第06讲 二次根式（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第06讲 二次根式（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1二次根式的概念 2二次根式的乘除法 3二次根式的性质 4最简二次根式 5分母有理化(拓展点) 6二次根式的加减法 7二次根式的混合运算 题型巩固 一、二次根式的概念及求值 二、求二次根式中的参数 三、二次根式有意义的条件 四、利用二次根式的性质化简 五、复合二次根式的化简 六、二次根式的乘法 七、二次根式的除法 八、二次根式的乘除混合运算 九、最简二次根式的判断 十、化为最简二次根式 十一、已知最简二次根式求参数 十二、同类二次根式 十三、二次根式的加减运算 十四、二次根式的混合运算 十五、分母有理化 十六、已知字母的值，化简求值 十七、已知条件式，化简求值 十八、比较二次根式的大小 十九、二次根式的应用 二十、实数的混合运算 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点2二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点3二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点4最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点5分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点6二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点7二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型巩固 题型一、二次根式的概念及求值 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型二、求二次根式中的参数 5．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 题型三、二次根式有意义的条件 6．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．要使式子有意义，则x的取值范围是 ． 8．（23-24八年级·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 题型四、利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级上·河南开封·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 11．（24-25八年级·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 题型五、复合二次根式的化简 12．化简为（　　） A． B． C． D．1 13．已知，则的值为 ． 14．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 题型六、二次根式的乘法 15．下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广西·中考真题） ． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 题型七、二次根式的除法 18．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·河北唐山·一模）计算： ． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简∶ (1)； (2)． 题型八、二次根式的乘除混合运算 21．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 22．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 题型九、最简二次根式的判断 24．（24-25八年级上·广西百色·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 26．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 题型十、化为最简二次根式 27．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 28．把化成最简二次根式的结果为 . 29．（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 题型十一、已知最简二次根式求参数 30．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 32．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 题型十二、同类二次根式 33．（2025八年级·全国·专题练习）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·全国·单元测试）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 35．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型十三、二次根式的加减运算 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．计算： ． 38．（24-25八年级上·广东佛山·期末）计算：． 题型十四、二次根式的混合运算 39．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）设，，则x、y的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，，则代数式的值等于 ． 41．（24-25八年级·北京·期中）计算： (1)； (2)． 题型十五、分母有理化 42．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 44．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 题型十六、已知字母的值，化简求值 45．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 46．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则 ． 47．（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型十七、已知条件式，化简求值 48．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 49．若，则 ． 50．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 题型十八、比较二次根式的大小 51．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 52．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小：5 （填“”“”“”）． 53．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 题型十九、二次根式的应用 54．计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 55．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ． 56．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 题型二十、实数的混合运算 57．计算： ． 58．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 分层强化 一、单选题 1．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．二次根式有意义的条件是(   ) A． B． C． D． 4．若最简二次根式与最简二次根式的被开方数相同，则m的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 6．在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式中，从左向右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．计算： ． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．如果二次根式与可以合并，那么x的值可以是 （只需写出一个） 15．若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 16．比较大小： ．（填>，<或=） 17．已知，则 ． 三、解答题 18．计算：． 19．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 20．计算：． 21．计算： 22．计算： (1)； (2)． 23．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1二次根式的概念 2二次根式的乘除法 3二次根式的性质 4最简二次根式 5分母有理化(拓展点) 6二次根式的加减法 7二次根式的混合运算 题型巩固 一、二次根式的概念及求值 二、求二次根式中的参数 三、二次根式有意义的条件 四、利用二次根式的性质化简 五、复合二次根式的化简 六、二次根式的乘法 七、二次根式的除法 八、二次根式的乘除混合运算 九、最简二次根式的判断 十、化为最简二次根式 十一、已知最简二次根式求参数 十二、同类二次根式 十三、二次根式的加减运算 十四、二次根式的混合运算 十五、分母有理化 十六、已知字母的值，化简求值 十七、已知条件式，化简求值 十八、比较二次根式的大小 十九、二次根式的应用 二十、实数的混合运算 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（7） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点2二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点3二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点4最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点5分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点6二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点7二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型巩固 题型一、二次根式的概念及求值 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型二、求二次根式中的参数 5．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解． 【详解】∵属于真分数， ∴，且为整数， ∴可以取，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键． 题型三、二次根式有意义的条件 6．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 7．要使式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义，则， 解得：． 故答案为：． 8．（23-24八年级·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)x取任意实数 (3)且 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键； （1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围． 【详解】（1）有意义 ， 解得：， 当时，在实数范围内有意义． （2）有意义， 无论x为何值，则， 当x取任意实数时，在实数范围内有意义． （3）有意义， ，且， 解得：且， 当且时，在实数范围内有意义． 题型四、利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级上·河南开封·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质逐项判断即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25八年级·山东泰安·期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 题型五、复合二次根式的化简 12．化简为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值 【详解】＝. 故选C. 【点睛】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 题型六、二次根式的乘法 15．下列二次根式中，与的积是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】此题考查二次根式的乘法．根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是无理数，本选项不符合题意； B、，是无理数，本选项符合题意； C、，不是无理数，本选项不符合题意； D、，不是无理数，本选项不符合题意， 故选：B． 16．（2025·广西·中考真题） ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积． 题型七、二次根式的除法 18．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 19．（2025·河北唐山·一模）计算： ． 【答案】3 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的化简： （1）分数化成假分数，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 题型八、二次根式的乘除混合运算 21．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A选项：，故A选项正确； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：C ． 22．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型九、最简二次根式的判断 24．（24-25八年级上·广西百色·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. ，不是最简二次根式； 故选：A． 25．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 26．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 题型十、化为最简二次根式 27．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故选B． 28．把化成最简二次根式的结果为 . 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 29．（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分； （2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去； 【详解】（1）原式． （2）原式． 题型十一、已知最简二次根式求参数 30．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 31．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 32．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； （2）． 【点睛】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键. 题型十二、同类二次根式 33．（2025八年级·全国·专题练习）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，与不是同类二次根式，不符合题意； 、，与是同类二次根式，符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 34．（23-24八年级上·全国·单元测试）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，求解即可． 【详解】解：最简根式与是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】． 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 题型十三、二次根式的加减运算 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 37．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据二次根式的性质化简，再计算减法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 38．（24-25八年级上·广东佛山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解答本题的关键． 利用二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 题型十四、二次根式的混合运算 39．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）设，，则x、y的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，原式先进行分母有理化，再进行作差比较即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】7 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先把代数式整理可得：原式，再把，代入整理后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式， ． 故答案为： ． 41．（24-25八年级·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十五、分母有理化 42．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 43．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 44．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）44；（2） 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）先求出，再把所求式子裂项求解即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； （2） ， ∴ ； （3）， ， ∵，且， ∴． 题型十六、已知字母的值，化简求值 45．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 46．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】3 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确计算是关键． 将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：3． 47．（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再代数计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 题型十七、已知条件式，化简求值 48．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 49．若，则 ． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 50．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 题型十八、比较二次根式的大小 51．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 52．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小：5 （填“”“”“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 53．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 题型十九、二次根式的应用 54．计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据正方形的面积求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 55．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ． 【答案】20 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：20． 56．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 【详解】解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 题型二十、实数的混合运算 57．计算： ． 【答案】0 【知识点】实数的混合运算 【分析】根据算术平方根和立方根的定义分别化简，再计算加减． 【详解】解：0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 58．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，并计算绝对值和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 分层强化 一、单选题 1．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不符合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、2是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数；逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.，被开方数含分母10，需化简为，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母6，需化简为，不是最简二次根式； C.，含平方因数4，需化简，不是最简二次根式； D.，被开方数5是质数，不含平方因数或分母，符合最简二次根式的条件； 故选：D． 3．二次根式有意义的条件是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 4．若最简二次根式与最简二次根式的被开方数相同，则m的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：3m﹣6＝4m﹣9， ∴﹣m＝﹣3， ∴m＝3， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意正确列出方程． 5．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 6．在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，熟练掌握二次根式除法的运算法则是解题关键． 根据三角形的面积公式列出运算式子，再根据二次根式的除法法则即可得． 【详解】解：的面积为，底边为， 底边上的高为． 故选：B． 7．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解判断． 【详解】A. 不能计算，故错误；     B. ，正确；     C. ，故错误     D. ，故错误 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 8．下列各式中，从左向右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得． 【详解】A：，而非，故本选项不符合题意； B：在实数范围内，负数没有平方根，和无意义，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，而非，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误； B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误； C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确； D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误； 故选：C 10．若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵，是整数， ∴正整数n的最小值是5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】4 【分析】根据解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：4． 12．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：3． 13．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式除法． 根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：2． 14．如果二次根式与可以合并，那么x的值可以是 （只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】当和可以合并，所以它们是同类二次根式时，那么可以令x+5=2，解得x即可． 【详解】当和可以合并，所以它们是同类二次根式， 当是最简二次根式，令x+5=2， 解得，x=-3, 故答案为：-3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，此题是开放题，只要满足题意即可． 15．若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 16．比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 17．已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 18．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 19．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分子、分母都乘以，分子、分母都乘以，再计算即可． 【详解】解： ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解题的关键是掌握二次根式运算的法则． 先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式和运算二次根式的除法，然后合并同类二次根式计算即可． （2）先利用完全平方公式与平方差公式进行展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$