专题01 一元二次方程（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（   ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 6．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. ﹣1 10．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是　　　　． 11．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 13．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）已知是方程的两个根，已知一根为1，则　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：                      ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 15．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）设是方程的一个实数根，则　　　　　　　　． 16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）一元二次方程的一个根为0，则另一个根为　　　　　　． 考点02 配方法 1．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）关于的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 3．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）当时，方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上结论都不对 2．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）一元二次方程根的判别式的值是（       ） A. 33 B. 23 C. 17 D.  7．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）关于x的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）方程有两个实数根，m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年九上·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 10．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 0个 11．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A.  B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 12．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 0 C. 2 D. 4 13．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）方程（x-1）（x-2）=1的根是（　　） A. x1=1，x2=2 B. x1=-1，x2=-2 C. x1=0，x2=3 D. 以上都不对 14．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 15．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D. 且 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是　　　　　　　　　　． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）方程x2=﹣x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=﹣1或x2=0 D. x1=1或x2=0 4．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 5．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）解方程： （1） （2） 6．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）用因式分解法解方程: （1）； （2） 7．（24-25学年九上·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为　　　　　　． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　． 9．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）选择合适的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 10．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）解方程： （1）； （2）． 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）解方程 （1） （2） 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）解方程：．（请用两种方法进行解答） 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）解方程： （1）（因式分解法）； （2）（解法不限）． 15．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）解方程： （1） （2） 16．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是　　　　　　　　． 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）解方程：． 18．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 19．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 20．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）解方程 （1） （2） （3） 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）解下列方程： （1）； （2）． 22．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）方程恰有两个整数根，，则的值是（     ） A. 1 B.  C.  D.  3．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）已知实数，是方程的两根，则　　　　　　． 5．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）设，是一元二次方程的两根，则　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知，是方程的两个根，则　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 9．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知a和b是方程的两个解，则的值为　　　　　　　　． 10．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知是一元二次方程的两根，则的值为　　　　　　　　． 11．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）若，是一元二次方程的两根，且，则的值为　　　　　　． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）关于x的方程的两个根是和1，则的值为                ． （2）已知实数m、n满足，且，求的值． （3）若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 14．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是　　　　　　　　　　． 15．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； 16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是　　　　　　． 19．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（       ） A. 10元 B. 20元 C. 10元或20元 D. 13元 3．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，第一周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若第三周累计票房的增长率是第二周累计票房的增长率的一半，设第二周的增长率为x，根据题意可列方程为（） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 6．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　） A. 7队 B. 6队 C. 5队 D. 4队 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A.  B.  C.  D.  10．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）（多选）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 14．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　　　　　　个人． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 16．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 17．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是　　　　　　　　　　　　． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程　　　　　　． 19．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 20．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形 （1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； （2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 21．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的． （1）求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额； （2）今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率． 22．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，一幅长、宽的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为． （1）竖彩条的宽度为______（用含有的代数式表示）； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 23．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）将一条长为的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）使这两个正方形的面积之和等于25，则其中较大正方形的边长是多少？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于50吗？请说明理由． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，求与墙垂直的一边的长度． 25．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在一块长为36米，宽为20米的矩形试验田中，计划挖两横、两竖四条水渠，横、竖水渠的宽度比为1：2，要使四条水渠所占面积是这块试验田面积的五分之一，设横向水渠的宽度为x米．根据题意所列方程是　　　　　　　　　　　　　　　. 26．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 27．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 28．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，某小区规划在长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽　　　　　　　 29．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为            米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 30．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 31．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 32．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为　　　　　　　　　　人． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 9．D 10．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】 解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案为：3． 11．【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 12．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13．【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于m的方程，然后求得m的值． 【详解】 解：把代入得， 解得． 故答案为：4． 14．【答案】（1）     （2）     （3）两个实数根分别是，4；      【分析】 （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； (3) 小问详解： 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 15．【答案】2024 【分析】 首先由已知可得，即．然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】 解：把代入得到， 则， 又， 把代入， 故答案为：2024． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键． 16．【答案】.5 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．将代入得：，利用直接开平方法求解，但是要注意，得到方程为，再求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根为0 ∴将代入得：， 解得：或， 而， ∴舍， ∴， ∴方程为：， 解得：或， ∴另一个根为， 故答案为：． 考点02 配方法 1．D 2．C 3．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 4．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； （3）移项后根据配方法求解即可； （4）移项后根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：， (2) 小问详解： 解： 解得：， (3) 小问详解： 解： 解得：， (4) 小问详解： 解： 解得：， 考点03 公式法 1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D 13．D 14．C 15．A 16．C 17．【答案】 【分析】 根据方程的系数结合得关于的一元一次方程即可求解． 【详解】 ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记“时，方程有两个相等的实数根”是解题关键． 18．【答案】且 【分析】 利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．B 2．A 3．C 4．A 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用配方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 6．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． (2) 小问详解： 移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 7．【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程．先将代入方程中求得，再解方程即可解答． 【详解】 解：∵方程有一个根是， ∴，解得， ∴方程为，即， 解得，， ∴方程的另一个根为4， 故答案为：4． 8．【答案】 【分析】 本题考查提公因式、公式法因式分解；提公因式，然后根据平方差公式因式分解． 【详解】 解： 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的各个方法并能选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先整理原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴或， ∴． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据配方法得，再开平方解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： ； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： ， 解：即， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，． 13．【答案】， 方法1：， ， ， ， 解得； 方法2：， ， ， 或， 解得． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键： 方法1：把方程两边同时加上1进行配方，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 方法2：先把常数项移到方程左边，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】 略 14．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 则， 所以， 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握直接开方法和因式分解法是解题关键； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ，； 16．【答案】6或10或12 【分析】 首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】 由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 17．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项、然后再运用因式分解法解答即可． 【详解】 解：， ， ， 或， ，． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， 或， 解得，． 19．【答案】或 【分析】 本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】 解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查利用因式分解法解一元二次方程； （1）先移项，再提取公因式分解因式，最后解方程即可； （2）先因式分解，再解方程即可； （3）把当成一个整体，分解因式后，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得； (3) 小问详解： 解：， ∴， 整理得， ∴或， 解得． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 22．【答案】（1），；     （2），；     （3），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，选择正确的方法解方程是解题的关键． （1）移项，提公因式，用因式分解法解方程； （2）用直接开平方法解方程； （3）先求得的值，再用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 整理得， 开方得， ∴，， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．A 2．D 3．B 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵实数，是方程的两根， ∴， 故答案为：． 5．【答案】0 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 6．【答案】5 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 【详解】 解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，，． 则． 故答案为：5． 7．【答案】5 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】 解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 8．【答案】（1） 证明：对一元二次方程， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根；     （2），另一个根为      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系． （1）证明即可； （2）设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设一元二次方程另一个根为， 则，， ， 解得：， ， 答：的值是，该方程的另一个根为． 9．【答案】2028 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 10．【答案】0 【分析】 根据是一元二次方程的两根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ ， 故答案：0． 11．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】（1）；     （2）     （3）k的值      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可. （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得m、n可看作方程的两实数解，可得，即可求解； （3）关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，结合条件可得，利用根的判别式进行验证即可； (1) 小问详解： 解：根据根与系数的关系得， 解得， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得m、n可看作方程的两实数解， ∴ ∴ (3) 小问详解： 解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得， 当时，原方程化为，则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解； 综上所述，k的值为． 14．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系．① ② 通过根的判别式进行判断，③ ④ 结合根与系数的关系得结论． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故① 错② 正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③ 正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④ 正确． ∴正确的结论是② ③ ④ ， 故答案为：② ③ ④ ． 15．【答案】（1）m≥2（2）6 【分析】 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1＋x2＝2（m＋1）、x1•x2＝m2＋5，结合m的取值范围即可得出m的值． 【详解】 解：（1）由题意得△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）≥0， 解得：m≥2； （2）由题意可知：x1＋x2＝2（m＋1），x1x2＝m2＋5， 由（x1−1）（x2−1）＝28得： x1x2−（x1＋x2）＋1＝28，即m2−2m−24＝0， 解得：m＝6或m＝−4， 由（1）知m≥2， ∴m＝6． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个实数根找出Δ＝8m−16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程． 16．【答案】（1）；     （2） 不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由： 设关于的一元方程有两个实数根为，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∴，整理得：， 解得：， 由（）得：，则不在此范围，不符合题意， ∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等．      【分析】 （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由题意列出方程求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元方程有两个实数根， ∴ ， 解得：； (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 18．【答案】3 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】 解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．B 10．D 11．【答案】 【分析】 根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 12．【答案】（1）1452     （2）25名      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． (1) 小问详解： 解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； (2) 小问详解： 解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 13．【答案】AB长为8米，BC长为12米 【分析】 设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，然后根据题意可列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米， x（36﹣3x）＝96， 解得：x1＝4，x2＝8， 当x＝4时， 36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去）， 当x＝8时， 36﹣3x＝12． 答：AB的长为8米，BC的长为12米． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 14．【答案】12 【分析】 设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】 解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 15．【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为     （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． （1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： ， 化简得：， ∴， ∴或（舍）， ∴进馆人次的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：∵进馆人次的月平均增长率为， ∴第四个月的进馆人次为：， ∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 16．【答案】（1）     （2）羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 17．【答案】100（1+x）2=160 【详解】设二、三月份每月如平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100(1+x)， 三月份生产机器为：100(1+x)2， 又知三月份生产160台， 所以，可列方程为． 18．【答案】 【分析】 设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程． 19．【答案】（1）从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为     （2）预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额增长率4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． (1) 小问详解： 解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； (2) 小问详解： ， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 20．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算． （1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：图2中小正方形的边长为 (2) 小问详解： 由题得：， 化简得：， ， ∴或． 21．【答案】（1）432万元     （2）      【分析】 （1）利用该百货公司今年“五一黄金周”前四天的总营业额乘以，求得第五天的营业额，再利用前四天的总营业额加上第五天的营业额即可求解； （2）设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x，根据“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，即可得出关于x的一元二次方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：（1）（元）， 答：今年“五一黄金周”这五天的总营业额为432万元； (2) 小问详解： 解：设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x， 根据题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去），， 经检验，满足题意． 答：百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为． 【点睛】 本题考查一元二次方程的实际应用，明确题意，找出等量关系是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，求解即可． （2）根据题意分别表示出长方形图案面积，三条彩条所占面积，即可列出一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为， ∴， ∴竖彩条的宽度为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意可得：长方形图案面积为，三条彩条所占面积是， ∵图案中三条彩条所占面积是图案面积的， ∴， 解得：，， ∵， 故不合题意，舍去， ∴， ∴，， 答：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为． 23．【答案】（1）4     （2）不可能      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据两个正方形的面积之和等于25，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （2）由题意建立方程，解方程发现一个根比7大，一个根为负数，均不符合题意． (1) 小问详解： 解：设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得， 整理得：， ， 解方程得，． 所以较大正方形边长为． (2) 小问详解： 解：当，即时， 解得，， ，得，，，均不符合题意，舍去． 这两个正方形的面积之和不可能等于． 24．【答案】8m 【分析】 根据题意，得四边形为矩形；根据花园面积及篱笆的总长度，，通过列一元二次方程并求解，结合题意分析，即可得到答案． 【详解】 如下图： 根据题意，得四边形为矩形，m ∴， ∴， ∴m ∵花圃面积为80m2 ∴m2 设m，则 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，m ∵ ∴不符合题意 当时，m ∴符合题意 ∴与墙垂直的一边的长度为8m． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是根据题意列出一元二次方程，从而完成求解． 25．【答案】所列方程是（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 【详解】根据试验田的面积可列方程,设横向水渠的宽度为x米，则竖直水渠的宽度为2x米， 根据题意,得（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 26．【答案】（1）商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元     （2）29元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． (1) 小问详解： 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． (2) 小问详解： 解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 27．【答案】（1）     （2）当为5时，所围矩形花圃的面积为．      【分析】 （1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． (1) 小问详解： 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ∵墙长为9米，墙的长为6米， ∴ ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 解得：（舍去），． 答：当为5时，所围矩形花圃的面积为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，求不等式组的解集，矩形的性质与判定等等，正确列出y与x的函数关系式是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．设小路应为米宽，根据使草坪的面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解：设小路应为米宽，根据题得， 解得：舍，． 答：小路应为米宽． 故答案为． 29．【答案】（1）     （2）米     （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为．      【分析】 （1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； (3) 小问详解： 略 30．【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 31．【答案】 【分析】 设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 32．【答案】（1）7200     （2）每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元     （3）的最大值为8450元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键． （1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可； （3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值． (1) 小问详解： 解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； (2) 小问详解： 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； (3) 小问详解： 解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． 33．【答案】343 【分析】 根据两轮传染后患了感冒的人数=1+第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解． 【详解】 解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：343． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：A． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的概念，据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解决此题的关键． 【详解】 A、化简后不含二次项，不是一元二次方程，故A错误，不符合题意； B、是二元一次方程，故B错误，不符合题意； C、当时不是一元二次方程，故C错误，不符合题意； D、是一元二次方程，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程的概念，根据“形如叫做一元二次方程”，即可得出答案． 【详解】 解：A．，若，是一元一次方程，故不符合题意； B．，是分式方程，故不符合题意； C．，符合一元二次方程的定义，故符合题意； D．，是一元三次方程，故不符合题意． 故选：C． 4．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程的最高次数是3次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．符合定义，是一元二次方程，故本选项符合题意； D.当时，方程 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 5．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（   ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 【答案】A 【分析】 由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解． 【详解】 解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根， ∴4+2b-c =0， ∴2b-c =-4． ∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解． 6．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 7．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】 解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A.  B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 A、是分式方程．错误； B、当a＝0时不是一元二次方程，错误； C、是，一元二次方程，正确； D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C． 【点睛】 考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　） A. 0 B. ±1 C. 1 D. ﹣1 【答案】D 【分析】把y=0代入所给的方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0，求出m的值即可． 【详解】把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得： 4m2-4=0，即m2-1=0 解得：m1=1，m2=-1 当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程， 所以m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大．本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件． 10．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】 解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案为：3． 11．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 12．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）已知是方程的两个根，已知一根为1，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于m的方程，然后求得m的值． 【详解】 解：把代入得， 解得． 故答案为：4． 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：                      ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1）     （2）     （3）两个实数根分别是，4；      【分析】 （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； (3) 小问详解： 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 15．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）设是方程的一个实数根，则　　　　　　　　． 【答案】2024 【分析】 首先由已知可得，即．然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】 解：把代入得到， 则， 又， 把代入， 故答案为：2024． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键． 16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）一元二次方程的一个根为0，则另一个根为　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．将代入得：，利用直接开平方法求解，但是要注意，得到方程为，再求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根为0 ∴将代入得：， 解得：或， 而， ∴舍， ∴， ∴方程为：， 解得：或， ∴另一个根为， 故答案为：． 考点02 配方法 1．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）关于的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义，并会运用整体思想是解题的关键．方程中，设，根据题意可以得出的值，便可求出的值． 【详解】 解：方程中，设， ∴， ∵关于的方程（、为常数）的解是，， ∴，， 即，， 解得：，， 故选：D． 2．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 4．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； （3）移项后根据配方法求解即可； （4）移项后根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：， (2) 小问详解： 解： 解得：， (3) 小问详解： 解： 解得：， (4) 小问详解： 解： 解得：， 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）当时，方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上结论都不对 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】 解：∵方程的判别式， 又∵，即， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：B． 2．（24-25学年九上·内蒙古期中学·期中）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】 解：一元二次方程一般式为：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 4．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）一元二次方程根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可． 【详解】 ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故m的值可以是2， 故选C． 【点睛】 本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 6．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）一元二次方程根的判别式的值是（       ） A. 33 B. 23 C. 17 D.  【答案】C 【分析】 直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】 解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 7．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）关于x的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 求出一元二次方程根的判别式的值，然后根据时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根，可得答案． 【详解】 解：∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 8．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）方程有两个实数根，m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 将方程化为一元二次方程的一般形式，利用判别式是非负数列式求解即可． 【详解】 解：∵方程 即有两个实数根， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选 B． 9．（24-25学年九上·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【分析】 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：已知方程（、、为常数，），①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程无实数根． 【详解】 解：一元二次方程， 此时，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 10．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 0个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 11．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A.  B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【分析】 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12．（25-26学年九上·内蒙古商都县第五中学·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，根据一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于等于零求解即可得出答案． 【详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 选项中只有，满足， ∴ m的值可以是4． 故选D． 13．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）方程（x-1）（x-2）=1的根是（　　） A. x1=1，x2=2 B. x1=-1，x2=-2 C. x1=0，x2=3 D. 以上都不对 【答案】D 【详解】解：方程整理得：x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵△=b2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=．故选D． 14．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，因为关于x的一元二次方程有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实根， ，并且， ∴且． 故选：C． 15．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故选：A． 16．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式， 两种情况：当时，当时，分别求解即可得解． 【详解】 解：当时，变为，此方程有实数根； 当时，由题意可得且， 解得：， ∴当时，关于x的方程有实数根， 故选：C． 17．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据方程的系数结合得关于的一元一次方程即可求解． 【详解】 ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记“时，方程有两个相等的实数根”是解题关键． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】 解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【分析】 解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】 解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 3．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）方程x2=﹣x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=﹣1或x2=0 D. x1=1或x2=0 【答案】C 【分析】 首先进行移项，将方程左边提取x分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出一次方程的解得到原方程的解． 【详解】 解：因为 所以 所以x1=1或x2=0， 故选C． 【点睛】 此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 4．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 【答案】A 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到这个等腰三角形的腰为4，底边为2，然后计算这个三角形的周长． 【详解】x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0， x﹣4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝4，x2＝2， 因为2+2＝4， 所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2， 所以这个三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：A． 【点睛】考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是利用因式分解法求出方程的解． 5．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用配方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 6．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）用因式分解法解方程: （1）； （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． (2) 小问详解： 移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 7．（24-25学年九上·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程．先将代入方程中求得，再解方程即可解答． 【详解】 解：∵方程有一个根是， ∴，解得， ∴方程为，即， 解得，， ∴方程的另一个根为4， 故答案为：4． 8．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查提公因式、公式法因式分解；提公因式，然后根据平方差公式因式分解． 【详解】 解： 故答案为：． 9．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）选择合适的方法解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的各个方法并能选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先整理原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴或， ∴． 10．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 11．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据配方法得，再开平方解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： ； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： ， 解：即， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，． 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）解方程：．（请用两种方法进行解答） 【答案】， 方法1：， ， ， ， 解得； 方法2：， ， ， 或， 解得． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键： 方法1：把方程两边同时加上1进行配方，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 方法2：先把常数项移到方程左边，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）解方程： （1）（因式分解法）； （2）（解法不限）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 则， 所以， 15．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握直接开方法和因式分解法是解题关键； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ，； 16．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是　　　　　　　　． 【答案】6或10或12 【分析】 首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】 由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项、然后再运用因式分解法解答即可． 【详解】 解：， ， ， 或， ，． 18．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， 或， 解得，． 19．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【分析】 本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】 解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 20．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查利用因式分解法解一元二次方程； （1）先移项，再提取公因式分解因式，最后解方程即可； （2）先因式分解，再解方程即可； （3）把当成一个整体，分解因式后，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得； (3) 小问详解： 解：， ∴， 整理得， ∴或， 解得． 21．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 22．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；     （2），；     （3），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，选择正确的方法解方程是解题的关键． （1）移项，提公因式，用因式分解法解方程； （2）用直接开平方法解方程； （3）先求得的值，再用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 整理得， 开方得， ∴，， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【分析】 根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】 解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）方程恰有两个整数根，，则的值是（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程的根与系数关系，结合1997为质数的性质，确定整数根的可能取值，进而求出p的值，并代入表达式计算． 【详解】 解：∵方程有两个整数根 ， ∴，． ∵ 1997是质数， ∴或（此时分母为0，不合题意，舍去）． ∴，即． ∴ 故选：D． 3．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】 ∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴=====-1． 故选B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． 4．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）已知实数，是方程的两根，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵实数，是方程的两根， ∴， 故答案为：． 5．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）设，是一元二次方程的两根，则　　　　　　　． 【答案】0 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 6．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）已知，是方程的两个根，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 【详解】 解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，，． 则． 故答案为：5． 7．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】 解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 8．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：对一元二次方程， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根；     （2），另一个根为      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系． （1）证明即可； （2）设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设一元二次方程另一个根为， 则，， ， 解得：， ， 答：的值是，该方程的另一个根为． 9．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知a和b是方程的两个解，则的值为　　　　　　　　． 【答案】2028 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 10．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）已知是一元二次方程的两根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 根据是一元二次方程的两根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ ， 故答案：0． 11．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）若，是一元二次方程的两根，且，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）关于x的方程的两个根是和1，则的值为                ． （2）已知实数m、n满足，且，求的值． （3）若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 【答案】（1）；     （2）     （3）k的值      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可. （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得m、n可看作方程的两实数解，可得，即可求解； （3）关于x的方程的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得，结合条件可得，利用根的判别式进行验证即可； (1) 小问详解： 解：根据根与系数的关系得， 解得， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得m、n可看作方程的两实数解， ∴ ∴ (3) 小问详解： 解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得， 当时，原方程化为，则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解； 综上所述，k的值为． 14．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系．① ② 通过根的判别式进行判断，③ ④ 结合根与系数的关系得结论． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故① 错② 正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③ 正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④ 正确． ∴正确的结论是② ③ ④ ， 故答案为：② ③ ④ ． 15．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； 【答案】（1）m≥2（2）6 【分析】 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1＋x2＝2（m＋1）、x1•x2＝m2＋5，结合m的取值范围即可得出m的值． 【详解】 解：（1）由题意得△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）≥0， 解得：m≥2； （2）由题意可知：x1＋x2＝2（m＋1），x1x2＝m2＋5， 由（x1−1）（x2−1）＝28得： x1x2−（x1＋x2）＋1＝28，即m2−2m−24＝0， 解得：m＝6或m＝−4， 由（1）知m≥2， ∴m＝6． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个实数根找出Δ＝8m−16≥0；（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程． 16．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；     （2） 不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由： 设关于的一元方程有两个实数根为，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∴，整理得：， 解得：， 由（）得：，则不在此范围，不符合题意， ∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等．      【分析】 （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由题意列出方程求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元方程有两个实数根， ∴ ， 解得：； (2) 小问详解： 略 17．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 18．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】 解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 19．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出m的取值范围 （2）若满足，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意和图形中的数据，用圆的面积减去正方形的面积等于圆内可种植的面积，列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】 解：由图可得，， 故选：C． 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程． 2．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（       ） A. 10元 B. 20元 C. 10元或20元 D. 13元 【答案】A 【分析】 根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值． 【详解】 解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（25-26学年九上·内蒙古自治区呼和浩特第四中学·期中）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 4．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，第一周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若第三周累计票房的增长率是第二周累计票房的增长率的一半，设第二周的增长率为x，根据题意可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三周的累计票房第一周的票房第二周的增长率）第二周的增长率的一半），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：B． 5．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 6．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，根据题意，设小路的宽度为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的长方形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】 解：设小路的宽度为， 由题意得， 故选：D． 7．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据整个挂图的面积是为等量关系列方程即可得解． 【详解】 解：设金色纸边的宽为， 依题意得：， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　） A. 7队 B. 6队 C. 5队 D. 4队 【答案】C 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=10， 即， ∴x2-x-20=0， ∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）． 故选C 9．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280． 故选B． 【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 10．（24-25学年九上·内蒙古自治区赤峰·期中）2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，再根据三天累计票房为亿元即可列出对应的方程． 【详解】 解：由题意得，， 故选：D． 11．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 12．（25-26学年九上·内蒙古区乌兰察布·期中）额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】（1）1452     （2）25名      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． (1) 小问详解： 解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； (2) 小问详解： 解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 13．（25-26学年九上·内蒙古自治区通辽科左后旗金宝屯镇部分学校·期中）（多选）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 【答案】AB长为8米，BC长为12米 【分析】 设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，然后根据题意可列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米， x（36﹣3x）＝96， 解得：x1＝4，x2＝8， 当x＝4时， 36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去）， 当x＝8时， 36﹣3x＝12． 答：AB的长为8米，BC的长为12米． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 14．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特·期末）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　　　　　　个人． 【答案】12 【分析】 设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】 解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 15．（24-25学年九上·内蒙古自治区通辽·期末）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为     （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． （1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： ， 化简得：， ∴， ∴或（舍）， ∴进馆人次的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：∵进馆人次的月平均增长率为， ∴第四个月的进馆人次为：， ∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 16．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】（1）     （2）羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 17．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特实验中学）某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是　　　　　　　　　　　　． 【答案】100（1+x）2=160 【详解】设二、三月份每月如平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100(1+x)， 三月份生产机器为：100(1+x)2， 又知三月份生产160台， 所以，可列方程为． 18．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程． 19．（25-26学年九上·内蒙古区呼和浩特·期末）李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 【答案】（1）从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为     （2）预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额增长率4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． (1) 小问详解： 解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； (2) 小问详解： ， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 20．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形 （1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； （2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算． （1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：图2中小正方形的边长为 (2) 小问详解： 由题得：， 化简得：， ， ∴或． 21．（25-26学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的． （1）求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额； （2）今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率． 【答案】（1）432万元     （2）      【分析】 （1）利用该百货公司今年“五一黄金周”前四天的总营业额乘以，求得第五天的营业额，再利用前四天的总营业额加上第五天的营业额即可求解； （2）设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x，根据“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，即可得出关于x的一元二次方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：（1）（元）， 答：今年“五一黄金周”这五天的总营业额为432万元； (2) 小问详解： 解：设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x， 根据题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去），， 经检验，满足题意． 答：百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为． 【点睛】 本题考查一元二次方程的实际应用，明确题意，找出等量关系是解题的关键． 22．（25-26学年九上·内蒙古自治区乌海·期末）如图，一幅长、宽的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为． （1）竖彩条的宽度为______（用含有的代数式表示）； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【答案】（1）     （2）竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，求解即可． （2）根据题意分别表示出长方形图案面积，三条彩条所占面积，即可列出一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为， ∴， ∴竖彩条的宽度为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意可得：长方形图案面积为，三条彩条所占面积是， ∵图案中三条彩条所占面积是图案面积的， ∴， 解得：，， ∵， 故不合题意，舍去， ∴， ∴，， 答：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为． 23．（25-26学年九上·内蒙古包头·期末）将一条长为的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）使这两个正方形的面积之和等于25，则其中较大正方形的边长是多少？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于50吗？请说明理由． 【答案】（1）4     （2）不可能      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据两个正方形的面积之和等于25，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （2）由题意建立方程，解方程发现一个根比7大，一个根为负数，均不符合题意． (1) 小问详解： 解：设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得， 整理得：， ， 解方程得，． 所以较大正方形边长为． (2) 小问详解： 解：当，即时， 解得，， ，得，，，均不符合题意，舍去． 这两个正方形的面积之和不可能等于． 24．（25-26学年九上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，求与墙垂直的一边的长度． 【答案】8m 【分析】 根据题意，得四边形为矩形；根据花园面积及篱笆的总长度，，通过列一元二次方程并求解，结合题意分析，即可得到答案． 【详解】 如下图： 根据题意，得四边形为矩形，m ∴， ∴， ∴m ∵花圃面积为80m2 ∴m2 设m，则 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，m ∵ ∴不符合题意 当时，m ∴符合题意 ∴与墙垂直的一边的长度为8m． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是根据题意列出一元二次方程，从而完成求解． 25．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）如图，在一块长为36米，宽为20米的矩形试验田中，计划挖两横、两竖四条水渠，横、竖水渠的宽度比为1：2，要使四条水渠所占面积是这块试验田面积的五分之一，设横向水渠的宽度为x米．根据题意所列方程是　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】所列方程是（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 【详解】根据试验田的面积可列方程,设横向水渠的宽度为x米，则竖直水渠的宽度为2x米， 根据题意,得（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 26．（24-25学年九上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元     （2）29元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． (1) 小问详解： 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． (2) 小问详解： 解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 27．（24-25学年九上·内蒙古区鄂尔多斯鄂尔多斯东胜区·期中）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【答案】（1）     （2）当为5时，所围矩形花圃的面积为．      【分析】 （1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． (1) 小问详解： 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ∵墙长为9米，墙的长为6米， ∴ ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 解得：（舍去），． 答：当为5时，所围矩形花圃的面积为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，求不等式组的解集，矩形的性质与判定等等，正确列出y与x的函数关系式是解题的关键． 28．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，某小区规划在长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．设小路应为米宽，根据使草坪的面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解：设小路应为米宽，根据题得， 解得：舍，． 答：小路应为米宽． 故答案为． 29．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为            米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1）     （2）米     （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为．      【分析】 （1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； (3) 小问详解： 略 30．（24-25学年九上·内蒙古通辽·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 31．（24-25学年九上·内蒙古包头·期中）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【分析】 设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 32．（24-25学年九上·内蒙古自治区呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中）商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． 【答案】（1）7200     （2）每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元     （3）的最大值为8450元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键． （1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可； （3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值． (1) 小问详解： 解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； (2) 小问详解： 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； (3) 小问详解： 解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． 33．（24-25学年九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中）有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为　　　　　　　　　　人． 【答案】343 【分析】 根据两轮传染后患了感冒的人数=1+第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解． 【详解】 解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：343． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $