专题01 三角形（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期

专题01 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．A 2．C 考点02 三角形的边 1．D 2．C 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．A 9．A 10．B 11．D 12．B 13．B 14．C 15．D 16．C 17．B 18．【答案】利用三角形的稳定性 【分析】 本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】 解：工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是利用三角形的稳定性． 故答案为：利用三角形的稳定性． 19．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】 解：这种方法是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 20．【答案】15 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 21．【答案】 【分析】 本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：． 22．【答案】22 【分析】 本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 23．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 先根据三角形的三边关系得出，再化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】 解：∵是的三条边长， ∴， 即， ∴ . 故答案为：． 24．【答案】（1）     （2）当时，周长最大，最大值是9      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键； （1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得到的取值范围； （2）根据（1）中的范围，可知时周长最大，计算出周长的最大值即可． (1) 小问详解： ∵三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 故答案为：． (2) 小问详解： 由（1）知： ∵x为整数值，且三角形周长最大， ∴当时，周长最大，最大值是， 故答案为：当时，周长最大，最大值是9． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．【答案】中线 【分析】 本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】 解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故答案为：中线． 9．【答案】11 【分析】 本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出．先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式即可得解． 【详解】 解：是的中线， ， 的周长为9， 即， ， 的周长． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 根据三角形的中线平分面积进行计算即可． 【详解】 解：∵E、F分别是线段、的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：． 11．【答案】8cm 【分析】 由三角形中线的定义得到BD=CD，根据△ABD和△ADC的周长差是4cm即可求得结论． 【详解】 解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD = CD， ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm， ∴AB + AD + BD – (AC + AD + CD) = AB + AD + BD – AC – AD – BD = AB – AC = 4cm， ∵AB = 12cm， ∴AC = AB – 4cm = 8cm． 【点睛】 本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到BD=CD是解决问题的关键． 12．【答案】12 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 【详解】 是的中点，， ， 是的中点， ，， ， ∴的面积． 故答案为：12． 13．【答案】或． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的周长、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得：将分成两个三角形的周长差为，再分或两种情况，分别根据三角形的周长列等式求解即可． 【详解】 解：∵是腰上的中线． ． ， ∴的周长与的周长之差为． ∵的周长为， ∴，即① ， ∵将的周长分成差为的两部分， ∴当② 时， ① ② 联立解得：， 由，则能组成三角形， ∴的边长； 当③ 时， ① ③ 联立解得：， ∴的边长． 由，则能组成三角形， ∴的边长． 综上，的三边分别为或． 14．【答案】1 【分析】 根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】 解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 考点04 三角形的内角 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．【答案】80° 【分析】 根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】 解：是边上的高， 是的平分线 【点睛】 本题主要考查了三角形的角平分线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9．【答案】65° 【详解】分析：先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 详解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°﹣15°=75°．        ∵∠C=35°，∴∠CAD=75°﹣35°=40°．        ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°， ∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．        故答案为65°． 点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 10．【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． (1) 小问详解： 解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高线、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据是的高，结合已知可得，根据是的角平分线，得出，进而求得，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】 解：是的高，， 是的角平分线， 12．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． (1) 小问详解： 解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 14．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是理解题意，利用数形结合的思想进行解答． 先求得，再根据，求出的度数，即可由求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．【答案】（1）∠AEF＝72°     （2） 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，                                                   ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD，                                            ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE．      【分析】 （1）由AD⊥BC得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据等角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 再结合角平分线的性质进一步可求得∠AEF的度数； （2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由等角的余角相等进一步证明即可． (1) 小问详解： 解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°，    ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，直角三角形两锐角互余等，解题关键是分清各角之间的关系． 16．【答案】（1）79°     （2）12      【分析】 本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ， ． 平分， ． ； (2) 小问详解： 解：点为的中点， ． 与的周长差为5， ， ， ， ． 17．【答案】 【分析】 本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．【答案】12 【分析】 本题考查勾股定理解决实际问题．在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】 解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为． 故答案为：12． 8．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】 解：∵ ∴ 又∵是高，    ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 9．【答案】（1），理由见详解     （2）小亮跑的路线更短      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． (1) 小问详解： 解：， 理由：由题意可知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 10．【答案】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，证明结论． 【详解】 略 11．【答案】（1）180米     （2）珍珍的观点正确，见解析      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； (2) 小问详解： 解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 12．【答案】（1）     （2）或     （3）或或      【分析】 本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意，知． ① 如图① ，当为直角时，点与点重合，，即； ② 如图② ，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． (3) 小问详解： 解：① 如图③ ，当时，； ② 如图④ ，当时，，所以； ③ 如图⑤ ，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 13．【答案】（1）是直角三角形．     （2）216平方米．      【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、以及直角三角形面积公式．熟练掌握勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）这块地的面积，代入数据即可得出结果． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示， ， ， ， 是直角三角形． (2) 小问详解： 解：这块地的面积 （）， 即这块地的面积是216平方米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】 解：如图，    中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】 本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】 解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】 解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 2．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列各组线段中能组成三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，通常只需验证较短两边之和是否大于最长边即可． 【详解】 解：A、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意； C、，所以能组成三角形，故该选项符合题意； D、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选D． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用.． 4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案． 【详解】 解：由，故A不符合题意； 由，故B不符合题意； 由，故C不符合题意； 由，故D符合题意； 故选D 5．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，为防止门框变形，赵师傅在门上钉了两根斜拉的木条，运用的原理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【分析】 利用三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】 解：按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的，），其中运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 6．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】 A：∵，∴ 不能构成三角形； B：∵，∴ 不能构成三角形； C：∵，∴ 能构成三角形； D：∵，∴ 不能构成三角形， 故选：C． 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，为了估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是（        ） A. 4米 B. 14米 C. 16米 D. 22米 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．连接，根据三角形的三边关系求出的范围，即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接， 米，米， ∴， 即， 故选：． 8．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系定理分别判断即可． 【详解】 解：A：较小两边之和：，不大于第三边，故不能构成三角形； B：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； C：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； D：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形； 故选：A． 9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）一个锐角三角形的任意两个锐角的和一定（     ）第三个锐角． A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的分类，解题关键是依据内角和与锐角定义，分析两个锐角和与第三个锐角的大小关系． 三角形的内角和是，则锐角三角形的任意两个锐角的度数之和第三个锐角．小于的角叫做锐角，则任意两个锐角的度数之和应大于．即任意两个锐角的度数之和都大于第三个锐角，据此解答即可． 【详解】 解：根据三角形的内角和是可知，任意两个锐角的度数之和大于，第三个锐角的度数小于，则任意两个锐角的度数之和都大于第三个锐角． 故答案为：A． 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【详解】 解：根据题意得：，， 解得，， 因为是最大边，所以， 即． 故选：． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可． 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 3，5，7 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三角形三边关系定理是解决本题的关键． 根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，知 A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能组成三角形． 故选：D． 12．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为（       ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的符号，进而化简表达式。 【详解】 ∵ a, b, c 是 的三条边长， ∴，即， ∴； 又 ∵ ，即， ∴； ∴. 故答案选：B 13．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】 解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 14．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（       ） A. 2，2，4 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 3，4，8 【答案】C 【分析】 根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】 解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边． 15．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 验证每组中两较短线段的长度和是否大于最长线段，即可判断能否构成三角形． 【详解】 解：A、B、C选项中，两条较短线段的长度和等于最长线段，均不能构成三角形． D选项中，，能构成三角形． 16．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（     ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】 解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在② 处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③ 处截断； 综上， 第二次可以在② 或③ 处截断， 故选：C． 17．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是1和4， ∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5． 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围． 18．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是　　　　　　； 【答案】利用三角形的稳定性 【分析】 本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】 解：工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是利用三角形的稳定性． 故答案为：利用三角形的稳定性． 19．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）空调外机安装在墙壁上，如图所示，这种方法是利用了三角形的　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】 解：这种方法是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 20．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 21．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）以线段3、4、为边组成三角形，那么的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，， ∴； 故答案为：． 22．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为　　　　　　． 【答案】22 【分析】 本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 23．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知是的三条边长，化简的结果为　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 先根据三角形的三边关系得出，再化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】 解：∵是的三条边长， ∴， 即， ∴ . 故答案为：． 24．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知三角形的三边长分别为2，3和x． （1）直接写出x的取值范围______________； （2）当x为何整数值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，周长最大，最大值是9      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键； （1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得到的取值范围； （2）根据（1）中的范围，可知时周长最大，计算出周长的最大值即可． (1) 小问详解： ∵三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 故答案为：． (2) 小问详解： 由（1）知： ∵x为整数值，且三角形周长最大， ∴当时，周长最大，最大值是， 故答案为：当时，周长最大，最大值是9． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（       ） A. 三角形三条中线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形的重心的概念，熟记三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解本题的关键． 【详解】 解：三角形的重心是三角形三条中线的交点处， 故选A 2．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在中，边BC上的高是（     ） A. 线段AE B. 线段CD C. 线段AF D. 线段BF 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的高，掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】 解：，交的延长线于， 边上的高是线段 故选：A． 3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，同理，则． 【详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【分析】 本题考查轴对称的性质，三角形的角平分线，中线，高，解题的关键是读懂图象信息．根据三角形的高，角平分线，中线的定义判断即可． 【详解】 解：观察图形可知，依次是的高、角平分线、中线． 故选：B． 5．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】 解：∵是的中线，且的面积为， ∴， 又∵是的的中线， ∴ 故选：A． 6．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）三角形的重心是指(       ) A. 三边高的交点 B. 三角角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边中垂线的交点 【答案】C 【分析】 根据重心的概念：三角形三边中线的交点是三角形的重心进行解答即可． 【详解】 解：三角形三边中线的交点是三角形的重心， 故选：． 【点睛】 本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形三边中线的交点是三角形的重心是解题的关键． 7．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，已知，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质． 延长，交于点，证明，可得，可得，，可得，即可得的面积． 【详解】 解：延长，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故选：C． 8．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的　　　　　　． 【答案】中线 【分析】 本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】 解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故答案为：中线． 9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是的中线，，，的周长为9，则的周长为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出．先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式即可得解． 【详解】 解：是的中线， ， 的周长为9， 即， ， 的周长． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为21，则的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 根据三角形的中线平分面积进行计算即可． 【详解】 解：∵E、F分别是线段、的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(ACAB)． 【答案】8cm 【分析】 由三角形中线的定义得到BD=CD，根据△ABD和△ADC的周长差是4cm即可求得结论． 【详解】 解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD = CD， ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm， ∴AB + AD + BD – (AC + AD + CD) = AB + AD + BD – AC – AD – BD = AB – AC = 4cm， ∵AB = 12cm， ∴AC = AB – 4cm = 8cm． 【点睛】 本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到BD=CD是解决问题的关键． 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是 　　　　　　　 ． 【答案】12 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 【详解】 是的中点，， ， 是的中点， ，， ， ∴的面积． 故答案为：12． 13．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长． 【答案】或． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的周长、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得：将分成两个三角形的周长差为，再分或两种情况，分别根据三角形的周长列等式求解即可． 【详解】 解：∵是腰上的中线． ． ， ∴的周长与的周长之差为． ∵的周长为， ∴，即① ， ∵将的周长分成差为的两部分， ∴当② 时， ① ② 联立解得：， 由，则能组成三角形， ∴的边长； 当③ 时， ① ③ 联立解得：， ∴的边长． 由，则能组成三角形， ∴的边长． 综上，的三边分别为或． 14．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则　　　　　 ． 【答案】1 【分析】 根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】 解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得． 【详解】 解：，， ， ， ，， ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理． 连接，由三角形内角和定理可知：，进而计算即可. 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ， 故选D． 4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ② ∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④ ∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤ ∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是① ② ④ ⑤ 共4个． 故选：B． 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（     ） 方案① 方案② 方案③ 过点作，则，，所以． 过点作，则．因为，所以． 过点作，则．因为，所以 A. 方案①和方案② B. 方案②和方案③ C. 方案①和方案③ D. 方案①、方案②和方案③ 【答案】C 【分析】 本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）是解题的关键． 分别分析三个方案中用到的理论依据，判断是否有“两直线平行，同位角相等”，从而得出答案． 【详解】 解：方案① ：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ． 方案② ：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）， ∵ ， ∴ ． 方案③ ：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ ． 综上，方案① 和方案③ 没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据， 故选：． 6．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D. 不一定 【答案】B 【分析】 本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，由此即可得． 【详解】 解：∵在中，角平分线，，相交于点， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）适合下列条件的，直角三角形的个数为（     ） ①，，；②；③；④； A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，若一个三角形的三边长满足其中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断① ③ ，根据三角形内角和定理可判断② ④ ． 【详解】 对于① ，，为直角三角形； 对于② ，∵，， ∴， ∴此时不是直角三角形； 对于③ ，，则，为直角三角形； 对于④ ，，， 解得，为直角三角形， 所以直角三角形的个数为3． 故选：B． 8．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 【答案】80° 【分析】 根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】 解：是边上的高， 是的平分线 【点睛】 本题主要考查了三角形的角平分线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于点F.若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为　　　　　　　　． 【答案】65° 【详解】分析：先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 详解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°﹣15°=75°．        ∵∠C=35°，∴∠CAD=75°﹣35°=40°．        ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°， ∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．        故答案为65°． 点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 10．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为                 ； （2）若，求和的度数． 【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． (1) 小问详解： 解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高线、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据是的高，结合已知可得，根据是的角平分线，得出，进而求得，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】 解：是的高，， 是的角平分线， 12．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，是边上的高，． （1）若是的平分线，求的度数； （2）若是边上的中线，求的长． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． (1) 小问详解： 解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 13．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 14．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是一块直角三角尺，其中，直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是理解题意，利用数形结合的思想进行解答． 先求得，再根据，求出的度数，即可由求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 【答案】（1）∠AEF＝72°     （2） 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，                                                   ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD，                                            ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE．      【分析】 （1）由AD⊥BC得∠ABD+∠BAD＝90°，再根据等角的余角相等得∠ABD＝∠CAD＝36°， 再结合角平分线的性质进一步可求得∠AEF的度数； （2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再由等角的余角相等进一步证明即可． (1) 小问详解： 解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°，    ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，直角三角形两锐角互余等，解题关键是分清各角之间的关系． 16．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为5，，求的长． 【答案】（1）79°     （2）12      【分析】 本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ， ． 平分， ． ； (2) 小问详解： 解：点为的中点， ． 与的周长差为5， ， ， ， ． 17．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】 解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：C． 2．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】 解：如图， ， ． 故选：． 3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 【答案】B 【分析】 根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】 解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（     ） A. 6 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落点处，其中，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【分析】 根据折叠的性质可得，再由为边的中点，可得，设，则，，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， ∵为边的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）下列说法中，正确的个数是（     ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】 解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ② 根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 7．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查勾股定理解决实际问题．在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】 解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为． 故答案为：12． 8．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】 解：∵ ∴ 又∵是高，    ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 9．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】（1），理由见详解     （2）小亮跑的路线更短      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． (1) 小问详解： 解：， 理由：由题意可知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 10．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，证明结论． 【详解】 略 11．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． （1）求之间的距离； （2）珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】（1）180米     （2）珍珍的观点正确，见解析      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； (2) 小问详解： 解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 12．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）或或      【分析】 本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意，知． ① 如图① ，当为直角时，点与点重合，，即； ② 如图② ，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． (3) 小问详解： 解：① 如图③ ，当时，； ② 如图④ ，当时，，所以； ③ 如图⑤ ，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 13．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图所示的一块地，其中， （1）连接，判断的形状； （2）求这块地的面积． 【答案】（1）是直角三角形．     （2）216平方米．      【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、以及直角三角形面积公式．熟练掌握勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）这块地的面积，代入数据即可得出结果． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示， ， ， ， 是直角三角形． (2) 小问详解： 解：这块地的面积 （）， 即这块地的面积是216平方米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（       ）. A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列各组线段中能组成三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，为防止门框变形，赵师傅在门上钉了两根斜拉的木条，运用的原理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 6．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，为了估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是（        ） A. 4米 B. 14米 C. 16米 D. 22米 8．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（   ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）一个锐角三角形的任意两个锐角的和一定（     ）第三个锐角． A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法确定 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 3，5，7 12．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为（       ） A.  B.  C. 0 D.  13．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（       ） A. 2，2，4 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 3，4，8 15．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 16．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（     ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 17．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 18．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是　　　　　　； 19．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）空调外机安装在墙壁上，如图所示，这种方法是利用了三角形的　　　　　　． 20．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）以线段3、4、为边组成三角形，那么的取值范围是　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）已知是的三条边长，化简的结果为　　． 24．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知三角形的三边长分别为2，3和x． （1）直接写出x的取值范围______________； （2）当x为何整数值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？ 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（       ） A. 三角形三条中线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 2．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在中，边BC上的高是（     ） A. 线段AE B. 线段CD C. 线段AF D. 线段BF 3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 5．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）三角形的重心是指(       ) A. 三边高的交点 B. 三角角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边中垂线的交点 7．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，已知，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的　　　　　　． 9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是的中线，，，的周长为9，则的周长为　　　　　　． 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为21，则的面积为　　　　　． 11．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(ACAB)． 12．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是 　　　　　　　 ． 13．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长． 14．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则　　　　　 ． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（     ） 方案① 方案② 方案③ 过点作，则，，所以． 过点作，则．因为，所以． 过点作，则．因为，所以 A. 方案①和方案② B. 方案②和方案③ C. 方案①和方案③ D. 方案①、方案②和方案③ 6．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，中，角平分线，，相交于点H，过H点作，垂足为G，那么和的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D. 不一定 7．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）适合下列条件的，直角三角形的个数为（     ） ①，，；②；③；④； A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 9．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于点F.若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为                 ； （2）若，求和的度数． 11．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 12．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，是边上的高，． （1）若是的平分线，求的度数； （2）若是边上的中线，求的长． 13．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 14．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，是一块直角三角尺，其中，直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为　　　　　． 15．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 16．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为5，，求的长． 17．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为　　　　　　　　． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 4．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（     ） A. 6 B.  C. 3 D.  5．（25-26学年八上·内蒙古包头第二十九中学·期中）如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落点处，其中，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 6．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）下列说法中，正确的个数是（     ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 9．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 10．（25-26学年八上·内蒙古包头稀土高·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 11．（25-26学年八上·内蒙古包头第三十五中学·期中）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． （1）求之间的距离； （2）珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 12．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t的值． 13．（25-26学年八上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）如图所示的一块地，其中， （1）连接，判断的形状； （2）求这块地的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $