专题04 反比例函数（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题04 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西九江·期末）若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A. ． B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西赣州·期末）已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是（ ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则　　　　　　． 9．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 10．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； （3）已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 12．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是　　　　． 13．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是5，则k的值为　　　　　　　　　． 14．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集 （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 15．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值． 16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 17．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点. （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积. 18．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求一次函数和反比例函数的解释式． （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 19．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为                  ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 20．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若，求点的坐标． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ （2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 2．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知双曲线的图象经过抛物线的顶点坐标，与抛物线的另外两个交点坐标为点B和点C，那么当时，x的取值范围是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西九江·期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 （1）求波长关于频率的函数关系式； （2）当时，求此电磁波的波长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】 解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年九上·江西九江·期末）若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A. ． B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查反比例函数的性质，需先判断函数图象所在象限，再根据增减性比较横坐标大小． 【详解】 解：∵反比例函数中， ∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小； ∵，即， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】 解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 5．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了反比例函数的性质和比例系数的几何意义，连接，由得，根据平行线间的距离可得，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26学年九上·江西赣州·期末）已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据反比例函数y=的系数2>0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x12<03，判断出y1、y2、y3的大小. 【详解】 解：函数大致图象如图， ∵k>0，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵x12<03， ∴y213. 故选C. 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征. 7．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】 解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：4 8．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，解得，又，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】（1）     （2）函数图象如图：      （3）① 减小；②；③ 右，1     （4）或      【分析】 （1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入，得， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③ 函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； (4) 小问详解： 的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 10．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】 解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 11．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； （3）已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． (1) 小问详解： 解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． (2) 小问详解： 解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． (3) 小问详解： 解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 12．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，以及比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值．连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为4，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图形性质，建立等式求解，即可解题． 【详解】 解：连接， 的面积为4， 的面积为4， 轴， ， 解得， 反比例函数图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 13．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是5，则k的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】 解：如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴       ， 又∵的面积是5， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 14．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集 （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】（1），     （2）或     （3）的面积最大值为4，此时      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴ ， 解得 ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 15．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 16．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得 ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； (3) 小问详解： 解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得，解得：， 或．     17．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点. （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积. 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为. 【分析】 （1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积. 【详解】 （1）由题意：联立直线方程 ，可得 ，故A点坐标为（-2,4） 将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴ 故反比例函数的表达式为 （2）联立直线与反比例函数， 解得，当时，，故B（-8,1） 如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知 S梯形AMNB=S△AOB， ∴S梯形AMNB=S△AOB=== 【点睛】 此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质. 18．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求一次函数和反比例函数的解释式． （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 （1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． (1) 小问详解： 解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得 ， 解得 ． 所以一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； (3) 小问详解： 解：由图象得不等式的解集为或． 19．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为                  ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）① 由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；② 由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围． (1) 小问详解： 解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， (2) 小问详解： ① 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ② 如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若，求点的坐标． 【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）作，，垂足分别为，，由，即，得，然后证明，所以，从而求出点，然后代入即可求出； （）由轴，且点在反比例函数的图像上，则，又，且点在反比例函数的图像上，得，然后代入到即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，作，垂足为，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点横坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 把代入到中得， 解得：， ∴． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ （2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1）蓄电池的电压是，这个函数的解析式为     （2）不小于      【分析】 本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，通过物理中的电学公式（U为定值），明确电流I与电阻R成反比例关系是解决本题的关键． （1）利用图象上的已知点坐标，代入反比例函数表达式，通过待定系数法求出电压U和函数表达式； （2）根据（1）中求出的函数关系，结合电流限制条件求出可变电阻的范围． (1) 小问详解： 解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：， 观察图象，可知当时，， 因而， 故这个函数的解析式为； 所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，，得：． 因为电流I与电阻R成反比例关系，所以， 所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内． 2．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知双曲线的图象经过抛物线的顶点坐标，与抛物线的另外两个交点坐标为点B和点C，那么当时，x的取值范围是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 此题考查二次函数和反比例函数的交点问题，求出函数图象交点的横坐标是关键． 通过求双曲线与抛物线的交点横坐标，再根据函数图像分析不等式成立时x的取值范围即可． 【详解】 解：双曲线与抛物线相交， 解方程 ，得 ， 因式分解为 ， 所以交点横坐标为， 在这些点处，在同一坐标系中画出双曲线与抛物线如下： 由图象可知， 当 时，的取值范围是或． 故答案为：或． 3．（25-26学年九上·江西九江·期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 （1）求波长关于频率的函数关系式； （2）当时，求此电磁波的波长． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）设波长关于频率的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （）把代入（）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． (1) 小问详解： 解：设波长关于频率的函数关系式为， 由表格可知，当时，， ∴，解得， ∴波长关于频率的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（）得波长关于频率的函数关系式为， ∴当时，， ∴此电磁波的波长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．D 考点02 反比例函数的图象和性质 1．C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】 解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：4 8．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，解得，又，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）函数图象如图：      （3）① 减小；②；③ 右，1     （4）或      【分析】 （1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入，得， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③ 函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； (4) 小问详解： 的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 10．【答案】9 【分析】 连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】 解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． (1) 小问详解： 解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． (2) 小问详解： 解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． (3) 小问详解： 解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 12．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，以及比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值．连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为4，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图形性质，建立等式求解，即可解题． 【详解】 解：连接， 的面积为4， 的面积为4， 轴， ， 解得， 反比例函数图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】 解：如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴       ， 又∵的面积是5， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 14．【答案】（1），     （2）或     （3）的面积最大值为4，此时      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴ ， 解得 ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 16．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得 ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； (3) 小问详解： 解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得，解得：， 或．     17．【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为. 【分析】 （1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积. 【详解】 （1）由题意：联立直线方程 ，可得 ，故A点坐标为（-2,4） 将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴ 故反比例函数的表达式为 （2）联立直线与反比例函数， 解得，当时，，故B（-8,1） 如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知 S梯形AMNB=S△AOB， ∴S梯形AMNB=S△AOB=== 【点睛】 此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质. 18．【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 （1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． (1) 小问详解： 解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得 ， 解得 ． 所以一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； (3) 小问详解： 解：由图象得不等式的解集为或． 19．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）① 由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；② 由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围． (1) 小问详解： 解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， (2) 小问详解： ① 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ② 如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）作，，垂足分别为，，由，即，得，然后证明，所以，从而求出点，然后代入即可求出； （）由轴，且点在反比例函数的图像上，则，又，且点在反比例函数的图像上，得，然后代入到即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，作，垂足为，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点横坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 把代入到中得， 解得：， ∴． 考点03 实际问题与反比例函数 1．【答案】（1）蓄电池的电压是，这个函数的解析式为     （2）不小于      【分析】 本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，通过物理中的电学公式（U为定值），明确电流I与电阻R成反比例关系是解决本题的关键． （1）利用图象上的已知点坐标，代入反比例函数表达式，通过待定系数法求出电压U和函数表达式； （2）根据（1）中求出的函数关系，结合电流限制条件求出可变电阻的范围． (1) 小问详解： 解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：， 观察图象，可知当时，， 因而， 故这个函数的解析式为； 所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，，得：． 因为电流I与电阻R成反比例关系，所以， 所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内． 2．【答案】或 【分析】 此题考查二次函数和反比例函数的交点问题，求出函数图象交点的横坐标是关键． 通过求双曲线与抛物线的交点横坐标，再根据函数图像分析不等式成立时x的取值范围即可． 【详解】 解：双曲线与抛物线相交， 解方程 ，得 ， 因式分解为 ， 所以交点横坐标为， 在这些点处，在同一坐标系中画出双曲线与抛物线如下： 由图象可知， 当 时，的取值范围是或． 故答案为：或． 3．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）设波长关于频率的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （）把代入（）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． (1) 小问详解： 解：设波长关于频率的函数关系式为， 由表格可知，当时，， ∴，解得， ∴波长关于频率的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由（）得波长关于频率的函数关系式为， ∴当时，， ∴此电磁波的波长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $