专题07 相似（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 2．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】 A．，则5y=6x，故此选项错误； B．，则xy=30，故此选项错误； C．，则5y=6x，故此选项错误； D．，则5x=6y，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 3．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】 解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 4．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，则下列各式不成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】把3x=4y化为，根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：A.∵3x=4y，∴，错误； B.∵3x=4y，∴，∴，∴，正确； C.∵3x=4y，∴，∴，正确； D.∵3x=4y，∴，，即，正确， 故选A． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，把两内项之积等于两外项之积化为比例的形式，根据比例的性质进行正确变形是解题的关键． 5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（       ） A. 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 4，2，10，5 【答案】D 【分析】 根据成比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】 解：由， 可知这一组线段不成比例． 所以A不符合题意； 由， 可知这一组线段不成比例． 所以B不符合题意； 由， 可知这一组线段不成比例． 所以C不符合题意； 由， 可知这一组线段成比例． 所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键．即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段． 6．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　） A. 1、2、3、7 B. 1、2、2、4 C. 3、6、9、13 D. 1、9、11、15 【答案】B 【分析】 本题考查成比例线段的判定．判断线段是否成比例，将四条线段长度按从小到大排序后，验证第一和第四项的乘积是否等于第二和第三项的乘积．若相等，则成比例． 【详解】 解： A．，故不成比例； B．，故成比例； C．，故不成比例； D．，故不成比例． 故选：B． 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】 解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】 解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 9．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形的性质，列出比例方程求解原矩形的长宽比，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：设原矩形的长为，宽为，剪去以宽为边长的正方形后，剩下矩形的长为，宽为， ∵原矩形与剩下矩形相似， ∴， 令，则， ∴，即， 解得：， ∵长宽比大于 1， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如果，那么的值为　　　　　　　　　　． 【答案】.6 【分析】 本题考查比例的性质，可通过设参数的方法代入求解，也可利用比例变形直接计算． 【详解】 解：∵， ∴设，，则， ∴； 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如果（、均不为0），那么　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式． 【详解】 解：如果（、均不为0），那么． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，那么　　　　　　　　． 【答案】.8 【分析】 本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 利用已知条件，通过代数变形求解即可． 【详解】 解：由 ，两边同除以，得 ， 再两边同除以 5，得 ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如果，那么　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 14．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）若，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了代数式求值，比例的性质，把整体代入即可求解． 【详解】 解：，则， 故答案为：2． 15．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）（1）解方程：． （2）已知：，，求代数式的值． 【答案】（1），；（2）8 【分析】 本题考查了解一元二次方程，比例的性质： （1）利用因式分解法解答即可； （2）设，可得，，，再由，可得到k的值，再代入计算即可． 【详解】 （1）解：原方程可变形为， ∴，或． ∴，． （2）解：设， ∴，，， 把，，代入，得： ， 解得， ∴，，， 把，，代入， 原式． 16．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】 解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论． 17．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像的下半身设计高度． 【答案】（1）；     （2）该雕像的下半身设计高度为．      【分析】 本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：（或）． (2) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 18．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】 解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知则　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】根据比例的性质求解即可. 【详解】解：∵，∴设a=4k，b=3k，∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，掌握变形的方法是解题关键. 20．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若，求代数式的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】 解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】 解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 22．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为　　　　　　cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解． 【详解】 解：根据题意，； ∴ ∴ 故舍去； ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键． 24．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）（1）解方程：． （2）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪．如图，这是两片相似的枫叶图案．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程以及相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法以及相似图形的对应边成比例． （1）先移项，再由直接开平方法解方程； （2）利用相似图形的对应边成比例求解即可． 【详解】 （1）解：， 或 ∴； （2）解：∵两片枫叶图案是相似图形， ∴， 解得， ∴的值为 25．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．先求出小正方形的边长，再由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】 解：如图：点、是线段的两个黄金分割点， ， ∵正方形习字格的边长为， ∴， ∴，即小正方形的边长为， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的面积为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）（1）解方程：； （2）已知，且，求，，的值 【答案】(1) ;；(2) 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，比例的基本性质． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）根据比例的基本性质，通过设法进行求解． 【详解】 解：（1） 或 ∴； （2）∵ ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 27．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图所示，四边形四边形． （1）求的度数； （2）求x，y的值． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质、四边形的内角和等知识点，掌握相似形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键． （1）由相似形的性质可得、、，再根据多边形内角和公式求解即可； （2）由相似形的性质可得，再代入相关数据即可解答． (1) 小问详解： 解：四边形四边形， ，，， ． (2) 小问详解： 解：四边形四边形， ，即， ，． 28．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分比例的性质，求代数式的值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知比例关系设，则 ，，，代入所求分式化简计算． 【详解】 解：设 （），则，，． 代入 得： 分子：， 分母：， ∴ ． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）20世纪70年代，优选法经著名数学家华罗庚倡导在我国得到了较大规模的推广，取得了优异的成果．如图，在中，，，的平分线交于点，点即为线段的黄金分割点．若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，掌握黄金比是解题的关键．根据点为线段的黄金分割点得到，求出，即可求出． 【详解】 解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． (1) 小问详解： 解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； (2) 小问详解： 解：略． 32．（25-26学年九上·江西吉安·期中）（1）解方程：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1），；（2）14 【分析】 本题考查解一元二次方程，比例性质，代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据比例性质，设，，，由列方程求得，进而求得a、b、c，代值求解即可． 【详解】 解：（1）原方程化为 ∴或 ∴，； （2）由可设，，， 由得， 解得， ∴，，， ∴． 33．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）已知线段，C为线段的黄金分割点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．据此列式计算即可． 【详解】 解：为线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；② 当时，不防令，则． 【详解】 解：① 当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ② 当时，不防令，则． 综上，k值1或． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在中，，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】 解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G ，且 DG＝2 ，DF＝10 ， ＝ ，则 AG 的长为(     ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 利用平行线分线段成比例定理列出比例式，依此构建关于AG方程求解即可． 【详解】 解：∵AB∥CD∥EF， ∴ ， ∴ , 即, ∴ , 解得AG=4． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．解题的关键是根据题意列出比例式． 3．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解． 【详解】 解：∵是的中位线，， ∴，， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】 如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．    ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 5．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，交于，若，则的值是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝＝， ∵DF∥AC， ∴＝＝， ∴＝， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 6．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线得到对应线段成比例是解题的关键． 由，根据平行线分线段成比例定理可得，代入，，求出，由即可得AC的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，已知，，如果，那么的长为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．根据，可得，再由，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3 8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理．掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理，，通过已知线段长度求出该比例． 【详解】 解：∵ ∴， ∵，，        ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． (1) 小问详解： 解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 10．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴．     （2）      【分析】 （1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 11．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC． （1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长． （2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC． 【答案】（1） （2）如图②． ∵DF∥BE，∴． ∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC． 【分析】 （1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可； （2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论． 【详解】 （1）如图①． ∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5； （2）略 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，      ∴， ∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∴ ， ∴， 解得： ． 13．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，在的正方形网格中，三点均为格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作出直线，使三点到直线的距离相等； （2）在图中作出点，使点到点的距离相等． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求；      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 （）取格点，连接，过与格线的交点画直线，由网格可得，，所以四边形是平行四边形，又由平行线等分线段定理可知点分别是的中点，进而可得，且平行线间的间距相等，即三点到直线的距离相等，故直线即为所求； （）取格点,连接,可得四边形和四边形为正方形,由正方形的性质可得垂直平分线，又由平行线等分线段定理可知与格线的交点分别是的中点，连接直线，与相交于点，可得直线垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得点到点的距离相等，故点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，平行线等分线段定理，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． 14．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【详解】 解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（     ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】C 【分析】 此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（            ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】 解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故① 正确，④ 正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故② 正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③ 不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【分析】 由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】 ① ∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ② ∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③ 可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④ 中∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似； 故选D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键． 5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，小华在自己的练习本上画了一个，在边上取一点，作，已知点A、B、C、D、E均在网格线上，网格线的宽度忽略不计，小华用尺子测得，则长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练相似三角形的判定与性质是解题的关键． 作交于，交于，易得，由相似三角形的性质可得，进而计算即可． 【详解】 解：如图，作交于，交于， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，即 解得． 故选：B． 6．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 对于A，添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 对于B，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于C，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于D，添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，已知正方形，为对角线的中点，为上一点，且，连接并延长，作垂足为，垂足为，连接，．则下列结论中：；；；，正确的有（        ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 由正方形性质可得，，根据同角的余角相等得，证明，根据性质即可判断；连接，证明，则有，，又，，则，证明是等腰直角三角形，所以，则，从而得，即可判断；根据等边对等角得，从而得，即可判断；通过两角相等的三角形相似即可判断． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，连接， ∵正方形，为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵正方形，为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握以上内容是解题关键． 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】 解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 10．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M是AD上任意一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF为 （　　） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【详解】解:由 得 , 由 得 , ∴, ∴, ∴, ∴, ∴ 故选A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.由矩形的性质可得AB=CD=6，AC=BD,由勾股定理可求得AC,BD的长.通过两角相等的三角形相似可得，，得到两对比例式，把这两对比例式相加整理即可求出结论. 11．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【详解】 根据题意，本题需分点（1）A为等腰三角形的顶点，点D为等腰三角形底边的中点；（2）点A为等腰三角形底边的中点，点D为等腰三角形的顶点；两种情况来讨论： （1）如图1，当点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b-2，CF=b-4， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF， ∴点B与点C，点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF， ∴BE:CD=BD:CF，即(b-2):a=a(b-4)=3:2，解得：a= ， ∴BC=2a= ，该等腰三角形的底边长为：. （2）如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边中点时，设AB=AC=a，BD=CD=b，则BE=b-3，CF=b-2, ∵BD=CD， ∴∠B=∠C， ∴点B与点C为对应点， ①若点E与点F、点A与点C为对应点，则△BEA∽△CFA， ∴BE:CF=EA:FA=BA:CA，即(b-3):(b-2)=a:a=2:4，此时a、b无解，故此种情况不成立； ②若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF， ∴BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b-3）：a=2：4=a：（b-2），解得：a=，b=，则此时AB=，BE=， 又∵AE=2， ∴此时AB、BE、AE不能围成三角形，故此种情况不成立； 综上所述，这个等腰三角形底边长为：. 故选B. 点睛：（1）由题意可知本题需分两种情况讨论：① A为等腰三角形的顶点，点D为等腰三角形底边的中点；②点D为等腰三角形的顶点，点A为底边中点；（2）解得三角形的边长时，需用三角形三边间的关系检验，看是否能够围成三角形. 12．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（     ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质，可证，于是，；由已知条件可得，根据三线合一，得，于是，，得证四边形是菱形．故④ 正确；求证，于是，．故① 正确．求证，可得．故③ 正确；连接，中，，所以．故② 错误； 【详解】 解：矩形中，, ∵, ∴. ∴. ∴. ∵,， ∴. ∴． ∴． ∴ ∴． 四边形中，，， ∴四边形是菱形．故④ 正确； ∴ ∵， ∴．     ∵， ∴． ∵，. ∴ ∴ ∴，．故① 正确． 在与中， ，， ∴． ∴． ∴．故③ 正确； 如图，连接，中， ∴． ∴．故② 错误；        故选：C 【点睛】 本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质；熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 13．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在等边中，，分别是边，上的动点，且．以为边作等边，使点与点在直线的同侧，交于点，交于点．给出下面四个结论，其中不一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题的关键． A．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；B．证明，可得结论；C．已知缺乏条件证明；D．证明四边形四条边相等即可． 【详解】 解：∵，都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，都是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故B正确，该选项不符合题意； 由已知缺乏条件证明， 故C不一定正确，该选项符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故D正确，该选项不符合题意． 故选：C． 14．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，其中与交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．已知正方形的边长为6，当四边形的周长最短时，的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据旋转的性质得到，，根据正方形的性质得到，，证明，得到，可得四边形的周长，可知当四边形的周长最短时，最短，即，此时P为中点，证得和，根据相似三角形的性质得到，求出，然后利用勾股定理求得，结合，得到，即可求得． 【详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长，为定值， ∴当四边形的周长最短时，最短， 即， ∵， ∴P为中点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】 略 16．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 17．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是　　　　. 【答案】1或或2﹣． 【分析】 过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】 ①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M， 则CM∥AE，DM＝MF， 延长CM交AD于点G， ∴AG＝GD＝1， ∵AG∥EC，AE∥CG， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴CE＝AG＝1， ∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形． ②DF＝DC时，则DC＝DF＝1， ∵DF⊥AE，AD＝2， ∴∠DAE＝30°， ∴∠AEB＝30° 则BE＝ ∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形； ③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点． ∵AB＝1，BE＝x， ∴AE＝， AF＝， ∵△ADF∽△EAB， ∴， ， x2﹣4x+1＝0， 解得：x＝2﹣或2+（舍弃）， ∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形． 综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形． 故答案为1或或2﹣． 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，即可证明结论； （2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在四边形中，，，，，是上一点．若，则的长为　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，解分式方程，掌握相似三角形的性质得到线段的比值是关键． 根据题意得到，设，则，代入求值即可． 【详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴的长为或， 故答案为：或 ． 21．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=_______． （2）如图②，在线段上找一点，使． 【答案】（1）     （2） 下图点即为所求作： 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易知，，，然后问题可求解； （2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． (1) 小问详解： 解：由图可知：，，， ； 故答案为： ； (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 23．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 【答案】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键． 24．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知：如图，，是延长线上一点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形中两组对应角相等证明即可； （2）根据对应边成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 25．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】 解：设，， 在中，，， 点为的中点， ，则， ， ， ， 故答案为：． 26．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在中，点E为上一点，连接，在上取一点F，使得．求证：． 【答案】证明：∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 根据四边形是平行四边形、证明，可得，即可证得． 【详解】 略． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，证明出是解本题的关键． 27．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）（多选）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形． 初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，． （2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形． 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD． 小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下： 在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA． （请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长． 【答案】（1）正方形，矩形（答案不唯一）； （2）∵在⊙O中,∠DAC和∠DBC是 所对的圆周角, ∴∠DAC＝∠DBC, 又∠MCB＝∠DCA, ∴△MCB∽△DCA, ∴, 即BC·AD＝AC·BM, ∵在⊙O中,∠CDB和∠CAB是 所对的圆周角, ∴∠CDB＝∠CAB． 又∠DCM＝∠ACB, ∴△DCM∽△ACB, ∴, 即AB·CD＝AC·DM, AC·BM＝AC·(DM＋BM), 即AB·CD＋BC·AD＝AC·BD, （3）. 【详解】 试题分析:(1)根据巧妙四边形的定义可写出符合条件的四边形,等腰梯形,矩形,正方形等,(2)圆内接四边形对角线为圆内两条相交的弦,根据同弧所对圆周角相等可证等角,再根据两角分别对应相等的两个三角形相似可证相似三角形,根据相似三角形的性质可得对应边成比例,即可求证,(3)连接BD,可根据题目条件证明四点共圆,即四边形ABCD为圆内接四边形,再根据(2)的结论代入数值即可计算求解. 试题解析:（1）正方形,矩形（答案不唯一）, 略 （2） （3）连接BD,取BD中点M,连接AM,CM, 在Rt△ABD中,BD==3, 在Rt△BCD中，BC==, ∵在Rt△ABD中,M是BD中点, ∴AM＝BD, ∵在Rt△BCD中,M是BD中点, ∴CM＝BD, ∴AM＝CM＝MB＝MD, ∴A,B,C,D四点在以点M为圆心,MA为半径的圆上, 即四边形ABCD是⊙O的内接四边形, 由（2）的结论可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD, ∴AC=. 28．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1） 证明：连接， ∵立杆相交于点， ． 又， ， ， ∴；     （2）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作， ，由（1）已证， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 29．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在矩形中，，点为边上一点，，于点，． （1）求证：； （2）求证：是的中点． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵四边形是矩形，，，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即E是的中点．      【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可证明； （2）利用勾股定理求得的长，再根据相似三角形的性质求得的长，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）（1）已知一条抛物线过点，且顶点坐标为,求该抛物线解析式； （2）如图，已知，分别是的边，上的点，，，，，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式求解，即可解题； （2）根据题意证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，        所以抛物线解析式为． （2）∵， ∴，        ∴，        ∵，，， ∴， ∴． 31．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．由于四边形是平行四边形，可得，；由易证得，已知了对应边、的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比． 【详解】 】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ，， 设，则，， ， ， ． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．     （2） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （）由四边形是平行四边形，得，则，根据垂直平分线性质得，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，又，则有四边形是菱形； （）由四边形是菱形，则，所以，则，证明，所以，从而求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 33．（25-26学年九上·江西九江·期末）（1）解方程：； （2）如图，与相交于点，若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，以及相似三角形的判定和性质． （1）利用因式分解法求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】 解：（1）， 因式分解得， ∴或， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】 根据，得到，再证明，得到，进而求出，然后证明四边形是平行四边形，即可求出的长． 【详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 35．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高，长，求货车轮胎半径为　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题主要考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明，进而由相似三角形的性质求解即可． 【详解】 连接，并延长交圆于，连接， ，， ， 由题意可知， ，， ，， ， ，即，解得， 则货车轮胎半径为． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 37．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；     （2）的度数是．      【分析】 此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 38．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 【答案】（1） 证明：， .. 在和中， ， .     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明并得到是解题的关键． （1）由等式的性质可得，然后根据，可证三角形相似； （2）由相似三角形的性质可得，然后结合可证，从而利用相似三角形的性质分析计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ． . 在和中， ， ． ， ． ． 39．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，在中，，是的中点，，垂足为． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴；     （2） 证明：∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴．      【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据题意得到，，即可证明出； （2）首先根据得到，然后由是的中点，等量代换得到，然后结合即可证明出． 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：① 两组角对应相等的两个三角形相似；② 三边对应成比例的两个三角形相似；③ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线与菱形的边在同一条直线上，且． （1）在图1中，找出线段的中点． （2）在图2中，找出线段上的一个三等分点． 【答案】（1） 如图，点为所求；      （2） 如图，点即为所求， 【分析】 （1）利用矩形对角线互相平分的性质找到AC中点，再结合菱形对边平行的性质，通过构造平行四边形确定BC的中点． （2）借助菱形的角度和边长关系，构造相似三角形或利用线段比例，确定BC的三等分点． (1) 小问详解： 解：证明：令交于，连接， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵四边形BCEF是菱形， ∴，， ∵， ∴△CEF是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴M是BC的中点； (2) 小问详解： 解：证明：由（1）得，，，， ∴，． ∴，， ∴， ∴，即是线段的一个三等分点． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质，利用图形的平行、相等关系构造中点或比例线段是解题的关键． 41．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，标记了与边、角的一些数据，如果再添加一个条件使，那么这个条件可以是　　　　　　．（只填一个即可） 【答案】或或 【分析】 利用三角形相似的条件即可进行解答. 【详解】 由图可知：，且， ∴当时，； 由图可知：，且， ∴当时，即可求得，； 由图可知：，，， ∴当，即时，； 综上所述：当或或时， 【点睛】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题关键 42．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在平行四边形中，以对角线为直径的分别交、于、，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的性质（直径所对的圆周角是直角），圆周角定理，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． 连结，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，，根据勾股定理求出，，根据圆周角定理及平行四边形的性质得到，，得证，得出，计算即可得到答案． 【详解】 解：连结，， 是的直径， ，， ，， ， ， ， ， 在平行四边形中，，，， ， ， ， ， ， ，即， ． 43．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，，且，试说明． 【答案】证明：∵， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵． 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质．先证明得到，从而可证明，即可得出结论． 【详解】 略． 44．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空：          ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①； ② 如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴．     （2） 解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）② 中结论仍然成立      【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）① 根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ② 连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）（多选）（本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE=CG； （2）AN•DN=CN•MN． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形， ∴AD=CD，   DE=DG， ∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG， 即∠ADE=∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG； （2）∵△ADE≌△CDG， ∴∠DAE=∠DCG， ∵∠ANM=∠CND， ∴△AMN∽△CDN， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据条件结合正方形的性质利用SAS证明△ADE≌△CDG即可得出结论； （2）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△AMN∽△CDN，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】 （1）略略） （2）略 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 46．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，A，B两点的坐标分别是，，点P由点B出发沿方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题： （1）当时，求点P的坐标； （2）当与点A，Q，P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； （3）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键， （1）根据题意可得时，，即P在中点处即可求解； （2）分和两种情况进行讨论，结合相似的性质即可求解； （3）根据面积公式即可求解． (1) 小问详解： 由题知， 时，， 所以此时P在中点处， 又A、B两点的坐标分别是， 所以点P的坐标为； (2) 小问详解： 设时间后，与点A、Q、P三点构成的三角形相似， 则，， 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 综上，当点Q的坐标为或． (3) 小问详解： ∵，， ∴. 47．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 【答案】（1），； （2），， 理由：如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线CD与AP所成锐角度数为； （3）． 【分析】 （1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案； （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得： ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 48．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ② 当时，如图2所示：        由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③ 当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 49．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【分析】 问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：① 如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② 如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 50．（25-26学年九上·江西九江·期末）在四边形中，点分别是上的点，且，连接，将线段绕点旋转得到，连接． （1）观察猜想 如图1，若四边形是正方形，，猜想：与的数量关系是___________，___________； （2）类比探究 如图2，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，在菱形中，，，点是射线上一点，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交射线于点，直接写出的值． 【答案】（1），45     （2） ，，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点A作于点K，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）证明，，即可得，，即可求解； （2）证明，，可得，，从而得到，过点A作于点K，则，根据直角三角形的性质可得 ，再结合勾股定理可得，即可； （3）分两种情况：点E在线段上和点E在线段的延长线上，结合全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，； 故答案为：，45； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点E在线段上时，如图，连接，在边上取点G，使，过点F作交于点P， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图，连接，在边的延长线上取点M，使，过点F作交于点P，在的延长线上取点N， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理（2）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 51．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，与相交于点H． （1）如图1，若，平分，求证：． （2）如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，与还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 如图，设与的交点为点， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴，，，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，则，由矩形的性质可得，，从而得出，，由角平分线的定义可得，从而推出，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得证； （2）设与的交点为点，由题意可得四边形为正方形，则，，，，由旋转的性质可得，，从而可得为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，得出，求出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）由（2）可得，，再结合，得出，由相似三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得：，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 52．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在菱形中，，E为射线上一动点，连接，以为边朝右侧作菱形，且满足． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）利用备用图，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是边上一动点，四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下， 如图，连接，，过点作延长线于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （3）的长为或．      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，同理可得，则有，可证，由此即可求证； （2）连接，，过点作延长线于点，可证，得到，且，则有，据此计算即可求解； （3）利用，求得，分两种情况讨论，利用（2）的结论求得，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 当点E在线段上时， ∵，， ∴，， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∵，，， ∴，， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 53．（25-26学年九上·江西抚州·期中）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）  ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】 由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 54．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，是的边上的一点．如果，那么与是否相似？为什么? （2）如图2，在菱形中，是上一点，作交的延长线于点，点在上，连接，若． ①求证：． ②若，，恰好是的中点，求菱形的边长． 【答案】（1） 解：与相似，理由如下： ∵， ∴由对应边成比例，夹角相等可得 ；     （2） ①证明：∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 菱形的边长为      【分析】 （1）根据对应边成比例，夹角相等判定相似三角形即可； （2）① 根据题意可证，得到，由平行线的性质，角的等量代换即可求解； ②设，根据题意得到，证明，得到，再根据菱形的性质证明四边形是平行四边形，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵，恰好是的中点， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 55．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为_____，位置关系为_____；（直接写出答案） （2）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图3，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，小组发现：在旋转过程中，的值是正值，请求出这个定值． 【答案】（1），     （2），， 理由如下： 如图3，设与交于，与交于点， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． （1）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （2）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （3）连接，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． (1) 小问详解： 解：如图2，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接，， ∵，，， ∴，， ∴，， 由（2）知， ∴， ∴． 56．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）． （2）证明：过点作交于点，则， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∴，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 问题拓展：． 【分析】 （1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=； （2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可． 【详解】 问题探究 （1）．理由如下：如图（2）， ∵∠BCA=∠ECF=90°， ∴∠BCE=∠ACF， ∵BC=AC，EC=CF， △BCE≌△ACF， ∴BE=AF， ∴BF-BE=BF-AF=EF=； （2） 略 问题拓展   ．理由如下： ∵∠BCA=∠ECD=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∵BC=kAC，EC=kCD， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠EBC=∠FAC， 过点作交于点M，则， ∴． ∴△BCM∽△ACF， ∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k， ∴BM=kAF,MC=kCF， ∴BF-BM=MF，MF== ∴BF- kAF =． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键． 57．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，，，E是上一点，使得； （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ，， ，， ， ， ．     （2）     （3） 线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ．      【分析】 此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． (3) 小问详解： 略 58．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，，在中，，点A在直线上，B、C两点在上，D、E分别是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出边的中线； （2）在图2中，画出一个以为对角线的菱形． 【答案】（1） 如图即为所求．      （2） 如图四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． 【分析】 （1）根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图解答即可． （2）根据直角三角形的性质，得到，连接，并延长交于点G，连接，则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，边上的中线为， ∴， 连接，并延长交于点G， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． 【点睛】 本题考查了基本作图，三角形的中线，直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握作图，三角形相似判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 59．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，点在矩形一边延长线上，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在边上画出一点，使； （2）在图2中，若点是边上的三等分点（），在边上画出一点，使． 【答案】（1） 如图，      （2） 如图， 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，以及无刻度尺作图，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定． （1）连接，根据两组对角相等即可证明相似，则与的交点即可所求； （2）根据相似可得点H是边上的三等分点，再由矩形的性质可得，由边成比例即可得点P为的中点，再由边角边的证明方法证明即可． (1) 小问详解： 解：连接，则与的交点即为点P，则点P即可所求； 在与中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，则与的交点，记为点H， 由（1）知， ∴， ∴点H是边上的三等分点（）， 连接，得到矩形与矩形， 连接两个矩形的对角线，即连接与相交于点M， 连接与相交于点N， 连接交于点Q，交于点P，则点P即可所求； 由矩形的性质可得，， ∴， ∵， ∴点P为中点， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 60．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【答案】（1）①；②60． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）① 根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ② 根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）① ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）略 （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 61．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， 　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质等知识，先证明，得出，根据平行线的性质得出，同理可证，根据平行线分线段成比例定理可得出，根据三角形中线的性质可得出，同理求出，，，设，结合，可求出，则，即可求解． 【详解】 解∶∵，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶4． 62．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）． （1）求点D的坐标； （2）记正方形DEFG的面积为S， ① 求S关于n的函数关系式； ② 当DF∥x轴时，求S的值； （3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上． 【分析】 （1）由于点D（m，4）在直线AC上，代入直线AC的解析式可得关于m的方程，解方程即可得到点D的坐标为（﹣3，4）； （2）① 如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，根据正方形的面积公式和勾股定理可得S关于n的函数关系式； ② 当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函数关系式即可得到S的值； （3）根据待定系数法可得BC为：；再分四种情况：① 当点F落在BC边上时；② 当点G落在BC边上时；③ 当点F落在AB边上时；④ 当点G落在AC边上时；进行讨论可得所有满足条件的n的值． 【详解】 解：（1）∵点D（m，4）在直线AC上； ∴4=m+8，解得m=﹣3， ∴点D的坐标为（﹣3，4）； （2）① 如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|， ∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9； ② 当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心， ∴EH=DH=3， ∴n=4+3=7， ∴S=（7﹣4）2+9=18； （3）∵OB=2OC=16， ∴B为（16，0）， ∴BC为：； ① 当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N． 在△DEM与△EFN中， ， ∴△DEM≌△EFN（AAS）， ∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3， ∴F为（n﹣4，n﹣3） ∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8， ∴n=； ② 当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由① 同理可得△DEM≌△GDN， ∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4， ∴点G纵坐标为1， ∴， ∴x=14， ∴DN=14+3=17=n﹣4， ∴n=21； ③ 当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由① 同理可得△DEM≌△EFO， ∴OE=DM=3，即n=3； ④ 当点G落在AC边上时，如图5． ∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA， ∴△DCE∽△OCA， ∴， ∴， ∴n=， 显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况． 综上可得，当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上． 【点睛】 考查了一次函数综合题，时间的知识点有：直线上的点的特征，正方形的面积公式和勾股定理，待定系数法求直线解析式，方程思想的运用，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度． 63．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，是的直径，C，D是圆上异于A、B，且在同侧的两点，分别过C、D作的切线，它们交于点E，线段与的交点为F，线段与的交点为M，求证：E、C、M、D四点共圆． 【答案】解：连接，如图所示： ∵过C、D作的切线，它们交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴O、E、C、M、D五点共圆， ∴E、C、M、D四点共圆． 【分析】 题目主要考查四点共圆问题，相似三角形的判定和性质，切线的性质定理，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，，再由圆周角定理得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，，再次利用相似三角形的判定得出，利用其性质得出，确定，即可证明． 【详解】 略 64．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2，；②，； （2）解：，证明如下： 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【分析】 （1）① 连接，，，根据轴对称的性质得出，，，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出； ② 同① 解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可； （2）同（1）② 求解过程一致； （3）分两种情况，① 当点在线段上时和② 当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1）① 连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴； ② 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略 (3)① 当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ② 当点在线段的延长线上时，连接， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 65．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 66．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关系展开如下探究： （1）如图1，的两条中线与交于点，连接，则________；若的面积为12，则四边形的面积为_________； （2）如图2，已知点是的重心，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点，_________； （3）如图3，在等腰中，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交边于点E，连接；过点作边的平行线交线段的延长线于点； ①若，求； ②若，请直接写出的值． 【答案】（1）2；9     （2）     （3）①，②      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据中线的性质以及三角形中位线的判定可得、，易得，，即可求得的值；先根据相似三角形的性质求得，再根据面积的和差即可解答； （2）由重心的性质可得，，再证明可得，再结合即可证明结论； （3）① 先证明可得，即，最后运用算术平方根的性质求解即可；②先证明可得，即；设，则，；，最后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵的两条中线与交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，即，解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：2，9． (2) 小问详解： 解：∵点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵等腰中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是　　　　　　． 【答案】1:4 【分析】 根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得. 【详解】 ∵两相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4. 【点睛】 本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键. 2．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质直接得出结论即可． 【详解】 解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为， 与的面积的比为． 故答案为：． 3．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】 （1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，① 设经过秒后，推，② 设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】 解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）① 设经过秒后， ， ， 解得， ② 设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 4．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】 （1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】 解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】 此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当　　　　　　时，与相似． 【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】 解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 6．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． （1）用含t的代数式表示：线段          ；             ． （2）求当t为何值时，四边形的面积为． （3）当与相似时，求出t的值． 【答案】（1）     （2）当或3时，四边形的面积为     （3）当或1时，与相似      【分析】 本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． (1) 小问详解： 解：由运动知，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为． (3) 小问详解： 解：与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）当t为多少时，平分面积； （2）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）当时     （2）当时      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可求的面积，用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性． （2）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ，， ，点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， 即， 则， ， ，（舍）， 故当时，平分面积； (2) 小问详解： 解：∵， 则以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时， ， ， ； 情况二：当时， ， ， ， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 （）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点，点， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得，，； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴① 当时，， ∴， 即， 解得； ② 当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 10．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，，，点P以的速度从C点向B点运动，到达B点后停止运动，设点P、点Q同时出发，同时停止运动，设运动时间为． （1）若点Q以的速度从B点沿方向向A点运动，当t为何值时，与相似； （2）若点Q以的速度从A点沿方向向B点运动，当的面积等于面积的，求t的值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及边成比例，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质并分类讨论． （1）根据三角形相似，分类讨论成比例与成比例两种情况，由此求解即可； （2）作辅助线构造平行，可得边成比例，即，再根据的面积与面积列式求解即可． (1) 小问详解： 解：当或时，与相似； ∵点P以的速度从C点向B点运动，运动时间为． ∴，则， ∵点Q以的速度从B点沿方向向A点运动， ∴， ① 若，，则， ∴，即， 解得； ②，，则， ∴，即， 解得； 综上，当或时，与相似； (2) 小问详解： 解：过点A作交的延长线于点F，过点Q作，如图， ∴， ∴， ∵点Q以的速度从A点沿方向向B点运动， ∴，， 即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， 化简可得， 解得，（不满足题意，舍去）， ∴当的面积等于面积的，t的值为． 11．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）在的方格中，小正方形的边长为1，，和都是格点三角形． （1）判断与相似吗？若相似，求出的度数，并说出理由； （2）判断与相似吗？若相似，求与的周长比． 【答案】（1） 与相似，，理由如下， 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴；     （2）相似，周长比为      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练使用勾股定理将三边解出． （1）根据三边成比例即可判定相似，再由的度数可得的度数； （2）根据三边成比例即可判定相似，再由周长比为边长比求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与相似，周长比为． 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴与的周长比为的长度与的长度， 即周长比为． 12．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，与均是等边三角形，若，则的度数是　　　　　　． 【答案】U度 【分析】 首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得的度数． 【详解】 解：如图： ∵等边和等边， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即：， ∴， 解得． 故答案为： 【点睛】 本题考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和．解决本题必须理清各角间的关系． 13．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，，，，，，点P在上，由点B向点D方向移动，当与相似时，的值为　　　　　　． 【答案】或2或12 【分析】 分及两种情况，再利用相似三角形的性质即可求得的长． 【详解】 解：① 当时，则，即， ， 解得：； ② 当时，则，即， ∴， 即， 解得：或； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或2或12． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程等，解题的关键是注意分类讨论，避免漏解． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 过点作，垂足为，延长交 于点，证明 ， 从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ∴， ， ，即， 解得： ∴小孔到 的距离为， 故答案为：. 2．（2026·江西九江外国语学校·五模）身高的小李在阳光下的影长为，同一时刻旗杆的影长是，则旗杆的高度是　　　　　　　　　　． 【答案】 米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，设旗杆的高度是，根据同一时刻物高与影长成正比，得出，求解即可，熟练掌握同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键． 【详解】 解：设旗杆的高度是， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得：， 旗杆的高度是， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为　　　　　　m． 【答案】200 【分析】 根据AB∥CD，得出△OAB∽△OCD，得出，即，求出OF即可． 【详解】 解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴，即， ∴． 故答案为：200． 【点睛】 本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 4．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高是． 【分析】 过点G作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形， 所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线． 5．（25-26学年九上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）证明四边形为矩形，可得，再由，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． (2) 小问详解： 解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 6．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 （1）老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】（1）一     （2）选择第二或三组的方案，教学大楼的高度为      【分析】 本题主要考查相似三角形的实际应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）第一组的方案：直接证明即可；第二组的方案：延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案：直接利用相似三角形的判定和性质求解即可，然后进行最终数据比较即可判断哪一组数据错误； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． (1) 小问详解： 解：第一组的方案： 由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴教学大楼的高度为； 第二组的方案： 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 第三组的方案： 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ∵第二、三组数据求出的大楼高度一致，与第一组的数据求得的大楼高度不一致， ∴第一组数据错误， (2) 小问详解： 解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】 解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 8．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． （1）如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； （2）如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，结合凸透镜成像的特点分析线段关系是解题的关键． （1）① 通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求的值．② 利用相似三角形的对应边成比例，结合已知条件求虚像的高度． （2）证明三角形相似，根据相似三角形的性质和已知的像与物的长度关系，结合焦距求解物距的长． (1) 小问详解： 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 解：∵，蜡烛的长为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴， ∵， ∴． ∴即， 解得． 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为          （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 【答案】（1）（2） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质定理． （1）根据条件证明，得出对应边成比例即可； （2）同（1）证明，得出对应边成比例，然后利用线段的和差进行表示，列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）根据光的反射可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）同（1）得， ∴， 即， ∴， 借助（1）得， ∴， 解得． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（        ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算即可．本题的关键是理解并能灵活运用位似变换的性质：“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．” 【详解】 解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，， 点A的对应点的坐标是或， 即或． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． （1）求证：； （2）把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，， 在中，， ， 即， ．     （2） 如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 3．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将各边放大为原来的2倍得到，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查位似变换． 以原点为位似中心，将图形放大为原来的2倍，相似比为2，面积比为相似比的平方，即4．先计算的面积，再乘以4得到的面积． 【详解】 的顶点坐标为、、， 其面积为． 将各边放大为原来的2倍得到，则面积比为4， 因此的面积为． 故答案为：6． 4．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【分析】 （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】 （1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】 本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 5．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】 解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； ；     （2） 解：如图，点M就是所求的点； ；     （3） 解：如图，点D就是所求的点． ．      【分析】 本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．【答案】.6 【分析】 本题考查比例的性质，可通过设参数的方法代入求解，也可利用比例变形直接计算． 【详解】 解：∵， ∴设，，则， ∴； 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式． 【详解】 解：如果（、均不为0），那么． 故答案为：． 12．【答案】.8 【分析】 本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 利用已知条件，通过代数变形求解即可． 【详解】 解：由 ，两边同除以，得 ， 再两边同除以 5，得 ． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 14．【答案】2 【分析】 本题考查了代数式求值，比例的性质，把整体代入即可求解． 【详解】 解：，则， 故答案为：2． 15．【答案】（1），；（2）8 【分析】 本题考查了解一元二次方程，比例的性质： （1）利用因式分解法解答即可； （2）设，可得，，，再由，可得到k的值，再代入计算即可． 【详解】 （1）解：原方程可变形为， ∴，或． ∴，． （2）解：设， ∴，，， 把，，代入，得： ， 解得， ∴，，， 把，，代入， 原式． 16．【答案】 【分析】 由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】 解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论． 17．【答案】（1）；     （2）该雕像的下半身设计高度为．      【分析】 本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：（或）． (2) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】 解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】根据比例的性质求解即可. 【详解】解：∵，∴设a=4k，b=3k，∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，掌握变形的方法是解题关键. 20．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】 解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】 解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 22．【答案】 【分析】 由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】 【分析】 根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解． 【详解】 解：根据题意，； ∴ ∴ 故舍去； ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键． 24．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程以及相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法以及相似图形的对应边成比例． （1）先移项，再由直接开平方法解方程； （2）利用相似图形的对应边成比例求解即可． 【详解】 （1）解：， 或 ∴； （2）解：∵两片枫叶图案是相似图形， ∴， 解得， ∴的值为 25．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．先求出小正方形的边长，再由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】 解：如图：点、是线段的两个黄金分割点， ， ∵正方形习字格的边长为， ∴， ∴，即小正方形的边长为， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的面积为， 故答案为：． 26．【答案】(1) ;；(2) 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，比例的基本性质． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）根据比例的基本性质，通过设法进行求解． 【详解】 解：（1） 或 ∴； （2）∵ ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 27．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质、四边形的内角和等知识点，掌握相似形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键． （1）由相似形的性质可得、、，再根据多边形内角和公式求解即可； （2）由相似形的性质可得，再代入相关数据即可解答． (1) 小问详解： 解：四边形四边形， ，，， ． (2) 小问详解： 解：四边形四边形， ，即， ，． 28．【答案】 【分析】 本题考查分比例的性质，求代数式的值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知比例关系设，则 ，，，代入所求分式化简计算． 【详解】 解：设 （），则，，． 代入 得： 分子：， 分母：， ∴ ． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，掌握黄金比是解题的关键．根据点为线段的黄金分割点得到，求出，即可求出． 【详解】 解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2） 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． (1) 小问详解： 解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； (2) 小问详解： 解：略． 32．【答案】（1），；（2）14 【分析】 本题考查解一元二次方程，比例性质，代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据比例性质，设，，，由列方程求得，进而求得a、b、c，代值求解即可． 【详解】 解：（1）原方程化为 ∴或 ∴，； （2）由可设，，， 由得， 解得， ∴，，， ∴． 33．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．据此列式计算即可． 【详解】 解：为线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 34．【答案】1或 【分析】 本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；② 当时，不防令，则． 【详解】 解：① 当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ② 当时，不防令，则． 综上，k值1或． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线得到对应线段成比例是解题的关键． 由，根据平行线分线段成比例定理可得，代入，，求出，由即可得AC的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 7．【答案】3 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．根据，可得，再由，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3 8．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理．掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理，，通过已知线段长度求出该比例． 【详解】 解：∵ ∴， ∵，，        ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． (1) 小问详解： 解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 10．【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴．     （2）      【分析】 （1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 11．【答案】（1） （2）如图②． ∵DF∥BE，∴． ∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC． 【分析】 （1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可； （2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论． 【详解】 （1）如图①． ∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5； （2）略 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，      ∴， ∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ∴ ， ∴， 解得： ． 13．【答案】（1） 如图所示，直线即为所求；      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 （）取格点，连接，过与格线的交点画直线，由网格可得，，所以四边形是平行四边形，又由平行线等分线段定理可知点分别是的中点，进而可得，且平行线间的间距相等，即三点到直线的距离相等，故直线即为所求； （）取格点,连接,可得四边形和四边形为正方形,由正方形的性质可得垂直平分线，又由平行线等分线段定理可知与格线的交点分别是的中点，连接直线，与相交于点，可得直线垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得点到点的距离相等，故点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，平行线等分线段定理，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【详解】 解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C 13．C 14．B 15．【答案】证明：，， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】 略 16．【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 17．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．【答案】1或或2﹣． 【分析】 过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】 ①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M， 则CM∥AE，DM＝MF， 延长CM交AD于点G， ∴AG＝GD＝1， ∵AG∥EC，AE∥CG， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴CE＝AG＝1， ∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形． ②DF＝DC时，则DC＝DF＝1， ∵DF⊥AE，AD＝2， ∴∠DAE＝30°， ∴∠AEB＝30° 则BE＝ ∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形； ③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点． ∵AB＝1，BE＝x， ∴AE＝， AF＝， ∵△ADF∽△EAB， ∴， ， x2﹣4x+1＝0， 解得：x＝2﹣或2+（舍弃）， ∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形． 综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形． 故答案为1或或2﹣． 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．【答案】（1） 证明：∵，， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，即可证明结论； （2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．【答案】或 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，解分式方程，掌握相似三角形的性质得到线段的比值是关键． 根据题意得到，设，则，代入求值即可． 【详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴的长为或， 故答案为：或 ． 21．【答案】（1）     （2） 下图点即为所求作： 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易知，，，然后问题可求解； （2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． (1) 小问详解： 解：由图可知：，，， ； 故答案为： ； (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 23．【答案】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键． 24．【答案】（1） 证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形中两组对应角相等证明即可； （2）根据对应边成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 25．【答案】 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】 解：设，， 在中，，， 点为的中点， ，则， ， ， ， 故答案为：． 26．【答案】证明：∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 根据四边形是平行四边形、证明，可得，即可证得． 【详解】 略． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，证明出是解本题的关键． 27．【答案】（1）正方形，矩形（答案不唯一）； （2）∵在⊙O中,∠DAC和∠DBC是 所对的圆周角, ∴∠DAC＝∠DBC, 又∠MCB＝∠DCA, ∴△MCB∽△DCA, ∴, 即BC·AD＝AC·BM, ∵在⊙O中,∠CDB和∠CAB是 所对的圆周角, ∴∠CDB＝∠CAB． 又∠DCM＝∠ACB, ∴△DCM∽△ACB, ∴, 即AB·CD＝AC·DM, AC·BM＝AC·(DM＋BM), 即AB·CD＋BC·AD＝AC·BD, （3）. 【详解】 试题分析:(1)根据巧妙四边形的定义可写出符合条件的四边形,等腰梯形,矩形,正方形等,(2)圆内接四边形对角线为圆内两条相交的弦,根据同弧所对圆周角相等可证等角,再根据两角分别对应相等的两个三角形相似可证相似三角形,根据相似三角形的性质可得对应边成比例,即可求证,(3)连接BD,可根据题目条件证明四点共圆,即四边形ABCD为圆内接四边形,再根据(2)的结论代入数值即可计算求解. 试题解析:（1）正方形,矩形（答案不唯一）, 略 （2） （3）连接BD,取BD中点M,连接AM,CM, 在Rt△ABD中,BD==3, 在Rt△BCD中，BC==, ∵在Rt△ABD中,M是BD中点, ∴AM＝BD, ∵在Rt△BCD中,M是BD中点, ∴CM＝BD, ∴AM＝CM＝MB＝MD, ∴A,B,C,D四点在以点M为圆心,MA为半径的圆上, 即四边形ABCD是⊙O的内接四边形, 由（2）的结论可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD, ∴AC=. 28．【答案】（1） 证明：连接， ∵立杆相交于点， ． 又， ， ， ∴；     （2）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作， ，由（1）已证， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 29．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵四边形是矩形，，，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即E是的中点．      【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可证明； （2）利用勾股定理求得的长，再根据相似三角形的性质求得的长，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式求解，即可解题； （2）根据题意证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，        所以抛物线解析式为． （2）∵， ∴，        ∴，        ∵，，， ∴， ∴． 31．【答案】 【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．由于四边形是平行四边形，可得，；由易证得，已知了对应边、的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比． 【详解】 】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ，， 设，则，， ， ， ． 故答案为：． 32．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．     （2） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （）由四边形是平行四边形，得，则，根据垂直平分线性质得，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，又，则有四边形是菱形； （）由四边形是菱形，则，所以，则，证明，所以，从而求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 33．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，以及相似三角形的判定和性质． （1）利用因式分解法求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】 解：（1）， 因式分解得， ∴或， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．【答案】 【分析】 根据，得到，再证明，得到，进而求出，然后证明四边形是平行四边形，即可求出的长． 【详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明，进而由相似三角形的性质求解即可． 【详解】 连接，并延长交圆于，连接， ，， ， 由题意可知， ，， ，， ， ，即，解得， 则货车轮胎半径为． 故答案为：． 36．【答案】或或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；     （2）的度数是．      【分析】 此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 38．【答案】（1） 证明：， .. 在和中， ， .     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明并得到是解题的关键． （1）由等式的性质可得，然后根据，可证三角形相似； （2）由相似三角形的性质可得，然后结合可证，从而利用相似三角形的性质分析计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ． . 在和中， ， ． ， ． ． 39．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴；     （2） 证明：∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴．      【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据题意得到，，即可证明出； （2）首先根据得到，然后由是的中点，等量代换得到，然后结合即可证明出． 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：① 两组角对应相等的两个三角形相似；② 三边对应成比例的两个三角形相似；③ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．【答案】（1） 如图，点为所求；      （2） 如图，点即为所求， 【分析】 （1）利用矩形对角线互相平分的性质找到AC中点，再结合菱形对边平行的性质，通过构造平行四边形确定BC的中点． （2）借助菱形的角度和边长关系，构造相似三角形或利用线段比例，确定BC的三等分点． (1) 小问详解： 解：证明：令交于，连接， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵四边形BCEF是菱形， ∴，， ∵， ∴△CEF是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴M是BC的中点； (2) 小问详解： 解：证明：由（1）得，，，， ∴，． ∴，， ∴， ∴，即是线段的一个三等分点． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质，利用图形的平行、相等关系构造中点或比例线段是解题的关键． 41．【答案】或或 【分析】 利用三角形相似的条件即可进行解答. 【详解】 由图可知：，且， ∴当时，； 由图可知：，且， ∴当时，即可求得，； 由图可知：，，， ∴当，即时，； 综上所述：当或或时， 【点睛】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题关键 42．【答案】 【分析】 本题考查了圆的性质（直径所对的圆周角是直角），圆周角定理，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． 连结，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，，根据勾股定理求出，，根据圆周角定理及平行四边形的性质得到，，得证，得出，计算即可得到答案． 【详解】 解：连结，， 是的直径， ，， ，， ， ， ， ， 在平行四边形中，，，， ， ， ， ， ， ，即， ． 43．【答案】证明：∵， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵． 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质．先证明得到，从而可证明，即可得出结论． 【详解】 略． 44．【答案】（1）①； ② 如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴．     （2） 解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）② 中结论仍然成立      【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）① 根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ② 连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 45．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形， ∴AD=CD，   DE=DG， ∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG， 即∠ADE=∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG； （2）∵△ADE≌△CDG， ∴∠DAE=∠DCG， ∵∠ANM=∠CND， ∴△AMN∽△CDN， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据条件结合正方形的性质利用SAS证明△ADE≌△CDG即可得出结论； （2）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△AMN∽△CDN，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】 （1）略略） （2）略 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 46．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键， （1）根据题意可得时，，即P在中点处即可求解； （2）分和两种情况进行讨论，结合相似的性质即可求解； （3）根据面积公式即可求解． (1) 小问详解： 由题知， 时，， 所以此时P在中点处， 又A、B两点的坐标分别是， 所以点P的坐标为； (2) 小问详解： 设时间后，与点A、Q、P三点构成的三角形相似， 则，， 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 综上，当点Q的坐标为或． (3) 小问详解： ∵，， ∴. 47．【答案】（1），； （2），， 理由：如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线CD与AP所成锐角度数为； （3）． 【分析】 （1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案； （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得： ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 48．【答案】或 【分析】 分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ② 当时，如图2所示：        由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③ 当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 49．【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【分析】 问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：① 如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② 如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 50．【答案】（1），45     （2） ，，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点A作于点K，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）证明，，即可得，，即可求解； （2）证明，，可得，，从而得到，过点A作于点K，则，根据直角三角形的性质可得 ，再结合勾股定理可得，即可； （3）分两种情况：点E在线段上和点E在线段的延长线上，结合全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，； 故答案为：，45； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点E在线段上时，如图，连接，在边上取点G，使，过点F作交于点P， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图，连接，在边的延长线上取点M，使，过点F作交于点P，在的延长线上取点N， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理（2）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 51．【答案】（1） 证明：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下： 如图，设与的交点为点， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴，，，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，则，由矩形的性质可得，，从而得出，，由角平分线的定义可得，从而推出，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得证； （2）设与的交点为点，由题意可得四边形为正方形，则，，，，由旋转的性质可得，，从而可得为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，得出，求出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）由（2）可得，，再结合，得出，由相似三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得：，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 52．【答案】（1） 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是边上一动点，四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：，理由如下， 如图，连接，，过点作延长线于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （3）的长为或．      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，同理可得，则有，可证，由此即可求证； （2）连接，，过点作延长线于点，可证，得到，且，则有，据此计算即可求解； （3）利用，求得，分两种情况讨论，利用（2）的结论求得，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 当点E在线段上时， ∵，， ∴，， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∵，，， ∴，， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 53．【答案】（1），； （2）  ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】 由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 54．【答案】（1） 解：与相似，理由如下： ∵， ∴由对应边成比例，夹角相等可得 ；     （2） ①证明：∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 菱形的边长为      【分析】 （1）根据对应边成比例，夹角相等判定相似三角形即可； （2）① 根据题意可证，得到，由平行线的性质，角的等量代换即可求解； ②设，根据题意得到，证明，得到，再根据菱形的性质证明四边形是平行四边形，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵，恰好是的中点， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 55．【答案】（1），     （2），， 理由如下： 如图3，设与交于，与交于点， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． （1）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （2）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （3）连接，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． (1) 小问详解： 解：如图2，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接，， ∵，，， ∴，， ∴，， 由（2）知， ∴， ∴． 56．【答案】（1）． （2）证明：过点作交于点，则， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∴，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 问题拓展：． 【分析】 （1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=； （2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可． 【详解】 问题探究 （1）．理由如下：如图（2）， ∵∠BCA=∠ECF=90°， ∴∠BCE=∠ACF， ∵BC=AC，EC=CF， △BCE≌△ACF， ∴BE=AF， ∴BF-BE=BF-AF=EF=； （2） 略 问题拓展   ．理由如下： ∵∠BCA=∠ECD=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∵BC=kAC，EC=kCD， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠EBC=∠FAC， 过点作交于点M，则， ∴． ∴△BCM∽△ACF， ∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k， ∴BM=kAF,MC=kCF， ∴BF-BM=MF，MF== ∴BF- kAF =． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键． 57．【答案】（1） 证明：，， ，， ，， ， ， ．     （2）     （3） 线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ．      【分析】 此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． (3) 小问详解： 略 58．【答案】（1） 如图即为所求．      （2） 如图四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． 【分析】 （1）根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图解答即可． （2）根据直角三角形的性质，得到，连接，并延长交于点G，连接，则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，边上的中线为， ∴， 连接，并延长交于点G， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． 【点睛】 本题考查了基本作图，三角形的中线，直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握作图，三角形相似判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 59．【答案】（1） 如图，      （2） 如图， 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，以及无刻度尺作图，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定． （1）连接，根据两组对角相等即可证明相似，则与的交点即可所求； （2）根据相似可得点H是边上的三等分点，再由矩形的性质可得，由边成比例即可得点P为的中点，再由边角边的证明方法证明即可． (1) 小问详解： 解：连接，则与的交点即为点P，则点P即可所求； 在与中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，则与的交点，记为点H， 由（1）知， ∴， ∴点H是边上的三等分点（）， 连接，得到矩形与矩形， 连接两个矩形的对角线，即连接与相交于点M， 连接与相交于点N， 连接交于点Q，交于点P，则点P即可所求； 由矩形的性质可得，， ∴， ∵， ∴点P为中点， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 60．【答案】（1）①；②60． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）① 根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ② 根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）① ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）略 （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 61．【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质等知识，先证明，得出，根据平行线的性质得出，同理可证，根据平行线分线段成比例定理可得出，根据三角形中线的性质可得出，同理求出，，，设，结合，可求出，则，即可求解． 【详解】 解∶∵，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶4． 62．【答案】（1）点D的坐标为（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上． 【分析】 （1）由于点D（m，4）在直线AC上，代入直线AC的解析式可得关于m的方程，解方程即可得到点D的坐标为（﹣3，4）； （2）① 如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，根据正方形的面积公式和勾股定理可得S关于n的函数关系式； ② 当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函数关系式即可得到S的值； （3）根据待定系数法可得BC为：；再分四种情况：① 当点F落在BC边上时；② 当点G落在BC边上时；③ 当点F落在AB边上时；④ 当点G落在AC边上时；进行讨论可得所有满足条件的n的值． 【详解】 解：（1）∵点D（m，4）在直线AC上； ∴4=m+8，解得m=﹣3， ∴点D的坐标为（﹣3，4）； （2）① 如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|， ∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9； ② 当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心， ∴EH=DH=3， ∴n=4+3=7， ∴S=（7﹣4）2+9=18； （3）∵OB=2OC=16， ∴B为（16，0）， ∴BC为：； ① 当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N． 在△DEM与△EFN中， ， ∴△DEM≌△EFN（AAS）， ∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3， ∴F为（n﹣4，n﹣3） ∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8， ∴n=； ② 当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由① 同理可得△DEM≌△GDN， ∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4， ∴点G纵坐标为1， ∴， ∴x=14， ∴DN=14+3=17=n﹣4， ∴n=21； ③ 当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由① 同理可得△DEM≌△EFO， ∴OE=DM=3，即n=3； ④ 当点G落在AC边上时，如图5． ∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA， ∴△DCE∽△OCA， ∴， ∴， ∴n=， 显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况． 综上可得，当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上． 【点睛】 考查了一次函数综合题，时间的知识点有：直线上的点的特征，正方形的面积公式和勾股定理，待定系数法求直线解析式，方程思想的运用，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度． 63．【答案】解：连接，如图所示： ∵过C、D作的切线，它们交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴O、E、C、M、D五点共圆， ∴E、C、M、D四点共圆． 【分析】 题目主要考查四点共圆问题，相似三角形的判定和性质，切线的性质定理，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，，再由圆周角定理得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，，再次利用相似三角形的判定得出，利用其性质得出，确定，即可证明． 【详解】 略 64．【答案】（1）①2，；②，； （2）解：，证明如下： 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【分析】 （1）① 连接，，，根据轴对称的性质得出，，，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出； ② 同① 解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可； （2）同（1）② 求解过程一致； （3）分两种情况，① 当点在线段上时和② 当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1）① 连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴； ② 连接，，， 设． ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略 (3)① 当点在线段上时，连接，如下图：． ∵， ∴． 又， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ② 当点在线段的延长线上时，连接， 设， ∵， ∴． 又， ∴， ∵， ∴． 又，即， 由， ∴ 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键． 65．【答案】（1）； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 66．【答案】（1）2；9     （2）     （3）①，②      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据中线的性质以及三角形中位线的判定可得、，易得，，即可求得的值；先根据相似三角形的性质求得，再根据面积的和差即可解答； （2）由重心的性质可得，，再证明可得，再结合即可证明结论； （3）① 先证明可得，即，最后运用算术平方根的性质求解即可；②先证明可得，即；设，则，；，最后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵的两条中线与交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，即，解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：2，9． (2) 小问详解： 解：∵点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵等腰中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴． 考点04 相似三角形的性质 1．【答案】1:4 【分析】 根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得. 【详解】 ∵两相似三角形的相似比为1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4. 【点睛】 本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键. 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质直接得出结论即可． 【详解】 解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为， 与的面积的比为． 故答案为：． 3．【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】 （1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，① 设经过秒后，推，② 设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】 解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）① 设经过秒后， ， ， 解得， ② 设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 4．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】 （1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】 解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】 此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 5．【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】 解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 6．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 7．【答案】（1）     （2）当或3时，四边形的面积为     （3）当或1时，与相似      【分析】 本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． (1) 小问详解： 解：由运动知，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为． (3) 小问详解： 解：与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 8．【答案】（1）当时     （2）当时      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可求的面积，用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性． （2）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ，， ，点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， 即， 则， ， ，（舍）， 故当时，平分面积； (2) 小问详解： 解：∵， 则以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时， ， ， ； 情况二：当时， ， ， ， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 9．【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 （）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵点，点， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得，，； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴① 当时，， ∴， 即， 解得； ② 当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 10．【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及边成比例，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质并分类讨论． （1）根据三角形相似，分类讨论成比例与成比例两种情况，由此求解即可； （2）作辅助线构造平行，可得边成比例，即，再根据的面积与面积列式求解即可． (1) 小问详解： 解：当或时，与相似； ∵点P以的速度从C点向B点运动，运动时间为． ∴，则， ∵点Q以的速度从B点沿方向向A点运动， ∴， ① 若，，则， ∴，即， 解得； ②，，则， ∴，即， 解得； 综上，当或时，与相似； (2) 小问详解： 解：过点A作交的延长线于点F，过点Q作，如图， ∴， ∴， ∵点Q以的速度从A点沿方向向B点运动， ∴，， 即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， 化简可得， 解得，（不满足题意，舍去）， ∴当的面积等于面积的，t的值为． 11．【答案】（1） 与相似，，理由如下， 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴；     （2）相似，周长比为      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练使用勾股定理将三边解出． （1）根据三边成比例即可判定相似，再由的度数可得的度数； （2）根据三边成比例即可判定相似，再由周长比为边长比求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与相似，周长比为． 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴与的周长比为的长度与的长度， 即周长比为． 12．【答案】U度 【分析】 首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得的度数． 【详解】 解：如图： ∵等边和等边， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即：， ∴， 解得． 故答案为： 【点睛】 本题考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和．解决本题必须理清各角间的关系． 13．【答案】或2或12 【分析】 分及两种情况，再利用相似三角形的性质即可求得的长． 【详解】 解：① 当时，则，即， ， 解得：； ② 当时，则，即， ∴， 即， 解得：或； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或2或12． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程等，解题的关键是注意分类讨论，避免漏解． 考点05 相似三角形的应用 1．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 过点作，垂足为，延长交 于点，证明 ， 从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ∴， ， ，即， 解得： ∴小孔到 的距离为， 故答案为：. 2．【答案】 米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，设旗杆的高度是，根据同一时刻物高与影长成正比，得出，求解即可，熟练掌握同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键． 【详解】 解：设旗杆的高度是， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得：， 旗杆的高度是， 故答案为：． 3．【答案】200 【分析】 根据AB∥CD，得出△OAB∽△OCD，得出，即，求出OF即可． 【详解】 解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴，即， ∴． 故答案为：200． 【点睛】 本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 4．【答案】旗杆的高是． 【分析】 过点G作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形， 所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）证明四边形为矩形，可得，再由，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． (2) 小问详解： 解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 6．【答案】（1）一     （2）选择第二或三组的方案，教学大楼的高度为      【分析】 本题主要考查相似三角形的实际应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）第一组的方案：直接证明即可；第二组的方案：延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案：直接利用相似三角形的判定和性质求解即可，然后进行最终数据比较即可判断哪一组数据错误； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． (1) 小问详解： 解：第一组的方案： 由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴教学大楼的高度为； 第二组的方案： 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 第三组的方案： 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ∵第二、三组数据求出的大楼高度一致，与第一组的数据求得的大楼高度不一致， ∴第一组数据错误， (2) 小问详解： 解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】 解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 8．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，结合凸透镜成像的特点分析线段关系是解题的关键． （1）① 通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求的值．② 利用相似三角形的对应边成比例，结合已知条件求虚像的高度． （2）证明三角形相似，根据相似三角形的性质和已知的像与物的长度关系，结合焦距求解物距的长． (1) 小问详解： 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 解：∵，蜡烛的长为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴， ∵， ∴． ∴即， 解得． 9．【答案】（1）（2） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质定理． （1）根据条件证明，得出对应边成比例即可； （2）同（1）证明，得出对应边成比例，然后利用线段的和差进行表示，列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）根据光的反射可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）同（1）得， ∴， 即， ∴， 借助（1）得， ∴， 解得． 考点06 位似 1．B 2．【答案】（1）证明：在中，， 在中，， ， 即， ．     （2） 如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 3．【答案】6 【分析】 本题考查位似变换． 以原点为位似中心，将图形放大为原来的2倍，相似比为2，面积比为相似比的平方，即4．先计算的面积，再乘以4得到的面积． 【详解】 的顶点坐标为、、， 其面积为． 将各边放大为原来的2倍得到，则面积比为4， 因此的面积为． 故答案为：6． 4．【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【分析】 （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】 （1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】 本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 5．【答案】 【分析】 此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】 解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 故答案为：． 6．【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； ；     （2） 解：如图，点M就是所求的点； ；     （3） 解：如图，点D就是所求的点． ．      【分析】 本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，则下列各式不成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（       ） A. 3，6，4，7 B. 5，6，7，8 C. 2，4，6，8 D. 4，2，10，5 6．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　） A. 1、2、3、7 B. 1、2、2、4 C. 3、6、9、13 D. 1、9、11、15 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如果，那么的值为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如果（、均不为0），那么　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，那么　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如果，那么　　　　　　． 14．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）若，则　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）（1）解方程：． （2）已知：，，求代数式的值． 16．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像的下半身设计高度． 18．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　．（结果保留根号） 19．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知则　　　　　　　　　　　　　　　 20．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若，求代数式的值为　　　　　． 21．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）若，则　　　　　　　　． 22．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为　　　　　　cm．（结果保留根号） 24．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）（1）解方程：． （2）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪．如图，这是两片相似的枫叶图案．求的值． 25．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为　　　　　．（结果保留根号） 26．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）（1）解方程：； （2）已知，且，求，，的值 27．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图所示，四边形四边形． （1）求的度数； （2）求x，y的值． 28．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）若，则　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）若，则　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）20世纪70年代，优选法经著名数学家华罗庚倡导在我国得到了较大规模的推广，取得了优异的成果．如图，在中，，，的平分线交于点，点即为线段的黄金分割点．若，则　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 32．（25-26学年九上·江西吉安·期中）（1）解方程：． （2）已知，且，求的值． 33．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）已知线段，C为线段的黄金分割点，则　　　　　　． 34．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知，，满足，求的值． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在中，，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G ，且 DG＝2 ，DF＝10 ， ＝ ，则 AG 的长为(     ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，交于，若，则的值是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，，求的长． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，已知，，如果，那么的长为　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 10．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 11．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC． （1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长． （2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC． 12．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 13．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，在的正方形网格中，三点均为格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作出直线，使三点到直线的距离相等； （2）在图中作出点，使点到点的距离相等． 14．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（     ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 3．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（            ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，小华在自己的练习本上画了一个，在边上取一点，作，已知点A、B、C、D、E均在网格线上，网格线的宽度忽略不计，小华用尺子测得，则长为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 7．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，已知正方形，为对角线的中点，为上一点，且，连接并延长，作垂足为，垂足为，连接，．则下列结论中：；；；，正确的有（        ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M是AD上任意一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF为 （　　） A.  B.  C.  D. 不能确定 11．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 12．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在矩形中，，交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点，连接，，若，有下列结论： ①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的是（     ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 13．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在等边中，，分别是边，上的动点，且．以为边作等边，使点与点在直线的同侧，交于点，交于点．给出下面四个结论，其中不一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若，则四边形是菱形 14．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，其中与交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．已知正方形的边长为6，当四边形的周长最短时，的长为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 16．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 17．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是　　　　. 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 20．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在四边形中，，，，，是上一点．若，则的长为　　　　　． 21．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=_______． （2）如图②，在线段上找一点，使． 22．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 23．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 24．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知：如图，，是延长线上一点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则　　　　　　　． 26．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在中，点E为上一点，连接，在上取一点F，使得．求证：． 27．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）（多选）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形． 初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，． （2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形． 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD． 小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下： 在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA． （请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长． 28．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）综合与实践 主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得． 证明与计算： （1）连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 29．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在矩形中，，点为边上一点，，于点，． （1）求证：； （2）求证：是的中点． 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）（1）已知一条抛物线过点，且顶点坐标为,求该抛物线解析式； （2）如图，已知，分别是的边，上的点，，，，，求的长度． 31．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　　　　　． 32．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 33．（25-26学年九上·江西九江·期末）（1）解方程：； （2）如图，与相交于点，若，，求的值． 34．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 35．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高，长，求货车轮胎半径为　　　　　　　　cm． 36．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 38．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 39．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，在中，，是的中点，，垂足为． （1）证明：； （2）证明：． 40．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线与菱形的边在同一条直线上，且． （1）在图1中，找出线段的中点． （2）在图2中，找出线段上的一个三等分点． 41．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，标记了与边、角的一些数据，如果再添加一个条件使，那么这个条件可以是　　　　　　．（只填一个即可） 42．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在平行四边形中，以对角线为直径的分别交、于、，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，，且，试说明． 44．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空：          ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 45．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）（多选）（本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE=CG； （2）AN•DN=CN•MN． 46．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，A，B两点的坐标分别是，，点P由点B出发沿方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题： （1）当时，求点P的坐标； （2）当与点A，Q，P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； （3）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 47．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 48．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 50．（25-26学年九上·江西九江·期末）在四边形中，点分别是上的点，且，连接，将线段绕点旋转得到，连接． （1）观察猜想 如图1，若四边形是正方形，，猜想：与的数量关系是___________，___________； （2）类比探究 如图2，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，在菱形中，，，点是射线上一点，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交射线于点，直接写出的值． 51．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）在矩形中，M为直线上的点（不与点B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点P为线段上一点，连接和，与相交于点H． （1）如图1，若，平分，求证：． （2）如图2，若，点M与点A重合，P为的中点，与还会相似吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下请直接写出的值． 52．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在菱形中，，E为射线上一动点，连接，以为边朝右侧作菱形，且满足． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）利用备用图，连接，若，，求的长． 53．（25-26学年九上·江西抚州·期中）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 54．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，是的边上的一点．如果，那么与是否相似？为什么? （2）如图2，在菱形中，是上一点，作交的延长线于点，点在上，连接，若． ①求证：． ②若，，恰好是的中点，求菱形的边长． 55．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为_____，位置关系为_____；（直接写出答案） （2）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图3，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，小组发现：在旋转过程中，的值是正值，请求出这个定值． 56．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系． 57．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，，，E是上一点，使得； （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 58．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，，在中，，点A在直线上，B、C两点在上，D、E分别是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出边的中线； （2）在图2中，画出一个以为对角线的菱形． 59．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，点在矩形一边延长线上，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在边上画出一点，使； （2）在图2中，若点是边上的三等分点（），在边上画出一点，使． 60．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 61．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， 　　　　　　　　． 62．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）． （1）求点D的坐标； （2）记正方形DEFG的面积为S， ① 求S关于n的函数关系式； ② 当DF∥x轴时，求S的值； （3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由． 63．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，是的直径，C，D是圆上异于A、B，且在同侧的两点，分别过C、D作的切线，它们交于点E，线段与的交点为F，线段与的交点为M，求证：E、C、M、D四点共圆． 64．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图1，正方形的顶点在直线上，点与点关于直线对称，直线与直线交于点，连接，，探究与的数量关系． 【特殊感知】（1）①如图2．当，时，_____，_____； ②如图3，当时，_____，_____； 【猜想论证】（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明； 【拓展应用】（3）若正方形的边长为2，当时，直接写出线段的长． 65．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 66．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关系展开如下探究： （1）如图1，的两条中线与交于点，连接，则________；若的面积为12，则四边形的面积为_________； （2）如图2，已知点是的重心，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点，_________； （3）如图3，在等腰中，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交边于点E，连接；过点作边的平行线交线段的延长线于点； ①若，求； ②若，请直接写出的值． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是　　　　　　． 2．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 4．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 5．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当　　　　　　时，与相似． 6．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． （1）用含t的代数式表示：线段          ；             ． （2）求当t为何值时，四边形的面积为． （3）当与相似时，求出t的值． 8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）当t为多少时，平分面积； （2）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 10．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，，，点P以的速度从C点向B点运动，到达B点后停止运动，设点P、点Q同时出发，同时停止运动，设运动时间为． （1）若点Q以的速度从B点沿方向向A点运动，当t为何值时，与相似； （2）若点Q以的速度从A点沿方向向B点运动，当的面积等于面积的，求t的值． 11．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）在的方格中，小正方形的边长为1，，和都是格点三角形． （1）判断与相似吗？若相似，求出的度数，并说出理由； （2）判断与相似吗？若相似，求与的周长比． 12．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，与均是等边三角形，若，则的度数是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，，，，，，点P在上，由点B向点D方向移动，当与相似时，的值为　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为　　　　　　． 2．（2026·江西九江外国语学校·五模）身高的小李在阳光下的影长为，同一时刻旗杆的影长是，则旗杆的高度是　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为　　　　　　m． 4．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 5．（25-26学年九上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 6．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 （1）老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 7．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 8．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． （1）如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； （2）如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 9．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为          （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（        ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． （1）求证：； （2）把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 3．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将各边放大为原来的2倍得到，则的面积为　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 5．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 试卷第1页，共3页 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