专题02 二次函数（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（     ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）对于抛物线y＝－2(x＋5)2＋4，下列说法正确的是 A. 开口向下，顶点坐标（5，4）． B. 开口向上，顶点坐标（5，4）． C. 开口向下，顶点坐标（－5，4）． D. 开口向上，顶点坐标（－5，4）． 6．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（   ） A. 当时，甲有最大值 B. 当时，甲有最小值 C. 当时，乙有最大值 D. 当时，乙有最小值 8．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）设是拋物线上的三点，则的大小关系为   （       ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）若二次函数的图象经过点和点，则m的值为（     ） A. 2 B.  C.  D. 6 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）设，，是抛物线上的三点，则，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）关于二次函数的下列结论：①顶点的坐标为(1，3)；②对称轴为；③＜－1时，随的增大而增大；④函数图象与轴的交点坐标为(0，3).其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为　　　　　． 17．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　． 20．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：　　　　　　． 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为　　　　　　　　　　． 22．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）将抛物线向左平移　　　　　　　个单位后经过点． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　　　． 25．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：    接力中，自己负责的一步出现错误的是（       ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 4．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是(       ) A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 最大值为 D. 当，y随x的增大而减小 6．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（       ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y的取值范围是 D. 若，，是该二次函数图象上的三个点，则 10．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 12．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知抛物线的图像如所示，则化简得（　　） A.  B.  C.  D.  13．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（       ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 14．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，正确的是（） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 15．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为的抛物线解析式为（ ） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（          ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 20．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 22．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；则上述结论中，正确的个数是（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 23．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 24．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　 25．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）抛物线的对称轴是直线，则b的值为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑　　　　　　　　　　 m． 27．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为　　　　　　　　　　　 28．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　． 29．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 30．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … … … … x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … 31．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为　　　　　． 32．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值　　　　　　　　． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如果三点，和在抛物线的图象上，则，，之间的大小关系是　　　　　　．（用“<”连接） 34．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）已知二次函数的图象与轴交于点（点在点左边），与直线交于点，若点在轴正半轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． x 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 37．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为． （1）当抛物线经过点，求抛物线的函数表达式； （2）求顶点A的坐标（用含字母a的代数式表示），判断顶点A是在x轴上方还是下方，并说明理由． 38．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． 39．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． （1）直接写出一个a的值，使得成立； （2）是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 41．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是　　　　　　．（填序号） 42．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 43．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 44．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 45．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论： ①； ②方程必有一个根大于2且小于3； ③若，是抛物线上的两点，那么； ④； ⑤对于任意实数m，都有， 其中正确结论的序号是　　　　　　　　． 46．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． （1）求抛物线的解析式： （2）若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ （3）如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 47．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　　　　　　　. 48．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知二次函数． （1）图像经过原点，求的值； （2）图像的对称轴为轴，求的值； （3）图像的顶点在轴上，求的值． 49．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是　　　　　　　． 50．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 51．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 52．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为　　　　　　　． 53．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线． （1）若抛物线过点，则它的对称轴是直线                 ； （2）当时，二次函数的最大值为，求的取值范围； （3）在（1）的条件下将抛物线向下平移个单位后如图所示与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线上存在点，使得．请求出直线的解析式． 54．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 55．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． （1）如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． （2）如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 56．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； （3）如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 57．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 58．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）（多选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 59．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 61．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（     ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 2．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（       ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个异号实根 D. 没有实数根 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 关于的方程的另一个根在和之间 4．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 5．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．且对称轴为x=1．则下面的四个结论： ①当x＞﹣1时，y＞0； ②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=3； ③当y＜0时，x＜﹣1； ④抛物线上两点（x1，y1），（x2，y2）．当x1＞x2＞2时，y1＞y2 其中正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则代数式的值为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为　　　　　　． 9．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是　　　　　　． 10．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为　　　　　　　． 11．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是　　　　　　　　　　　． 12．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是　　　　　　． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（       ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，正方形的顶点A、B与正方形的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点落在与y轴的交点上，两正方形的边与同时落在x轴上．若正方形的边长为4，则正方形的边长为（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　． 6．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）（多选）如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是　　　　　　m． 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 10．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 11．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流．图2是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图．喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点（坐标原点），过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系．其抛物线形水流的表达式为（单位：） （1）用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； （2）请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； （3）若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为．判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 12．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）（多选）如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃． (1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？ (2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由． 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 15．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后　　　　　　　　　秒停下来． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． （1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； （2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O　　　　　　m以内． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 19．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）云南地处高原环境，日照长，昼夜温差大，利于糖分积累，是著名的蓝莓产区，小李家今年种植的蓝莓喜获丰收，采摘上市15天全部销售完，小李对销售情况进行统计后发现，在该蓝莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为 蓝莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求m与x之间的函数关系式； （2）设日销售额w元，当时，求w的最大值． 20．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 21．（24-25学年九上·期末）某书店正在销售一种科幻书，它的进价和售价分别为元和元． （1）该书店打算在元旦把这种科幻书进行降价促销，若按原售价进行销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售出3本，则将售价定为每本多少元时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元? （2）在（1）的条件下，要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，则这种科幻书的售价应定为多少元?并求出最大利润． 22．（24-25学年九上·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是　　　　　　　　　m． 23．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个． 凤凰快讯2 义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？ 任务2 请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？ 24．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款太阳能美化路灯，该灯的成本是40元盏通过调研发现，若按50元盏销售，一个月可售出500盏；为了提高利润，小明准备涨价，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． （1）小明想让太阳能美化路灯的月销售利润为8000元，则太阳能美化路灯的销售单价应定为多少元？ （2）太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 25．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 26．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 27．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 28．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于x的二次函数， ∴ ， 解得， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．【答案】y=（x﹣2）2﹣1． 【分析】 先确定抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据点平移的规律点（0，﹣4）平移后得到点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】 试题分析： 解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把点（0，﹣4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1． 故答案为y=（x﹣2）2﹣1． 考点：二次函数图象与几何变换． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 17．【答案】m＞﹣1 【分析】 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】 解：由题意知，平移过后的抛物线表达式为， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】 解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 20．【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】 解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 21．【答案】0或6或0 【分析】 分别将（2，5），（4，5）代入解析式求解． 【详解】 解：∵y＝（x−h）2＋1， ∴抛物线开口向上，函数最小值为y＝1， ∵2≤x≤4时，函数最小值为y＝5， ∴h＜2或h＞4， 当h＜2时，x＝2时，y＝（2−h）2＋1＝5， 解得h＝0或h＝4（舍）， h＞4时，x＝4，y＝（4−h）2＋1＝5， 解得h＝6或h＝2（舍）， 故答案为：0或6． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 22．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 23．【答案】3 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将抛物线向左平移后经过点， ∴设平移后解析式为：， 则， 解得：或（不合题意舍去）， 故将抛物线向左平移3个单位后经过点． 故答案为3． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 24．【答案】 【分析】直接利用抛物线的顶点形式得出抛物线的顶点坐标，结合第一象限点的坐标特点列出不等式组解答即可． 【详解】抛物线， 顶点坐标为， 顶点在第一象限， 且， 的取值范围为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．C 11．B 12．B 13．C 14．C 15．B 16．B 17．C 18．C 19．D 20．A 21．B 22．B 23．C 24．【答案】1≤y＜9 【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在上的最大值和最小值即可． 【详解】 ∴抛物线开口向上 ∴当时，y有最小值，最小值为1 当时，y有最大值，最小值为 ∴当时，的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】 解：的对称轴是直线， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 26．【答案】750 【分析】 要求飞机从着陆至停下来共滑，即求出函数的最大值即可． 【详解】 解：y＝60t−t2＝−（t2−50t＋625）＋750＝−（t−25）2＋750， 所以当t＝25时，该函数有最大值750． 故答案为：750． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 27．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是读懂图象，由图象得到之间的关系 ． 根据图象可知该函数的对称轴大于零，可判断符号，由此可判断① ；由函数图象可知该函数与x轴交于和两点，由此可求对称轴，由此可判断② ；根据，，由此判断③ ；根据a与c的符号可判断④ ；根据函数的最小值即可判断⑤ ． 【详解】 解：① ：由图象可知，该函数的对称轴大于零， ∴，即， ∴，故① 错误； ② ：∵该函数与x轴交于和两点， ∴对称轴为， 即，则有， ∵点在函数图象上， ∴，即， 将，代入， 即，可得， ∴， ∵函数图象开口向上，即， ∴，则，故② 正确； ③ ：由② 知，，， ∴，故③ 正确； ④ ：∵，且， ∴， ∴，故④ 正确； ⑤ ∵，， ∴⑤ 由图象可知，该函数的最小值小于， 即，且， ∴，故⑤ 错误． ∴正确的结论序号为② ③ ④． 故答案为：② ③ ④ ． 28．【答案】2 【分析】 根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】 解：∵的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 29．【答案】（1）     （2）顶点坐标为，对称轴为直线     （3）最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为．      【分析】 （1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． (2) 小问详解： ， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． (3) 小问详解： 略 30．【答案】（1）直线，，； （2）描点，画出函数的图像如图： ． 【分析】 （1）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x=0，求出与y轴的交点即可； （2）列表、描点，然后画出图像即可． 【详解】 解：（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P（1，4）， 令x=0，则y=3， ∴抛物线与y轴的交点C为（0，3）， 故答案为直线x=1，（1，4），（0，3）； （2）列表： 描点，画出函数的图像如图： x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … ． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】 解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 32．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】 解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称轴和开口方向，以及各点到对称轴的距离即可作出判断． 【详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵，，且抛物线开口向下， ∴； 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 【详解】 解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 35．【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，先由求出点坐标，再求直线与抛物线的交点的坐标，设，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：对于二次函数，当时，， 解得， ∵点在点左边， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴设， 当时， ∴， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， ∴， 解得，， 当时，点D不符合题意，当时，不存在； 当时，即， ∴， 解得，， ∴； 当时， 即， ∴， 解得，，，（舍去） ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或 36．【答案】（1）顶点坐标，图象如图；      （2）①；②      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象、将一般式化为顶点式、二次函数的性质等知识点，根据函数图象求不等式的解集是解答本题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可求得顶点坐标，运用描点法画出二次函数图象即可； （2）① 根据二次函数的性质即可得到结论；② 根据二次函数的性质得出取得最小值，顶点位置取得最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： x 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 (2) 小问详解： 解：① ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵函数图象上两点和，， ∴， 故答案为：； ② ∵，图象开口向下， 当时，取得最小值，， ∵顶点坐标为，则y的最大值为4， 当时，函数值y的取值范围． 37．【答案】（1）；     （2） 顶点A在x轴的上方，理由如下： ， 该抛物线的顶点A的坐标为， 顶点A的纵坐标为，且， 顶点A在x轴的上方．      【分析】 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，正确地将抛物线的函数表达式配方成顶点式是解题的关键． 将代入，得，求得，则抛物线的函数表达式为； 由，求得该抛物线的顶点A的坐标为，因为，则顶点A在x轴的上方． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 38．【答案】（1）；     （2）；     （3）或      【分析】 （1）把代入解析式，解答即可； （2）根据对称轴为直线计算即可； （3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题求解． (1) 小问详解： 解：把代入解析式， ， 解得， 抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为直线：， (3) 小问详解： 解：将A（b﹣1，）和B（b+2，）代入得， ， 整理得：，， 当时，则， ∵， ∴， ∵b+2>b+1>b-1>b-2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是负数，三个正数时，则 ， 解得：1<b<2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是正数，三个负数时，则 ， 解得：-2<b<-1， ∴时，b的取值范围为：或． 【点睛】 本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质． 39．【答案】 【分析】 本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用二次函数的对称轴公式求出参数，再代入已知点坐标求出参数． 【详解】 解：由二次函数的对称轴公式，其中，对称轴为， 得：， 解得：， 将和点代入函数解析式， 得：， 解得：， 故函数解析式为， 故答案为：． 40．【答案】（1）（答案不唯一）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质： （1）根据二次函数的对称性可得到结果； （2）根据该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，分情况讨论即可； 掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据抛物线可得， 该抛物线开口向上，对称轴为：， 若使得成立， 则M点要比N点离对称轴比较近，或者M点和N点都在对称轴右侧， ，中点的横坐标为：， ∴， ∴（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴函数图像开口向上，对称轴为， ①当时， ∴点P，M，N均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； ②当时， ∵点P在对称轴左侧，设P点关于的对称点为， 则点的坐标为， ∵点，M，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ③当时， ∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ④当时， ∴点P，M，N均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 由① ② ③ ④可知，． 41．【答案】① ③ ⑤ 【分析】 根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当时，， ∴． ∴④错误． 当时，有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：① ③ ⑤． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 42．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，或．      【分析】 本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． (1) 小问详解： 解：将、代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 43．【答案】（1）；     （2）；；     （3）；；；      【分析】 （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． (1) 小问详解： 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴① 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ② 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与① 相同； ③ 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 44．【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 （1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）根据二次函数的对称性和点A的坐标求出点B的坐标，然后求出AB，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 解：(1)由知抛物线顶点C(-1，0)， 令x＝0，得， ∴． 将点A、C的坐标代入直线解析式得， ， 解得 ， 所以，直线AC的解析式为； （2）∵顶点坐标为（-1，0）， ∴对称轴为直线x=-1， ∵AB⊥y轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，）， ∴AB=2， ∴△ABC的面积=； （3）由图可知，x＜-1或x＞0时，y1＞y2． 【点睛】 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握各性质与待定系数法求函数解析式是解题的关键，难点在于（2）求出点B的坐标． 45．【答案】② ④ ⑤ 【分析】 本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断① ，根据图象和二次函数的对称轴可以判断② ，根据开口方向和离对称轴的距离判断③ ，利用时的函数值和的取值范围判断④ 根据抛物线的最值可以判断⑤ 是解决问题关键． 【详解】 ① 根据图象可知：， ∵对称轴是直线， 即， ， ，故① 错误； ② 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点，故② 正确； ③ ∵对称轴是直线， ∴点离对称轴更近， ∴，故③ 错误. ④， ∴， ， 根据图象，令 ， ∴ ， ，故④ 正确； ⑤ ∵对称轴是直线， ∴当时，y值最小，即为， ∴当时，， 即， ∴，故⑤ 正确； 综上② ④ ⑤ 正确， 故答案为：② ④ ⑤ ． 46．【答案】（1）     （2）当点P运动到时面积最大，最大面积是     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． (1) 小问详解： 解：把、代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得 ， 解得 ， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ① 若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴ ， 解得 ， ∴； ② 若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴ ， 解得 ， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 47．【答案】－2＜k＜． 【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x， 联立 ，消掉y得，， 由解得，. ∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1. ∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）. ∴交点在线段AO上. 当抛物线经过点B（2，0）时，，解得k=－2. ∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜. 【详解】 请在此输入详解！ 48．【答案】（1）m=0；（2）m=1；（3）m=-1 【分析】 （1）将原点坐标代入解析式，解之即可得m的值； （2）由对称轴为y轴，得到，解之即可； （3）顶点在x轴上，则有，解之即可． 【详解】 解：（1）因为图像经过原点 所以，； （2）因为对称轴为y轴， 所以， 解得：； （3）因为顶点在x轴上， 所以 ． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 49．【答案】 【分析】 本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 50．【答案】（1），     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； (3) 小问详解： 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 51．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． (1) 小问详解： 解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得 ， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． (2) 小问详解： 解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． (3) 小问详解： 解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 52．【答案】1 【分析】 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】 ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 53．【答案】（1）     （2）     （3）和      【分析】 本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质分三种情况讨论即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：过点， ， 解得：， 抛物线， 它的对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，二次函数的最大值为， 若时，则当时，取得最大值，有， 解得：，不符合题意； 若且即时，则当时，取得最大值，有， 解得：，符合题意； 若且即时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立； 若时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立； 综上所述，的取值范围为； (3) 小问详解： 解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时， 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线BQ的解析式为：和． 54．【答案】（1）     （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，则 ， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即，解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则 ，解得： ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ．      【分析】 （1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 55．【答案】（1）①；②；     （2） 解：如图，过点D作， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 平分．      【分析】 （1）①利用待定系数法解答即可；②连接，先求出，，设点的坐标为，利用进行求解即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）过点D作，先求出，，可得，再由勾股定理求出，从而得出，可得到，再由平行线的性质证明即可． (1) 小问详解： 解：①将点A代入得： ， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， 在二次函数中，令，得， 解得：， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 56．【答案】（1）     （2）的周长的最小值，点M的坐标为     （3）存在，或或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． (1) 小问详解： 解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； (3) 小问详解： 解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 57．【答案】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点．     （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以．     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对称轴为直线，顶点坐标为， ① 当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即 ，解得： ② 当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即 ，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 58．【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是. (2) . （3）P点的横坐标是或. 【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可； （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 【详解】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得 解得 所以抛物线的解析式是. 设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得 解得 所以直线AB的解析式是. (2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时 ==. （3）若存在，则可能是： ① P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能. ② P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是. ③ P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去）， ①，所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 59．【答案】（1）；（2）存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，) 【分析】（1）首先求出B、C两点的坐标，然后进一步代入抛物线解析式加以求解即可； （2）首先根据抛物线解析式求出A点坐标，从而得出AB=4，求出△CAB的面积为6，然后设P点坐标为(，)，根据题意进一步列出方程加以分析求解即可. 【详解】（1）∵直线经过B、C两点， ∴当时，；当时，， ∴B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过B、C两点， ∴ ， 解得：，， ∴该抛物线解析式为：； （2）当时，， ∴，， ∴A点坐标为(，0)， ∴AB=4， ∴△CAB的面积=， 设P点坐标为(，)， ∵S△PAB=2S△CAB， 则：， ∴， 即或， 当时，，此时方程无解， ∴此时P点不存在， 当时，，解得：，， ∴此时P点坐标为(，)，(，)， 综上所述，存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，). 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 60．【答案】（1）；顶点坐标为     （2）     （3）或     （4）或或      【分析】 （1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）① 如图所示，当，即时，② 当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论① 当是的中点，② 同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， (2) 小问详解： 解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； (3) 小问详解： ① 如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ② 当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； (4) 小问详解： 解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ① 当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ② 同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③ 如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 61．【答案】（1）     （2）     （3）或．      【分析】 （1）将、代入即可求得函数的解析式； （2）连接，设 ，由，然后运用二次函数求最值得到t，最后确定P的坐标； （3）设，过点B作轴，过点Q作交于M，则，可，求出；过点Q作轴交于N，，则，求出． (1) 小问详解： 解：将、代入可得： ∴ ，解得 ， ∴． (2) 小问详解： 解：如图1：连接，设 ∵ ∴C点的坐标为 ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴AB＝5，OC＝4， ∴ ∴， ∵在范围内 ∴当时，最大，=6 ∴点P的坐标为 ． (3) 小问详解： 解：设， 如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得（舍）， ∴；    如图3，过点Q作轴交于N， ∵ ， ∴， ∴，解得（舍）或， ∴； 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形结合思想是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．【答案】2025 【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．【答案】2或3或 【分析】 根据题意，将该函数分成一次函数和二次函数分别进行讨论，若为一次函数，则二次项系数为0，若为二次函数且与轴只有一个交点，则． 【详解】 解：∵关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点， 当该函数为二次函数时， ∴， ∴解得或， 当该函数为一次函数时， ∴ ∴或3或． 故答案为：2或3或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数和二次函数的概念和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的概念和性质是解答此题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】 解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由题意得，所求问题等价于的图象在的部分与直线有两个公共点，利用图象法即可求出m的取值范围． 【详解】 解：由题意，令， ， 的图象在的部分与的图象有两个公共点等价于的图象在的部分与直线有两个公共点， 作图象和直线如下： 当时，有最小值， 当时，， 结合图象可得，， 解得：． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】 解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 12．【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 13．【答案】， 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】 解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【详解】 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．C 3．C 4．【答案】（1）； （2）能，由题意，得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米 如果该船的速度不变，能安全通过此桥． 【分析】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】 （1）设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米， 则， 解得 抛物线的解析式为； （2） 略 【点睛】 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】 解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 6．【答案】（1）     （2）球不能射进球门      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． （1）用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y的值，然后与进行比较即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：当时，， ∴球不能射进球门． 7．【答案】（1）S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；（2）当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【分析】 （1）根据BC=（栅栏总长-2AB），再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】 解：（1）∵AB=CD=xm， ∴BC=（80-2x）m， ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴15≤x＜40， ∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）； （2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800， ∵15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800， ∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键． 8．【答案】5 【分析】 以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】 解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键． 9．【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【分析】 （1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得： ， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 10．【答案】（1）60元     （2）当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，得， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：销售单价应定为60元． (2) 小问详解： 解：设每天获得的利润为w元， 由题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大，最大为（元）， 答：当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 11．【答案】（1），水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为     （2）     （3） 解：喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，理由如下： 当时，， ∴喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度．      【分析】 （）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标即可求解； （）求出时的值即可求解； （）求出时的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 即， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，（舍去）， ∴该抛物线与轴的交点坐标为， ∴该喷灌机的最大灌溉水平距离为； (3) 小问详解： 略 12．【答案】（1），，     （2）抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为      【分析】 本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 13．【答案】（1）AB的长为5 m；（2）不能围成面积为48 m2的花圃. 【详解】试题分析：（1）设花圃的宽AB为x米，用总长减去三个宽即为的长，则BC=(24−3x)米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）根据题意列出方程，求得AB的长度，然后根据墙的最大可用长度a为10m进行判断． 试题解析：(1)设花圃的宽AB为x米,则BC=(24−3x)米， x(24−3x)=45， 解得：    当x=3时，24−3x=15，不符合题意， 当x=5时，24−3x=9，符合题意， 答：AB的长应为5米. (2)依题意得：x(24−3x)=48， 整理，得 解得x=4. 则BC=24−3×4=14>10， 所以现要围成面积为的花圃，不能行. 14．【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，；     （2）．      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． (1) 小问详解： 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求取得最大值时t的取值． 【详解】 解：． 因为，当时，s取得最大值． 故汽车刹车后秒，停下来． 故答案为：． 16．【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；     （2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键： （1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）．      答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为． (2) 小问详解： 当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元． 设总利润为元，依题意， 得． 当时，有最大值． 答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 18．【答案】（1）     （2）不能， 理由如下： 由题意可知，，，， 则， 当时，， ， 此纯电货车不能完全停到车棚内；     （3）支柱抬高的高度至少需要大于米．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式。二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知，，，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，进而求出时的函数值，与货车的高度比较即可； （3）设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，由题意可知当时，，进而求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， 则 ，解得： ， 该二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为， 要求改造后车棚内能容纳长、高的车辆进入充电， 当时，， ， 解得：， 即支柱抬高的高度至少需要大于米． 19．【答案】（1）     （2）6000元      【分析】 （1）设，把点分别代入解析式计算即可； （2）设日销售额w元，当时，，根据二次函数最值计算即可． 本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 设，把点分别代入解析式，得 ； 解得 ， 故． (2) 小问详解： 设日销售额w元，当时，， ， 当时，W随x的增大而增大，且， 故当时，w有最大值，且为， 故最大值为6000元． 20．【答案】任务一：；任务二：若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元；任务三：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】 解：任务． 任务2：由题意，得， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）． ． 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元． 任务3：设总毛利润为元． ∴当时，最大，最大值为4440．此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 21．【答案】（1）售价定为元/本或元/本     （2）售价应定价为元/本，最大利润为元      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用． （1）设售价定为x元/本，使这种科幻书平均每天的销售利润为元，据此列方程并解方程即可； （2）设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元，根据（1）即可得到w的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设售价定为x元/本，则可列方程： ， 解得：，， ∴将售价定为45元/本或35元/本时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元． (2) 小问详解： 设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元， 则， ∵， ∴当时，w有最大值，为300， ∴要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，这种科幻书的售价应定价为40元/本，最大利润为300元． 22．【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】 解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 23．【答案】（1）该手工作品应该定价为元；（2）该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出二次函数关系式． （1）设每个定价为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个定价为元时，可使捐出的善款为元，由题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）设每个定价为元，由题意得： ， 整理得：， 解得：，， 尽可能让更多的人参与献爱心活动， ， 答：该手工作品应该定价为元； （2）设每件定价为元时，可使捐出的善款为元， 由题意得：， ， 当时，有最大值， 答：该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多． 24．【答案】（1）太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元     （2）当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设销售单价为x元，根据总利润单个利润数量，列一元二次方程求解即可； （2）设月销售利润为y元，销售单价为x元，根据题意得出x与y的关系式，再根据二次函数的性质，即可求出最大值． (1) 小问详解： 解：设销售单价为x元， 由题意得， 整理得：， 解得：，， ∴太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元； (2) 小问详解： 解：设月销售利润为y元，销售单价为x元， 依题意可得： ， ∵， ∴当时，y有最大值为9000， ∴当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元． 25．【答案】（1）     （2）第5天的销售利润为18000元     （3） 不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元．      【分析】 本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得： ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； (3) 小问详解： 略 26．【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， 当x＝45时，w有最大值，最大值是225． （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 27．【答案】（1）；     （2）该食品的售价为30元/千克     （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元      【分析】 （1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得 ， 解得 ， 与的函数关系式为： 即 (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； (3) 小问详解： 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 28．【答案】（1）关于t的函数表达式为 ，关于t的函数表达式为     （2） 解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大；     （3）或3      【分析】 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质． （1）分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在上时，分别求出三角形的面积； （2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合函数图象，即可写出和面积相等时的t的值． (1) 小问详解： 解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为 ，关于t的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于x的二次函数， ∴ ， 解得， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴离y轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可． 【详解】 解：∵把抛物线向下平移1个单位， ∴所得抛物线的函数表达式是：． 故选：． 2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】 解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：C． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】 解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 4．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 5．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）对于抛物线y＝－2(x＋5)2＋4，下列说法正确的是 A. 开口向下，顶点坐标（5，4）． B. 开口向上，顶点坐标（5，4）． C. 开口向下，顶点坐标（－5，4）． D. 开口向上，顶点坐标（－5，4）． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可． 【详解】解：抛物线中， 此抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故选． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系及顶点坐标公式是解答此题的关键． 6．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案． 【详解】 解：∵的顶点坐标为（0，0） ∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1）， ∴所得抛物线对应的函数表达式为， 故选B 【点睛】 本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（   ） A. 当时，甲有最大值 B. 当时，甲有最小值 C. 当时，乙有最大值 D. 当时，乙有最小值 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵甲， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，当时，甲有最小值，最小值为30； ∵乙， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，当时，乙有最大值，最大值为30； ∴选项错误，正确． 故选：． 8．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）设是拋物线上的三点，则的大小关系为   （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可． 【详解】 解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 9．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大； 故② 错误，③ 错误，④ 正确； ∵， ∴此抛物线图象的开口向上， 故① 正确； 当时，， ∴图象与y轴的交点为， 故⑤ 正确； 综上，① ④ ⑤ 正确，正确的个数有3个， 故选：C． 10．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】 解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 11．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）若二次函数的图象经过点和点，则m的值为（     ） A. 2 B.  C.  D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵点和点的纵坐标相同， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故选：B． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）设，，是抛物线上的三点，则，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的性质，抛物线开口向上，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，据此解答即可． 【详解】 解：抛物线图象，开口向上，对称轴为直线， ∵，距离对称轴1个单位长度， 距离对称轴2个单位长度， 距离对称轴3个单位长度， ∴． 故选：C． 14．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）关于二次函数的下列结论：①顶点的坐标为(1，3)；②对称轴为；③＜－1时，随的增大而增大；④函数图象与轴的交点坐标为(0，3).其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据二次函数顶点式的性质逐项进行计算，即可得出答案． 【详解】 解：二次函数的顶点的坐标为（-1，3），① 错误； 对称轴为x=-1，② 正确； 开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，③ 正确； 函数图象与y轴的交点坐标为（0，-1），④ 错误， 所以，正确的是② ③ ，共2个 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解决本题的关键． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】 解：把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是， 故选：D． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为　　　　　． 【答案】y=（x﹣2）2﹣1． 【分析】 先确定抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据点平移的规律点（0，﹣4）平移后得到点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】 试题分析： 解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把点（0，﹣4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1． 故答案为y=（x﹣2）2﹣1． 考点：二次函数图象与几何变换． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 17．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　． 【答案】m＞﹣1 【分析】 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】 解：由题意知，平移过后的抛物线表达式为， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　． 【答案】 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】 解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 20．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】 解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为　　　　　　　　　　． 【答案】0或6或0 【分析】 分别将（2，5），（4，5）代入解析式求解． 【详解】 解：∵y＝（x−h）2＋1， ∴抛物线开口向上，函数最小值为y＝1， ∵2≤x≤4时，函数最小值为y＝5， ∴h＜2或h＞4， 当h＜2时，x＝2时，y＝（2−h）2＋1＝5， 解得h＝0或h＝4（舍）， h＞4时，x＝4，y＝（4−h）2＋1＝5， 解得h＝6或h＝2（舍）， 故答案为：0或6． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 22．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 23．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）将抛物线向左平移　　　　　　　个单位后经过点． 【答案】3 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将抛物线向左平移后经过点， ∴设平移后解析式为：， 则， 解得：或（不合题意舍去）， 故将抛物线向左平移3个单位后经过点． 故答案为3． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】直接利用抛物线的顶点形式得出抛物线的顶点坐标，结合第一象限点的坐标特点列出不等式组解答即可． 【详解】抛物线， 顶点坐标为， 顶点在第一象限， 且， 的取值范围为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】 解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 3．（24-25学年九上·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：    接力中，自己负责的一步出现错误的是（       ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标. 【详解】解： ， 可得顶点坐标为（-1，-6）， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3）， 所以错误的只有甲和丁. 故选D. 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法. 4．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】 解： A．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； B．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； C．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； D．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，符合题意． 故选∶D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 最大值为 D. 当，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可进行判断． 【详解】 解：， 抛物线开口向下， 故选项A错误，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线， 故选项B错误，不符合题意； ， 函数有最大值， 故选项C错误，不符合题意； 抛物线开口向下，且对称轴为， 当时，函数值随自变量的增大而减小， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（       ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【分析】 通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断①、②、③，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质． 【详解】 解：抛物线开口向下， ，①错误， 、关于对称轴对称， ∴， 则， 故②正确， 二次函数的对称轴为直线， ， ， 把代入， 得， ， 整理得：， 故③正确， 二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线取得最大值为， 当时，， ， 即， 故④正确． 所有正确结论的序号为② ③ ④． 故选：C． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】 解：由一次函数的图象可得：，， 所以二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有B， 故选：B． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】 解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号． 9．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y的取值范围是 D. 若，，是该二次函数图象上的三个点，则 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．通过代入三个点坐标求出二次函数解析式，再逐一验证各选项． 【详解】 解：∵点，，在上， ，解得 ， 所以二次函数的解析式为． A：在中，，所以函数图象开口向上，A选项错误． B：在中，，则对称轴为，B选项错误． C：对于二次函数，其对称轴为，顶点坐标为，当时，取得最小值-4；当时，；当时，．所以当时，，C选项错误． D：点到对称轴的距离分别为：．因为函数图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大．所以，D选项正确． 故选D． 10．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】略 11．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 ① 根据直线是对称轴，确定的值； ② 根据时，确定的符号； ③ 根据时，，求得，即可得到结论； ④ 根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可． 【详解】 解：∵直线是对称轴， ∴，即， ∴，故① 正确； ∵直线是对称轴，二次函数图象经过点， ∴抛物线经过点, ∴当时，， 即，故② 错误； 当时，， ∴， ∴，故③ 正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，，与是抛物线上两点， ∴，故④ 正确， 综上，正确的是① ③ ④ ，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． 12．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知抛物线的图像如所示，则化简得（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据图像可知，，当时，，即，再化简所求式子即可． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵图像经过原点， ∴， ∵当时，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图像及性质、绝对值的性质以及整式运算等知识，熟练掌握二次函数的图像上点的坐标特点以及绝对值的性质是解题的关键． 13．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（       ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得① 符合题意；由，可得，结合，可得② 不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③ 符合题意；分三种情况分析④ 当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④ 符合题意； 【详解】 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故① 符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故② 不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③ 符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④ 符合题意； 综上：符合题意的有① ③ ④ ； 故选：C． 14．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，正确的是（） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是读懂表格掌握二次函数的图象和性质．根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】 解：由图表函数值相等可知：对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， 四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 15．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为的抛物线解析式为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质．设所求抛物线的解析式为，根据抛物线的形状与开口方向状、开口方向与抛物线相同，得到，再根据顶点坐标可得，，即可解答． 【详解】 解：设所求的抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线形状相同，开口方向相同， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴，， ∴该抛物线的解析式为． 故选：B． 16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据二次函数图象及其性质，对结论进行判断即可． 【详解】 解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，且两个交点坐标为（-1，0）、（5，0），故方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，① 正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2， ∴﹣＝2， ∴4a+b＝0，故③ 正确， 由图象知，抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵4a+b＝0， ∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故② 正确， 由图象知，当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故④ 错误， 即正确的结论有3个． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系． 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（          ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断① 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断② 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③ 符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④ 不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：观察图象，可知， ∴，故① 符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故② 符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④ 不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】解：由方程组 得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 19．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 【答案】D 【分析】利由抛物线的位置可对① 进行判断；用抛物线与x轴的交点个数可对② 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③ 进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对④ 进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对⑤ 进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴-＞0， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故① 正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴b2＞4ac，故② 正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故③ 正确； ∵x=-=1，即b=-2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故④ 错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当-1≤x≤3时，y≥0，故⑤ 正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 20．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一次函数、二次函数图象的性质，根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案． 【详解】 解：根据题意可知二次函数的图象经过原点，故B选项错误； 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数中a为负值，故D选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与轴的交点应该在y轴正半轴，故C选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与y轴的交点应该在y轴负半轴，故A选项正确． 故选：A． 21．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】 结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论进行依次判断即可． 【详解】 解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论① 正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论② 错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③ 正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④ 错误； 综上，正确结论为① ③ ，共个． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系． 22．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；则上述结论中，正确的个数是（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 根据函数的开口，判断a的符号，根据对称轴，判断b的符号，根据于y轴交点，判断c的符号，即可判断① ；把点代入得，整理得到，即可判断② ；根据该函数图象与x轴的交点个数，即可判断③ ；根据可得，则当时，，把和分别代入，消去a，即可判断④ ；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵函数开口向下， ∴， ∵函数对称轴在y轴左侧， ∴，则， ∵函数图象与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故① 正确； 把点代入得： ， ∴，则， ∵， ∴，故② 正确； ∵该函数图象与x轴有2个交点， ∴，故③ 不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 把代入得：，即 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴，故④ 正确； 把代入得：， ∵抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下， ∴该函数的顶点坐标为：，即该函数最大值为， 当时，， ∴， 整理得：，即，故⑤ 正确； 综上：正确的有① ② ④ ⑤ ，共4个； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系． 23．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据抛物线过点A、B，可得抛物线的解析式为，由抛物线的开口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分别对① ③作出判断；观察图象，即可对②作出判断；，所以点C到x轴的距离为9a，因AB=6，若是直角三角形，根据抛物线的对称性，即可满足条件，此时点C的坐标为(1,-3)，因而可判断④ 正确；由可得：， 由此可对⑤ 作出判断． 【详解】 由图象知，抛物线的开口向上，故a>0 由题意得： ∴b=-2a<0，c=-8a<0 ∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0 即① ③正确 观察图象知，当－2＜x＜4时，函数的图象位于x轴下方，即ax2＋bx＋c＜0，故② 正确 若是直角三角形，根据抛物线的对称性，则此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，则点C到x轴的距离为3 ∵ ∴9a=3 即抛物线的顶点C的坐标为(1,-3) 故④正确 由可得： 而当x=1时，函数的函数值为a+b+c，且也是函数的最小值 ∵对任意实数m，函数的函数值不小于其最小值 即 则am2+bm≥a+b 故⑤ 错误 所以正确结论的个数有4个 故选：C． 【点睛】 本题综合考查了二次函数的图象与性质，涉及函数表达式的三种形式，抛物线的对称性，最值，函数与不等式的关系等知识，还涉及数形结合的思想，是一道全面考查二次函数图象与性质的好题，因此全面掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 24．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　 【答案】1≤y＜9 【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在上的最大值和最小值即可． 【详解】 ∴抛物线开口向上 ∴当时，y有最小值，最小值为1 当时，y有最大值，最小值为 ∴当时，的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）抛物线的对称轴是直线，则b的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】 解：的对称轴是直线， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 26．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑　　　　　　　　　　 m． 【答案】750 【分析】 要求飞机从着陆至停下来共滑，即求出函数的最大值即可． 【详解】 解：y＝60t−t2＝−（t2−50t＋625）＋750＝−（t−25）2＋750， 所以当t＝25时，该函数有最大值750． 故答案为：750． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 27．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为　　　　　　　　　　　 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是读懂图象，由图象得到之间的关系 ． 根据图象可知该函数的对称轴大于零，可判断符号，由此可判断① ；由函数图象可知该函数与x轴交于和两点，由此可求对称轴，由此可判断② ；根据，，由此判断③ ；根据a与c的符号可判断④ ；根据函数的最小值即可判断⑤ ． 【详解】 解：① ：由图象可知，该函数的对称轴大于零， ∴，即， ∴，故① 错误； ② ：∵该函数与x轴交于和两点， ∴对称轴为， 即，则有， ∵点在函数图象上， ∴，即， 将，代入， 即，可得， ∴， ∵函数图象开口向上，即， ∴，则，故② 正确； ③ ：由② 知，，， ∴，故③ 正确； ④ ：∵，且， ∴， ∴，故④ 正确； ⑤ ∵，， ∴⑤ 由图象可知，该函数的最小值小于， 即，且， ∴，故⑤ 错误． ∴正确的结论序号为② ③ ④． 故答案为：② ③ ④ ． 28．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】 解：∵的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 29．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】（1）     （2）顶点坐标为，对称轴为直线     （3）最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为．      【分析】 （1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． (2) 小问详解： ， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． (3) 小问详解： 略 30．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … … … … 【答案】（1）直线，，； （2）描点，画出函数的图像如图： ． 【分析】 （1）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x=0，求出与y轴的交点即可； （2）列表、描点，然后画出图像即可． 【详解】 解：（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P（1，4）， 令x=0，则y=3， ∴抛物线与y轴的交点C为（0，3）， 故答案为直线x=1，（1，4），（0，3）； （2）列表： 描点，画出函数的图像如图： x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … ． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键． 31．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】 解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 32．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】 解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如果三点，和在抛物线的图象上，则，，之间的大小关系是　　　　　　．（用“<”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称轴和开口方向，以及各点到对称轴的距离即可作出判断． 【详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵，，且抛物线开口向下， ∴； 故答案为：． 34．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 【详解】 解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 35．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）已知二次函数的图象与轴交于点（点在点左边），与直线交于点，若点在轴正半轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，先由求出点坐标，再求直线与抛物线的交点的坐标，设，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：对于二次函数，当时，， 解得， ∵点在点左边， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴设， 当时， ∴， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， ∴， 解得，， 当时，点D不符合题意，当时，不存在； 当时，即， ∴， 解得，， ∴； 当时， 即， ∴， 解得，，，（舍去） ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或 36．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标，图象如图；      （2）①；②      【分析】 本题主要考查了画二次函数图象、将一般式化为顶点式、二次函数的性质等知识点，根据函数图象求不等式的解集是解答本题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可求得顶点坐标，运用描点法画出二次函数图象即可； （2）① 根据二次函数的性质即可得到结论；② 根据二次函数的性质得出取得最小值，顶点位置取得最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： x 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 (2) 小问详解： 解：① ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵函数图象上两点和，， ∴， 故答案为：； ② ∵，图象开口向下， 当时，取得最小值，， ∵顶点坐标为，则y的最大值为4， 当时，函数值y的取值范围． 37．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为． （1）当抛物线经过点，求抛物线的函数表达式； （2）求顶点A的坐标（用含字母a的代数式表示），判断顶点A是在x轴上方还是下方，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 顶点A在x轴的上方，理由如下： ， 该抛物线的顶点A的坐标为， 顶点A的纵坐标为，且， 顶点A在x轴的上方．      【分析】 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，正确地将抛物线的函数表达式配方成顶点式是解题的关键． 将代入，得，求得，则抛物线的函数表达式为； 由，求得该抛物线的顶点A的坐标为，因为，则顶点A在x轴的上方． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或      【分析】 （1）把代入解析式，解答即可； （2）根据对称轴为直线计算即可； （3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题求解． (1) 小问详解： 解：把代入解析式， ， 解得， 抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：二次函数的对称轴为直线：， (3) 小问详解： 解：将A（b﹣1，）和B（b+2，）代入得， ， 整理得：，， 当时，则， ∵， ∴， ∵b+2>b+1>b-1>b-2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是负数，三个正数时，则 ， 解得：1<b<2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是正数，三个负数时，则 ， 解得：-2<b<-1， ∴时，b的取值范围为：或． 【点睛】 本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质． 39．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用二次函数的对称轴公式求出参数，再代入已知点坐标求出参数． 【详解】 解：由二次函数的对称轴公式，其中，对称轴为， 得：， 解得：， 将和点代入函数解析式， 得：， 解得：， 故函数解析式为， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． （1）直接写出一个a的值，使得成立； （2）是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质： （1）根据二次函数的对称性可得到结果； （2）根据该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，分情况讨论即可； 掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据抛物线可得， 该抛物线开口向上，对称轴为：， 若使得成立， 则M点要比N点离对称轴比较近，或者M点和N点都在对称轴右侧， ，中点的横坐标为：， ∴， ∴（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴函数图像开口向上，对称轴为， ①当时， ∴点P，M，N均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； ②当时， ∵点P在对称轴左侧，设P点关于的对称点为， 则点的坐标为， ∵点，M，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ③当时， ∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ④当时， ∴点P，M，N均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 由① ② ③ ④可知，． 41．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是　　　　　　．（填序号） 【答案】① ③ ⑤ 【分析】 根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当时，， ∴． ∴④错误． 当时，有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：① ③ ⑤． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 42．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，或．      【分析】 本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． (1) 小问详解： 解：将、代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 43．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；     （2）；；     （3）；；；      【分析】 （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． (1) 小问详解： 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴① 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ② 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与① 相同； ③ 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 44．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 （1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）根据二次函数的对称性和点A的坐标求出点B的坐标，然后求出AB，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 解：(1)由知抛物线顶点C(-1，0)， 令x＝0，得， ∴． 将点A、C的坐标代入直线解析式得， ， 解得 ， 所以，直线AC的解析式为； （2）∵顶点坐标为（-1，0）， ∴对称轴为直线x=-1， ∵AB⊥y轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，）， ∴AB=2， ∴△ABC的面积=； （3）由图可知，x＜-1或x＞0时，y1＞y2． 【点睛】 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握各性质与待定系数法求函数解析式是解题的关键，难点在于（2）求出点B的坐标． 45．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论： ①； ②方程必有一个根大于2且小于3； ③若，是抛物线上的两点，那么； ④； ⑤对于任意实数m，都有， 其中正确结论的序号是　　　　　　　　． 【答案】② ④ ⑤ 【分析】 本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断① ，根据图象和二次函数的对称轴可以判断② ，根据开口方向和离对称轴的距离判断③ ，利用时的函数值和的取值范围判断④ 根据抛物线的最值可以判断⑤ 是解决问题关键． 【详解】 ① 根据图象可知：， ∵对称轴是直线， 即， ， ，故① 错误； ② 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点，故② 正确； ③ ∵对称轴是直线， ∴点离对称轴更近， ∴，故③ 错误. ④， ∴， ， 根据图象，令 ， ∴ ， ，故④ 正确； ⑤ ∵对称轴是直线， ∴当时，y值最小，即为， ∴当时，， 即， ∴，故⑤ 正确； 综上② ④ ⑤ 正确， 故答案为：② ④ ⑤ ． 46．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． （1）求抛物线的解析式： （2）若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ （3）如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 【答案】（1）     （2）当点P运动到时面积最大，最大面积是     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． (1) 小问详解： 解：把、代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得 ， 解得 ， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ① 若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴ ， 解得 ， ∴； ② 若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴ ， 解得 ， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 47．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　　　　　　　. 【答案】－2＜k＜． 【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x， 联立 ，消掉y得，， 由解得，. ∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1. ∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）. ∴交点在线段AO上. 当抛物线经过点B（2，0）时，，解得k=－2. ∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜. 【详解】 请在此输入详解！ 48．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知二次函数． （1）图像经过原点，求的值； （2）图像的对称轴为轴，求的值； （3）图像的顶点在轴上，求的值． 【答案】（1）m=0；（2）m=1；（3）m=-1 【分析】 （1）将原点坐标代入解析式，解之即可得m的值； （2）由对称轴为y轴，得到，解之即可； （3）顶点在x轴上，则有，解之即可． 【详解】 解：（1）因为图像经过原点 所以，； （2）因为对称轴为y轴， 所以， 解得：； （3）因为顶点在x轴上， 所以 ． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 49．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 50．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； (3) 小问详解： 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 51．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． (1) 小问详解： 解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得 ， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． (2) 小问详解： 解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． (3) 小问详解： 解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 52．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】 ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 53．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线． （1）若抛物线过点，则它的对称轴是直线                 ； （2）当时，二次函数的最大值为，求的取值范围； （3）在（1）的条件下将抛物线向下平移个单位后如图所示与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线上存在点，使得．请求出直线的解析式． 【答案】（1）     （2）     （3）和      【分析】 本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质分三种情况讨论即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：过点， ， 解得：， 抛物线， 它的对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，二次函数的最大值为， 若时，则当时，取得最大值，有， 解得：，不符合题意； 若且即时，则当时，取得最大值，有， 解得：，符合题意； 若且即时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立； 若时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立； 综上所述，的取值范围为； (3) 小问详解： 解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时， 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线BQ的解析式为：和． 54．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】（1）     （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，则 ， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即，解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则 ，解得： ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ．      【分析】 （1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 55．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． （1）如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． （2）如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 【答案】（1）①；②；     （2） 解：如图，过点D作， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 平分．      【分析】 （1）①利用待定系数法解答即可；②连接，先求出，，设点的坐标为，利用进行求解即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）过点D作，先求出，，可得，再由勾股定理求出，从而得出，可得到，再由平行线的性质证明即可． (1) 小问详解： 解：①将点A代入得： ， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， 在二次函数中，令，得， 解得：， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 56．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； （3）如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）的周长的最小值，点M的坐标为     （3）存在，或或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． (1) 小问详解： 解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； (3) 小问详解： 解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 57．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点．     （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以．     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对称轴为直线，顶点坐标为， ① 当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即 ，解得： ② 当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即 ，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 58．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）（多选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是. (2) . （3）P点的横坐标是或. 【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可； （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 【详解】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得 解得 所以抛物线的解析式是. 设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得 解得 所以直线AB的解析式是. (2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时 ==. （3）若存在，则可能是： ① P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能. ② P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是. ③ P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去）， ①，所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 59．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，) 【分析】（1）首先求出B、C两点的坐标，然后进一步代入抛物线解析式加以求解即可； （2）首先根据抛物线解析式求出A点坐标，从而得出AB=4，求出△CAB的面积为6，然后设P点坐标为(，)，根据题意进一步列出方程加以分析求解即可. 【详解】（1）∵直线经过B、C两点， ∴当时，；当时，， ∴B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过B、C两点， ∴ ， 解得：，， ∴该抛物线解析式为：； （2）当时，， ∴，， ∴A点坐标为(，0)， ∴AB=4， ∴△CAB的面积=， 设P点坐标为(，)， ∵S△PAB=2S△CAB， 则：， ∴， 即或， 当时，，此时方程无解， ∴此时P点不存在， 当时，，解得：，， ∴此时P点坐标为(，)，(，)， 综上所述，存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，). 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 60．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；顶点坐标为     （2）     （3）或     （4）或或      【分析】 （1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）① 如图所示，当，即时，② 当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论① 当是的中点，② 同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， (2) 小问详解： 解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； (3) 小问详解： ① 如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ② 当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； (4) 小问详解： 解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ① 当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ② 同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③ 如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 61．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或．      【分析】 （1）将、代入即可求得函数的解析式； （2）连接，设 ，由，然后运用二次函数求最值得到t，最后确定P的坐标； （3）设，过点B作轴，过点Q作交于M，则，可，求出；过点Q作轴交于N，，则，求出． (1) 小问详解： 解：将、代入可得： ∴ ，解得 ， ∴． (2) 小问详解： 解：如图1：连接，设 ∵ ∴C点的坐标为 ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴AB＝5，OC＝4， ∴ ∴， ∵在范围内 ∴当时，最大，=6 ∴点P的坐标为 ． (3) 小问详解： 解：设， 如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得（舍）， ∴；    如图3，过点Q作轴交于N， ∵ ， ∴， ∴，解得（舍）或， ∴； 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形结合思想是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（     ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 【答案】A 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】 解：∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为或， 故选：A． 2．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程的根的情况（       ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个异号实根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 由图可知的根的情况即图中图象中纵坐标是3的点的个数，据此即可判断． 【详解】 解：∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线与函数图象只有一个交点， ∴方程的根为两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线与抛物线的交点个数． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 关于的方程的另一个根在和之间 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题．根据抛物线开口方向、与轴的交点和对称轴可以对A、B进行判断；利用抛物线的对称性求出抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，可对C、D进行判断． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即 ，故B选项正确，不符合题意； ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，即关于x的方程的另一个解在和之间，故选项D正确，不符合题意； ∴时，， ∴，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】 解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 6．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．且对称轴为x=1．则下面的四个结论： ①当x＞﹣1时，y＞0； ②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=3； ③当y＜0时，x＜﹣1； ④抛物线上两点（x1，y1），（x2，y2）．当x1＞x2＞2时，y1＞y2 其中正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一交点，再利用图形分析即可． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且对称轴为x=1，∴图象与x轴的另一个交点为：（3，0），故① 当3＞x＞﹣1时，y＞0；故此选项错误； ② 一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=3，正确； ③ 当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；故此选项错误； ④ 抛物线上两点（x1，y1），（x2，y2）．当x1＞x2＞2时，两点都在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故y1＞y2，故此选项正确． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合是解题的关键． 7．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为　　　　　　． 【答案】2或3或 【分析】 根据题意，将该函数分成一次函数和二次函数分别进行讨论，若为一次函数，则二次项系数为0，若为二次函数且与轴只有一个交点，则． 【详解】 解：∵关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点， 当该函数为二次函数时， ∴， ∴解得或， 当该函数为一次函数时， ∴ ∴或3或． 故答案为：2或3或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数和二次函数的概念和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的概念和性质是解答此题的关键． 9．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】 解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 10．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由题意得，所求问题等价于的图象在的部分与直线有两个公共点，利用图象法即可求出m的取值范围． 【详解】 解：由题意，令， ， 的图象在的部分与的图象有两个公共点等价于的图象在的部分与直线有两个公共点， 作图象和直线如下： 当时，有最小值， 当时，， 结合图象可得，， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】 解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 12．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】 解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【详解】 考点06 实际问题与二次函数 1．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（       ） A. 40秒 B. 45秒 C. 50秒 D. 55秒 【答案】C 【分析】 炮弹落到地上即，代入解析式解答即可． 【详解】 解：令，则， 解得（舍去），， 故选C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质的应用，掌握炮弹落到地上即可以解答本题． 2．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 3．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，正方形的顶点A、B与正方形的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点落在与y轴的交点上，两正方形的边与同时落在x轴上．若正方形的边长为4，则正方形的边长为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键；本题根据题意得出抛物线表达式，进而表示出G点坐标，再利用列方程求解，进而求出结果即可． 【详解】 解：正方形的边长为4， 抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1）； （2）能，由题意，得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米 如果该船的速度不变，能安全通过此桥． 【分析】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】 （1）设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米， 则， 解得 抛物线的解析式为； （2） 略 【点睛】 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】 解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 6．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1）     （2）球不能射进球门      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． （1）用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y的值，然后与进行比较即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：当时，， ∴球不能射进球门． 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）（多选）如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；（2）当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【分析】 （1）根据BC=（栅栏总长-2AB），再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】 解：（1）∵AB=CD=xm， ∴BC=（80-2x）m， ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴15≤x＜40， ∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）； （2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800， ∵15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800， ∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键． 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是　　　　　　m． 【答案】5 【分析】 以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】 解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键． 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【分析】 （1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得： ， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 10．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）60元     （2）当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，得， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：销售单价应定为60元． (2) 小问详解： 解：设每天获得的利润为w元， 由题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大，最大为（元）， 答：当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 11．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流．图2是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图．喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点（坐标原点），过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系．其抛物线形水流的表达式为（单位：） （1）用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； （2）请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； （3）若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为．判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 【答案】（1），水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为     （2）     （3） 解：喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，理由如下： 当时，， ∴喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度．      【分析】 （）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标即可求解； （）求出时的值即可求解； （）求出时的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 即， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，（舍去）， ∴该抛物线与轴的交点坐标为， ∴该喷灌机的最大灌溉水平距离为； (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【答案】（1），，     （2）抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为      【分析】 本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）（多选）如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃． (1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？ (2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由． 【答案】（1）AB的长为5 m；（2）不能围成面积为48 m2的花圃. 【详解】试题分析：（1）设花圃的宽AB为x米，用总长减去三个宽即为的长，则BC=(24−3x)米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）根据题意列出方程，求得AB的长度，然后根据墙的最大可用长度a为10m进行判断． 试题解析：(1)设花圃的宽AB为x米,则BC=(24−3x)米， x(24−3x)=45， 解得：    当x=3时，24−3x=15，不符合题意， 当x=5时，24−3x=9，符合题意， 答：AB的长应为5米. (2)依题意得：x(24−3x)=48， 整理，得 解得x=4. 则BC=24−3×4=14>10， 所以现要围成面积为的花圃，不能行. 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，；     （2）．      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． (1) 小问详解： 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 15．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后　　　　　　　　　秒停下来． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求取得最大值时t的取值． 【详解】 解：． 因为，当时，s取得最大值． 故汽车刹车后秒，停下来． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． （1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； （2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；     （2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键： （1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）．      答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为． (2) 小问详解： 当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元． 设总利润为元，依题意， 得． 当时，有最大值． 答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O　　　　　　m以内． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 【答案】（1）     （2）不能， 理由如下： 由题意可知，，，， 则， 当时，， ， 此纯电货车不能完全停到车棚内；     （3）支柱抬高的高度至少需要大于米．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式。二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知，，，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，进而求出时的函数值，与货车的高度比较即可； （3）设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，由题意可知当时，，进而求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， 则 ，解得： ， 该二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为， 要求改造后车棚内能容纳长、高的车辆进入充电， 当时，， ， 解得：， 即支柱抬高的高度至少需要大于米． 19．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）云南地处高原环境，日照长，昼夜温差大，利于糖分积累，是著名的蓝莓产区，小李家今年种植的蓝莓喜获丰收，采摘上市15天全部销售完，小李对销售情况进行统计后发现，在该蓝莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为 蓝莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求m与x之间的函数关系式； （2）设日销售额w元，当时，求w的最大值． 【答案】（1）     （2）6000元      【分析】 （1）设，把点分别代入解析式计算即可； （2）设日销售额w元，当时，，根据二次函数最值计算即可． 本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 设，把点分别代入解析式，得 ； 解得 ， 故． (2) 小问详解： 设日销售额w元，当时，， ， 当时，W随x的增大而增大，且， 故当时，w有最大值，且为， 故最大值为6000元． 20．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 【答案】任务一：；任务二：若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元；任务三：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】 解：任务． 任务2：由题意，得， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）． ． 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元． 任务3：设总毛利润为元． ∴当时，最大，最大值为4440．此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 21．（24-25学年九上·期末）某书店正在销售一种科幻书，它的进价和售价分别为元和元． （1）该书店打算在元旦把这种科幻书进行降价促销，若按原售价进行销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售出3本，则将售价定为每本多少元时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元? （2）在（1）的条件下，要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，则这种科幻书的售价应定为多少元?并求出最大利润． 【答案】（1）售价定为元/本或元/本     （2）售价应定价为元/本，最大利润为元      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用． （1）设售价定为x元/本，使这种科幻书平均每天的销售利润为元，据此列方程并解方程即可； （2）设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元，根据（1）即可得到w的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设售价定为x元/本，则可列方程： ， 解得：，， ∴将售价定为45元/本或35元/本时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元． (2) 小问详解： 设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元， 则， ∵， ∴当时，w有最大值，为300， ∴要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，这种科幻书的售价应定价为40元/本，最大利润为300元． 22．（24-25学年九上·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是　　　　　　　　　m． 【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】 解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 23．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个． 凤凰快讯2 义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？ 任务2 请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？ 【答案】（1）该手工作品应该定价为元；（2）该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出二次函数关系式． （1）设每个定价为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个定价为元时，可使捐出的善款为元，由题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）设每个定价为元，由题意得： ， 整理得：， 解得：，， 尽可能让更多的人参与献爱心活动， ， 答：该手工作品应该定价为元； （2）设每件定价为元时，可使捐出的善款为元， 由题意得：， ， 当时，有最大值， 答：该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多． 24．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款太阳能美化路灯，该灯的成本是40元盏通过调研发现，若按50元盏销售，一个月可售出500盏；为了提高利润，小明准备涨价，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． （1）小明想让太阳能美化路灯的月销售利润为8000元，则太阳能美化路灯的销售单价应定为多少元？ （2）太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元     （2）当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设销售单价为x元，根据总利润单个利润数量，列一元二次方程求解即可； （2）设月销售利润为y元，销售单价为x元，根据题意得出x与y的关系式，再根据二次函数的性质，即可求出最大值． (1) 小问详解： 解：设销售单价为x元， 由题意得， 整理得：， 解得：，， ∴太阳能美化路灯的销售单价应定为60元或80元； (2) 小问详解： 解：设月销售利润为y元，销售单价为x元， 依题意可得： ， ∵， ∴当时，y有最大值为9000， ∴当太阳能美化路灯的销售单价定为70元时，能获得最大月销售利润，最大利润为9000元． 25．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】（1）     （2）第5天的销售利润为18000元     （3） 不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元．      【分析】 本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得： ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； (3) 小问详解： 略 26．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， 当x＝45时，w有最大值，最大值是225． （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 27．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）；     （2）该食品的售价为30元/千克     （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元      【分析】 （1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得 ， 解得 ， 与的函数关系式为： 即 (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； (3) 小问详解： 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 28．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 【答案】（1）关于t的函数表达式为 ，关于t的函数表达式为     （2） 解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大；     （3）或3      【分析】 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质． （1）分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在上时，分别求出三角形的面积； （2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合函数图象，即可写出和面积相等时的t的值． (1) 小问详解： 解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为 ，关于t的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $