专题1.1 探索勾股定理（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“探索勾股定理”核心知识点，系统梳理勾股定理的文字与符号表述、公式变形及适用前提，通过面积法（赵爽弦图、梯形拼图）展开定理验证，延伸至以直角三角形三边向外作正方形、半圆及勾股树的几何拓展，构建从定义到验证再到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型涵盖已知两边求第三边、面积计算等夯实基础，培优题型融入赵爽弦图面积推导、古代数学文化题（如《九章算术》“折竹抵地”）培养推理意识与数学眼光，压轴题型结合折叠变换、平方和证明提升综合应用能力。课中助力教师分层教学，课后通过易错点提示与巩固练习帮助学生查漏补缺，强化数学思维与应用意识。

专题1.1 探索勾股定理 知识点 1：勾股定理 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，我国古代称短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦。   2. 符号表述：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边长为 a、b，斜边长为 c，则。   3. 公式变形：，；c 必须为斜边（直角三角形最长边）。   4. 适用前提：只适用于直角三角形，普通三角形不能直接使用勾股定理。 知识点 2：勾股定理的验证（面积法） 核心思想：算两次，用两种不同方式表示同一个图形的面积，通过代数化简推导得到。   2. 赵爽弦图：由 4 个全等的直角三角形拼接成大正方形，中间留出小正方形空白，利用大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积完成证明，属于我国古代经典证法。   3. 梯形拼图证法：用全等直角三角形拼成直角梯形，分别用梯形面积公式、拆分三角形面积两种方式列式化简证明定理。 证法类型 图形核心构成 核心等量关系 赵爽弦图 4 个全等直角三角形 + 大小两个正方形 直角梯形证法 3 个直角三角形拼接直角梯形 知识点 3：勾股定理简单几何拓展 以直角三角形三边向外作正方形：两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积。   2. 以直角三角形三边向外作半圆：两直角边上半圆面积之和等于斜边上半圆面积。   3. 勾股树：反复以直角三角形三边向外作正方形，每一级都满足小正方形面积之和等于斜边正方形面积。 【基础必考题型】 【题型 1】直角三角形已知两边求第三边 1.核心知识点   勾股定理公式及变形；简单平方、开方运算。 2.解题方法技巧   ①分清已知边是直角边还是斜边；斜边未知直接用；直角边未知使用变形公式；   ②无图题目注意分类讨论，已知两边没有说明是直角边时，要分情况；   ③计算结果优先保留根式，实际问题按需取近似值。 【例题1】.（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据题意得到直角三角形，利用勾股定理计算O到B的距离即可 【详解】由题意得 ， 米， 米， 为直角三角形，， 米， 即点到点的距离为50米． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 【答案】D 【分析】长方形内最长线段为对角线，先将手机对角线换算为厘米单位，再用勾股定理计算各选项口袋的对角线长度，比较后判断即可． 【详解】解：手机对角线长度为， A选项，口袋对角线长，小于，不符合； B选项，口袋对角线长，小于，不符合； C选项，口袋对角线长，小于，不符合； D选项，口袋对角线长，大于，符合． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 【题型 2】三边向外作图形求面积 1.核心知识点   勾股定理与正方形、半圆面积结合；数形结合思想。 2.解题方法技巧   ①正方形面积等于边长平方，半圆面积和半径平方成正比；   ②不需要逐条算出边长，直接利用面积的等量关系整体代换求解；   ③区分直角边、斜边对应的图形，不要颠倒面积等式。 【例题2】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理和半圆面积公式化简，再结合的条件，通过代数变形推导出两直角边相等即可． 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 【变式题2-3】.（2026·山西运城·一模）如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ． 【题型 3】生活情境中直接应用勾股定理 1.核心知识点   把现实实物抽象直角三角形模型；勾股定理基础计算。 2.解题方法技巧   ①读题画出简易示意图，标记边长；   ②找出现实场景中的垂直关系，确定直角；   ③把实际长度对应到直角三角形的三边，代入公式计算。 【例题3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）形状为直角三角形的一块铁板的三边长分别为，试求出x的所有可能值．（精确到） 【答案】 的可能值为或 【分析】由于直角三角形的斜边未确定，需分为斜边、长的边为斜边两种情况，利用勾股定理计算的取值． 【详解】解：∵直角三角形三边长为，，， 斜边为最长边， ∴分两种情况讨论： 当为斜边长时，，， ∵， ∴； 当长的边为斜边长时，，， ∵， ∴； 综上所述，的可能值为或． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，再计算起重臂顶端离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米，， 米， ∵点到地面的竖直距离为2米， 米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 【题型 4】跨学科・古代数学文化问题 1.核心知识点   勾股定理；古文阅读理解；数学建模；《九章算术》类古题。 2.解题方法技巧   ①读懂古文题意，翻译成几何条件；   ②画出几何示意图，把古文的长度转化线段；   ③设未知数，建立勾股方程求解。 【例题4】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用．设，则，根据列得等式． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题4-1】.（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 【答案】门宽为尺 【分析】设尺，则尺，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设尺，则尺， ∵在中，， ∴， 解得：， 答：门宽为尺． 【变式题4-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（     ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】因为水池是边长为1丈的正方形，芦苇在正中央，所以可得到直角三角形一条直角边的长度为边长的一半，换算为统一单位尺．设芦苇的长度为尺，那么根据芦苇高出水面1尺，可得到水深的表达式．利用勾股定理：因为把芦苇拉到岸边后，芦苇长度为斜边，水深和池中心到岸边的水平距离为两条直角边，所以可列出关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：∵水池边长为10尺，芦苇长在水池正中央， ∴中央到岸边的水平距离为 尺； 设水深为尺，芦苇出水1尺， ∴芦苇总长为 尺， 拉向岸边后芦苇长度就是直角三角形的斜边， 在中， ， 解得 ， 芦苇长为 （尺）． 【培优高频题型】 【题型 5】赵爽弦图相关面积计算 1.核心知识点   勾股定理面积证法；全等直角三角形；大小正方形边长关系。 2.解题方法技巧   ①大正方形边长为斜边 c，小正方形边长等于两条直角边的差；   ②抓住直角三角形的直角边 a、b 建立方程；   ③充分利用 “四个直角三角形全等” 得到相等线段。 【例题5】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 【题型 6】勾股定理的拼图验证（材料阅读） 1.核心知识点   面积法证明勾股定理；算两次思想；拼图图形拆分。 2.解题方法技巧   ①读懂拼图，把整个图形拆分为若干基础三角形、正方形；   ②写出两种面积表达式，建立等式；   ③做代数化简，消去相同项推导出勾股定理。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）略； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 【题型 7】无图问题的分类讨论 1.核心知识点   勾股定理；分类讨论思想；直角三角形边长多解情况。 2.解题方法技巧   ①题干没有配图，且未指明哪一条是斜边，要分两种情况：已知长边为斜边、已知长边为直角边；   ②舍去负数解，边长必须大于 0；   ③做完检验，每一组解都要满足斜边大于直角边。 【例题7】.（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到） 【答案】这个三角形的周长为或 【分析】分两种情况，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：当长为直角边时，斜边长为， 此时这个三角形的周长是； 当长为斜边时，另一条直角边长为， 此时这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长为或． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 【答案】的长为或 【分析】先理解题意，根据是高，运用勾股定理列式计算得，，然后进行分类讨论且结合作图，最后列式运算，得出的长，即可作答． 【详解】解：是的高， ． 由勾股定理，得， 当在的内部时，如图1所示： 则 当在的外部时，如图2， 综上所述，的长为或． 【压轴素养题型】 【题型 8】折叠变换中的勾股定理应用 1.核心知识点   折叠全等性质；勾股定理；方程思想。 2.解题方法技巧   ①折叠前后对应边相等、对应角相等，标记相等线段；   ②把所求线段设 x，其余线段用 x 表示；   ③锁定包含未知量的直角三角形，列勾股方程求解。 【例题8】.（2026·江苏·一模）如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是______． 【答案】2 【分析】根据正方形的性质得出边长和角度，利用中点定义求出和的长，根据折叠性质得出，，，，从而证得三点共线，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形为正方形，边长为6， ，， 是边的中点， ， 由折叠的性质可知：，， ，，，， ， 三点共线， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得： 即， 整理得：， 解得：， ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点， (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为长方形， ∴，，， 根据折叠可得：，，， ∴，，， ∴； (2)5 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和折叠的性质，用“”证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在长方形中，将沿着折叠，得到，与相交于点E． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由折叠可知 ∵ ，， ∴（）； (2)10 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据折叠的性质可知，根据证明即可； （2）根据得到，，设，，根据勾股定理列方程求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， 在直角，，设，， ， 即 解得 则，， ∴的面积． 【题型 9】平方和、平方差几何证明 1.核心知识点   勾股定理；垂直四边形模型；线段平方关系推导。 2.解题方法技巧   ①出现线段的平方，优先考虑放在直角三角形；   ②多条线段平方，拆分到多个小直角三角形分别列式；   ③利用等式加减消元，得到需要证明的平方关系式。 【例题9】.（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 【变式题9-3】.（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 易错点 1、忽略勾股定理的前提条件，在普通非直角三角形中直接套用公式。 2、分不清直角边和斜边，机械记忆公式，遇到字母变化时把直角边当成斜边列式。 3、无图题型忘记分类讨论，漏掉其中一组合理解。 4、面积法证明勾股定理时，图形拆分错误，两种面积表达式不相等，化简推导出错。 重点 1、理解勾股定理文字、符号表达，掌握公式及常见变形，会在直角三角形中计算边长。 2、掌握面积法（赵爽弦图、梯形拼图）验证勾股定理的基本思路。 3、可以把生活、网格、折叠情境抽象成直角三角形模型，运用勾股定理计算求解。 难点 1、面积法证明勾股定理，读懂拼图、正确拆分图形，完成代数推导。 2、结合方程、分类讨论处理无图、折叠综合题型，准确寻找直角三角形。 3、勾股定理的拓展应用，处理平方和、平方差证明以及勾股树类规律探究题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 2．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 3．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 二、填空题 4．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 5．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 6．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 三、解答题 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，“昨日丈量田地回，记得长步整三十，广斜相并五十步”．其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田地的长为步，宽和对角线的和为步．田地的宽有多少步？ 【答案】 田地的宽为步 【分析】设田地的宽为步，则对角线的长为步，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设田地的宽为步，则对角线的长为步， ∵矩形的长、宽与对角线之间满足勾股定理， ∴， 解得， 答：田地的宽为步． 8．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：正方形的边长为， 正方形的面积为； （2）解：长方形的长为， 长方形的面积为； （3）解：半圆的直径为， 半圆的面积为． 9．解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 【答案】(1)船向岸边移动了9米 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，结合题意得知，再次利用勾股定理求得，根据求解即可； （2）过点作于点，在和中，利用勾股定理得到和，即可列出，解得，利用勾股定理求得，利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中： ∵，米，米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． （2）解：过点作于点，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ 10．阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2) ①证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②证明：∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②略 （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 探索勾股定理 知识点 1：勾股定理 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，我国古代称短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦。   2. 符号表述：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边长为 a、b，斜边长为 c，则。   3. 公式变形：，；c 必须为斜边（直角三角形最长边）。   4. 适用前提：只适用于直角三角形，普通三角形不能直接使用勾股定理。 知识点 2：勾股定理的验证（面积法） 核心思想：算两次，用两种不同方式表示同一个图形的面积，通过代数化简推导得到。   2. 赵爽弦图：由 4 个全等的直角三角形拼接成大正方形，中间留出小正方形空白，利用大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积完成证明，属于我国古代经典证法。   3. 梯形拼图证法：用全等直角三角形拼成直角梯形，分别用梯形面积公式、拆分三角形面积两种方式列式化简证明定理。 证法类型 图形核心构成 核心等量关系 赵爽弦图 4 个全等直角三角形 + 大小两个正方形 直角梯形证法 3 个直角三角形拼接直角梯形 知识点 3：勾股定理简单几何拓展 以直角三角形三边向外作正方形：两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积。   2. 以直角三角形三边向外作半圆：两直角边上半圆面积之和等于斜边上半圆面积。   3. 勾股树：反复以直角三角形三边向外作正方形，每一级都满足小正方形面积之和等于斜边正方形面积。 【基础必考题型】 【题型 1】直角三角形已知两边求第三边 1.核心知识点   勾股定理公式及变形；简单平方、开方运算。 2.解题方法技巧   ①分清已知边是直角边还是斜边；斜边未知直接用；直角边未知使用变形公式；   ②无图题目注意分类讨论，已知两边没有说明是直角边时，要分情况；   ③计算结果优先保留根式，实际问题按需取近似值。 【例题1】.（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 【变式题1-2】.（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 【变式题1-3】.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【题型 2】三边向外作图形求面积 1.核心知识点   勾股定理与正方形、半圆面积结合；数形结合思想。 2.解题方法技巧   ①正方形面积等于边长平方，半圆面积和半径平方成正比；   ②不需要逐条算出边长，直接利用面积的等量关系整体代换求解；   ③区分直角边、斜边对应的图形，不要颠倒面积等式。 【例题2】.（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·山西运城·一模）如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型 3】生活情境中直接应用勾股定理 1.核心知识点   把现实实物抽象直角三角形模型；勾股定理基础计算。 2.解题方法技巧   ①读题画出简易示意图，标记边长；   ②找出现实场景中的垂直关系，确定直角；   ③把实际长度对应到直角三角形的三边，代入公式计算。 【例题3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）形状为直角三角形的一块铁板的三边长分别为，试求出x的所有可能值．（精确到） 【变式题3-1】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【题型 4】跨学科・古代数学文化问题 1.核心知识点   勾股定理；古文阅读理解；数学建模；《九章算术》类古题。 2.解题方法技巧   ①读懂古文题意，翻译成几何条件；   ②画出几何示意图，把古文的长度转化线段；   ③设未知数，建立勾股方程求解。 【例题4】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 设寸， 【变式题4-2】.（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 【变式题4-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（     ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【培优高频题型】 【题型 5】赵爽弦图相关面积计算 1.核心知识点   勾股定理面积证法；全等直角三角形；大小正方形边长关系。 2.解题方法技巧   ①大正方形边长为斜边 c，小正方形边长等于两条直角边的差；   ②抓住直角三角形的直角边 a、b 建立方程；   ③充分利用 “四个直角三角形全等” 得到相等线段。 【例题5】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【题型 6】勾股定理的拼图验证（材料阅读） 1.核心知识点   面积法证明勾股定理；算两次思想；拼图图形拆分。 2.解题方法技巧   ①读懂拼图，把整个图形拆分为若干基础三角形、正方形；   ②写出两种面积表达式，建立等式；   ③做代数化简，消去相同项推导出勾股定理。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【变式题6-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【题型 7】无图问题的分类讨论 1.核心知识点   勾股定理；分类讨论思想；直角三角形边长多解情况。 2.解题方法技巧   ①题干没有配图，且未指明哪一条是斜边，要分两种情况：已知长边为斜边、已知长边为直角边；   ②舍去负数解，边长必须大于 0；   ③做完检验，每一组解都要满足斜边大于直角边。 【例题7】.（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到） 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 【压轴素养题型】 【题型 8】折叠变换中的勾股定理应用 1.核心知识点   折叠全等性质；勾股定理；方程思想。 2.解题方法技巧   ①折叠前后对应边相等、对应角相等，标记相等线段；   ②把所求线段设 x，其余线段用 x 表示；   ③锁定包含未知量的直角三角形，列勾股方程求解。 【例题8】.（2026·江苏·一模）如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是______． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点， (1)求证：； (2)若，．求的长． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在长方形中，将沿着折叠，得到，与相交于点E． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【题型 9】平方和、平方差几何证明 1.核心知识点   勾股定理；垂直四边形模型；线段平方关系推导。 2.解题方法技巧   ①出现线段的平方，优先考虑放在直角三角形；   ②多条线段平方，拆分到多个小直角三角形分别列式；   ③利用等式加减消元，得到需要证明的平方关系式。 【例题9】.（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【变式题9-1】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【变式题9-3】.（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 易错点 1、忽略勾股定理的前提条件，在普通非直角三角形中直接套用公式。 2、分不清直角边和斜边，机械记忆公式，遇到字母变化时把直角边当成斜边列式。 3、无图题型忘记分类讨论，漏掉其中一组合理解。 4、面积法证明勾股定理时，图形拆分错误，两种面积表达式不相等，化简推导出错。 重点 1、理解勾股定理文字、符号表达，掌握公式及常见变形，会在直角三角形中计算边长。 2、掌握面积法（赵爽弦图、梯形拼图）验证勾股定理的基本思路。 3、可以把生活、网格、折叠情境抽象成直角三角形模型，运用勾股定理计算求解。 难点 1、面积法证明勾股定理，读懂拼图、正确拆分图形，完成代数推导。 2、结合方程、分类讨论处理无图、折叠综合题型，准确寻找直角三角形。 3、勾股定理的拓展应用，处理平方和、平方差证明以及勾股树类规律探究题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 2．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 5．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 6．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 三、解答题 7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，“昨日丈量田地回，记得长步整三十，广斜相并五十步”．其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田地的长为步，宽和对角线的和为步．田地的宽有多少步？ 8．求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 9．解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 10．阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $