专题03 轴对称（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解． 【详解】 解：由轴对称图形的定义可知：“全”字是轴对称图形， 故选：A ． 2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）花钿（diàn）是我国古代女子用来贴在两鬓、眉间或面颊上的一种花朵形装饰物．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形，由此逐项判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选A． 3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）下面图形分别是节水、农食产品认证、绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，平面图形沿某直线折叠，两部分完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，由此即可求解． 【详解】 解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 6．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）观察下图中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为（       ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】 解：原图是轴对称图形有： 共4个， 故选：C． 7．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）中国传统文化之一的剪纸蕴含了丰富的文化历史信息，表达了人民群众的社会道德观念、生活理想和审美情趣，某校学生利用活动课学习剪纸，在以下的剪纸作品属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够完全重合； 选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 8．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 10．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查的是点的坐标，根据第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0解答即可． 【详解】 解：∵， ∴点在第四象限． 故选：D． 11．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】 解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 12．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）图中是我们学习几何时常用的画图工具，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形．根据轴对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 13．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 14．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 15．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，分别以长方形的边所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为．将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交边于点，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了长方形的性质，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据长方形的性质和折叠的性质可得，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ， ， 点的坐标为，四边形是长方形， ，， 设，则， ， ， 解得， 点的坐标是， 故选：． 16．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果． 【详解】 解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 17．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】 解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故选：C． 18．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．由翻折的性质得到，根据四边形内角和定理得到，再利用邻补角的性质求出答案． 【详解】 解：将折叠，为折痕，A点落在的位置，若， ， 在四边形中，， ， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在长方形中，沿边折叠，，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查折叠的性质，由折叠的性质，，根据平角的定义求解．解题的关键是掌握：① 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；② 平角是求解． 【详解】 解：∵在长方形中，沿边折叠，， ∴， ∴． 即的度数为． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 21．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，则　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，四边形内角和定理，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键． 由平行的性质可得，由折叠的性质可得，再根据四边形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵长方形纸片沿折叠后，点分别落在点、的位置， ∴，， ∴在四边形中，， ∴， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，直线交于点，则的周长为（     ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，得到，即可求出答案，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】 解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 4．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 【答案】C 【分析】 此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】 解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 5．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 6．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　，逆命题是　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】① 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角    ② 假 【分析】 交换逆命题将原命题的题设和结论即可；根据对顶角的定义判定逆命题的真假． 【详解】 原命题的题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 题设和结论互换后即为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 根据对顶角的定义：对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；故原命题的逆命题是假命题． 故答案为：① 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；② 假． 【点睛】 本题考查了命题：一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题，对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键． 7．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，则的周长为　　　　　． 【答案】11 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，逆命题　　　　　　　　　　　（填“成立”或“不成立”）. 【答案】① 对应角相等的两个三角形全等    ② 不成立 【分析】 本题考查了命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．原命题的条件是“三角形全等”，结论是“对应角相等”，因此逆命题为“对应角相等的三角形全等”．但对应角相等只能推出三角形相似，不一定全等，故逆命题不成立． 【详解】 解：原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”． 根据三角形全等的判定定理，对应角相等是三角形相似的条件，但并非全等的充分条件． 因此，逆命题不成立． 故答案为对应角相等的三角形全等、不成立． 9．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了　　　　　　 【答案】2 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．证明是的垂直平分线，得，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：点C是的中点，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 即橡皮筋被拉长了， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴___________①___________（     ②       ）， ∵是的垂直平分线， ∴，___________③___________， 又∵ ∴（     ④       ）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（   ⑥   ）， ∴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2）①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥.      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥. 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）尺规作图：按下列要求用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点、的距离相等．（不需要证明）                （2）如图②，点在射线上，使用尺规作图法在上求一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，点即为所作； ．     （2） 所求图形如图所示． 【分析】 本题考查了作垂直平分线，角平分线，作一个角等于已知角，垂直平分线的性质，角平分线的性质． （1）作的角平分线与的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （2）作，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明△的周长可得结论． 【详解】 解：垂直平分线段， ，， ， △的周长， △的周长． 故答案为：30． 13．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　　　　　　　． 【答案】13 【详解】 解：DE是AB的垂直平分线， 所以EA=EB， 所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 故答案为：13． 14．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，直线相交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上．     （2）的度数为      【分析】 本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，可得，根据线段垂直平分线的判定，即可证得结论； （2）由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得，，利用三角形的内角和定理可求得，最后再利用三角形的内角和定理和角度的和差运算，即可得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵垂直平分，垂直平分，点在上，点在上， ∴，，， ∴，， 设，，  ∵  ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，是钝角． （1）画出边上的中线； （2）画出边上的高； （3）若，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，为边上的中线．      （2） 解：如图，为边上的高． ；     （3）5      【分析】 本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）利用垂线的作法作图即可； （3）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． (2) 小问详解： 解：过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． (3) 小问详解： 解：，高， ． 是的中线， ． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）点与点关于轴对称，则点的坐标为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 关于y轴对称的点，其纵坐标不变，横坐标变为它的相反数，根据这一特点即可完成． 【详解】 ∵点与点关于轴对称 ∴点Q的纵坐标仍为4，横坐标为－3 ∴点的坐标为 故选：A． 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中两点关于y轴对称的坐标特征，掌握这个特征是关键． 2．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）点（3，-2）关于x轴的对称点是（          ） A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 【答案】B 【分析】 根据关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变的口诀，可解本题. 【详解】 根据轴对称的性质，得点（3，－2）关于轴的对称点是（3，2）． 故答案选B. 【点睛】 本题主要考查关于x轴对称的点的坐标特征. 根据关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变的口诀解题. 3．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：C 4．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质．由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点C与点D对称，即可求解． 【详解】 解：∵和对称， ∴对称轴直线为：， ∵与点D关于对称， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为(       ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 【答案】C 【详解】 试题考查知识点：对称点坐标值的关系 思路分析：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；也可画图得出结果 具体解答过程： 如图所示： △ABO关于x轴对称，O为原点，则A、B两点必关于x轴对称．故点B坐标为（1，2） 试题点评： 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】 解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 7．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点C横坐标最大，可求，故点C的横坐标的最大值为． 【详解】 解：取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点C在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点C横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点C的横坐标的最大值为， 故选B． 【点睛】 本题考查了新定义，圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边的中线，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到关于，的方程，求解后代入式子即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，点      （2）2     （3） 如图所示，在轴上取点，连接，       【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小问题，求三角形的面积， 对于（1），先作三个顶点关于x轴的对称点，再依次连接即可； 对于（2），根据矩形的面积减去三个三角形的面积解答； 对于（3），先作点A关于y轴的对称点，可得，根据三角形两边之和大于第三边得，即可得出最小值，观察图象得出坐标即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：作点A关于y轴的对称点，可得， ∴点三点共线时，交y轴于点，此时的点即为所求点的位置， 则， ∴线段的最小值为， 点P的坐标为． 11．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）已知和关于轴对称，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查关于轴对称的点的特征，根据题意得： ，求解即可得出答案． 【详解】 解：根据题意得： ， 解得： ， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 【答案】（1） 即为所求；      （2） 点P即为所求： P点的坐标为．     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小 （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 13．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    （1）在平面直角坐标系中画出，并画出关于y轴对称的； （2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1） 解：在平面直角坐标系中描点，则和即为所求作三角形，如图所示：         （2）     （3）或      【分析】 （1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，再作出A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点D与点C关于x轴对称，， ∴点D的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵为轴上一点，的面积为4， ∴ ， 设，则， 即或， 解得：或， P点坐标为：或． 【点睛】 本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于x轴对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 14．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是             ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 即为所求：      （2）垂直平分；     （3）如图，点即为所求点．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线． （1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； （3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 线段被直线垂直平分． 故答案为：垂直平分； (3) 小问详解： 理由：∵点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴此时最短． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点，，均在格点上． （1）已知和关于直线对称，请在图上把和补充完整； （2）在以直线为轴的坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为                                 ； （3）在直线上找出点，使最短（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，和即为所求．      （2）     （3） 点即为所求． 【分析】 本题考查了两点之间线段最短，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据轴对称的性质找到点A,，C的对称点即可求解； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解； （3）连接，与直线交于点，连接，此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得点的坐标为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：如图所示，连接交于点， 16．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】 解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向左平移个单位长度后得到的； （2）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示      （2） 如图所示      （3）      【分析】 本题主要考查平移作图，画轴对称图形以及三角形面积： （1）利用网格特点和平移的性质画出的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可，根据坐标系并写出的坐标； （3）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： ∴的面积为 18．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置． 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求， ∵A（1，1），B（4，2），C（3，4）． 又∵△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1， 关于x轴对称，对称点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为它的相反数， ∴A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）； （2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P， ∵A′、P、B三点在一直线上，利用两点之间线段最短A′B=A′P+PB=AP+PB， ∴PA+PB的值最小． 如图所示，点P即为所求． 【分析】 （1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，根据轴对称性质得到A1、B1、C1的坐标即可； （2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，此时PA+PB的值最小． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题．凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称的变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 　　　　　　　　. 【答案】12：05． 【分析】 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】 根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为12：05． 故答案为12：05． 【点睛】 本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 20．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【答案】如下图所示（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作图． 【详解】 略 21．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； （2）点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图： 点关于轴的对称点的坐标为；     （2）如图：      （3）如图： 【分析】 本题考查作轴对称图形，画对称轴，两点之间线段最短． （1）根据题意可得，，，用线段顺次连接，，，即为所求； （2）点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求； （3）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． (1) 小问详解： 解：∵，，，与关于轴， ∴，，， 用线段顺次连接，，，即为所求， 点关于轴对称的点的坐标为． (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． (3) 小问详解： 解：分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 22．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图所示，三个顶点的坐标分别为． （1）作关于x轴的对称图形，并给出三个顶点的坐标； （2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．      （2）或      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点，点和点关于轴的对称点，并顺次连接，再按要求写出它们对称点的坐标即可． （2）根据与的面积关系，可求出的长，再结合点的坐标即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题知， ． ∵， ∴， 则， 则． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为或． 23．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，． （1）画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为___________，___________，___________； （2）___________； （3）在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是___________． 【答案】（1） 如图所示； ，，；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、一次函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作出、、关于轴的对称点、、即可得到坐标； （2）根据割补法计算即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线解析式，然后求其与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，此时点的坐标是， 设解析式为，代入，， ， 解得 ， ∴解析式为， 令得，， 解得， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为． （1）请在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）的面积为___________； （4）在轴上存在点，使，则点的坐标为___________． 【答案】（1） 解：如图，      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）     （4）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，坐标与图形，解决本题的关键是根据点的坐标建立平面直角坐标系． （1）根据点A的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据图形，画出关于y轴对称的即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）把平移到，与轴交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：把平移到，与轴交点即为点，如图， 此时， 由图可得点的坐标为， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有三点． （1）若与关于轴对称．请在图中画出； （2）依次写出坐标，______，______，______； （3）求出中边上的高． 【答案】（1） 解：如图：      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了轴对称作图，根据点的位置确定坐标，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别作出点，，的对应点，，，依次连接，即可求解； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）先根据网格的特征结合勾股定理求出，，的长，得出是等腰三角形，根据格点的特征确定的中点，连接，即可根据勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：结合（1）可得：，，． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：结合（1）可得：，，， 即， 故是等腰三角形． 先取的中点，连接，则是中边上的高； 故； 在中，． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】 解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】 解：如图① ，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为；    如图② ，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D. 无法计算 【答案】A 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】D 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 先求出，由角平分线的定义可求，进而求出，，然后利用角的性质依次求解即可． 【详解】 解：， ∴ ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在中，，，P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），则的度数可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由等边对等角，得，运用三角形内角和性质，列式计算得，根据三角形外角性质，得，又因为P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），得，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∵P为上的一个动点（不与顶点A、B重合）， ∴ ∴，， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E、F，则下列四个结论：（1）； （2）上任一点到点C、点B的距离相等；（3）且；（4）；其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，判断出（1）正确； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出（2）正确； 根据等腰三角形三线合一的性质判断出（3）正确； 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，判断出（4）正确． 【详解】 ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足， ∴DE=DF，（1）正确； ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等， ∴（2），（3）正确； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C； ∵∠BED=∠DFC=90°， ∴∠BDE=∠CDF，（4）正确． ∴正确的结论为：（1）（2）（3）（4）．故答案为4. 故选D 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 7．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，，若，则等于（       ） A. 10 B.  C. 5 D. 2.5 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，，以为边作等腰，其中，E为上一点，连接，且，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（       ） A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边对等角，因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以① ③ 是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④ 是正确的，根据现有条件无法证明，故② 是错误的． 【详解】 解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故① 是正确的； ∵， ∴， ∴平分，故③ 正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④ 是正确的， 根据现有条件无法证明，故② 错误， 综上所述：其中正确的有① ③ ④ ． 故选：D． 9．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E．下述结论：①平分；②；③的周长等于；④D是中点．其中正确的命题是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的顶角为，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ∴平分，故① 正确； ∴， ，故② 正确； ∴的周长，故③ 正确； ∵， ∴不是的中点，故④ 错误． 综上所述，其中正确的命题是① ② ③． 故选：A． 10．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，由等边对等角得到，，根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差计算即可得到答案． 【详解】 解：点关于、的对称点为，， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】 解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 14．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则　　　　　　°． 【答案】19 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．由点与点关于直线对称求出，再由和求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ，即是等腰三角形， ． 故答案为：19． 15．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．求证：是的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） 【答案】证明：∵， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又∵是等腰三角形， ∴，且． ∴垂直且平分，即是的垂直平分线． 【分析】 由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． （1）求证：； （2）猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴．     （2） 是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 18．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）综合与实践 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形中，，点E是的中点，且是的平分线，探究，，之间的数量关系． 张华同学解决此问题的方法如下：如图1，延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在同一个三角形中． 问题解决： （1）请根据张华同学的思路完成解题过程； 实践应用： （2）如图2，在中，，B，D，C三点在一条直线上，且于点B，于点C．若，；点D是的中点，请直接写出的长． 【答案】（1）延长交的延长线于点F，如图1， ∵， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）的长为32 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交的延长线于点F，证明，得到，再证明，利用等角对等边，即可得出结论． （2）延长，相交于点H．证明．得到．再证明是的垂直平分线．利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】 略 （2）的长为32． 如图，延长，相交于点H． ∵，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． 又， ∴是的垂直平分线． ∴． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，一条船从海岛出发，以每小时的速度向正东方向航行．出发时观测到灯塔在海岛的北偏东方向，到达港口时，观测灯塔在港口的北偏东方向，继续航行到海岛处时，观测到灯塔在海岛的北偏西方向，此时海岛与灯塔相距，则这条船从海岛到达港口时所用的时间为　　　　　　　　　　　小时． 【答案】 【分析】 本题考查方位角，等角对等边，三角形外角的性质． 根据题意可得，，，由三角形外角的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得这条船从海岛到达港口时所用的时间． 【详解】 解：根据题意可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴这条船从海岛到达港口时所用的时间为（小时）． 故答案为：． 21．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）等腰三角形的一个内角的度数是，则它的底角的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 按照已知角为顶角或底角，进行分类讨论，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴的角可能为底角，也可能为顶角， 若的角为顶角，则它的底角的度数为， ∴它的底角的度数为或． 故答案为：或． 22．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，已知与交于． 求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， 在与中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定． 根据证明，进而得到，即可证明是等腰三角形． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：① 如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ② 如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 24．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）小明生日这天，妈妈给他买一块直角三角形蛋糕，其中一个锐角是，妈妈要求将此三角形分成三块形状、大小完全相同的蛋糕．需要聪明的你帮助小明用尺规作图（保留作图痕迹并用黑色水笔描一下，不写作法）来解决这个问题；同时用逻辑推理证明你的作法正确． 【答案】解：尺规作图保留痕迹： （二）已知：在中，，，平分，，垂足为G． 求证： 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 同理：， ∴． 【分析】 本题考查了三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解题意，先作出的平分线，再作出的垂直平分线．然后先运用三角形内角性质，得，由角平分线的定义得，又因为，则，证明，同理：，即可作答． 【详解】 解：① 以A为圆心，任意长为半径画弧：交于点E，交于点F． ② 分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于内部一点G． ③ 作射线：交于点D，即为的平分线（）． ④ 以D为圆心，适当长为半径画弧：交于两点H、I．分别以H、I为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于下方一点J． ⑤ 作直线：交于点G，此时（）． 连接线段，得到三个全等三角形 连接、，则、、即为所求的三个全等直角三角形（均含角，大小形状相同）． 25．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 根据全等三角形的判定先判断，得到，根据等腰三角形的性质即可知的度数． 【详解】 解： ∵， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在中，分别是上的点，与相交于点，现有以下条件：①，②，③．请从中选择两个作为已知条件，证明是等腰三角形． 【答案】选择条件① ② ．证明如下： ． ， ， 即 ， 是等腰三角形； 选择条件① ③ ，证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ． ， 即 ， 是等腰三角形； 选择条件② ③ ，证明如下： ∵，，， ∴， ∴ ． ， 即 ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：选择条件① ② ，根据等边对等角，得到，角的和差关系推出即可得证；选择条件① ③ ，先证明，得到，再推出即可得证；选择条件② ③ ，先证明，得到，得到，角的和差关系推出即可得证． 【详解】 解：略． 27．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）① 作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ② 作，交于点，证明即可得到答案 【详解】 解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ② 略 （2）① 略 ② 在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 28．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； （2）第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． （3）第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 【答案】（1）     （2） 线段的长度就是河宽的长度，理由如下： 由题意，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的长度就是河宽的长度．     （3） 第三小组的方案可行，证明如下： 延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第三小组的方案可行．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （2）证明，所以，从而求解； （3）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解 (1) 小问详解： 解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】 解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 30．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在中，，点D是的中点，交于E，点O在上，，，，则的长为　　　　　　 【答案】4 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】 解：连接，作于点， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 31．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当D，F，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，解答即可． 【详解】 解：过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D，F，C三点共线时，取得最小值， 即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 32．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，八年一班的同学在学校操场由西向东跑步，在M处测得旗杆顶P的方位是北偏东，又继续跑步米，在N处测得旗杆顶P的方位是北偏东． （1）此时队伍到旗杆底部的距离是多少米． （2）若旗杆周围米内有施工围帐，如果该班级队伍继续向东跑步，请问围帐对跑步线路有没有影响？请说明理由． 【答案】（1）（米）     （2） 不影响跑步路线， 理由： 在中，∵， ∴（米）， ∵P点周围米有围帐，P到直线的距离米， ∴不影响跑步路线．      【分析】 本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握含度直角三角形的性质是解题的关键， （1）过点P作的垂线，由题意得，从而得到，即可求解； （2）在中，由于，再根据直角三角形的性质得到，从而得到答案． (1) 小问详解： 解：过点P作的垂线，垂足为C，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）平面直角坐标系中，点，点，已知a、b满足 （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）如图1，点E为线段上一点，连接AE，过A作，且，连接交x轴于点D，若点，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过E作交于H，点M是射线上一点（点M不在线段上），连接，作，交线段的延长线于点N，连接，探究线段与的关系并证明． 【答案】（1），     （2）     （3），， 证明：连接，过点N作，交延长线于点G，作，交延长线于点F，连接，过点O作，交的延长线于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，．      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，绝对值的非负性，等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据绝对值和完全平方式的非负性求解即可； （2）过F作，证明，则，，再证明，则，得到，则，即可求出答案； （3）过点N作，交延长线于点G，作，交延长线于点F，连接，过点O作，交的延长线于点P，证明都是等腰直角三角形，则，，证明，得到，，再证明，则，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：过F作， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，的两条高与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则__________°，__________； （3） F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，直接写出t的值． 【答案】（1） 证明： ∵的两条高与交于点O， ∴，， ， ， ． 又，， ， ．     （2），     （3）或2．      【分析】 （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）先证明，再结合三角形的内角和定理与外角的性质可得答案； （3）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，全等，根据对应边相等求得值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置， ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质的应用，四边形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，，△ABC为等边三角形，若，则∠2的度数为（          ） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 【答案】A 【分析】 由△ABC为等边三角形，可知内角为60°，且∠1＝45°，可得到∠ACB与∠1度数之和，根据平行线的性质，即可求得∠2的度数． 【详解】 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠1＝45°， ∴∠ACB＋∠1＝60°+45°＝105°， 又∵， ∴∠2＝105°． 故选：A． 【点睛】 本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键． 2．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）已知等边三角形边长为2，则其面积为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积等．理解等腰三角形的三线合一是解决此类题目的关键．由勾股定理求得高的长，所以三角形面积公式即可求得． 【详解】 解：如图，边长为的等边三角形，于点D， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】 ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，则它所爬行的最短路线的长是（       ） A. 10 B. 14 C.  D. 8 【答案】A 【分析】 根据两点之间直线段最短和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】 将长方体展开，分两种情况， 第一种展开方式如下图： ∵两点之间直线段最短 ∴最短路径为AB 结合题意得： 第二种展开方式如下图： 结合题意得： ∵ ∴A点沿纸箱爬到B点，所爬行的最短路线的长是10 故选：A． 【点睛】 本题考查了最短路径和勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 5．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，若线段上有一动点C，分别以为边在同方向作等边和等边，连接，交于点E，连接，交于点F，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出① ②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】 解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故① ②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有① ② ③ ⑤； 故选：B． 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）， 证明：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 结论：． 理由：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 【分析】 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可． 【详解】 解：（1）当时， ， ； 故答案为：； （2）添加一个条件，可得为等边三角形；理由： ∵，， ∴为等边三角形； 故答案为：； 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________；                 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1），     （2） 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【分析】 本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． (1) 小问详解： 解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 9．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到① 正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③ 正确，根据线段的和差关系即可证明④ 正确，无法证明，以及． 【详解】 解：是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故① 正确； ， ， ， ， ，③ 正确； ， ， ，故④ 正确； 无法证明，以及，故② 和⑤ 错误； 故答案为：① ③ ④ ． 10．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：为等边三角形，为等边三角形， ，， ， ．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，得到，然后计算，接着通过算得答案； （2）先证明，结合，从而得证． (1) 小问详解： 解：为等边三角形，是边上的中线， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； (2) 小问详解： 略． 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是　　　　　． ①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出① 正确，然后通过求证和全等，推出② 正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出③ 正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出，便可推出结论④ ． 【详解】解：∵，， ∴在的平分线上 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴① ② ③ ④ 项四个结论都正确． 故答案是：① ② ③ ④ 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、直角三角形的性质、平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定，认真推理计算相关的等量关系． 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　　　　　　　　°． 【答案】60 【分析】 连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 13．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：；     （2） 解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形．      【分析】 （1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 14．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，分别以的边，向外作等边三角形 和等边三角形，线段与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的度数为；     （3） 证明：过点分别作，，垂足为点，， 由（）知：， ∴， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，即平分．      【分析】 本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案； （）过点分别作，，垂足为点，，根据三角形的面积公式求出，根据角平分线的判定即可求证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； (3) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 【答案】（1）证明：如图，连结， ， ， 又， ． （2）证明：连接，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的高，找到三角形的高并利用三角形的面积换算是解题的关键． (1) 连结，再利用三角形面积相等列出，即可证明； (2) 连接，，，再找到三角形面积相等列出，即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．A 2．A 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．A 13．D 14．D 15．D 16．D 17．C 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．由翻折的性质得到，根据四边形内角和定理得到，再利用邻补角的性质求出答案． 【详解】 解：将折叠，为折痕，A点落在的位置，若， ， 在四边形中，， ， ． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查折叠的性质，由折叠的性质，，根据平角的定义求解．解题的关键是掌握：① 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；② 平角是求解． 【详解】 解：∵在长方形中，沿边折叠，， ∴， ∴． 即的度数为． 故答案为：． 20．【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 21．【答案】 【分析】 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，四边形内角和定理，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键． 由平行的性质可得，由折叠的性质可得，再根据四边形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵长方形纸片沿折叠后，点分别落在点、的位置， ∴，， ∴在四边形中，， ∴， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．A 2．B 3．B 4．C 5．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 6．【答案】① 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角    ② 假 【分析】 交换逆命题将原命题的题设和结论即可；根据对顶角的定义判定逆命题的真假． 【详解】 原命题的题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 题设和结论互换后即为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 根据对顶角的定义：对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；故原命题的逆命题是假命题． 故答案为：① 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；② 假． 【点睛】 本题考查了命题：一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题，对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键． 7．【答案】11 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8．【答案】① 对应角相等的两个三角形全等    ② 不成立 【分析】 本题考查了命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．原命题的条件是“三角形全等”，结论是“对应角相等”，因此逆命题为“对应角相等的三角形全等”．但对应角相等只能推出三角形相似，不一定全等，故逆命题不成立． 【详解】 解：原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”． 根据三角形全等的判定定理，对应角相等是三角形相似的条件，但并非全等的充分条件． 因此，逆命题不成立． 故答案为对应角相等的三角形全等、不成立． 9．【答案】2 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．证明是的垂直平分线，得，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：点C是的中点，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 即橡皮筋被拉长了， 故答案为：． 10．【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2）①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥.      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤；⑥. 11．【答案】（1） 如图，点即为所作； ．     （2） 所求图形如图所示． 【分析】 本题考查了作垂直平分线，角平分线，作一个角等于已知角，垂直平分线的性质，角平分线的性质． （1）作的角平分线与的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （2）作，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】30 【分析】 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明△的周长可得结论． 【详解】 解：垂直平分线段， ，， ， △的周长， △的周长． 故答案为：30． 13．【答案】13 【详解】 解：DE是AB的垂直平分线， 所以EA=EB， 所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 故答案为：13． 14．【答案】（1） 证明：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上．     （2）的度数为      【分析】 本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，可得，根据线段垂直平分线的判定，即可证得结论； （2）由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得，，利用三角形的内角和定理可求得，最后再利用三角形的内角和定理和角度的和差运算，即可得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵垂直平分，垂直平分，点在上，点在上， ∴，，， ∴，， 设，，  ∵  ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 15．【答案】如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】 略 16．【答案】（1） 解：如图，为边上的中线．      （2） 解：如图，为边上的高． ；     （3）5      【分析】 本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）利用垂线的作法作图即可； （3）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． (2) 小问详解： 解：过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． (3) 小问详解： 解：，高， ． 是的中线， ． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到关于，的方程，求解后代入式子即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】（1） 解：如图所示，点      （2）2     （3） 如图所示，在轴上取点，连接，       【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小问题，求三角形的面积， 对于（1），先作三个顶点关于x轴的对称点，再依次连接即可； 对于（2），根据矩形的面积减去三个三角形的面积解答； 对于（3），先作点A关于y轴的对称点，可得，根据三角形两边之和大于第三边得，即可得出最小值，观察图象得出坐标即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：作点A关于y轴的对称点，可得， ∴点三点共线时，交y轴于点，此时的点即为所求点的位置， 则， ∴线段的最小值为， 点P的坐标为． 11．【答案】5 【分析】 本题考查关于轴对称的点的特征，根据题意得： ，求解即可得出答案． 【详解】 解：根据题意得： ， 解得： ， ∴， 故答案为：． 12．【答案】（1） 即为所求；      （2） 点P即为所求： P点的坐标为．     （3）5      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小 （3）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 13．【答案】（1） 解：在平面直角坐标系中描点，则和即为所求作三角形，如图所示：         （2）     （3）或      【分析】 （1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，再作出A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点D与点C关于x轴对称，， ∴点D的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵为轴上一点，的面积为4， ∴ ， 设，则， 即或， 解得：或， P点坐标为：或． 【点睛】 本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于x轴对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 14．【答案】（1） 即为所求：      （2）垂直平分；     （3）如图，点即为所求点．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线． （1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； （3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 线段被直线垂直平分． 故答案为：垂直平分； (3) 小问详解： 理由：∵点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴此时最短． 15．【答案】（1） 如图，和即为所求．      （2）     （3） 点即为所求． 【分析】 本题考查了两点之间线段最短，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据轴对称的性质找到点A,，C的对称点即可求解； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解； （3）连接，与直线交于点，连接，此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得点的坐标为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：如图所示，连接交于点， 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】 解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 17．【答案】（1） 如图所示      （2） 如图所示      （3）      【分析】 本题主要考查平移作图，画轴对称图形以及三角形面积： （1）利用网格特点和平移的性质画出的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可，根据坐标系并写出的坐标； （3）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： ∴的面积为 18．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求， ∵A（1，1），B（4，2），C（3，4）． 又∵△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1， 关于x轴对称，对称点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为它的相反数， ∴A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）； （2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P， ∵A′、P、B三点在一直线上，利用两点之间线段最短A′B=A′P+PB=AP+PB， ∴PA+PB的值最小． 如图所示，点P即为所求． 【分析】 （1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，根据轴对称性质得到A1、B1、C1的坐标即可； （2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，此时PA+PB的值最小． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题．凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称的变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19．【答案】12：05． 【分析】 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】 根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为12：05． 故答案为12：05． 【点睛】 本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 20．【答案】如下图所示（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作图． 【详解】 略 21．【答案】（1）如图： 点关于轴的对称点的坐标为；     （2）如图：      （3）如图： 【分析】 本题考查作轴对称图形，画对称轴，两点之间线段最短． （1）根据题意可得，，，用线段顺次连接，，，即为所求； （2）点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求； （3）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． (1) 小问详解： 解：∵，，，与关于轴， ∴，，， 用线段顺次连接，，，即为所求， 点关于轴对称的点的坐标为． (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． (3) 小问详解： 解：分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 22．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．      （2）或      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点，点和点关于轴的对称点，并顺次连接，再按要求写出它们对称点的坐标即可． （2）根据与的面积关系，可求出的长，再结合点的坐标即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题知， ． ∵， ∴， 则， 则． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为或． 23．【答案】（1） 如图所示； ，，；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、一次函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作出、、关于轴的对称点、、即可得到坐标； （2）根据割补法计算即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线解析式，然后求其与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，此时点的坐标是， 设解析式为，代入，， ， 解得 ， ∴解析式为， 令得，， 解得， ∴． 故答案为：． 24．【答案】（1） 解：如图，      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）     （4）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，坐标与图形，解决本题的关键是根据点的坐标建立平面直角坐标系． （1）根据点A的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据图形，画出关于y轴对称的即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）把平移到，与轴交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：把平移到，与轴交点即为点，如图， 此时， 由图可得点的坐标为， 故答案为：． 25．【答案】（1） 解：如图：      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了轴对称作图，根据点的位置确定坐标，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别作出点，，的对应点，，，依次连接，即可求解； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）先根据网格的特征结合勾股定理求出，，的长，得出是等腰三角形，根据格点的特征确定的中点，连接，即可根据勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：结合（1）可得：，，． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：结合（1）可得：，，， 即， 故是等腰三角形． 先取的中点，连接，则是中边上的高； 故； 在中，． 考点04 等腰三角形 1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．【答案】 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】 解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 13．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 14．【答案】19 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．由点与点关于直线对称求出，再由和求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ，即是等腰三角形， ． 故答案为：19． 15．【答案】证明：∵， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又∵是等腰三角形， ∴，且． ∴垂直且平分，即是的垂直平分线． 【分析】 由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 【详解】 略 16．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴．     （2） 是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】2 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 18．【答案】（1）延长交的延长线于点F，如图1， ∵， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）的长为32 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交的延长线于点F，证明，得到，再证明，利用等角对等边，即可得出结论． （2）延长，相交于点H．证明．得到．再证明是的垂直平分线．利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】 略 （2）的长为32． 如图，延长，相交于点H． ∵，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． 又， ∴是的垂直平分线． ∴． 19．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】 【分析】 本题考查方位角，等角对等边，三角形外角的性质． 根据题意可得，，，由三角形外角的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得这条船从海岛到达港口时所用的时间． 【详解】 解：根据题意可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴这条船从海岛到达港口时所用的时间为（小时）． 故答案为：． 21．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 按照已知角为顶角或底角，进行分类讨论，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴的角可能为底角，也可能为顶角， 若的角为顶角，则它的底角的度数为， ∴它的底角的度数为或． 故答案为：或． 22．【答案】证明：， ， 在与中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定． 根据证明，进而得到，即可证明是等腰三角形． 【详解】 略 23．【答案】或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：① 如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ② 如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 24．【答案】解：尺规作图保留痕迹： （二）已知：在中，，，平分，，垂足为G． 求证： 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 同理：， ∴． 【分析】 本题考查了三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解题意，先作出的平分线，再作出的垂直平分线．然后先运用三角形内角性质，得，由角平分线的定义得，又因为，则，证明，同理：，即可作答． 【详解】 解：① 以A为圆心，任意长为半径画弧：交于点E，交于点F． ② 分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于内部一点G． ③ 作射线：交于点D，即为的平分线（）． ④ 以D为圆心，适当长为半径画弧：交于两点H、I．分别以H、I为圆心，大于长为半径画弧：两弧交于下方一点J． ⑤ 作直线：交于点G，此时（）． 连接线段，得到三个全等三角形 连接、，则、、即为所求的三个全等直角三角形（均含角，大小形状相同）． 25．【答案】F度 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 根据全等三角形的判定先判断，得到，根据等腰三角形的性质即可知的度数． 【详解】 解： ∵， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 26．【答案】选择条件① ② ．证明如下： ． ， ， 即 ， 是等腰三角形； 选择条件① ③ ，证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ． ， 即 ， 是等腰三角形； 选择条件② ③ ，证明如下： ∵，，， ∴， ∴ ． ， 即 ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：选择条件① ② ，根据等边对等角，得到，角的和差关系推出即可得证；选择条件① ③ ，先证明，得到，再推出即可得证；选择条件② ③ ，先证明，得到，得到，角的和差关系推出即可得证． 【详解】 解：略． 27．【答案】（1）①； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）① 作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ② 作，交于点，证明即可得到答案 【详解】 解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ② 略 （2）① 略 ② 在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 28．【答案】（1）     （2） 线段的长度就是河宽的长度，理由如下： 由题意，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的长度就是河宽的长度．     （3） 第三小组的方案可行，证明如下： 延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第三小组的方案可行．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （2）证明，所以，从而求解； （3）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解 (1) 小问详解： 解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 29．【答案】 【分析】 本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】 解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 30．【答案】4 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】 解：连接，作于点， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 31．【答案】 【分析】 过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当D，F，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，解答即可． 【详解】 解：过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D，F，C三点共线时，取得最小值， 即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 32．【答案】（1）（米）     （2） 不影响跑步路线， 理由： 在中，∵， ∴（米）， ∵P点周围米有围帐，P到直线的距离米， ∴不影响跑步路线．      【分析】 本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握含度直角三角形的性质是解题的关键， （1）过点P作的垂线，由题意得，从而得到，即可求解； （2）在中，由于，再根据直角三角形的性质得到，从而得到答案． (1) 小问详解： 解：过点P作的垂线，垂足为C，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1），     （2）     （3），， 证明：连接，过点N作，交延长线于点G，作，交延长线于点F，连接，过点O作，交的延长线于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，．      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，绝对值的非负性，等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据绝对值和完全平方式的非负性求解即可； （2）过F作，证明，则，，再证明，则，得到，则，即可求出答案； （3）过点N作，交延长线于点G，作，交延长线于点F，连接，过点O作，交的延长线于点P，证明都是等腰直角三角形，则，，证明，得到，，再证明，则，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：过F作， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 34．【答案】（1） 证明： ∵的两条高与交于点O， ∴，， ， ， ． 又，， ， ．     （2），     （3）或2．      【分析】 （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）先证明，再结合三角形的内角和定理与外角的性质可得答案； （3）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，全等，根据对应边相等求得值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置， ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质的应用，四边形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 考点05 等边三角形 1．A 2．D 3．B 4．A 5．B 6．【答案】（1）； （2）， 证明：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 结论：． 理由：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 【分析】 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可． 【详解】 解：（1）当时， ， ； 故答案为：； （2）添加一个条件，可得为等边三角形；理由： ∵，， ∴为等边三角形； 故答案为：； 7．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．【答案】（1），     （2） 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【分析】 本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． (1) 小问详解： 解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 9．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到① 正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③ 正确，根据线段的和差关系即可证明④ 正确，无法证明，以及． 【详解】 解：是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故① 正确； ， ， ， ， ，③ 正确； ， ， ，故④ 正确； 无法证明，以及，故② 和⑤ 错误； 故答案为：① ③ ④ ． 10．【答案】（1）     （2） 证明：为等边三角形，为等边三角形， ，， ， ．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，得到，然后计算，接着通过算得答案； （2）先证明，结合，从而得证． (1) 小问详解： 解：为等边三角形，是边上的中线， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； (2) 小问详解： 略． 11．【答案】① ② ③ ④ 【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出① 正确，然后通过求证和全等，推出② 正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出③ 正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出，便可推出结论④ ． 【详解】解：∵，， ∴在的平分线上 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴① ② ③ ④ 项四个结论都正确． 故答案是：① ② ③ ④ 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、直角三角形的性质、平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定，认真推理计算相关的等量关系． 12．【答案】60 【分析】 连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 13．【答案】（1） 证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：；     （2） 解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形．      【分析】 （1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 14．【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的度数为；     （3） 证明：过点分别作，，垂足为点，， 由（）知：， ∴， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，即平分．      【分析】 本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案； （）过点分别作，，垂足为点，，根据三角形的面积公式求出，根据角平分线的判定即可求证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； (3) 小问详解： 略 15．【答案】（1）证明：如图，连结， ， ， 又， ． （2）证明：连接，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的高，找到三角形的高并利用三角形的面积换算是解题的关键． (1) 连结，再利用三角形面积相等列出，即可证明； (2) 连接，，，再找到三角形面积相等列出，即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）花钿（diàn）是我国古代女子用来贴在两鬓、眉间或面颊上的一种花朵形装饰物．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）下面图形分别是节水、农食产品认证、绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）观察下图中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为（       ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）中国传统文化之一的剪纸蕴含了丰富的文化历史信息，表达了人民群众的社会道德观念、生活理想和审美情趣，某校学生利用活动课学习剪纸，在以下的剪纸作品属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）图中是我们学习几何时常用的画图工具，其中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，分别以长方形的边所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为．将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交边于点，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在长方形中，沿边折叠，，则的度数为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，则　　　　　　°． 考点02 线段的垂直平分线 1．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 2．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，直线交于点，则的周长为（     ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 4 3．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 5．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　，逆命题是　　　　　命题．（填“真”或“假”） 7．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，则的周长为　　　　　． 8．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，逆命题　　　　　　　　　　　（填“成立”或“不成立”）. 9．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了　　　　　　 10．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴___________①___________（     ②       ）， ∵是的垂直平分线， ∴，___________③___________， 又∵ ∴（     ④       ）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（   ⑥   ）， ∴． 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）尺规作图：按下列要求用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点、的距离相等．（不需要证明）                （2）如图②，点在射线上，使用尺规作图法在上求一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　　　　　　　． 14．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，直线相交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 16．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，是钝角． （1）画出边上的中线； （2）画出边上的高； （3）若，求的面积． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）点与点关于轴对称，则点的坐标为（          ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）点（3，-2）关于x轴的对称点是（          ） A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 3．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为(       ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（     ） A.  B.  C. 1 D.  8．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　． 9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为　　　　　　． 10．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若在y轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 11．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）已知和关于轴对称，则　　　　　　． 12．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于x轴成轴对称，作出； （2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______； （3）计算的面积． 13．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    （1）在平面直角坐标系中画出，并画出关于y轴对称的； （2）若点D与点C关于x轴对称，则点D的坐标为________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 14．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是             ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点，，均在格点上． （1）已知和关于直线对称，请在图上把和补充完整； （2）在以直线为轴的坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为                                 ； （3）在直线上找出点，使最短（保留作图痕迹）． 16．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是　　　　　　　　 17．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向左平移个单位长度后得到的； （2）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （3）求的面积． 18．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 　　　　　　　　. 20．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 21．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； （2）点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 22．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图所示，三个顶点的坐标分别为． （1）作关于x轴的对称图形，并给出三个顶点的坐标； （2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标． 23．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，． （1）画出关于轴成轴对称的，三个顶点坐标分别为___________，___________，___________； （2）___________； （3）在轴上求一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是___________． 24．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为． （1）请在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）的面积为___________； （4）在轴上存在点，使，则点的坐标为___________． 25．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有三点． （1）若与关于轴对称．请在图中画出； （2）依次写出坐标，______，______，______； （3）求出中边上的高． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为(     ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D. 无法计算 4．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在中，，，是的平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 5．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在中，，，P为上的一个动点（不与顶点A、B重合），则的度数可能是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E、F，则下列四个结论：（1）； （2）上任一点到点C、点B的距离相等；（3）且；（4）；其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，，若，则等于（       ） A. 10 B.  C. 5 D. 2.5 8．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，，以为边作等腰，其中，E为上一点，连接，且，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（       ） A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 9．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E．下述结论：①平分；②；③的周长等于；④D是中点．其中正确的命题是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度　　　　　米． 12．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 14．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则　　　　　　°． 15．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．求证：是的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） 16．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． （1）求证：； （2）猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 17．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）综合与实践 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形中，，点E是的中点，且是的平分线，探究，，之间的数量关系． 张华同学解决此问题的方法如下：如图1，延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在同一个三角形中． 问题解决： （1）请根据张华同学的思路完成解题过程； 实践应用： （2）如图2，在中，，B，D，C三点在一条直线上，且于点B，于点C．若，；点D是的中点，请直接写出的长． 19．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． （1）求证：； （2）如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 20．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，一条船从海岛出发，以每小时的速度向正东方向航行．出发时观测到灯塔在海岛的北偏东方向，到达港口时，观测灯塔在港口的北偏东方向，继续航行到海岛处时，观测到灯塔在海岛的北偏西方向，此时海岛与灯塔相距，则这条船从海岛到达港口时所用的时间为　　　　　　　　　　　小时． 21．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）等腰三角形的一个内角的度数是，则它的底角的度数为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，已知与交于． 求证：是等腰三角形． 23．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）小明生日这天，妈妈给他买一块直角三角形蛋糕，其中一个锐角是，妈妈要求将此三角形分成三块形状、大小完全相同的蛋糕．需要聪明的你帮助小明用尺规作图（保留作图痕迹并用黑色水笔描一下，不写作法）来解决这个问题；同时用逻辑推理证明你的作法正确． 25．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数　　　　　　． 26．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在中，分别是上的点，与相交于点，现有以下条件：①，②，③．请从中选择两个作为已知条件，证明是等腰三角形． 27．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 28．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图，观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 如图，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 ___________ 的长度； （2）第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长？并说明理由． （3）第三小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 29．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为　　　　　． 30．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在中，，点D是的中点，交于E，点O在上，，，，则的长为　　　　　　 31．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，八年一班的同学在学校操场由西向东跑步，在M处测得旗杆顶P的方位是北偏东，又继续跑步米，在N处测得旗杆顶P的方位是北偏东． （1）此时队伍到旗杆底部的距离是多少米． （2）若旗杆周围米内有施工围帐，如果该班级队伍继续向东跑步，请问围帐对跑步线路有没有影响？请说明理由． 33．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）平面直角坐标系中，点，点，已知a、b满足 （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）如图1，点E为线段上一点，连接AE，过A作，且，连接交x轴于点D，若点，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过E作交于H，点M是射线上一点（点M不在线段上），连接，作，交线段的延长线于点N，连接，探究线段与的关系并证明． 34．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，的两条高与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则__________°，__________； （3） F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，直接写出t的值． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，，△ABC为等边三角形，若，则∠2的度数为（          ） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 2．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）已知等边三角形边长为2，则其面积为（     ） A. 2 B. 4 C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，则它所爬行的最短路线的长是（       ） A. 10 B. 14 C.  D. 8 5．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，若线段上有一动点C，分别以为边在同方向作等边和等边，连接，交于点E，连接，交于点F，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 8．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________；                 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）在等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接，求的度数． （2）求证：． 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是　　　　　． ①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　　　　　　　　°． 13．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 14．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，分别以的边，向外作等边三角形 和等边三角形，线段与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 15．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $