专题04 旋转（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期

专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 A、最小旋转角度==120°； B、最小旋转角度==90°； C、最小旋转角度==180°； D、最小旋转角度==72°； 综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A． 故选：A． 【点睛】 旋转对称图形． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】 解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 3．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据、的互相垂直平分线，且，即有，问题得解． 【详解】 解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分线，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【点睛】 本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标． 4．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（     ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．在中，，可知是直角三角形，，，根据勾股定理可知，将绕点逆时针旋转，所以，，所以连接（图示见详解），在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：根据题意得，是直角三角形，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得，且，， ∴，如图所示，连接， 在中，． 故选：． 5．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质得到，则由等边对等角得到，据此利用三角形内角和定理和平角的定义可判断A、B、D，根据现有条件无法得到，则可判断C． 【详解】 解：由旋转的性质可得， ∴， ∴； 当时，， ∴； 根据现有条件无法得到， 故选：C． 6．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）把正边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正边形与原正边形重合．我们说，正边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点旋转后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点有角的旋转对称．图是具有旋转对称性质的图形．其最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转对称图形，根据正五边形的性质，旋转中心为正五边形的中心，由于正五边形每个顶点到旋转中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点． 【详解】 解：正五边形每边所对的中心角是， 因此角的最小值是， 故选B． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据旋转的性质即可解答． 【详解】 根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 8．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分两种情况：① 如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．② 将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同① 方法可得重叠部分的面积． 【详解】 解：① 如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ② 将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同① 方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 9．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】 解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 10．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，将绕O点逆时针旋转，此时点A的对应点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用勾股定理求出的长即可解决问题 【详解】 如图，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ∴绕点O逆时针旋转得到，则， ∴点的坐标是，    故选：B． 【点睛】 本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由得出，根据旋转的性质可得为等腰三角形，再利用三角形的内角和定理得到，最后利用旋转角即可得出结论． 【详解】 解：， ， 又、为对应点，点A为旋转中心， ，即为等腰三角形， ， 又、为旋转角， ． 故选：A． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围. 【详解】 解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴ ， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选C． 【点睛】 本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限. 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 【答案】A 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】由旋转的性质可知，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形的旋转问题，涉及勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．过C作于F，由，知是等腰直角三角形，可得，即得，，再由旋转性质可得，，，证明，根据勾股定理得 【详解】 解：过C作于F，如图， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 将绕点B顺时针旋转角得到， ，，， ， ， ， ； 故选： 15．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】D 【分析】 连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故选D． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 16．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）△ABC的面积是　 　； （2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标　 　； （3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标　 　． 【答案】（1）3；（2）（2，2）；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求， C2的坐标为（3，1）． 【分析】 （1）根据三角形的面积等于长方形的面积减去三个小三角形的面积解答即可； （2）根据平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，即可得到顶点B1的坐标； （3）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【详解】 解：（1）△ABC的面积＝； 故答案为：3； （2）∵△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0）， ∴平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位， ∴顶点A1的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）； （3）略 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了图形和性质，旋转的性质全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，构建，即可得出答案． 【详解】 解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵点B坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 18．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）（1）解方程：； （2）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． 画出绕点O顺时针旋转后所得到的图形，并写出点、的坐标． 【答案】（1），； （2）如图所示，即为所求； ∴，． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，坐标与图形变化—旋转： （1）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （2）先根据网格的特点和旋转方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接并写出、的坐标即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）略 19．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是            ，点的坐标是                （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，；     （2）6      【分析】 本题考查作图-旋转变换，求直角坐标系中点的坐标，求三角形的面积． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出坐标即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 20．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则　　　　　　度． 【答案】105 【分析】 本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，．所以．再由三角形内角和定理可知，． 【详解】 解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故答案为：105． 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）一个正三角形至少绕其中心旋转　　　　　　　　度，就能与其自身重合． 【答案】120 【分析】 本题考查了旋转对称图形的知识，连接、、，则其将正三角形分成3个全等的部分，再用360度除以3即可求得．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键． 【详解】 解：如图所示：连接、、， 正三角形，O为其中心， ，， ， ， ， 同理可证：， ， ， ∴正三角形绕其中心O至少旋转，可与其自身重合． 故答案为：120． 22．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕原点O顺时针旋转得到，请画出旋转后的，并直接写出顶点，，的坐标； （2）若与关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】（1） 如图， 即为所求，，，的坐标为；      （2） 解：如图，点Q即为对称中心， 【分析】 本题考查了坐标平面内图形的变换：中心对称，旋转，熟练掌握旋转性质，中心对称性质，是解题的关键． （1）作出点A，B，C绕原点O顺时针旋转得到的对应点，，，写出顶点，，的坐标即可； （2）连接，交点Q即为对称中心，由，，写出中点坐标，即为点Q的坐标． (1) 小问详解： 解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴将绕原点O顺时针旋转得到； 顺次首尾连接得到； (2) 小问详解： 解：连接，交于点Q，点Q即为对称中心， 由图看出， ∵， ∴，， ∴． 23．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （2）请计算出在（1）的运动过程中扫过的扇形面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，勾股定理，求图形扫过的面积，熟知扇形面积公式和旋转的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接、C即可； （2）根据题意可得扫过的扇形面积即为扇形的面积，利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再根据扇形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，扫过的扇形面积即为扇形的面积， 由网格的特点和勾股定理可得， 由旋转的性质可得， ∴扫过的扇形面积． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如下图,三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； （2）请画出绕原点逆时针旋转90°后得到的； （3）P为x轴上一动点，当有最小值时，求这个最小值． 【答案】（1）如图示，依题意△为所作； （2）如图示，依题意△为所作；    （3） 【分析】 （1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后计算出即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， 此时的值最小，最小值为， 而， 所以这个最小值为． 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，平移变换和最短路径问题，熟悉相关性质是解题的关键． 25．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的，并写出点A，B，C的对应点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径长为___________（结果保留） 【答案】（1） 如图所示，即为所求． ，，     （2）      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将三顶点分别绕原点逆时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可得； （2）利用弧长公式求解可得． (1) 小问详解： 解：由图知，，，； (2) 小问详解： 解：连接， 则， 所以点所走的路径长为． 故答案为： 26．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图1，D是内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数． （3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针方向旋转至AE， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3） 解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，可证得，即可； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，，可证得，可得，即可； （3）根据平移的性质可得，，从而得到，可证得，进而得到，，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵将绕点A逆时针方向旋转至， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移5个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标； 【答案】（1）如图： 点的坐标为(5,-3)； （2）如图： 点的坐标(0,0) ． 【分析】 （1）由A的坐标据平移的坐标变化规律可直接写出A1的坐标； （2）先画出，再根据旋转的性质可直接画出，然后由图得出点的坐标即可． 【详解】 （1）由图知点A的坐标为(5,2)，向下平移5个单位得A1的坐标为(5,-3)； （2）略 【点睛】 此题考查图形的平移和旋转与其相关点坐标的变化，其关键是要熟悉平移和旋转的性质． 28．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．    （1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）     （2） 证明：∵点F是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，        ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形．      【分析】 （1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． (1) 小问详解： 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 29．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　     　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）． 理由如下： 如图② ，四边形为正方形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中 ， ， ． 【分析】 （1）如图② ，利用旋转得，再利用四边形为正方形，求出∠AOD，从而求出∠AOF; （2）如图② ，利用四边形为正方形，得到，，又因为为等腰三角形，所以OF=OE,再证明即可. 【详解】 解：（1）如图②， 绕点逆时针旋转角， ， 四边形为正方形， ， ； 故答案为； （2）略 【点睛】 本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 30．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转可得：，， ∵正方形的边长为3， ∴、， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）在中，，，点D是直线上一点且，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查几何变换的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，旋转的性质及勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，分为当点D在线段上时及当点D在线段的延长线上时，分别证明，再求解即可． 【详解】 解：，， ， ① 如图，当点D在线段上时， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； ② 如图，当点D在线段的延长线上时， ，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 32．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）问题：如图①，点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系． （1）【初步感知】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现之间的数量关系是                 ； （2）【深入探究】 如图②，在四边形中，，点分别在边上，则当时，继续探究之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知．，道路上分别有景点，且，，现要在、之间修一条笔直的道路，这条道路的长                  ． 【答案】（1）     （2）  ，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． (1) 小问详解： 证明：，理由如下： 如图① ，在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）的结论有， 即这条道路的长为， 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 34．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： （1）第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． （2）第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 【答案】（1）旋转角为，     （2） 证明：如图，延长到点，使得，连接， 则点N为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质结合等腰三角形的性质即可求出旋转角，过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可得到，进而得以解答； （2）延长到点，使得，连接，先证明是的中位线，由旋转的性质结合等腰三角形的性质证明，推出，利用等腰三角形三线合一即可证明． (1) 小问详解： 解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，旋转角为， ∴， ∵点D，E与点B在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 如图1，过点A作于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 35．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵∠C=∠ADE=90°， ∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°， ∴∠DEF=∠ADC， 在△EDF和△DAC中， ， ∴△EDF≌△DAC（AAS）， ∴DF=AC=3，EF=CD， 设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2， ∴BE2的最小值是2， ∴BE的最小值是. 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，解题的关键是得出二次函数的解析式． 考点02 中心对称及其性质 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上 （1）画△ABC关于原点成中心对称的 （2）画出△ABC向右平移4个单位长度的． （3）若与的对称中心是点P，则点P的坐标为                  ． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图，即为所求．     （3）      【分析】 （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）连接，交点即为与的对称中心，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接，交点即为与的对称中心， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】 本题考查作中心对称图形，图形的平移，找对称中心，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键； 【详解】 A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】 解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的特点是解题关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行解答． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故此选项合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选A． 4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）剪纸艺术起源于古代中国的镂空雕刻技艺，是一种广受欢迎的民间艺术形式，已成为中国传统文化的重要组成部分，下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义即可作答． 【详解】 A、是轴对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】 解：观察图形，只有选项A的图形，能够找到一个点，使图形绕该点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选A． 6．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  山西煤炭化学研究所 B.  东北地理与农业生态研究所 C.  西安光学精密机械研究所 D.  生态环境研究中心 【答案】A 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】 解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】 本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据中心对称图形的概念求解． 【详解】 A、不是中心对称图形．故本选项错误； B、是中心对称图形．故本选项正确； C、不是中心对称图形．故本选项错误； D、不是中心对称图形．故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 9．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（     ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】 A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 10．（24-25学年九上·期末）中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题． 【详解】 解：A.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 12．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 13．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 14．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【分析】 一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】 解：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义可知，选项D的图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）点与点关于原点对称，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标和纵坐标分别与点B的横坐标和纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算a的b次方． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】 解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，边长为3的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，坐标与图形，根据题意求出，，再根据点C在第一象限即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解． 【详解】 解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称， ∴b=-3，a-2=-a， ∴a=1， ∴a+b=-2． 故答案是：-2． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 5．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为　　　　　． 【答案】-3 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解. 【详解】∵点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称， ∴p=-3，q=1, ∴pq=-3×1=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 6．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，不等式组的解法，根据原点对称的性质，点P关于原点的对称点的横纵坐标是点P的横纵坐标的相反数，再根据第四象限点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0）列出不等式组求解． 【详解】 解：点关于原点的对称点的坐标为． 由于在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即 ， 解不等式，得； 解不等式，得． 因此，的取值范围是． 故答案为： 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，点A，B，C都在格点上）． （1）作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）求以，，为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）作图见解析；点的坐标为     （2）的面积为12      【分析】 此题考查了中心对称作图、点的坐标、利用网格求面积等知识． （1）找到关于原点的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：如解图，即为所求，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得点，连接， 的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．A 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．C 13．A 14．D 15．D 16．【答案】（1）3；（2）（2，2）；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求， C2的坐标为（3，1）． 【分析】 （1）根据三角形的面积等于长方形的面积减去三个小三角形的面积解答即可； （2）根据平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，即可得到顶点B1的坐标； （3）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【详解】 解：（1）△ABC的面积＝； 故答案为：3； （2）∵△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0）， ∴平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位， ∴顶点A1的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）； （3）略 17．【答案】 【分析】 本题考查了图形和性质，旋转的性质全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，构建，即可得出答案． 【详解】 解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵点B坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 18．【答案】（1），； （2）如图所示，即为所求； ∴，． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，坐标与图形变化—旋转： （1）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （2）先根据网格的特点和旋转方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接并写出、的坐标即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）略 19．【答案】（1） 解：如图，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，；     （2）6      【分析】 本题考查作图-旋转变换，求直角坐标系中点的坐标，求三角形的面积． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出坐标即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 20．【答案】105 【分析】 本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，．所以．再由三角形内角和定理可知，． 【详解】 解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故答案为：105． 21．【答案】120 【分析】 本题考查了旋转对称图形的知识，连接、、，则其将正三角形分成3个全等的部分，再用360度除以3即可求得．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键． 【详解】 解：如图所示：连接、、， 正三角形，O为其中心， ，， ， ， ， 同理可证：， ， ， ∴正三角形绕其中心O至少旋转，可与其自身重合． 故答案为：120． 22．【答案】（1） 如图， 即为所求，，，的坐标为；      （2） 解：如图，点Q即为对称中心， 【分析】 本题考查了坐标平面内图形的变换：中心对称，旋转，熟练掌握旋转性质，中心对称性质，是解题的关键． （1）作出点A，B，C绕原点O顺时针旋转得到的对应点，，，写出顶点，，的坐标即可； （2）连接，交点Q即为对称中心，由，，写出中点坐标，即为点Q的坐标． (1) 小问详解： 解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴将绕原点O顺时针旋转得到； 顺次首尾连接得到； (2) 小问详解： 解：连接，交于点Q，点Q即为对称中心， 由图看出， ∵， ∴，， ∴． 23．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，勾股定理，求图形扫过的面积，熟知扇形面积公式和旋转的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接、C即可； （2）根据题意可得扫过的扇形面积即为扇形的面积，利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再根据扇形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得，扫过的扇形面积即为扇形的面积， 由网格的特点和勾股定理可得， 由旋转的性质可得， ∴扫过的扇形面积． 24．【答案】（1）如图示，依题意△为所作； （2）如图示，依题意△为所作；    （3） 【分析】 （1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后计算出即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， 此时的值最小，最小值为， 而， 所以这个最小值为． 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，平移变换和最短路径问题，熟悉相关性质是解题的关键． 25．【答案】（1） 如图所示，即为所求． ，，     （2）      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将三顶点分别绕原点逆时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可得； （2）利用弧长公式求解可得． (1) 小问详解： 解：由图知，，，； (2) 小问详解： 解：连接， 则， 所以点所走的路径长为． 故答案为： 26．【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针方向旋转至AE， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3） 解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，可证得，即可； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，，可证得，可得，即可； （3）根据平移的性质可得，，从而得到，可证得，进而得到，，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵将绕点A逆时针方向旋转至， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质是解题的关键． 27．【答案】（1）如图： 点的坐标为(5,-3)； （2）如图： 点的坐标(0,0) ． 【分析】 （1）由A的坐标据平移的坐标变化规律可直接写出A1的坐标； （2）先画出，再根据旋转的性质可直接画出，然后由图得出点的坐标即可． 【详解】 （1）由图知点A的坐标为(5,2)，向下平移5个单位得A1的坐标为(5,-3)； （2）略 【点睛】 此题考查图形的平移和旋转与其相关点坐标的变化，其关键是要熟悉平移和旋转的性质． 28．【答案】（1）     （2） 证明：∵点F是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，        ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形．      【分析】 （1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． (1) 小问详解： 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 29．【答案】（1）； （2）． 理由如下： 如图② ，四边形为正方形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中 ， ， ． 【分析】 （1）如图② ，利用旋转得，再利用四边形为正方形，求出∠AOD，从而求出∠AOF; （2）如图② ，利用四边形为正方形，得到，，又因为为等腰三角形，所以OF=OE,再证明即可. 【详解】 解：（1）如图②， 绕点逆时针旋转角， ， 四边形为正方形， ， ； 故答案为； （2）略 【点睛】 本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转可得：，， ∵正方形的边长为3， ∴、， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．【答案】或 【分析】 本题考查几何变换的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，旋转的性质及勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，分为当点D在线段上时及当点D在线段的延长线上时，分别证明，再求解即可． 【详解】 解：，， ， ① 如图，当点D在线段上时， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； ② 如图，当点D在线段的延长线上时， ，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 32．【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 33．【答案】（1）     （2）  ，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． (1) 小问详解： 证明：，理由如下： 如图① ，在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）的结论有， 即这条道路的长为， 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 34．【答案】（1）旋转角为，     （2） 证明：如图，延长到点，使得，连接， 则点N为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质结合等腰三角形的性质即可求出旋转角，过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可得到，进而得以解答； （2）延长到点，使得，连接，先证明是的中位线，由旋转的性质结合等腰三角形的性质证明，推出，利用等腰三角形三线合一即可证明． (1) 小问详解： 解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，旋转角为， ∴， ∵点D，E与点B在同一直线上， ∴， ∴， ∴； 如图1，过点A作于点G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 35．【答案】 【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵∠C=∠ADE=90°， ∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°， ∴∠DEF=∠ADC， 在△EDF和△DAC中， ， ∴△EDF≌△DAC（AAS）， ∴DF=AC=3，EF=CD， 设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2， ∴BE2的最小值是2， ∴BE的最小值是. 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，解题的关键是得出二次函数的解析式． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图，即为所求．     （3）      【分析】 （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）连接，交点即为与的对称中心，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接，交点即为与的对称中心， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】 本题考查作中心对称图形，图形的平移，找对称中心，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键． 考点03 中心对称图形 1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．A 7．B 8．B 9．B 10．C 11．D 12．B 13．D 14．B 15．D 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】 解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，坐标与图形，根据题意求出，，再根据点C在第一象限即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 4．【答案】-2 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解． 【详解】 解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称， ∴b=-3，a-2=-a， ∴a=1， ∴a+b=-2． 故答案是：-2． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 5．【答案】-3 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解. 【详解】∵点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称， ∴p=-3，q=1, ∴pq=-3×1=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 6．【答案】 【分析】 本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，不等式组的解法，根据原点对称的性质，点P关于原点的对称点的横纵坐标是点P的横纵坐标的相反数，再根据第四象限点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0）列出不等式组求解． 【详解】 解：点关于原点的对称点的坐标为． 由于在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即 ， 解不等式，得； 解不等式，得． 因此，的取值范围是． 故答案为： 7．【答案】（1）作图见解析；点的坐标为     （2）的面积为12      【分析】 此题考查了中心对称作图、点的坐标、利用网格求面积等知识． （1）找到关于原点的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：如解图，即为所求，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得点，连接， 的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（     ） A.  B.  C. 3 D.  5．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）把正边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正边形与原正边形重合．我们说，正边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点旋转后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点有角的旋转对称．图是具有旋转对称性质的图形．其最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，将绕O点逆时针旋转，此时点A的对应点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A.  B.  C.  D.  13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  16．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）△ABC的面积是　 　； （2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标　 　； （3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标　 　． 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　　　　　． 18．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）（1）解方程：； （2）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． 画出绕点O顺时针旋转后所得到的图形，并写出点、的坐标． 19．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是            ，点的坐标是                （2）求的面积． 20．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上，交于点．若，则　　　　　　度． 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）一个正三角形至少绕其中心旋转　　　　　　　　度，就能与其自身重合． 22．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕原点O顺时针旋转得到，请画出旋转后的，并直接写出顶点，，的坐标； （2）若与关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q，并写出点Q的坐标． 23．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （2）请计算出在（1）的运动过程中扫过的扇形面积． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如下图,三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； （2）请画出绕原点逆时针旋转90°后得到的； （3）P为x轴上一动点，当有最小值时，求这个最小值． 25．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的，并写出点A，B，C的对应点的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径长为___________（结果保留） 26．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）如图1，D是内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数． （3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由． 27．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移5个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标； 28．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．    （1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小； （2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形． 29．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　     　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 30．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）在中，，，点D是直线上一点且，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则的长为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）问题：如图①，点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系． （1）【初步感知】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现之间的数量关系是                 ； （2）【深入探究】 如图②，在四边形中，，点分别在边上，则当时，继续探究之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知．，道路上分别有景点，且，，现要在、之间修一条笔直的道路，这条道路的长                  ． 34．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）在一次数学实践活动课上，老师了给一个，要求同学们利用旋转自己编题并解答： （1）第一小组编题如下： 将绕点A逆时针旋转得到，如图1，当点B，C的对应点D，E与点B在同一直线上，若，，求旋转角及的长． （2）第二小组受第一小组的启发，编题如下： 将中的线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点A的对应点D与点A，B在同一直线上时，如图2，过C作于E，取的中点M，若（），将绕点M顺时针旋转得，连接． 求证：． 请完成以上（1）和（2）的解答过程 35．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于　　　　　　　　　　． 考点02 中心对称及其性质 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上 （1）画△ABC关于原点成中心对称的 （2）画出△ABC向右平移4个单位长度的． （3）若与的对称中心是点P，则点P的坐标为                  ． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）剪纸艺术起源于古代中国的镂空雕刻技艺，是一种广受欢迎的民间艺术形式，已成为中国传统文化的重要组成部分，下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  山西煤炭化学研究所 B.  东北地理与农业生态研究所 C.  西安光学精密机械研究所 D.  生态环境研究中心 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（     ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 10．（24-25学年九上·期末）中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）点与点关于原点对称，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 3 2．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为　　　　　　　　． 3．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，边长为3的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是　　　　　　． 4．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝　　　　　． 5．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为　　　　　． 6．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是　　　　　　　． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，点A，B，C都在格点上）． （1）作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）求以，，为顶点的三角形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $