专题03 二次函数（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）若二次函数的图象开口向下，则m的值为　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是　　　　　　　　． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（       ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 6．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（     ） A. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 B. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 C. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 D. 开口向下，对称轴是直线，顶点是 7．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 9．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的拋物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标是（       ） A. 开口向上， B. 开口向下， C. 开口向上， D. 开口向下， 12．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·江西南昌·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 19．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）抛物线的顶点坐标为 　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西宜春·期中）将抛物线向上平移1个单位所得抛物线解析式为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）二次函数的图象顶点坐标是　　　　　　． 32．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 33．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）将二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数图象，它的解析式为　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知抛物线经过点和，则　　　　　　（填“”“ ”或“”）． 39．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　． 41．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数解析式是　　　　　　． 42．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·江西南昌·期中）将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的函数解析式为　　　　　　． 45．（2026·江西九江外国语学校·五模）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为　　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 49．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知二次函数的图象上有两点，则，的大小关系为　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）抛物线上部分点的坐标如下表： … 0 1 … … … 下列说法错误的是（       ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时， D. 抛物线开口向下 2．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则的值分别是（     ） A. 1，，13 B. 1，， C. ，，13 D. ，6，13 6．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知抛物线 经过点， ，则当 时，y 的值为（     ） A. 正值 B. 负值 C. 零 D. 无法确定 7．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 11．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（　　） A.  B. 若两点都在抛物线的图像上，则 C.  D. 若且，则 12．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，现要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下： 甲：若，则点P的个数为3； 乙：若，则点P的个数为1； 丙：若，则点P的个数为1； 丁：若，则点P的个数为0． 其中说法正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（     ） A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 15．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列叙述错误的是（       ） A. 小球飞出时的飞行高度为 B. 小球从飞出到落地要用时 C. 小球的飞行高度可以达到 D. 小球的飞行高度不能达到 17．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（       ） ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 18．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 21．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）点，和在抛物线上，那么，，之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 24．（25-26学年九上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 25．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（        ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·江西宜春·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（2026·江西九江外国语学校·五模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 29．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ①②③④ 30．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 31．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（     ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 32．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 33．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·江西赣州·期末）二次函数有最小值为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知抛物线的解析式为． （1）写出抛物线的对称轴及顶点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 38．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 39．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． （1）求的值； （2）若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 40．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）（多选）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 41．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 42．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为　　　　　　． 43．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 44．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）当时，求的值． 45．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则的值应取　　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）点，在抛物线上，则　　　　　　　　．（填“”，“”或“”） 47．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知：二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求a，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是________． 48．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 2 2 ．．． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． 49．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为 　　　　 ．（用“”连接） 50．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）若二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是　　　　　． 51．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为　　　　　　　 米． 52．（25-26学年九上·江西南昌·期中）解方程 （1）； （2）将二次函数化成顶点式． 53．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）若抛物线经过点．求该抛物线顶点的坐标； 54．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知点为二次函数的图象上的两点，则的大小关系为　　　　　. 55．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）二次函数的对称轴为直线　　　　　. 56．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 2 … … 0 12 … （1）求二次函数的解析式并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）求当时，此二次函数的最大值与最小值的差； （3）将二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值差为15，请求出的值． 57．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知抛物线与y轴交点的纵坐标为，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 58．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为              ； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 59．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知关于的二次函数图象经过． （1）求的值； （2）设抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，点是直线上的动点，求的最小值． 60．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式和顶点的坐标． （2）连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 62．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 63．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 64．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 65．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 66．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 67．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，并且抛物线过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）所求抛物线与抛物线有什么关系？并指明其顶点坐标． 68．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为　　　　　　． 69．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知在轴上有线段，且为个单位长度，以为边作等边，使点落在二次函数的图象上，则点的坐标为　　　　　　． 70．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 2.15 2.28 2.44 2.5 2.49 2.44 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米； （3）求出y与x的函数解析式； （4）判断排球能否过球网，并说明理由． 71．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图①，已知为等边三角形，N为上一点，且，点M从点A出发，沿折线段运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，，当点M由点A运动到点B时，y关于x的函数解析式为，其函数图象如图②所示． 【初步探究】 （1）①______，c的值为______； ②求点Q的坐标． 【深入探究】 （2）经探究发现，当点M由点B运动到点C时，y也是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式； 【问题解决】 （3）若存在对应的均相等，求的取值范围． 72．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 73．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）若，求点的坐标； （2）如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 74．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． （1）求出该抛物线所对应的函数解析式． （2）现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 75．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … 当时，的取值范围是　　　　　　． 76．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 77．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线与轴的交点为，． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当，求的取值范围． 78．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 79．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）某小型飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）满足，其中、是常数，由监测仪器记录获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间 0 2 4 6 8 ．．． 滑行距离 0 54 96 126 144 ．．． （1）请根据上述数据，求该函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： （2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 80．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； （3）已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 81．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）定义：在平面直角坐标系中一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求b，c的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值． 82．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）若关于x的函数是二次函数，求m的值，并指出x满足什么范围，y随x的增大而增大？ 83．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是          ．（填 序 号） ①；② ③． （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 84．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 85．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　．（用“”号连接） 86．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 87．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图是二次函数的部分图象，点在该图象上，当时，则的取值范围为　　　　　　． 88．（25-26学年九上·江西南昌·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若，，点与点在抛物线上，求的值． 89．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 90．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 91．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线L的表达式； （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离． 92．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 93．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 94．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 95．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 96．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　　． 97．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，抛物线的对称轴为             ；当时，抛物线的对称轴为             ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为             ． （2）求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． （3）当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 98．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．聪聪家的菜地上有一个长为14米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1.5米的墙体处，另一端固定在离地面高2.5米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为5米． （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）聪聪的爸爸计划在大棚内种植黄瓜，需搭建高为1.5米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要5根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 99．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，-3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 100．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； （3）在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 101．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（多选）如图，抛物线过点．    （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 102．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 103．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数解析式． （2）如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． （3）如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 104．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，直角坐标系中，抛物线上有两点，抛物线与y轴交于C点，轴，请你用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，抛物线与x轴有两个交点，求作抛物线的对称轴． （2）在图2中，抛物线与x轴无交点，轴，求作抛物线的顶点． 105．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图1，四边形是矩形，是线段延长线上的点，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，的面积为． （1）【初步感知】当点由点运动到点的过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象，回答下列问题： ①的长为______； ②求关于的函数表达式． （2）在（1）的条件下，如图3，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数表达式． （3）【延伸探究】若射线上从左至右依次存在不同位置的三个点，，，使得它们对应的，，的面积相等，且这三个位置对应的，，满足，求出此时它们所对应的面积． 106．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，抛物线的开口向下，与轴交于点和点．与轴交于点，顶点为． （1）求顶点的坐标．（用含的代数式表示）； （2）若的面积为3． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点，且，求平移后抛物线的解析式． 107．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 108．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 109．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）已知抛物线过点，． （1）求a的值； （2）平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． （3）设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 110．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ （3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 111．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 112．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）实验与探究： 【问题初探】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为、、，，求证： 【类比迁移】（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为______； 【探究延伸】（3）如图3，图中抛物线为，已知正方形（、、、为动点）的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的右侧，且点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值，如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （4）图3中的正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上．设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 113．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点． （1）①______； ②如图1，若正比例函数与两个图象分别交于点，四点，点的横坐标分别为，求的值； （2）如图2，点在线段上，过点作轴平行线，分别与图象交于两点，求的最大值； （3）如图3，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点顺时针旋转后刚好落在抛物线上，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 114．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一点，满足，求点的横坐标； （3）如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江西赣州·期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（       ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）已知，二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论：①；②；③；④若方程两根为，则；正确的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 8．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）抛物线与轴的交点坐标为　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点． （1）求b，c的值； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围． 12．（25-26学年九上·江西上饶·期中）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 14．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）若方程的解为，则二次函数的对称轴为　　　　　． 16．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为　　　　　． 17．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是__________； （3）当时，的取值范围是__________； 18．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）直接写出：点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）若点恰好落在抛物线上，求的值． 20．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）二次函数的图象如图所示． （1）写出关于的一元二次方程的两个根； （2）写出关于的不等式的解集； 21．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围． 23．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，有下面四个结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 25．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … 其中，_____． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①写出两条该函数图像的性质； ②关于x的方程有2个实数根时，n的取值范围是_____． 26．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）某用于监测东江源水质的传感器，其输出信号（电压）与污染物浓度满足函数．当水质刚好达到临界达标值时，传感器图象与轴有且只有一个交点，此时的值为　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 28．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西南昌·期中）已知二次函数，且图象过点． （1）求的值； （2）若二次函数图象交轴于两点，求的长． 30．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式． （2）利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______． 31．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． （1）理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①       ②      ③ （2）应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． （3）拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 32．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴； （2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式； （3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值． 33．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）为庆祝年江西城市足球联赛（赣超）赣州队夺得冠军，某校宣传小组精心设计了一幅宣传图案，以绿茵场上的边界线为灵感，融入一横一竖两条宽度相等的彩条，既体现足球运动的秩序之美，又展现地方文化的活力．请结合数学知识，完成以下问题： （1）若图案设计为矩形（如图1），长，宽，彩条所占面积恰好为图案总面积的．设横、竖彩条的宽度均为，请列出关于的方程_____． （2）在（1）的基础上，为增强视觉动感，宣传小组将彩条形状改为平行四边形（如图2，方向与原矩形一致），图案外轮廓保持不变，横竖彩条宽度仍相等，求此时彩条的宽度． （3）为进一步突出“层次与进取”的主题，宣传小组将图案外轮廓优化为等腰梯形，下底，上底，高．横彩条位于中央两腰中点的连线处，象征团结协作；竖彩条贯穿上下底之间，体现奋发向上．若彩条宽度仍为，且彩条总面积小于图案面积的（横竖彩条面积不为0），求的取值范围． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且最高高度为，水柱落地处离池中心，则水管的长是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将铅球推出的距离是　　　　m． 7．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． （1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； （2）将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 8．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 9．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； （2）求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； （3）根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 10．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）赣县田村黄元米果历史悠久，起源于唐朝，明朝正德年间被列为皇室贡品，是赣南特色美食代表．某作坊专营田村黄元米果，其进价为元/千克．市场调研发现：当销售单价定为元/千克时，平均每天可售出千克；销售单价每提高元，平均每天的销量就会减少千克．为规范市场定价，物价部门规定该米果的销售单价需高于元，且不超过元． （1）若该作坊希望每天获得元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/千克？ （2）当销售单价定为多少元/千克时，该作坊每天销售黄元米果所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 11．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）， x（元kg） y（kg） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 12．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 13．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1：（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是                （填写正确结论的序号）． 探究2：（2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该二次函数上的一个不动点，求b、c满足的关系式． 探究3：（3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．       （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 15．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 70 … 销售量y（件） 70 40 … （1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式                 ； （2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？ （3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 16．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）赣南脐橙果大形正，肉质脆嫩，风味浓甜芳香，深受大家的喜爱.某脐橙生产基地生产的礼品盒包装的脐橙每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱. （1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，每箱礼品盒包装的脐橙应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少? 17．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 18．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ （3）当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 19．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 20．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； （2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 21．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）为了响应党中央的扶贫政策，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）商城某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映：如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价为多少时，每星期所获利润最大？ 23．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 24．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 25．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． （1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? （3）在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 26．（25-26学年九上·江西上饶·期中）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 27．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．    （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 28．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）某超市以每袋140元的价格购进一批香米，当每袋香米售价为180元时，每天可售出60袋．为了扩大销售，超市决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每袋香米降价1元，那么超市每天就可以多售出5袋． （1）当每袋香米售价下降多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）求每袋香米售价定为多少元时，每天销售香米所获利润最大，最大利润是多少？ 29．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克． 小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价进价）×销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表： 销售单价（元） 10 11 13 销售量 300 ________ ________ 由表格可知销售量（千克）是销售单价（元）的________函数． （2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为元，求与的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大?最大利润是多少元? 销售单价（元） 10 11 13 销售量 300 250 150 30．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加利润，该商店采取了降价措施，在保障每件商品的利润不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得销售利润1050元，则每件商品应降价多少元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 31．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在的函数关系． （1）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 32．（25-26学年九上·江西宜春·期中）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式．    （1）求点的坐标和的值． （2）若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 33．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． （1）若矩形围栏面积为y，则_____（化为顶点式）；当____时，矩形围栏的最大面积为_____． （2）若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长． 34．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）（多选）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为． （1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？ 35．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 36．（25-26学年九上·江西南昌·期中）“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点(抛物线的顶点)到的距离为厘米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子吗？ 37．（25-26学年九上·江西南昌·期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 38．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 39．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 40．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ （2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降元．在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获收的利润最大？每天的最大利润是多少？ 41．（2026·江西九江外国语学校·五模）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式．（不求自变量的取值范围） （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 42．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． （1）若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； （2）设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 43．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 44．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如图，二次函数的图象经过三点，顶点为D，已知点B的坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若E是线段上的一个动点（E与不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段长度的最大值； （3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为，若这个函数在时的最大值为3，求m的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）若二次函数的图象开口向下，则m的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的概念和性质，掌握二次函数最高次数为2，当，函数图像开口向上，当函数图象开口向下是解题的关键． 根据二次函数的定义，指数必须为2，且二次项系数小于零． 【详解】 由题意，函数为二次函数，故指数，解得， 又图象开口向下，故二次项系数，因此． 故答案为：． 2．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　． 【答案】2π 【详解】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π. 3．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】a＞2 【分析】利用二次函数图像的性质直接求解. 【详解】解:∵抛物线的开口向上， ∴a-2>0， ∴a＞2， 故答案为a＞2. 【点睛】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键. 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】 解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为． 2．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】 解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 3．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将，，三个点分别代入抛物线求得，，，即可得到答案 【详解】 将，，三个点分别代入抛物线得：，，， ∴ 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 4．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 直接由函数表达式即可得出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 5．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（       ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 【答案】A 【分析】 根据题意可得抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），可得到将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4），即可求解． 【详解】 解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2）， ∴将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4）， ∴平移后得到抛物线的解析式是y=2(x+3)2+4． 故选：A 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（     ） A. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 B. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 C. 开口向上，对称轴是直线，顶点是 D. 开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的开口方向由a的正负决定、对称轴为，顶点坐标． 直接根据二次函数的顶点式的性质即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B． 7．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 8．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】 解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 9．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的拋物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查抛物线的平移．根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， 故选：B． 10．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数顶点式的识别，直接根据函数表达式 的顶点坐标 写出即可； 【详解】 解：∵ 二次函数顶点式为 ，顶点坐标为 ， ∴ 的顶点坐标为 ； 故选：D 11．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标是（       ） A. 开口向上， B. 开口向下， C. 开口向上， D. 开口向下， 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 12．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 13．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】 解：的图象的顶点坐标是， 故选：D． 14．（25-26学年九上·江西南昌·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质．解题的关键是熟练掌握根据顶点式得出顶点坐标． 根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 15．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线的平移，按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可，掌握抛物线“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故选：． 16．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次函数图象的平移变换，根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减解答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向上平移2个单位为． 故选：A． 17．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质．先根据，得二次函数开口向下，对称轴为直线，根据各点横坐标与对称轴的距离比较函数值大小，即可作答． 【详解】 解：∵ 二次函数 中的 ∴函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、均在二次函数的图象上， ∴ ， 故选：C． 18．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】 ∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 19．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 20．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式是， 故选：B． 21．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 22．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线解析式确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 23．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 24．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图像的平移． 利用“左加右减，上加下减”的规则，逐步平移即可得出表达式． 【详解】 解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 故选：A． 25．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】 抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 26．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】 解：将抛物线的图象向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是． 故选：B． 【点睛】 主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 27．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先写出顶点式然后根据左加右减，上加下减求出结果即可． 【详解】 解：抛物线化为顶点式得：, 向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为: ,化简得：． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化求解更加简便，平移的规律：左加右减，上加下减． 28．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）抛物线的顶点坐标为 　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数顶点式顶点坐标：，直接进行作答即可． 【详解】 解：的顶点坐标为：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数顶点式的顶点坐标．熟记顶点式的顶点坐标为：是解题的关键． 29．（25-26学年九上·江西宜春·期中）将抛物线向上平移1个单位所得抛物线解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律，上加下减进行求解即可． 【详解】 解：将抛物线向上平移1个单位，所得抛物线解析式为； 故答案为：． 30．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 31．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）二次函数的图象顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接运用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：∵函数可化为， ∴二次函数的图象顶点坐标是． 故答案为． 32．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】 本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】 解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 33．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】 解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”；根据平移规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据“左加右减”，解析式变为 ； 再向下平移4个单位长度，根据“上加下减”，解析式变为 ； 化简得； 故答案为 ． 36．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）将二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数图象，它的解析式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移变换，根据“上加下减”的原则，向上平移5个单位即在函数解析式后加5，即可得出答案． 【详解】 解：将原二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新函数解析式为： ， 化简得：． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是二次函数的图象与平移，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与平移． 根据二次函数图象平移规律即可得解． 【详解】 解：将抛物线向下平移个单位，得； 再向左平移个单位，得， 得到的抛物线的解析式是 故答案为：． 38．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知抛物线经过点和，则　　　　　　（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质． 分别把和代入，求出，，即可求解． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 39．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　　　　　　　　　　． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【分析】 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】 二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】 此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 40．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为进行作答即可． 【详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 故答案为：． 41．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数解析式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移． 根据函数图象平移规律即可得平移后的函数解析式． 【详解】 解：将函数的图象先向左平移3个单位长度，可得， 将函数的图象向下平移5个单位长度，可得， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，得 ； 再向下平移1个单位长度，得 ； 化简得 ； 故答案为： ． 43．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则． 44．（25-26学年九上·江西南昌·期中）将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的函数解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：由抛物线向上平移个单位， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 45．（2026·江西九江外国语学校·五模）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】 解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】 解：平移后的解析式为， 故答案为： 47．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：把抛物线向下平移2个单位得，再向右平移1个单位，得． 考点：抛物线的平移． 48．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 此题考查比较函数值大小，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越远，函数值越小 【详解】 由抛物线解析式可知， 二次项系数，因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 点在对称轴上，故为最大值， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 由于开口向下，函数值随距离增大而减小， 因此， 故 49．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知二次函数的图象上有两点，则，的大小关系为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，分别把点A、B坐标代入计算，然后进行比较即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象上有两点，， ∴， ， 比较 和 ： 由于 ， 因此 ， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，当时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，点离对称轴越远，函数值越大． 【详解】 解：二次函数（）的对称轴为，顶点为． 由于，函数开口向上，顶点处函数值最小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 因此，最小，次之，最大． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）抛物线上部分点的坐标如下表： … 0 1 … … … 下列说法错误的是（       ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时， D. 抛物线开口向下 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性和二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值大于时的函数值可得抛物线开口向下，则可得到抛物线的增减性，再由对称性求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】 解：∵当时和时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故A说法正确，不符合题意； ∵当时的函数值大于时的函数值， ∴抛物线开口向下，故D说法正确，不符合题意 ∴当时，随的增大而减小，故B说法正确，不符合题意； 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， ∴当时，，故C说法错误，符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③ 即可作答． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故① 错误； ∵图象过点，且对称轴为直线 ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②正确； ∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有实数根，故④正确； 无法知道y的最大值，故③ 不正确； ∴正确的有2个， 故选B． 3．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，可判断① ；由对称轴，可判断② ；将代入函数，求得y值，判断③ ；抛物线与x轴有两个交点，可判断④ 【详解】 解：∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴上， ∴，即，故① 正确； ∵对称轴，即， ∴，故② 正确； 当时，，故③ 正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④ 正确， ∴正确的有① ② ③ ④ 四个． 故选D． 4．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】 解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 5．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则的值分别是（     ） A. 1，，13 B. 1，， C. ，，13 D. ，6，13 【答案】A 【分析】 本题考查求抛物线解析式，熟记旋转和对称求函数解析式的方法是解决问题的关键． 根据题意，最终抛物线经过两次变换后开口方向与原抛物线相同，因此原抛物线的二次项系数与最终抛物线的二次项系数相等，即；然后通过求原抛物线的顶点，并应用变换规则，可求出和． 【详解】 解：∵ 原抛物线绕顶点旋转后开口方向改变，再沿轴翻折开口方向再次改变， ∴ 最终抛物线与原抛物线开口方向相同， ∴； 将原抛物线化为顶点式：， ∴ 抛物线顶点为， 则绕顶点旋转后新抛物线为：， 再沿轴翻折后的解析式为：， 即， ∴ ，， 综上所述，， 故选：A． 6．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知抛物线 经过点， ，则当 时，y 的值为（     ） A. 正值 B. 负值 C. 零 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，根据题意可得抛物线的开口向下，当时，，进一步可得答案． 【详解】 解：∵抛物线 经过点， ， ∴抛物线的开口向下， 当时，， ∴当 时，y 的值为正值． 故选：A 7．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，利用二次函数的图像和性质注意判断即可解题． 【详解】 解：由图象可得，， 对称轴为直线，则 ∴ ∴, ∴, 故① 不正确； ∵， ∴, 故, 故② 正确; 抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③ 正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∵对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为， ∴ 又∵ ∴ 即，故④ 不正确 ∴点在该抛物线上, 则,即,故⑤ 正确． 所以正确的有② ③ ⑤ 共三个， 故选:C． 9．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】 解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 10．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了新定义，二次函数一般式化顶点式，理解新定义是解答本题的关键． 设存在一点，使得，把变形为，根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】 解：设存在一点，使得， ∴， ∴， ∴， 由题意，得 ， 解得 ． 故选B． 11．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（　　） A.  B. 若两点都在抛物线的图像上，则 C.  D. 若且，则 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据图象判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，C正确，不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴，故选项D正确；不符合题意； 故选：B． 12．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点可对① ② ④ 进行判断；根据图象过，结合对称轴则可对③ 进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤ 进行判断． 【详解】 解：观察图象，可知该图象开口向上，与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ，故② 正确； 图象过点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故① 错误，④ 正确； 把代入中，得， 又， ，即， ，故③ 正确； 由图象，可得当1时，随的增大而减小，故⑤ 错误． 综上所述，可得① ⑤ 错误，② ③ ④ 正确．正确结论有3个， 故选B． 13．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，现要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下： 甲：若，则点P的个数为3； 乙：若，则点P的个数为1； 丙：若，则点P的个数为1； 丁：若，则点P的个数为0． 其中说法正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 根据抛物线的顶点和图象求解． 【详解】 解：∵, ∴抛物线的顶点为（2，4）， ∴由抛物线可知： 若 b=−1或0 ，则点P的个数均为2，甲、乙错误； 若 b=4 ，则点P的个数为1，即（2，4），丙正确； 若 b=5 ，则点P的个数为0，因为抛物线上点纵坐标最大为4，丁正确； 故选C． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，熟练掌握配方法和二次函数的图象特征是解题关键 ． 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（     ） A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，通过二次函数图象对称性和待定系数法求解析式是解题的关键． 根据，可得到与的关系，根据二次函数的对称性可得到函数图象与轴的另一个交点坐标，根据二次函数图象与轴的交点在和之间，以及与轴的两个交点坐标，利用待定系数法求解析式即可判断的值． 【详解】 二次函数的对称轴为， ， ，故① 不正确； 二次函数图像与轴的一个交点为，对称轴， 设与轴的另一个交点的横坐标为， ， ， 与轴的另一个交点坐标为，故② 正确； 由图可知，当时，， 当时，， ， ，故③ 正确； 由题可得，当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，； 当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，， 与轴的交点在和之间， ，故④ 正确； 综上所述，正确的是② ③ ④ ． 故选． 15．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】 解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 16．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列叙述错误的是（       ） A. 小球飞出时的飞行高度为 B. 小球从飞出到落地要用时 C. 小球的飞行高度可以达到 D. 小球的飞行高度不能达到 【答案】D 【分析】 此题主要考查了二次函数的应用，正确解方程是解题关键．把代入解析式可判断A；令可的判断B； 化为顶点式可判断C；令可判断D． 【详解】 解：A． 当时，，故A不符合题意； B．小球落地时，，解得，，故B不符合题意； C．，由此可知，小球的飞行高度可以达到，故C不符合题意； D．当时，，解得，，则小球的飞行高度能达到，故D符合题意； 故选：D． 17．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（       ） ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段② ；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③ 错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】 解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； 由图象可得，当时，，故② 正确； ∵与y轴的交点坐标为， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴，故③ 错误； 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵点向上平移1个单位后的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 18．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解． 【详解】 解：① 由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故① 正确； ② ∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a， ∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故② 错误； ③ 根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③ 正确； ④ ∵抛物线经过点， ∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点， ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n）， ∴一元二次方程的两根分别为，5， 故④ 正确， 综上，上述结论中正确结论有① ③ ④ ， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键． 19．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，根据二次函数和一次函数的图象进行判断即可． 【详解】 解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 20．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论① ② ；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③ ；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④ ． 【详解】 解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论① 正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③ 正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④ 正确； 综上所述，结论正确的有① ② ③ ④ ，合计4个． 故选：D． 21．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）点，和在抛物线上，那么，，之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 22．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 23．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质．根据开口向下可得，可判断① ；根据对称轴为直线，可得，据此可判断② ；由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点，可判断③ ；根据当时，，可判断④ ；根据二次函数与轴交于正半轴，可判断⑤ ． 【详解】 解：二次函数开口向下， ，故① 错误； 对称轴为直线， ， ∴，故② 正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故⑤ 正确； 由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点， ，故③ 正确； 当时，， ，故④ 错误； 正确的有② ③ ⑤ ， 故选：D． 24．（25-26学年九上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】 解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 25．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴x=， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ∴0；故①正确； ∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∵b=-2a ∴c=， ∴-3＜＜-2， ∴﹣2＜b，故②错误； ∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确； ∵a＞0，∴-a＜0 ∵b=-2a ∴3a+2b=-a＜0 ∴2c﹣a＞2（a+b+c）， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）， ∴a+b+c=n， ∴2c﹣a＞2n；故④错误； 故选：B 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：① 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；② 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③ 常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断① ② ；然后根据二次函数的性质判断③ ；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④ ． 【详解】 解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，，  ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小，  ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有① ② ③ ④ ，共4个． 27．（25-26学年九上·江西宜春·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】 解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 28．（2026·江西九江外国语学校·五模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，即可判断① ；根据抛物线与x轴是否有交点确定的取值范围，即可判断② ；根据对称轴的位置即可判断③ ；根据时的函数值即可判断④ ；根据和的函数值可以判断⑤ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴ ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴；故② 错误； ∵对称轴为直线，， ∴， ∴，故③ 错误； 根据图象可知，当时，，故④正确； 根据图象可知，当时，， 当时，， ∴，即，故⑤ 正确． 综上所述，正确的有① ④ ⑤ ，一共3个． 29．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①③ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．① 根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；② 由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③ 根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④ 先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】 解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故① 正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故② 正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③ 错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④ 正确． 综上所述，正确的有① ② ④ ． 故选：A． 30．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 31．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（     ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据图象可得到且同号，故① 正确；由于抛物线与轴有两个不同的交点，所以，故② 正确；当时，，又因为，所以，故③ 错误；由图知：时，，可得，可得到，代入即可得到④ 正确；由于对称轴，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，故⑤ 正确． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴① 正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴ ∴② 正确； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴③ 错误； 由图知：时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴④ 正确； ∵对称轴 ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴⑤ 正确； 综上所述：① ② ④ ⑤ 正确， 故选：C． 32．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】 解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有② ③ ⑤； 故选：B． 33．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断① 正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断② 正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③ 正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④ ． 【详解】 解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故① 正确； ② 如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确② ； ③ 当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由① 可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③ 正确； ④ 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④ ； 故选：D． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 34．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）二次函数图象的顶点坐标是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（1，﹣2） 【详解】 解：∵=， ∴顶点的坐标是（1，﹣2）． 故答案为（1，﹣2）． 36．（25-26学年九上·江西赣州·期末）二次函数有最小值为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质．先根据得出开口向上，在对称轴处取得最小值，对称轴为直线，故把代入，求出的值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴开口向上，在对称轴处取得最小值， 则对称轴为直线， ∴把代入，得， 故答案为：5． 37．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知抛物线的解析式为． （1）写出抛物线的对称轴及顶点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为     （2）当时，的取值范围为      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为． 38．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数和二次函数，牢记二次函数的性质是解题的关键． 根据直线的图象过点可求得的值，根据二次函数的图象过点，可求得的值． 【详解】 ∵直线的图象过点， ∴ ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴． ∴． 39．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． （1）求的值； （2）若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】（1）1     （2）6      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据轴对称的性质，得出，，把点代入，求出即可； （2）先求出点，作于点，则，根据三角形面积公式求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象交轴于，两点，抛物线的对称轴为轴， ∴A、B关于y轴对称， ∵， ∴，， 把点代入，得， 解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）知， 当时，， 点， 如图，作于点，则， ． 40．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）（多选）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 【答案】（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【分析】 （1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 41．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ， 该抛物线的顶点坐标为． 42．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解． 【详解】 解：∵， ∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点， 此时，， 即定点A的坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键． 43．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； (3) 小问详解： 解：观察图象可知，当时，或； (4) 小问详解： 解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 44．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）当时，求的值． 【答案】（1）顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点和， ∴ ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解： 将代入得， ． 45．（25-26学年九上·江西上饶·期中）二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则的值应取　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】据题意可知此函数的对称轴为x=1，把x=1代入对称轴公式x=，得，解方程可求k． 【详解】解：∵当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小， ∴函数的对称轴为x=1， 根据对称轴公式x=，即， 解得k=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的图象的增减性是解题的关键． 46．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）点，在抛物线上，则　　　　　　　　．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】 将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可． 【详解】 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键． 47．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知：二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求a，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是________． 【答案】（1），，；     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把分别代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． （2）先由（1）得，，开口向上，结合表格数据，当时，，即可得出当时，x的取值范围是或． (1) 小问详解： 解：依题意，把分别代入， 得 ， 解得 ， ∴， 依题意，把代入， 得， 即． (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∵， ∴开口方向向上， 结合表格数据，得当时，， ∵抛物线的开口方向向上， 故当时，x的取值范围是或． 48．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 2 2 ．．． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． 【答案】（1），     （2）①的最大值为；② 点坐标为      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． （1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）① 设直线解析式为，将代入可求得即解析式为．设，则,根据，即可求解； ② 过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； (1) 小问详解： 解：由表格信息可知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为 将点代入得：， 解得 故抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：① 设直线解析式为 将代入得 ， 解得 即解析式为． 设，则, ∴ 故当时，的最大值为． ② 过作于点，设，则 由得：为中点，即 ∵， ， 即 将点坐标代入抛物线解析式得： 整理方程得：， 解得（舍去）， 故点坐标为． 49．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为 　　　　 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给二次函数解析式，得出抛物线的对称轴，再根据A，B，C三个点离对称轴的远近及抛物线的开口方向即可解决问题． 【详解】 解：因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 因为A，B，C三个点都在抛物线上，且三个点坐标分别为， 所以，且， 所以． 故答案为：． 50．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）若二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数值的大小比较． 通过直接计算二次函数在给定点的函数值，比较大小即可． 【详解】 解：对于点，代入函数： ； 对于点，代入函数： ； ∵， ∴． 故答案为：． 51．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为　　　　　　　 米． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．由给定的顶点式可直接得出函数的最大值． 【详解】 ∵，二次项系数， ∴函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴最大高度为34米． 故答案为：34． 52．（25-26学年九上·江西南昌·期中）解方程 （1）； （2）将二次函数化成顶点式． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程和二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）运用配方法进行变形即可． (1) 小问详解： 解：， ． ， ，． (2) 小问详解： 解：． 53．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）若抛物线经过点．求该抛物线顶点的坐标； 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、将二次函数解析式化为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式即可得解． 【详解】 解：把代入，得：， 解得：， ， 顶点的坐标为． 54．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知点为二次函数的图象上的两点，则的大小关系为　　　　　. 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过计算点A和点B的纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】 解：对于点A，当时，； 对于点B，当时，； 则， 所以； 故答案为． 55．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）二次函数的对称轴为直线　　　　　. 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数对称轴公式进行求解即可． 【详解】 解：对于二次函数 ，其中，，代入对称轴公式得： ， ∴对称轴为直线； 故答案为． 56．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 2 … … 0 12 … （1）求二次函数的解析式并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）求当时，此二次函数的最大值与最小值的差； （3）将二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值差为15，请求出的值． 【答案】（1）二次函数解析式为； 结合表格中的数据，作图如下：      （2）21     （3）1或6      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法即可得二次函数解析式，再画出函数图象即可； （2）依据题意，结合（1），可得顶点坐标为，进而可以作图得解； （3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为，故此时对称轴是直线，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，， 把，，代入，得： ， 解得 ∴二次函数解析式为； ∴， ∴抛物线顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由图象知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴在时，当时有最小值，为0； 当时有最大值，为， ∴最大值与最小值的差为； (3) 小问详解： 解：由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为． ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ① 当时，即，在范围内随的增大而增大， 当时取最小值，为； 当时取最大值为； 差值为：， 解得：； ② 当（即）时，最小值在对称轴，为； 最大值在或处， 当时，，； 当 时， 差值为：或 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； ③ 当（即）时，在范围内随的增大而减小， 当时取最大值，为； 当时取最小值为； 差值为：， 解得：； 综上，的值为1或6． 57．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知抛物线与y轴交点的纵坐标为，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移规律，利用已知点坐标代入解析式建立方程求解参数以及掌握“左加右减、上加下减”的平移法则是解题的关键． （1）将抛物线与  轴交点和点代入解析式，通过解方程组求出和，即可得到抛物线的解析式； （2）根据“左加右减、上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将点 代入，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：把点，代入，得 ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：依题意，平移后的抛物线为：， 把代入，得 ， 解得． 58．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图a，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点p是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为              ； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）的最大值为；的面积为      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为， 则 ， ∴ ， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 59．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知关于的二次函数图象经过． （1）求的值； （2）设抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，点是直线上的动点，求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的解析式求解与最短路径问题（利用抛物线对称性转化线段），解题关键是通过抛物线对称轴转化线段，结合两点之间线段最短求最值． （1）把已知点的坐标代入中可求出的值； （2）抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图，先解方程得，，再确定，求出抛物线的对称轴为直线，接着根据两点之间线段最短得到此时的值最小，然后求出的长即可． (1) 小问详解： 把代入得， 解得， ． (2) 小问详解： 抛物线解析式为 抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图， 当时，， 解得 ， 当时，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 此时的值最小， ， 的最小值为． 60．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式和顶点的坐标． （2）连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）存在，或或或      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，得 解得 ∴该抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． (2) 小问详解： 存在． 设所在直线的表达式为， 将点，代入，得 解得 ∴所在直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即或． 解，得，； 解，得，， ∴点的坐标为或或或． 61．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入，将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； (1) 小问详解： 当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0． 62．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）     （2）最小值为      【分析】 本题考查了抛物线解析式的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握抛物线的表达式形式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的交点式，结合与坐标轴的交点坐标，代入求解得到抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，结合抛物线的开口方向与对称轴，分析给定区间内函数的增减性，进而求出函数的最小值． (1) 小问详解： 解：与轴交于、两点，与y轴交于点， 解得： 故该抛物线的解析式是． (2) 小问详解： 解：， 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，时取得最小值． 63．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2 【详解】 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴ ， 解得 ； （2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2. 64．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 【答案】（1），     （2）     （3），，      【分析】 （1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）由对称轴知，，得；当取最小值时，周长最小．，当三点共线时，取最小值，相应的周长最小．进而求得； （3）设点P的坐标为，则，，分情况讨论① 若，② 若，③ 若，分别构建方程求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ，解得 ∴抛物线解析式为 令，解得 ∴． 由直线经过两点，得 ，解得 ∴直线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图， ∵是抛物线的对称轴， ∴点关于直线对称． ∴． ∴． 当取最小值时，周长最小． 如图，， 当三点共线时，取最小值，相应的周长最小． 时，． ∴ (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为，则， ， ① 若，则，解得 ∴点的坐标为． ② 若，则，解得或． ∴点的坐标为． ③ 若，则，解得或 ∴点的坐标为    综上，点的坐标为，，． 【点睛】 本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键． 65．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；     （2）或．      【分析】 本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，进而化为顶点式可知顶点坐标； （2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象分别经过点，， ∴ ， 解得 ， 函数的解析式， ∴顶点坐标； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为，， 由图象可得当时，或． 66．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴： （1）如图1，点，在抛物线上； （2）如图2，四边形为矩形． 【答案】（1）如图1，直线为所作；     （2） 如图2，直线为所作． 【分析】 （1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴； （2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了画二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性、矩形的性质等知识是解题的关键． 67．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，并且抛物线过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）所求抛物线与抛物线有什么关系？并指明其顶点坐标． 【答案】（1）     （2） 该抛物线是由抛物线经过向上平移个单位得到．       【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键； （1）根据抛物线的形状，开口方向、对称轴与相同，设出解析式，代入点，即可求出解析式． （2）由抛物线的顶点式即可求得顶点坐标，根据左加右减，上加下减可得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 略 68．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论．本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ． 点的横坐标为2 ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且 ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ． ③ 当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 69．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知在轴上有线段，且为个单位长度，以为边作等边，使点落在二次函数的图象上，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可求出其高为3，从而点C的纵坐标为3或，再代入二次函数解析式求解横坐标． 【详解】 解：作于点H，等边三角形的边长为， ， 则其高， ∵线段在轴上， 因此点C的纵坐标为3或， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：，即， 解得， 此时点C坐标为， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：， 解得或， 此时点C坐标为或， 故答案为：或或． 70．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 2.15 2.28 2.44 2.5 2.49 2.44 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米； （3）求出y与x的函数解析式； （4）判断排球能否过球网，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，      （2）2，2.5     （3）     （4） 解：排球能过球网. 理由如下： 当x=9时，， ∵， ∴排球能过球网．      【分析】 （1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接； （2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度； （3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案； （4）根据y与x的函数解析式，令x=9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵当x=0时，y=2， ∴击球点的高度为2米； 由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米； (3) 小问详解： 解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴设y与x的函数解析式为， ∵当x=0时，y=2， ∴， 解得：， ∴； (4) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 71．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图①，已知为等边三角形，N为上一点，且，点M从点A出发，沿折线段运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，，当点M由点A运动到点B时，y关于x的函数解析式为，其函数图象如图②所示． 【初步探究】 （1）①______，c的值为______； ②求点Q的坐标． 【深入探究】 （2）经探究发现，当点M由点B运动到点C时，y也是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式； 【问题解决】 （3）若存在对应的均相等，求的取值范围． 【答案】（1）①3；1② 点Q的坐标为；（2）当点M由点B运动到点C时，；（3） 【分析】 （1）根据图② 的函数图象可知，结合等边三角形的性质可求，再将代入，可求点Q的坐标； （2）过点N作于点E．分别讨论两种情况，当点M在上运动时，设，当点M在上运动时，设．结合含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，求出二次函数的解析式； （3）将代入，得．并解不等式，求出的取值范围． 【详解】 解：（1）① 由题图② 的函数图象可知，当点M与点B重合时，点M运动的路程为3，即． 由等边三角形的性质可得． 又 ， 即时， ． 故答案为：； ② 将代入，得， 点Q的坐标为． （2）当点M由点B运动到点C时，如图① ，过点N作于点E． ， ， ， ． 当点M在上运动时，． ， ； 当点M在上运动时，． ， ． 综上所述，当点M由点B运动到点C时，． （3）由（2）可知，当时，y关于x的函数图象如图② 所示． 将代入，得． 令，解得（负值已舍去）． 令，解得或（负值已舍去）， 结合函数图象可知，的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 72．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【分析】 （1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】 解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 73．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）若，求点的坐标； （2）如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【答案】（1）点C的坐标为或或或；     （2）13      【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可； （2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； (2) 小问详解： 解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 74．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． （1）求出该抛物线所对应的函数解析式． （2）现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 【答案】（1）     （2）这艘轮船不能通过这座拱桥      【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式及二次函数与一元二次方程的关系． （1）先根据拱桥的实际情况确定抛物线的顶点坐标与x轴交点坐标，设抛物线的顶点式，把A点坐标代入所设解析式，得到关于a的方程，求解a的值，进而确定函数解析式； （2）由题意知，将代入已求出的抛物线解析式中，求解得到的一元二次方程并得出对应的x值，计算两个x值的差，得到在高度为12米处拱桥可通过的宽度，最后比较该宽度与轮船宽度的大小，若大于等于轮船宽度则能通过，反之则不能通过． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ∴，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴． (2) 小问详解： 解：对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘轮船不能通过这座拱桥． 75．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … 当时，的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，利用图表中数据分析得出对称轴是解题关键． 直接利用图表中数据进而结合二次函数对称性分析得出对称轴以及的取值范围． 【详解】 解：和时的函数值相同， 此二次函数图像的对称轴为直线，顶点为，有最大值为4， 图像开口向下， 当以及时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 76．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， 解得， 的值为； (2) 小问详解： 解：当时，， 把代入可得． 77．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线与轴的交点为，． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当，求的取值范围． 【答案】（1） 对称轴为直线 ，顶点坐标为      （2） 的取值范围为 或       【分析】 本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质． 把点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 求出当和时对应的值，再根据二次函数的增减性，确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴的交点为，， ， 解得： ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 当时，， 抛物线顶点的坐标是； (2) 小问详解： 解：二次函数开口向上，对称轴为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 当时，或， 当时， 可得：或． 78．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 【答案】（1），，；     （2）点D坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 79．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）某小型飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）满足，其中、是常数，由监测仪器记录获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间 0 2 4 6 8 ．．． 滑行距离 0 54 96 126 144 ．．． （1）请根据上述数据，求该函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： （2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查二次函数的应用，求二次函数解释式，求二次函数顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，，当时 代入求得函数解析式； （2）求的顶点坐标，S的最大值即为所求． (1) 小问详解： 解： ， 当时，，当时 ，代入得：    解得 ∴函数解析式为：； (2) 小问详解： 解： ， ∵， 当时，S最大， 米． 因此，飞机着陆后滑行 米才能停下来． 80．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； （3）已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可得 ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； (3) 小问详解： 秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 81．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）定义：在平面直角坐标系中一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求b，c的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值． 【答案】（1）①，；② 二次函数点“影差”有最大值为4     （2）c的值为1或3      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）① 根据题意可得经过，，把，代入二次函数即可解答；② 根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； （2）由题意求出，由点与点的“影差”相等，得到，把代入，可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． (1) 小问详解： 解：① 根据题意可得经过，， 把，代入二次函数可得， ，解得 ， ∴，； ② 二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为4； (2) 小问详解： 解：令，可得， ∴， ∵点M与点N的“影差”相等， ∴，把代入， 可得：， ∵， ∴，即， ∴设二次函数图象上任一点为， ∵“影差”最小值为， ∴的最小值为， 则可得，，即， 解得，， 故c的值为1或3． 82．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）若关于x的函数是二次函数，求m的值，并指出x满足什么范围，y随x的增大而增大？ 【答案】，当时，y随x的增大而增大 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的增减性，解题的关键是根据已知得到关于m的不等式和方程．根据二次函数的定义可知且，得出函数解析式，即可解答． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 则且， 解得：， 将代入原函数解析式可得， 则当时，y随x的增大而增大． 83．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是          ．（填 序 号） ①；② ③． （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 【答案】（1）① ③     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． （1）根据“纵三倍点”的定义，可设“纵三倍点”的坐标为，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）设交点坐标为，把代入可得交点的坐标为，再把代入可得，然后联立得：，根据抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，可得，可求出m的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：设“纵三倍点”的坐标为， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点” ； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上的“纵三倍点”为 或； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点”； 故答案为：① ③ (2) 小问详解： 解：∵该交点是“纵三倍点”， 可设交点坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴交点的坐标为， 把代入得： ， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， 解得：， 此时， ∴抛物线解析式为． 84．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质并结合图像求解是解题关键． （1）把点，分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可． （2）根据二次函数的性质得出不等式求解即可； （3）结合函数图像即可得出结果． (1) 小问详解： 解：把点，分别代入，得 ， 解得 ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方， ∴的解集为或． 85．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　．（用“”号连接） 【答案】 【分析】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性． 根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案． 【详解】 解：， 对称轴为直线， 的对称点坐标为， ， 抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 86．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）已知顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式的形式，然后利用待定系数法求出的值即可得出答案，根据顶点坐标确定，的值，并掌握待定系数法是解题关键； （2）先求出抛物线与轴的交点，即可得到时，的取值范围． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴即; (2) 小问详解： 解：当时，， 因式分解，得， ． 抛物线与轴的交点分别为，， 由图象得，当时，． 87．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图是二次函数的部分图象，点在该图象上，当时，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，结合抛物线的对称性可得二次函数的图象对称轴为直线，且与x轴的另一个交点的坐标为，求出另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】 解：∵二次函数的部分图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 88．（25-26学年九上·江西南昌·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若，，点与点在抛物线上，求的值． 【答案】（1） 证明：这个方程根的判别式为 ， 所以无论为任何实数，此方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的对称性，熟练掌握一元二次方程和二次函数的性质是解题关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，由此即可得证； （2）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性可得，则，代入计算即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入得：， ∴这个二次函数的对称轴为直线， ∵点与点在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴． 89．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 【答案】（1）；     （2） 二次函数的图象如图所示： ；      （3） 如图所示． 【分析】 本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，掌握二次函数的图像与性质．学会利用数形结合是解题的关键． （1）用配方法可以得到解答； （2）根据二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据二次函数的性质画出图象即可； (1) 小问详解： 解： 即 (2) 小问详解： 解： ∴顶点坐标为． 当时，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． (3) 小问详解： 解：函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后变为： ，即； 90．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 91．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线L的表达式； （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离． 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则米． (1) 小问详解： 解：箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， 抛物线的顶点为， ， 抛物线经过点， ， 解得， ； (2) 小问详解： 令， 解得或（舍， （米， 人离壶的距离为米． 92．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）     （2）点的坐标为，该面积的最大值为     （3）或      【分析】 （1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得一个点的坐标；然后延长至点，使得，连接，先求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得另一个点的坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入得： ， 解得 ， 所以抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意，设点的坐标为， 如图，过点作轴，交直线于点，则， ∴， 联立 ，解得 或 ， ∴，， ∴，的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为，该面积的最大值为． (3) 小问详解： 解：将代入得：， 解得或， ∴， ∴， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴此时点的坐标为； 如图，延长至点，使得，连接， ∴，点是的中点， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 93．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】（1）；     （2）点的坐标为；     （3）① 点的坐标为；②的最大值为．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）① 当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ② 作轴交于点，由① 知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：① ∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立 ，解得 或 ， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ② 作轴交于点，由① 知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 94．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）；     （2），；     （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组 ， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值．      【分析】 本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到 ，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． (1) 小问详解： 解：把点和点的坐标代入， 得到： ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； (3) 小问详解： 略 95．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1）     （2）①，② 5      【分析】 （1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． (1) 小问详解： 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． (2) 小问详解： 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得 解得 ， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式 ， 解得 或 ， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 96．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【详解】 解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ① 当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ② 当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③ 当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 97．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，抛物线的对称轴为             ；当时，抛物线的对称轴为             ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为             ． （2）求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． （3）当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 【答案】（1）直线；直线；直线     （2）抛物线恒过两个定点，定点坐标为，；     （3）点M的坐标为．      【分析】 （1）根据对称轴公式，代入数据求解即可； （2）二次函数整理得，当时，取值与无关，解方程即可证明； （3）设，则，由，结合平行线的性质推出，得到，利用两点之间的距离公式列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为，对称轴为直线； 当时，抛物线，对称轴为直线； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线；直线；直线； (2) 小问详解： 证明：， 当时，取值与无关，， 解得，， ∴抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； (3) 小问详解： 解：当时，抛物线的解析式为， 令，则， 令，则， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴点M的坐标为． 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合问题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 98．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．聪聪家的菜地上有一个长为14米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1.5米的墙体处，另一端固定在离地面高2.5米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为5米． （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）聪聪的爸爸计划在大棚内种植黄瓜，需搭建高为1.5米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要5根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】（1），     （2）米     （3）根      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质并正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，得到A、B的坐标，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将二次函数转化为顶点式，利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出x的值，进而确定可以搭建支架的土地面积，再乘以5即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得点，， 把点，代入得 ，解得，． (2) 小问详解： 解：由， 可知当时，有最大值， 故大棚的最高处到地面的距离为米． (3) 小问详解： 解：令，则有， 解得，． 又， 大棚内可以搭建支架的土地的宽为5米． 又大棚的长为14米， 需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）， 故共需要准备竹竿（根）． 答：共需要准备竹竿根． 99．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，-3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）P点的坐标为（，）；（3）N的坐标为：（2，），（，3）或（，3） 【分析】 （1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由△PBC的面积=S△PHB+S△PHC，即可求解； （3）分AC是边、AC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【详解】 解：（1）设抛物线的解析式为（a≠0）， ∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点在抛物线上， ∴ ， 解得： ． ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，作PE⊥AB于E交BC于D点， 设BC的解析式为， 把B（4，0）代入得， 解得：． ∴BC的解析式为， 设P点的坐标为（m，），D（m，）， ∴， ∴ ， 当时，S的值最大，此时， ∴P点的坐标为（，）． （3）存在．如图2所示， ① 当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线，且C（0，-3），CN1∥AM1， ∴N1（2，）； ② 当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO， ∴，即N2点的纵坐标为3． ∴， 解得：，， ∴N2（，3），N3（，3）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为： （2，），（，3）或（，3）． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 100．（25-26学年九上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； （3）在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：① 当点与点重合时，满足为等腰三角形，② 当时，过点作于点，如图，③ 当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，当时，， ∴，   点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． (3) 小问详解： 解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ② 当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图，   ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 101．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（多选）如图，抛物线过点．    （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）的最大面积为，     （3）存在，或或，      【分析】 （1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ (3) 小问详解： 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵ ， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵ ， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】 题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 102．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或     （3）存在，，的最小值为      【分析】 （1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； (3) 小问详解： 存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 103．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数解析式． （2）如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． （3）如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）点D的坐标为，面积的最大值；     （3）或或．      【分析】 本题二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形在坐标系中的点的坐标特点． （1）将点A、B两点代入抛物线解析式，求得a，b的值，进一步得出结果； （2）作于D，交于E，连接，，作于F，可求得，从而得出要使最大，只需的面积最大，设，，从而表示出，进一步得出结果； （3）分为：当时，根据平行四边形和点坐标的关系得出N的横坐标为：，进而求得结果；当时（图中），同样方法得出结果；当（图中），类似方法得出结果． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点，， 且点的坐标为，点的坐标为， ∴将点A和点B坐标代入得， ， 解得 ， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 作于H，交于E，连接，，作于F，如图1， ∵， 令，， ∴， 设直线的解析式为：， 将和代入， ， 解得 ， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴点D的坐标为，面积的最大值； (3) 小问详解： 如图2， 当时， ∵， ，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 综上所述：或或． 104．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，直角坐标系中，抛物线上有两点，抛物线与y轴交于C点，轴，请你用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，抛物线与x轴有两个交点，求作抛物线的对称轴． （2）在图2中，抛物线与x轴无交点，轴，求作抛物线的顶点． 【答案】（1） 如图，所在直线即为所求；      （2） G点即为所求． 【分析】 本题主要考查了基本作图——线段的垂直平分线，二次函数的图象和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握抛物线的对称性． （1）根据抛物线的对称轴性，延长相交于点，点在的垂直平分线上，再根据抛物线的对称性，可得点在线段的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线即可求解； （2）根据抛物线的对称性以及垂直，得出四边形为矩形，对角线的交点在线段的垂直平分线上，再根据抛物线的对称性，延长相交于点，点在线段的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线，该直线与抛物线的交点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 105．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）如图1，四边形是矩形，是线段延长线上的点，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，的面积为． （1）【初步感知】当点由点运动到点的过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象，回答下列问题： ①的长为______； ②求关于的函数表达式． （2）在（1）的条件下，如图3，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数表达式． （3）【延伸探究】若射线上从左至右依次存在不同位置的三个点，，，使得它们对应的，，的面积相等，且这三个位置对应的，，满足，求出此时它们所对应的面积． 【答案】（1）① 4；②     （2）     （3）      【分析】 （1）①根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，抛物线经过原点和，结合动点的运动轨迹可得的长度；②设顶点式，用待定系数法求解即可； （2）由（1）得，则，过作交延长线于， 证明，得到，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，随的增大而增大，则点，在线段上，点在点右边，设，结合和对称轴可得，，再代入对应的解析式解方程化简，最后整体代换求出面积即可． (1) 小问详解： 解：① ∵抛物线经过原点且顶点为， ∴抛物线对称轴为直线，且过原点， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，， 此时点在点，， 故答案为：4； ② ∵抛物线经过原点且顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 在（1）的条件下， 则， 过作交延长线于， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴， 又∵的对称轴为直线， ∴， 即， 设，，， ∵这三个位置对应的面积均相等， ∴， 化简得， 即， 此时面积为， 综上所述，此时它们的面积为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，结合图形分析题意及整体代换思想的应用是解题的关键． 106．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，抛物线的开口向下，与轴交于点和点．与轴交于点，顶点为． （1）求顶点的坐标．（用含的代数式表示）； （2）若的面积为3． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点，且，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1）顶点的坐标为     （2）① 抛物线的解析式为 ② 解析式为或      【分析】 （1）已知抛物线与轴的两交点的横坐标分别是和1，设抛物线解析式的交点式，再配方为顶点式，可确定顶点坐标； （2）① 设与抛物线对称轴的交点为，先运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，即可得到的长，然后由列出方程，解方程求出的值，即可确定抛物线的解析式； ② 先运用勾股定理的逆定理判断出在中，利用三角函数求出．设向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点，直线与轴交于点．根据正切函数的定义求出．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2① ，点的坐标为，（Ⅱ）如图2② ，点的坐标为．针对这两种情况，都可以先求出点的坐标，再得出的值，进而求出平移后抛物线的解析式． (1) 小问详解： 解：（1）抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， ， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 如图1，① 设与抛物线对称轴的交点为． 抛物线与轴交于点， 点坐标为． 设直线的解析式为：， 则： ， 解得： ， 直线的解析式为：， 点的坐标为：， ， ， ，解得， 抛物线的解析式为； ②， 顶点的坐标为，， ， ，，， ， ， ， ， ． 如图2，设向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点，直线与轴交于点． ， ，则点的坐标为或． 分两种情况： （Ⅰ）如图2① ，当点的坐标为时，易求直线的解析式为， 由 ，解得 ， （舍去）， 点坐标为，， 将点坐标，代入， 得， 解得，（舍去）， 平移后抛物线的解析式为； （Ⅱ）如图2② ，当点的坐标为时，易求直线的解析式为， 由 ，解得 ， （舍去）， 点坐标为，， 将点坐标，代入， 得， 解得，（舍去）， 平移后抛物线的解析式为； 综上可知，平移后抛物线的解析式为或． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用． 107．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】（1），     （2）两人说法都正确， 把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确；     （3）①；②或     （4）      【分析】 （1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）① 先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；② 如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴ ， 解得： ， ∴为； ② 如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， (4) 小问详解： 解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 108．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若点在轴上， ①求此抛物线的解析式； ②当时，直接写出的取值范围； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②或；     （2） 解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的性质； （1）① 当时，代入解析式，得出，进而得出解析式； ② 令，得出，则抛物线与轴的交点问和，根据题意可得点在轴的上方，根据抛物线开口向上，进而即可求解； （2）将代入，根据，得出，进而得出抛物线的对称轴且，根据可得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ② 令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； (2) 小问详解： 略 109．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）已知抛物线过点，． （1）求a的值； （2）平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． （3）设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）①，②抛物线与y轴交点纵坐标的最小值     （3）时，四边形为正方形．      【分析】 （1）由点和可知抛物线的对称轴为，结合抛物线，列出方程求解即可； （2）由（1）得抛物线， ①根据平移后顶点位置得顶点的横坐标为m，顶点的纵坐标为，结合平移的性质求得抛物线； ②根据交点坐标的求法得交点纵坐标的值为，利用二次函数性质求得最小值即可； （3）首先求得，由折叠求得抛物线，联立求得和，同时求得，利用两点之间的距离求得，和，结合正方形的性质得，解得，经检验即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知点和关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线， ① ∵平移后抛物线顶点的横坐标为m，抛物线的顶点在直线上， ∴平移后抛物线顶点的纵坐标为， ∵平移抛物线，得到抛物线， ∴抛物线； ②抛物线， ∵抛物线与y轴交点纵坐标的值为， ∴抛物线与y轴交点纵坐标的最小值； (3) 小问详解： 解：四边形为正方形，理由如下， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线， 联立得 ，解得，，， ∵A在B的左侧， ∴，， ∵抛物线的顶点为Q， ∴， 则， ， ， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，，，和符合题意， 综上所述，时，四边形为正方形． 【点睛】 本题主要考查二次函数和几何的结合，涉及二次函数的性质、二次函数的平移、二次函数的翻折、正方形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉正方形的性质和二次函数的翻折． 110．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ （3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】（1）     （2）存在，     （3）或或      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 代入，得： ， 解得： ； ∴此函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； (3) 小问详解： 如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 111．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目定义直接写出解析式； （2）①根据题目定义写出解析式②由垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，可知关于抛物线对称轴对称，则，由知直线在P点下方且在抛物线顶点上方，据此可求出取值范围，则题目所求可得； （3）因为抛物线顶点在第一象限角平分线上，故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标，讨论a取不同值时抛物线与四边形的图形的交点个数，从而确定满足题意的a 的取值范围，则b的取值范围可求． 【详解】 解：（1）根据定义：“倍方函数”为． 代入，，得： ． 故答案为：； （2）① ∵函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，        ∴； ②令，得， ∴， 令，得， 解得， ∵与坐标系横轴右侧交点为， ∴， 设解析式为，代入，， ， 解得 ， ∴解析式为， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴直线在抛物线顶点上方， ∵顶点坐标为， 当，时代入， ， 此时 ∵与直线交于点，且， ∴直线在P点下方， 当时，代入，得， ∴此时， ∴， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意，函数解析式为， 且其顶点在第一象限角平分线上， 故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标， ∵直线与线段交点为， 故当时，如图，抛物线与四边形的图形有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当抛物线过时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 将代入，得， 解得（舍） 故当时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 综上所述，当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 即， 即． 112．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）实验与探究： 【问题初探】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为、、，，求证： 【类比迁移】（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为______； 【探究延伸】（3）如图3，图中抛物线为，已知正方形（、、、为动点）的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的右侧，且点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值，如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （4）图3中的正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上．设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2），，；（3）定值，1；（4）或． 【分析】 （1）利用证全等即可； （2）分类讨论点的对应点恰好落在坐标轴上时的位置，再利用全等三角形的性质求解即可； （3）过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，得到利用全等的性质列式运算即可； （4）分类讨论和的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：由题意可作图： ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴点，， ∵正方形绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在坐标轴上， ① 当点的对应点在轴正半轴时，过点作轴于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ② 当点的对应点在轴负半轴时，则， ∵， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ③ 当点的对应点在轴负半轴时，过点作于点，过点作于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ∴综上点的对应点的坐标为：，，； （3）为定值，理由如下： 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：① 点和点都在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 点和点都在轴左边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ③ 当点在轴左边，点在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 综上所述：或． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 113．（25-26学年九上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点． （1）①______； ②如图1，若正比例函数与两个图象分别交于点，四点，点的横坐标分别为，求的值； （2）如图2，点在线段上，过点作轴平行线，分别与图象交于两点，求的最大值； （3）如图3，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点顺时针旋转后刚好落在抛物线上，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①．②     （2）的最大值为     （3）点的坐标为：或      【分析】 （1）① 先求出点C的坐标，然后将，代入求出 ，再求出结果即可； ② 根据根与系数的关系得出，，然后求出结果即可； （2）设，则，，得出，根据二次函数最值求出结果即可； （3）过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足为点，证明，得出，，从而得出，代入抛物线解析式得出，求出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得： ， ∴； ② 设正比例函数与二次函数联立方程组得 ， 即， 整理得：， ， 解方程组 得：， 整理得：， ， ． (2) 小问详解： 解：由（1）知的表达式为，的表达式为， 设，则，， 故， 即的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点， 设，由旋转得，， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足为点，如图所示， ， ， ， ， ，， ， 将点代入， 得， 整理得：， 即， 解得：， 或； 综上，所有符合条件的点的坐标为：或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，根与系数的关系，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 114．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一点，满足，求点的横坐标； （3）如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）图象顶点横坐标的取值范围：      【分析】 （1）将点、的坐标分别代入函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）满足，则点到的距离与点到的距离相等； （3）设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：，由题意易得直线，设图象顶点为，然后进行分类求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入抛物线的解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图1， 由（1）可知：抛物线的解析式为：， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当在直线的左侧时， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， 方程组无解， 不在直线的左侧， 当在直线的右侧时，在轴上取点M，使，分别过点O、M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 过点作直线交抛物线于点， 同理可求直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ， ∴或； (3) 小问详解： 解：设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：， 又， 同理可得直线， ∵图象顶点在直线上， ∴设图象顶点为， 如图2， 由点与的坐标关系，得到点的对应点，即， 由可得直线， 当点在直线上时，， ， 此时点K的横坐标为， ∴点在线段上， 如图3， 设图象所在抛物线方程为：，点为直线与抛物线的交点，则点的坐标满足下列方程组： ， 点的横坐标是方程：的解， 整理得：， 当图象与直线相切时有：， 解得：， ∴方程为， 解得：， ，（在线段上）， ∴图象顶点横坐标的取值范围：． 【点睛】 主要考查了二次函数综合题型，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江西赣州·期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案． 【详解】 解：二次函数y=x2+2x-1的图象与y轴相交， 令x=0，故y=-1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，-1）． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键． 2．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（       ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查求一元二次方程的近似根，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】 解：由表格可知，当时，； 当时，； ∴当时，存在一个的值使， 故一元二次方程的一个解的取值范围是； 故选C． 3．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】 解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）已知，二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断系数的关系是解题关键． 根据图象，逐一判断选项中式子的正误即可． 【详解】 解：选项A：由图象可知，抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴，故说法错误； 选项B：由图象可知，抛物线与x轴有2个不重合的交点，∴，故说法正确； 选项C：由图象可知，当时，，故说法正确； 选项D：由图象可知，抛物线开口向上，∴， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴， ∴，故说法正确．   故选： A． 5．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系，关键是熟练应用知识点解题； 根据抛物线的开口方向、增减性、对称轴等情况进行推理，对所得结论进行判断． 【详解】 解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴交点在正半轴， ∴，， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，① 正确； ∵与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的另一个交点的坐标为， ∴时， ∴，② 正确； ∵、为函数图象上的点，且离对称轴较近，抛物线开口向下， ∴，③ 正确； ∵顶点坐标为， ∴当时，若方程有实数根， 则的取值范围是，④ 错误； 综上所述：正确的结论共个．  故选：C ． 6．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论：①；②；③；④若方程两根为，则；正确的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】 解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即， ∴， ∵与y轴的交点B在之间（不含端点）， ∴， ∴，故① 不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故② 不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∴， ∵， ∴，解得：，故③ 正确； 由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图， 由图象可知：若方程两根为，则，故④ 正确； 综上所述，正确的结论是③ ④ ，有2个， 故答案为：B． 7．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 8．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）抛物线与轴的交点坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线与轴的交点坐标，需令，代入解析式计算的值即可． 【详解】 解：把，代入得： ， 故与轴的交点坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，由可得，求解，，再进一步解答即可． 【详解】 解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 10．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 11．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点． （1）求b，c的值； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）运用待定系数法将A（-3，0）、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出b，c的值； （2）根据x轴上的点的纵坐标为零，令，求出的值即可得出B的坐标，结合图像，直接写出当时，x的取值范围即可． 【详解】 解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入得： ， 解得： ， ∴b，c的值分别为2，-3； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）， 由图象可知当时，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题． 12．（25-26学年九上·江西上饶·期中）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了求二次函数的解析式及其图象与x轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的表达式为，然后将点代入求解即可； （2）令，求解方程即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得， 此抛物线与x轴的交点坐标为，． 14．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）若方程的解为，则二次函数的对称轴为　　　　　． 【答案】直线 【分析】 本题考查了根据一元二次方程的解求二次函数的对称轴． 由根与系数的关系可知，进而根据二次函数的对称轴为直线计算即可． 【详解】 解：由根与系数的关系可知，方程的两根之和为， 则二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 16．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是__________； （3）当时，的取值范围是__________； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意设，则把点代入进行求解即可； （2）由（1）可得点B坐标，然后根据函数图象可进行求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意设，则把点代入得： ，解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：令时，则有， ∴， ∴由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为； (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为． 18．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】 解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 19．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）直接写出：点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）若点恰好落在抛物线上，求的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键； （1）令得，求解方程即可得解； （2）把代入解析式即可解答． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或． 20．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）二次函数的图象如图所示． （1）写出关于的一元二次方程的两个根； （2）写出关于的不等式的解集； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 此题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称性，利用函数图象解不等式等知识，数形结合是关键． （1）根据对称性求出抛物线与轴的另一交点，据此即可得到答案； （2）根据开口方向和与轴交点的横坐标进行解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线， 设另一交点为， 则，解得， 所以方程的两个根为 (2) 小问详解： 由图抛物线开口向下，与轴交于和， 所以当或时，， 即不等式的解集为或 21．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题主要考查了求解二次函数与坐标交点的问题，根据图象求解自变量取值范围，注重数形结合的思想是解答本题的关键． （1）令，得到一个一元二次方程，解方程后，随即可得到，的坐标；令，则有，即可得到点坐标，问题得解； （2）运用数形结合思想，可知时自变量取值范围为：二次函数图象在轴上方时自变量的取值范围，据此即可作答． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得，， 根据点在点左侧，可得，， 令，则有， 则点的坐标为． 答：点，，的坐标为，，． (2) 小问详解： 解：当时，二次函数图象在轴上方， 此时的取值范围为或． 答：当时，的取值范围为或． 23．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，有下面四个结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】① ④ 【分析】 根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，由此即可判断① ；由抛物线的对称轴为直线，可得，即可判断② ；求得抛物线与x轴的另一个点为，代入二次函数的解析式可得，可判断③ ；根据直线与二次函数有两个交点即可判断④ ． 【详解】 解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴， ，， ∴；结论① 正确； 二次函数的对称轴为直线， ，结论② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为， 则与x轴的另一个点为， ∴，结论③ 错误； 由函数图象可知，二次函数的最小值小于0， ∴直线与二次函数有两个交点， ∴关于的方程，有两个不相等的实数根，结论④ 正确； 故答案为：① ④ ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出的数量关系，本题属于基础题型． 24．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为；     （2）或      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． （1）把和代入，建立方程组求解解析式即可； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点和． ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴， 解得：，， 如图，当时， ∴或． 25．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … 其中，_____． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①写出两条该函数图像的性质； ②关于x的方程有2个实数根时，n的取值范围是_____． 【答案】（1）     （2） 描点、连线画出如下函数图象，      （3）① 函数的最小值为；时，y随x的增大而增大；②或      【分析】 本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）当时，代入计算即可求解； （2）描点即可画出函数图象； （3）① 根据函数图象，任意指出函数的两条性质即可；② 关于的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点，观察图象即可求解． (1) 小问详解： 解：当时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：① 函数的最小值为；时，y随x的增大而增大； ② 关于x的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点， 观察图象，当或时，函数的图象与有2个交点， 故关于x的方程有2个实数根时，或， 故答案为：或． 26．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）某用于监测东江源水质的传感器，其输出信号（电压）与污染物浓度满足函数．当水质刚好达到临界达标值时，传感器图象与轴有且只有一个交点，此时的值为　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．函数图象与轴有且只有一个交点，需分二次函数和一次函数两种情况讨论：当二次项系数不为零时，判别式等于零；当二次项系数为零时，一次函数需保证一次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】 解：函数的图象与轴有且只有一个交点，即方程 有且只有一个实数根， 当时，函数为二次函数，判别式， 解得或； 当时，即，函数变为，为一次函数，且一次项系数，与 轴有一个交点，满足条件； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 27．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：，即． (2) 小问详解： 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 28．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案． 【详解】 ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0， 解得：k=1， 故答案为：1 【点睛】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键． 29．（25-26学年九上·江西南昌·期中）已知二次函数，且图象过点． （1）求的值； （2）若二次函数图象交轴于两点，求的长． 【答案】（1）；     （2）2．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入求解即可； （2）令时，则，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象过点 ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， 令时，则， 解得：，， ∴． 30．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求该函数的解析式． （2）利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得解； （2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象分别经过点，． ∴ ， 解得 函数的解析式； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为，， 由图象可得当或时，， 故答案为：或． 31．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． （1）理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①       ②      ③ （2）应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． （3）拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 【答案】（1）② ③     （2）     （3）点的纵坐标为或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，得到，，求出点坐标，待定系数法求出点的值，求出函数解析式，再令，求出点的纵坐标即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为分数，不是整数， 故① 不是完美抛物线； ② 当时，解得； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 故② 是完美抛物线； ③， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 当时，解得或； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； 故③ 是完美抛物线； 故答案为：② ③ ； (2) 小问详解： ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ∴，解得， ∴； (3) 小问详解： ∵“完美抛物线”与抛物线开口大小一样， ∴， ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为或，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，解得， 当时，解得 ∴或 ∴当时，或； 故点的纵坐标为或． 32．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴； （2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式； （3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值． 【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）；对称轴为x=2；（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）② y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或 【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点； （2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折理论即可解题； （3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题 【详解】（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴对称轴为x=2； ∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5； ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5， 整理得：y=ax（x﹣4）﹣5； ∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5； ∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）； ②这两个点连线为y=﹣5； 将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变； ∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5， （3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 则x=2时，y=2或者﹣2； 当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； 当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； ∴a=或； 考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换 33．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）为庆祝年江西城市足球联赛（赣超）赣州队夺得冠军，某校宣传小组精心设计了一幅宣传图案，以绿茵场上的边界线为灵感，融入一横一竖两条宽度相等的彩条，既体现足球运动的秩序之美，又展现地方文化的活力．请结合数学知识，完成以下问题： （1）若图案设计为矩形（如图1），长，宽，彩条所占面积恰好为图案总面积的．设横、竖彩条的宽度均为，请列出关于的方程_____． （2）在（1）的基础上，为增强视觉动感，宣传小组将彩条形状改为平行四边形（如图2，方向与原矩形一致），图案外轮廓保持不变，横竖彩条宽度仍相等，求此时彩条的宽度． （3）为进一步突出“层次与进取”的主题，宣传小组将图案外轮廓优化为等腰梯形，下底，上底，高．横彩条位于中央两腰中点的连线处，象征团结协作；竖彩条贯穿上下底之间，体现奋发向上．若彩条宽度仍为，且彩条总面积小于图案面积的（横竖彩条面积不为0），求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，利用二次函数解一元二次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形，彩条所占面积=横彩条面积+竖彩条面积-中间重叠面积，根据此面积为图案总面积的列方程即可； （2）彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变，解出方程保留符合实际意义的解即可； （3）因为横彩条位于中央两腰中点的连线处，所以横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为，则横彩条面积，竖彩条面积，总彩条面积皆可表示，根据彩条总面积小于图案面积的列不等式，利用二次函数图象解不等式求得结果． (1) 小问详解： 解：由题意得： ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变，        （舍去） 答：此时彩条的宽度为； (3) 小问详解： 解：梯形面积：， 梯形的中位线长为， ∵横彩条位于中央两腰中点的连线处， ∴横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为， 则横彩条梯形的面积，    ∵竖彩条面积，    彩条重叠部分面积为，    ∴彩条总面积： ， ∵彩条总面积小于图案面积的， ∴ 令， ， 二次函数开口向上， ∴若， 则或 （舍去），    ∴的取值范围为． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1）， ∵，， ∴ ， ∴-1≤m≤0， 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质． 2．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且最高高度为，水柱落地处离池中心，则水管的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，利用顶点式求得抛物线的解析式，再令，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【详解】 解：由题意可知点是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为． ∵该抛物线过点， ∴， 解得：． ∴． ∵当时，， ∴水管应长． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质，勾股定理；过点作于点，分别在中，用勾股定理表示出，进而得出关于的函数的解析式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C． 5．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将铅球推出的距离是　　　　m． 【答案】 【分析】 令，解关于的一元二次方程，取的根即可； 【详解】 解：令，可得： 解得：（舍）， 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，令求得二次函数图像与轴的交点坐标是解题的关键． 7．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． （1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； （2）将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）由题意可得顶点的坐标为，点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，将点代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； （2）把代入（1）解析式可得，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 8．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个      【分析】 本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 9．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； （2）求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； （3）根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）；     （2）     （3）不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分．      【分析】 根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； (2) 小问详解： 由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）赣县田村黄元米果历史悠久，起源于唐朝，明朝正德年间被列为皇室贡品，是赣南特色美食代表．某作坊专营田村黄元米果，其进价为元/千克．市场调研发现：当销售单价定为元/千克时，平均每天可售出千克；销售单价每提高元，平均每天的销量就会减少千克．为规范市场定价，物价部门规定该米果的销售单价需高于元，且不超过元． （1）若该作坊希望每天获得元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/千克？ （2）当销售单价定为多少元/千克时，该作坊每天销售黄元米果所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）元     （2）销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握总利润单个的利润销售量． （1）设该天的销售单价应定为元，根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可； （2）设作坊每天销售利润为元，根据总利润单个的利润销售量，列出与的函数关系式，求出的最大值即可． (1) 小问详解： 解：设黄元米果的销售单价为元（）， 由题意可得，， 整理可得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴销售单价应定为元． (2) 小问详解： 解：设该作坊每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元． 11．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）， x（元kg） y（kg） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1）；     （2）当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；     （3）当时，日获利w不低于元．      【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案； （3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得： 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：由题意得： ∵，对称轴为直线． ∵， ∴当时，w有最大值为元 ∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元； (3) 小问详解： 解：当元时， 有：， 解得：或， ∵， ∴当时，， 又∵， ∴当时，日获利w不低于元． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用；理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 12．（25-26学年九上·江西赣州·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【答案】（1）y=120-x；（2）当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的. x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 【分析】（1）易证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形EGHF的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】根据已知条件易知：EF∥BC，AD⊥EF，PN=GH=ymm，DK=EG=xmm， ∴△AEF∽△ABC． 从而有,即, ∴y=120-x； （2）设矩形EGHF的面积为S，则S=xy， 即S=x（120-x）， 当x=-=40时，S有最大值为2400 此时y==60 ∴x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 故当矩形当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的.为正方形时S最大，这个说法是错误的. 【点睛】本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法. 13．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1：（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是                （填写正确结论的序号）． 探究2：（2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该二次函数上的一个不动点，求b、c满足的关系式． 探究3：（3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）② ③ ；（2）；（3）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等 【分析】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，令解方程即可求解． 【详解】 解：（1）① 对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ② 对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法正确； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：② ③ ； （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图像上的一个不动点， ∴； （3）根据题意得，， 令，得， 整理得， 解得，， 因为存在这样的x值，所以该函数是“不动点函数”．不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．       （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门     （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门      【分析】 （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； (2) 小问详解： 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示： 销售单价x（元/件） 55 60 70 … 销售量y（件） 70 40 … （1）直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式                 ； （2）求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？ （3）销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）元或元     （3）当销售单价为60时，利润最大，最大利润为1200元      【分析】 （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）设总利润为，求出与的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． (1) 小问详解： 解：设， 由题意，得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴销售单价定为元或元时，当天的销售利润是1050元； (3) 小问详解： 解：设总利润为，由题意，得： ； ∵，对称轴为直线：， ∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件， ∴， 即， ∴， ∴当时，利润最大为：； 答：销售单价定为元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键． 16．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）赣南脐橙果大形正，肉质脆嫩，风味浓甜芳香，深受大家的喜爱.某脐橙生产基地生产的礼品盒包装的脐橙每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱. （1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，每箱礼品盒包装的脐橙应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少? 【答案】（1）;（2）当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【分析】（1）通过理解题意，找出题目中所给出的函数关系，列出二次函数关系式； （2）通过二次函数最值的求法求最值解决问题. 【详解】解：（1）由题意得， 与x之间的函数关系式为； （2）设每天销售利润为w元， 据题意，得， 整理得， ∴当时，销售利润最大，此时元. 答：当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及二次函数求最值的方法，解题的关键在于对二次函数性质掌握的熟练程度． 错因分析 中等题.失分原因：（1）① 未能理解题意；② 一次函数的实际应用不熟练；（2）① 不能熟练掌握二次函数的性质；② 不能将二次函数应用到实际问题中. 17．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1）     （2）售价为元时，利润最大，最大利润是万元      【分析】 本题考查了二次函数的应用. （1）先用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于确定x的取值范围即可； （2）根据“利润销售量单件的利润”将（1）中的函数式代入其中，再确定利润和销售单件之间的关系式，最后根据二次函数的性质确定最大利润即可. (1) 小问详解： 解：设， 将，两点坐标代入该解析式得： ， 解得： ， ∴ ∵成本为每盒60元的土特产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40% ∴，即 ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设利润为，可得 ， 由于图像开口向下，对称轴为，取值范围在对称轴左侧，随得增大而增大， 所以当时，（万元）， 答：当售价为84元时，销售最大利润为864万元. 18．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）某商场销售儿童玩具，一天可售出20套，每套盈利30元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．若一套玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要商场每天盈利672元，则需降价多少元？ （3）当每套玩具降价多少元时，商场一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1）；     （2）需降价18元；     （3）当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润每套利润数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）根据题意得，解一元二次方程即可； （3）将二次函数配方后求最值即可． (1) 小问详解： 解：设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． 则， 即y关于x的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ， 答：若要商场每天盈利672元，则需降价18元； (3) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值为， 即当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 19．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【答案】（1）     （2）小球M能飞过这棵树      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 20．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； （2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 【答案】（1）     （2）不需要修建      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是∶ （1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点C的横坐标，即可判断． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：不需要修建， 理由如下： 把代入， 得， 解得，（舍去）， ∵， ∴不需要修建． 21．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）为了响应党中央的扶贫政策，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【分析】 （1）根据销量乘以每千克利润=总利润进而得出答案； （2）把（1）中所得二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质得出答案． 【详解】 解：（1）由题得出：， 故与的函数关系式为：； （2）， ∵，抛物线开口向下，且，得 ∴当时，有最大值，最大值为. 即该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用-销售问题，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 22．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）商城某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映：如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价为多少时，每星期所获利润最大？ 【答案】（1）；     （2）每件商品的售价为650元时，每星期所获利润最大．      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系式，本题属于中等题型． （1）根据题意给出的等量关系即可求出与的关系式． （2）根据题意列出与的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出的最大值． (1) 小问详解： 解：根据题意知，； (2) 小问详解： 解：设每星期所获利润为， 则 ， 因为 所以当时，取得最大值，最大值为625000， 答：每件商品的售价为650元时，每星期所获总利润最大． 23．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】（1）① ③ ； （2）； （3）水位超过了警戒线， 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：① ．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则② ，再联立① ② 解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】 解：（1）① 设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故① 正确； ② 设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故② 错误； ③ 直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③ 正确， 故答案为：① ③ ； （2）把代入得：① ． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴② ． 由① ② 可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）略 24．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】 （1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】 (1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得 ， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 25．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． （1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? （3）在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 【答案】（1）     （2）销售价格为75元时，销售利润最大，最大值为625元     （3） 解：如图，所以每件足球的销售价格x为时，w每天的销售利润在400元以上． 【分析】 本题考查了一次函数，二次函数的应用； （1）设一次函数的表达式为．待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据每件足球的利润乘以销售数量列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）根据题意画出函数图象，根据函数图象写出销售利润在400元以上时的自变量的范围，即可求解． (1) 小问详解： 解：设一次函数的表达式为． 将，代入得： ， 解得 ，即； (2) 小问详解： 解：由于每件足球的利润为， 所以每天的利润为：， 则当时，w取得最大值625， 答：销售价格为75元jf ,销售利润最大，最大值为625元； (3) 小问详解： 略 26．（25-26学年九上·江西上饶·期中）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】（1）     （2）当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元     （3）每周至少可获得3000元的利润．      【分析】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴ ． ∴ ． ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； (3) 小问详解： 解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 27．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．    （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）；     （2）水面的直径为     （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上．      【分析】 （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． (1) 小问详解： 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． (2) 小问详解： 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 28．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）某超市以每袋140元的价格购进一批香米，当每袋香米售价为180元时，每天可售出60袋．为了扩大销售，超市决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每袋香米降价1元，那么超市每天就可以多售出5袋． （1）当每袋香米售价下降多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）求每袋香米售价定为多少元时，每天销售香米所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元     （2）每袋香米售价定为166元时，最大值为3380元      【分析】 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用以及二次函数的应用．理解题意、正确列出代数式、一元二次方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每袋香米售价下降元，则每袋香米售价为元，每天能售出袋，列出方程，再解方程即可． （3）设香米每袋下降元，每天销售香米所获得的利润用表示，根据“总利润等于每件利润乘以销售量”列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的顶点坐标求最大值即可； (1) 小问详解： 解：设每袋香米售价下降元，则每袋香米售价为元，每天能售出袋， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (2) 小问详解： 解：设香米每袋下降元，则香米每袋售价为元，每天能售出袋，每天销售香米所获得的利润用表示， 则， ， 当时，即每袋香米售价定为166元时，有最大值，最大值为3380元． 29．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克． 小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价进价）×销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表： 销售单价（元） 10 11 13 销售量 300 ________ ________ 由表格可知销售量（千克）是销售单价（元）的________函数． （2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为元，求与的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） 填表如下： 一次     （2）当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．      销售单价（元） 10 11 13 销售量 300 250 150 【分析】 题目主要考查一次函数和二次函数的应用，理解题意，确定函数解析式是解题关键． （1）根据题意填表即可；再由待定系数法确定一次函数解析式即可得出结果； （2）根据（1）中结果得出，确定二次函数解析式，化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克， ∴以11元/千克的价格销售，那么每天售出250千克． ∵以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元， ∴以13元/千克的价格销售，那么每天售出：千克． 设， ∵，；，， ∴ ， 解得 ， ∴， 经检验：，也适合上述关系式， ∴． ∴销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数， 故答案为：一次； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，的最大值为800， 即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元． 30．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加利润，该商店采取了降价措施，在保障每件商品的利润不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得销售利润1050元，则每件商品应降价多少元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）5     （2）当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元      【分析】 本题考查了二次函数的销售利润，列代数式，二次函数的图象性质，一元二次方程的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，依题意得：，解出的值，即可作答． （2）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：， 因为，，当时，即有最大值，最大值为1200， (1) 小问详解： 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元， ， ， ，， ， ， ． 答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元； (2) 小问详解： 解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元， ， ，， 当时，即有最大值，最大值为1200， 答：当每件商品降价10元时，商店可获得最大利润，最大利润为1200元． 31．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在的函数关系． （1）若该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元     （2）售价为28元时，每天获利最大，最大利润为2210元      【分析】 本题考查了二次函数在实际销售利润问题中的应用． （1）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可； （2）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值． (1) 小问详解： 解：根据题意知， ， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元； (2) 小问详解： 解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， ∴在时，W随x的增大而增大， 时，W的最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 32．（25-26学年九上·江西宜春·期中）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式．    （1）求点的坐标和的值． （2）若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 【答案】（1）点的坐标为；     （2） 解：将代入可得：，故扣球不能过网； 由（1）可得，即二次函数的关系式为， 将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网； 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴落地点能在近网区内．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解此题的关键． （1）在中，当时，，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数关系式，计算即可得解； （2）将代入可得，故扣球不能过网；由（1）可得，即二次函数的关系式为，将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网；在中，令，则，解得或（不符合题意，舍去），估算出，即可得解． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将代入二次函数关系式可得：， 解得：； (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年九上·江西宜春·期中）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． （1）若矩形围栏面积为y，则_____（化为顶点式）；当____时，矩形围栏的最大面积为_____． （2）若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长． 【答案】（1），，     （2）栅栏的长米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据矩形的面积公式建立起函数关系式，再配方即可化为顶点式，再利用二次函数的性质求解； （2）根据题意得到方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，矩形围栏的最大面积为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由题意得， 解得，（不在范围内，舍去）， ∴栅栏的长米． 34．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）（多选）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为． （1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？ 【答案】（1）（）；（2）AB的长应为5m． 【分析】 （1）根据题意可以得到与的函数关系式以及的取值范围； （2）令代入（1）中的函数解析式，即可求得的值，注意的取值范围． 【详解】 （1）由题意可得， ， ∵ ， ∴， 即y与x之间的函数表达式是（）； （2）当时， ， 整理得： 解得，（舍去） 答：AB的长应为． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解一元二次方程，根据题意得出函数关系式是解决问题的关键． 35．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），，     （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近      【分析】 （1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． (1) 小问详解： 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 36．（25-26学年九上·江西南昌·期中）“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点(抛物线的顶点)到的距离为厘米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子吗？ 【答案】（1）     （2）罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． （1）根据题意，可以写出点和点的坐标，再根据点为抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式，即可得到抛物线的表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再求出这两个横坐标间的距离，再与比较大小即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 则， 解得： 抛物线的表达式为： (2) 小问详解： 将代入 解得： 罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子． 37．（25-26学年九上·江西南昌·期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，取最大值为      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：． （1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式； （2）设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； (1) 小问详解： 解：设， 将代入， ． 解得： ． ； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为元． 则可得 ， 当时，取最大值为， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 38．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】（1）     （2） 能．理由如下； 当x=14时，<3， ∴水流能碰到这棵果树．      【分析】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的应用是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为．设水流形成的抛物线为，将点代入，可求，进而可得抛物线解析式； （2）当x=14时，<3，进而可证水流能碰到这棵果树． (1) 小问详解： 解：由题可知，抛物线的顶点为． 设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线为； (2) 小问详解： 略 39．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为     （2）     （3）      【分析】 本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； (2) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ （2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降元．在不考虑其他因素的条件下，当定为多$ 专题03 二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的概念和性质，掌握二次函数最高次数为2，当，函数图像开口向上，当函数图象开口向下是解题的关键． 根据二次函数的定义，指数必须为2，且二次项系数小于零． 【详解】 由题意，函数为二次函数，故指数，解得， 又图象开口向下，故二次项系数，因此． 故答案为：． 2．【答案】2π 【详解】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π. 3．【答案】a＞2 【分析】利用二次函数图像的性质直接求解. 【详解】解:∵抛物线的开口向上， ∴a-2>0， ∴a＞2， 故答案为a＞2. 【点睛】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键. 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．C 12．A 13．D 14．B 15．C 16．A 17．C 18．D 19．A 20．B 21．D 22．D 23．B 24．A 25．A 26．B 27．D 28．【答案】 【分析】 根据二次函数顶点式顶点坐标：，直接进行作答即可． 【详解】 解：的顶点坐标为：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数顶点式的顶点坐标．熟记顶点式的顶点坐标为：是解题的关键． 29．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律，上加下减进行求解即可． 【详解】 解：将抛物线向上平移1个单位，所得抛物线解析式为； 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接运用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：∵函数可化为， ∴二次函数的图象顶点坐标是． 故答案为． 32．【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】 本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】 解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 33．【答案】 【分析】 根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】 解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”；根据平移规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据“左加右减”，解析式变为 ； 再向下平移4个单位长度，根据“上加下减”，解析式变为 ； 化简得； 故答案为 ． 36．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移变换，根据“上加下减”的原则，向上平移5个单位即在函数解析式后加5，即可得出答案． 【详解】 解：将原二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新函数解析式为： ， 化简得：． 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是二次函数的图象与平移，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与平移． 根据二次函数图象平移规律即可得解． 【详解】 解：将抛物线向下平移个单位，得； 再向左平移个单位，得， 得到的抛物线的解析式是 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质． 分别把和代入，求出，，即可求解． 【详解】 解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 39．【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【分析】 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】 二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】 此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 40．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为进行作答即可． 【详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移． 根据函数图象平移规律即可得平移后的函数解析式． 【详解】 解：将函数的图象先向左平移3个单位长度，可得， 将函数的图象向下平移5个单位长度，可得， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】 解：将抛物线 向右平移2个单位长度，得 ； 再向下平移1个单位长度，得 ； 化简得 ； 故答案为： ． 43．【答案】 【分析】 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则． 44．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：由抛物线向上平移个单位， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】 解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】 解：平移后的解析式为， 故答案为： 47．【答案】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：把抛物线向下平移2个单位得，再向右平移1个单位，得． 考点：抛物线的平移． 48．【答案】 【分析】 此题考查比较函数值大小，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越远，函数值越小 【详解】 由抛物线解析式可知， 二次项系数，因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 点在对称轴上，故为最大值， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 由于开口向下，函数值随距离增大而减小， 因此， 故 49．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，分别把点A、B坐标代入计算，然后进行比较即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象上有两点，， ∴， ， 比较 和 ： 由于 ， 因此 ， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，当时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，点离对称轴越远，函数值越大． 【详解】 解：二次函数（）的对称轴为，顶点为． 由于，函数开口向上，顶点处函数值最小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 因此，最小，次之，最大． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 11．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．D 17．C 18．C 19．A 20．D 21．A 22．B 23．D 24．D 25．B 26．D 27．B 28．B 29．A 30．D 31．C 32．B 33．D 34．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 35．【答案】（1，﹣2） 【详解】 解：∵=， ∴顶点的坐标是（1，﹣2）． 故答案为（1，﹣2）． 36．【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质．先根据得出开口向上，在对称轴处取得最小值，对称轴为直线，故把代入，求出的值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴开口向上，在对称轴处取得最小值， 则对称轴为直线， ∴把代入，得， 故答案为：5． 37．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为     （2）当时，的取值范围为      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数和二次函数，牢记二次函数的性质是解题的关键． 根据直线的图象过点可求得的值，根据二次函数的图象过点，可求得的值． 【详解】 ∵直线的图象过点， ∴ ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴． ∴． 39．【答案】（1）1     （2）6      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据轴对称的性质，得出，，把点代入，求出即可； （2）先求出点，作于点，则，根据三角形面积公式求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象交轴于，两点，抛物线的对称轴为轴， ∴A、B关于y轴对称， ∵， ∴，， 把点代入，得， 解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）知， 当时，， 点， 如图，作于点，则， ． 40．【答案】（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【分析】 （1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ， 该抛物线的顶点坐标为． 42．【答案】 【分析】 将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解． 【详解】 解：∵， ∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点， 此时，， 即定点A的坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键． 43．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； (3) 小问详解： 解：观察图象可知，当时，或； (4) 小问详解： 解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 44．【答案】（1）顶点坐标为     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点和， ∴ ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解： 将代入得， ． 45．【答案】10 【分析】据题意可知此函数的对称轴为x=1，把x=1代入对称轴公式x=，得，解方程可求k． 【详解】解：∵当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小， ∴函数的对称轴为x=1， 根据对称轴公式x=，即， 解得k=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的图象的增减性是解题的关键． 46．【答案】 【分析】 将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可． 【详解】 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键． 47．【答案】（1），，；     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把分别代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． （2）先由（1）得，，开口向上，结合表格数据，当时，，即可得出当时，x的取值范围是或． (1) 小问详解： 解：依题意，把分别代入， 得 ， 解得 ， ∴， 依题意，把代入， 得， 即． (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∵， ∴开口方向向上， 结合表格数据，得当时，， ∵抛物线的开口方向向上， 故当时，x的取值范围是或． 48．【答案】（1），     （2）①的最大值为；② 点坐标为      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． （1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）① 设直线解析式为，将代入可求得即解析式为．设，则,根据，即可求解； ② 过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； (1) 小问详解： 解：由表格信息可知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为 将点代入得：， 解得 故抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：① 设直线解析式为 将代入得 ， 解得 即解析式为． 设，则, ∴ 故当时，的最大值为． ② 过作于点，设，则 由得：为中点，即 ∵， ， 即 将点坐标代入抛物线解析式得： 整理方程得：， 解得（舍去）， 故点坐标为． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给二次函数解析式，得出抛物线的对称轴，再根据A，B，C三个点离对称轴的远近及抛物线的开口方向即可解决问题． 【详解】 解：因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 因为A，B，C三个点都在抛物线上，且三个点坐标分别为， 所以，且， 所以． 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数值的大小比较． 通过直接计算二次函数在给定点的函数值，比较大小即可． 【详解】 解：对于点，代入函数： ； 对于点，代入函数： ； ∵， ∴． 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．由给定的顶点式可直接得出函数的最大值． 【详解】 ∵，二次项系数， ∴函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴最大高度为34米． 故答案为：34． 52．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程和二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）运用配方法进行变形即可． (1) 小问详解： 解：， ． ， ，． (2) 小问详解： 解：． 53．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、将二次函数解析式化为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式即可得解． 【详解】 解：把代入，得：， 解得：， ， 顶点的坐标为． 54．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过计算点A和点B的纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】 解：对于点A，当时，； 对于点B，当时，； 则， 所以； 故答案为． 55．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数对称轴公式进行求解即可． 【详解】 解：对于二次函数 ，其中，，代入对称轴公式得： ， ∴对称轴为直线； 故答案为． 56．【答案】（1）二次函数解析式为； 结合表格中的数据，作图如下：      （2）21     （3）1或6      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法即可得二次函数解析式，再画出函数图象即可； （2）依据题意，结合（1），可得顶点坐标为，进而可以作图得解； （3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为，故此时对称轴是直线，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，， 把，，代入，得： ， 解得 ∴二次函数解析式为； ∴， ∴抛物线顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由图象知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴在时，当时有最小值，为0； 当时有最大值，为， ∴最大值与最小值的差为； (3) 小问详解： 解：由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为． ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ① 当时，即，在范围内随的增大而增大， 当时取最小值，为； 当时取最大值为； 差值为：， 解得：； ② 当（即）时，最小值在对称轴，为； 最大值在或处， 当时，，； 当 时， 差值为：或 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； ③ 当（即）时，在范围内随的增大而减小， 当时取最大值，为； 当时取最小值为； 差值为：， 解得：； 综上，的值为1或6． 57．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移规律，利用已知点坐标代入解析式建立方程求解参数以及掌握“左加右减、上加下减”的平移法则是解题的关键． （1）将抛物线与  轴交点和点代入解析式，通过解方程组求出和，即可得到抛物线的解析式； （2）根据“左加右减、上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将点 代入，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：把点，代入，得 ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：依题意，平移后的抛物线为：， 把代入，得 ， 解得． 58．【答案】（1）     （2）     （3）的最大值为；的面积为      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为， 则 ， ∴ ， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的解析式求解与最短路径问题（利用抛物线对称性转化线段），解题关键是通过抛物线对称轴转化线段，结合两点之间线段最短求最值． （1）把已知点的坐标代入中可求出的值； （2）抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图，先解方程得，，再确定，求出抛物线的对称轴为直线，接着根据两点之间线段最短得到此时的值最小，然后求出的长即可． (1) 小问详解： 把代入得， 解得， ． (2) 小问详解： 抛物线解析式为 抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图， 当时，， 解得 ， 当时，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 此时的值最小， ， 的最小值为． 60．【答案】（1），     （2）存在，或或或      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，得 解得 ∴该抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． (2) 小问详解： 存在． 设所在直线的表达式为， 将点，代入，得 解得 ∴所在直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即或． 解，得，； 解，得，， ∴点的坐标为或或或． 61．【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入，将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； (1) 小问详解： 当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0． 62．【答案】（1）     （2）最小值为      【分析】 本题考查了抛物线解析式的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握抛物线的表达式形式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的交点式，结合与坐标轴的交点坐标，代入求解得到抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，结合抛物线的开口方向与对称轴，分析给定区间内函数的增减性，进而求出函数的最小值． (1) 小问详解： 解：与轴交于、两点，与y轴交于点， 解得： 故该抛物线的解析式是． (2) 小问详解： 解：， 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，时取得最小值． 63．【答案】（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2 【详解】 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴ ， 解得 ； （2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2. 64．【答案】（1），     （2）     （3），，      【分析】 （1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）由对称轴知，，得；当取最小值时，周长最小．，当三点共线时，取最小值，相应的周长最小．进而求得； （3）设点P的坐标为，则，，分情况讨论① 若，② 若，③ 若，分别构建方程求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ，解得 ∴抛物线解析式为 令，解得 ∴． 由直线经过两点，得 ，解得 ∴直线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图， ∵是抛物线的对称轴， ∴点关于直线对称． ∴． ∴． 当取最小值时，周长最小． 如图，， 当三点共线时，取最小值，相应的周长最小． 时，． ∴ (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为，则， ， ① 若，则，解得 ∴点的坐标为． ② 若，则，解得或． ∴点的坐标为． ③ 若，则，解得或 ∴点的坐标为    综上，点的坐标为，，． 【点睛】 本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键． 65．【答案】（1），；     （2）或．      【分析】 本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，进而化为顶点式可知顶点坐标； （2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象分别经过点，， ∴ ， 解得 ， 函数的解析式， ∴顶点坐标； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为，， 由图象可得当时，或． 66．【答案】（1）如图1，直线为所作；     （2） 如图2，直线为所作． 【分析】 （1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴； （2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了画二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性、矩形的性质等知识是解题的关键． 67．【答案】（1）     （2） 该抛物线是由抛物线经过向上平移个单位得到．       【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键； （1）根据抛物线的形状，开口方向、对称轴与相同，设出解析式，代入点，即可求出解析式． （2）由抛物线的顶点式即可求得顶点坐标，根据左加右减，上加下减可得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 略 68．【答案】或或 【分析】 令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论．本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ． 点的横坐标为2 ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且 ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ． ③ 当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 69．【答案】或或 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可求出其高为3，从而点C的纵坐标为3或，再代入二次函数解析式求解横坐标． 【详解】 解：作于点H，等边三角形的边长为， ， 则其高， ∵线段在轴上， 因此点C的纵坐标为3或， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：，即， 解得， 此时点C坐标为， 当点C的纵坐标为时，代入得：， 整理得：， 解得或， 此时点C坐标为或， 故答案为：或或． 70．【答案】（1） 解：如图，      （2）2，2.5     （3）     （4） 解：排球能过球网. 理由如下： 当x=9时，， ∵， ∴排球能过球网．      【分析】 （1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接； （2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度； （3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案； （4）根据y与x的函数解析式，令x=9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵当x=0时，y=2， ∴击球点的高度为2米； 由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米； (3) 小问详解： 解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴设y与x的函数解析式为， ∵当x=0时，y=2， ∴， 解得：， ∴； (4) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 71．【答案】（1）①3；1② 点Q的坐标为；（2）当点M由点B运动到点C时，；（3） 【分析】 （1）根据图② 的函数图象可知，结合等边三角形的性质可求，再将代入，可求点Q的坐标； （2）过点N作于点E．分别讨论两种情况，当点M在上运动时，设，当点M在上运动时，设．结合含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，求出二次函数的解析式； （3）将代入，得．并解不等式，求出的取值范围． 【详解】 解：（1）① 由题图② 的函数图象可知，当点M与点B重合时，点M运动的路程为3，即． 由等边三角形的性质可得． 又 ， 即时， ． 故答案为：； ② 将代入，得， 点Q的坐标为． （2）当点M由点B运动到点C时，如图① ，过点N作于点E． ， ， ， ． 当点M在上运动时，． ， ； 当点M在上运动时，． ， ． 综上所述，当点M由点B运动到点C时，． （3）由（2）可知，当时，y关于x的函数图象如图② 所示． 将代入，得． 令，解得（负值已舍去）． 令，解得或（负值已舍去）， 结合函数图象可知，的取值范围为． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 72．【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【分析】 （1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】 解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 73．【答案】（1）点C的坐标为或或或；     （2）13      【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可； （2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； (2) 小问详解： 解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 74．【答案】（1）     （2）这艘轮船不能通过这座拱桥      【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式及二次函数与一元二次方程的关系． （1）先根据拱桥的实际情况确定抛物线的顶点坐标与x轴交点坐标，设抛物线的顶点式，把A点坐标代入所设解析式，得到关于a的方程，求解a的值，进而确定函数解析式； （2）由题意知，将代入已求出的抛物线解析式中，求解得到的一元二次方程并得出对应的x值，计算两个x值的差，得到在高度为12米处拱桥可通过的宽度，最后比较该宽度与轮船宽度的大小，若大于等于轮船宽度则能通过，反之则不能通过． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ∴，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴． (2) 小问详解： 解：对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘轮船不能通过这座拱桥． 75．【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，利用图表中数据分析得出对称轴是解题关键． 直接利用图表中数据进而结合二次函数对称性分析得出对称轴以及的取值范围． 【详解】 解：和时的函数值相同， 此二次函数图像的对称轴为直线，顶点为，有最大值为4， 图像开口向下， 当以及时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 76．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， 解得， 的值为； (2) 小问详解： 解：当时，， 把代入可得． 77．【答案】（1） 对称轴为直线 ，顶点坐标为      （2） 的取值范围为 或       【分析】 本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质． 把点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标； 求出当和时对应的值，再根据二次函数的增减性，确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴的交点为，， ， 解得： ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 当时，， 抛物线顶点的坐标是； (2) 小问详解： 解：二次函数开口向上，对称轴为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 当时，或， 当时， 可得：或． 78．【答案】（1），，；     （2）点D坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 79．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查二次函数的应用，求二次函数解释式，求二次函数顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，，当时 代入求得函数解析式； （2）求的顶点坐标，S的最大值即为所求． (1) 小问详解： 解： ， 当时，，当时 ，代入得：    解得 ∴函数解析式为：； (2) 小问详解： 解： ， ∵， 当时，S最大， 米． 因此，飞机着陆后滑行 米才能停下来． 80．【答案】（1）     （2）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意可得 ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； (3) 小问详解： 秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 81．【答案】（1）①，；② 二次函数点“影差”有最大值为4     （2）c的值为1或3      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）① 根据题意可得经过，，把，代入二次函数即可解答；② 根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； （2）由题意求出，由点与点的“影差”相等，得到，把代入，可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． (1) 小问详解： 解：① 根据题意可得经过，， 把，代入二次函数可得， ，解得 ， ∴，； ② 二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为4； (2) 小问详解： 解：令，可得， ∴， ∵点M与点N的“影差”相等， ∴，把代入， 可得：， ∵， ∴，即， ∴设二次函数图象上任一点为， ∵“影差”最小值为， ∴的最小值为， 则可得，，即， 解得，， 故c的值为1或3． 82．【答案】，当时，y随x的增大而增大 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的增减性，解题的关键是根据已知得到关于m的不等式和方程．根据二次函数的定义可知且，得出函数解析式，即可解答． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 则且， 解得：， 将代入原函数解析式可得， 则当时，y随x的增大而增大． 83．【答案】（1）① ③     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． （1）根据“纵三倍点”的定义，可设“纵三倍点”的坐标为，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）设交点坐标为，把代入可得交点的坐标为，再把代入可得，然后联立得：，根据抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，可得，可求出m的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：设“纵三倍点”的坐标为， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点” ； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上的“纵三倍点”为 或； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点”； 故答案为：① ③ (2) 小问详解： 解：∵该交点是“纵三倍点”， 可设交点坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴交点的坐标为， 把代入得： ， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， 解得：， 此时， ∴抛物线解析式为． 84．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质并结合图像求解是解题关键． （1）把点，分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可． （2）根据二次函数的性质得出不等式求解即可； （3）结合函数图像即可得出结果． (1) 小问详解： 解：把点，分别代入，得 ， 解得 ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方， ∴的解集为或． 85．【答案】 【分析】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性． 根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案． 【详解】 解：， 对称轴为直线， 的对称点坐标为， ， 抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 86．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）已知顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式的形式，然后利用待定系数法求出的值即可得出答案，根据顶点坐标确定，的值，并掌握待定系数法是解题关键； （2）先求出抛物线与轴的交点，即可得到时，的取值范围． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴即; (2) 小问详解： 解：当时，， 因式分解，得， ． 抛物线与轴的交点分别为，， 由图象得，当时，． 87．【答案】 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，结合抛物线的对称性可得二次函数的图象对称轴为直线，且与x轴的另一个交点的坐标为，求出另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】 解：∵二次函数的部分图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 88．【答案】（1） 证明：这个方程根的判别式为 ， 所以无论为任何实数，此方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的对称性，熟练掌握一元二次方程和二次函数的性质是解题关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，由此即可得证； （2）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性可得，则，代入计算即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入得：， ∴这个二次函数的对称轴为直线， ∵点与点在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴． 89．【答案】（1）；     （2） 二次函数的图象如图所示： ；      （3） 如图所示． 【分析】 本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，掌握二次函数的图像与性质．学会利用数形结合是解题的关键． （1）用配方法可以得到解答； （2）根据二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据二次函数的性质画出图象即可； (1) 小问详解： 解： 即 (2) 小问详解： 解： ∴顶点坐标为． 当时，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． (3) 小问详解： 解：函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后变为： ，即； 90．【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 91．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则米． (1) 小问详解： 解：箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， 抛物线的顶点为， ， 抛物线经过点， ， 解得， ； (2) 小问详解： 令， 解得或（舍， （米， 人离壶的距离为米． 92．【答案】（1）     （2）点的坐标为，该面积的最大值为     （3）或      【分析】 （1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得一个点的坐标；然后延长至点，使得，连接，先求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得另一个点的坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入得： ， 解得 ， 所以抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意，设点的坐标为， 如图，过点作轴，交直线于点，则， ∴， 联立 ，解得 或 ， ∴，， ∴，的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为，该面积的最大值为． (3) 小问详解： 解：将代入得：， 解得或， ∴， ∴， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴此时点的坐标为； 如图，延长至点，使得，连接， ∴，点是的中点， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 93．【答案】（1）；     （2）点的坐标为；     （3）① 点的坐标为；②的最大值为．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）① 当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ② 作轴交于点，由① 知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：① ∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立 ，解得 或 ， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ② 作轴交于点，由① 知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 94．【答案】（1）；     （2），；     （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组 ， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值．      【分析】 本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到 ，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． (1) 小问详解： 解：把点和点的坐标代入， 得到： ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； (3) 小问详解： 略 95．【答案】（1）     （2）①，② 5      【分析】 （1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． (1) 小问详解： 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． (2) 小问详解： 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得 解得 ， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式 ， 解得 或 ， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 96．【答案】或或 【分析】 本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【详解】 解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ① 当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ② 当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③ 当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 97．【答案】（1）直线；直线；直线     （2）抛物线恒过两个定点，定点坐标为，；     （3）点M的坐标为．      【分析】 （1）根据对称轴公式，代入数据求解即可； （2）二次函数整理得，当时，取值与无关，解方程即可证明； （3）设，则，由，结合平行线的性质推出，得到，利用两点之间的距离公式列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为，对称轴为直线； 当时，抛物线，对称轴为直线； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线；直线；直线； (2) 小问详解： 证明：， 当时，取值与无关，， 解得，， ∴抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； (3) 小问详解： 解：当时，抛物线的解析式为， 令，则， 令，则， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴点M的坐标为． 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合问题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 98．【答案】（1），     （2）米     （3）根      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质并正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，得到A、B的坐标，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将二次函数转化为顶点式，利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出x的值，进而确定可以搭建支架的土地面积，再乘以5即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得点，， 把点，代入得 ，解得，． (2) 小问详解： 解：由， 可知当时，有最大值， 故大棚的最高处到地面的距离为米． (3) 小问详解： 解：令，则有， 解得，． 又， 大棚内可以搭建支架的土地的宽为5米． 又大棚的长为14米， 需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）， 故共需要准备竹竿（根）． 答：共需要准备竹竿根． 99．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）P点的坐标为（，）；（3）N的坐标为：（2，），（，3）或（，3） 【分析】 （1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由△PBC的面积=S△PHB+S△PHC，即可求解； （3）分AC是边、AC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【详解】 解：（1）设抛物线的解析式为（a≠0）， ∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点在抛物线上， ∴ ， 解得： ． ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，作PE⊥AB于E交BC于D点， 设BC的解析式为， 把B（4，0）代入得， 解得：． ∴BC的解析式为， 设P点的坐标为（m，），D（m，）， ∴， ∴ ， 当时，S的值最大，此时， ∴P点的坐标为（，）． （3）存在．如图2所示， ① 当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线，且C（0，-3），CN1∥AM1， ∴N1（2，）； ② 当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO， ∴，即N2点的纵坐标为3． ∴， 解得：，， ∴N2（，3），N3（，3）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为： （2，），（，3）或（，3）． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 100．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：① 当点与点重合时，满足为等腰三角形，② 当时，过点作于点，如图，③ 当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，当时，， ∴，   点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． (3) 小问详解： 解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ② 当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图，   ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 101．【答案】（1）     （2）的最大面积为，     （3）存在，或或，      【分析】 （1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ (3) 小问详解： 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵ ， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵ ， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】 题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 102．【答案】（1）     （2）或     （3）存在，，的最小值为      【分析】 （1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； (3) 小问详解： 存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 103．【答案】（1）；     （2）点D的坐标为，面积的最大值；     （3）或或．      【分析】 本题二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形在坐标系中的点的坐标特点． （1）将点A、B两点代入抛物线解析式，求得a，b的值，进一步得出结果； （2）作于D，交于E，连接，，作于F，可求得，从而得出要使最大，只需的面积最大，设，，从而表示出，进一步得出结果； （3）分为：当时，根据平行四边形和点坐标的关系得出N的横坐标为：，进而求得结果；当时（图中），同样方法得出结果；当（图中），类似方法得出结果． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点，， 且点的坐标为，点的坐标为， ∴将点A和点B坐标代入得， ， 解得 ， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 作于H，交于E，连接，，作于F，如图1， ∵， 令，， ∴， 设直线的解析式为：， 将和代入， ， 解得 ， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴点D的坐标为，面积的最大值； (3) 小问详解： 如图2， 当时， ∵， ，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 综上所述：或或． 104．【答案】（1） 如图，所在直线即为所求；      （2） G点即为所求． 【分析】 本题主要考查了基本作图——线段的垂直平分线，二次函数的图象和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握抛物线的对称性． （1）根据抛物线的对称轴性，延长相交于点，点在的垂直平分线上，再根据抛物线的对称性，可得点在线段的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线即可求解； （2）根据抛物线的对称性以及垂直，得出四边形为矩形，对角线的交点在线段的垂直平分线上，再根据抛物线的对称性，延长相交于点，点在线段的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线，该直线与抛物线的交点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 105．【答案】（1）① 4；②     （2）     （3）      【分析】 （1）①根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，抛物线经过原点和，结合动点的运动轨迹可得的长度；②设顶点式，用待定系数法求解即可； （2）由（1）得，则，过作交延长线于， 证明，得到，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，随的增大而增大，则点，在线段上，点在点右边，设，结合和对称轴可得，，再代入对应的解析式解方程化简，最后整体代换求出面积即可． (1) 小问详解： 解：① ∵抛物线经过原点且顶点为， ∴抛物线对称轴为直线，且过原点， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，， 此时点在点，， 故答案为：4； ② ∵抛物线经过原点且顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 在（1）的条件下， 则， 过作交延长线于， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴， 又∵的对称轴为直线， ∴， 即， 设，，， ∵这三个位置对应的面积均相等， ∴， 化简得， 即， 此时面积为， 综上所述，此时它们的面积为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，结合图形分析题意及整体代换思想的应用是解题的关键． 106．【答案】（1）顶点的坐标为     （2）① 抛物线的解析式为 ② 解析式为或      【分析】 （1）已知抛物线与轴的两交点的横坐标分别是和1，设抛物线解析式的交点式，再配方为顶点式，可确定顶点坐标； （2）① 设与抛物线对称轴的交点为，先运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，即可得到的长，然后由列出方程，解方程求出的值，即可确定抛物线的解析式； ② 先运用勾股定理的逆定理判断出在中，利用三角函数求出．设向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点，直线与轴交于点．根据正切函数的定义求出．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2① ，点的坐标为，（Ⅱ）如图2② ，点的坐标为．针对这两种情况，都可以先求出点的坐标，再得出的值，进而求出平移后抛物线的解析式． (1) 小问详解： 解：（1）抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， ， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 如图1，① 设与抛物线对称轴的交点为． 抛物线与轴交于点， 点坐标为． 设直线的解析式为：， 则： ， 解得： ， 直线的解析式为：， 点的坐标为：， ， ， ，解得， 抛物线的解析式为； ②， 顶点的坐标为，， ， ，，， ， ， ， ， ． 如图2，设向右平移后的抛物线解析式为，两条抛物线交于点，直线与轴交于点． ， ，则点的坐标为或． 分两种情况： （Ⅰ）如图2① ，当点的坐标为时，易求直线的解析式为， 由 ，解得 ， （舍去）， 点坐标为，， 将点坐标，代入， 得， 解得，（舍去）， 平移后抛物线的解析式为； （Ⅱ）如图2② ，当点的坐标为时，易求直线的解析式为， 由 ，解得 ， （舍去）， 点坐标为，， 将点坐标，代入， 得， 解得，（舍去）， 平移后抛物线的解析式为； 综上可知，平移后抛物线的解析式为或． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用． 107．【答案】（1），     （2）两人说法都正确， 把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确；     （3）①；②或     （4）      【分析】 （1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）① 先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；② 如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴ ， 解得： ， ∴为； ② 如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， (4) 小问详解： 解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 108．【答案】（1）①；②或；     （2） 解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的性质； （1）① 当时，代入解析式，得出，进而得出解析式； ② 令，得出，则抛物线与轴的交点问和，根据题意可得点在轴的上方，根据抛物线开口向上，进而即可求解； （2）将代入，根据，得出，进而得出抛物线的对称轴且，根据可得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ② 令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； (2) 小问详解： 略 109．【答案】（1）     （2）①，②抛物线与y轴交点纵坐标的最小值     （3）时，四边形为正方形．      【分析】 （1）由点和可知抛物线的对称轴为，结合抛物线，列出方程求解即可； （2）由（1）得抛物线， ①根据平移后顶点位置得顶点的横坐标为m，顶点的纵坐标为，结合平移的性质求得抛物线； ②根据交点坐标的求法得交点纵坐标的值为，利用二次函数性质求得最小值即可； （3）首先求得，由折叠求得抛物线，联立求得和，同时求得，利用两点之间的距离求得，和，结合正方形的性质得，解得，经检验即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知点和关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线， ① ∵平移后抛物线顶点的横坐标为m，抛物线的顶点在直线上， ∴平移后抛物线顶点的纵坐标为， ∵平移抛物线，得到抛物线， ∴抛物线； ②抛物线， ∵抛物线与y轴交点纵坐标的值为， ∴抛物线与y轴交点纵坐标的最小值； (3) 小问详解： 解：四边形为正方形，理由如下， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线， 联立得 ，解得，，， ∵A在B的左侧， ∴，， ∵抛物线的顶点为Q， ∴， 则， ， ， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，，，和符合题意， 综上所述，时，四边形为正方形． 【点睛】 本题主要考查二次函数和几何的结合，涉及二次函数的性质、二次函数的平移、二次函数的翻折、正方形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉正方形的性质和二次函数的翻折． 110．【答案】（1）     （2）存在，     （3）或或      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 代入，得： ， 解得： ； ∴此函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； (3) 小问详解： 如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 111．【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目定义直接写出解析式； （2）①根据题目定义写出解析式②由垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，可知关于抛物线对称轴对称，则，由知直线在P点下方且在抛物线顶点上方，据此可求出取值范围，则题目所求可得； （3）因为抛物线顶点在第一象限角平分线上，故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标，讨论a取不同值时抛物线与四边形的图形的交点个数，从而确定满足题意的a 的取值范围，则b的取值范围可求． 【详解】 解：（1）根据定义：“倍方函数”为． 代入，，得： ． 故答案为：； （2）① ∵函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，        ∴； ②令，得， ∴， 令，得， 解得， ∵与坐标系横轴右侧交点为， ∴， 设解析式为，代入，， ， 解得 ， ∴解析式为， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴直线在抛物线顶点上方， ∵顶点坐标为， 当，时代入， ， 此时 ∵与直线交于点，且， ∴直线在P点下方， 当时，代入，得， ∴此时， ∴， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意，函数解析式为， 且其顶点在第一象限角平分线上， 故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标， ∵直线与线段交点为， 故当时，如图，抛物线与四边形的图形有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当抛物线过时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 将代入，得， 解得（舍） 故当时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 综上所述，当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 即， 即． 112．【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2），，；（3）定值，1；（4）或． 【分析】 （1）利用证全等即可； （2）分类讨论点的对应点恰好落在坐标轴上时的位置，再利用全等三角形的性质求解即可； （3）过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，得到利用全等的性质列式运算即可； （4）分类讨论和的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：由题意可作图： ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴点，， ∵正方形绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在坐标轴上， ① 当点的对应点在轴正半轴时，过点作轴于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ② 当点的对应点在轴负半轴时，则， ∵， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ③ 当点的对应点在轴负半轴时，过点作于点，过点作于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ∴综上点的对应点的坐标为：，，； （3）为定值，理由如下： 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：① 点和点都在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 点和点都在轴左边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ③ 当点在轴左边，点在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 综上所述：或． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 113．【答案】（1）①．②     （2）的最大值为     （3）点的坐标为：或      【分析】 （1）① 先求出点C的坐标，然后将，代入求出 ，再求出结果即可； ② 根据根与系数的关系得出，，然后求出结果即可； （2）设，则，，得出，根据二次函数最值求出结果即可； （3）过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足为点，证明，得出，，从而得出，代入抛物线解析式得出，求出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得： ， ∴； ② 设正比例函数与二次函数联立方程组得 ， 即， 整理得：， ， 解方程组 得：， 整理得：， ， ． (2) 小问详解： 解：由（1）知的表达式为，的表达式为， 设，则，， 故， 即的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点， 设，由旋转得，， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足为点，如图所示， ， ， ， ， ，， ， 将点代入， 得， 整理得：， 即， 解得：， 或； 综上，所有符合条件的点的坐标为：或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，根与系数的关系，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 114．【答案】（1）     （2）或     （3）图象顶点横坐标的取值范围：      【分析】 （1）将点、的坐标分别代入函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）满足，则点到的距离与点到的距离相等； （3）设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：，由题意易得直线，设图象顶点为，然后进行分类求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入抛物线的解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：如图1， 由（1）可知：抛物线的解析式为：， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当在直线的左侧时， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， 方程组无解， 不在直线的左侧， 当在直线的右侧时，在轴上取点M，使，分别过点O、M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 过点作直线交抛物线于点， 同理可求直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ， ∴或； (3) 小问详解： 解：设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：， 又， 同理可得直线， ∵图象顶点在直线上， ∴设图象顶点为， 如图2， 由点与的坐标关系，得到点的对应点，即， 由可得直线， 当点在直线上时，， ， 此时点K的横坐标为， ∴点在线段上， 如图3， 设图象所在抛物线方程为：，点为直线与抛物线的交点，则点的坐标满足下列方程组： ， 点的横坐标是方程：的解， 整理得：， 当图象与直线相切时有：， 解得：， ∴方程为， 解得：， ，（在线段上）， ∴图象顶点横坐标的取值范围：． 【点睛】 主要考查了二次函数综合题型，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线与轴的交点坐标，需令，代入解析式计算的值即可． 【详解】 解：把，代入得： ， 故与轴的交点坐标为． 故答案为：． 9．【答案】4 【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，由可得，求解，，再进一步解答即可． 【详解】 解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 10．【答案】或或 【分析】 本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 11．【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）运用待定系数法将A（-3，0）、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出b，c的值； （2）根据x轴上的点的纵坐标为零，令，求出的值即可得出B的坐标，结合图像，直接写出当时，x的取值范围即可． 【详解】 解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入得： ， 解得： ， ∴b，c的值分别为2，-3； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）， 由图象可知当时，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题． 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了求二次函数的解析式及其图象与x轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的表达式为，然后将点代入求解即可； （2）令，求解方程即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得， 此抛物线与x轴的交点坐标为，． 14．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．【答案】直线 【分析】 本题考查了根据一元二次方程的解求二次函数的对称轴． 由根与系数的关系可知，进而根据二次函数的对称轴为直线计算即可． 【详解】 解：由根与系数的关系可知，方程的两根之和为， 则二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意设，则把点代入进行求解即可； （2）由（1）可得点B坐标，然后根据函数图象可进行求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意设，则把点代入得： ，解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：令时，则有， ∴， ∴由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为； (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为． 18．【答案】 【分析】 将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】 解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 19．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键； （1）令得，求解方程即可得解； （2）把代入解析式即可解答． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或． 20．【答案】（1）     （2）或      【分析】 此题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称性，利用函数图象解不等式等知识，数形结合是关键． （1）根据对称性求出抛物线与轴的另一交点，据此即可得到答案； （2）根据开口方向和与轴交点的横坐标进行解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线， 设另一交点为， 则，解得， 所以方程的两个根为 (2) 小问详解： 由图抛物线开口向下，与轴交于和， 所以当或时，， 即不等式的解集为或 21．【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 22．【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题主要考查了求解二次函数与坐标交点的问题，根据图象求解自变量取值范围，注重数形结合的思想是解答本题的关键． （1）令，得到一个一元二次方程，解方程后，随即可得到，的坐标；令，则有，即可得到点坐标，问题得解； （2）运用数形结合思想，可知时自变量取值范围为：二次函数图象在轴上方时自变量的取值范围，据此即可作答． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得，， 根据点在点左侧，可得，， 令，则有， 则点的坐标为． 答：点，，的坐标为，，． (2) 小问详解： 解：当时，二次函数图象在轴上方， 此时的取值范围为或． 答：当时，的取值范围为或． 23．【答案】① ④ 【分析】 根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，由此即可判断① ；由抛物线的对称轴为直线，可得，即可判断② ；求得抛物线与x轴的另一个点为，代入二次函数的解析式可得，可判断③ ；根据直线与二次函数有两个交点即可判断④ ． 【详解】 解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴， ，， ∴；结论① 正确； 二次函数的对称轴为直线， ，结论② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为， 则与x轴的另一个点为， ∴，结论③ 错误； 由函数图象可知，二次函数的最小值小于0， ∴直线与二次函数有两个交点， ∴关于的方程，有两个不相等的实数根，结论④ 正确； 故答案为：① ④ ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出的数量关系，本题属于基础题型． 24．【答案】（1）抛物线的解析式为；     （2）或      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． （1）把和代入，建立方程组求解解析式即可； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点和． ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴， 解得：，， 如图，当时， ∴或． 25．【答案】（1）     （2） 描点、连线画出如下函数图象，      （3）① 函数的最小值为；时，y随x的增大而增大；②或      【分析】 本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）当时，代入计算即可求解； （2）描点即可画出函数图象； （3）① 根据函数图象，任意指出函数的两条性质即可；② 关于的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点，观察图象即可求解． (1) 小问详解： 解：当时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：① 函数的最小值为；时，y随x的增大而增大； ② 关于x的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点， 观察图象，当或时，函数的图象与有2个交点， 故关于x的方程有2个实数根时，或， 故答案为：或． 26．【答案】或或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．函数图象与轴有且只有一个交点，需分二次函数和一次函数两种情况讨论：当二次项系数不为零时，判别式等于零；当二次项系数为零时，一次函数需保证一次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】 解：函数的图象与轴有且只有一个交点，即方程 有且只有一个实数根， 当时，函数为二次函数，判别式， 解得或； 当时，即，函数变为，为一次函数，且一次项系数，与 轴有一个交点，满足条件； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 27．【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：，即． (2) 小问详解： 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 28．【答案】1 【分析】 根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案． 【详解】 ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0， 解得：k=1， 故答案为：1 【点睛】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键． 29．【答案】（1）；     （2）2．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入求解即可； （2）令时，则，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象过点 ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， 令时，则， 解得：，， ∴． 30．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得解； （2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象分别经过点，． ∴ ， 解得 函数的解析式； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为，， 由图象可得当或时，， 故答案为：或． 31．【答案】（1）② ③     （2）     （3）点的纵坐标为或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，得到，，求出点坐标，待定系数法求出点的值，求出函数解析式，再令，求出点的纵坐标即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为分数，不是整数， 故① 不是完美抛物线； ② 当时，解得； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 故② 是完美抛物线； ③， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 当时，解得或； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； 故③ 是完美抛物线； 故答案为：② ③ ； (2) 小问详解： ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ∴，解得， ∴； (3) 小问详解： ∵“完美抛物线”与抛物线开口大小一样， ∴， ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为或，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，解得， 当时，解得 ∴或 ∴当时，或； 故点的纵坐标为或． 32．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）；对称轴为x=2；（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）② y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或 【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点； （2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折理论即可解题； （3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题 【详解】（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴对称轴为x=2； ∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5； ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5， 整理得：y=ax（x﹣4）﹣5； ∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5； ∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）； ②这两个点连线为y=﹣5； 将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变； ∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5， （3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 则x=2时，y=2或者﹣2； 当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； 当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； ∴a=或； 考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换 33．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，利用二次函数解一元二次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形，彩条所占面积=横彩条面积+竖彩条面积-中间重叠面积，根据此面积为图案总面积的列方程即可； （2）彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变，解出方程保留符合实际意义的解即可； （3）因为横彩条位于中央两腰中点的连线处，所以横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为，则横彩条面积，竖彩条面积，总彩条面积皆可表示，根据彩条总面积小于图案面积的列不等式，利用二次函数图象解不等式求得结果． (1) 小问详解： 解：由题意得： ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变，        （舍去） 答：此时彩条的宽度为； (3) 小问详解： 解：梯形面积：， 梯形的中位线长为， ∵横彩条位于中央两腰中点的连线处， ∴横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为， 则横彩条梯形的面积，    ∵竖彩条面积，    彩条重叠部分面积为，    ∴彩条总面积： ， ∵彩条总面积小于图案面积的， ∴ 令， ， 二次函数开口向上， ∴若， 则或 （舍去），    ∴的取值范围为． 考点05 实际问题与二次函数 1．D 2．C 3．C 4．C 5．【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 令，解关于的一元二次方程，取的根即可； 【详解】 解：令，可得： 解得：（舍）， 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，令求得二次函数图像与轴的交点坐标是解题的关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）由题意可得顶点的坐标为，点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，将点代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； （2）把代入（1）解析式可得，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 8．【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个      【分析】 本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 9．【答案】（1）；     （2）     （3）不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分．      【分析】 根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； (2) 小问详解： 由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 略 10．【答案】（1）元     （2）销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握总利润单个的利润销售量． （1）设该天的销售单价应定为元，根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可； （2）设作坊每天销售利润为元，根据总利润单个的利润销售量，列出与的函数关系式，求出的最大值即可． (1) 小问详解： 解：设黄元米果的销售单价为元（）， 由题意可得，， 整理可得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴销售单价应定为元． (2) 小问详解： 解：设该作坊每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元． 11．【答案】（1）；     （2）当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；     （3）当时，日获利w不低于元．      【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案； （3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得： 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：由题意得： ∵，对称轴为直线． ∵， ∴当时，w有最大值为元 ∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元； (3) 小问详解： 解：当元时， 有：， 解得：或， ∵， ∴当时，， 又∵， ∴当时，日获利w不低于元． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用；理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 12．【答案】（1）y=120-x；（2）当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的. x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 【分析】（1）易证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形EGHF的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】根据已知条件易知：EF∥BC，AD⊥EF，PN=GH=ymm，DK=EG=xmm， ∴△AEF∽△ABC． 从而有,即, ∴y=120-x； （2）设矩形EGHF的面积为S，则S=xy， 即S=x（120-x）， 当x=-=40时，S有最大值为2400 此时y==60 ∴x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 故当矩形当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的.为正方形时S最大，这个说法是错误的. 【点睛】本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法. 13．【答案】（1）② ③ ；（2）；（3）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等 【分析】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，令解方程即可求解． 【详解】 解：（1）① 对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ② 对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法正确； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：② ③ ； （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图像上的一个不动点， ∴； （3）根据题意得，， 令，得， 整理得， 解得，， 因为存在这样的x值，所以该函数是“不动点函数”．不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 14．【答案】（1），球不能射进球门     （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门      【分析】 （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； (2) 小问详解： 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．【答案】（1）     （2）元或元     （3）当销售单价为60时，利润最大，最大利润为1200元      【分析】 （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）设总利润为，求出与的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． (1) 小问详解： 解：设， 由题意，得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴销售单价定为元或元时，当天的销售利润是1050元； (3) 小问详解： 解：设总利润为，由题意，得： ； ∵，对称轴为直线：， ∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件， ∴， 即， ∴， ∴当时，利润最大为：； 答：销售单价定为元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键． 16．【答案】（1）;（2）当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【分析】（1）通过理解题意，找出题目中所给出的函数关系，列出二次函数关系式； （2）通过二次函数最值的求法求最值解决问题. 【详解】解：（1）由题意得， 与x之间的函数关系式为； （2）设每天销售利润为w元， 据题意，得， 整理得， ∴当时，销售利润最大，此时元. 答：当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及二次函数求最值的方法，解题的关键在于对二次函数性质掌握的熟练程度． 错因分析 中等题.失分原因：（1）① 未能理解题意；② 一次函数的实际应用不熟练；（2）① 不能熟练掌握二次函数的性质；② 不能将二次函数应用到实际问题中. 17．【答案】（1）     （2）售价为元时，利润最大，最大利润是万元      【分析】 本题考查了二次函数的应用. （1）先用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于确定x的取值范围即可； （2）根据“利润销售量单件的利润”将（1）中的函数式代入其中，再确定利润和销售单件之间的关系式，最后根据二次函数的性质确定最大利润即可. (1) 小问详解： 解：设， 将，两点坐标代入该解析式得： ， 解得： ， ∴ ∵成本为每盒60元的土特产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40% ∴，即 ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设利润为，可得 ， 由于图像开口向下，对称轴为，取值范围在对称轴左侧，随得增大而增大， 所以当时，（万元）， 答：当售价为84元时，销售最大利润为864万元. 18．【答案】（1）；     （2）需降价18元；     （3）当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润每套利润数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）根据题意得，解一元二次方程即可； （3）将二次函数配方后求最值即可． (1) 小问详解： 解：设每套玩具降价x元时，商场一天可获利润y元． 则， 即y关于x的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ， 答：若要商场每天盈利672元，则需降价18元； (3) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值为， 即当每套玩具降价元时，商场一天可获最大利润，最大利润为元． 19．【答案】（1）     （2）小球M能飞过这棵树      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 20．【答案】（1）     （2）不需要修建      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是∶ （1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点C的横坐标，即可判断． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：不需要修建， 理由如下： 把代入， 得， 解得，（舍去）， ∵， ∴不需要修建． 21．【答案】（1）；（2）该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【分析】 （1）根据销量乘以每千克利润=总利润进而得出答案； （2）把（1）中所得二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质得出答案． 【详解】 解：（1）由题得出：， 故与的函数关系式为：； （2）， ∵，抛物线开口向下，且，得 ∴当时，有最大值，最大值为. 即该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用-销售问题，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 22．【答案】（1）；     （2）每件商品的售价为650元时，每星期所获利润最大．      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系式，本题属于中等题型． （1）根据题意给出的等量关系即可求出与的关系式． （2）根据题意列出与的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出的最大值． (1) 小问详解： 解：根据题意知，； (2) 小问详解： 解：设每星期所获利润为， 则 ， 因为 所以当时，取得最大值，最大值为625000， 答：每件商品的售价为650元时，每星期所获总利润最大． 23．【答案】（1）① ③ ； （2）； （3）水位超过了警戒线， 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：① ．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则② ，再联立① ② 解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】 解：（1）① 设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故① 正确； ② 设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故② 错误； ③ 直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③ 正确， 故答案为：① ③ ； （2）把代入得：① ． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴② ． 由① ② 可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）略 24．【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】 （1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】 (1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得 ， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 25．【答案】（1）     （2）销售价格为75元时，销售利润最大，最大值为625元     （3） 解：如图，所以每件足球的销售价格x为时，w每天的销售利润在400元以上． 【分析】 本题考查了一次函数，二次函数的应用； （1）设一次函数的表达式为．待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据每件足球的利润乘以销售数量列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）根据题意画出函数图象，根据函数图象写出销售利润在400元以上时的自变量的范围，即可求解． (1) 小问详解： 解：设一次函数的表达式为． 将，代入得： ， 解得 ，即； (2) 小问详解： 解：由于每件足球的利润为， 所以每天的利润为：， 则当时，w取得最大值625， 答：销售价格为75元jf ,销售利润最大，最大值为625元； (3) 小问详解： 略 26．【答案】（1）     （2）当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元     （3）每周至少可获得3000元的利润．      【分析】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴ ． ∴ ． ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； (3) 小问详解： 解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 27．【答案】（1）；     （2）水面的直径为     （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上．      【分析】 （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． (1) 小问详解： 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． (2) 小问详解： 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 28．【答案】（1）当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元     （2）每袋香米售价定为166元时，最大值为3380元      【分析】 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用以及二次函数的应用．理解题意、正确列出代数式、一元二次方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每袋香米售价下降元，则每袋香米售价为元，每天能售出袋，列出方程，再解方程即可． （3）设香米每袋下降元，每天销售香米所获得的利润用表示，根据“总利润等于每件利润乘以销售量”列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的顶点坐标求最大值即可； (1) 小问详解： 解：设每袋香米售价下降元，则每袋香米售价为元，每天能售出袋， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当袋香米售价下降16元或12元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (2) 小问详解： 解：设香米每袋下降元，则香米每袋售价为元，每天能售出袋，每天销售香米所获得的利润用表示， 则， ， 当时，即每袋香米售价定为166元时，有最大值，最大值为3380元． 29．【答案】（1） 填表如下： 一次     （2）当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．      销售单价（元） 10 11 13 销售量 300 250 150 【分析】 题目主要考查一次函数和二次函数的应用，理解题意，确定函数解析式是解题关键． （1）根据题意填表即可；再由待定系数法确定一次函数解析式即可得出结果； （2）根据（1）中结果得出，确定二次函数解析式，化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克， ∴以11元/千克的价格销售，那么每天售出250千克． ∵以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元， ∴以13元/千克的价格销售，那么每天售出：千克． 设， ∵，；，， ∴ ， 解得 ， ∴， 经检验：，也适合上述关系式， ∴． ∴销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数， 故答案为：一次； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，的最大值为800， 即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元． 30．【答案】（1）5     （2）当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元      【分析】 本题考查了二次函数的销售利润，列代数式，二次函数的图象性质，一元二次方程的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，依题意得：，解出的值，即可作答． （2）设每件商品降价元，商店可获得利润为元，根据题意得：， 因为，，当时，即有最大值，最大值为1200， (1) 小问详解： 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元， ， ， ，， ， ， ． 答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元； (2) 小问详解： 解：设每件商品降价元，商店可获得利润为元， ， ，， 当时，即有最大值，最大值为1200， 答：当每件商品降价10元时，商店可获得最大利润，最大利润为1200元． 31．【答案】（1）该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元     （2）售价为28元时，每天获利最大，最大利润为2210元      【分析】 本题考查了二次函数在实际销售利润问题中的应用． （1）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可； （2）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值． (1) 小问详解： 解：根据题意知， ， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为20元； (2) 小问详解： 解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， ∴在时，W随x的增大而增大， 时，W的最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 32．【答案】（1）点的坐标为；     （2） 解：将代入可得：，故扣球不能过网； 由（1）可得，即二次函数的关系式为， 将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网； 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴落地点能在近网区内．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解此题的关键． （1）在中，当时，，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数关系式，计算即可得解； （2）将代入可得，故扣球不能过网；由（1）可得，即二次函数的关系式为，将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网；在中，令，则，解得或（不符合题意，舍去），估算出，即可得解． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将代入二次函数关系式可得：， 解得：； (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1），，     （2）栅栏的长米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据矩形的面积公式建立起函数关系式，再配方即可化为顶点式，再利用二次函数的性质求解； （2）根据题意得到方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，矩形围栏的最大面积为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由题意得， 解得，（不在范围内，舍去）， ∴栅栏的长米． 34．【答案】（1）（）；（2）AB的长应为5m． 【分析】 （1）根据题意可以得到与的函数关系式以及的取值范围； （2）令代入（1）中的函数解析式，即可求得的值，注意的取值范围． 【详解】 （1）由题意可得， ， ∵ ， ∴， 即y与x之间的函数表达式是（）； （2）当时， ， 整理得： 解得，（舍去） 答：AB的长应为． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解一元二次方程，根据题意得出函数关系式是解决问题的关键． 35．【答案】（1），，     （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近      【分析】 （1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． (1) 小问详解： 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 36．【答案】（1）     （2）罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． （1）根据题意，可以写出点和点的坐标，再根据点为抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式，即可得到抛物线的表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再求出这两个横坐标间的距离，再与比较大小即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 则， 解得： 抛物线的表达式为： (2) 小问详解： 将代入 解得： 罩子下面不能放下个直径为厘米，高度为厘米的盘子． 37．【答案】（1）     （2）当时，取最大值为      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：． （1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式； （2）设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； (1) 小问详解： 解：设， 将代入， ． 解得： ． ； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为元． 则可得 ， 当时，取最大值为， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 38．【答案】（1）     （2） 能．理由如下； 当x=14时，<3， ∴水流能碰到这棵果树．      【分析】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的应用是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为．设水流形成的抛物线为，将点代入，可求，进而可得抛物线解析式； （2）当x=14时，<3，进而可证水流能碰到这棵果树． (1) 小问详解： 解：由题可知，抛物线的顶点为． 设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线为； (2) 小问详解： 略 39．【答案】（1）喷出水的最大射程为     （2）     （3）      【分析】 本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； (2) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 40．【答案】（1）甲商品的进货单价为2元，乙商品的进货单价为3元     （2）当定为0.5元时，利润最大，每天的最大利润是1900元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价为y元，根据信息1，2，3列出方程组，解之即可； （2）设每天销售甲、乙两种商品获取的利润为W元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质可求解． (1) 小问详解： 解：设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价为y元， 由题意可得： ， 解得： ， ∴甲商品的进货单价为2元，乙商品的进货单价为3元； (2) 小问详解： 解：由题意可得：甲商品的零售单价为3元，乙商品的零售单价为5元， 设每天销售甲、乙两种商品获收的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1900， 答：当m定为0.5元时，利润最大，每天的最大利润是1900元． 41．【答案】（1）     （2）元      【分析】 （1）设y与x的函数表达式为，根据待定系数法即可求解； （2）设这周该商场销售这种产品获得的利润为，根据某周的销售量不少于800件可得的取值范围，再列出关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：设y与x的函数表达式为， 把，代入得， ， 解得 ， ∴y与x的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：设这周该商场销售这种产品获得的利润为， ∵销售量不少于800件， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴在对称轴直线左侧，函数值随自变量x的增大而增大， ∴时，有最大值，最大值为（元）， ∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为32000元． 42．【答案】（1）     （2）     （3）有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动．      【分析】 本题主要考查用代数式表示式、一元二次方程的应用、不等式组的应用、列函数关系式等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据题干条件可得自行车车库由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车库不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车库面积为关于车库宽度为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可列出不等式组，再解不等式组，然后结合实际需要进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵搭建自行车车库为矩形，车库宽度为xm，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由（1）可得，车库面积为：， 由题意得到 ，解得， ∴． (3) 小问详解： 解：有必要，理由如下： 由（1）可得： ，解得：或（不符合题意舍去）， 当时，． ∴机动车停车位向外移动． ∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 43．【答案】【猜想】：描点，连线，画图如下： 一次，二次； 【检验】：，， 验证：当时，，符合题意； 验证：当时，，符合题意； 【应用】：最大为 【分析】 本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】 解：【猜想】：猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得 ， 解得： ， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得 ， 解得 ， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 44．【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）或 【分析】 （1）先表示出，再利用可得，于是可利用交点式表示解析式，得到，所以，解得，所以抛物线解析式为； （2）把二次函数写成顶点式，得到D点坐标，设出直线的解析式，将两点坐标代入，可得直线解析式，分别利用各自的解析式写出交点E的坐标表达式，利用两点间公式可得到二次函数，求出最值即可； （3）分三种情况求出m的值． 【详解】 （1）当时，，则， ， ， ， ，解得（舍去）或， 代入二次函数解析式中， ； （2）抛物线， 顶点D的坐标为． 设直线的解析式为， ， ， 解得： ， 直线的解析式为． 设点E的横坐标为m， ， ， 当时，最大值为1． （3）的图象由平移得到， 表达式可设为，对称轴是直线； ① 若，则时函数值最大，把代入， 解得，不合题意，舍去； ② 若，则时函数值最大， 把代入，解得， ； ③ 若，则时函数值最大， 把代入， 解得 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质（对称性、增减性）等知识点，较难的是题（3），利用二次函数的性质正确分三种情况讨论是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $