专题05 旋转（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题05 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（     ） A.  B. 6 C. 3 D.  4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（       ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（       ） A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° 6．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 9．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（       ） A. 4 B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ） A. 把△ABC向右平移6格 B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C. 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 15．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE=；③四边形AEGF是菱形；④BC＋FG=1.5.其中结论正确的是(　　) A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）“中国制造2025”智能机械臂工作中，将绕点C逆时针旋转α得到．当机械臂处于特殊位置时，B落在延长线上且．若，则的度数为（   ）． A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（     ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 18．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 19．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 20．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 21．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____； （2）画出与关于原点对称的． 22．（25-26学年九上·江西赣州·期末）（1）解方程：； （2）如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，求． 23．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如下图，已知为等腰三角形，．将绕点A逆时针旋转得到，连接交于点D．求的长度． 24．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）一副三角板如图放置，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得三角板的一边所在的直线与所在的直线垂直，则的度数为　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则　　　　　　　°． 27．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图（保留画图痕迹，不写画法） （1）将绕点O逆时针旋转得到，画出． （2）与关于原点O成中心对称，画出． 28．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）在平面直角坐标系中，若将点绕原点O按顺时针旋转，则点P的对应点的坐标是　　　　． 30．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，点A的坐标为，将线段绕原点O逆时针旋转后，点A的对应点的坐标为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是由绕点B按逆时针方向旋转得到的，若，则的度数为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 33．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为               ； （2）若，求的长． 34．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则　　　　　°． 35．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 36．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）（1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 37．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为　　　　　　． 38．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 39．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在矩形中，，，将线段绕顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，线段的长度为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到对应的． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标． 41．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是　　　　　　　　 （填序号）． ①；②；③；④． 42．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝　　　　　　　　　　　度 43．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）【问题原型】 （1）如图①，正方形的边长为a．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为　　　　；（用含a的代数式表示） 【变式探究】 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．（用含m的代数式表示） 44．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为　　　　　． 45．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，的顶点坐标分别为点，，，将绕原点顺时针旋转，得到． （1）画出，则点的坐标为_____； （2）求的面积． 46．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 47．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，请按要求完成下列任务．    任务一：将向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，画出，并写出的坐标； 任务二：将绕点B旋转，得到，画出，并写出的坐标； 任务三：在x轴上求作一点P，使的值最小，并求出点P的坐标及的最小值． 48．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，中，，，是上一动点（与、不重合），将绕点逆时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）点在移动的过程中，四边形是否能成为特殊四边形？若能，请指出点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由． 49．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 51．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 52．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，若，则　　　　　　． 53．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置． （1）旋转的角度是多少度？ （2）若，求线段的长． 54．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图1，D是内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数． （3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由． 55．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的并写出的坐标； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； （3）是内的任一点，在（）的条件下，旋转后对应点的坐标为               ．（用表示） 56．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 57．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 58．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 59．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 60．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 61．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）矩形ABCD中，，，E为BC的中点，点F在AB上，，将EF绕点E顺时针旋转角，当点F落在矩形上时，得到，则此时长为　　　　　　． 62．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 63．（25-26学年九上·江西上饶·期中）在等腰直角中，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．若，则的值为　　　　　　． 64．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求的长． 65．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）（多选）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 66．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕原点旋转的；并写出各点的坐标． （2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标． 67．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，将面积为12的正方形和面积为16的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为，，则　　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图①，在与中，，． （1）与的数量关系是：________． （2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：． ②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由． 69．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（多选）如图，ΔABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC=60º，∠ACB=25º，求∠FGC的度数． 70．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上．    （1）将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，请画出线段．（点的对应点为点） （2）以线段为一边，作一个正方形，且点，也为格点．（作出一个正方形即可） 71．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 72．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点A顺时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，连接． （1）求的度数． （2）若，求的面积． 73．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，，是的中点，将绕点按逆时针方向旋转，得到．当恰好为轴对称图形时，的值为　　　　　　． 74．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． （1）求证：点B，C，D在同一条直线上； （2）若，，求的面积． 75．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点 O 成中心对称的； （2）画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 76．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 77．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． （1）若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； （2）若，求的长． 78．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为　　　　　　　　． 79．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）在中，，将绕点顺时针旋转得到． 如图，________°； 连接交直线于点，直线交于点． ①如图所示，试说明； ②设，旋转的角度，当、满足什么关系时，是等腰三角形． 80．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）（1）解方程：． （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长． 81．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 82．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是　　　　　　． 83．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 84．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为　　　　　　　　　 ． 85．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 86．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）一副三角板按如图所示放置（点A，D，B在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点B顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为　　　　　　　　　　　． 87．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，点是正方形的边上一点，逆时针旋转后能够与重合． （1）请你判断的形状，并说明理由； （2）过点作垂直于点，交于点，若，，求的长． 88．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． （1）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． （2）正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 89．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； （2）【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； （3）【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．          B．     C．          D． 90．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 91．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为　　　　　　 ． 92．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，菱形ABCD，∠D＝120°，E为菱形内一点，连接EC、EB．再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连接FA、EF，且EF交AB于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若∠EBC＝45°，求∠AGE的大小． 93．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 94．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 95．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ①               ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是               ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 96．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为　　　　　　　　． 97．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在中，，，为内一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点． （1）的度数为______； （2）求证：； （3）直接用等式表示，，的数量关系． 98．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图1，B，C，D三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N． （1）求证：； （2）如图2，连接MN，求证：； （3）如图3，将图1中的绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），连接CF，探究线段AF、BF、CF之间的数量关系并说明理由． 99．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 100．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则　　　　　　． 101．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）【问题探究】． （）如图，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外）连接； ①求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： 【迁移探究】 （）如图，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 102．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）在中，，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转得到，当恰为等腰三角形时，的值为　　　　　　 103．（25-26学年九上·江西上饶·期中）（1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 104．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）[提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 105．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）课本再现： 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，E为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，连接． ①求出点D到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． 106．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，． D，E 分别为的中点，将以点C 为旋转中心，逆时针方向旋转后得到，连接． 初步感知 （1）如图2，当三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为          ．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明． 延伸探究 （3）如图4，当旋转角满足 时，连接，，请通过计算求四边形面积的最大值． 107．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题． 例如：如图1所示，在正方形中，点分别为边上的点，． 求证：； 如图2，小明延长至G，使得，形成一组旋转三角形，即…… （1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程． 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： （2）如图3，在正方形中，点E为边上的点，交于F，探索之间的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图4，在中，，点在边上，，若面积为，请求出的面积． 108．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 109．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为　　　　　　　　　　　． 110．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为　　　　　　． 111．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 112．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是　　　　　　． 113．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 114．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为　　　　　　　　　　　　　　　　． 115．（25-26学年九上·江西宜春·期中）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是     三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边内有一点，连接，，，若，，，求的大小． （3）【解决问题】如图3，在等边内有一点，，，，求的边长． （4）【综合应用】如图4，点为一动点，，，，连接、、，则的最小值为______． 116．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）【课本再现】如图1，A．B两点分别位于池塘的两端，小外想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小外想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C．连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，利用、则米． 【思维探索】在和中，，且，．将绕点A逆时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的两侧）．设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接． （1）如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是； （2）如图3，当时，点D落在：边上，请判断与的数量关系和位置关系、并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，当时，若，请直接写出的值． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 2．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，已知的三个顶点坐标为． （1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）将绕坐标原点O顺时针旋转直接写出点A的对应点的坐标________； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能的坐标． 3．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点绕点逆时针方向旋转后所对应的坐标是            ； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求的面积． 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出将绕点B顺时针旋转后，所得到的． 5．（25-26学年九上·江西南昌·期中）请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，作出关于点对称的； （2）如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州·期末）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）下列图形是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列交通禁令标志中，其图案部分是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西宜春·期中）近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）2025年春节期间，人工智能AI温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.    D.  14．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·江西南昌·期中）“数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      28．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·江西上饶·期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图是的正方形网格纸．请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，线段的顶点在格点上，请在图中作以点A，B为顶点的四边形，使得该四边形是中心对称图形，且其顶点均在格点上（画出一个即可）； （2）如图2，矩形的顶点都在格点上，点M是边上任意一点，请在图中画出直线，使得直线平分矩形的面积． 35．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； （2）在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 36．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； （2）在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 37．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在平面直角坐标系中，有一个机器人从原点出发进行移动任务．已知点代表机器人的一个初始位置，我们把与初始位置关于原点对称的位置设定为机器人完成动作后的目标位置．那么机器人完成动作后对应的目标位置坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）若点和点关于原点对称，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 8 D.  3．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知点A和点B关于原点对称，则（       ） A. 1 B.  C. 3 D.  4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）点关于坐标原点对称点坐标为　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）点关于原点的对称点坐标为　　　　　． 6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知点和关于原点对称，则　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）对应点、的坐标分别是：______，______． 13．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知和关于原点对称，则　　　　　　　 ． 15．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 17．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 18．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 20．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）若点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 23．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）若点和点关于原点成中心对称，则点在第　　　　　　象限． 24．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 26．（25-26学年九上·江西南昌·期中）点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 28．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）（1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 29．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西上饶·期中）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝　　　． 31．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； （2）绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数. 【详解】 解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 2．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】 解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（     ） A.  B. 6 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】 解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（       ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（       ） A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° 【答案】B 【分析】 由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】 ∵将三角形ABC绕点A旋转65°得到ADE， ∴∠BAD=65°，∠C=∠E=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD=90°-∠C =20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°， 故答案选：B． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，通过旋转的性质得出题中角的度数，再根据直角三角形的性质与角的加减计算求解即可． 6．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】 解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′ ∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选C． 【点睛】 考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大． 7．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以． 【详解】 解：∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】 解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】 解：由旋转变换的性质可知：，， ． 故选：D． 10．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（       ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角线长度即可． 【详解】 解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转得到的， ， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， 故选：C． 11．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 根据旋转性质得，，，再由等边对等角得，结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】 解：由旋转性质得，，，， ，， 中，． 故选：． 12．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由旋转的性质可得，，，从而得到，再结合，可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：由旋转的性质得：，，， ， ，， ， ， ． 故选：B． 13．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】 解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 14．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ） A. 把△ABC向右平移6格 B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C. 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 【答案】D 【详解】试题分析：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到． 根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合． 考点：几何变换的类型． 15．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE=；③四边形AEGF是菱形；④BC＋FG=1.5.其中结论正确的是(　　) A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB，进而得知DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，之后可证△ADF≌△GDF，四边形AEGF是菱形，再根据勾股定理可知AE的长度，进而可以一一判断选出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB， ∴DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD， 在Rt△AED与Rt△GED中，AD=DG，ED=ED， ∴Rt△AED≌Rt△GED（HL） ∴∠ADE=∠GDE，即DE平分∠ADB，故① 正确； 在△ADF和△GDF中，AD=DG，∠ADF=∠GDF，DF=DF， ∴△ADF≌△GDF（SAS） ∴AF=GF，∠DAF=∠DGF=45° 又∵∠ABD=45° ∴FG∥AE ∵∠DAC=45°， ∴∠DAC=∠H， ∴AF∥EG ∴四边形AEGF是平行四边形， 又∵AF=GF ∴平行四边形AEGF是菱形，故③ 正确； ∵∠H=45°，∠HAE=90° ∴AE=AH ∵AE=AF=HD－AD=BD－AD, ∵正方形ABCD的边长为1，根据勾股定理可知BD=== 即HD=, ∴AE=－1, ∴BE==，故② 正确； ∵四边形AEGF是菱形, ∴FG=AE=－1, ∴BC+FG=1＋－1=，故④ 错误； 综上所述结论正确的为① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理和直角三角形的性质，是一道综合性较强的题，能够充分调动所学知识是解题的关键． 16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）“中国制造2025”智能机械臂工作中，将绕点C逆时针旋转α得到．当机械臂处于特殊位置时，B落在延长线上且．若，则的度数为（   ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和平行线的性质是解题的关键． 利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵旋转角度， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转α得到 ∴， ∴， ∴． 故选：C． 17．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（     ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 【答案】D 【分析】 本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 18．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【分析】 此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】 证明：是由旋转得到    ，， ， 19．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1） 如图，图形即为所求， ；     （2） 如图，射线即为所求， ． 【分析】 本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． (1) 小问详解： 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 21．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____； （2）画出与关于原点对称的． 【答案】（1） 如图，即为所作．点的坐标为，      （2） 如图，即为所作． 【分析】 本题考查作图：原点对称变换，旋转变换等知识． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·江西赣州·期末）（1）解方程：； （2）如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，求． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）利用配方法解方程即可； （2）由旋转可得，，则，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：（1）， ， 或， 解得，； （2）根据旋转的性质，得，． ∴， ∴． 23．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如下图，已知为等腰三角形，．将绕点A逆时针旋转得到，连接交于点D．求的长度． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，熟练运用相关性质是解题的关键． 利用旋转的性质和等腰三角形的特性可得是直角三角形，则可利用勾股定理求出的长度． 【详解】 ． ， ， ， ， ， ． 故答案为:的长度为. 24．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据旋转的性质，得到是直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：∵、， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质以及勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 25．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）一副三角板如图放置，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得三角板的一边所在的直线与所在的直线垂直，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】15°或45° 【分析】 分情况讨论：①；②画出图形即可求解． 【详解】 解：分情况讨论： ① 如图1，当时， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ② 如图2，当时， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键． 26．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内角和，角的和差是解题关键．根据图形旋转可得，，进而可求的度数． 【详解】 解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为95． 27．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图（保留画图痕迹，不写画法） （1）将绕点O逆时针旋转得到，画出． （2）与关于原点O成中心对称，画出． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 （1）利用平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，确定各顶点旋转后的对应点，再连接这些点得到． ① 点旋转后，的坐标为； ② 点旋转后，的坐标为； ③ 点旋转后，的坐标为； ④ 依次连接这三个点，得到． （2）利用关于原点成中心对称的点的坐标特征，确定各顶点的对称点坐标，再连接这些点得到 ① 点关于原点对称的点的坐标为 ② 点关于原点对称的点的坐标为 ③ 点关于原点对称的点的坐标为 ④ 依次连接这三个点，得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了图形的旋转和中心对称作图，解题关键是掌握点绕原点逆时针旋转以及关于原点中心对称的坐标变换规律，从而准确得到变换后点的坐标，进而完成图形绘制． 28．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=　　　　　　　　． 【答案】15°度 【分析】 根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形 又∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】 此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 29．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）在平面直角坐标系中，若将点绕原点O按顺时针旋转，则点P的对应点的坐标是　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转点的坐标变换规则． 点绕原点顺时针旋转，其坐标变换规则为：新点的横坐标为原点的纵坐标，新点的纵坐标为原点横坐标的相反数． 【详解】 解：点绕原点顺时针旋转，根据旋转规则，对应点的横坐标为，纵坐标为，即对应点坐标为， 故答案为． 30．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，点A的坐标为，将线段绕原点O逆时针旋转后，点A的对应点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转以及点的坐标变化规律，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转后，其对应点的坐标变为，根据此规律求解出点A旋转后对应点的坐标． 【详解】 解：如图，过点作轴于点C， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵线段绕原点O逆时针旋转， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，是由绕点B按逆时针方向旋转得到的，若，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，旋转性质等．根据题意利用内角和定理可得，再利用旋转性质即可得到本题答案． 【详解】 解：∵是由绕点B按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质．根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，所以，得，根据三角形外角性质可得度数，又，则可求． 【详解】 解：根据旋转的性质可知，且， 所以是等腰直角三角形． 所以； 根据旋转的性质可得， ． ． ． ∴． 33．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为               ； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． (1) 小问详解： 解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 34．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则　　　　　°． 【答案】52 【分析】 本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为52． 35．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1） 解：如图所示： 即为所求；     （2） 解：如图所示： 即为所求；     （3），      【分析】 本题考查平面直角坐标系中变换作图，涉及关于原点对称作图、旋转作图及旋转的坐标特征，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于原点对称的点，连接三个顶点即可得到答案； （2）分别作出三个顶点绕原点按逆时针方向旋转后的点，连接三个顶点即可得到答案； （3）由（2）中图形，数形结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：中顶点坐标为，若为边上一点，则点对应的点的坐标为， 故答案为：，． 36．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）（1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，旋转的性质， 对于（1），先移项，配方，再开方求出解； 对于（2），根据旋转的性质得，再根据全等三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】 解：（1）移项，得， 配方，得， 配方，得， 开方，得， ； （2）将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且， ， ． 37．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 38．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在矩形中，，，将线段绕顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，线段的长度为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 如图，连接、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出，，然后分两种情况：① 点在上方；② 点在长方形内时，结合旋转的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接、，交于点， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ① 点在长方形内时， 如图，连接，则， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ② 当点在下方时， 如图，延长至点，使，连接、，则，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点是的中点， ∵，即， ∴， 若点与重合，则， 此时， 综上所述，线段的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与判定，垂直平分线的判定性质，等腰三角形的三线合一等知识点，运用了分类讨论的思想．正确作出辅助线是解题的关键． 40．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到对应的． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，      （2），     （3）      【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点和点即可； （2）利用（1）所画图形确定点和点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而求得直线的解析式为，令，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，； (3) 小问详解： 解：如图所示， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 【点睛】 本题考查了画旋转图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，一次函数与坐标系交点坐标，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 41．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是　　　　　　　　 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明，得出，，推出① ③ ④ 正确；由题意无法证明，故② 错误． 【详解】 解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴B，C，M共线， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故① 正确； ∴，故④ 正确；，故③ 正确； 由题意无法证明，故② 错误； 故答案为：① ③ ④ ． 42．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝　　　　　　　　　　　度 【答案】40 【分析】由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′，根据等边对等角可得：∠B′=∠B′BC，根据三角形外角的性质可得：∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°，从而求出∠B′BC和∠ABC，即可求出∠A′BA. 【详解】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′ ∴∠B′=∠B′BC ∵∠BCA′＝45°， ∴∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70° ∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=70° ∴∠A′BA=180°－∠B′BC－∠ABC=40° 故答案为：40 【点睛】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、三角形外角的性质和等边对等角是解决此题的关键. 43．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）【问题原型】 （1）如图①，正方形的边长为a．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为　　　　；（用含a的代数式表示） 【变式探究】 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； （2）根据旋转的定义和线段的定义画出图形即可；过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； 【详解】 （1）正方形的边长为， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． （2）过点作，交的延长线于点，    四边形是矩形， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， 则的面积为． 44．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为　　　　　． 【答案】2度 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，的顶点坐标分别为点，，，将绕原点顺时针旋转，得到． （1）画出，则点的坐标为_____； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为．      （2）1      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接可得，再写出点的坐标即可； （2）运用三角形面积公式直接求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积． 46．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， ， 即． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出，再利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形为菱形，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 47．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，请按要求完成下列任务．    任务一：将向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，画出，并写出的坐标； 任务二：将绕点B旋转，得到，画出，并写出的坐标； 任务三：在x轴上求作一点P，使的值最小，并求出点P的坐标及的最小值． 【答案】任务一：如图所示，即为所作；； 任务二：如图所示，即为所作；； 任务三：如图所示，点P为所作；最小值． 【分析】 任务一：根据平移的性质作出图形，再由点的位置写出坐标即可； 任务二：延长到，使，延长到，使，再连接；根据位置写出坐标即可； 任务三：连接交x轴于P，再利用待定系数法求出直线的表达式，根据求一次函数图象与x轴的交点坐标即可得点P坐标，利用勾股定理求出线段的长，根据两点间线段最短即可得出答案． 【详解】 解：任务一、二：略 任务三：设直线的表达式为， 则 ，解得 ， 当时， ． 由勾股定理可得的最小值为． 【点睛】 本题考查平移作图，中心对称作图，点的坐标，线段最短，勾股定理，熟练掌握平移与中心对称作图，线段最短和勾股定理是解题的关键． 48．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，中，，，是上一动点（与、不重合），将绕点逆时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）点在移动的过程中，四边形是否能成为特殊四边形？若能，请指出点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵绕点逆时针方向旋转至， ∴，， 而，， ∴， ∴， ∴； （2）点为的中点时，四边形能成为正方形. 理由如下：当点为的中点时，而，， ∴，即， 由得， 而， ∴， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形能成为正方形． 【分析】 （1）CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，根据旋转的性质得CE=CD，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC，得∠ECB=∠DCA，则△ECB≌△DCA，得到∠EBC=∠A； （2）当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC，则CD⊥AB，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A，而∠CBA=∠A=45°，得到四边形CDBE为矩形，由CD=CE，得到四边形CDBE能成为正方形． 【详解】 略 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及正方形的判定方法． 49．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，        当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 50．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                                                    在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 51．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图② ，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）6 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）先根据正方形的性质可得，再将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合，根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，然后利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】 解：（1）如图① ，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∵， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3）设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， 由（2）已证：， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以正方形的边长为6． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 52．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 53．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置． （1）旋转的角度是多少度？ （2）若，求线段的长． 【答案】（1）度     （2）      【分析】 本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，求旋转对称图形的旋转角度，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据旋转的性质得出为旋转角，再根据正方形的性质，得出，从而可得旋转的角度； （2）先根据旋转的性质得出，再利用勾股定理求得． (1) 小问详解： 解：∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴为旋转角， ∵四边形是正方形， ∴， 即旋转的角度是度； (2) 小问详解： ∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴， ∴． 54．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图1，D是内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数． （3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针方向旋转至AE， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3） 解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，可证得，即可； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，，可证得，可得，即可； （3）根据平移的性质可得，，从而得到，可证得，进而得到，，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵将绕点A逆时针方向旋转至， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质是解题的关键． 55．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的并写出的坐标； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； （3）是内的任一点，在（）的条件下，旋转后对应点的坐标为               ．（用表示） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为；      （2）解：如图所示，即为所求；     （3）      【分析】 （）根据中心对称图形的性质作出图形，再根据图形写成点的坐标即可； （）根据旋转的性质作图即可； （）根据旋转前后对应点的坐标变化找出规律即可求解； 本题考查了作中心对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，，， ∴旋转后的对应点的坐标为， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题： （1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数； 请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； （2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系． 【答案】（1） 思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接， 则 ∴， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接， ∴ ∴, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 则 为等边三角形， 【分析】 （1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，则再证明即可；思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，则再证明即可； （2）如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 再证明为等边三角形，从而可得结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键. 57．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）△A1B1C如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）（-1，0）． 【分析】 （1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换． 58．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，连接，恰好使得，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：线段绕点旋转到， ， 又，， ， ；     （2）      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据三角形外角的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 59．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 60．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （）延长至，连接，取的中点，再连接，交于点，由等腰三角形的性质可知是的角平分线； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转作图，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）矩形ABCD中，，，E为BC的中点，点F在AB上，，将EF绕点E顺时针旋转角，当点F落在矩形上时，得到，则此时长为　　　　　　． 【答案】1或7或 【分析】 根据题意作出图形，过点作，分情况讨论，根据F在边上，F在AD上有两个，在CD上有一个，利用勾股定理可得． 【详解】 解：如图， 是BC的中点，， ， ，， 在中， ， 当点F在AD上时，作于G， ,， ， ， ， 根据对称性，， ， ， 综上所述：或7或， 故答案为：1或7或 【点睛】 本题考查了旋转不变性，对称性，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出所有满足条件的点． 62．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴；     （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 63．（25-26学年九上·江西上饶·期中）在等腰直角中，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．若，则的值为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．证明，推出，分两种情况讨论：过点E作于点M，求出即可解答． 【详解】 解：如图，当D在线段上时，过点E作于点M，连接， ∵， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 故答案为：或． 64．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求的长． 【答案】（1）旋转中心为点A，旋转角的度数为     （2）      【分析】 本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角即为的大小； （2）由旋转的性质得到，，再根据点恰好成为的中点即可解答． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2) 小问详解： 解：由旋转得，， ∵为的中点， ∴， ∴． 65．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）（多选）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ， 线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质可知，从而得，再证，即可得答案； （2）由知为等边三角形，即，继而由，即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如下图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋转的性质证出． 66．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕原点旋转的；并写出各点的坐标． （2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求； ，，；     （2）      【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点A关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，然后利用待定系数法求的解析式，求出与轴的交点坐标可求点的坐标． (1) 小问详解： ∵绕原点旋转得到，即点A、B、C关于原点的对称点为、、， 又，，， ∴，， ． (2) 小问详解： 如图，作点关于x轴的对应点，连接，点即为与轴的交点，此时的周长最短， 设的解析式为，过点与点，把坐标代入解析式得： ， 解得 ， 的解析式为， 当时，， 解得． 此时点坐标为 ． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求直线解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 67．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，将面积为12的正方形和面积为16的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】 解：∵正方形的面积为12，正方形的面积为16， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 68．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图①，在与中，，． （1）与的数量关系是：________． （2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：． ②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由． 【答案】（1）     （2） ① 证明：由旋转的性质，得， ∴，即 . ∵，， ∴， ∴； ② 解：.理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握． （1）根据线段的和差定义即可解决问题； （2）① 只要证明，即可解决问题； ② 利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，即， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 69．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（多选）如图，ΔABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC=60º，∠ACB=25º，求∠FGC的度数． 【答案】(1)证明：∵∠CAF=∠BAE， ∴∠BAC=∠EAF． ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC=AF． 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF=BC； （2）85°． 【分析】 （1）由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC； （2）先证明△ABC是等边三角形，求出∠AEB的度数，再根据△ABC≌△AEF求出∠AEF的度数，进而求出∠GEC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC的度数. 【详解】 （1）略 （2）解：∵AB=AE，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AEB=60°． ∵△ABC≌△AEF， ∴∠AEF=∠ABE=60°， ∠GEC=180°-60°-60°=60°， ∴∠FGC=∠GEC +∠C=60°+25°=85°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键． 70．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上．    （1）将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，请画出线段．（点的对应点为点） （2）以线段为一边，作一个正方形，且点，也为格点．（作出一个正方形即可） 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；     （2） 如图所示，正方形即为所求． 【分析】 （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据正方形的性质结合网格即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． 71．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 (1) 小问详解： 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 72．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点A顺时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，连接． （1）求的度数． （2）若，求的面积． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的定义，勾股定理及利用三角形的面积公式求高． （1）先根据旋转的性质得到，利用已知条件可得出，从而再通过三角形外角的定义得到，即； （2）过点E作，利用全等三角形的性质得到，即，通过已知条件利用勾股定理求得的长度，再将求得的长度代入三角形面积公式中求出的长度，最后通过三角形面积公式求得的面积即可． (1) 小问详解： 解：由旋转的定义可知，， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴． (2) 小问详解： 解：如图，过点E作， ∵， ∴，即， 又∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 即的面积是3． 73．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，，是的中点，将绕点按逆时针方向旋转，得到．当恰好为轴对称图形时，的值为　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识；分三种情形讨论① 如图1中，当时，② 如图2中，当时，③ 如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算求解即可． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴， ∴ ∴． ① 如图1中， 当时， 在和中， ∴ ， ∴， ∴． ② 如图2中，当时，同理可证， ∴， ∴． ③ 如图3中，当时，同理可证， ∴， ∴， 故答案为：，，． 74．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． （1）求证：点B，C，D在同一条直线上； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵在中，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，D在同一条直线上；     （2）16      【分析】 本题考查旋转性质，角度计算，勾股定理，三角形内角和定理，三角形面积等． （1）由旋转性质可知，，继而可知，继而得到，即可得到本题答案； （2）根据勾股定理可得的长，再利用角度计算出，再利用面积公式即可求出本题答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积：． 75．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点 O 成中心对称的； （2）画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求．      （2） 解：如图，即为所求， ∴．      【分析】 本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形． （1）分别确定关于原点 O 对称的，再顺次连接即可． （2）分别确定绕点 O 顺时针旋转 后得到的对称点，再顺次连接，再根据的位置可得其坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 76．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】 （1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）略 77．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． （1）若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； （2）若，求的长． 【答案】（1）C；     （2）4      【分析】 本题主要考查旋转的概念和性质： （1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为的中点得出,由旋转的性质得 (1) 小问详解： 解：根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得，， ∵ ∴ ∴, ∴旋转角度为， 故答案为：C； (2) 小问详解： 解：∵，且点D为的中点， ∴ 由旋转得， 78．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 根据矩形中点的坐标求出相应线段的长度，设运动时间为t秒，分，，，三种情况，结合等腰三角形的定义和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】 解：在矩形中，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， 设运动时间为t秒， 当时， 点P与点C重合，此时；    当时， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴，即；    当时， 同理：， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴，即；    综上：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，矩形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是找准所有情况，利用等腰三角形两腰相等结合勾股定理列出方程求解． 79．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）在中，，将绕点顺时针旋转得到． 如图，________°； 连接交直线于点，直线交于点． ①如图所示，试说明； ②设，旋转的角度，当、满足什么关系时，是等腰三角形． 【答案】（1）； （2）① 由旋转的性质可知，旋转中心为点，与，与分别为对应点， ∴，，旋转角， ∴， ∴； ② 如图，，，如图，，， 如图，，，如图，，． 【分析】 （1）旋转前后，对应角相等，即∠AED=∠C=90°； （2）①由旋转的性质证明△ABD与△ACE为等腰三角形，且顶角为旋转角∠BAD=∠CAE，可证△ABD∽△ACE，得出结论； ② △BCF是等腰三角形，有三种可能，即BF=CF，BC=BF，BC=CF，分别画出图形，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角定理求关系式． 【详解】 （1）； 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质. 80．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）（1）解方程：． （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长． 【答案】（1）；（2）的长为 【分析】 （1）本题考查了解一元二次方程，利用公式法直接代入求解即可； （2）本题考查了旋转和勾股定理，先根据旋转的性质得到，，用勾股定理直接求即可． 【详解】 （1）解：， ， ． ． 即． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点， ． 的长为． 81．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ，， 为等边三角形． ， ，， ． ． 82．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是　　　　　　． 【答案】130°或100°或160° 【分析】 由旋转的性质得出BD＝AB＝BC，分三种情况：① 当DA＝DC时；② 当AD＝AC时；③ 当CA＝CD时；分别求出m的值即可． 【详解】 解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ① 当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130； ② 当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100； ③ 当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160； 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知旋转前后的对应边对应角是解题的关键． 83．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转角度是．     （2），      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）由旋转的性质可得，再由周角的性质和中点的性质求解即可． (1) 小问详解： 解∵按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质和三角形内角和定理可得：， ∴旋转角度是． (2) 小问详解： 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∵C为中点， ∴． 84．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为　　　　　　　　　 ． 【答案】2 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，全等三角形的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点是直线上的动点，当时，则有最小值，整理得，故． 【详解】 解：∵是正三角形， ∴， 将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且，则点是直线上的动点， 当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴在中，． 故答案为：2． 85．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）四边形是正方形；证明如下： ∵四边形是矩形， ∴； 当时，由旋转性质知：，； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； （2）当旋转角小于直角时，补全图形如图所示； ； 当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图所示； ； （3） 【分析】 （1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）有两种情况，分别补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． （3）连接，由，当A、E、C三点共线时，取得最小值，由勾股定理求出即可求得最小值． 【详解】 解：（1）略； （2）当旋转角小于直角时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 当旋转角大于直角则小于平角时， 同理，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上，或； （3）如图，连接， ∵， ∴当A、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为； 由勾股定理， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 86．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）一副三角板按如图所示放置（点A，D，B在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点B顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 分三种情况分别画出图形，利用平行线的性质一一求解即可． 【详解】 ① 如图1所示，当时， 则，可得旋转角； ② 如图2所示，当时， 则， ∴，可得旋转角； ③ 如图3所示，当时，作，         则， ∴，， ∴，可得旋转； 综上所述，满足套件的旋转角为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查旋转变换、平行的性质等知识点，解题的关键是学会利用分类讨论的思想考虑问题，属于中考常考题型． 87．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，点是正方形的边上一点，逆时针旋转后能够与重合． （1）请你判断的形状，并说明理由； （2）过点作垂直于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ∴， 逆时针旋转后与重合， ， ，， ∴ ， 为等腰直角三角形．     （2）2.8      【分析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由旋转的性质得，得出，，再证明，即可得出结论； （2）连接，由垂直平分线的性质得，设，求得，，根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ∴， 垂直平分， ， ∵，， ∴； 设， ，， 在中，， ， 解得， ． 88．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． （1）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． （2）正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【答案】（1）① ②     （2）正十五边形      【分析】 本题考查正多边形的性质和图形旋转的性质： （1）根据题意求出，其中n为正多边形的边数，120°能被整除则满足题意； （2），要满足题意，则可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍． (1) 小问详解： 解：如图： ，，， 能被整除，不能被整除， ∴① 等边三角形和② 正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°． 故答案为：① ② ； (2) 小问详解： ②，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍，如正十五边形． 故答案为：正十五边形． 89．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； （2）【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； （3）【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．          B．     C．          D． 【答案】（1）     （2）①，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②1     （3）ABC      【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，证明，即可得出结果； （2）① 在上截取，连接，推出，进而推出，证明，得到，角的和差关系，求出，即可得出结论； ② 过点D作于点F，证明，得到，设，分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上，在的延长线上三种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 略 ②过点D作于点F，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴，即点D到的距离为1； (3) 小问详解： 解：分三种情况讨论： ① 当点在线段上时， 由（2）① 可知：， ∴， 即：； ② 当点在线段的延长线上时， 由（2）② 可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③ 当点在的延长线上时，如图：作，连接， 与（1）同理可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：或或． 故选：ABC 90．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转可知：，， ∴是等边三角形．     （2）      【分析】 （1）根据等边三角形的判定定理证明； （2）根据旋转性质，等边三角形的性质，以及结合三角形的外角定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵是等边三角形．， ∴， 由旋转可知： ∴ ∵是的外角， ∴． 【点睛】 本题考查旋转性质和等边三角形的判定和性质，充分利用旋转性质是求解本题的关键． 91．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标， 【详解】 解：过作轴于点，如图：     ， ， ， ， ，， ， ，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 92．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图，菱形ABCD，∠D＝120°，E为菱形内一点，连接EC、EB．再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连接FA、EF，且EF交AB于点G． （1）求证：AF＝CE； （2）若∠EBC＝45°，求∠AGE的大小． 【答案】（1）四边形是菱形，， ，． 又绕着点逆时针旋转到， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）∠AGE＝105°． 【分析】 （1）先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2），， ． 又，， ， ． 【点睛】 本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知图形旋转后所得图形与原图形全等． 93．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 94．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】（1）     （2）如图1所示，      （3）      【分析】 本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． (1) 小问详解： 解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． (3) 小问详解： 解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 95．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ①               ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是               ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过点D作于点M，过点A作交延长线于点， 是由绕点C旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， ； （3）或 【分析】 （1）①在中，已知，，可求出．当绕点旋转，点落在上时，，进而求出； ②根据旋转的性质可得，然后得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证明；根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，则；由，的面积和的面积相等，从而得到与的数量关系为相等； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等即可证明； （3）过点D作，连接，证明，得出此时点符合题意，求出；过点作，证明，得出，说明，点也是所求的点，求出结果即可． 【详解】 解：（1）①在中，，， ． ∵， 是等边三角形， ． 故答案为：； ② ∵，， ∴； 绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， ∴； ∵， ∴的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 的面积和的面积相等， ； 故答案为：相等； （2）略 （3）如图，过点D作，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、上的高相等， ∴， ∴此时点符合题意， 是的平分线， ， ∵， ∴； 如上图，过点作， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 点也是所求的点， 此时； 综上，的度数为或． 【详解】【点晴】 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 96．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为　　　　　　　　． 【答案】或或1 【分析】 本题考查旋转性质，勾股定理，三角形三边关系等．根据题意分三种情况讨论，第一种当时，第二种当时，第三种当时，每种情况画出对应图形，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：∵为直角三角形时，一共有三种情况 ① 当时，如下图： ∵矩形中，，， ∴， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当时，如下图： 当点在左侧时， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∵， ∴， 当点在右侧时， ∵，， ∴； ③ 当时，如下图： 此时，， 不符合斜边大于直角边关系，即此种情况舍去， 综上所述：线段的长度可能为或或1， 故答案为：或或1． 97．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在中，，，为内一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点． （1）的度数为______； （2）求证：； （3）直接用等式表示，，的数量关系． 【答案】（1）     （2）证明：过点作交于点，由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ；      （3）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）由旋转可得，，，推出，证明即可得出； （2）过点作交于点，由旋转可得，，，推出，，，证明，即可得证； （3）由（2）知，，得到，根据等腰直角三角形和勾股定理可得，，结合，，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， 由旋转可得，，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即． 98．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图1，B，C，D三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N． （1）求证：； （2）如图2，连接MN，求证：； （3）如图3，将图1中的绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），连接CF，探究线段AF、BF、CF之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：和均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ；     （2） 由（1）知， ，即， ， ，即， 在和中， ， ， 又， ， （内错角相等，两直线平行）．     （3） ，理由如下： 在上截取，连接， 同（1）可证， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，即， 为等边三角形， ， ， 即．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，结合和均为等边三角形可证即可求解； （2）根据题意可证，得到，结合，可得即可证明； （3）在上截取，连接，可证，得到，继而得到为等边三角形，然后可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 99．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 【答案】（1）等腰直角三角形； （2）， 证明：将顺时针旋转后得到， ，． 又， ． ． （3） 【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】 解：（1）由旋转的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）略 （3）将逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形． 由旋转的性质可知：，． ， ， ． ， ． 100．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 解：若，如图，连接， 则点在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点也在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若， 此时点重合， 不符合题意； 综上，是等腰三角形，则或或； 故答案为：或或． 101．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）【问题探究】． （）如图，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外）连接； ①求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： 【迁移探究】 （）如图，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）① 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ② 解：的大小不发生变化，理由如下： 如图，作，，垂足分别为点， 则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化； （）解：，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 如图，作交于点，交于点， 则四边形是平行四边形，，， ∴，都是等边三角形， ∴， 如图，作于点，则，， ∴， ∴． 【分析】 （）① 根据正方形的性质证明，即可得到结论；② 作，，垂足分别为点，可证明四边形是矩形，，进而得到，证明，得出，进而可得结论； （）利用已知条件先证明，作交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，进而得到，都是等边三角形，进而可得结论． 【详解】 （）① 略 ② 略 （）略 【点睛】 本题考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 102．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）在中，，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转得到，当恰为等腰三角形时，的值为　　　　　　 【答案】或或 【分析】 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题.恰为等腰三角形时分三种情形① 如图1中，当时，② 如图2中，当时，③ 如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可. 【详解】 解：将绕点O向三角形外部旋转，即，，连接， ∵， ∴是直角三角形， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， 当恰为等腰三角形时，分为三种情形： ① 如图1中，当时， 在与中， ∴， ∴， ∴； ② 如图2中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ③ 如图3中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 故答案为或或. 103．（25-26学年九上·江西上饶·期中）（1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 104．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）[提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 【答案】提出问题：； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【分析】 提出问题：证明，得到，进而得，即可求解； 类比探究：由可得，， 进而得，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：提出问题：由旋转得，， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：略 迁移应用：作，使，连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 105．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）课本再现： 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，E为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，连接． ①求出点D到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】 （1）由菱形的性质可得，再进一步的解答即可； （2）① 证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ② 证明，可得，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】 解：（1）∵四边形是菱形，． ， ， ， ； （2）① ∵四边形是菱形，， ， ∴为等边三角形， ， 由旋转可得：， ， 如图2，过作于． ， 当最小时，最小， 当时，最小，此时， ， ， ∴点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 106．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，． D，E 分别为的中点，将以点C 为旋转中心，逆时针方向旋转后得到，连接． 初步感知 （1）如图2，当三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为          ．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明． 延伸探究 （3）如图4，当旋转角满足 时，连接，，请通过计算求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长交于F，交于O， 同理可证明， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，； （3）72 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义可得，则由旋转的性质可得，，，由等边对等角得到，则可求出；证明，即可得到； （2）延长交于F，交于O，同理可证明，则，，导角可证明，则； （3）如图所示，连接，二者交于T，证明，得到，；导角可证明，则可证明，则当有最大值，有最大值，而当三点共线时，有最大值，最大值为12，则的最大值为． 【详解】 解：（1）∵，． D，E 分别为的中点， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）如图所示，连接，二者交于T， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 设，则， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当有最大值，有最大值 ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为12， ∴的最大值为． 107．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题． 例如：如图1所示，在正方形中，点分别为边上的点，． 求证：； 如图2，小明延长至G，使得，形成一组旋转三角形，即…… （1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程． 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： （2）如图3，在正方形中，点E为边上的点，交于F，探索之间的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图4，在中，，点在边上，，若面积为，请求出的面积． 【答案】（1） ， ，， ， ， ， 又， ， ， 故；      （2）， 证明：如图：将逆时针旋转到位置， 四边形是正方形， ， 由旋转，， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）只需证，得到，然后由即可解决问题； （2）如图：将逆时针旋转到位置， 得，，然后通过是和的公共斜边，再由勾股定理即可得出； （3）将逆时针旋转至，得到，连接，先证，进而推出，然后根据，求出，得出 求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：， 将逆时针旋转至，连接， 在中，， 由旋转可知：，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， 的面积为， ， ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 108．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）     （2） 与 仍然存在（1）中的数量关系．理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴与仍然存在（1）中的数量关系；     （3）的长为或      【分析】 （1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 109．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题分三种情况讨论，当的垂直平分线分别经过的、边中点时，利用含角的直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等边三角形判定与性质以及勾股定理来求解的长度． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵的垂直平分线经过一边中点， 可分为以下三种情况： 经过的中点；经过的中点；经过的中点； 第一种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ； 第二种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵，垂直， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：； 第三种：当经过的中点时，交于点， 如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题目综合考查了直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质、中点的性质以及几何计算与证明等知识点；通过分类讨论，逐步推导出的可能长度． 110．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 111．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质． 【初步感知】 （1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____； 【特例探究】 （2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点． ①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明； ②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：① 若选择小舞同学的结论，证明如下： 连接，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择小矢同学，证明如下： 由小舞同学可得四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， 即点M是的中点； ② 【分析】 （1）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而根据平行四边形的判定定理可进行求证； （3）① 若选择小舞同学的结论，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定定理可进行求证； ② 由① 可知：，，由旋转的性质可知：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：； （2）略 （3）① 略 ② 由① 可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 112．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是　　　　　　． 【答案】5或或 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：① 当时，过点作于点，如图： 由旋转可得：， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ② 当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，，， ∴四边形是正方形， ∴； ③ 当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，， ∴， 在中， 综上，的长度是5或或， 故答案为：5或或． 113．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 解：如图，为等腰三角形，当，，可得，从而可得答案；当时，如图，则，，从而可得答案；当时，如图，设，，建立方程，从而可得答案． 【详解】 解：如图，为等腰三角形，当，，    ∴，， ∴， ∴， 当时，如图，则，    ∴， ∴； 当时，如图，设， ∴，    ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查的是坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 114．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】40°或 100°或 70° 【分析】 如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°． 【详解】 ∵△BCP恰为轴对称图形， ∴△BCP是等腰三角形， 如图1，连接AP， ∵O为斜边中点，OP=OA， ∴BO=OP=OA， ∴∠APB=90°， 当BC=BP时， ∴∠BCP=∠BPC， ∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°， ∴∠ACP=∠APC， ∴AC=AP， ∴AB垂直平分PC， ∴∠ABP=∠ABC=20°， ∴θ=2×20°=40°， 当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H， ∵BC=CP，BO=PO， ∴CH垂直平分PB， ∴∠CHB=90°， ∵OB=OC， ∴∠BCH=∠ABC=20°， ∴∠CBH=70°， ∴∠OBH=50°， ∴θ=2×50°=100°； 当PB=PC时，如图3， 连接PO并延长交BC于G，连接OC， ∵∠ACB=90°，O为斜边中点， ∴OB=OC， ∴PG垂直平分BC， ∴∠BGO=90°， ∵∠ABC=20°， ∴θ=∠BOG=70°， 综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°， 故答案为40°或100°或70°． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 115．（25-26学年九上·江西宜春·期中）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是     三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边内有一点，连接，，，若，，，求的大小． （3）【解决问题】如图3，在等边内有一点，，，，求的边长． （4）【综合应用】如图4，点为一动点，，，，连接、、，则的最小值为______． 【答案】（1）等边；（2）；（3）；（4）的最小值为 【分析】 （1）由旋转的性质可得，，再由等边三角形的判定定理即可得解； （2）以为边向上作等边，连接，则，，，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理逆定理得出，进而可得，即可得解； （3）以为边向上作等边，连接，则，，，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，，求出，，进而得出，由直角三角形的性质可得，从而得出，，再由勾股定理计算即可得解； （4）将绕点顺时针旋转得到，连接、，由旋转的性质可得，，，，由勾股定理可得，则，当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，求出，由直角三角形的性质可得，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形； （2）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的边长为； （4）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， 当点、、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 116．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）【课本再现】如图1，A．B两点分别位于池塘的两端，小外想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小外想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C．连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，利用、则米． 【思维探索】在和中，，且，．将绕点A逆时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的两侧）．设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接． （1）如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是； （2）如图3，当时，点D落在：边上，请判断与的数量关系和位置关系、并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，当时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）． （2）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图，作交延长线于点F，连接， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （3）． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键． （1）如图1，延长交于F，先证明可得、，再证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）如图，作交延长线于点F，连接，同（1）可得可得，再证明可得、，进而证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点，同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，，再说明，利用直角三角形的性质可得，进而求得，从而求得的长． 【详解】 解：（1）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图1，延长交于F， ∵， ∴ ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （2）略 （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点， 当时，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为， ∴， 同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】 解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，已知的三个顶点坐标为． （1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）将绕坐标原点O顺时针旋转直接写出点A的对应点的坐标________； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能的坐标． 【答案】（1）如图， （2，-3）； （2）（3，2）； （3）（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）． 【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O旋转180°的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转980°的对应点A′′、B′′、C′′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可； （3）分AB、BC、AC为边，分别确定第四个顶点D，再写出坐标即可． 【详解】 解：（1）关于点O的中心对称图形为如图所示，点A′的对应点的坐标为（2，-3）； 故答案为：（2，-3）； （2）△ABC绕坐标原点O顺时针旋转的三角形如图所示，点A′′的对应点的坐标为（3，2）； 故答案为：（3，2）； （3）如图所示，D点坐标分别为：（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图及点的坐标，以及平行四边形的判定，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 3．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点绕点逆时针方向旋转后所对应的坐标是            ； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）；     （2） 作图如下： 的坐标为；     （3）的面积为．      【分析】 本题考查的知识点是求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握图形在平面直角坐标系中的变换． （1）作绕点逆时针方向旋转得，进而得到的坐标； （2）关于原点成中心对称的，进而得到的坐标； （3）利用割补法即可求解． (1) 小问详解： 解：将绕点逆时针方向旋转，如图所示： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据关于原点成中心对称的， 由图可得，的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 即的面积为． 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出将绕点B顺时针旋转后，所得到的． 【答案】（1） 如图所示为所求：      （2） 如图所示为所求： 【分析】 本题考查了中心对称和旋转变换的概念，通过坐标变换来确定新图形的位置和顶点坐标． （1）根据中心对称的定义，对于任意点，其关于原点的中心对称点为，根据这个规则分别得出A，B，C三个点的对称点坐标，并依次连接即可； （2）根据旋转的性质，点到旋转中心距离不变，对应线段长度和对应角大小不变，据此可推断点A，C绕点B顺时针旋转后的坐标，并依次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年九上·江西南昌·期中）请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，作出关于点对称的； （2）如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 【答案】（1） 如图1，所作为所求；      （2） 如图2，所作点为所求． 【分析】 本题主要考查旋转中心，画中心对称图形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】 解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西赣州·期末）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 5．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）下列图形是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】 解：选项、B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 7．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】 解：A.该选项不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】 A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 9．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列交通禁令标志中，其图案部分是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】 解：因为图A不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 12．（25-26学年九上·江西宜春·期中）近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 13．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）2025年春节期间，人工智能AI温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.    D.  【答案】C 【分析】 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】 解：选项A、B、D的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 14．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 15．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 17．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】 解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 18．（25-26学年九上·江西南昌·期中）“数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】 解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 19．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 20．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】 解： 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合； 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合； 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合， 故选：C． 21．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】 解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】 解：A.不是中心对称图形，故不符合题意； B. 不是中心对称图形，故不符合题意； C. 不是中心对称图形，故不符合题意； D. 是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 23．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】 解：、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，选项错误． 故选：． 24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选D． 25．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】 A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 26．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后会与原图重合． 27．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 28．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】 解：A、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意； B、该图标不是中心对称图形，本选项符合题意； C、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意； D、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；． 故选：B． 29．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”、“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 30．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 31．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 32．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 33．（25-26学年九上·江西上饶·期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】 解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 34．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）如图是的正方形网格纸．请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，线段的顶点在格点上，请在图中作以点A，B为顶点的四边形，使得该四边形是中心对称图形，且其顶点均在格点上（画出一个即可）； （2）如图2，矩形的顶点都在格点上，点M是边上任意一点，请在图中画出直线，使得直线平分矩形的面积． 【答案】（1） 四边形为所求作：      （2） 直线为所求作： 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形，格点作图，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义，格点特点． （1）画平行四边形即可； （2）连接、交于点O，连接，交于点N，则即为所求作的直线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，，， ∴， 即． 35．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； （2）在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求；      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； （2）在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 （1）连接、，交于点，连接并延长交于点即可； （2）设矩形的对角线交点为点，连接、，交于点，过点、作直线即可． (1) 小问详解： 解：连接、，交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则点即为所作； (2) 小问详解： 设矩形的对角线交点为点，连接、，对角线、相交于点，过点、作直线， 设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为）， ∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点， ∴，， ∴， ∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积， 即直线将剩下图形的面积平分， 则直线即为所作． 【点睛】 本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 37．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 【答案】（1） 如图1，点即为所求；      （2）如图2，点即为所求． 【分析】 本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在平面直角坐标系中，有一个机器人从原点出发进行移动任务．已知点代表机器人的一个初始位置，我们把与初始位置关于原点对称的位置设定为机器人完成动作后的目标位置．那么机器人完成动作后对应的目标位置坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求一点关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，这两个点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得，机器人完成动作后对应的目标位置坐标是， 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）若点和点关于原点对称，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 8 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于的方程，求出的值即可求解． 【详解】 解：∵点和点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知点A和点B关于原点对称，则（       ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 根据关于原点对称点的坐标变化规律求出的值，计算即可． 【详解】 解：已知点A和点B关于原点对称， 则， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是明确关于原点对称两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）点关于坐标原点对称点坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数，掌握这一特征是解题的关键，根据这一特征求解即可． 【详解】 点关于坐标原点对称，其横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）点关于原点的对称点坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可得解，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解此题的关键． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知点和关于原点对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，求解 m 和 n 的值，再计算它们的和，即可作答． 【详解】 解：∵点和关于原点对称， ∴，， 因此， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，即可得解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】 点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 12．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点成中心对称的，点、、的对应点分别为点、、； （2）对应点、的坐标分别是：______，______． 【答案】（1）解：如图即为所求；      （2），      【分析】 本题考查了作图中心对称，熟练掌握成中心对称的图形的性质是解此题的关键． （1）根据成中心对称的图形的性质画图即可； （2）根据图形写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作图得，，， 故答案为：，． 13．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及求代数式的值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求出的值，进而即可求得的值． 【详解】 解：因为点与点关于原点对称， 所以，， 解得，； 因此． 故答案为：2． 14．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知和关于原点对称，则　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】 解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标各互为相反数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴它们的横坐标和纵坐标各互为相反数， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，坐标与中心对称，掌握一元二次方程的解法，关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键； （1）利用因式分解法求解即可； （2）由题意得 ，解方程组即可求解． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴ ， 解得 ， ∴，． 17．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 18．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 19．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴． 20．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）若点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——中心对称，关于原点中心对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可求解； 【详解】 解：∵点与点关于原点对称，则点的横坐标是点横坐标的相反数，即； 点的纵坐标是点纵坐标的相反数，即； ∴，故； 故答案为： 21．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 22．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】（1），     （2）20      【分析】 本题考查坐标与图形-轴对称变换、平移变换、中心对称变换，正确作出图形是解答的关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数列方程求解a、b即可求解； （2）根据平移性质和轴对称性质得到点C、D的位置，进而利用割补法求解图形面积即可． (1) 小问详解： 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，，，如图， 由图可得，所得图形的面积为． 23．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）若点和点关于原点成中心对称，则点在第　　　　　　象限． 【答案】二 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，各象限点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再判断点P所在的象限． 【详解】 解：∵点和点 关于原点对称， ∴，， ∴ 在第二象限． 故答案为：二． 24．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：， ∴； 故答案为． 25．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 【答案】（1），     （2）16      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，关于原点对称点的性质，两点间距离公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质，关于原点对称点的性质，进行求解即可； （2）根据菱形的面积公式得出，根据两点间距离公式求出，，再求出结果即可． (1) 小问详解： 解：菱形的对角线交于坐标原点， 点与点关于坐标原点对称，点与点关于坐标原点对称， ，． (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， 菱形面积， ，， ， ， ． 26．（25-26学年九上·江西南昌·期中）点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】 ∵点与点关于原点对称， ∴，且， 解得，， ∴． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号． 根据关于原点对称的点的性质可得点A在第二象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可． 【详解】 解：由点关于原点对称的点在第四象限，可得在第二象限， ， 解得． 28．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）（1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集． （1）用因式分解法求解即可； （2）判断在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】 解：（1）， ， ∴或， ，； （2）据题意，可得在第二象限， ， 解得． 29．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为　　　　　． 【答案】（1，3） 【分析】 直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 30．（25-26学年九上·江西上饶·期中）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝　　　． 【答案】2 【分析】 根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解． 【详解】 解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称， ∴a-1+5=0，5+1-b=0， ∴a=-4，b=6， ∴a+b=2． 故答案为：2 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键． 31．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； （2）绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图；为所求图形；                    （2） 如图； 【分析】 本题考查的是确定旋转中心，画关于原点对称的图形，熟记旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用网格的特点确定线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 解：点的坐标为：； 故答案为：， (2) 小问详解： 连接作其垂直平分线的交点即可. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A 9．D 10．C 11．D 12．B 13．A 14．D 15．B 16．C 17．D 18．【答案】25度 【分析】 此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】 证明：是由旋转得到    ，， ， 19．【答案】（1） 如图，图形即为所求， ；     （2） 如图，射线即为所求， ． 【分析】 本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． (1) 小问详解： 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 21．【答案】（1） 如图，即为所作．点的坐标为，      （2） 如图，即为所作． 【分析】 本题考查作图：原点对称变换，旋转变换等知识． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）利用配方法解方程即可； （2）由旋转可得，，则，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：（1）， ， 或， 解得，； （2）根据旋转的性质，得，． ∴， ∴． 23．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，熟练运用相关性质是解题的关键． 利用旋转的性质和等腰三角形的特性可得是直角三角形，则可利用勾股定理求出的长度． 【详解】 ． ， ， ， ， ， ． 故答案为:的长度为. 24．【答案】 【分析】 根据旋转的性质，得到是直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：∵、， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质以及勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 25．【答案】15°或45° 【分析】 分情况讨论：①；②画出图形即可求解． 【详解】 解：分情况讨论： ① 如图1，当时， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ② 如图2，当时， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键． 26．【答案】 【分析】 本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内角和，角的和差是解题关键．根据图形旋转可得，，进而可求的度数． 【详解】 解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为95． 27．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 （1）利用平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，确定各顶点旋转后的对应点，再连接这些点得到． ① 点旋转后，的坐标为； ② 点旋转后，的坐标为； ③ 点旋转后，的坐标为； ④ 依次连接这三个点，得到． （2）利用关于原点成中心对称的点的坐标特征，确定各顶点的对称点坐标，再连接这些点得到 ① 点关于原点对称的点的坐标为 ② 点关于原点对称的点的坐标为 ③ 点关于原点对称的点的坐标为 ④ 依次连接这三个点，得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了图形的旋转和中心对称作图，解题关键是掌握点绕原点逆时针旋转以及关于原点中心对称的坐标变换规律，从而准确得到变换后点的坐标，进而完成图形绘制． 28．【答案】15°度 【分析】 根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形 又∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】 此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转点的坐标变换规则． 点绕原点顺时针旋转，其坐标变换规则为：新点的横坐标为原点的纵坐标，新点的纵坐标为原点横坐标的相反数． 【详解】 解：点绕原点顺时针旋转，根据旋转规则，对应点的横坐标为，纵坐标为，即对应点坐标为， 故答案为． 30．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转以及点的坐标变化规律，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转后，其对应点的坐标变为，根据此规律求解出点A旋转后对应点的坐标． 【详解】 解：如图，过点作轴于点C， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵线段绕原点O逆时针旋转， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，旋转性质等．根据题意利用内角和定理可得，再利用旋转性质即可得到本题答案． 【详解】 解：∵是由绕点B按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 32．【答案】，． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质．根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，所以，得，根据三角形外角性质可得度数，又，则可求． 【详解】 解：根据旋转的性质可知，且， 所以是等腰直角三角形． 所以； 根据旋转的性质可得， ． ． ． ∴． 33．【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． (1) 小问详解： 解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 34．【答案】52 【分析】 本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为52． 35．【答案】（1） 解：如图所示： 即为所求；     （2） 解：如图所示： 即为所求；     （3），      【分析】 本题考查平面直角坐标系中变换作图，涉及关于原点对称作图、旋转作图及旋转的坐标特征，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于原点对称的点，连接三个顶点即可得到答案； （2）分别作出三个顶点绕原点按逆时针方向旋转后的点，连接三个顶点即可得到答案； （3）由（2）中图形，数形结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：中顶点坐标为，若为边上一点，则点对应的点的坐标为， 故答案为：，． 36．【答案】（1）；（2）5 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，旋转的性质， 对于（1），先移项，配方，再开方求出解； 对于（2），根据旋转的性质得，再根据全等三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】 解：（1）移项，得， 配方，得， 配方，得， 开方，得， ； （2）将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且， ， ． 37．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 38．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 39．【答案】或或 【分析】 如图，连接、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出，，然后分两种情况：① 点在上方；② 点在长方形内时，结合旋转的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接、，交于点， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ① 点在长方形内时， 如图，连接，则， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ② 当点在下方时， 如图，延长至点，使，连接、，则，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点是的中点， ∵，即， ∴， 若点与重合，则， 此时， 综上所述，线段的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与判定，垂直平分线的判定性质，等腰三角形的三线合一等知识点，运用了分类讨论的思想．正确作出辅助线是解题的关键． 40．【答案】（1）如图所示，      （2），     （3）      【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点和点即可； （2）利用（1）所画图形确定点和点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而求得直线的解析式为，令，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，； (3) 小问详解： 解：如图所示， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 【点睛】 本题考查了画旋转图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，一次函数与坐标系交点坐标，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 41．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明，得出，，推出① ③ ④ 正确；由题意无法证明，故② 错误． 【详解】 解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴B，C，M共线， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故① 正确； ∴，故④ 正确；，故③ 正确； 由题意无法证明，故② 错误； 故答案为：① ③ ④ ． 42．【答案】40 【分析】由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′，根据等边对等角可得：∠B′=∠B′BC，根据三角形外角的性质可得：∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°，从而求出∠B′BC和∠ABC，即可求出∠A′BA. 【详解】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′ ∴∠B′=∠B′BC ∵∠BCA′＝45°， ∴∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70° ∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=70° ∴∠A′BA=180°－∠B′BC－∠ABC=40° 故答案为：40 【点睛】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、三角形外角的性质和等边对等角是解决此题的关键. 43．【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； （2）根据旋转的定义和线段的定义画出图形即可；过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； 【详解】 （1）正方形的边长为， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． （2）过点作，交的延长线于点，    四边形是矩形， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， 则的面积为． 44．【答案】2度 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 45．【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为．      （2）1      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接可得，再写出点的坐标即可； （2）运用三角形面积公式直接求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积． 46．【答案】（1） 证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， ， 即． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出，再利用线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形为菱形，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 47．【答案】任务一：如图所示，即为所作；； 任务二：如图所示，即为所作；； 任务三：如图所示，点P为所作；最小值． 【分析】 任务一：根据平移的性质作出图形，再由点的位置写出坐标即可； 任务二：延长到，使，延长到，使，再连接；根据位置写出坐标即可； 任务三：连接交x轴于P，再利用待定系数法求出直线的表达式，根据求一次函数图象与x轴的交点坐标即可得点P坐标，利用勾股定理求出线段的长，根据两点间线段最短即可得出答案． 【详解】 解：任务一、二：略 任务三：设直线的表达式为， 则 ，解得 ， 当时， ． 由勾股定理可得的最小值为． 【点睛】 本题考查平移作图，中心对称作图，点的坐标，线段最短，勾股定理，熟练掌握平移与中心对称作图，线段最短和勾股定理是解题的关键． 48．【答案】(1) 证明：∵绕点逆时针方向旋转至， ∴，， 而，， ∴， ∴， ∴； （2）点为的中点时，四边形能成为正方形. 理由如下：当点为的中点时，而，， ∴，即， 由得， 而， ∴， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形能成为正方形． 【分析】 （1）CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，根据旋转的性质得CE=CD，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC，得∠ECB=∠DCA，则△ECB≌△DCA，得到∠EBC=∠A； （2）当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC，则CD⊥AB，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A，而∠CBA=∠A=45°，得到四边形CDBE为矩形，由CD=CE，得到四边形CDBE能成为正方形． 【详解】 略 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及正方形的判定方法． 49．【答案】或或 【分析】 连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，        当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 50．【答案】（1） 证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                                                    在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 51．【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图② ，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）6 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）先根据正方形的性质可得，再将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合，根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，然后利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】 解：（1）如图① ，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∵， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3）设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， 由（2）已证：， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以正方形的边长为6． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 52．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 53．【答案】（1）度     （2）      【分析】 本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，求旋转对称图形的旋转角度，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据旋转的性质得出为旋转角，再根据正方形的性质，得出，从而可得旋转的角度； （2）先根据旋转的性质得出，再利用勾股定理求得． (1) 小问详解： 解：∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴为旋转角， ∵四边形是正方形， ∴， 即旋转的角度是度； (2) 小问详解： ∵绕着点B旋转后能到达的位置， ∴， ∴． 54．【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针方向旋转至AE， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3） 解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，可证得，即可； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，，可证得，可得，即可； （3）根据平移的性质可得，，从而得到，可证得，进而得到，，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵将绕点A逆时针方向旋转至， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转和平移，等腰三角形的性质是解题的关键． 55．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为；      （2）解：如图所示，即为所求；     （3）      【分析】 （）根据中心对称图形的性质作出图形，再根据图形写成点的坐标即可； （）根据旋转的性质作图即可； （）根据旋转前后对应点的坐标变化找出规律即可求解； 本题考查了作中心对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，，， ∴旋转后的对应点的坐标为， 故答案为：． 56．【答案】（1） 思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接， 则 ∴， 根据勾股定理得，， ∵AP=1， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接， ∴ ∴, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 则 为等边三角形， 【分析】 （1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，则再证明即可；思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，则再证明即可； （2）如图，由等边可得： 把绕点顺时针旋转得到 再证明为等边三角形，从而可得结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键. 57．【答案】（1）△A1B1C如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）（-1，0）． 【分析】 （1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换． 58．【答案】（1） 证明：线段绕点旋转到， ， 又，， ， ；     （2）      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据三角形外角的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 59．【答案】（1） 证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 60．【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （）延长至，连接，取的中点，再连接，交于点，由等腰三角形的性质可知是的角平分线； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转作图，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．【答案】1或7或 【分析】 根据题意作出图形，过点作，分情况讨论，根据F在边上，F在AD上有两个，在CD上有一个，利用勾股定理可得． 【详解】 解：如图， 是BC的中点，， ， ，， 在中， ， 当点F在AD上时，作于G， ,， ， ， ， 根据对称性，， ， ， 综上所述：或7或， 故答案为：1或7或 【点睛】 本题考查了旋转不变性，对称性，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出所有满足条件的点． 62．【答案】（1） 补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴；     （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 63．【答案】或 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．证明，推出，分两种情况讨论：过点E作于点M，求出即可解答． 【详解】 解：如图，当D在线段上时，过点E作于点M，连接， ∵， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 故答案为：或． 64．【答案】（1）旋转中心为点A，旋转角的度数为     （2）      【分析】 本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角即为的大小； （2）由旋转的性质得到，，再根据点恰好成为的中点即可解答． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2) 小问详解： 解：由旋转得，， ∵为的中点， ∴， ∴． 65．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ， 线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质可知，从而得，再证，即可得答案； （2）由知为等边三角形，即，继而由，即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如下图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋转的性质证出． 66．【答案】（1） 如图：即为所求； ，，；     （2）      【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点A关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，然后利用待定系数法求的解析式，求出与轴的交点坐标可求点的坐标． (1) 小问详解： ∵绕原点旋转得到，即点A、B、C关于原点的对称点为、、， 又，，， ∴，， ． (2) 小问详解： 如图，作点关于x轴的对应点，连接，点即为与轴的交点，此时的周长最短， 设的解析式为，过点与点，把坐标代入解析式得： ， 解得 ， 的解析式为， 当时，， 解得． 此时点坐标为 ． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求直线解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 67．【答案】 【分析】 本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】 解：∵正方形的面积为12，正方形的面积为16， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 68．【答案】（1）     （2） ① 证明：由旋转的性质，得， ∴，即 . ∵，， ∴， ∴； ② 解：.理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握． （1）根据线段的和差定义即可解决问题； （2）① 只要证明，即可解决问题； ② 利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，即， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 69．【答案】(1)证明：∵∠CAF=∠BAE， ∴∠BAC=∠EAF． ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC=AF． 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF=BC； （2）85°． 【分析】 （1）由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC； （2）先证明△ABC是等边三角形，求出∠AEB的度数，再根据△ABC≌△AEF求出∠AEF的度数，进而求出∠GEC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC的度数. 【详解】 （1）略 （2）解：∵AB=AE，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AEB=60°． ∵△ABC≌△AEF， ∴∠AEF=∠ABE=60°， ∠GEC=180°-60°-60°=60°， ∴∠FGC=∠GEC +∠C=60°+25°=85°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键． 70．【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；     （2） 如图所示，正方形即为所求． 【分析】 （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据正方形的性质结合网格即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． 71．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 (1) 小问详解： 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 72．【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的定义，勾股定理及利用三角形的面积公式求高． （1）先根据旋转的性质得到，利用已知条件可得出，从而再通过三角形外角的定义得到，即； （2）过点E作，利用全等三角形的性质得到，即，通过已知条件利用勾股定理求得的长度，再将求得的长度代入三角形面积公式中求出的长度，最后通过三角形面积公式求得的面积即可． (1) 小问详解： 解：由旋转的定义可知，， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴． (2) 小问详解： 解：如图，过点E作， ∵， ∴，即， 又∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 即的面积是3． 73．【答案】，， 【分析】 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识；分三种情形讨论① 如图1中，当时，② 如图2中，当时，③ 如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算求解即可． 【详解】 解：在中， ∵，， ∴， ∴ ∴． ① 如图1中， 当时， 在和中， ∴ ， ∴， ∴． ② 如图2中，当时，同理可证， ∴， ∴． ③ 如图3中，当时，同理可证， ∴， ∴， 故答案为：，，． 74．【答案】（1） 证明：∵在中，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，D在同一条直线上；     （2）16      【分析】 本题考查旋转性质，角度计算，勾股定理，三角形内角和定理，三角形面积等． （1）由旋转性质可知，，继而可知，继而得到，即可得到本题答案； （2）根据勾股定理可得的长，再利用角度计算出，再利用面积公式即可求出本题答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积：． 75．【答案】（1） 解：如图，即为所求．      （2） 解：如图，即为所求， ∴．      【分析】 本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形． （1）分别确定关于原点 O 对称的，再顺次连接即可． （2）分别确定绕点 O 顺时针旋转 后得到的对称点，再顺次连接，再根据的位置可得其坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 76．【答案】（1）； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】 （1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）略 77．【答案】（1）C；     （2）4      【分析】 本题主要考查旋转的概念和性质： （1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为的中点得出,由旋转的性质得 (1) 小问详解： 解：根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得，， ∵ ∴ ∴, ∴旋转角度为， 故答案为：C； (2) 小问详解： 解：∵，且点D为的中点， ∴ 由旋转得， 78．【答案】或或 【分析】 根据矩形中点的坐标求出相应线段的长度，设运动时间为t秒，分，，，三种情况，结合等腰三角形的定义和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】 解：在矩形中，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， 设运动时间为t秒， 当时， 点P与点C重合，此时；    当时， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴，即；    当时， 同理：， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴，即；    综上：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，矩形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是找准所有情况，利用等腰三角形两腰相等结合勾股定理列出方程求解． 79．【答案】（1）； （2）① 由旋转的性质可知，旋转中心为点，与，与分别为对应点， ∴，，旋转角， ∴， ∴； ② 如图，，，如图，，， 如图，，，如图，，． 【分析】 （1）旋转前后，对应角相等，即∠AED=∠C=90°； （2）①由旋转的性质证明△ABD与△ACE为等腰三角形，且顶角为旋转角∠BAD=∠CAE，可证△ABD∽△ACE，得出结论； ② △BCF是等腰三角形，有三种可能，即BF=CF，BC=BF，BC=CF，分别画出图形，根据等腰三角形的性质，内角和定理，外角定理求关系式． 【详解】 （1）； 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质. 80．【答案】（1）；（2）的长为 【分析】 （1）本题考查了解一元二次方程，利用公式法直接代入求解即可； （2）本题考查了旋转和勾股定理，先根据旋转的性质得到，，用勾股定理直接求即可． 【详解】 （1）解：， ， ． ． 即． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点， ． 的长为． 81．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ，， 为等边三角形． ， ，， ． ． 82．【答案】130°或100°或160° 【分析】 由旋转的性质得出BD＝AB＝BC，分三种情况：① 当DA＝DC时；② 当AD＝AC时；③ 当CA＝CD时；分别求出m的值即可． 【详解】 解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ① 当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130； ② 当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100； ③ 当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160； 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知旋转前后的对应边对应角是解题的关键． 83．【答案】（1）旋转角度是．     （2），      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）由旋转的性质可得，再由周角的性质和中点的性质求解即可． (1) 小问详解： 解∵按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质和三角形内角和定理可得：， ∴旋转角度是． (2) 小问详解： 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∵C为中点， ∴． 84．【答案】2 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，全等三角形的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点是直线上的动点，当时，则有最小值，整理得，故． 【详解】 解：∵是正三角形， ∴， 将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且，则点是直线上的动点， 当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴在中，． 故答案为：2． 85．【答案】（1）四边形是正方形；证明如下： ∵四边形是矩形， ∴； 当时，由旋转性质知：，； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； （2）当旋转角小于直角时，补全图形如图所示； ； 当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图所示； ； （3） 【分析】 （1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）有两种情况，分别补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． （3）连接，由，当A、E、C三点共线时，取得最小值，由勾股定理求出即可求得最小值． 【详解】 解：（1）略； （2）当旋转角小于直角时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 当旋转角大于直角则小于平角时， 同理，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上，或； （3）如图，连接， ∵， ∴当A、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为； 由勾股定理， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 86．【答案】或或 【分析】 分三种情况分别画出图形，利用平行线的性质一一求解即可． 【详解】 ① 如图1所示，当时， 则，可得旋转角； ② 如图2所示，当时， 则， ∴，可得旋转角； ③ 如图3所示，当时，作，         则， ∴，， ∴，可得旋转； 综上所述，满足套件的旋转角为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查旋转变换、平行的性质等知识点，解题的关键是学会利用分类讨论的思想考虑问题，属于中考常考题型． 87．【答案】（1） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ∴， 逆时针旋转后与重合， ， ，， ∴ ， 为等腰直角三角形．     （2）2.8      【分析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由旋转的性质得，得出，，再证明，即可得出结论； （2）连接，由垂直平分线的性质得，设，求得，，根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ∴， 垂直平分， ， ∵，， ∴； 设， ，， 在中，， ， 解得， ． 88．【答案】（1）① ②     （2）正十五边形      【分析】 本题考查正多边形的性质和图形旋转的性质： （1）根据题意求出，其中n为正多边形的边数，120°能被整除则满足题意； （2），要满足题意，则可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍． (1) 小问详解： 解：如图： ，，， 能被整除，不能被整除， ∴① 等边三角形和② 正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°． 故答案为：① ② ； (2) 小问详解： ②，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍，如正十五边形． 故答案为：正十五边形． 89．【答案】（1）     （2）①，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②1     （3）ABC      【分析】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，证明，即可得出结果； （2）① 在上截取，连接，推出，进而推出，证明，得到，角的和差关系，求出，即可得出结论； ② 过点D作于点F，证明，得到，设，分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上，在的延长线上三种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 略 ②过点D作于点F，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴，即点D到的距离为1； (3) 小问详解： 解：分三种情况讨论： ① 当点在线段上时， 由（2）① 可知：， ∴， 即：； ② 当点在线段的延长线上时， 由（2）② 可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③ 当点在的延长线上时，如图：作，连接， 与（1）同理可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：或或． 故选：ABC 90．【答案】（1） 证明：由旋转可知：，， ∴是等边三角形．     （2）      【分析】 （1）根据等边三角形的判定定理证明； （2）根据旋转性质，等边三角形的性质，以及结合三角形的外角定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵是等边三角形．， ∴， 由旋转可知： ∴ ∵是的外角， ∴． 【点睛】 本题考查旋转性质和等边三角形的判定和性质，充分利用旋转性质是求解本题的关键． 91．【答案】 【分析】 过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标， 【详解】 解：过作轴于点，如图：     ， ， ， ， ，， ， ，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 92．【答案】（1）四边形是菱形，， ，． 又绕着点逆时针旋转到， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）∠AGE＝105°． 【分析】 （1）先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2），， ． 又，， ， ． 【点睛】 本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知图形旋转后所得图形与原图形全等． 93．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 94．【答案】（1）     （2）如图1所示，      （3）      【分析】 本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． (1) 小问详解： 解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． (3) 小问详解： 解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 95．【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过点D作于点M，过点A作交延长线于点， 是由绕点C旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， ； （3）或 【分析】 （1）①在中，已知，，可求出．当绕点旋转，点落在上时，，进而求出； ②根据旋转的性质可得，然后得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证明；根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，则；由，的面积和的面积相等，从而得到与的数量关系为相等； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等即可证明； （3）过点D作，连接，证明，得出此时点符合题意，求出；过点作，证明，得出，说明，点也是所求的点，求出结果即可． 【详解】 解：（1）①在中，，， ． ∵， 是等边三角形， ． 故答案为：； ② ∵，， ∴； 绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， ∴； ∵， ∴的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 的面积和的面积相等， ； 故答案为：相等； （2）略 （3）如图，过点D作，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、上的高相等， ∴， ∴此时点符合题意， 是的平分线， ， ∵， ∴； 如上图，过点作， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 点也是所求的点， 此时； 综上，的度数为或． 【详解】【点晴】 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 96．【答案】或或1 【分析】 本题考查旋转性质，勾股定理，三角形三边关系等．根据题意分三种情况讨论，第一种当时，第二种当时，第三种当时，每种情况画出对应图形，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：∵为直角三角形时，一共有三种情况 ① 当时，如下图： ∵矩形中，，， ∴， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当时，如下图： 当点在左侧时， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∵， ∴， 当点在右侧时， ∵，， ∴； ③ 当时，如下图： 此时，， 不符合斜边大于直角边关系，即此种情况舍去， 综上所述：线段的长度可能为或或1， 故答案为：或或1． 97．【答案】（1）     （2）证明：过点作交于点，由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ；      （3）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）由旋转可得，，，推出，证明即可得出； （2）过点作交于点，由旋转可得，，，推出，，，证明，即可得证； （3）由（2）知，，得到，根据等腰直角三角形和勾股定理可得，，结合，，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， 由旋转可得，，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即． 98．【答案】（1） 证明：和均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ；     （2） 由（1）知， ，即， ， ，即， 在和中， ， ， 又， ， （内错角相等，两直线平行）．     （3） ，理由如下： 在上截取，连接， 同（1）可证， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，即， 为等边三角形， ， ， 即．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，结合和均为等边三角形可证即可求解； （2）根据题意可证，得到，结合，可得即可证明； （3）在上截取，连接，可证，得到，继而得到为等边三角形，然后可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 99．【答案】（1）等腰直角三角形； （2）， 证明：将顺时针旋转后得到， ，． 又， ． ． （3） 【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】 解：（1）由旋转的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）略 （3）将逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形． 由旋转的性质可知：，． ， ， ． ， ． 100．【答案】或或 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 解：若，如图，连接， 则点在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点也在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若， 此时点重合， 不符合题意； 综上，是等腰三角形，则或或； 故答案为：或或． 101．【答案】（）① 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ② 解：的大小不发生变化，理由如下： 如图，作，，垂足分别为点， 则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化； （）解：，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 如图，作交于点，交于点， 则四边形是平行四边形，，， ∴，都是等边三角形， ∴， 如图，作于点，则，， ∴， ∴． 【分析】 （）① 根据正方形的性质证明，即可得到结论；② 作，，垂足分别为点，可证明四边形是矩形，，进而得到，证明，得出，进而可得结论； （）利用已知条件先证明，作交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，进而得到，都是等边三角形，进而可得结论． 【详解】 （）① 略 ② 略 （）略 【点睛】 本题考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 102．【答案】或或 【分析】 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题.恰为等腰三角形时分三种情形① 如图1中，当时，② 如图2中，当时，③ 如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可. 【详解】 解：将绕点O向三角形外部旋转，即，，连接， ∵， ∴是直角三角形， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， 当恰为等腰三角形时，分为三种情形： ① 如图1中，当时， 在与中， ∴， ∴， ∴； ② 如图2中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ③ 如图3中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 故答案为或或. 103．【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 104．【答案】提出问题：； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【分析】 提出问题：证明，得到，进而得，即可求解； 类比探究：由可得，， 进而得，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：提出问题：由旋转得，， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：略 迁移应用：作，使，连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 105．【答案】（1）；（2）①；② 【分析】 （1）由菱形的性质可得，再进一步的解答即可； （2）① 证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ② 证明，可得，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】 解：（1）∵四边形是菱形，． ， ， ， ； （2）① ∵四边形是菱形，， ， ∴为等边三角形， ， 由旋转可得：， ， 如图2，过作于． ， 当最小时，最小， 当时，最小，此时， ， ， ∴点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 106．【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长交于F，交于O， 同理可证明， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，； （3）72 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段中点的定义可得，则由旋转的性质可得，，，由等边对等角得到，则可求出；证明，即可得到； （2）延长交于F，交于O，同理可证明，则，，导角可证明，则； （3）如图所示，连接，二者交于T，证明，得到，；导角可证明，则可证明，则当有最大值，有最大值，而当三点共线时，有最大值，最大值为12，则的最大值为． 【详解】 解：（1）∵，． D，E 分别为的中点， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）如图所示，连接，二者交于T， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 设，则， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当有最大值，有最大值 ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为12， ∴的最大值为． 107．【答案】（1） ， ，， ， ， ， 又， ， ， 故；      （2）， 证明：如图：将逆时针旋转到位置， 四边形是正方形， ， 由旋转，， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）只需证，得到，然后由即可解决问题； （2）如图：将逆时针旋转到位置， 得，，然后通过是和的公共斜边，再由勾股定理即可得出； （3）将逆时针旋转至，得到，连接，先证，进而推出，然后根据，求出，得出 求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：， 将逆时针旋转至，连接， 在中，， 由旋转可知：，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， 的面积为， ， ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 108．【答案】（1）     （2） 与 仍然存在（1）中的数量关系．理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴与仍然存在（1）中的数量关系；     （3）的长为或      【分析】 （1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 109．【答案】或或 【分析】 本题分三种情况讨论，当的垂直平分线分别经过的、边中点时，利用含角的直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等边三角形判定与性质以及勾股定理来求解的长度． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵的垂直平分线经过一边中点， 可分为以下三种情况： 经过的中点；经过的中点；经过的中点； 第一种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ； 第二种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵，垂直， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：； 第三种：当经过的中点时，交于点， 如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题目综合考查了直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质、中点的性质以及几何计算与证明等知识点；通过分类讨论，逐步推导出的可能长度． 110．【答案】或或 【分析】 进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 111．【答案】（1）； （2）证明：由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：① 若选择小舞同学的结论，证明如下： 连接，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择小矢同学，证明如下： 由小舞同学可得四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， 即点M是的中点； ② 【分析】 （1）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而根据平行四边形的判定定理可进行求证； （3）① 若选择小舞同学的结论，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定定理可进行求证； ② 由① 可知：，，由旋转的性质可知：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：； （2）略 （3）① 略 ② 由① 可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 112．【答案】5或或 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：① 当时，过点作于点，如图： 由旋转可得：， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ② 当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，，， ∴四边形是正方形， ∴； ③ 当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，， ∴， 在中， 综上，的长度是5或或， 故答案为：5或或． 113．【答案】或或 【分析】 解：如图，为等腰三角形，当，，可得，从而可得答案；当时，如图，则，，从而可得答案；当时，如图，设，，建立方程，从而可得答案． 【详解】 解：如图，为等腰三角形，当，，    ∴，， ∴， ∴， 当时，如图，则，    ∴， ∴； 当时，如图，设， ∴，    ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查的是坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 114．【答案】40°或 100°或 70° 【分析】 如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°． 【详解】 ∵△BCP恰为轴对称图形， ∴△BCP是等腰三角形， 如图1，连接AP， ∵O为斜边中点，OP=OA， ∴BO=OP=OA， ∴∠APB=90°， 当BC=BP时， ∴∠BCP=∠BPC， ∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°， ∴∠ACP=∠APC， ∴AC=AP， ∴AB垂直平分PC， ∴∠ABP=∠ABC=20°， ∴θ=2×20°=40°， 当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H， ∵BC=CP，BO=PO， ∴CH垂直平分PB， ∴∠CHB=90°， ∵OB=OC， ∴∠BCH=∠ABC=20°， ∴∠CBH=70°， ∴∠OBH=50°， ∴θ=2×50°=100°； 当PB=PC时，如图3， 连接PO并延长交BC于G，连接OC， ∵∠ACB=90°，O为斜边中点， ∴OB=OC， ∴PG垂直平分BC， ∴∠BGO=90°， ∵∠ABC=20°， ∴θ=∠BOG=70°， 综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°， 故答案为40°或100°或70°． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 115．【答案】（1）等边；（2）；（3）；（4）的最小值为 【分析】 （1）由旋转的性质可得，，再由等边三角形的判定定理即可得解； （2）以为边向上作等边，连接，则，，，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理逆定理得出，进而可得，即可得解； （3）以为边向上作等边，连接，则，，，，证明，得出，由全等三角形的性质可得，，求出，，进而得出，由直角三角形的性质可得，从而得出，，再由勾股定理计算即可得解； （4）将绕点顺时针旋转得到，连接、，由旋转的性质可得，，，，由勾股定理可得，则，当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，求出，由直角三角形的性质可得，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形； （2）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的边长为； （4）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， 当点、、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 116．【答案】（1）． （2）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图，作交延长线于点F，连接， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （3）． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键． （1）如图1，延长交于F，先证明可得、，再证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）如图，作交延长线于点F，连接，同（1）可得可得，再证明可得、，进而证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点，同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，，再说明，利用直角三角形的性质可得，进而求得，从而求得的长． 【详解】 解：（1）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图1，延长交于F， ∵， ∴ ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （2）略 （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点， 当时，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为， ∴， 同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 考点02 中心对称及其性质 1．B 2．【答案】（1）如图， （2，-3）； （2）（3，2）； （3）（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）． 【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O旋转180°的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转980°的对应点A′′、B′′、C′′的位置，然后顺次连接，根据坐标系写出坐标即可； （3）分AB、BC、AC为边，分别确定第四个顶点D，再写出坐标即可． 【详解】 解：（1）关于点O的中心对称图形为如图所示，点A′的对应点的坐标为（2，-3）； 故答案为：（2，-3）； （2）△ABC绕坐标原点O顺时针旋转的三角形如图所示，点A′′的对应点的坐标为（3，2）； 故答案为：（3，2）； （3）如图所示，D点坐标分别为：（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）． 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图及点的坐标，以及平行四边形的判定，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 3．【答案】（1）；     （2） 作图如下： 的坐标为；     （3）的面积为．      【分析】 本题考查的知识点是求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握图形在平面直角坐标系中的变换． （1）作绕点逆时针方向旋转得，进而得到的坐标； （2）关于原点成中心对称的，进而得到的坐标； （3）利用割补法即可求解． (1) 小问详解： 解：将绕点逆时针方向旋转，如图所示： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据关于原点成中心对称的， 由图可得，的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 即的面积为． 4．【答案】（1） 如图所示为所求：      （2） 如图所示为所求： 【分析】 本题考查了中心对称和旋转变换的概念，通过坐标变换来确定新图形的位置和顶点坐标． （1）根据中心对称的定义，对于任意点，其关于原点的中心对称点为，根据这个规则分别得出A，B，C三个点的对称点坐标，并依次连接即可； （2）根据旋转的性质，点到旋转中心距离不变，对应线段长度和对应角大小不变，据此可推断点A，C绕点B顺时针旋转后的坐标，并依次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．【答案】（1） 如图1，所作为所求；      （2） 如图2，所作点为所求． 【分析】 本题主要考查旋转中心，画中心对称图形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．D 11．C 12．D 13．C 14．C 15．A 16．D 17．D 18．D 19．B 20．C 21．D 22．D 23．B 24．D 25．A 26．D 27．D 28．B 29．B 30．D 31．C 32．B 33．D 34．【答案】（1） 四边形为所求作：      （2） 直线为所求作： 【分析】 本题主要考查了作中心对称图形，格点作图，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义，格点特点． （1）画平行四边形即可； （2）连接、交于点O，连接，交于点N，则即为所求作的直线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，，， ∴， 即． 35．【答案】（1） 如图，四边形即为所求；      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 （1）连接、，交于点，连接并延长交于点即可； （2）设矩形的对角线交点为点，连接、，交于点，过点、作直线即可． (1) 小问详解： 解：连接、，交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则点即为所作； (2) 小问详解： 设矩形的对角线交点为点，连接、，对角线、相交于点，过点、作直线， 设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为）， ∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点， ∴，， ∴， ∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积， 即直线将剩下图形的面积平分， 则直线即为所作． 【点睛】 本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 37．【答案】（1） 如图1，点即为所求；      （2）如图2，点即为所求． 【分析】 本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．B 2．A 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数，掌握这一特征是解题的关键，根据这一特征求解即可． 【详解】 点关于坐标原点对称，其横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可得解，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解此题的关键． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，求解 m 和 n 的值，再计算它们的和，即可作答． 【详解】 解：∵点和关于原点对称， ∴，， 因此， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，即可得解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】 点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 12．【答案】（1）解：如图即为所求；      （2），      【分析】 本题考查了作图中心对称，熟练掌握成中心对称的图形的性质是解此题的关键． （1）根据成中心对称的图形的性质画图即可； （2）根据图形写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作图得，，， 故答案为：，． 13．【答案】2 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及求代数式的值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求出的值，进而即可求得的值． 【详解】 解：因为点与点关于原点对称， 所以，， 解得，； 因此． 故答案为：2． 14．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】 解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标各互为相反数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴它们的横坐标和纵坐标各互为相反数， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．【答案】（1），；（2）， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，坐标与中心对称，掌握一元二次方程的解法，关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键； （1）利用因式分解法求解即可； （2）由题意得 ，解方程组即可求解． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴ ， 解得 ， ∴，． 17．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴． 20．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——中心对称，关于原点中心对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可求解； 【详解】 解：∵点与点关于原点对称，则点的横坐标是点横坐标的相反数，即； 点的纵坐标是点纵坐标的相反数，即； ∴，故； 故答案为： 21．【答案】 【分析】 此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 22．【答案】（1），     （2）20      【分析】 本题考查坐标与图形-轴对称变换、平移变换、中心对称变换，正确作出图形是解答的关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数列方程求解a、b即可求解； （2）根据平移性质和轴对称性质得到点C、D的位置，进而利用割补法求解图形面积即可． (1) 小问详解： 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，，，如图， 由图可得，所得图形的面积为． 23．【答案】二 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，各象限点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再判断点P所在的象限． 【详解】 解：∵点和点 关于原点对称， ∴，， ∴ 在第二象限． 故答案为：二． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：， ∴； 故答案为． 25．【答案】（1），     （2）16      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，关于原点对称点的性质，两点间距离公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质，关于原点对称点的性质，进行求解即可； （2）根据菱形的面积公式得出，根据两点间距离公式求出，，再求出结果即可． (1) 小问详解： 解：菱形的对角线交于坐标原点， 点与点关于坐标原点对称，点与点关于坐标原点对称， ，． (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， 菱形面积， ，， ， ， ． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】 ∵点与点关于原点对称， ∴，且， 解得，， ∴． 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号． 根据关于原点对称的点的性质可得点A在第二象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可． 【详解】 解：由点关于原点对称的点在第四象限，可得在第二象限， ， 解得． 28．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集． （1）用因式分解法求解即可； （2）判断在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】 解：（1）， ， ∴或， ，； （2）据题意，可得在第二象限， ， 解得． 29．【答案】（1，3） 【分析】 直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 30．【答案】2 【分析】 根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解． 【详解】 解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称， ∴a-1+5=0，5+1-b=0， ∴a=-4，b=6， ∴a+b=2． 故答案为：2 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键． 31．【答案】（1） 如图；为所求图形；                    （2） 如图； 【分析】 本题考查的是确定旋转中心，画关于原点对称的图形，熟记旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用网格的特点确定线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 解：点的坐标为：； 故答案为：， (2) 小问详解： 连接作其垂直平分线的交点即可. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $