专题06 直线与圆（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）已知点在外，且的半径为，则的长可能是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】 解：点在外，的半径为， ∴， 的长可能是， 故选：D． 2．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列说法正确的是（     ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】 本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】 解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 3．（2026·江西九江外国语学校·五模）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】 解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 4．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 点在外，则大于的半径3，因此的长度的整数值只需取大于3的整数即可． 【详解】 解：点在外， ， 的长度要求取整数值， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26学年九上·江西宜春·期中）的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在　　　　．（填“内”或“外”或“上”） 【答案】外 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与半径的关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】 解：点M到圆心O的距离为4，的半径为3， ∵， ∴点M在外． 故答案为：外． 6．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接，由 ，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】 解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即，      （2）的半径为5      【分析】 （1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】 本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，∠EOD＝84°，AE交圆O于点B，且AB＝OC．求∠A的度数． 【答案】28° 【分析】 连接OB，由AB＝OC，得到AB＝BO，则∠BOC＝∠A，于是∠EBO＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，由∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A结合∠EOD＝84°，即可得到∠A的度数． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠BOC＝∠A， ∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠E＝∠EBO＝2∠A， ∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A， 又∵∠EOD＝84°， ∴3∠A＝84°， ∴∠A＝28°． 【点睛】 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及三角形的外角性质． 10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    （1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形． （2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形． 【答案】（1） 如图，点即为所求．             （2） 如图，F点即为所求． 【分析】 本题考查了圆的基本性质、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等知识，熟练掌握相关图形的基本性质是解题关键． （1）如图，连接与交于点，即所求． （2）如图，延长，交于F点，连接，即所求． (1) 小问详解： 如图，连接与交于点，即所求． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． (2) 小问详解： 如图，延长，交于F点，连接，即所求． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 11．（25-26学年九上·江西宜春·期中）已知扇形中，，半径，点D在弧上运动，点C为中点，点D绕点C顺时针旋转后得点E，连，则的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 将点绕点顺时针旋转后得到点，连接、，则，，由旋转的性质可得，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，即动点到动点的距离为定值，进而可得动点在以定点为圆心，为半径的圆弧上运动，当点与点重合时，与重合，点与点重合时，与重合，推出动点在上运动，圆心为，连接，则，当点、、三点共线时，最小，为，即的最小值为，过点作交的延长线于，则，证明四边形为正方形，得出，求出，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】 解：如图，将点绕点顺时针旋转后得到点，连接、， ∴，， ∵点D绕点C顺时针旋转后得点E， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴动点到动点的距离为定值2， ∴动点在以定点为圆心，2为半径的圆弧上运动， 当点与点重合时，与重合，点与点重合时，与重合， ∴动点在上运动，圆心为， 连接，则， 当点、、三点共线时，最小，为， ∴的最小值为， 过点作交的延长线于，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，得到点E的轨迹是解此题的关键． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【分析】 根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】 解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】 本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】 解：当时，，但不满足， 故命题“，则”是假命题， 故答案为：（满足条件即可）． 3．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作　　　　　　　　个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：① 三点共线；② 三点不共线． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）下列命题中正确的是（     ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【分析】 本题考查圆的基本性质，垂径定理，根据圆的定义和性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】 A．∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但弦可能是直径，此时不一定垂直，∴A错误； B．∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，∴B正确； C．∵只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴C错误； D．∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定等弧，∴D错误． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，于，若的直径为，，则长为（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出的长是解此题的关键． 【详解】 解：如图，连接，， ， 的直径为， ， 于， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径，，可得出的长及，确定，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：连接， ∵圆的直径，， ，， ∵， ∴ ， ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为点，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，则水深为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为　　　　　　寸． 【答案】10 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】 解：连接， ∵，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为，则 ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， 解得： ∴(寸)， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，由勾股定理即可得，进而即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大 意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸） 【答案】13寸 【详解】 分析：根据垂径定理得到在中，根据勾股定理列出方程即可求解. 详解： ∵ ∵ 在中， ∵ ∴ ∴ 答：这块圆柱形木料的半径是13寸. 点睛：考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理的性质是解题的关键. 9．（25-26学年九上·江西宜春·期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则　　　　　　． 【答案】寸 【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 10．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是　　　　　　 ． 【答案】12 【分析】 此题主要考查了垂径定理和勾股定理．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】 解：∵，的长为， ∴， ， ∴． 故答案为：12． 11．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； （2）在图2中作出的直径，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求      （2） 如图，即为所求 【分析】 本题考查了圆周角定理，正方形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理，取圆上格点，连接，则； （2）取格点，连接并延长，交于点，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取格点，连接并延长，交于点，则即为所求， 连接， 由网格可知，，， ∴四边形为正方形， ∴，即． 12．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 13．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点D到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 【答案】（1）拱门最高点D到地面的距离为     （2）搬运该桌子时能够通过拱门      【分析】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）连接．由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，即可求解； （2）如图2，连接，由垂径定理可得，用勾股定理解求出，比较与抬起后桌子的高度即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图1，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到地面的距离为． (2) 小问详解： 解：如图2， 为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接， 则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴． ∵， ∴搬运该桌子时能够通过拱门． 14．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】 解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 15．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ；     （2）      【分析】 本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 16．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，弦垂直平分半径． （1）求的度数； （2）若弦的长为，求的直径． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的判定，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据垂径定理得出，，从而可得，于是就有，再结合，可判定是等边三角形，从而可得； （2）先根据垂径定理得出，再利用勾股定理得到，求得即可得出圆的直径为． (1) 小问详解： 解：∵弦垂直平分半径． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 设的半径为r， ∵垂直平分半径，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 所以圆的直径为． 17．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为　　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 如图，作OD⊥AB于D．设OA＝rcm，则OD＝（r−3）cm，在Rt△OAD中，根据OA2＝OD2＋AD2，构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图所示：作OD⊥AB于D， ∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm， ∴AD＝AB＝4cm． 设OA＝rcm，则OD＝（r−3）cm， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（r−3）2＋42， 解得r＝，即该铅球的半径为cm， 故答案为． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，熟知垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解答此题的关键． 18．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 19．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用． （1）先证明，再证明，再结合线段的和差可得答案； （2）连接，设的半径是r，可得，证明，再结合勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 20．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 21．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由题意可得，根据垂径定理得，再由勾股定理得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】 解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 22．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画弧的中点D； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】（1） 如图所示；      （2）① ② 取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【分析】 对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），① 先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ② 取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ② 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】 解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知在中，半径，、是两条平行弦，且，，则弦的长为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据垂径定理，过圆心作平行弦的垂线，利用勾股定理计算弦心距，再根据两弦的相对位置（同侧或异侧）和端点选择，分类讨论的长度。 【详解】 解：过圆心作于E，交于， 由垂径定理，，，在中，；在中，， 当与在圆心同侧时，； 当与在圆心异侧时，， 从作于，则，， 为点到的距离，可能为或， 则； 如图1，则，，所以； 如图2，则，，所以； 如图3，则，，所以； 如图4，则，，则． 故的长为或或， 故答案为：或或． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 2．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，正方形内接于，M为的中点,连接．求证：． 【答案】证明：正方形中，, ∴, ∵M为的中点, ∴. ∴. ∴. ∴. 【分析】 正方形中，,故,可证得，相应的. 【详解】 略 【点睛】 本题考查正方形的性质，圆的弧、弦、圆心角关系定理；同圆内，由弧的相等关系导出弦的相等关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，在中，，，则的度数为　　　　　． 【答案】H度 【分析】 本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】 略 5．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）某校积极贯彻国家推进人工智能教育的政策，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有多少人． 【答案】（1）90人     （2）      （3）     （4）360人      【分析】 （1）因为扇形统计图中“在线答题”的占比和条形统计图中“在线答题”的人数已知，所以用“在线答题”的人数除以其对应占比，即可得到参与调查的学生总人数． （2）因为总人数已知，且在线阅读、在线答题、在线讨论的人数可从条形图获取，所以用总人数减去这三类的人数，得到在线听课的人数，即可补全条形统计图． （3）因为“在线阅读”的人数和总人数已知，所以乘以“在线阅读”人数占总人数的比例，即可得到对应扇形圆心角的度数． （4）因为“在线讨论”的人数和总人数已知，所以以该校总人数2700乘以“在线讨论”人数占总人数的比例，即可估计出该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数． (1) 小问详解： 解：从条形图可知选“在线答题”的有18人，扇形图显示该部分占总人数的， 参与本次调查的学生共有  人． (2) 小问详解： 解：总人数为90人，已知在线阅读24人、在线答题18人、在线讨论12人， 在线听课的人数为 人， 补全条形图略 (3) 小问详解： 解：扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角为 ． (4) 小问详解： 解：估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有  人． 6．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ．     （2）的面积为      【分析】 本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 8．（25-26学年九上·江西宜春·期中）（1）解方程：； （2）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】（1），； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，弧、弦、圆周角的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据得出，即可得证． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）略 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，由圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得的度数． 【详解】 解：∵点A，B，C在上，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】 解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，点，，在上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，是解题的关键．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得出答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 7．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，点A，B，C三点在上，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了圆周角定理，题目比较基础，关键是找准同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，点，，在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解答即可． 【详解】 解：，是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， 故选：C． 9．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，为的直径，是上的两点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理求角度，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 先由邻补角定义求出，再由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】 解：为的直径，， ， 由圆周角定理可知，， 故选：C． 11．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 13．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】 解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 14．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】 解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 15．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质，首先连接并延长，交于点，连接、，根据圆周角定理可知，，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得． 【详解】 解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接、， ，， 由网格可知， ， . 故选：B． 16．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】 解：如图2，连接，     ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 17．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，是的直径，是弦，若，则等于（       ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 【答案】C 【分析】 根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC． 【详解】 解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∵， ∴∠ADC=90°-32°=58°， ∴∠ABC=∠ADC=58°， 故选：C． 【点睛】 本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角． 18．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据“直径所对的圆周角为”可得，进而可得，然后结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 19．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可． 【详解】 解：（1）当点P沿O→C运动时， 当点P在点O的位置时，y＝90°， 当点P在点C的位置时， ∵OA＝OC， ∴y＝45°， ∴y由90°逐渐减小到45°； （2）当点P沿C→B运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2＝45°； （3）当点P沿B→O运动时， 当点P在点B的位置时，y＝45°， 当点P在点O的位置时，y＝90°， ∴y由45°逐渐增加到90°． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图． 【详解】 20．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 21．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】d度 【分析】 本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】 解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）（多选）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形；     （2）；      【分析】 （1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，是的直径，点，在上．若，则　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，    ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）60°；（2）5． 【分析】 （1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】 解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 25．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】 略 26．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，内接于，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是　　　　　　　　． 【答案】55度 【分析】 本题主要考查圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 28．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：是的直径， ．                ， ， ，                     ，即点D是的中点．     （2）     （3）的最小值为      【分析】 对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线得性质得，然后根据垂径定理得出答案； 对于（2），先说明是的中位线，可得，即可得出答案；        对于（3），作点C关于的对称点，可得，连接，再确定点P的位置，然后求出，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为的中点， ∴是的中位线， ．              又∵半径为5， ． (3) 小问详解： 解：作点C关于的对称点，即交于点P，连接， ． ， 此时的值最小， ， ， ． ∵点C与关于对称， ， ，． 作交于点H， 则，则， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 的最小值为． 29．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及四点共圆的判定，关键是利用直径所对圆周角为直角得出、、、四点共圆，再分三种等腰三角形情况讨论，结合圆心角与圆周角的关系求解的度数． 【详解】 解：∵，为直径， ∴点在以为直径的圆上，即、、、四点共圆，圆心为． ∵，， ∴， ∴． 分三种情况讨论为等腰三角形： ① 当时，， ∴， ∴； ② 当时，， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，， ∴， ∴． 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）（多选）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 【答案】（1）如图所示，CD 即为所求； （2）如图，CD 即为所求． 【分析】 （1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 31．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 【分析】 本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】 略 32．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，锐角是⊙的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的平分线． 【答案】（1）      （2） 【分析】 本题考查作图－复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接并延长交于点F，连接，根据垂径定理可知F为中点，再根据圆周角定理可知，为所求； （2）连接并延长交于点G，连接，，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，从而得出，即射线平分． (1) 小问详解： 解：如图，连接并延长交于点F，连接，即为所求； ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 小问详解： 解：连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，连接，作射线，为所求， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形（四点共圆）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即平分． 33．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）请仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）在图1中，为的弦，点在上，点在弦上，，画有一个内角为的直角三角形； （2）在图2中，为的直径，点是内一点，画的高． 【答案】（1） 延长交于，过点作的直径，连接、，则为所求．      （2） 延长交于，延长交于，作射线、射线相交于点，作射线交于点，则线段为的高． 【分析】 本题考查圆的性质与无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握画图技巧运用相关知识作图即可； （1）利用等弧对等角与直径所对的圆周角等于的知识点作图即可； （2）利用直径所对的圆周角等于与三角形三条边上的高交于一点，构建三角形作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，为锐角，其顶点，都在上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，的顶点在上，作顶点为的的余角． （2）在图中，的顶点在内，作顶点在直线上的的余角． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求； 【分析】 本题考查了无刻度直尺画图，圆周角定理，互余定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理画图即可； （）根据圆周角定理画图即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接延长交上于点，连接， 理由：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接，延长交上于点，连接， 理由：∵为直径， ∴， ∴， 故即为所求． 35．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2． （1）求⊙O的半径； （2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　     　． 【答案】（1）4；（2）60°或90° 【详解】 试题分析：（1）求出∠BOD的度数，在Rt△ODE中，根据∠DOE=30°，OE=2，求出DE和OD即可； （2）分为4种情况，分别求出∠CAB和∠OAB（或∠OAD、∠OCB）的度数，相加（或相减）即可求出答案． 试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， ∴， ∴∠BDC=∠BOD， 而∠CDB=15°， ∴∠BOD=2×15°=30°， 在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2， ∴OE=DE，OD=2DE， ∴DE==2， ∴OD=4， 即⊙O的半径为4； （2）有4种情况：如图： ① 如图1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°， ∴∠OAB=∠OBA=75°， ∵CD⊥AB，AB是直径， ∴弧BC=弧BD， ∴∠CAB=∠BOD=15°， ∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°； ② 如图2所示，∠CAD=75°﹣15°=60°； ③ 如图3所示：∠ACB=90°； ④ 如图4所示：∠ACB=60°； 故答案为60°或90°． 36．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）连接并延长，交于，根据是边的中点，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求； （2）连接并延长，交于，根据直线与相切于点，且，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了复杂作图、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解题的关键是掌握：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 37．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了圆周角定理以及弧、弦圆周角的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由圆周角的定理可得，再分、两种情况解答即可． 【详解】 解：∵是圆的直径，， ∴， ∵点为弧的三等分点， ∴当，即时，； 当，即时，． 故答案为：或． 38．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】（1）如图① ，连接，， 在中，，， ； （2）． 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2）由（1）可知， ， ，， 如图② ，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 39．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是直径， ， ， ， ， ， 即； (3) 小问详解： 解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 40．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，是圆的直径，点、在圆上，，与交于，，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键．根据直径所对的圆周角为 90 度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】 解：∵是圆的直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 41．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）如图，连接，由垂径定理得到，再根据题意得到，进而得到，推出，由同弧所对圆周角相等推出，结合，证明，即可得出结论； （2）由（1）知，得到，推出，由垂径定理求出，连接，设，则，利用勾股定理建立方程分别求出的值，得到，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 连接， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 在中，，即， 解得，即； 在中，． 42．（25-26学年九上·江西上饶·期中）按要求作图： （1）如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； （2）如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1） 如图即为所求；      （2）如图即为所求． 【分析】 本题考查无刻度直尺作图，直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接，延长交于点Q，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． (1) 小问详解： 解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∴即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接，延长交于点Q，连接，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，是的直径，是的中点，交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． ， ， ， ． 44．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． （1）试说明：； （2）求证：平分； （3）若，，且经过圆心，求的长． 【答案】（1） 解：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ；     （2） 证明：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即平分；     （3）      【分析】 （1）先由垂径定理得到，再由同弧所对的圆周角相等即可说明； （2）由（1）中得到，从而由同弧所对的圆周角相等得到，再由圆内接四边形性质得到，等量代换有，即可得证； （3）先由垂径定理得到，在中，由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，最后，在中，由勾股定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， 经过圆心，即为的直径， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】 本题考查圆综合，涉及圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、角平分线定义、勾股定理等知识，熟记圆的基本性质及相关几何性质是解决问题的关键． 45．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，已知，且，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握定点定长出辅助圆，根据定点定长得点、、在以圆O为圆心，长为半径的圆上，再由圆周角定理得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴点、、在以圆O为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴． 46．（25-26学年九上·江西宜春·期中）仅用无刻度的直尺，按要求分别在下列两个图形中作图（保留作图痕迹，不必写作图过程）． （1）如图1，已知内接于，点P为弦的中点，作出的平分线． （2）如图2，已知四边形内接于，，点Q为弧的中点，作出弦的中点． 【答案】（1） 如图1，射线即为所求；      （2） 如图2，点即为所求； 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，三角形的三条中线交于一点等知识点． （1）过点作直径，由垂径定理的推论可得，则，故射线即为所求； （2）连接交于点，由得到，再由垂径定理的推论可得为中点，连接交于点，再由垂径定理的推论可得为中点，则连接中线交于点，再连接并延长交于点，可得为的中点． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 47．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的一个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺按下列要求分别画图．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中，画出△ABC的角平分线AF； (2)在图②中，画出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG. 【答案】(1) 如图： （2）如图： 【分析】 （1）连结AP交BC于F，根据垂径定理得到，则∠BAP=∠CAP，所以AF为△ABC的角平分线； （2）延长PO交⊙O于G，连结GB、GC，根据垂径定理得GP垂直平分BC，则GB=GC，于是∠GBC=∠GCB，根据圆内接四边形的性质得∠DAG=∠GBC，根据圆周角定理得∠GAB=∠GCB，所以∠DAG=∠GAB，即AG平分∠BAD． 【详解】 (1)如图①，连接AP交BC于点F，由垂径定理及圆周角的关系，得到∠BAP＝∠CAP，AF即为所求； (2)如图②，延长PO交圆于点G，由圆的基本性质知∠PAG为直角，在(1)的基础上可得到∠DAG＝∠BAG，则AG即为所求． 【点睛】 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 48．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． （1）如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角． （2）在图③中，是的内接三角形，，是上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 【答案】（1） ①即为所求． ②即为所求．      （2） 即为所求． 【分析】 本题考查了作图、圆内接四边形、圆周角定理以及垂径定理： （1）① 如图所示，在上找一点，连接，根据圆内接四边形的性质即可；② 如图所示，连接，并延长交于点，根据圆周角定理得到，结合是等腰三角形可以得到． （2）连接并延长交于点，交于点，连接，根据垂径定理得到点是弧的中点，再利用圆周角定理即可． (1) 小问详解： ① 如图所示，在上找一点，连接， 四边形是圆内接四边形， ； ② 如图所示，连接，并延长交于点， 是的内接三角形， ， ， 所对的弧都是弧， ， ， 即， ， 则即为所求． (2) 小问详解： 如图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的内接三角形，， ， 是弦，且， 点是弧的中点， ， 是的平分线． 49．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 【答案】（1）如图1中，∠CAD即为所求； （2）如图2中，△ACE即为所求． 【分析】 （1）作直径AD，连接CD，AC，则∠ADC＝60°，∠DAC＝30°； （2）作直径BE，连接EC，AE，AC，△ACE即为所求． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等边三角形的判定等知识，掌握圆内接四边形的性质是关键． 50．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，作圆的直径； （2）在（1）的条件下，在图2作的角平分线． 【答案】（1） 如图1中，直径即为所求．      （2） 如图：即为所求； 【分析】 本题考查网格中作图、圆周角定理、平行线的性质、等边对等角等知识点，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键． （1）利用90度的圆周角（即）所对的弦是直径可画出直径； （2）如图：取圆与格线的交点D，然后连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接，则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 51．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）定义：有一组对角互余的凸四边形叫作对余四边形． 【理解】 （1）若四边形是对余四边形，且，则_____； 【证明】 （2）如图1，是的直径，点，，在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 【探究】 （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：是的直径，点，，在上， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）；理由如下： 在对余四边形中，， ． ， 将绕点逆时针旋转， 得到，连接，如图， ，， ，，， 是等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查新定义，多边形的内角和，互余，勾股定理，圆周角，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，分类讨论：① 当和互余时，② 当与互余时，逐个分析求解即可； （2）先推导出，则，即可解答； （3）先求出，则将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，推导出是等边三角形，得到，继而证明，则，得到，即可解答． 【详解】 解：（1）∵四边形是对余四边形， ① 当和互余时， ， ∴． ② 当与互余时， ， 则， ∴，不符合题意，舍去． 故答案为：． （2）略 （3）略 52．（25-26学年九上·江西上饶·期中）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______． 【答案】（1） 解：方程是“勾系一元二次方程”，理由如下： ， 由题意知：， 满足且， 故方程是“勾系一元二次方程”；     （2） 证明：是“勾系一元二次方程”， ， ， 必有实数根；     （3）      【分析】 （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可； （3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，作于，的延长线交于．    关于的方程是“勾系一元二次方程”， ， ，， ， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，点A，B，C在上，请仅用无刻度的直尺画图．    （1）在图1中，在上找一点P，使得． （2）在图2中，在上找一点Q，使得． 【答案】（1） 如图所示为所求：         （2） 如图所示为所求： 【分析】 本题考查了尺规作图-无刻度直尺作图，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余． （1）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再延长至上交点P，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，而，点P在上即为所求； （2）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再连接，并延长至上交点D，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，则，连接，此时所对的圆周角为和，根据同弧所对圆周角相等可知，而与交于点Q，点Q在上即为所求． (1) 小问详解： 解：作法： ① 连接，并延长至上交点P， ② 连接，此时满足，点P即为所求． (2) 小问详解： 解：作法： ① 连接， ② 连接，并延长至上交点D， ③ 连接，此时线段与线段交点Q，满足，点Q即为所求． 54．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，分两种情况：当点在劣弧上时，连接，则此时，当时，此时；当时，；当时，此时，此时点与点重合，不符合题意；当点在优弧上时，此时，再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵内接于，，， ∴， 如图，当点在劣弧上时，连接，则此时， ∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ， ∴， ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 当时，此时，此时点与点重合，不符合题意； 当点在优弧上时，此时， ， ∵为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在一种情况，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 2．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是　　　　　　． 【答案】x度 【分析】 根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角． 【详解】 解：根据题意得，圆锥的母线长为：， 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， 解得：， 该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长=展开图扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，母线长=，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送　　　　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【详解】 解：根据题意，得：传送带上的物品A被传送的距离等于圆心角为的扇形的弧长， ∴传送带上的物品A被传送的距离为． 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，正方形的边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】 解：如图所示，     ∵正方形的边长为6， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中① ② 两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形的面积公式．根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故答案为：． 6．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，点D是的中点，和都经过点D，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，扇形的面积公式. （1）直接根据因式分解法求解即可； （2）根据勾股定理求出，根据三角形内角和求出，进而根据扇形的面积公式计算即可. (1) 小问详解： 解：， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：在中，，， ． 7．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图中，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为，已知，则图中阴影部分的面积　　　　　　　　 【答案】 【分析】 连接EB，由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，则由题意可得阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，进而可得阴影部分的面积即为扇形EAB的面积，然后问题可求解． 【详解】 解：连接EB，如图所示： ∵，， ∴∠ABC=30°，， 由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，， 由阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，可得：， ∴； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积计算公式及割补法求解不规则图形面积是解题的关键． 8．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，半径为的沿折线作无滑动的滚动，如果，，那么，自点A至点E转动了　　　　　　　周． 【答案】 【分析】 题目主要考查弧长计算，补角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出在线段上转过了周，考虑经过点B从到时，即从与相切到与相切转动了一个的补角，即，同理得出经过C、D两点时都要转过一个补角的度数，即，，然后求解即可． 【详解】 解：圆的周长为， ∵， ∴， ∴转过周， ∵， ∴经过点B从到时，即从与相切到与相切转动了一个的补角，即， 同理：经过C、D两点时都要转过一个补角的度数，即，， ∴在三个点处共转动了：，即周， ∴自点A至点E转动了周， 故答案为：． 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，延长的直径到点D，作与相切于点C，若，则　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题主要考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，通过连接半径构造等腰三角形和利用切线性质，结合三角形内角和定理计算角度即可得解． 【详解】 解：连接，如图， ∵是的切线，是半径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴, ∴ 在中，， 故答案为：． 2．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接OC；　 ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠A+∠OBC=90°， 而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB， ∴∠DCB+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴DC为⊙O的切线；      （2）⊙O的半径为6．      【分析】 （1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题； （2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接OE， ∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点， ∴==， ∴EO⊥AB， 设OA=OE=R，OF=8-R， 在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2， ∴（2）2=R2+（8-R）2， ∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）． ∴⊙O的半径为6． 【点睛】 本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A.          B．          C．          D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）D；（2）①，② 【分析】 本题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，扇形面积公式，圆周角定理，勾股定理等知识点． （1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）① 连接，根据切线长定理以及圆的切线的性质可得．然后根据四边形内角和定理以及圆周角定理可得，则； ② 连接，延长交于点D，由① 得，可得是等边三角形，证明出，在中，，则，在中，，设，则，根据勾股定理得：，解得，再由求解即可． 【详解】 解：（1）连接，如图所示， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：D． （2）① 如图1，连接． 分别与相切， ． ． 又， ， ． ② 连接，延长交于点D． 由① 得． ， 是等边三角形． ， ， ， ， ． 在中，，则 在中，，设， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，解得（舍负） ． 4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）已知为的直径，，C为上一点，连接． （1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长； （2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． (1) 小问详解： ∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； (2) 小问详解： ∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 5．（25-26学年九上·江西宜春·期中）阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： （1）点到直线的距离为______； （2）已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； （3）如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 【答案】（1）     （2）实数m的值为或     （3）      【分析】 本题考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式是解此题的关键． （1）由直线可得，，，再根据求距离公式计算即可得解； （2）将直线解析式化为，故，，，求出点到直线的距离为，再由与直线相切得出，即，计算即可得解； （3）求出点到直线的距离为，从而可得点隔直线的最远距离为，此时最大，再由三角形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：由直线可得：，，， ∴点到直线的距离为； (2) 小问详解： 解：将直线解析式化为，故，，， ∴点到直线的距离为， ∵与直线相切， ∴，即， 解得：或， 故实数m的值为或； (3) 小问详解： 解：直线中，，，， ∴点到直线的距离为， ∴点隔直线的最远距离为，此时最大，为． 6．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，． （1）求的大小; （2）求证：直线是的切线． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线．      【分析】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、证明直线是圆的切线、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由圆周角定理可得，求出，即可得解； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出，证明为等边三角形，得出，进而得出，即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，设，    ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即． 【点睛】 本题考查切线的判定，线段垂直平分线的定理，勾股定理，等边对等角等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】（1）① 如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2） 【分析】 （1）① 如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；② 如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】 解：（1）略 （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】 本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 9．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析     （2）①；②      【分析】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证； （）① 连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；② 连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解； (1) 小问详解： 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ② 如图，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由① 可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）先由勾股定理求出，再由等面积法列式求出，最后再由勾股定理求出即可； （2）先证明，结合切线性质，等量代换得到即可得证； （3）先得到、，在中，求出，数形结合，得到，代值计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ∵为的直径， ， ， ， ； (2) 小问详解： 证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ， 点是的中点， 在中，是斜边上的中线，则， ， ， ， 是的切线， ， ， 为半径， ∴是的切线； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ∵为的直径， ， 在中，，，，则， ∴， 则， ． 【点睛】 熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法—连半径证垂直、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 考点08 三角形的内切圆 1．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴．     （2） 证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线．      【分析】 （1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　                                     ． (2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．) (3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心． 【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC； (2)证明：连接MD、ME ∵BD、CE是△ABC的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M为BC的中点 ∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC ∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC+CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC (3)证明：取BG中点N，连接EN、FN ∵CE、AF是△ABC的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG ∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG ∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED 同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点G是△DEF的内心 【分析】 (1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等． (2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补． (3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线． 【详解】 解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上 故答案为：ME＝MD＝MB＝MC (2)略 (3)略 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系. 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】 解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 2．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握正六边形内接于圆时边长最大是解题的关键． 如图：先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】 解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 3．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法． （1）在图1中画一个的内接正方形； （2）在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】（1） 解：如图所示为所求：      （2） 解：如图所示为所求： 【分析】 本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．D 2．C 3．A 4．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 点在外，则大于的半径3，因此的长度的整数值只需取大于3的整数即可． 【详解】 解：点在外， ， 的长度要求取整数值， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 5．【答案】外 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与半径的关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】 解：点M到圆心O的距离为4，的半径为3， ∵， ∴点M在外． 故答案为：外． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接，由 ，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】 解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．【答案】（1） 证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即，      （2）的半径为5      【分析】 （1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】 本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．【答案】28° 【分析】 连接OB，由AB＝OC，得到AB＝BO，则∠BOC＝∠A，于是∠EBO＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，由∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A结合∠EOD＝84°，即可得到∠A的度数． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠BOC＝∠A， ∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠E＝∠EBO＝2∠A， ∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A， 又∵∠EOD＝84°， ∴3∠A＝84°， ∴∠A＝28°． 【点睛】 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及三角形的外角性质． 10．【答案】（1） 如图，点即为所求．             （2） 如图，F点即为所求． 【分析】 本题考查了圆的基本性质、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等知识，熟练掌握相关图形的基本性质是解题关键． （1）如图，连接与交于点，即所求． （2）如图，延长，交于F点，连接，即所求． (1) 小问详解： 如图，连接与交于点，即所求． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． (2) 小问详解： 如图，延长，交于F点，连接，即所求． ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 11．【答案】 【分析】 将点绕点顺时针旋转后得到点，连接、，则，，由旋转的性质可得，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，即动点到动点的距离为定值，进而可得动点在以定点为圆心，为半径的圆弧上运动，当点与点重合时，与重合，点与点重合时，与重合，推出动点在上运动，圆心为，连接，则，当点、、三点共线时，最小，为，即的最小值为，过点作交的延长线于，则，证明四边形为正方形，得出，求出，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】 解：如图，将点绕点顺时针旋转后得到点，连接、， ∴，， ∵点D绕点C顺时针旋转后得点E， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴动点到动点的距离为定值2， ∴动点在以定点为圆心，2为半径的圆弧上运动， 当点与点重合时，与重合，点与点重合时，与重合， ∴动点在上运动，圆心为， 连接，则， 当点、、三点共线时，最小，为， ∴的最小值为， 过点作交的延长线于，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，得到点E的轨迹是解此题的关键． 考点02 过三点的圆 1．D 2．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】 解：当时，，但不满足， 故命题“，则”是假命题， 故答案为：（满足条件即可）． 3．【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：① 三点共线；② 三点不共线． 考点03 垂直于弦的直径 1．B 2．D 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 6．【答案】10 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】 解：连接， ∵，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为，则 ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， 解得： ∴(寸)， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，由勾股定理即可得，进而即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．【答案】13寸 【详解】 分析：根据垂径定理得到在中，根据勾股定理列出方程即可求解. 详解： ∵ ∵ 在中， ∵ ∴ ∴ 答：这块圆柱形木料的半径是13寸. 点睛：考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理的性质是解题的关键. 9．【答案】寸 【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 10．【答案】12 【分析】 此题主要考查了垂径定理和勾股定理．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】 解：∵，的长为， ∴， ， ∴． 故答案为：12． 11．【答案】（1） 如图，点即为所求      （2） 如图，即为所求 【分析】 本题考查了圆周角定理，正方形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理，取圆上格点，连接，则； （2）取格点，连接并延长，交于点，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取格点，连接并延长，交于点，则即为所求， 连接， 由网格可知，，， ∴四边形为正方形， ∴，即． 12．【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 13．【答案】（1）拱门最高点D到地面的距离为     （2）搬运该桌子时能够通过拱门      【分析】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）连接．由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，即可求解； （2）如图2，连接，由垂径定理可得，用勾股定理解求出，比较与抬起后桌子的高度即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图1，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到地面的距离为． (2) 小问详解： 解：如图2， 为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接， 则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴． ∵， ∴搬运该桌子时能够通过拱门． 14．【答案】5 【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】 解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 15．【答案】（1） 证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ；     （2）      【分析】 本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的判定，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据垂径定理得出，，从而可得，于是就有，再结合，可判定是等边三角形，从而可得； （2）先根据垂径定理得出，再利用勾股定理得到，求得即可得出圆的直径为． (1) 小问详解： 解：∵弦垂直平分半径． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 设的半径为r， ∵垂直平分半径，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 所以圆的直径为． 17．【答案】 【分析】 如图，作OD⊥AB于D．设OA＝rcm，则OD＝（r−3）cm，在Rt△OAD中，根据OA2＝OD2＋AD2，构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图所示：作OD⊥AB于D， ∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为3cm， ∴AD＝AB＝4cm． 设OA＝rcm，则OD＝（r−3）cm， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（r−3）2＋42， 解得r＝，即该铅球的半径为cm， 故答案为． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，熟知垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解答此题的关键． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 19．【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用． （1）先证明，再证明，再结合线段的和差可得答案； （2）连接，设的半径是r，可得，证明，再结合勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 20．【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 21．【答案】8 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由题意可得，根据垂径定理得，再由勾股定理得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】 解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 22．【答案】（1） 如图所示；      （2）① ② 取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【分析】 对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），① 先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ② 取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ② 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 23．【答案】 【分析】 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】 解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 24．【答案】或或 【分析】 本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据垂径定理，过圆心作平行弦的垂线，利用勾股定理计算弦心距，再根据两弦的相对位置（同侧或异侧）和端点选择，分类讨论的长度。 【详解】 解：过圆心作于E，交于， 由垂径定理，，，在中，；在中，， 当与在圆心同侧时，； 当与在圆心异侧时，， 从作于，则，， 为点到的距离，可能为或， 则； 如图1，则，，所以； 如图2，则，，所以； 如图3，则，，所以； 如图4，则，，则． 故的长为或或， 故答案为：或或． 考点04 圆心角 1．【答案】 【分析】 本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 2．【答案】证明：正方形中，, ∴, ∵M为的中点, ∴. ∴. ∴. ∴. 【分析】 正方形中，,故,可证得，相应的. 【详解】 略 【点睛】 本题考查正方形的性质，圆的弧、弦、圆心角关系定理；同圆内，由弧的相等关系导出弦的相等关系是解题的关键． 3．【答案】H度 【分析】 本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】 略 5．【答案】（1）90人     （2）      （3）     （4）360人      【分析】 （1）因为扇形统计图中“在线答题”的占比和条形统计图中“在线答题”的人数已知，所以用“在线答题”的人数除以其对应占比，即可得到参与调查的学生总人数． （2）因为总人数已知，且在线阅读、在线答题、在线讨论的人数可从条形图获取，所以用总人数减去这三类的人数，得到在线听课的人数，即可补全条形统计图． （3）因为“在线阅读”的人数和总人数已知，所以乘以“在线阅读”人数占总人数的比例，即可得到对应扇形圆心角的度数． （4）因为“在线讨论”的人数和总人数已知，所以以该校总人数2700乘以“在线讨论”人数占总人数的比例，即可估计出该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数． (1) 小问详解： 解：从条形图可知选“在线答题”的有18人，扇形图显示该部分占总人数的， 参与本次调查的学生共有  人． (2) 小问详解： 解：总人数为90人，已知在线阅读24人、在线答题18人、在线讨论12人， 在线听课的人数为 人， 补全条形图略 (3) 小问详解： 解：扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角为 ． (4) 小问详解： 解：估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有  人． 6．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 7．【答案】（1） 证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ．     （2）的面积为      【分析】 本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 8．【答案】（1），； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，弧、弦、圆周角的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据得出，即可得证． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）略 考点05 圆周角 1．C 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．B 12．D 13．B 14．B 15．B 16．D 17．C 18．C 19．B 20．【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 21．【答案】d度 【分析】 本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】 解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 22．【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形；     （2）；      【分析】 （1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23．【答案】 【分析】 连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，    ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 24．【答案】（1）60°；（2）5． 【分析】 （1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】 解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 25．【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】 略 26．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．【答案】55度 【分析】 本题主要考查圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 28．【答案】（1）证明：是的直径， ．                ， ， ，                     ，即点D是的中点．     （2）     （3）的最小值为      【分析】 对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线得性质得，然后根据垂径定理得出答案； 对于（2），先说明是的中位线，可得，即可得出答案；        对于（3），作点C关于的对称点，可得，连接，再确定点P的位置，然后求出，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为的中点， ∴是的中位线， ．              又∵半径为5， ． (3) 小问详解： 解：作点C关于的对称点，即交于点P，连接， ． ， 此时的值最小， ， ， ． ∵点C与关于对称， ， ，． 作交于点H， 则，则， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 的最小值为． 29．【答案】或或 【分析】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及四点共圆的判定，关键是利用直径所对圆周角为直角得出、、、四点共圆，再分三种等腰三角形情况讨论，结合圆心角与圆周角的关系求解的度数． 【详解】 解：∵，为直径， ∴点在以为直径的圆上，即、、、四点共圆，圆心为． ∵，， ∴， ∴． 分三种情况讨论为等腰三角形： ① 当时，， ∴， ∴； ② 当时，， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，， ∴， ∴． 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 30．【答案】（1）如图所示，CD 即为所求； （2）如图，CD 即为所求． 【分析】 （1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 31．【答案】证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 【分析】 本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】 略 32．【答案】（1）      （2） 【分析】 本题考查作图－复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接并延长交于点F，连接，根据垂径定理可知F为中点，再根据圆周角定理可知，为所求； （2）连接并延长交于点G，连接，，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，从而得出，即射线平分． (1) 小问详解： 解：如图，连接并延长交于点F，连接，即为所求； ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 小问详解： 解：连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，连接，作射线，为所求， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形（四点共圆）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即平分． 33．【答案】（1） 延长交于，过点作的直径，连接、，则为所求．      （2） 延长交于，延长交于，作射线、射线相交于点，作射线交于点，则线段为的高． 【分析】 本题考查圆的性质与无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握画图技巧运用相关知识作图即可； （1）利用等弧对等角与直径所对的圆周角等于的知识点作图即可； （2）利用直径所对的圆周角等于与三角形三条边上的高交于一点，构建三角形作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求； 【分析】 本题考查了无刻度直尺画图，圆周角定理，互余定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理画图即可； （）根据圆周角定理画图即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接延长交上于点，连接， 理由：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接，延长交上于点，连接， 理由：∵为直径， ∴， ∴， 故即为所求． 35．【答案】（1）4；（2）60°或90° 【详解】 试题分析：（1）求出∠BOD的度数，在Rt△ODE中，根据∠DOE=30°，OE=2，求出DE和OD即可； （2）分为4种情况，分别求出∠CAB和∠OAB（或∠OAD、∠OCB）的度数，相加（或相减）即可求出答案． 试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， ∴， ∴∠BDC=∠BOD， 而∠CDB=15°， ∴∠BOD=2×15°=30°， 在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2， ∴OE=DE，OD=2DE， ∴DE==2， ∴OD=4， 即⊙O的半径为4； （2）有4种情况：如图： ① 如图1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°， ∴∠OAB=∠OBA=75°， ∵CD⊥AB，AB是直径， ∴弧BC=弧BD， ∴∠CAB=∠BOD=15°， ∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°； ② 如图2所示，∠CAD=75°﹣15°=60°； ③ 如图3所示：∠ACB=90°； ④ 如图4所示：∠ACB=60°； 故答案为60°或90°． 36．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）连接并延长，交于，根据是边的中点，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求； （2）连接并延长，交于，根据直线与相切于点，且，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了复杂作图、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解题的关键是掌握：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 37．【答案】或 【分析】 本题主要考查了圆周角定理以及弧、弦圆周角的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由圆周角的定理可得，再分、两种情况解答即可． 【详解】 解：∵是圆的直径，， ∴， ∵点为弧的三等分点， ∴当，即时，； 当，即时，． 故答案为：或． 38．【答案】（1）如图① ，连接，， 在中，，， ； （2）． 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2）由（1）可知， ， ，， 如图② ，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 39．【答案】（1） 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是直径， ， ， ， ， ， 即； (3) 小问详解： 解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 40．【答案】 【分析】 本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键．根据直径所对的圆周角为 90 度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】 解：∵是圆的直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 41．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）如图，连接，由垂径定理得到，再根据题意得到，进而得到，推出，由同弧所对圆周角相等推出，结合，证明，即可得出结论； （2）由（1）知，得到，推出，由垂径定理求出，连接，设，则，利用勾股定理建立方程分别求出的值，得到，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 连接， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 在中，，即， 解得，即； 在中，． 42．【答案】（1） 如图即为所求；      （2）如图即为所求． 【分析】 本题考查无刻度直尺作图，直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接，延长交于点Q，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． (1) 小问详解： 解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∴即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接，延长交于点Q，连接，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． ， ， ， ． 44．【答案】（1） 解：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ；     （2） 证明：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即平分；     （3）      【分析】 （1）先由垂径定理得到，再由同弧所对的圆周角相等即可说明； （2）由（1）中得到，从而由同弧所对的圆周角相等得到，再由圆内接四边形性质得到，等量代换有，即可得证； （3）先由垂径定理得到，在中，由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，最后，在中，由勾股定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， 经过圆心，即为的直径， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】 本题考查圆综合，涉及圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、角平分线定义、勾股定理等知识，熟记圆的基本性质及相关几何性质是解决问题的关键． 45．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握定点定长出辅助圆，根据定点定长得点、、在以圆O为圆心，长为半径的圆上，再由圆周角定理得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴点、、在以圆O为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴． 46．【答案】（1） 如图1，射线即为所求；      （2） 如图2，点即为所求； 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，三角形的三条中线交于一点等知识点． （1）过点作直径，由垂径定理的推论可得，则，故射线即为所求； （2）连接交于点，由得到，再由垂径定理的推论可得为中点，连接交于点，再由垂径定理的推论可得为中点，则连接中线交于点，再连接并延长交于点，可得为的中点． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 47．【答案】(1) 如图： （2）如图： 【分析】 （1）连结AP交BC于F，根据垂径定理得到，则∠BAP=∠CAP，所以AF为△ABC的角平分线； （2）延长PO交⊙O于G，连结GB、GC，根据垂径定理得GP垂直平分BC，则GB=GC，于是∠GBC=∠GCB，根据圆内接四边形的性质得∠DAG=∠GBC，根据圆周角定理得∠GAB=∠GCB，所以∠DAG=∠GAB，即AG平分∠BAD． 【详解】 (1)如图①，连接AP交BC于点F，由垂径定理及圆周角的关系，得到∠BAP＝∠CAP，AF即为所求； (2)如图②，延长PO交圆于点G，由圆的基本性质知∠PAG为直角，在(1)的基础上可得到∠DAG＝∠BAG，则AG即为所求． 【点睛】 本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 48．【答案】（1） ①即为所求． ②即为所求．      （2） 即为所求． 【分析】 本题考查了作图、圆内接四边形、圆周角定理以及垂径定理： （1）① 如图所示，在上找一点，连接，根据圆内接四边形的性质即可；② 如图所示，连接，并延长交于点，根据圆周角定理得到，结合是等腰三角形可以得到． （2）连接并延长交于点，交于点，连接，根据垂径定理得到点是弧的中点，再利用圆周角定理即可． (1) 小问详解： ① 如图所示，在上找一点，连接， 四边形是圆内接四边形， ； ② 如图所示，连接，并延长交于点， 是的内接三角形， ， ， 所对的弧都是弧， ， ， 即， ， 则即为所求． (2) 小问详解： 如图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的内接三角形，， ， 是弦，且， 点是弧的中点， ， 是的平分线． 49．【答案】（1）如图1中，∠CAD即为所求； （2）如图2中，△ACE即为所求． 【分析】 （1）作直径AD，连接CD，AC，则∠ADC＝60°，∠DAC＝30°； （2）作直径BE，连接EC，AE，AC，△ACE即为所求． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等边三角形的判定等知识，掌握圆内接四边形的性质是关键． 50．【答案】（1） 如图1中，直径即为所求．      （2） 如图：即为所求； 【分析】 本题考查网格中作图、圆周角定理、平行线的性质、等边对等角等知识点，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键． （1）利用90度的圆周角（即）所对的弦是直径可画出直径； （2）如图：取圆与格线的交点D，然后连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接，则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 51．【答案】（1）； （2）证明：是的直径，点，，在上， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）；理由如下： 在对余四边形中，， ． ， 将绕点逆时针旋转， 得到，连接，如图， ，， ，，， 是等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查新定义，多边形的内角和，互余，勾股定理，圆周角，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，分类讨论：① 当和互余时，② 当与互余时，逐个分析求解即可； （2）先推导出，则，即可解答； （3）先求出，则将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，推导出是等边三角形，得到，继而证明，则，得到，即可解答． 【详解】 解：（1）∵四边形是对余四边形， ① 当和互余时， ， ∴． ② 当与互余时， ， 则， ∴，不符合题意，舍去． 故答案为：． （2）略 （3）略 52．【答案】（1） 解：方程是“勾系一元二次方程”，理由如下： ， 由题意知：， 满足且， 故方程是“勾系一元二次方程”；     （2） 证明：是“勾系一元二次方程”， ， ， 必有实数根；     （3）      【分析】 （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可； （3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，作于，的延长线交于．    关于的方程是“勾系一元二次方程”， ， ，， ， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．【答案】（1） 如图所示为所求：         （2） 如图所示为所求： 【分析】 本题考查了尺规作图-无刻度直尺作图，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余． （1）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再延长至上交点P，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，而，点P在上即为所求； （2）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再连接，并延长至上交点D，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，则，连接，此时所对的圆周角为和，根据同弧所对圆周角相等可知，而与交于点Q，点Q在上即为所求． (1) 小问详解： 解：作法： ① 连接，并延长至上交点P， ② 连接，此时满足，点P即为所求． (2) 小问详解： 解：作法： ① 连接， ② 连接，并延长至上交点D， ③ 连接，此时线段与线段交点Q，满足，点Q即为所求． 54．【答案】或或 【分析】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，分两种情况：当点在劣弧上时，连接，则此时，当时，此时；当时，；当时，此时，此时点与点重合，不符合题意；当点在优弧上时，此时，再结合等腰三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵内接于，，， ∴， 如图，当点在劣弧上时，连接，则此时， ∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ， ∴， ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 当时，此时，此时点与点重合，不符合题意； 当点在优弧上时，此时， ， ∵为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在一种情况，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 考点06 弧长和扇形面积 1．A 2．【答案】x度 【分析】 根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角． 【详解】 解：根据题意得，圆锥的母线长为：， 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， 解得：， 该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长=展开图扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，母线长=，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 3．【答案】 【详解】 解：根据题意，得：传送带上的物品A被传送的距离等于圆心角为的扇形的弧长， ∴传送带上的物品A被传送的距离为． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】 解：如图所示，     ∵正方形的边长为6， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中① ② 两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形的面积公式．根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故答案为：． 6．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，扇形的面积公式. （1）直接根据因式分解法求解即可； （2）根据勾股定理求出，根据三角形内角和求出，进而根据扇形的面积公式计算即可. (1) 小问详解： 解：， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：在中，，， ． 7．【答案】 【分析】 连接EB，由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，则由题意可得阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，进而可得阴影部分的面积即为扇形EAB的面积，然后问题可求解． 【详解】 解：连接EB，如图所示： ∵，， ∴∠ABC=30°，， 由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，， 由阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，可得：， ∴； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积计算公式及割补法求解不规则图形面积是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 题目主要考查弧长计算，补角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出在线段上转过了周，考虑经过点B从到时，即从与相切到与相切转动了一个的补角，即，同理得出经过C、D两点时都要转过一个补角的度数，即，，然后求解即可． 【详解】 解：圆的周长为， ∵， ∴， ∴转过周， ∵， ∴经过点B从到时，即从与相切到与相切转动了一个的补角，即， 同理：经过C、D两点时都要转过一个补角的度数，即，， ∴在三个点处共转动了：，即周， ∴自点A至点E转动了周， 故答案为：． 考点07 圆的切线 1．【答案】18 【分析】 本题主要考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，通过连接半径构造等腰三角形和利用切线性质，结合三角形内角和定理计算角度即可得解． 【详解】 解：连接，如图， ∵是的切线，是半径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴, ∴ 在中，， 故答案为：． 2．【答案】（1） 证明：如图，连接OC；　 ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠A+∠OBC=90°， 而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB， ∴∠DCB+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴DC为⊙O的切线；      （2）⊙O的半径为6．      【分析】 （1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题； （2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接OE， ∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点， ∴==， ∴EO⊥AB， 设OA=OE=R，OF=8-R， 在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2， ∴（2）2=R2+（8-R）2， ∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）． ∴⊙O的半径为6． 【点睛】 本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 3．【答案】（1）D；（2）①，② 【分析】 本题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，扇形面积公式，圆周角定理，勾股定理等知识点． （1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）① 连接，根据切线长定理以及圆的切线的性质可得．然后根据四边形内角和定理以及圆周角定理可得，则； ② 连接，延长交于点D，由① 得，可得是等边三角形，证明出，在中，，则，在中，，设，则，根据勾股定理得：，解得，再由求解即可． 【详解】 解：（1）连接，如图所示， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：D． （2）① 如图1，连接． 分别与相切， ． ． 又， ， ． ② 连接，延长交于点D． 由① 得． ， 是等边三角形． ， ， ， ， ． 在中，，则 在中，，设， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，解得（舍负） ． 4．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． (1) 小问详解： ∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； (2) 小问详解： ∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 5．【答案】（1）     （2）实数m的值为或     （3）      【分析】 本题考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式是解此题的关键． （1）由直线可得，，，再根据求距离公式计算即可得解； （2）将直线解析式化为，故，，，求出点到直线的距离为，再由与直线相切得出，即，计算即可得解； （3）求出点到直线的距离为，从而可得点隔直线的最远距离为，此时最大，再由三角形的面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：由直线可得：，，， ∴点到直线的距离为； (2) 小问详解： 解：将直线解析式化为，故，，， ∴点到直线的距离为， ∵与直线相切， ∴，即， 解得：或， 故实数m的值为或； (3) 小问详解： 解：直线中，，，， ∴点到直线的距离为， ∴点隔直线的最远距离为，此时最大，为． 6．【答案】（1）     （2） 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线．      【分析】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、证明直线是圆的切线、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由圆周角定理可得，求出，即可得解； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出，证明为等边三角形，得出，进而得出，即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，设，    ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即． 【点睛】 本题考查切线的判定，线段垂直平分线的定理，勾股定理，等边对等角等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．【答案】（1）① 如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2） 【分析】 （1）① 如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；② 如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】 解：（1）略 （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】 本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 9．【答案】（1）证明见解析     （2）①；②      【分析】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证； （）① 连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；② 连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解； (1) 小问详解： 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ② 如图，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由① 可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）先由勾股定理求出，再由等面积法列式求出，最后再由勾股定理求出即可； （2）先证明，结合切线性质，等量代换得到即可得证； （3）先得到、，在中，求出，数形结合，得到，代值计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ∵为的直径， ， ， ， ； (2) 小问详解： 证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ， 点是的中点， 在中，是斜边上的中线，则， ， ， ， 是的切线， ， ， 为半径， ∴是的切线； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ∵为的直径， ， 在中，，，，则， ∴， 则， ． 【点睛】 熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法—连半径证垂直、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 考点08 三角形的内切圆 1．【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴．     （2） 证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线．      【分析】 （1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC； (2)证明：连接MD、ME ∵BD、CE是△ABC的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M为BC的中点 ∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC ∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC+CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC (3)证明：取BG中点N，连接EN、FN ∵CE、AF是△ABC的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG ∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG ∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED 同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点G是△DEF的内心 【分析】 (1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等． (2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补． (3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线． 【详解】 解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上 故答案为：ME＝MD＝MB＝MC (2)略 (3)略 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系. 考点09 正多边形与圆 1．C 2．【答案】8 【分析】 本题主要考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握正六边形内接于圆时边长最大是解题的关键． 如图：先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】 解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 3．【答案】（1） 解：如图所示为所求：      （2） 解：如图所示为所求： 【分析】 本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）已知点在外，且的半径为，则的长可能是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列说法正确的是（     ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 3．（2026·江西九江外国语学校·五模）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江西宜春·期中）的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在　　　　．（填“内”或“外”或“上”） 6．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为　　　　　． 7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 8．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 9．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，∠EOD＝84°，AE交圆O于点B，且AB＝OC．求∠A的度数． 10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    （1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形． （2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形． 11．（25-26学年九上·江西宜春·期中）已知扇形中，，半径，点D在弧上运动，点C为中点，点D绕点C顺时针旋转后得点E，连，则的最小值为　　　　　． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作　　　　　　　　个． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）下列命题中正确的是（     ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 2．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，于，若的直径为，，则长为（       ）. A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为点，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，则水深为　　　　　． 6．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为　　　　　　寸． 7．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，为的直径，弦，垂足为，若的半径为，，则的长为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大 意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸） 9．（25-26学年九上·江西宜春·期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是　　　　　　 ． 11．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； （2）在图2中作出的直径，使． 12．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 13．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点D到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 14．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，弦垂直平分半径． （1）求的度数； （2）若弦的长为，求的直径． 17．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为3cm，则该铅球的半径为　　　　　　　　　　cm． 18．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 19．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 20．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 21．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画弧的中点D； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知在中，半径，、是两条平行弦，且，，则弦的长为　　　　　　　　． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为　　　　　． 2．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，正方形内接于，M为的中点,连接．求证：． 3．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，在中，，，则的度数为　　　　　． 4．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，点、、、都在上，若，求证：． 5．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）某校积极贯彻国家推进人工智能教育的政策，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有多少人． 6．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 8．（25-26学年九上·江西宜春·期中）（1）解方程：； （2）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D. 或 5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，点，，在上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，点A，B，C三点在上，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，点，，在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，为的直径，是上的两点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，是的直径，是弦，若，则等于（       ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 18．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 21．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）（多选）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 23．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，是的直径，点，在上．若，则　　　　　　　　　　度． 24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 25．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 26．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，内接于，若，则　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 29．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）（多选）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 31．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 32．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，锐角是⊙的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的平分线． 33．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）请仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）在图1中，为的弦，点在上，点在弦上，，画有一个内角为的直角三角形； （2）在图2中，为的直径，点是内一点，画的高． 34．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，为锐角，其顶点，都在上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，的顶点在上，作顶点为的的余角． （2）在图中，的顶点在内，作顶点在直线上的的余角． 35．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2． （1）求⊙O的半径； （2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　     　． 36．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 37．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为　　　　　　． 38．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 39．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 40．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，是圆的直径，点、在圆上，，与交于，，则的度数为　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度． 42．（25-26学年九上·江西上饶·期中）按要求作图： （1）如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； （2）如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 43．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，是的直径，是的中点，交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 44．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． （1）试说明：； （2）求证：平分； （3）若，，且经过圆心，求的长． 45．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，已知，且，求的长． 46．（25-26学年九上·江西宜春·期中）仅用无刻度的直尺，按要求分别在下列两个图形中作图（保留作图痕迹，不必写作图过程）． （1）如图1，已知内接于，点P为弦的中点，作出的平分线． （2）如图2，已知四边形内接于，，点Q为弧的中点，作出弦的中点． 47．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的一个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺按下列要求分别画图．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中，画出△ABC的角平分线AF； (2)在图②中，画出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG. 48．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． （1）如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角． （2）在图③中，是的内接三角形，，是上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 49．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 50．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，作圆的直径； （2）在（1）的条件下，在图2作的角平分线． 51．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）定义：有一组对角互余的凸四边形叫作对余四边形． 【理解】 （1）若四边形是对余四边形，且，则_____； 【证明】 （2）如图1，是的直径，点，，在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 【探究】 （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 52．（25-26学年九上·江西上饶·期中）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______． 53．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，点A，B，C在上，请仅用无刻度的直尺画图．    （1）在图1中，在上找一点P，使得． （2）在图2中，在上找一点Q，使得． 54．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，内接于，，，点P是上异于点A、B、C的一动点，若为等腰三角形，则的度数为　　　　． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送　　　　　　　　　　　．（结果保留） 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，正方形的边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是　　　　　．（结果保留） 6．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，点D是的中点，和都经过点D，求图中阴影部分的面积． 7．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图中，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为，已知，则图中阴影部分的面积　　　　　　　　 8．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，半径为的沿折线作无滑动的滚动，如果，，那么，自点A至点E转动了　　　　　　　周． 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，延长的直径到点D，作与相切于点C，若，则　　　　　　． 2．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A.          B．          C．          D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）已知为的直径，，C为上一点，连接． （1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长； （2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 5．（25-26学年九上·江西宜春·期中）阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： （1）点到直线的距离为______； （2）已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； （3）如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 6．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，． （1）求的大小; （2）求证：直线是的切线． 7．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 8．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 9．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 10．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 考点08 三角形的内切圆 1．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 2．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　                                     ． (2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．) (3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心． 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法． （1）在图1中画一个的内接正方形； （2）在图2中画一个的内接正八边形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $