精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区2025-2026学年上学期期中学业水平质量监测八年级数学试卷

2025—2026学年上学期期中学业水平质量监测八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A. AB＝DE B. ∠ACB＝∠DCE C. ∠ACD＝∠BCE D. ∠B＝∠E 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，则等于（ ） A. 10 B. C. 5 D. 2.5 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共12分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是_____度． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，则的周长为_____． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则______°． 三．解答题 15. 计算： （1） （2） （3） 16. （1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 17. 9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 18. 如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是 ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．求证：是的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） 20. 李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． （1）请根据小明的批注补全解题过程； （2）请利用小明的解题方法计算：． 21. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 22. 如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期中学业水平质量监测八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共30分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：“全”字是轴对称图形， 故选：A ． 2. 下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】验证每组中两较短线段的长度和是否大于最长线段，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、B、C选项中，两条较短线段的长度和等于最长线段，均不能构成三角形． D选项中，，能构成三角形． 3. 点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于y轴对称的点，其纵坐标不变，横坐标变为它的相反数，根据这一特点即可完成． 【详解】∵点与点关于轴对称 ∴点Q的纵坐标仍为4，横坐标为－3 ∴点的坐标为 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点关于y轴对称的坐标特征，掌握这个特征是关键． 4. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：C． 5. 如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A. AB＝DE B. ∠ACB＝∠DCE C. ∠ACD＝∠BCE D. ∠B＝∠E 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵AC＝DC，BC＝EC， ∴AB=DE,满足SSS，故可保证△ABC≌△DEC； ∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； ∵∠ACD＝∠BCE ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD,即∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； 由∠B＝∠E，AC＝DC，BC＝EC，满足的是SSA，不能判定△ABC≌△DEC． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定法则是解答本题的关键，SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解题的关键．依次对每个选项根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则进行计算，判断正误． 【详解】解：，选项A正确； 与不是同类项，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误． 故选：A． 7. 如图，，若，则等于（ ） A. 10 B. C. 5 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积； 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 9. 如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，同理，则． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点P1，P2，P3，P4的坐标，从而发现点的坐标以4为周期，作循环往复的周期变化，即可解决问题． 【详解】解：∵点P坐标为（0，2），点A坐标为（1，1）， ∴点P关于点A的对称点P1的坐标为（2，0）， 点P1关于点B（1，-1）的对称点P2的坐标（0，-2）， 点P2关于点C（-1，-1）的对称点P3的坐标为（-2，0）， 点P3关于点D（-1，1）的对称点P4的坐标为（0，2）， 即点P4与点P重合了； ∵2018=4×504+2， ∴点P2018的坐标为（0，-2）， 故选C． 【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以探索点的坐标的变化规律为考查的核心构造而成；解题的关键是首先探索出个别点的坐标的变化规律，然后从特殊到一般去发现一般规律，进而利用规律去解决问题． 二．填空题（每题3分，共12分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是_____度． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，则的周长为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则______°． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．由点与点关于直线对称求出，再由和求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ，即是等腰三角形， ． 故答案为：19． 三．解答题 15. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算的，再合并同类项即可得答案. （2）先根据积的乘方法则、幂的乘方法则计算的，最后再合并同类项即可得答案. （3）先根据积的乘方法则的逆运算计算的得，再根据同底数幂的乘法逆运算计算，进一步计算即可得答案. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 16. （1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 17. 9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 【答案】（1）稳定 （2） 解：是和的中点， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，全等三角形的判定和性质． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【小问1详解】 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； 【小问2详解】 略 18. 如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）连接，直线l与线段的关系是 ； （3）在直线上确定一点，使得最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 即为所求： （2）垂直平分； （3）如图，点即为所求点． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线． （1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； （3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴的交点即为所求点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 线段被直线垂直平分． 故答案为：垂直平分； 【小问3详解】 理由：∵点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴此时最短． 19. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．求证：是的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） 【答案】证明：∵， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又∵是等腰三角形， ∴，且． ∴垂直且平分，即是的垂直平分线． 【解析】 【分析】由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 【详解】略 20. 李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． （1）请根据小明的批注补全解题过程； （2）请利用小明的解题方法计算：． 【答案】（1） 解：原式 ； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算（的逆用）和有理数的幂运算，解题的关键是将指数相同的项分组，利用积的乘方逆运算简化计算，降低高次幂运算的难度． （1）先将转化为，使其与指数一致；再用积的乘方逆运算合并这两项，得到；最后拆分为，与再次用积的乘方逆运算合并，计算结果． （2）将指数相同的与、与分别分组；每组用积的乘方逆运算计算，再将两组结果相乘得最终答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 21. 解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）；；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）， 证明：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 结论：． 理由：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：（1）当时， ， ； 故答案为：； （2）添加一个条件，可得为等边三角形；理由： ∵，， ∴为等边三角形； 故答案为：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $