专题2.2 平方根与立方根（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题2.2 平方根与立方根 知识点1：算术平方根 　　1.定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 　　2.表示：a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，其中 a 叫做被开方数。 　　3.性质：正数的算术平方根是正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。 　　4.双重非负性： 且。 知识点2：平方根 　　1.定义：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 　　2.表示：正数 a 的平方根表示为。 　　3.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 比较项 算术平方根 平方根 定义 正数 x 满足，x 是 a 的算术平方根 数 x 满足，x 是 a 的平方根 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，互为相反数 表示 取值范围 非负数（含 0） 可正可负，也可为 0 联系 算术平方根是平方根中正的那一个 平方根包含算术平方根 关于 0 0 的算术平方根是 0 0 的平方根是 0 知识点4：立方根 　　1.定义：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即，那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 　　2.表示：a 的立方根记为，读作“三次根号 a”。 　　3.性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 　　4.重要结论：立方根符号与被开方数符号一致，即；立方根对被开方数没有正负限制。 知识点5：开平方与开立方 比较项 开平方 开立方 定义 求一个数 a 的平方根的运算 求一个数 a 的立方根的运算 被开方数要求 a 必须是非负数 a 可以是任意实数 结果个数 正数有 ± 两个平方根 任意实数有唯一一个立方根 逆运算 平方 立方 【基础必考题型】 【题型1】平方根概念的理解与判断 1.核心知识点 　　平方根定义； 表示；平方根与算术平方根区别。 2.解题方法技巧 　　①平方根是，算术平方根是（只取正）； 　　②“25 的平方根是±5”用 表示； ③负数没有平方根，判断时先确认被开方数非负。 【例题1】.（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ， ∴ ， 解得：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·广东广州·期中）下面说法错误的是（     ） A．0的平方根是0 B．4的平方根是 C．是的立方根 D．3是9的算术平方根 【答案】B 【详解】解：A选项，根据平方根定义，的平方根是，A说法正确； B选项，∵ 正数有两个平方根，且互为相反数， ∴ 的平方根是，不是只有，B说法错误； C选项，∵ ， ∴ 是的立方根，C说法正确； D选项，∵ ，且算术平方根是非负平方根， ∴ 是的算术平方根，D说法正确． 【题型2】求一个数的平方根与算术平方根 1.核心知识点 　　平方根与算术平方根的定义与区别；找两个互为相反数的平方根，算术平方根只取正；先化简再求。 2.解题方法技巧 　　①求平方根写 两个相反根，求算术平方根只取正的那个； 　　②被开方数是平方形式（如）时先算值再开方，再按所求类型取根； ③求平方根带±号不漏负根；求算术平方根只取非负值。 【例题2】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确算术平方根是非负数，只需根据定义计算即可得到结果． 【详解】解： 若一个非负数 的平方等于 ，即 ，则 叫做 的算术平方根，算术平方根一定为非负数， 又 ， 的算术平方根是 ． 【题型3】求一个数的立方根 1.核心知识点 　　立方根定义；正、负、0 的立方根； 表示。 2.解题方法技巧 　　①找立方等于该数的数，注意负数有立方根且为负； 　　②利用 转化； ③立方根唯一，不需带±号。 【例题3】.（2026·山东济南·中考真题）27的立方根是________． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川成都·期末）25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)512； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【培优高频题型】 【题型4】估算算术平方根的取值 1.核心知识点 　　夹逼法估算；平方数比较；确定 所在整数区间。 2.解题方法技巧 　　①找到 a 介于哪两个连续平方数之间； 　　② 介于这两个平方数的算术平方根之间； ③结合最接近判断，用于比较或求范围。 【例题4】.（25-26七年级下·宁夏固原·期中）估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的值在4和4.5之间． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 【答案】 【分析】先对不等式变形求出的取值范围，再结合为正整数的条件，找出符合条件的的最大值． 【详解】解：， ， 为正整数， 符合条件的的最大值为． 【变式题4-2】.（2026·重庆巴南·模拟预测）若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 【题型5】求算术平方根的整数部分与小数部分 1.核心知识点 　　估算确定整数部分；小数部分＝原数－整数部分。 2.解题方法技巧 　　①先估值确定整数部分 n； 　　②小数部分为； ③多个根号连用时分别求各部分再运算。 【例题5】.（25-26七年级下·吉林·期末）已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】11 【分析】根据平方根的定义可得，估算的大小可得，代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·湖北孝感·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义列出关于，的方程，解方程求出，，再估算，求出其整数部分即可； （2）把（1）中所求，，的值代入所求代数式进行计算，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：由题可得：，， ，， ∵，即，是的整数部分， ∴．   （2）解：，   ，   的平方根为． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的概念可求解a的值，再由的取值范围可求解b的值． （2）将与代入先求解的值，再由立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得； ∵，，即， ∴的整数部分为3，即． （2）解：由（1）可知：，， 则，则． 【题型6】利用算术平方根双重非负性求值 1.核心知识点 　　 且；几个非负数和为 0 则各项为 0。 2.解题方法技巧 　　①若，则 a＝0 且 b＝0； 　　②由非负性列出方程（组）求字母值； ③再代入计算平方根、算术平方根等。 【例题6】.（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与平方的非负性，两非负式之和为0则两式分别为0，进而求出a,b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 【变式题6-2】.（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ，， ． 【题型7】由平方根与立方根概念解方程 1.核心知识点 　　 型用开平方解， 型用开立方解；平方根两种符号、立方根唯一。 2.解题方法技巧 　　①方程 的解为（）；方程 的解为（唯一解）； 　　②开平方取正负两个解，开立方只有一个解； ③结合题目限定条件（如 x 为正数）取舍解。 【例题7】.（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】先将原方程整理为平方项等于非负常数的形式，再根据平方根的定义开平方，即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， 或， 或． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 【压轴素养题型】 【题型8】立方根与算术平方根综合应用 1.核心知识点 　　已知平方根、立方根求字母；再求表达式的平方根。 2.解题方法技巧 　　①由平方根、立方根条件分别列出方程； 　　②解出字母值代入要求的表达式； ③求平方根时注意取±，且被开方数须非负。 【例题8】.（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 将代入，得， ∴. 【变式题8-1】.（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知的立方根是2，的平方根是． (1)求、的值； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据立方根和平方根的定义求解； （2）首先利用无理数的估算求出，然后根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∵是的整数部分 ∴ ∴，25的平方根为 ∴的平方根为． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·四川自贡·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可以得到，，进而求出m，n的值； （2）将m，n的值带入求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴ ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ， ∴1的算术平方根． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列式求得a即可； （2）先求出，得到，即可解答； （3）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴的立方根是3． 【题型9】平方根与立方根在实际生活中的应用 1.核心知识点 　　面积、体积求边长（开平方、开立方）；物理公式中的开方；跨学科建模。 2.解题方法技巧 　　①由面积求边长用开平方，由体积求棱长用开立方； 　　②物理公式（如自由落体）代入数据开方求解； ③结合实际取近似值，注意单位。 【例题9】.（25-26七年级下·山西朔州·期末）手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南永州·期末）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． (2)如图②，某中学为加强劳动教育，开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种丝瓜和茄子，在和的区域内种辣椒和西红柿，经测量，种辣椒和西红柿区域的面积共有47.5平方米，米，求种丝瓜和茄子区域的面积共有多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】（1）根据完全平方公式代入即可求解； （2）设米，米，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形 ，即可求解． 【详解】（1）解：，而， ， ， ； （2）解：设米，米， 米， ， ，种辣椒和西红柿区域的面积和为平方米， ， ， ， ， ∴种丝瓜和茄子区域的面积共有平方米． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·陕西安康·期中）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为． (1)求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（取3） 【答案】(1) (2)该改造方案不可行，理由见解析 【分析】（1）设该街心花园的长为，宽为，根据题意列出方程，利用算术平方根求解即可； （2）设栽种银杏树的圆形区域的半径为，根据题意得，确定，再由实数的比较方法即可判断． 【详解】（1）解：设该街心花园的长为，宽为． 根据边长与面积的关系，得， ， ． 由边长的实际意义，得． ，． 该街心花园的周长为； （2）解：设栽种银杏树的圆形区域的半径为． 根据半径与面积的关系，得， ． 由半径的实际意义，得． 栽种银杏树的圆形区域的直径为．      ， ． ． 该改造方案不可行． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【答案】(1)； (2)城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【分析】（）列出式子，然后化简即可； （）当，，时，分别代入求解，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比为：； （2）解：当，，时， ∴，， ∵，， ∴城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【题型10】开方与数轴、几何综合 1.核心知识点 　　数轴上表示；圆滚动、正方形面积与数轴结合。 2.解题方法技巧 　　①正方形面积求边长得，再在数轴上表示； 　　②圆滚动一周的位移为周长，含 π 或平方根； 　　③确定滚动方向判断点的坐标变化。 【例题10】.（25-26七年级下·广东韶关·期中）解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由见解析 【分析】（1）设边长为1的小正方形的对角线长为x，利用面积求出对角线为，然后结合数轴求解； （2）求出小正方形的面积，然后求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积求出，然后得到长为，进而求解即可． 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：， ∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得， 解得， 此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形的面积为___________，边长为___________． (2)若正方形从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B第一次落在数轴上时，与点B重合的点P表示的数为___________；若正方形从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D第一次落在数轴上时，与点D重合的点Q表示的数为___________． (3)能否用一块面积为的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为？请通过计算说明是否可行． 【答案】(1)13， (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据割补法求出正方形的面积，即可解答； （2）先推导出，得到，，即可解答； （3）设长方形纸片的长为，宽为，依题意得到，求出，得到长方形纸片的长为，根据，得到不能裁出一块面积为的长方形纸片，即可解答． 【详解】（1）解：由图，可知正方形的面积为， ∴正方形的面积为13，边长为． （2）解：由图及题意，得 ， ∴，， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为； （3）解：不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，依题意，得 ， 由边长的实际意义，得 因此，长方形纸片的长为， ∵ ∴ ∴ 又∵，， ∴不能裁出一块面积为的长方形纸片． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】 阅读下列材料： 材料一：如图（1），我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为1的小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为2的小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为：，其边长① 就是原边长为a的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为1平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；…，如图（2），将纸按如图（3）所示的方式折叠，则纸的长：宽=② 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二中①②所缺内容． ① ；② ． (2)按照图（2）中A系列纸的生成过程，若纸的宽为2，请求出纸的长与宽． 【答案】(1)①，②：1 (2)长为宽为8 【分析】（1）①已知两个边长为a的小正方形剪拼后大正方形面积是，对面积进行开方运算即可得到大正方形边长，该长度同时等于原小正方形对角线长，②结合折纸模型，设正方形边长为a，长方形的长为正方形对角线、宽等于正方形边长a，将长与宽作比并化简，得到纸固定长宽比． （2）先借助第一问结论确定纸长宽比，结合题干给出的纸宽为2算出纸长；再依据A系列纸张对折尺寸变换规则，从逆向逐级推算出的长宽． 【详解】（1）①解把两个边长为的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长为就是原边长为的小正方形的对角线长； ②由图可得折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，若折叠时正方形的边长为，则斜边为，因此这个矩形的长为，宽为，则长：宽； 故所缺内容：①；②； （2）由（1）得：纸的长与宽之比为， 根据材料二，纸面积为1平方米，每沿长边对折一次，纸张面积变为原来的，从到共对折4次，因此纸面积为平方米． 根据A系列纸张对折生成规则：上一级纸张的长为本级纸张宽的2倍，上一级纸张的宽为本级纸张的长． ∵纸的宽为2， ∴纸的长为， ∴纸的长为4，宽为， ∴纸的长为，宽为4， ∴纸的长为8，宽为， ∴纸的长为宽为8． 易错点 1、混淆算术平方根与平方根，漏写负根或把±写进算术平方根。 2、求算术平方根时未先化简，如对 直接写 −3。 3、误认为负数没有立方根，其实负数有立方根且为负。 4、忽略双重非负性，对 中 a<0 的情形判断失误。 5、解 时漏掉负解，只写正根。 6、估值时找错相邻平方数，导致估算范围错误。 重点 1、理解并掌握算术平方根、平方根的概念与表示。 2、会求一个数的平方根与立方根，掌握开方运算。 3、理解算术平方根的双重非负性，能用于求值。 4、掌握平方根与立方根的区别与联系。 难点 1、双重非负性在求值、化简中的应用。 2、算术平方根估算与整数、小数部分的确定。 3、平方根与立方根综合、规律探索与迁移。 4、开方在实际生活与几何情境中的建模应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 2．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 【答案】D 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得． 3．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 5．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，边长为正数，因此求边长就是对面积开算术平方根，先计算第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的面积，进而计算其边长. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 6．下表是部分正数x的平方和立方． 根据上表的数据，可得： _________________． 【答案】 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根和立方根的定义计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用积的乘方逆运算、零指数幂、负整数指数幂运算法则化简计算； （2）利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则化简计算； （3）通过移项、系数化为1后直接开平方求解方程 ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 移项得， 系数化为1得， 开平方得， 得， ∴． 8．根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 【答案】 被开方数 1 4 0 27 平方根 0 不存在 算术平方根 1 2 0 不存在 立方根 1 0 3 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，由已知量计算未知量，注意负数没有平方根和算术平方根。 【详解】解：第一列，被开方数为1， ∵ ，， ∴ 的平方根为，算术平方根为，立方根为． 第二列，算术平方根为， ∵ 非负平方根，被开方数， ∵ ，满足的， ∴ 被开方数为，平方根为，立方根为． 第三列，平方根为， ∵ 平方根，被开方数， ∴ 被开方数为，算术平方根为，立方根为． 第四列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∴ 被开方数为，平方根为，算术平方根为． 第五列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∵ 是负数，负数没有平方根和算术平方根， ∴ 被开方数为，平方根和算术平方根不存在． 9．在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 10．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 平方根与立方根 知识点1：算术平方根 　　1.定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 　　2.表示：a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，其中 a 叫做被开方数。 　　3.性质：正数的算术平方根是正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。 　　4.双重非负性： 且。 知识点2：平方根 　　1.定义：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 　　2.表示：正数 a 的平方根表示为。 　　3.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 比较项 算术平方根 平方根 定义 正数 x 满足，x 是 a 的算术平方根 数 x 满足，x 是 a 的平方根 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，互为相反数 表示 取值范围 非负数（含 0） 可正可负，也可为 0 联系 算术平方根是平方根中正的那一个 平方根包含算术平方根 关于 0 0 的算术平方根是 0 0 的平方根是 0 知识点4：立方根 　　1.定义：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即，那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 　　2.表示：a 的立方根记为，读作“三次根号 a”。 　　3.性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 　　4.重要结论：立方根符号与被开方数符号一致，即；立方根对被开方数没有正负限制。 知识点5：开平方与开立方 比较项 开平方 开立方 定义 求一个数 a 的平方根的运算 求一个数 a 的立方根的运算 被开方数要求 a 必须是非负数 a 可以是任意实数 结果个数 正数有 ± 两个平方根 任意实数有唯一一个立方根 逆运算 平方 立方 【基础必考题型】 【题型1】平方根概念的理解与判断 1.核心知识点 　　平方根定义； 表示；平方根与算术平方根区别。 2.解题方法技巧 　　①平方根是，算术平方根是（只取正）； 　　②“25 的平方根是±5”用 表示； ③负数没有平方根，判断时先确认被开方数非负。 【例题1】.（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【变式题1-1】.（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【变式题1-2】.（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·广东广州·期中）下面说法错误的是（     ） A．0的平方根是0 B．4的平方根是 C．是的立方根 D．3是9的算术平方根 【题型2】求一个数的平方根与算术平方根 1.核心知识点 　　平方根与算术平方根的定义与区别；找两个互为相反数的平方根，算术平方根只取正；先化简再求。 2.解题方法技巧 　　①求平方根写 两个相反根，求算术平方根只取正的那个； 　　②被开方数是平方形式（如）时先算值再开方，再按所求类型取根； ③求平方根带±号不漏负根；求算术平方根只取非负值。 【例题2】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【题型3】求一个数的立方根 1.核心知识点 　　立方根定义；正、负、0 的立方根； 表示。 2.解题方法技巧 　　①找立方等于该数的数，注意负数有立方根且为负； 　　②利用 转化； ③立方根唯一，不需带±号。 【例题3】.（2026·山东济南·中考真题）27的立方根是________． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川成都·期末）25的算术平方根是________，的立方根是________． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)512； (2)； (3)． 【培优高频题型】 【题型4】估算算术平方根的取值 1.核心知识点 　　夹逼法估算；平方数比较；确定 所在整数区间。 2.解题方法技巧 　　①找到 a 介于哪两个连续平方数之间； 　　② 介于这两个平方数的算术平方根之间； ③结合最接近判断，用于比较或求范围。 【例题4】.（25-26七年级下·宁夏固原·期中）估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 【变式题4-2】.（2026·重庆巴南·模拟预测）若，其中n为正整数，则_______． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【题型5】求算术平方根的整数部分与小数部分 1.核心知识点 　　估算确定整数部分；小数部分＝原数－整数部分。 2.解题方法技巧 　　①先估值确定整数部分 n； 　　②小数部分为； ③多个根号连用时分别求各部分再运算。 【例题5】.（25-26七年级下·吉林·期末）已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·湖北孝感·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·吉林松原·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 【题型6】利用算术平方根双重非负性求值 1.核心知识点 　　 且；几个非负数和为 0 则各项为 0。 2.解题方法技巧 　　①若，则 a＝0 且 b＝0； 　　②由非负性列出方程（组）求字母值； ③再代入计算平方根、算术平方根等。 【例题6】.（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【变式题6-2】.（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【题型7】由平方根与立方根概念解方程 1.核心知识点 　　 型用开平方解， 型用开立方解；平方根两种符号、立方根唯一。 2.解题方法技巧 　　①方程 的解为（）；方程 的解为（唯一解）； 　　②开平方取正负两个解，开立方只有一个解； ③结合题目限定条件（如 x 为正数）取舍解。 【例题7】.（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： (1)； (2)； (3)． 【压轴素养题型】 【题型8】立方根与算术平方根综合应用 1.核心知识点 　　已知平方根、立方根求字母；再求表达式的平方根。 2.解题方法技巧 　　①由平方根、立方根条件分别列出方程； 　　②解出字母值代入要求的表达式； ③求平方根时注意取±，且被开方数须非负。 【例题8】.（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知的立方根是2，的平方根是． (1)求、的值； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·四川自贡·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求； (2)求的算术平方根． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求的立方根． 【题型9】平方根与立方根在实际生活中的应用 1.核心知识点 　　面积、体积求边长（开平方、开立方）；物理公式中的开方；跨学科建模。 2.解题方法技巧 　　①由面积求边长用开平方，由体积求棱长用开立方； 　　②物理公式（如自由落体）代入数据开方求解； ③结合实际取近似值，注意单位。 【例题9】.（25-26七年级下·山西朔州·期末）手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南永州·期末）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． (2)如图②，某中学为加强劳动教育，开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种丝瓜和茄子，在和的区域内种辣椒和西红柿，经测量，种辣椒和西红柿区域的面积共有47.5平方米，米，求种丝瓜和茄子区域的面积共有多少平方米？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·陕西安康·期中）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为． (1)求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（取3） 【变式题9-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【题型10】开方与数轴、几何综合 1.核心知识点 　　数轴上表示；圆滚动、正方形面积与数轴结合。 2.解题方法技巧 　　①正方形面积求边长得，再在数轴上表示； 　　②圆滚动一周的位移为周长，含 π 或平方根； 　　③确定滚动方向判断点的坐标变化。 【例题10】.（25-26七年级下·广东韶关·期中）解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形的面积为___________，边长为___________． (2)若正方形从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B第一次落在数轴上时，与点B重合的点P表示的数为___________；若正方形从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D第一次落在数轴上时，与点D重合的点Q表示的数为___________． (3)能否用一块面积为的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为？请通过计算说明是否可行． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】 阅读下列材料： 材料一：如图（1），我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为1的小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为，其边长为，也是原来边长为2的小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样的方法剪接，所得到的大正方形的面积为：，其边长① 就是原边长为a的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为1平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；…，如图（2），将纸按如图（3）所示的方式折叠，则纸的长：宽=② 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二中①②所缺内容． ① ；② ． (2)按照图（2）中A系列纸的生成过程，若纸的宽为2，请求出纸的长与宽． 易错点 1、混淆算术平方根与平方根，漏写负根或把±写进算术平方根。 2、求算术平方根时未先化简，如对 直接写 −3。 3、误认为负数没有立方根，其实负数有立方根且为负。 4、忽略双重非负性，对 中 a<0 的情形判断失误。 5、解 时漏掉负解，只写正根。 6、估值时找错相邻平方数，导致估算范围错误。 重点 1、理解并掌握算术平方根、平方根的概念与表示。 2、会求一个数的平方根与立方根，掌握开方运算。 3、理解算术平方根的双重非负性，能用于求值。 4、掌握平方根与立方根的区别与联系。 难点 1、双重非负性在求值、化简中的应用。 2、算术平方根估算与整数、小数部分的确定。 3、平方根与立方根综合、规律探索与迁移。 4、开方在实际生活与几何情境中的建模应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 3．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 二、填空题 4．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 5．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 6．下表是部分正数x的平方和立方． 根据上表的数据，可得： _________________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)解方程：． 8．根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 被开方数 1 4 0 27 平方根 0 不存在 算术平方根 1 2 0 不存在 立方根 1 0 3 9．在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 10．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $