专题05 全等三角形（期中真题汇编，陕西专用）八年级数学上学期

专题05 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）已知，，，则的度数是　　　　　　． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，点在边上，连接，点为外部一点，连接BF，CF，若，，则的度数为　　　　　． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，和，和是对应边，，，则的度数是　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，为测量湖两端的距离，某课外实践小组在湖旁的空地上选了一点，测得的度数．在的另一侧测得，，根据全等三角形的判定与性质可知，测得的长，即为的长，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，要用“”证明，还需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点作轴，连接，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点A，C，F，D在同一条直线上，要使得，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（     ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 8．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 11．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D；③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙的高度． 12．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）（多选）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）： 已知： 求证： 证明： 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，相交于点O，，，求证：． 14．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案及示意图 ①在教学楼外水平地面上选一点C．测得教学楼顶点A的视线与水平地面夹角，；②放置一根长为的标杆，使垂直于水平地面，且B，C，D三点共线．测得标杆顶部E的视线与水平地面夹角，． 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼的高度． 15．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角与从观测点B看海岛C、D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 16．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，且．过点作于点．若，则的长是　　　　　． 17．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为　　　　　　　　　°． 18．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在和中，，．求证：． 19．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    （1）点、从移动开始到停止，所用时间为_____； （2）当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； （3）如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 22．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，点为边上一点，连接，以为边向上作，点为边上一点，连接，且，求证：． 24．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同的单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小华在自己家阳台处测得与小明在处望向楼顶测得的互余，于点．已知米，米，米，点、、在同一条直线上，，，，试求单元楼的高． （注：，，与互余） 25．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，于点D，E为边上一点，连接交于点F，G为外一点，且，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 28．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 29．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 30．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）【初步探究】 （1）如图1，为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰在下方作等腰直角，，作于点F，求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，等腰直角为某植物园的平面示意图，，点为线段AB上一点，为园内的一条便捷步道，现要对该植物园进行扩建，以为腰在下方作等腰直角区域修建为玫瑰园，，在的延长线上找一点修建一座展览温室，连接，且，点在边上，，，，为植物园中的三条石子路，请你探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 31．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． ， 是等边三角形， ，， 在四边形中， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即； （3），120° 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为　　　　　　． 3．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则的面积为　　　　　． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，，，，求点到的距离． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　　　　　　　　　 ． 6．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长． 7．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在的平分线上找一点P，连接，使得的面积等于的面积．（尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法） 8．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点P是内部的点，过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且，连接，，若，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，已知锐角，点在边上，过点作，交于点．请你利用尺规在射线上求作一点，使点到射线的距离等于．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点在的平分线上，过点作于点F，于点M，于点，且，连接CE．求证：是的平分线． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．A 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形对应角相等即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再利用全等三角形的性质得到的度数，最后在中根据三角形内角和求出的度数． 【详解】 解：∵ 在中，，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 在中， ， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 根据全等三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．D 9．C 10．【答案】证明：，， ， ， ，即， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，可得，根据得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 11．【答案】校内攀岩墙的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定． 根据题意证明，再结合全等三角形性质即可求出校内攀岩墙的高度． 【详解】 解：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ∴校内攀岩墙的高度为． 12．【答案】已知：在△ABC和中，，，AD与分别是边上的中线，且AD=，求证：． 证明：∵分别是和边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． 【分析】 根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，然后根据题意求证即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键． 13．【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，由，，为公共边，可证得，再根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】 解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴． 14．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：由题意得，， ． ， ． ∵， ． ， ， ． 答：教学楼的高度为． 15．【答案】相等， 证明：如图所示，记，交于点 ，， ， 又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方， ， 在和中， ， ， ， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键． 先证明，再证明，可得，得即可． 【详解】 略 16．【答案】5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，再根据全等三角形的性质即可解题． 【详解】 解：由条件可知， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 5． 17．【答案】 【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 利用“边边边”证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 19．【答案】点D如下图所示： 【分析】 本题主要考查了作一个角等于已知角，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M、N．以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点P．以点P为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点Q．作射线，交于点D，则点D即为所求． 【详解】 略 20．【答案】�度 【分析】 证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】 解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 21．【答案】（1）5     （2）①；②     （3）或      【分析】 （1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． (1) 小问详解： 解：点的运动时间(秒， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①点、的移动速度相同，点的速度是． ， ∴ ， ， 当时，与全等， 则有，解得． ②点、的移动速度不同， ， 当，时，两个三角形全等， ∴ 运动时间， ，满足题意． (3) 小问详解： 解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时． 若点、的移动速度相同，则，， 又∵， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．【答案】 【分析】 认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 23．【答案】解：在和中， ， ， ， ，，， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、 等）是解题的关键． 要证明 ，可先证明，得到，再证明（或），从而得出 ． 【详解】 略 24．【答案】单元楼的高为米 【分析】 本题考查了全等三角形判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据题意易证 ，（米）， 从而证得， 进而得到， 进而根据求得的值． 【详解】 解：由题意可知，，， ， ，， ， 米，， （米）， 在与中， ， ， （米）， （米）． 答：单元楼的高为米． 25．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．【答案】（1） 证明：在与中， ， ；     （2） 证明：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 又， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的等量关系转换以及线段中点的定义． （1）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，根据，，，即可证明； （2）由（1）知，则有，，进而推得，再通过寻找相等的边和角，利用判定定理证明，利用全等三角形的性质得到对应边和角相等，从而得到，即证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】 略 29．【答案】（1）； （2），理由如下： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）游客饮水区到凉亭的距离为． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点． （1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解； （2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证； （3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解． 【详解】 解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）过点作，垂足为，如图③ ： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：游客饮水区到凉亭的距离为． 30．【答案】（1）证明：为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：． 理由如下： 在上截取，连结， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质证明，得到，，进一步可得到结论； （2）在上截取，连结，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 31．【答案】（1） （2）线段，，之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， 是等边三角形， ，， 在四边形中， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即； （3），120° 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形三边关系等． （1）通过和中满足“边角边”条件，即，，，得出，进而得出； （2）延长到点，使，连接，证明和满足“边角边”条件，即，，，得出，所以，即证； （3）以为一边，在的右侧作等边，连接，证明和满足“边角边”，即，，，得出，根据全等三角形的对应边相等，，根据“两点之间线段最短”得，当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为，此时，的最大值为，． 【详解】 （1）与之间的数量关系是：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）略 （3）如图，以为一边，在的右侧作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 当最大时，为最大， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为， 的最大值为，此时，，在同一条直线上，如下图所示， ， 的最大值为，． 考点03 角的平分线 1．A 2．【答案】9 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】 解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 3．【答案】5 【分析】 本题考查角平分线的性质，设点到的距离为，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】 解：点到的距离为， ∵平分交于点D，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：5． 4．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点， ，， ， ，即，， ， 即点到的距离是． 5．【答案】13 【分析】 本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 6．【答案】10.5 【分析】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得出，进而将的周长进行转化计算． 根据角平分线的性质得到，然后将的周长转化为，再代入已知条件计算． 【详解】 解：平分， ， ∴的周长， ， 的周长为． 答：的周长为10.5． 7．【答案】由题意，作图如下： 【分析】 本题考查尺规作图—作平行线和角平分线，过点作的平行线，交的平分线于点即可，根据平行面积转化，即可得到的面积等于的面积． 【详解】 解：略． 8．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的判定与定义，三角形内角和定理，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据题意，可判定平分，平分，平分，那么，推出，接着求得，然后利用周角求出，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】 解：连接，如图所示： 过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且， 平分，平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】如图，点N即为所求． 【分析】 本题考查作图—复杂作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．结合角平分线的性质，作的平分线交射线于点N，则点N即为所求． 【详解】 略 10．【答案】证明：点在的平分线上，，， ， ， ， ，， 是的平分线． 【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，由角平分线的性质得到，进一步得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·陕西西安第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．也考查了坐标与图形性质． 先利用点坐标得到，再根据全等三角形的性质得到，然后根据轴的负半轴上点的坐标特征写出点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】 解：，， ，， ， ， 点坐标为． 故选：C． 2．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等求出的度数，再结合直角三角形的性质求出． 先由得出，再根据全等三角形的性质得到，最后在中求出的度数． 【详解】 解：， ， 又， ， ， ， 在中，． 故选：A． 3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）已知，，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形对应角相等即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，点在边上，连接，点为外部一点，连接BF，CF，若，，则的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再利用全等三角形的性质得到的度数，最后在中根据三角形内角和求出的度数． 【详解】 解：∵ 在中，，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 在中， ， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，和，和是对应边，，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据全等三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，为测量湖两端的距离，某课外实践小组在湖旁的空地上选了一点，测得的度数．在的另一侧测得，，根据全等三角形的判定与性质可知，测得的长，即为的长，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．利用，，加上公共边可根据“”判断． 【详解】 解：在和中， ， ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，要用“”证明，还需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据证明时，为公共边，只需添加或，解答即可． 本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定条件是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，根据证明时，为公共边，只需添加或， 故选：C． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·陕西陕西多校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点作轴，连接，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点， ∵轴，过点作轴， ∴， ∵ ∴ ， ， ， ， ， ． 故选：A． 6．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点A，C，F，D在同一条直线上，要使得，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定，根据，再结合选项添加的条件逐一分析即可． 【详解】 解：① 添加， ， ， ， 结合，不能证明，故A、B错误； ② 添加， 但是不是对应边，不能证明，故C错误； ③ 添加， ， ， ， ， ，故D正确； 故选：D． 7．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（     ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵于点E，于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】 解：在中，， ， 在和中，，， 添加后，根据可判定，故A选项不合题意； 添加后，根据可判定，故B选项不合题意； 添加后，根据可判定，故C选项不合题意； 添加后，不能判定，故D选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】证明：，， ， ， ，即， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，可得，根据得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 11．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D；③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙的高度． 【答案】校内攀岩墙的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定． 根据题意证明，再结合全等三角形性质即可求出校内攀岩墙的高度． 【详解】 解：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ∴校内攀岩墙的高度为． 12．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）（多选）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）： 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：在△ABC和中，，，AD与分别是边上的中线，且AD=，求证：． 证明：∵分别是和边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． 【分析】 根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，然后根据题意求证即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键． 13．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，，相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，由，，为公共边，可证得，再根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】 解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案及示意图 ①在教学楼外水平地面上选一点C．测得教学楼顶点A的视线与水平地面夹角，；②放置一根长为的标杆，使垂直于水平地面，且B，C，D三点共线．测得标杆顶部E的视线与水平地面夹角，． 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：由题意得，， ． ， ． ∵， ． ， ， ． 答：教学楼的高度为． 15．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角与从观测点B看海岛C、D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【答案】相等， 证明：如图所示，记，交于点 ，， ， 又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方， ， 在和中， ， ， ， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键． 先证明，再证明，可得，得即可． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，且．过点作于点．若，则的长是　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，再根据全等三角形的性质即可解题． 【详解】 解：由条件可知， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 5． 17．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 利用“边边边”证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】点D如下图所示： 【分析】 本题主要考查了作一个角等于已知角，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M、N．以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点P．以点P为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点Q．作射线，交于点D，则点D即为所求． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则　　　　　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】 解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 21．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    （1）点、从移动开始到停止，所用时间为_____； （2）当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； （3）如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）5     （2）①；②     （3）或      【分析】 （1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． (1) 小问详解： 解：点的运动时间(秒， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①点、的移动速度相同，点的速度是． ， ∴ ， ， 当时，与全等， 则有，解得． ②点、的移动速度不同， ， 当，时，两个三角形全等， ∴ 运动时间， ，满足题意． (3) 小问详解： 解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时． 若点、的移动速度相同，则，， 又∵， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（25-26学年八上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 23．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，点为边上一点，连接，以为边向上作，点为边上一点，连接，且，求证：． 【答案】解：在和中， ， ， ， ，，， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、 等）是解题的关键． 要证明 ，可先证明，得到，再证明（或），从而得出 ． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同的单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小华在自己家阳台处测得与小明在处望向楼顶测得的互余，于点．已知米，米，米，点、、在同一条直线上，，，，试求单元楼的高． （注：，，与互余） 【答案】单元楼的高为米 【分析】 本题考查了全等三角形判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据题意易证 ，（米）， 从而证得， 进而得到， 进而根据求得的值． 【详解】 解：由题意可知，，， ， ，， ， 米，， （米）， 在与中， ， ， （米）， （米）． 答：单元楼的高为米． 25．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，于点D，E为边上一点，连接交于点F，G为外一点，且，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 26．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ；     （2） 证明：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 又， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的等量关系转换以及线段中点的定义． （1）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，根据，，，即可证明； （2）由（1）知，则有，，进而推得，再通过寻找相等的边和角，利用判定定理证明，利用全等三角形的性质得到对应边和角相等，从而得到，即证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】 略 29．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）游客饮水区到凉亭的距离为． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点． （1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解； （2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证； （3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解． 【详解】 解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）过点作，垂足为，如图③ ： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：游客饮水区到凉亭的距离为． 30．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）【初步探究】 （1）如图1，为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰在下方作等腰直角，，作于点F，求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，等腰直角为某植物园的平面示意图，，点为线段AB上一点，为园内的一条便捷步道，现要对该植物园进行扩建，以为腰在下方作等腰直角区域修建为玫瑰园，，在的延长线上找一点修建一座展览温室，连接，且，点在边上，，，，为植物园中的三条石子路，请你探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：． 理由如下： 在上截取，连结， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质证明，得到，，进一步可得到结论； （2）在上截取，连结，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 31．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． 【答案】（1） （2）线段，，之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， 是等边三角形， ，， 在四边形中， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即； （3），120° 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形三边关系等． （1）通过和中满足“边角边”条件，即，，，得出，进而得出； （2）延长到点，使，连接，证明和满足“边角边”条件，即，，，得出，所以，即证； （3）以为一边，在的右侧作等边，连接，证明和满足“边角边”，即，，，得出，根据全等三角形的对应边相等，，根据“两点之间线段最短”得，当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为，此时，的最大值为，． 【详解】 （1）与之间的数量关系是：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）略 （3）如图，以为一边，在的右侧作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 当最大时，为最大， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为， 的最大值为，此时，，在同一条直线上，如下图所示， ， 的最大值为，． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质，利用已知线段长度求出相关线段的长度．根据角平分线的性质，可知角平分线上的点到角两边的距离相等，即由和的长度求出的长度，进而得到的长度． 【详解】 解：∵ 是的平分线，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵ ∴ ∴． 故选：A． 2．（25-26学年八上·陕西榆林第六中学共同体学校·期中）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】 解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 3．（25-26学年八上·陕西临汾·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则的面积为　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查角平分线的性质，设点到的距离为，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】 解：点到的距离为， ∵平分交于点D，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：5． 4．（25-26学年八上·陕西咸阳秦都区咸阳彩虹学校·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，，，，求点到的距离． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点， ，， ， ，即，， ， 即点到的距离是． 5．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　　　　　　　　　 ． 【答案】13 【分析】 本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长． 【答案】10.5 【分析】 本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得出，进而将的周长进行转化计算． 根据角平分线的性质得到，然后将的周长转化为，再代入已知条件计算． 【详解】 解：平分， ， ∴的周长， ， 的周长为． 答：的周长为10.5． 7．（25-26学年八上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在的平分线上找一点P，连接，使得的面积等于的面积．（尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】由题意，作图如下： 【分析】 本题考查尺规作图—作平行线和角平分线，过点作的平行线，交的平分线于点即可，根据平行面积转化，即可得到的面积等于的面积． 【详解】 解：略． 8．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点P是内部的点，过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且，连接，，若，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的判定与定义，三角形内角和定理，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据题意，可判定平分，平分，平分，那么，推出，接着求得，然后利用周角求出，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】 解：连接，如图所示： 过点P分别作，，的垂线，垂足分别为点D，E，F，且， 平分，平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，已知锐角，点在边上，过点作，交于点．请你利用尺规在射线上求作一点，使点到射线的距离等于．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点N即为所求． 【分析】 本题考查作图—复杂作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．结合角平分线的性质，作的平分线交射线于点N，则点N即为所求． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·陕西榆林·期中）如图，点在的平分线上，过点作于点F，于点M，于点，且，连接CE．求证：是的平分线． 【答案】证明：点在的平分线上，，， ， ， ， ，， 是的平分线． 【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，由角平分线的性质得到，进一步得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $