．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】 解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径，李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为，用刻度尺量得，，则纸杯的半径为　　　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】34厘米 【分析】 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长即可得解． 【详解】 解：如图2，，过圆心O，连接， 纸条宽为， ， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：过O点作半径于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为， 故答案为：． 考点03 圆心角 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】D 【分析】 本题考查圆的性质．根据弧，弦，圆心角的关系逐个判断即可，特别强调同圆或等圆中这一前提条件． 【详解】 解：① 不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； ② 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误； ③ 同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ④ 同圆或等圆中，长度相等的弧称为等弧； 没有正确的说法， 故选：D． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）问题提出 （1）如图1，在中，，是它的一条中线，则与的数量关系式是：______； （2）如图2，在中，，，于点，于点，为边上一点，且，连接，求的长； 问题解决 （3）如图3，某次施工中，工人师傅需要画一个20°的角，但他手里只有一把带刻度的直角尺，工程监理给出了下面简易的作图方法： ①画线段，再过它的中点作； ②利用刻度尺在上寻找点使得，再过点作； ③利用刻度尺过点作射线，将射线与和的交点分别记为点、，调节刻度尺使时（“”内的数字被汗渍侵蚀无法看清），则． 你认为监理给的方法可行吗?如果可行，请写出“”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案． 【答案】（1）     （2）     （3）可行，      【分析】 （1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可得证； （2）连接，证出为等边三角形即可得证； （3）取中点，连接，证出即可求解． (1) 小问详解： 解：，是它的一条中线， ， ， ， ， 故答案：． (2) 小问详解： 解：， ， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，，，在以为圆心，为半径的圆上， ， ， 为等边三角形， ． (3) 小问详解： 解：可行， 30 理由： 在中 ， ， 取中点，连接，如图， ， ，， ， ，， ， ． 故答案：可行，． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，四点共圆的判定及圆的基本知识，掌握并灵活运用相关的性质及判定是解题的关键． 3．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，在中，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接OB，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】 连接OB ，， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是圆的直径，，，，的顶点均在上方的圆弧上，，的一边分别经过点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，理解圆周角定理是解题的关键． 根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】 解：∵是圆的直径， ∴，，，所对的弧的和是半圆，所对圆心角的度数为， ∴， 故选：． 4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆的内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质． 连接，则是四边形的内接四边形，则与互补，从而求得，根据垂径定理得到垂直平分，从而，进而求得，即可解答． 【详解】    连接，则是四边形的内接四边形， ∴， ∵经过圆心O，且， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为(　　) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】B 【详解】 连接AC， 由同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDB=40°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CBA=50°， 故选B． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点，，在⊙O上，，垂足为，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理和直角三角形两锐角互余的知识，掌握以上知识是解题的关键；根据“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知：如图，弦的垂直平分线交于点C、D，则下列说法中不正确的是 （   ） A. 弦一定是的直径 B. 点O到的距离相等 C. 与互余 D. 与互补 【答案】D 【分析】 本题考查垂径定理，圆周角定理． 根据垂径定理可判断A；根据角平分线的性质可判断B；根据根据圆周角定理可得，进而判断C；根据可判断D 【详解】 解：∵垂直平分， ∴根据垂径定理可得弦一定是的直径，A项正确， ∵是的直径，垂直， ∴， ∴ ∴点O到的距离相等，B项正确， ∵是的直径，垂直， ∴，， ∴，C项正确， ∵，D项不正确， 故选D． 10．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接根据圆周角定理及圆内接四边形性质解答即可． 【详解】 解：如图，连接， 由图可得， ， 四边形是圆内接四边形， ， 故选：A 11．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】 解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 连接OC，根据圆周角定理求得，在中可得，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解． 【详解】 解：连接OC， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵，垂足为E， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 13．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）由圆周角定理可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】 解：（1） ∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆内接四边形对角互补得到的度数，再由可得，据此求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于　　　　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． （1）连接，求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1） 证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴．     （2） 证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，则有，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； 故答案为． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）图是“中国第一泉”鸣沙山月牙泉，其示意图如图，它是由和组成的封闭图形，，分别为和的中点，测得，．记所在圆的半径为米，所在圆的半径为米，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；测得为米，则，两点之间的距离为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　米． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理以及垂径定理的应用，关键是结合图形利用圆的有关知识解答．设所在圆的圆心为，所在圆的圆心为，连接，然后根据，求出，从而得出；再根据米，求出即可． 【详解】 解：设所在圆的圆心为，所在圆的圆心为，连接如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 当米时，， ∴（米），米， ∴（米）， ∴米． 故答案为：，． 19．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是　　　． 【答案】30°或150° 【分析】 连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数． 【详解】 连接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=30°， ∴∠D=180°﹣30°=150°． 故答案为30°或150°． 20．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，为的直径，弦，点P是直径上一点，连接交于点D，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，过点O作，设与交于点F，由，可得，再证明是等边三角形，可得，从而得出，再通过勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点O作，设与交于点F， ， ， ，为的直径， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及勾股定理． 21．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是的弦，交于点C，D是上一点，连接、．若，，则的半径长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，先由圆周角定理得到，再由垂径定理求出的长，求出，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】 解：设交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． 22．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）（1）如图1，在等边三角形中，，点D是线段上的一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到，连接、．求的长 （2）如图2，是等边三角形，且点A，B，C三点都在上，点D是上任一点，求证：． 【答案】（1）2； （2）证明：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴D、B、E三点共线， 由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的性质． （1）由题意易得，则有，然后由旋转的性质证明，可进行求解； （2）将绕点A顺时针旋转得到，再证明D、B、E三点共线，从而得到等边三角形，进而证得． 【详解】 解：（1）在等边中，，点D是线段上的一点，， ∴，， ∴， 将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 略 23．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的角平分线交⊙O于D，则CD长为　　　　　． 【答案】7． 【详解】 解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90°， ∴△AFD≌△BGD， ∴AF=BG． 易证△CDF≌△CDG， ∴CF=CG． ∵AC=6，BC=8， ∴AF=1，（也可以：设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8-X=6+X，解X=1） ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）． ∴CD=． 故选B． 24．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点．根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】 解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 25．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）有公共顶点A的两个正方形与，连接，点M是的中点，连接交于点N． （1）如图1，当点E，G分别在边上时，直接写出线段与之间的数量关系和位置关系： （2）如图2，将正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由： （3）如图3，将正方形绕点A顺时针旋转，当点E在边的延长线上、点G在边上时，连接与相交于点H， ①求的度数； ②连接交于点I，请直接写出的值． 【答案】（1），．     （2） 仍然成立，理由如下： 延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ∴ 即 ∴， 四边形和四边形是正方形， ，，， ∵， ， 则 ， ， ∵ ∴ 即 即． 故线段与之间的数量关系是．线段与之间的位置关系是．     （3）①②      【分析】 （1）由正方形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，结合角的等量代换，则可得出答案． （3）① 过点C作交于一点M，连接，证明四边形是平行四边形，再推出，再进行角的等量代换得出，得出是等腰直角三角形，即可作答． ② 连接交于点I，连接，根据同弧所对的圆周角是相等是，得出点四点共圆，结合圆内接四边形对角互补，得出，因为是等腰直角三角形，，即可作答． (1) 小问详解： 解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ，， ， ， 在中，是的中点， ， ． ， ， 又， ， ， 即； 故答案为：，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如图：过点C作交于一点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ② 连接交于点I，连接，如图 ∵， ∴点四点共圆， ∴ ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】 解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】 解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案． 【详解】 解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的， ∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O， ∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°， ∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm， ∴OB=1cm，OC′=cm， ∴B′C′=cm， ∴S扇形B′OB= cm2， S扇形C′OC= cm2， ∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2； 故选：B． 【点睛】 此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键． 4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半、等边三角形判定和垂径定理可得∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD，然后根据锐角三角函数即可求出BD，从而求出BC和AB，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】 解：连接OB、OC和BC，过点O作OD⊥BC于点D 由题意可得：OB=OC=20cm，∠BAC=60°，AB=AC ∴∠BOC=2∠BAC=120°，△ABC为等边三角形，BC=2BD ∴∠OBC=∠OCB=（180°－∠BOC）=30°，AB=AC=BC 在Rt△OBD中，BD=OB·cos∠OBD=cm ∴BC=2BD=cm ∴AB=BC=cm ∴圆锥的侧面积=S扇形BAC= 故选A． 【点睛】 此题考查的是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和求圆锥侧面积，掌握圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及性质、锐角三角函数和扇形的面积公式是解决此题的关键． 5．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． 6．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　　　　　　　． 【答案】160°  度 【详解】 解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π， ∵母线长90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π， ∴=3600π， 解得：n=160． 【点睛】 此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式． 7．（24-25学年九上·期末）“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为　　　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：由题知，设，则， 解得， 即． 在中，由勾股定理得母线长为： ， 故答案为：13． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为　　　　　　米．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 9．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 此题考查了弧长的计算，熟记弧长计算公式是解题的关键，根据弧长计算公式求解即可． 【详解】 解：，转弯角度，，转弯角度， 的长，的长， ， 大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多， 故答案为：． 10．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为　　　　　　　　　　　． 【答案】30 【分析】 先求出圆锥底面周长，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm）， ∴，即：r=30， 故答案是：30． 【点睛】 本题主要考查弧长公式，圆锥底面周长，掌握圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图的弧长，是解题的关键． 11．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点B成中心对称的； （2）画出绕点O顺时针旋转所得的，并直接写出线段在旋转过程中扫过的面积是          ．（结果保留π） 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2） 如图所示：即为所求，       【分析】 (1)分别作出点A、C的对应点、，再连线即可画得； (2)分别作出点A、B、C的对应点，，，再连线即可画得；再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图： ，， 故线段在旋转过程中扫过的面积为： ． 【点睛】 此题主要考查了扇形面积公式的应用，画中心对称图形及旋转图形，根据已知得出对应点的位置是解题关键． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在☉O中，弦CD与直径AB平行，CD=OA=2，则阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接OC，AD，OD，OD交AC于点P．由题意可证明四边形AOCD为菱形，且．从而可得出AD=CD，AC与OD互相垂直平分，进而可得出线段AD与劣弧围成的面积=线段CD与劣弧围成的面积，，即．再求出的值，即得出答案． 【详解】 解：如图，连接OC，AD，OD，OD交AC于点P． ∵CD=OA，， ∴四边形AOCD为平行四边形． ∵OA=OC， ∴平行四边形AOCD为菱形， ∴AD=CD，AC与OD互相垂直平分，且． ∴线段AD与劣弧围成的面积=线段CD与劣弧围成的面积，， ∴，如图． ∵CD=OA=2，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查不规则图形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，理解是解题关键． 14．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，是的直径，C、D为上两点，于点F，交的延长线于点E，且．    （1）求证：点C是的中点； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴点C是的中点；     （2）阴影部分的面积为      【分析】 （1）根据角平分线的判定得出，证明，即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，求出扇形的面积和的面积，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，过点O作于点G，如图所示：    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 【点睛】 本题主要考查了扇形面积计算，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的判定定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握扇形面积公式，准确计算． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于原点对称的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，求线段旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图1，      （2）如图2， 扫过的面积      【分析】 （1）分别确定A，B，C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定A，B，C绕点逆时针旋转后的对应点，，C，再顺次连接，再利用勾股定理求解，从而可得扫过的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∴， ∴扫过的面积 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，求解扇形的面积，画关于原点对称的中心对称图形，画旋转图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $