专题02 一元二次方程（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B 11．C 12．B 13．D 14．A 15．A 16．B 17．D 18．C 19．A 20．C 21．D 22．A 23．C 24．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】 解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 25．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解的定义列出关于a的方程，解之即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键． 直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程的一个根是1， ， 解得：． 故答案为：． 27．【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．由解的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵的一个解为t， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 28．【答案】 【分析】 一元二次方程（是常数且）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：整理成一般形式后，得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 29．【答案】0 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式． 根据一元二次方程的一般形式（其中），一次项系数是项的系数．在方程中，没有一次项，因此一次项系数为 0． 【详解】 解：方程可化为，所以一次项系数是0． 故答案为：0． 30．【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入方程求解未知数． 根据一元二次方程解的定义，把代入给定的一元二次方程，得到关于的一元一次方程，进而求解的值． 【详解】 解：将代入方程，可得： 解得： 故答案为：5． 31．【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入方程得到 的值，然后整体代入多项式求值． 【详解】 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义，是解题的关键．将根代入原方程，求解的值即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根是5， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 故答案为：5． 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 35．【答案】1或 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．把代入方程中，得到关于的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】 解：把代入方程中， 得：， 解得：，， 所以的值为1或， 故答案为：1或． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，将已知根代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值． 【详解】 解：因为关于x的一元二次方程有一个根为2， 所以将代入方程，得，即， 所以， 解得． 故答案为：4． 37．【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【详解】 解：原式 ； ∵是方程的解， ∴，即， ∴原式． 38．【答案】2027 【分析】 本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 39．【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 40．【答案】（1）     （2）     （3）2025      【分析】 （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． (1) 小问详解： 解：根据新定义，方程的倒方程是：； (2) 小问详解： 解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； (3) 小问详解： 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 41．【答案】， 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】 解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 42．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】 解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 考点02 配方法 1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．C 12．【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】 解：∵ 而， ∴① 当时，则有， 解得，； ② 当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．【答案】x1＝，x2＝﹣ 【分析】根据一元二次方程的解法，变形，直接开平方即可得解． 【详解】3x2=6， x2=2. 故答案为x1＝，x2＝﹣. 【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 15．【答案】（1）② ④     （2）     （3）1      【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：② ④ (2) 小问详解： 解：∵，可配方成（，为整）， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 16．【答案】（1） 解：∵， ∴二次根式恒有意义；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的性质，配方法：根据完全平方公式为，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键． （1）将配方即可解答． （2）化简，配方后的，即可解答； （3）设最佳值为，根据前6次数据的得到的最佳值为4，得出其与前6个数据的差的平方和可表示为，同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为，化简得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 而， 故当时，有最小值为； (3) 小问详解： 解：设最佳值为， ∵前6次数据的得到的最佳值为4， ∴其与前6个数据的差的平方和可表示为， 同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为， ∴； 故当时原式取得最小值， 所以最佳值应为． 17．【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）① 矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】 本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）① 根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；② 根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】 解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）① 根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 18．【答案】（1）转化思想， （或填完全平方公式）     （2）三     （3）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据方程解答过程回答即可； （2）第三步配方时，当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，据此回答即可； （3）根据方程解答过程回答即可； (1) 小问详解： 解：小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想； （或填完全平方公式）． (2) 小问详解： 解：当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，即， 故上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三． (3) 小问详解： 解：正确的解是： 解：． 二次项系数化为1，得    移项，得 配方，得，即 开方，得 ． 19．【答案】（1）② ；（2）5；（3）2022． 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】 解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 考点03 公式法 1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．A 10．A 11．A 12．D 13．B 14．A 15．B 16．B 17．C 18．【答案】（1）     （2） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根；     （3）9      【分析】 本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式： （1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴“勾系一元二次方程”为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 19．【答案】（1） ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求参数，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，得，即可作答． （2）理解题意，将代入方程，解得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，将代入方程中， 得， 解得：． 20．【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 21．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴，则方程有两个不等的实数根， ∴， ∴． 22．【答案】（1）     （2）原方程无实数根      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 即； (2) 小问详解： 解：， ， ， 所以，原方程无实数根． 23．【答案】4 【分析】 若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】 解：于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m的最大整数解是m=4． 故答案为m=4． 【点睛】 考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 24．【答案】是直角三角形，面积为6 【分析】 本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】 解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为． 所以其面积． 25．【答案】且 【分析】 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 26．【答案】（1）且     （2），或      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． (1) 小问详解： 解：根据题意得，且， 解得且； (2) 小问详解： 解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 27．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）公式法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 开平方，得， 解得：，； (2) 小问详解： ， ，，， ， ，． 28．【答案】(1) -i   ,   1   ;(2) 5   , 3+4i ; (3) x=-1,y=2 (4)   i   (5) x1= i   , x2= i 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1计算即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式把原式展开，根据i2=﹣1计算即可； （3）根据复数相等的条件解答即可； （4）充分利用i2=﹣1计算，分子分母同时乘以（1+i）即可； （5）计算出△=－3，根据虚数单位的定义即可求解． 【详解】解：（1）i3=i2×i=－i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故答案为﹣i； 1； （2）① （2+i）（2－i）=4－i2=4+1=5； ② （2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i； （3）根据复数相等的条件，得： ， 解得： ； （4）== ==i； （5）x2﹣2x+4=0， x= = = ， x1= ，x2=． 【点睛】本题考查的是虚数单位的定义、完全平方公式以及一元二次方程的解法，掌握i2=﹣1、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 29．【答案】（1）k＞﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-3）2+4k＞0，然后解不等式即可； （2）将k=4代入方程，因式分解法求出方程的根即可． 【详解】（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣； （2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0， 则（x+1）（x﹣4）＝0， ∴x+1＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 30．【答案】（1） 证明： ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 31．【答案】（1），     （2）当时，原式；当时，无意义      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入（1）中的值计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， 当时，原代数式无意义， 当时，原式． 32．【答案】二 【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根可得判别式小于零，从而求出的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限． 【详解】 解：∵ 一元二次方程 没有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 一次函数 中，斜率，截距， ∴直线经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 33．【答案】（1）     （2），；，      【分析】 此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据对称方程的定义可得方程的“对称方程”是； (2) 小问详解： 解：由移项，得． 关于的方程与互为“对称方程”， ，，解得，， 化为， 解得，． 34．【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为，k的值为      【分析】 根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 35．【答案】（1）（答案不唯一）     （2） 证明：由题意可知，“直系一元二次方程”的， ， ， 关于x的“直系一元二次方程”必有实数根；     （3）      【分析】 本题是新定义：“直系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意直角三角形三边的关系，任意写出一个“直系一元二次方程”即可； （2）计算并变形可得：，可得结论； （3）将代入方程，可得，从而可得，然后根据分别求出的值，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：如， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：是“直系一元二次方程”的一个根， ，即， ，等式两边同时平方得， 化简得， 由题意得， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 36．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 分两种情况讨论：当时，方程变为一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式求解． 【详解】 解：当，即时，方程为，解得，有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，判别式， 由得，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 37．【答案】（1） 证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 39．【答案】（1）或     （2） 证明：∵， ∴， ∴关于x的“经典方程”必有实数根；     （3）      【分析】 （1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过O作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”，、， ∴， ∴， ∴这个“经典方程”为或， 故答案为：或； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过O作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于x的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．【答案】 【详解】 解：． 9．【答案】  【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解的方法求解是解决本题的关键． 将方程整理为，因式分解求解即可． 【详解】 解：方程为， 整理可得， 整理可得， 解得 故答案为： ． 10．【答案】（1）      （2） ，.      (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 或 解得 ，． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 12．【答案】-2 【分析】 根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可． 【详解】 解：∵是“凤凰”方程， ∴，即， ∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：直接开平方，得 解得， (2) 小问详解： 解： 解得，． 14．【答案】0，-3 【分析】 利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可. 【详解】 x2＋3x＝0 x（x+3）=0 x=0或x+3=0 解得x1＝0，x2＝－3. 故答案为x1＝0，x2＝－3. 【点睛】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式. 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：，． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解：整理为一般式，得：， ，，， ， 则， 即，． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 或 解得； (2) 小问详解： 解： 或 解得 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19．【答案】（1）；     （2）；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴；； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：；． 20．【答案】（1），     （2） 证明：∵四边形是菱形． ，， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据平方差因式分解即可得出解； 对于（2），先根据菱形的性质得，，再根据“角角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． (1) 小问详解： 解：， ， ，， 解得：，； (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择正确解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得 (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 22．【答案】（1）；（2）且 【分析】 本题考查了解一元二次方程以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，注意计算的准确性即可； （1）因式分解法解即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 解得：； （2）∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有实数解， ∴， 解得：； ∴且； 23．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握求解方法是解题关键． （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴ ∴，， (2) 小问详解： ∴ ∴， ∴，， 24．【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式和解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法是解题的关键，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将二次函数与一次函数联立，即可得到答案． 【详解】 解：∵在上， ∴ 解： ， ∴ ∵， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．【答案】（1）证明：∵，、分别是、边上的中点， ∴， ∵、、分别是、、边上的中点， ∴与为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）， 【分析】 本题考查了正方形的判定，中位线的性质，以及一元二次方程的求解，解决本题的关键是先证明四边形是菱形；使用提取公因式的方法求解一元二次方程． （1）根据中点可得四边形的四边相等，再由即可证明正方形． （2）先移项，再提取公因式，由此可求解． 【详解】 （1）略 （2）解： 移项可得 提取公因式， 即， 解得，． 26．【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 则， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 解得． 28．【答案】3或或3 【分析】 本题考查相反数的定义、解一元二次方程．根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并求解一元二次方程． 【详解】 解：∵代数式与互为相反数， ∴ ， 即 ， ， 解得：或． 故答案为：3或 29．【答案】1 【分析】 先将变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 30．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法求解即可． （2）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：，． 31．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：， 整理得， 开方得， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 32．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】 解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 33．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）将方程移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，． 34．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 35．【答案】 【分析】 把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】 把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据菱形性质得出，平分，求出，即可求出面积． (1) 小问详解： 解：， ∴， 则或， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， 所以菱形的面积为． 37．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ∴，． 38．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 把常数项移到等号的右边，然后等号的两边同时加，可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，再把等式的两边同时开平方，可得：，等式的两边同时加求出方程的解； 把整体作为一个因式，提公因式可得：，根据两数的积为，则这两个因数中至少有一个为，可得：或，解两个一元一次方程可求方程的根． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ，． 39．【答案】或或 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，分为如图，当时，如图，当或时两种情况，通过矩形的判定与性质，勾股定理分别求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图，当或时，过作于点，则， 同理可得：四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：，， ∴或， 同理：或， 综上可得：的值为或或， 故答案为：或或． 40．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可证明结论； （2）把代入求出k即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 把代入得： ， 即， 解得：或． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，直接开平方法及因式分解法，直接开平方法是利用平方根的性质求解，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这两种方法简便易用，是解一元二次方程常用的方法． （1）先移项得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 所以； (2) 小问详解： 解： 或， 所以，． 42．【答案】（1）解：直角三角形，理由: ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的根，直角三角形的判定，等边三角形的性质，掌握根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当是等边三角形，则， ∴，即， ， ， 解得：． 43．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解决问题的关键． （1）根据因式分解求解一元二次方程即可； （2）移项，提取公因式，再根据因式分解求解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 即， 或， 解得或； (2) 小问详解： 解：移项， 即， ， 或， 解得或． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程． （1）利用判别式计算即可； （2）已知根代入方程求出a的值，再解方程求另一个根． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：∵是方程的一个根， ∴， ， ， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根是． 45．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过因式分解法将方程变形，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用因式分解法把方程分解为两个一次因式的乘积，进而求解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ∴． 46．【答案】（1），     （2），      【分析】 （）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 47．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解： ∴ ∴，． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键． （1）先移项，再把方程的左边分解因式，求解即可； （2）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， 移项得：， ∴， ∴或 解得： (2) 小问详解： j解：， ∴， ∴或， 解得：． 49．【答案】（1），另一个根为3     （2） 证明： ， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式： （1）把代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）利用一元二次方程根的判别式，即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得：， ∴原方程为， 解得：， 即另一个根为3； (2) 小问详解： 略 50．【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ∴或． 故答案为 或． 51．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解， ， 则，即， ， ； (2) 小问详解： 解：， 移项，得， 因式分解，得， ， 解得． 52．【答案】 【分析】先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】x3-3x=x（x2-3）， =． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； (2) 小问详解： 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 54．【答案】（1）1，2     （2） 解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：小涵的解法中，因为可能为 0 ， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第 2 步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第 2 步； 故答案为：1；2； (2) 小问详解： 略 55．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴，． 56．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， ，． 57．【答案】或2 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，将2阶行列式化成一元二次方程是解题的关键． 根据2阶行列式的定义，将已知行列式表达式转化为关于x的一元二次方程，然后通过移项、化简和因式分解求解即可． 【详解】 解：由2阶行列式的定义，得 ， ∵ ∴ 移项整理得，即， 因式分解得 所以或． 故答案为：或2． 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： 或 ∴ (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 60．【答案】3 【分析】 根据一元二次方程的定义可得m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0，再解方程即得答案． 【详解】 解：由题意，得：m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0， 解方程m2﹣5m+8=2，得m1=2（舍去），m2=3， 所以m的值是3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，一元二方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 61．【答案】（1），     （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴ 则或， 解得， (2) 小问详解： ∴ 则或， 解得， 62．【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 63．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是明确解一元二次方程的方法．同时考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据根的判别式得到，然后解方程即可求解． 【详解】 （1）解： ； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系列出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为：． 8．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 9．【答案】2 【分析】 先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 10．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根是，由题意可得，求解即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】 解：设另一个根是， 由题意可得：， ∴，即另一个根是， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 13．【答案】6 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 14．【答案】（1）当时，方程有两个实数根；     （2）．      【分析】 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可； （2）利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值． (1) 小问详解： 解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴当时，方程有两个实数根； (2) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 15．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【详解】 解：由根与系数的关系，得 ，， ． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 17．【答案】（1）；（2）存在，m=-1 【分析】 （1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，则，然后解方程后利用（1）中的范围确定的值． 【详解】 解：（1）根据题意得△， 解得； （2）存在． 根据题意得，， ， ， 即， 整理得，解得，， ； 的值为． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，，再代入变形后的式子，可得到关于k的方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，． ∵， ∴． 20．【答案】（1）     （2）方程的另一个根为，      【分析】 本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】 解：由是一元二次方程的两个实数根，可知：， ∴； 故答案为． 22．【答案】12 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知条件求解． 【详解】 解：设一元二次方程 的两根为 和 ， ∴根据根与系数的关系，有，， 代入已知条件 ，得 ， 解得：， 故答案为：12． 23．【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，并根据方程根的定义进行代换求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5 24．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 25．【答案】2019 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，依题意，得，，则，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵m、n分别是方程的两个根， ∴，， 即， ∴． 故答案为：2019． 26．【答案】6 【详解】根据，是一元二次方程的两根，由根与系数的关系可以求得a2b +ab2的值． 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴a+b=3，ab=2, ∴a2b +ab2 =ab(a+b)=2×3=6． 27．【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 28．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 29．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 30．【答案】（1）方程是“倍根方程”     （2）代数式的值为或     （3）m的值为13或      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，然后求出，再计算对应的m的值即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． (2) 小问详解： 解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． (3) 小问详解： 解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； (2) 小问详解： 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：方程有实数根， ， 即， 解得：． (2) 小问详解： 解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． 33．【答案】（1）     （2）①；②，      【分析】 （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点M的坐标； （2）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，， ∴方程的衍生点M的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 解：关于x的方程， ，，， ∴， ∴， ∴，， ∴方程的衍生点M为； ② ∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点M始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 【点睛】 本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 34．【答案】（1）     （2）22或37      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，二元一次方程组的应用，完全平方公式等知识． （1）根据根与系数的关系即可求出结论； （2）设，，，，然后得出m，n的二元一次方程组求解得出m和n的值，最后把数值代入完全平方公式变形后的数字计算即可． (1) 小问详解： 解：∵已知方程的两根分别为、， ∴， ∴ (2) 小问详解： 解：设，， ，， ∴ 解得： 或 ， 当 时，， 当 时，， 综上的值为22或37． 35．【答案】(1) m≤1；(2) m＝﹣2． 【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出x1＋x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根， ∴△≥0，即[﹣2(m﹣2)]2﹣4m2≥0，解得m≤1； (2)∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2(m﹣2)，x1x2＝m2， ∴x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1x2＝4(m﹣2)2﹣2m2＝2m2﹣16m+16， ∵x12+x22＝56， ∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10， ∵m≤1， ∴m＝﹣2． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键． 36．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为．      【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）求判别式即可证明； （2）利用根与系数的关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设关于x的方程的两个根为，， ∴， 解得， ∴另一个根为． 37．【答案】（1）k≥﹣（2）k=2． 【分析】 （1）根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围； （2）根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案． 【详解】 （1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0， 解得k≥﹣， ∴k的取值范围为k≥﹣． （2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2． 38．【答案】k=1． 【分析】根据一元二次方程有两个实数根，得出△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，由，得到，代入即可求出k的值． 【详解】△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1） =4k2﹣4k2+8k﹣4 =8k﹣4． ∵原方程有两个实数根，∴8k﹣4≥0， 解得：k≥， 即实数k的取值范围是k≥； 由根与系数的关系得：x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1． ∵，∴，∴， 化简得：k2+2k﹣3=0， （k﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3， 又∵k≥，∴k=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2，x1•x2． 39．【答案】（1） 解： ，， ， 该方程是倍根方程；     （2）或；     （3）．      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用配方法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义即可求解； （3）设一元二次方程的两个根为，，且，根据根与系数的关系得 ，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解方程得，， 该方程是倍根方程， 或； (3) 小问详解： 设一元二次方程的两个根为，，且， ，即 ， 整理得． 40．【答案】（1）满足     （2）      【分析】 （1）解方程，求得两个根，后验证即可； （2）根据，，构造方程为解答即可． 本题考查了公式法求解方程的根，构造方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，， 故， ， 故满足． (2) 小问详解： 解：根据，， 故构造方程为． 41．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求表达式因式分解后代入计算． 【详解】 解：设方程 的两个根为和， 根据根与系数的关系，有：，， ， 故答案为：． 43．【答案】（1） 证明：∵， ∴不论为任何实数，原方程必有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：． 44．【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积公式，通过根与系数的关系求得两根的乘积，再代入菱形面积公式计算． 【详解】 解：设一元二次方程 的两个根为 ， 根据根与系数的关系：， 菱形的面积等于对角线乘积的一半，即， 故答案为：8． 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； (2) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 46．【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可进行证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵该方程的两个实数根为， ，， ， ， 解得：． 48．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，，得到关于k的一元一次方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； (2) 小问详解： 解：方程有两个相等的实数根， ， ∴或． 49．【答案】（1） 证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． （1）求出，可知，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 由可得 ，， ． 50．【答案】（1）证明：方程的根的判别式为， ， ， ， 则无论取何值，此方程总有实数根； （2），它的另一个根为． 【分析】 （1）利用一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先将代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程可得k的值，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得方程的另一个根． 【详解】 （1）略 （2）由题意，将代入方程得：， 解得， 则方程为， 设此方程的另一个根为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得， 综上，，它的另一个根为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程的解得到，根与系数的关系得到，进而代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不等的实数根， ∴判别式， 即， 解得 ； (2) 小问详解： 解：∵是方程的根， ∴， 即； ∵和是方程的两个根， ∴； ∴． 52．【答案】5 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点,若是一元二次方程的两根时，则，． 由根与系数的关系可得，由方程的解的定义可得，最后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：5． 53．【答案】(1) k≤;(2) -2. 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 54．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系． （1）有两个不相等的实数根时必须满足，进一步解出答案． （2）根据一元二次方程中根与系数的关系解方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根，． ， ． (2) 小问详解： 解：存在实数，使得成立；理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 55．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 原方程必有两不等实数根．     （2）      【分析】 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可． （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两根为，， ，， ， 即：， 解得：． 56．【答案】（1）     （2）的值为4，三角形的面积为6．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． (1) 小问详解： 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． (2) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 57．【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，，由完全平方公式可得，进而可得，求出的值再结合（1）即可求解； (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：由根和系数的关系可得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得，， ∵时，， ∴． 59．【答案】7 【分析】 根据题意可知，，然后根据方程解的定义得到，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住，是解答此题的关键． 60．【答案】（1） 证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ， ， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 61．【答案】（1）的取值范围为：     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， (1) 小问详解： 解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； (2) 小问详解： 解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 62．【答案】（1）;(2) 【分析】 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 63．【答案】（1）不是     （2）2     （3）0      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，解题的关键是理解题中所给的“倍根方程”的含义； （1）利用十字相乘法求出方程的解，然后根据“倍根方程”的定义可进行判断即可； （2）设该方程的两个根为，然后根据根与系数的关系可进行求解； （3）由方程可得，由“倍根方程”可得或，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解： 解得：， ∴不符合其中一个根为另一个根的2倍，即该方程不是“倍根方程”； 故答案为不是； (2) 小问详解： 解：设该方程的两个根为， ∴， ∴， ∴； 故答案为2； (3) 小问详解： 解：由方程可得， ∵该方程是“倍根方程”， ∴或， ∵， ∴当时，即，则原式的值为0； 当时，即，则原式的值为0； 综上所述：的值为0． 64．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点．根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 65．【答案】（1）六     （2）12     （3）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； (2) 小问详解： 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为， 把代入到中得 ， ∴ ， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 66．【答案】0或1或 【分析】 分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值． 【详解】 解：若，则是方程的根， 若，根据根与系数的关系，得，， 两式相减得，则， 不妨设， 若，，解得，，此时，， 若，，解得，，此时，， 综上：k的值为0或1或． 故答案是：0或1或． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．C 11．D 12．D 13．C 14．D 15．D 16．A 17．A 18．【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】 解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 19．【答案】x(60﹣2x)＝450 【分析】 设AB的长为x米，则EF也长x米，那么BC长(60﹣2x)米，然后根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】 解：依题意得EF也长x米，那么BC长(60﹣2x)米， ∴x(60﹣2x)＝450． 故答案为：x(60﹣2x)＝450． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 21．【答案】共有6个队参赛． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】 解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 22．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】 解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 23．【答案】1 【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】 解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 24．【答案】5 【分析】 设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】 解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2=108， 解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人． 25．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】 解：原图经过平移转化为图1． 根据题意，得． 故答案为：． 26．【答案】原正方形铁皮的边长为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程，再解方程即可求解． 【详解】 解：由题意可得， 解得（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为． 27．【答案】 【分析】 本题考查的是单循环赛制的数学应用，理解比赛场数的计算逻辑是解题的关键．根据单循环赛制 “每两队只赛一场” 的规则，每个队需与其余个队比赛，但会出现重复计算的情况，因此实际比赛场数需除以，进而根据总场数列出对应的方程． 【详解】 解：设邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题为二次函数的应用，由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案． 【详解】 解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大，最大值为， 故答案为：． 29．【答案】（1）10米     （2）不能， 原因如下： 设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能围成总面积为的长方形．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设的长是米，则的长是米，根据长方形的面积为列出方程，解出的值，再判断的长是否超过墙的长即可得出答案； （2）设的长是米，则的长是米，根据题意列出方程，再利用判别式判断方程根的情况即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：当的长是10米时，围成的长方形的面积为． (2) 小问详解： 略 30．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，建立一元二次方程求解是解决问题的关键． 设该商品每次降价的百分率为，由平均降价率问题建立一元二次方程，直接开平方解方程即可得到答案． 【详解】 解：设该商品每次降价的百分率为，则 ， ， 即， （舍）或， ∵为平均降价率， ∴该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 31．【答案】（1）该水果销售量的月增长率为．     （2）每件火龙果降价13元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据销售的数量原来销售量增加的销售量求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据日盈利可达到2295元列一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设该水果销售量的月增长率为m．由题意得 解得，（不合题意，舍去） 答：该水果销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设每件火龙果降价x元时，日盈利可达到2295元．由题意得： 解得，， ∵尽可能的让利给消费者 ∴每件火龙果降价13元． 32．【答案】（1）①；     （2）元      【分析】 此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）① 根据售价进价利润，进而得出答案；② 销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； (1) 小问详解： 解：① 依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ② ∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； (2) 小问详解： 解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 33．【答案】 【分析】 此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】 解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键 根据题意列出等量关系：10月份投递总件数月份投递总件数月平均增长率，即可解出此题． 【详解】 解：根据题意， 可得方程：． 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列方程即可． 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为， 根据“两天不练丢一半”，可得． 故答案为：． 36．【答案】（1）     （2）当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据每件玩偶套装降价x元，用x的代数式表示出每天可销售件数； （2）根据题意，列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设每件玩偶套装降价x元， ∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件， ∴每天可销售件， 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得：， ， ， ， 为了尽快减少库存， ， 答：当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元． 37．【答案】（1）     （2）当商品降价2或3元时，商场获利6240元      【分析】 设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解． 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解． (1) 小问详解： 设四、五这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：四、五这两个月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键． 38．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每天点击率的平均增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】 解：设每天点击率的平均增长率为x，依题意得： ， 故答案为：． 39．【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，列出二元一次方程组，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是20支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行7场比赛，即可作答． 【详解】 解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得： ， 解得： ， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 40．【答案】（1）平方米     （2）小路的宽为2米      【分析】 本题主要考查一元二次方程与图形面积，因式分解法解一元二次方程． （1）水平方向小路面积为平方米，竖直方向小路面积为平方米，由此即可求解； （2）根据题意列式得，用因式分解法求一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：水平方向小路面积为平方米，竖直方向小路面积为平方米， 故所有路的总面积为：． 故答案为：平方米； (2) 小问详解： 解：由题意：， 化简得：， 解得：， 经检验：不符合题意，舍去． 即， 答：小路的宽为2米． 41．【答案】（1）每个月的平均增长率为     （2）销售单价应降低3万元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每个月的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设销售单价降低万元，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设每个月的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每个月的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设销售单价降低万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵尽快减少库存， ∴， 答：销售单价应降低3万元． 42．【答案】（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元     （2）每件恤衫的销售价应该定为元     （3） 解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； (2) 小问详解： 解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； (3) 小问详解： 略 43．【答案】（1）     （2）18万元     （3）将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，1月份销售量为30万辆，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．据此列出方程，解方程即可； （2）设下调后每辆汽车降低a万元，该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．据此列出方程并解方程，选择合适的解即可； （3）设该店每周的汽车销售利润w万元，该款汽车销售单价定x万元时，列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 则， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每辆汽车售价下调a万元， 则， 解得， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴a应取7， ∴（万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为18万元． (3) 小问详解： 解：设该店每周的汽车销售利润w万元，该款汽车销售单价定y万元时， 由题意得，， ∵，函数开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∵y为正整数， ∴当或21时，w有最大值，最大值为144万元， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴． 答：将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元． 44．【答案】左边衬的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设左边衬的宽度为，则上边衬的等宽为，根据装裱前的面积是装裱后面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设左边衬的宽度为，则上边衬的等宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， 答：左边衬的宽度为． 45．【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 46．【答案】任务一：；任务二：4或16；任务三：10 【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务二：设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到3640 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 任务三：设日销售利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 任务一：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 任务二：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：每个玩偶降价4或16元； 任务三：设日销售利润为w， 根据题意得， ∵ ∴当时，w有最大值4000． ∴应将每个玩偶降价10元． 47．【答案】（1）     （2） 售货员的方案对顾客更优惠．理由如下： （元）． ， 售货员的方案对顾客更优惠．      【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算，并比较大小，即可解答． (1) 小问详解： 解：设平均每次降价的百分率是． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． (2) 小问详解： 略 48．【答案】（1）     （2） 不能达到350个，理由如下： 日平均增长率保持不变，3月7日销量为（个）． ∵， ∴3月7日玩偶的销量不能达到350个．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用． （1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列方程求解即可；（2）基于（1）的增长率，计算下一日的销量并比较判断即可． (1) 小问详解： 解：设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为， 根据题意，3月4日销量为200个，3月6日销量为288个， 则， ， ， 解得：，（舍去）， ∴日平均增长率为； (2) 小问详解： 略 49．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为人，第二轮传染新增患病人数为人，两轮后总患病人数为人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 51．【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为     （2）最少购进甲种商品40件      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 52．【答案】任务1：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是；任务2：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为x，根据8月份销售量和10月份销售量的关系，列出一元二次方程求解；任务2，设“经典原味桃酥”应该降价m元，则每份的利润为元，月销售量为箱，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：任务1，设月平均增长率是x， ∴，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， 答：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是； 任务2，∵每降低元，月销售量就会增加50箱， ∴每降低1元，月销售量就会增加100箱． 设经典原味桃酥应该降价m元，则每箱的利润为元，月销售量为箱， ∴， ∴， ∴，， 为了减少库存，∴ 答：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元． 53．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 54．【答案】每条道路的宽为1米． 【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为， ， 解得：（不合题意，舍去） 答：每条道路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法． 55．【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为；     （2）每件应降价4元或10元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∴每件应降价4元或10元． 56．【答案】（1）小路的宽是     （2）元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． （2）根据题意得出小路的面积为：平方米，然后乘以单价即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． (2) 小问详解： 根据题意得：小路的面积为：平方米， ∴需要花费：元． 57．【答案】（1）      （2） 40      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，， ∴设关于的函数表达式为， ， 解得， ， ∴关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：进价为30元/个，销售单价为元， ∴每个利润为元， ∴， 整理得，， 解得，， ∵尽量兼顾顾客的利益， ∴艺术瓷盘销售单价定为元． 58．【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 59．【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用． （1）设日平均增长率为x，根据从4日到6日的增长列方程求解； （2）设降价y元，根据利润公式列方程求解，并考虑减少库存选择降价较多的解． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（负值舍去）， 即3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价y元， 由题意得：， 即， 化简得：， 解得或， 为了尽快减少库存，选择降价较多的， 答：每个玩偶降价6元． 60．【答案】5 【分析】 设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】 解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：1+x+x2＝31， 解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出5根小分支， 故答案是：5． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 61．【答案】（1）2；     （2）满足要求的矩形B不存在     （3）①12；24；②；      【分析】 （1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）① 由图可知，一次函数解析式为y＝−x＋4.5，反比例函数解析式为y＝4x，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2＝4.5，x1x2＝4，即可． ② 利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． (1) 小问详解： 解：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48=1＞0， ∴ ∴x1=2，x2=． 故答案为：2；． (2) 小问详解： 设所求矩形的一边是x，则另一边为（−x）， 由题意得方程：x（−x）＝3， 化简得：2x2−5x＋6＝0， ∵b2−4ac＝25−48＜0， ∴原方程无解， ∴满足要求的矩形B不存在． (3) 小问详解： ① 设直线的关系式为，把（0，6），（6，0）代入得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把（2，3）代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为6，面积为6， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：12；24． ② 把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：；． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 62．【答案】人行道的宽度为2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设人行道的宽度为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设人行道的宽度为，则 ， ， ， ，（舍）. 答：人行道的宽度为2米． 63．【答案】（1）     （2）125      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据该品牌汽车2008年及2010年的年产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该品牌汽车2011年的年产量2010年的年产量（增长率），即可求出结论． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为x， 依题意，得， 解得：（不合题意，舍去）． 答：年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：（万辆）． 答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆． 64．【答案】 【分析】 本-题考查一元二次方程的应用，双循环赛制下，每两队之间比赛两场，总比赛场次等于球队数x与的乘积，列出方程即可． 【详解】 解：根据题意，总场次为30， 故可列方程为， 故答案为：． 65．【答案】60元. 【详解】试题分析：设销售单价定为每千克x元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量列出方程，求出x的值即可． 试题解析：设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500−(x−50)×10]=(1000−10x)千克，每千克的销售利润是：(x−40)元， 则(x−40)(1000−10x)=8000， 解得：x1=60，x2=80. ∵要“薄利多销”， ∴x=60 答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元． 点睛：此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系正确表示出月销售量. 66．【答案】（1）10     （2）5      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； (2) 小问详解： 由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 67．【答案】 【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程 ，完全平方公式在几何图形中的应用；根据题意，结合完全平方公式得到一元二次方程，并求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ， ∴如图2阴影部分每个正方形的边长为． 故答案为：． 68．【答案】（1）     （2）18元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2025年“十一”小长假期间游客人次2023年“十一”小长假期间游客人次（年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，利用净利润总收入总成本其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵每提高0.5元少卖4碗， ∴每提高1元少卖8碗， 设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元． 69．【答案】（1）至少购3000袋；（2）a=30. 【分析】（1）设每袋品牌麻花进价为m元，每袋火锅底料进价为n元，根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，求得m，n的值，再设商店购进品牌麻花x袋，根据题意列出关于x的不等式，然后解不等式即可； （2）根据题意列出关于a的一元二次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：（1）设每袋品牌麻花进价为m元，每袋火锅底料进价为n元，由题意得： ， 解得： ， 设商店购进品牌麻花x袋， 由题意得：4x+3（5000﹣x）≥18000， 解得：x≥3000， ∴商店至少要购进品牌麻花3000袋； （2）由题意得：10·×3000+15·a%·2000（1+）=21750， 解得：a=30或a=﹣270（舍去）， ∴a=30. 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组、不等式与一元二次方程，以及对其进行求解，解此题的关键在于根据题意准确列出方程或不等式. 70．【答案】任务一：纸盒的高为．任务二：的值为 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用． 任务一：分别表示底面的长与宽，可得，进一步解方程即可． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母，可得，，，再进一步建立方程即可． 【详解】 解：任务一：由题意可得：， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴纸盒的高为． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母， ∴，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验不符合题意，舍去， ∴的值为． 71．【答案】不能， 理由如下： 设长方形的长为，则宽为，根据题意得： ，即， 解得：， ，， 面积为正方形木板的边长为， ， 不能够裁出一个长方形面积为，并且长宽之比为的桌面． 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 设长方形的长为，则宽为，根据题意得：，解得，所以长为，宽为，又，即可得出结论． 【详解】 略 72．【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱，根据现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 73．【答案】（1）款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元；     （2）售价应降低20元．      【分析】 本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． (1) 小问详解： 解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 74．【答案】（1）     （2）每套降价48元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设参加骑行活动的人数的年均增长率为x，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可； （2）设每件降价y元，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设参加骑行活动的人数的年均增长率为x， 则， ， ， 解得，（舍去）； (2) 小问详解： 解：设每件降价y元， 则， ， ， 两边同时乘以3得， 移项并整理得， 因式分解得， 解得，． 当时，，，不符合每日最多售卖80件的条件，舍去． 所以，即每套降价48元． 75．【答案】（1）头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌的头盔每个应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． (1) 小问详解： 解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 76．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ，根据“两天不练丢一半”，有 ，然后解方程并检验即可，读懂题意，列出方程是解题的关键， 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ， 由题意得， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 77．【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】 解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 78．【答案】 【分析】 由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】 解：依题意得， 故答案为： 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 79．【答案】（1）根据题意，填表： （2）降价4元或36元 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 【分析】 （1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 80．【答案】（1）当时，是菱形；边长是     （2）5      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． (2) 小问详解： 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 81．【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔的实际售价应定为元      【分析】 （1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 82．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 83．【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】 （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】 （1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 【点睛】 本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 2．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（       ） A. 3，1 B. 3， C. ，1 D. ， 5．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西上饶·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A. 3，，1 B. 3，1，4 C. 3， D. 3，4，1 9．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）一元二次方程的一次项系数是（     ） A. 2 B. 6 C.  D.  12．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若是一元二次方程，则m的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（        ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ）． A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  17．（25-26学年九上·江西吉安·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（        ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D. 1或 19．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知是方程的一个解，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·江西宜春·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（      ） A. 2023 B. 2025 C. 2026 D. 2027 22．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）关于一元二次方程，下列判断正确的是（ ） A. 一次项是 B. 常数项是 C. 二次项系数是 D. 一次项系数是 23．（25-26学年九上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）若的一个解为t，则　　　　　． 28．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）把方程整理成一般形式后，得　　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）在一元二次方程中，其中一次项系数是　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西南昌·期中）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是　　　　　　． 31．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若是关于的方程的解，则多项式的值是　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为　　　　　　． 33．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是5，则的值为　　　　　． 34．（25-26学年九上·江西抚州·期中）关于y的一元二次方程的一般形式是　　　　　　． 35．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若是方程的一个根，则的值是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若关于的一元二次方程有一个根为2，则　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 38．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·江西九江·期末）一元二次方程的解是　　． 40．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 41．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是　　　　　　． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 42．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为　　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）方程的解为（       ） A. ， B. ， C. ， D.  2．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西九江·期末）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）用配方法解方程，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）一元二次方程配方后可化为（     ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西吉安·期中）一元二次方程经过配方后，可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）定义新运算： 例如：，．若，则的值为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 14．（25-26学年九上·江西上饶·期中）方程3x2﹣6＝0的解是　　　　　． 15．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． （2）若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； （3）已知实数，均满足，求代数式的最小值． 16．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； （1）试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； （2）为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； （3）若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 17．（25-26学年九上·江西吉安·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 18．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得   第一步 移项，得．   第二步 配方，得即   第三步 由此，可得   第四步 所以，，   第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______；其中“配方法”所依据的一个数学公式是______． （2）上面小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （3）请写出正确的解答过程． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；       ②34；       ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是(     ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（       ） A. 36 B.  C. 9 D.  3．（25-26学年九上·江西抚州·期中）一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 5．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（        ） A. 2 B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西上饶·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）关于一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）下列方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 14．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（       ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 16．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）下列关于的方程中有实数根的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 19．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 20．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 21．（25-26学年九上·江西上饶·期中）解方程 （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）解方程： （1）； （2）． 23．（25-26学年九上·江西吉安·期中）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是　　． 24．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）已知a，b，c分别是中所对的边长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 25．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 27．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）解下列方程 （1）； （2）． 28．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i （1）填空：i3＝　     　，i4＝　     　． （2）填空：①（2 +i）（2﹣i）＝　     　；   ②（2+i）2＝　     　． （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值． （4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式． （5）解方程：x2﹣2x+4＝0． 29．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝4时，求方程的根． 30．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 31．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 32．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第　　　　　　　　象限． 33．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中） 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： （1）直接写出方程的“对称方程”． （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解． 34．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 35．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知在中，所对的边分别为将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1）请直接写出一个“直系一元二次方程”（三边满足）：________； （2）求证：关于x的“直系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求a的值． 36．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知：关于x的方程 （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 38．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 39．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）若、，请写出这一个“经典方程”：_______； （2）求证：关于x的“经典方程”必有实数根； （3）如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）方程的解为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若关于的方程的解为，，则方程的解为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）方程的根是（     ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 4．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A.  B. 4 C.  D. 5 6．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a-b，如：f（2，3）=22+5×2-3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（ ） A. 1或-6 B. -1或6 C. -5或1 D. 5或-1 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如若，则（     ）． A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 8．（2026·江西九江外国语学校·五模）因式分解：　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）方程的根是　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 11．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）一元二次方程x2+3x=0的解是　　　　　． 15．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）解方程： （1） （2） 16．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 17．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）解方程： （1） （2） 18．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）解方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）选择合适的方法解下列方程； （1） （2） 20．（25-26学年九上·江西抚州·期中）解方程、证明： （1）； （2）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．证：． 21．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）解方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有实数解，求m的取值范围． 23．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）解下列方程： （1）； （2）． 24．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，则方程的解是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（1）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． （2）解方程： 26．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 28．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）若代数式与互为相反数，则的值为　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）若，则　　　　　． 30．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）解方程： （1）； （2）． 31．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）解方程： （1）； （2）． 32．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 34．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）方程的解是　　　　　　． 35．（2026·江西九江外国语学校·五模）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 37．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）解下列方程： （1）； （2） 38．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）用适当的方法解关于的一元二次方程： （1） （2） 39．（25-26学年九上·江西九江·期末）已知矩形，，为上一点，，点是边上一动点（点不与点重合），当是直角三角形时，的值为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·江西赣州·期末）已知关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为5，求的值． 41．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）用合适的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 42．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 43．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 44．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 45．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）解方程： （1）； （2）． 46．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）解方程 （1）； （2）． 47．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）解关于x的方程： （1）； （2）． 48．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）解方程： （1）； （2）． 49．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根． 50．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）方程的根是　　　　　　　　． 51．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）解下列方程： （1）； （2）. 52．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）分解因式：x3-3x=　　　　　　． 53．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 54．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程：第1步：两边同时除以得，第2步：移项，得，第3步：解得． 小彤的解题过程：第1步：移项，得，第2步：提取公因式，得．第3步：则或，第4步：解得为． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第__________步，小彤第一次出错在第__________步； （2）请你给出正确的解法． 55．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）解方程： （1）； （2）； 56．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）解方程： （1）； （2）． 57．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若 ，则　　　　　　． 58．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）解方程： （1）； （2）． 59．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）解下列方程： （1） （2）． 60．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值． 61．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）解方程： （1） （2） 62．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 63．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）（1）解方程； （2）已知关于的二次方程有两个相等的实数根．求的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C.  D. 4010 2．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 3．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（       ） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（        ） A. 12 B. 12或16 C. 16 D. 14 5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西吉安·期中）设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=　　　． 10．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）设、 是一元二次方程的两个根， 则　　　　． 12．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 13．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根； （2）如果方程有两个实数根，，且，求的值． 15．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 18．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 20．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 21．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）关于的一元二次方程的两根为，，且，则“”表示的数为　　　　　． 23．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知一元二次方程的两根是，，则　　　　　． 24．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知m、n分别是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知，是一元二次方程的两根，则a2b +ab2 = 　　　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年九上·江西宜春·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 28．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 29．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 30．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 31．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 32．（25-26学年九上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 33．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点M的坐标为________； （2）已知关于x的方程． ①求该方程衍生点M的坐标； ②已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，求b，c的值． 34．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，，那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题： （1）已知方程的两根分别为、，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 35．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值． 36．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为1，求其另一根． 37．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 38．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，若，求k的值 39．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 40．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：，这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别是3和，且二次项系数为1，求出这个一元二次方程的一般形式． 41．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）若是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求m的值． 44．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·江西上饶·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 46．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 47．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值． 48．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 49．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个实数根为，求代数式的值． 50．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根． 51．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程两个根为，求的值． 52．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）设，是的两个实数根，则的值是　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 54．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 55．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）已知：关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根为，，且满足，求的值. 56．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 57．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 59．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程行两根分别为，，且满足，求的值． 61．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 62．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 63．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 64．（25-26学年九上·江西赣州·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　 ． 65．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 66．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=　　　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江西南昌·期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 3．（25-26学年九上·江西赣州·期末）某区要开展红色研学知识抢答赛，参赛的每两个学校代表队之间都要竞赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场竞赛，组织者应邀请多少个学校代表队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都只和其他人握手一次，一共握了55次手，那么参加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学有人，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，小球悬浮于液体中（，，），若，小球质量m为，则x的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 1或 D.  7．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）某公司年第一季度总获利万元，其中一月份获利万元，若月，月份的月平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）因我市成为旅游热门城市，某公司计划第三季度（7月、8月、9月）在我市投放一批共享电动车，已知7月份投放共享电动车300辆，第三季度一共投放了1200辆，若每月按相同的增长率投放，设增长率为，由题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．赣州郁孤台旅游休闲街区2023年国庆假期接待游客116万人次，2025年国庆假期接待游客184万人次．设该景区国庆假期游客人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·江西九江外国语学校·五模）某商品原价为100元，第一次打x折，第二次又在第一次的基础上打x折出售，此时价格为81元，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·江西抚州·期中）交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 19．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，某单位在直角墙角处用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米．设AB的长为x米，则可列方程为　　　　　． 20．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 21．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 22．（25-26学年九上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是　　　　　　． 24．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染　　　　　个人． 25．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 27．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列方程　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，有一面墙长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝的长方形 （1）当的长是多少时，围成的长方形的面积为？ （2）能围成总面积为的长方形吗？请说明原因 30．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）某种商品的标价为75元／件，经过两次降价后的价格为48元／件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． （1）求该水果销售量的月增长率． （2）若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 32．（25-26学年九上·江西抚州·期中）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； （2）为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 33．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过　　　　　　秒落回地面． 34．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递快递总件数的月平均增长率为，则可列方程：　　　　　　． 35．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为　　　　　． 36．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？ 37．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 38．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）央广网报道礼嘉中学校史舞台剧《弦歌不辍与国同行》的文章，在上线后第三天点击率达到万次，其中第一天的点击率为20万次．若每天点击率的平均增长率为x，则根据题意可列方程　　　　　　． 39．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 40．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）要把一块长为30米，宽为20米的矩形空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路（如图），且小路的总面积为96平方米，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x米． （1）用含x的代数式表示小路的总面积：_______． （2）求小路的宽． 41．（25-26学年九上·江西九江·期末）某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． （1）假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． （2）工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 42．（25-26学年九上·江西赣州·期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 43．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． （3）在（2）的条件下，若该款汽车销售单价为正整数，将该款汽车销售单价定为多少万元时，该店每周的汽车销售利润最大？最大利润是多少万元？ 44．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，一幅书画在装裱前的尺寸大小是，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上边衬宽度是左边衬宽度的一半．若装裱前的面积是装裱后面积的，求左边衬的宽度． 45．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 46．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 47．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）某商场在国庆期间将单价为100元的某种商品经过两次降价后，以81元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 48．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）假设该网购平台玩偶销售量的日平均增长率保持不变，3月7日玩偶的销量能否达到350个，请说明理由． 49．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为　　　　　岁． 50．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是　　　　　　． 51．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 52．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求，某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥         素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 53．（25-26学年九上·江西上饶·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 54．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 55．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）某种商品的标价为100元/件，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为64元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为40元/件，若以64元/件售出，平均每天能售出30件，若每件降价1元，则每天可多售出3件，如果每天盈利840元，每件应降价多少元? 56．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是， （1）求小路的宽； （2）若在小路上铺一层沥青，每平方米沥青路面的造价为20元，请问小路铺好沥青需要花费多少元． 57．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 58．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 59．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达2000个；每降价1元，日销量可增加200个．为了尽快减少库存，当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到44800元？ 60．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　　　个小分支． 61．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）填空： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=_______________，x2=_________________ ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到：2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长． （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________． ②对半矩形B的两边长为______________和________________ 62．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图所示，在一块长为，宽为的矩形场地上欲修建两条宽度相同的人行道，剩余部分种上花草（阴影部分），若要使花草面积占矩形场地的，求人行道的宽度． 63．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． （1）求年平均增长率； （2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 64．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）采用双循环赛制（每两队之间比赛两次），已知南区小组赛共进行了30场比赛，若南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，可列方程为　　　　　　． 65．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 66．（25-26学年九上·江西宜春·期中）2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． （1）宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． （2）如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 67．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为的正方形的四个边上向外作边长为和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为　　　　　　． 68．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）在2023年“十一”小长假期间，白鹿洞书院接待游客达7万人次，预计在2025年“十一”小长假期间，接待游客10.08万人次．在白鹿洞书院附近，一家特色小面店希望在“十一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元． （1）求出2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护白鹿洞书院形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入－总成本－其他各种费用） 69．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）随着重庆市成为旅游网红城市，重庆特产也成为游客十分喜爱的产品.洪崖洞一特产商店准备购进品牌麻花和驰名火锅底料共袋，其中购进袋品牌麻花和袋火锅底料共需元，购进袋品牌麻花和袋火锅底料共需元. （1）商店准备将品牌麻花加价，火锅底料加价后出售.当所有物品销售完后，若利润不低于元，则商店至少应购进品牌麻花多少袋？ （2）根据销售需要临时调整销售方案，决定将品牌麻花的售价在进价基础上上涨，火锅底料的售价在进价基础上上涨，在（1）中品牌麻花购买量取得最小值的情况下，将火锅底料的购买量提高，而品牌麻花的购买量保持不变.则全部售出后，最终可获利元.请求出的值. 70．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）请根据表格中的素材一和素材二完成任务一和任务二． 背景 嘉嘉所在的学校计划为福利院儿童送上一批礼物，礼物由长方体包装盒包装 素材一 制作纸盒的纸板的长为，宽为（图1），将阴影部分裁去，恰好折成如图2所示的长方体盒子，盒子的底面积为 素材二 为了美观，在盒子（图2）的上表面设计如图3所示的花纹 任务一 求纸盒的高 任务二 若花纹设计区域的面积为盒子上表面的，求图3中的值 71．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）小明打算用一块面积为正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面，并且长宽之比为，你认为能做到吗？请通过计算说明． 72．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 73．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 74．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年9月27日下午，南昌市在建军雕塑广场举办“爱我英雄城·骑行阅赣江”自行车骑行活动，吸引了5800余名骑友参与活动．设置体验骑、欢乐骑、铁人骑三个项目，路线全长约20公里，沿途经过赣江两岸的标志性景观，如滕王阁、南昌之星摩天轮、南昌国际体育中心等，旨在通过骑行展示南昌的城市风貌与生态建设成果．如果今后每年都举行这个活动，豆包预计到2027年有8352人参加． （1）求参加骑行活动的人数的年均增长率； （2）某网店以本次活动的纪念礼品为参考，在活动开始前以每套192元的原价，售卖定制骑行服，平均每日卖出40套．活动结束后，该网店进行降价促销，平均每套每降低6元，每日可多卖出4件，每日最多可售卖80套，已知平均每日收到货款为10368元，则每套降价多少元？ 75．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 76．（25-26学年九上·江西南昌·期中）俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为　　　　　　．（参考数据） 77．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 78．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　　　　　　　　　　　． 79．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 80．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 81．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 82．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 83．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 2．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】 解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 4．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（       ） A. 3，1 B. 3， C. ，1 D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为一般形式，再根据定义找出二次项系数和一次项系数． 【详解】 解：原方程为， 移项得：， ∴二次项系数为3，一次项系数为． 故选：B． 5．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】 解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 6．（25-26学年九上·江西上饶·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】 解：A、方程中含有两个未知数和，不是一元二次方程； B、方程可化为，只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程； C、方程中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程未知数的最高次数为1，不是一元二次方程． 故选：B． 7．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 8．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A. 3，，1 B. 3，1，4 C. 3， D. 3，4，1 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程一般式、二次项系数、一次项系数、常数项定义是解决问题的关键． 【详解】 解：将一元二次方程化成一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1， 故选：A． 9．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行排除选项即可． 【详解】 解：A、由于二次项系数的取值不确定，当时，该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 10．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）进行判断． 【详解】 解： A．是一元一次方程，最高次数为1； B．是一元二次方程，只有一个未知数且最高次数为2； C．是二元一次方程，含有两个未知数； D．是分式方程，不是整式方程； ∴ 只有B选项是一元二次方程． 故选：B． 11．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）一元二次方程的一次项系数是（     ） A. 2 B. 6 C.  D.  【答案】C 【分析】 一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：一元二次方程，其一次项系数是-6． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式． 12．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若是一元二次方程，则m的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项的系数不能为0，可得，由此可解． 【详解】 解：由题意知 ， 解，得， 解，得， 因此m的值为， 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的定义、解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 13．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】 解：选项A：中含有分式，不是整式方程，故不符合； 选项B：中含有两个未知数x和y，不是关于x的一元方程，故不符合； 选项C：中，若，则不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，故不符合； 选项D： 展开得 ，即 ，满足一元二次方程的定义，故符合， 故选：D． 14．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】 一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5． 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 15．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元三次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 16．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以使二次项系数为1，再确定一次项系数． 【详解】 解：∵ 原方程：， 展开：， 移项：， 为使二次项系数为1，乘以：， ∴ 一次项系数为． 故选：B． 17．（25-26学年九上·江西吉安·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解： A. ，整理得，，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；        D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 18．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D. 1或 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程的一个根为0， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 19．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 20．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知是方程的一个解，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：∵x=2是方程的一个解， ∴， 解得：a=3， ∴2a-1=5． 故选：C． 21．（25-26学年九上·江西宜春·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（      ） A. 2023 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】 解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）关于一元二次方程，下列判断正确的是（ ） A. 一次项是 B. 常数项是 C. 二次项系数是 D. 一次项系数是 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式进行判断即可． 【详解】一元二次方程3x2-x-2=0的一次项是-x，故A正确； 常数项是-2，故B错误； 二次项系数是3，故C错误； 一次项系数是-1，故D错误． 故选A． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 23．（25-26学年九上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 24．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】 解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 25．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解的定义列出关于a的方程，解之即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键． 直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程的一个根是1， ， 解得：． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）若的一个解为t，则　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．由解的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵的一个解为t， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 28．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）把方程整理成一般形式后，得　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 一元二次方程（是常数且）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：整理成一般形式后，得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 29．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）在一元二次方程中，其中一次项系数是　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式． 根据一元二次方程的一般形式（其中），一次项系数是项的系数．在方程中，没有一次项，因此一次项系数为 0． 【详解】 解：方程可化为，所以一次项系数是0． 故答案为：0． 30．（25-26学年九上·江西南昌·期中）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入方程求解未知数． 根据一元二次方程解的定义，把代入给定的一元二次方程，得到关于的一元一次方程，进而求解的值． 【详解】 解：将代入方程，可得： 解得： 故答案为：5． 31．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若是关于的方程的解，则多项式的值是　　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入方程得到 的值，然后整体代入多项式求值． 【详解】 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 32．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是5，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义，是解题的关键．将根代入原方程，求解的值即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根是5， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 故答案为：5． 34．（25-26学年九上·江西抚州·期中）关于y的一元二次方程的一般形式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若是方程的一个根，则的值是　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．把代入方程中，得到关于的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】 解：把代入方程中， 得：， 解得：，， 所以的值为1或， 故答案为：1或． 36．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若关于的一元二次方程有一个根为2，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，将已知根代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值． 【详解】 解：因为关于x的一元二次方程有一个根为2， 所以将代入方程，得，即， 所以， 解得． 故答案为：4． 37．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）先化简．再求值：．其中是方程的解． 【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【详解】 解：原式 ； ∵是方程的解， ∴，即， ∴原式． 38．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】2027 【分析】 本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·江西九江·期末）一元二次方程的解是　　． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 40．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】（1）     （2）     （3）2025      【分析】 （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． (1) 小问详解： 解：根据新定义，方程的倒方程是：； (2) 小问详解： 解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； (3) 小问详解： 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是　　　　　　． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【答案】， 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】 解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 42．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】 解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）方程的解为（       ） A. ， B. ， C. ， D.  【答案】B 【分析】 移项得x2=8，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】 解：移项得， 两边开方的：， 即， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解： ， 故选：A． 3．（25-26学年九上·江西九江·期末）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，将方程左边配成完全平方式，关键步骤为移项、配方(加上一次项系数一半的平方)． 【详解】 解：对于方程， 首先移项，得； 然后配方，两边同时加上一次项系数一半的平方， 得； 整理得； 故选：B． 4．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程配方法的运用，掌握配方法的操作方法是解题的关键． 根据题意找到一次项的系数，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】 解：， 等式两边同时加上得到， ∴， 故选：B ． 5．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可． 【详解】 解：两边同时加1，得：， 配方，得：， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤． 6．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】 解：， ， ， ． 故选：A． 7．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）用配方法解方程，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】 解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 9．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）一元二次方程配方后可化为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 10．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用配方法解方程的方法对各选项进行判断． 【详解】 解：A. ，故选项A不符合题意； B.由得，，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；用配方法解一元二次方程时，先把原方程化为的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 11．（25-26学年九上·江西吉安·期中）一元二次方程经过配方后，可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可． 【详解】 ， ， ， ， 故选C． 12．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）定义新运算： 例如：，．若，则的值为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】 解：∵ 而， ∴① 当时，则有， 解得，； ② 当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 13．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．（25-26学年九上·江西上饶·期中）方程3x2﹣6＝0的解是　　　　　． 【答案】x1＝，x2＝﹣ 【分析】根据一元二次方程的解法，变形，直接开平方即可得解． 【详解】3x2=6， x2=2. 故答案为x1＝，x2＝﹣. 【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 15．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． （2）若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； （3）已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）② ④     （2）     （3）1      【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：② ④ (2) 小问详解： 解：∵，可配方成（，为整）， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 16．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； （1）试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； （2）为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； （3）若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 【答案】（1） 解：∵， ∴二次根式恒有意义；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的性质，配方法：根据完全平方公式为，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键． （1）将配方即可解答． （2）化简，配方后的，即可解答； （3）设最佳值为，根据前6次数据的得到的最佳值为4，得出其与前6个数据的差的平方和可表示为，同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为，化简得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 而， 故当时，有最小值为； (3) 小问详解： 解：设最佳值为， ∵前6次数据的得到的最佳值为4， ∴其与前6个数据的差的平方和可表示为， 同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为， ∴； 故当时原式取得最小值， 所以最佳值应为． 17．（25-26学年九上·江西吉安·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）① 矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】 本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）① 根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；② 根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】 解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）① 根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 18．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得   第一步 移项，得．   第二步 配方，得即   第三步 由此，可得   第四步 所以，，   第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______；其中“配方法”所依据的一个数学公式是______． （2）上面小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）转化思想， （或填完全平方公式）     （2）三     （3）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据方程解答过程回答即可； （2）第三步配方时，当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，据此回答即可； （3）根据方程解答过程回答即可； (1) 小问详解： 解：小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想； （或填完全平方公式）． (2) 小问详解： 解：当二次项系数为1时，应该两边同时加上一次项系数一半的平方，即， 故上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三． (3) 小问详解： 解：正确的解是： 解：． 二次项系数化为1，得    移项，得 配方，得，即 开方，得 ． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；       ②34；       ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）② ；（2）5；（3）2022． 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】 解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意求得判别式，即可求解． 【详解】 解：，，， ∴， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 2．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（       ） A. 36 B.  C. 9 D.  【答案】C 【分析】 根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3．（25-26学年九上·江西抚州·期中）一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】 解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 4．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，通过计算判别式的值，根据与0的大小关系判断根的情况即可． 【详解】 解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 5．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（        ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解关于m的方程，即可得出答案． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时方程有两个相等的实数解，时，无实数解，时，有两个不相等的实数解． 6．（25-26学年九上·江西上饶·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式．根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴且． 故选：B． 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 计算判别式的值即可判断． 【详解】 解：， 由数轴得，， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】 解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）关于一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】 解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根的判别式，通过计算每个二次方程的判别式，判断根的情况．若，则有两个不相等的实数根． 【详解】 解：A、，∵，∴，有两个不相等的实数根． B、，∵，∴，无实数根． C、，∵，∴，无实数根． D、，∵，∴，有两个相等的实数根． ∴只有选项A有两个不相等的实数根． 故选：A． 11．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】 解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 12．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）下列方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况是解题的关键． 将各选项方程化为一般式，再根据一元二次方程的判别式，判断是否有实数根．若，则无实数根，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A．化成一般式为，由，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，由，则方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．由，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； D．化成一般式为，由，则方程没有实数根，符合题意． 故选D． 13．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 14．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系． 【详解】 解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 15．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（       ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【分析】 一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】 解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 16．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）下列关于的方程中有实数根的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的判断式，解分式方程，偶数次方及二次根式非负性，解题的关键是根据偶数次方的非负性判断选项A；根据一元二次方程根的判断式判断选项B；解分式方程可判断选项C；根据二次根式非负性判断选项D． 【详解】 解：A、， ，方程无实数根，故选项不符合题意； B、， ， ，方程有两个不相等的实数根，故选项符合题意； C、方程两边乘以 （需 ）得，但时分母为零，矛盾，方程无实数根，故选项不符合题意； D、， ，方程无实数根，故选项不符合题意； 故选：B． 17．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断① ，证明，即可判断② ；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③ ；由题意可得即可判断④ ． 【详解】 解：① 对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故① 正确； ② 由① 可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故② 正确； ③ 若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③ 错误； ④ 若是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④ 正确； 综上可知，① ② ④ 正确，共3个． 故选：C． 18．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根；     （3）9      【分析】 本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式： （1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴“勾系一元二次方程”为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值． 【答案】（1） ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求参数，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，得，即可作答． （2）理解题意，将代入方程，解得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，将代入方程中， 得， 解得：． 20．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 21．（25-26学年九上·江西上饶·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴，则方程有两个不等的实数根， ∴， ∴． 22．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）原方程无实数根      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 即； (2) 小问详解： 解：， ， ， 所以，原方程无实数根． 23．（25-26学年九上·江西吉安·期中）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是　　． 【答案】4 【分析】 若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】 解：于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m的最大整数解是m=4． 故答案为m=4． 【点睛】 考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 24．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）已知a，b，c分别是中所对的边长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为6 【分析】 本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】 解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为． 所以其面积． 25．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 26．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】（1）且     （2），或      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． (1) 小问详解： 解：根据题意得，且， 解得且； (2) 小问详解： 解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 27．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）公式法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 开平方，得， 解得：，； (2) 小问详解： ， ，，， ， ，． 28．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i （1）填空：i3＝　     　，i4＝　     　． （2）填空：①（2 +i）（2﹣i）＝　     　；   ②（2+i）2＝　     　． （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值． （4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式． （5）解方程：x2﹣2x+4＝0． 【答案】(1) -i   ,   1   ;(2) 5   , 3+4i ; (3) x=-1,y=2 (4)   i   (5) x1= i   , x2= i 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1计算即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式把原式展开，根据i2=﹣1计算即可； （3）根据复数相等的条件解答即可； （4）充分利用i2=﹣1计算，分子分母同时乘以（1+i）即可； （5）计算出△=－3，根据虚数单位的定义即可求解． 【详解】解：（1）i3=i2×i=－i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故答案为﹣i； 1； （2）① （2+i）（2－i）=4－i2=4+1=5； ② （2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i； （3）根据复数相等的条件，得： ， 解得： ； （4）== ==i； （5）x2﹣2x+4=0， x= = = ， x1= ，x2=． 【点睛】本题考查的是虚数单位的定义、完全平方公式以及一元二次方程的解法，掌握i2=﹣1、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 29．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝4时，求方程的根． 【答案】（1）k＞﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-3）2+4k＞0，然后解不等式即可； （2）将k=4代入方程，因式分解法求出方程的根即可． 【详解】（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣； （2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0， 则（x+1）（x﹣4）＝0， ∴x+1＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 30．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 31．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1），     （2）当时，原式；当时，无意义      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入（1）中的值计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， 当时，原代数式无意义， 当时，原式． 32．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第　　　　　　　　象限． 【答案】二 【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根可得判别式小于零，从而求出的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限． 【详解】 解：∵ 一元二次方程 没有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 一次函数 中，斜率，截距， ∴直线经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 33．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中） 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： （1）直接写出方程的“对称方程”． （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解． 【答案】（1）     （2），；，      【分析】 此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：根据对称方程的定义可得方程的“对称方程”是； (2) 小问详解： 解：由移项，得． 关于的方程与互为“对称方程”， ，，解得，， 化为， 解得，． 34．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为，k的值为      【分析】 根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 35．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）已知在中，所对的边分别为将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1）请直接写出一个“直系一元二次方程”（三边满足）：________； （2）求证：关于x的“直系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求a的值． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2） 证明：由题意可知，“直系一元二次方程”的， ， ， 关于x的“直系一元二次方程”必有实数根；     （3）      【分析】 本题是新定义：“直系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意直角三角形三边的关系，任意写出一个“直系一元二次方程”即可； （2）计算并变形可得：，可得结论； （3）将代入方程，可得，从而可得，然后根据分别求出的值，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：如， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：是“直系一元二次方程”的一个根， ，即， ，等式两边同时平方得， 化简得， 由题意得， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 36．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 分两种情况讨论：当时，方程变为一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式求解． 【详解】 解：当，即时，方程为，解得，有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，判别式， 由得，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·江西吉安·期中）已知：关于x的方程 （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 38．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 39．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）若、，请写出这一个“经典方程”：_______； （2）求证：关于x的“经典方程”必有实数根； （3）如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】（1）或     （2） 证明：∵， ∴， ∴关于x的“经典方程”必有实数根；     （3）      【分析】 （1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过O作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”，、， ∴， ∴， ∴这个“经典方程”为或， 故答案为：或； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过O作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于x的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）方程的解为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】 解：， ， 或， ∴，， 故选：C． 2．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）若关于的方程的解为，，则方程的解为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】 解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 3．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）方程的根是（     ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 【答案】C 【分析】 先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：∵ ∴ ， ∴ 或， 解得：或 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键． 4．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法求出方程的解，判断即可． 【详解】 解： ， ∴或； 故选D． 5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A.  B. 4 C.  D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】 解：， 解得：， 即， 如图，对角线和交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 故选：A 6．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a-b，如：f（2，3）=22+5×2-3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（ ） A. 1或-6 B. -1或6 C. -5或1 D. 5或-1 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意得x2+5x-2=4， 整理得x2+5x-6=0， （x+6）（x-1）=0， x+6=0或x-1=0， 所以x1=-6，x2=1． 故选A． 考点：解一元二次方程-因式分解法． 7．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如若，则（     ）． A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 【答案】D 【分析】 根据 的定义，分 和 两种情况讨论，分别解方程并验证条件是否满足． 本题考查新定义下的方程求解，根据取值范围分类讨论并验证，注意舍去不符合条件的解． 【详解】 解：∵， 当时，， ∴ ， 整理得：， 解得：； ∵， ∴； 当 时，， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∵ ， ∴； 综上，或． 故选 ：D． 8．（2026·江西九江外国语学校·五模）因式分解：　　　　　． 【答案】 【详解】 解：． 9．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）方程的根是　　　　　　　　　　　　． 【答案】  【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解的方法求解是解决本题的关键． 将方程整理为，因式分解求解即可． 【详解】 解：方程为， 整理可得， 整理可得， 解得 故答案为： ． 10．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）      （2） ，.      (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 或 解得 ，． 11．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 12．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则　　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可． 【详解】 解：∵是“凤凰”方程， ∴，即， ∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：直接开平方，得 解得， (2) 小问详解： 解： 解得，． 14．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）一元二次方程x2+3x=0的解是　　　　　． 【答案】0，-3 【分析】 利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可. 【详解】 x2＋3x＝0 x（x+3）=0 x=0或x+3=0 解得x1＝0，x2＝－3. 故答案为x1＝0，x2＝－3. 【点睛】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式. 15．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：，． 16．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解：整理为一般式，得：， ，，， ， 则， 即，． 17．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 或 解得； (2) 小问详解： 解： 或 解得 18．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）选择合适的方法解下列方程； （1） （2） 【答案】（1）；     （2）；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴；； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：；． 20．（25-26学年九上·江西抚州·期中）解方程、证明： （1）； （2）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．证：． 【答案】（1），     （2） 证明：∵四边形是菱形． ，， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据平方差因式分解即可得出解； 对于（2），先根据菱形的性质得，，再根据“角角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． (1) 小问详解： 解：， ， ，， 解得：，； (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择正确解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得 (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 22．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有实数解，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】 本题考查了解一元二次方程以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，注意计算的准确性即可； （1）因式分解法解即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 解得：； （2）∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有实数解， ∴， 解得：； ∴且； 23．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握求解方法是解题关键． （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， ∴ ∴，， (2) 小问详解： ∴ ∴， ∴，， 24．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，则方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式和解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法是解题的关键，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将二次函数与一次函数联立，即可得到答案． 【详解】 解：∵在上， ∴ 解： ， ∴ ∵， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（1）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． （2）解方程： 【答案】（1）证明：∵，、分别是、边上的中点， ∴， ∵、、分别是、、边上的中点， ∴与为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）， 【分析】 本题考查了正方形的判定，中位线的性质，以及一元二次方程的求解，解决本题的关键是先证明四边形是菱形；使用提取公因式的方法求解一元二次方程． （1）根据中点可得四边形的四边相等，再由即可证明正方形． （2）先移项，再提取公因式，由此可求解． 【详解】 （1）略 （2）解： 移项可得 提取公因式， 即， 解得，． 26．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 27．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 则， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 解得． 28．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）若代数式与互为相反数，则的值为　　　　　　　　． 【答案】3或或3 【分析】 本题考查相反数的定义、解一元二次方程．根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并求解一元二次方程． 【详解】 解：∵代数式与互为相反数， ∴ ， 即 ， ， 解得：或． 故答案为：3或 29．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）若，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 先将变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 30．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法求解即可． （2）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：，． 31．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：， 整理得， 开方得， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 32．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】 解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 33．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）将方程移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，． 34．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 35．（2026·江西九江外国语学校·五模）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】 把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 36．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据菱形性质得出，平分，求出，即可求出面积． (1) 小问详解： 解：， ∴， 则或， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， 所以菱形的面积为． 37．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ∴，． 38．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）用适当的方法解关于的一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 把常数项移到等号的右边，然后等号的两边同时加，可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，再把等式的两边同时开平方，可得：，等式的两边同时加求出方程的解； 把整体作为一个因式，提公因式可得：，根据两数的积为，则这两个因数中至少有一个为，可得：或，解两个一元一次方程可求方程的根． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ，． 39．（25-26学年九上·江西九江·期末）已知矩形，，为上一点，，点是边上一动点（点不与点重合），当是直角三角形时，的值为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，分为如图，当时，如图，当或时两种情况，通过矩形的判定与性质，勾股定理分别求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图，当或时，过作于点，则， 同理可得：四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：，， ∴或， 同理：或， 综上可得：的值为或或， 故答案为：或或． 40．（25-26学年九上·江西赣州·期末）已知关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为5，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可证明结论； （2）把代入求出k即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 把代入得： ， 即， 解得：或． 41．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）用合适的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，直接开平方法及因式分解法，直接开平方法是利用平方根的性质求解，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这两种方法简便易用，是解一元二次方程常用的方法． （1）先移项得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 所以； (2) 小问详解： 解： 或， 所以，． 42．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：直角三角形，理由: ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的根，直角三角形的判定，等边三角形的性质，掌握根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当是等边三角形，则， ∴，即， ， ， 解得：． 43．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解决问题的关键． （1）根据因式分解求解一元二次方程即可； （2）移项，提取公因式，再根据因式分解求解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 即， 或， 解得或； (2) 小问详解： 解：移项， 即， ， 或， 解得或． 44．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程． （1）利用判别式计算即可； （2）已知根代入方程求出a的值，再解方程求另一个根． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：∵是方程的一个根， ∴， ， ， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根是． 45．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）通过因式分解法将方程变形，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用因式分解法把方程分解为两个一次因式的乘积，进而求解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ∴． 46．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 47．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）解关于x的方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解： ∴ ∴，． 48．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键． （1）先移项，再把方程的左边分解因式，求解即可； （2）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， 移项得：， ∴， ∴或 解得： (2) 小问详解： j解：， ∴， ∴或， 解得：． 49．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一个根为3     （2） 证明： ， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式： （1）把代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）利用一元二次方程根的判别式，即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得：， ∴原方程为， 解得：， 即另一个根为3； (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）方程的根是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ∴或． 故答案为 或． 51．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解， ， 则，即， ， ； (2) 小问详解： 解：， 移项，得， 因式分解，得， ， 解得． 52．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）分解因式：x3-3x=　　　　　　． 【答案】 【分析】先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】x3-3x=x（x2-3）， =． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 53．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； (2) 小问详解： 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 54．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程：第1步：两边同时除以得，第2步：移项，得，第3步：解得． 小彤的解题过程：第1步：移项，得，第2步：提取公因式，得．第3步：则或，第4步：解得为． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第__________步，小彤第一次出错在第__________步； （2）请你给出正确的解法． 【答案】（1）1，2     （2） 解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：小涵的解法中，因为可能为 0 ， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第 2 步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第 2 步； 故答案为：1；2； (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴，． 56．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， ，． 57．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若 ，则　　　　　　． 【答案】或2 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，将2阶行列式化成一元二次方程是解题的关键． 根据2阶行列式的定义，将已知行列式表达式转化为关于x的一元二次方程，然后通过移项、化简和因式分解求解即可． 【详解】 解：由2阶行列式的定义，得 ， ∵ ∴ 移项整理得，即， 因式分解得 所以或． 故答案为：或2． 58．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 59．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解： 或 ∴ (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 60．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】 根据一元二次方程的定义可得m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0，再解方程即得答案． 【详解】 解：由题意，得：m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0， 解方程m2﹣5m+8=2，得m1=2（舍去），m2=3， 所以m的值是3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，一元二方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 61．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴ 则或， 解得， (2) 小问详解： ∴ 则或， 解得， 62．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 63．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）（1）解方程； （2）已知关于的二次方程有两个相等的实数根．求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是明确解一元二次方程的方法．同时考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据根的判别式得到，然后解方程即可求解． 【详解】 （1）解： ； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C.  D. 4010 【答案】B 【分析】 由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】 解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 2．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】 ∵ a， b是方程的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程根与系数的关系，即对于方程，两根之和为． 【详解】 ∵方程 中，，， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（        ） A. 12 B. 12或16 C. 16 D. 14 【答案】B 【分析】 此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 【详解】 解：① 当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ② 当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再逐一验证各选项． 【详解】 解：∵方程的根为， ∴，， A．，故错误； B．，故错误； C．，故错误； D．，故正确； 故选：D． 6．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系列出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 9．（25-26学年九上·江西吉安·期中）设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=　　　． 【答案】2 【分析】 先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 10．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根是，由题意可得，求解即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】 解：设另一个根是， 由题意可得：， ∴，即另一个根是， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）设、 是一元二次方程的两个根， 则　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】（1） 证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 13．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 14．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根； （2）如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）当时，方程有两个实数根；     （2）．      【分析】 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可； （2）利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值． (1) 小问详解： 解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴当时，方程有两个实数根； (2) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 15．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【详解】 解：由根与系数的关系，得 ，， ． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 17．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，m=-1 【分析】 （1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，则，然后解方程后利用（1）中的范围确定的值． 【详解】 解：（1）根据题意得△， 解得； （2）存在． 根据题意得，， ， ， 即， 整理得，解得，， ； 的值为． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式． 18．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，，再代入变形后的式子，可得到关于k的方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，． ∵， ∴． 20．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1）     （2）方程的另一个根为，      【分析】 本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 21．（25-26学年九上·江西抚州·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】 解：由是一元二次方程的两个实数根，可知：， ∴； 故答案为． 22．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）关于的一元二次方程的两根为，，且，则“”表示的数为　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知条件求解． 【详解】 解：设一元二次方程 的两根为 和 ， ∴根据根与系数的关系，有，， 代入已知条件 ，得 ， 解得：， 故答案为：12． 23．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知一元二次方程的两根是，，则　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，并根据方程根的定义进行代换求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5 24．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知m、n分别是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】2019 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，依题意，得，，则，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵m、n分别是方程的两个根， ∴，， 即， ∴． 故答案为：2019． 26．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知，是一元二次方程的两根，则a2b +ab2 = 　　　　　　　　　　　　. 【答案】6 【详解】根据，是一元二次方程的两根，由根与系数的关系可以求得a2b +ab2的值． 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴a+b=3，ab=2, ∴a2b +ab2 =ab(a+b)=2×3=6． 27．（25-26学年九上·江西宜春·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 28．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 29．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 30．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）方程是“倍根方程”     （2）代数式的值为或     （3）m的值为13或      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，然后求出，再计算对应的m的值即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． (2) 小问详解： 解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． (3) 小问详解： 解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 31．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； (2) 小问详解： 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 32．（25-26学年九上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：方程有实数根， ， 即， 解得：． (2) 小问详解： 解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． 33．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点M的坐标为________； （2）已知关于x的方程． ①求该方程衍生点M的坐标； ②已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1）     （2）①；②，      【分析】 （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点M的坐标； （2）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，， ∴方程的衍生点M的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 解：关于x的方程， ，，， ∴， ∴， ∴，， ∴方程的衍生点M为； ② ∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点M始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 【点睛】 本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 34．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，，那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题： （1）已知方程的两根分别为、，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 【答案】（1）     （2）22或37      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，二元一次方程组的应用，完全平方公式等知识． （1）根据根与系数的关系即可求出结论； （2）设，，，，然后得出m，n的二元一次方程组求解得出m和n的值，最后把数值代入完全平方公式变形后的数字计算即可． (1) 小问详解： 解：∵已知方程的两根分别为、， ∴， ∴ (2) 小问详解： 解：设，， ，， ∴ 解得： 或 ， 当 时，， 当 时，， 综上的值为22或37． 35．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值． 【答案】(1) m≤1；(2) m＝﹣2． 【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出x1＋x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根， ∴△≥0，即[﹣2(m﹣2)]2﹣4m2≥0，解得m≤1； (2)∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2(m﹣2)，x1x2＝m2， ∴x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1x2＝4(m﹣2)2﹣2m2＝2m2﹣16m+16， ∵x12+x22＝56， ∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10， ∵m≤1， ∴m＝﹣2． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键． 36．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知关于x的方程 （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为1，求其另一根． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为．      【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）求判别式即可证明； （2）利用根与系数的关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设关于x的方程的两个根为，， ∴， 解得， ∴另一个根为． 37．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 【答案】（1）k≥﹣（2）k=2． 【分析】 （1）根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围； （2）根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案． 【详解】 （1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0， 解得k≥﹣， ∴k的取值范围为k≥﹣． （2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2． 38．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，若，求k的值 【答案】k=1． 【分析】根据一元二次方程有两个实数根，得出△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1，由，得到，代入即可求出k的值． 【详解】△=（2k）2﹣4（k2﹣2k+1） =4k2﹣4k2+8k﹣4 =8k﹣4． ∵原方程有两个实数根，∴8k﹣4≥0， 解得：k≥， 即实数k的取值范围是k≥； 由根与系数的关系得：x1+x2=﹣2k，x1x2=k2﹣2k+1． ∵，∴，∴， 化简得：k2+2k﹣3=0， （k﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3， 又∵k≥，∴k=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2，x1•x2． 39．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 【答案】（1） 解： ，， ， 该方程是倍根方程；     （2）或；     （3）．      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用配方法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义即可求解； （3）设一元二次方程的两个根为，，且，根据根与系数的关系得 ，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解方程得，， 该方程是倍根方程， 或； (3) 小问详解： 设一元二次方程的两个根为，，且， ，即 ， 整理得． 40．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：，这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别是3和，且二次项系数为1，求出这个一元二次方程的一般形式． 【答案】（1）满足     （2）      【分析】 （1）解方程，求得两个根，后验证即可； （2）根据，，构造方程为解答即可． 本题考查了公式法求解方程的根，构造方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，， 故， ， 故满足． (2) 小问详解： 解：根据，， 故构造方程为． 41．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）若是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求表达式因式分解后代入计算． 【详解】 解：设方程 的两个根为和， 根据根与系数的关系，有：，， ， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴不论为任何实数，原方程必有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：． 44．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积公式，通过根与系数的关系求得两根的乘积，再代入菱形面积公式计算． 【详解】 解：设一元二次方程 的两个根为 ， 根据根与系数的关系：， 菱形的面积等于对角线乘积的一半，即， 故答案为：8． 45．（25-26学年九上·江西上饶·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； (2) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 46．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 47．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可进行证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵该方程的两个实数根为， ，， ， ， 解得：． 48．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，，得到关于k的一元一次方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； (2) 小问详解： 解：方程有两个相等的实数根， ， ∴或． 49．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． （1）求出，可知，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 由可得 ，， ． 50．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根． 【答案】（1）证明：方程的根的判别式为， ， ， ， 则无论取何值，此方程总有实数根； （2），它的另一个根为． 【分析】 （1）利用一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先将代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程可得k的值，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得方程的另一个根． 【详解】 （1）略 （2）由题意，将代入方程得：， 解得， 则方程为， 设此方程的另一个根为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得， 综上，，它的另一个根为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 51．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程两个根为，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程的解得到，根与系数的关系得到，进而代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不等的实数根， ∴判别式， 即， 解得 ； (2) 小问详解： 解：∵是方程的根， ∴， 即； ∵和是方程的两个根， ∴； ∴． 52．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）设，是的两个实数根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点,若是一元二次方程的两根时，则，． 由根与系数的关系可得，由方程的解的定义可得，最后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：5． 53．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2) -2. 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 54．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系． （1）有两个不相等的实数根时必须满足，进一步解出答案． （2）根据一元二次方程中根与系数的关系解方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根，． ， ． (2) 小问详解： 解：存在实数，使得成立；理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 55．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）已知：关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根为，，且满足，求的值. 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 原方程必有两不等实数根．     （2）      【分析】 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可． （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两根为，， ，， ， 即：， 解得：． 56．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【答案】（1）     （2）的值为4，三角形的面积为6．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． (1) 小问详解： 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． (2) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 57．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，，由完全平方公式可得，进而可得，求出的值再结合（1）即可求解； (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：由根和系数的关系可得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得，， ∵时，， ∴． 59．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据题意可知，，然后根据方程解的定义得到，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住，是解答此题的关键． 60．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程行两根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：，， ， ， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 61．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）的取值范围为：     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， (1) 小问详解： 解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； (2) 小问详解： 解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 62．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【分析】 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 63．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）不是     （2）2     （3）0      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，解题的关键是理解题中所给的“倍根方程”的含义； （1）利用十字相乘法求出方程的解，然后根据“倍根方程”的定义可进行判断即可； （2）设该方程的两个根为，然后根据根与系数的关系可进行求解； （3）由方程可得，由“倍根方程”可得或，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解： 解得：， ∴不符合其中一个根为另一个根的2倍，即该方程不是“倍根方程”； 故答案为不是； (2) 小问详解： 解：设该方程的两个根为， ∴， ∴， ∴； 故答案为2； (3) 小问详解： 解：由方程可得， ∵该方程是“倍根方程”， ∴或， ∵， ∴当时，即，则原式的值为0； 当时，即，则原式的值为0； 综上所述：的值为0． 64．（25-26学年九上·江西赣州·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点．根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 65．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】（1）六     （2）12     （3）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； (2) 小问详解： 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为， 把代入到中得 ， ∴ ， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 66．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=　　　　　　　　． 【答案】0或1或 【分析】 分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值． 【详解】 解：若，则是方程的根， 若，根据根与系数的关系，得，， 两式相减得，则， 不妨设， 若，，解得，，此时，， 若，，解得，，此时，， 综上：k的值为0或1或． 故答案是：0或1或． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】 解：将小路平移到边上，如图所示：    图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 2．（25-26学年九上·江西南昌·期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 【答案】A 【分析】 由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】 解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 3．（25-26学年九上·江西赣州·期末）某区要开展红色研学知识抢答赛，参赛的每两个学校代表队之间都要竞赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场竞赛，组织者应邀请多少个学校代表队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用：单循环赛问题，总比赛场数等于从x个队中任选两个的组合数，即，再根据总场数28列方程，即可作答． 【详解】 解：设应邀请x个队参赛， ∵每两个队之间比赛一场， ∴总比赛场数为 又∵赛程安排7天，每天4场， ∴总场数为. ∴ ， 故选：B． 4．（25-26学年九上·江西赣州南康区·期中）深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】 解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 5．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都只和其他人握手一次，一共握了55次手，那么参加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学有人，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题．每人都与其他所有人握手一次，但每次握手涉及两人，因此总握手次数为所有人两两组合的一半． 【详解】 解：设参加聚会的同学有人， ∵每人都和其他人握手一次， ∴总握手次数为， ∵一共握了55次手， ∴， 两边同乘以2得：． 故选：C． 6．（25-26学年九上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，小球悬浮于液体中（，，），若，小球质量m为，则x的值为（       ） A. 1 B. 4 C. 1或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，准确计算是解题的关键．根据浮力等于小球的重力列方程求解即可． 【详解】 解：，，），， ， 解得，， 故选：C． 7．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】 解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 8．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）某公司年第一季度总获利万元，其中一月份获利万元，若月，月份的月平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设月，月份月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设月，月份的月平均增长率为， 由题意得， ， 故选：． 9．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）因我市成为旅游热门城市，某公司计划第三季度（7月、8月、9月）在我市投放一批共享电动车，已知7月份投放共享电动车300辆，第三季度一共投放了1200辆，若每月按相同的增长率投放，设增长率为，由题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解增长率问题是解题关键．第三季度包括7月、8月、9月三个月，设增长率为x，每月投放量按相同增长率x增长，总投放量为1200辆．因此，方程应为三个月投放量之和等于1200． 【详解】 解：设增长率为x， 由题意可知，7月投放量：300辆， 则8月投放量：辆，9月投放量：辆， ∴总投放量：， 故选：D． 10．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．赣州郁孤台旅游休闲街区2023年国庆假期接待游客116万人次，2025年国庆假期接待游客184万人次．设该景区国庆假期游客人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题． 根据年平均增长率的定义，从2023年到2025年经过两年增长，2025年游客数等于2023年游客数乘以． 【详解】 解：∵年平均增长率为x，2023年游客数为116万人次， ∴2024年游客数为万人次，2025年游客数为万人次， ∵2025年游客数为184万人次， ∴． 故选：C． 11．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】 解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 12．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】 这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 13．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】 解：由题意有， 故选：C． 14．（2026·江西九江外国语学校·五模）某商品原价为100元，第一次打x折，第二次又在第一次的基础上打x折出售，此时价格为81元，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，掌握打折的含义是解题关键，打x折即售价为原价的，依次表示出两次打折后的价格，即可列出方程． 【详解】 解：∵商品原价为100元，第一次打x折， ∴第一次降价后的价格为， ∵第二次在第一次的基础上再打x折， ∴第二次降价后的价格为， ∵此时的价格为81元， ∴可列方程为， 故选：D． 15．（25-26学年九上·江西赣州赣县区·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键．将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可． 【详解】 解：根据题意可得， 故选：D． 16．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】 解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 17．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】 解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 18．（25-26学年九上·江西抚州·期中）交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】 解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 19．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，某单位在直角墙角处用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米．设AB的长为x米，则可列方程为　　　　　． 【答案】x(60﹣2x)＝450 【分析】 设AB的长为x米，则EF也长x米，那么BC长(60﹣2x)米，然后根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】 解：依题意得EF也长x米，那么BC长(60﹣2x)米， ∴x(60﹣2x)＝450． 故答案为：x(60﹣2x)＝450． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键． 20．（25-26学年九·江西上饶铅山县·期末）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 21．（25-26学年九上·江西新余第一中学·期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】 解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 22．（25-26学年九上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】 解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】 解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 24．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染　　　　　个人． 【答案】5 【分析】 设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】 解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2=108， 解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人． 25．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】 解：原图经过平移转化为图1． 根据题意，得． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 【答案】原正方形铁皮的边长为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程，再解方程即可求解． 【详解】 解：由题意可得， 解得（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为． 27．（25-26学年九上·江西赣州信丰县·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列方程　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是单循环赛制的数学应用，理解比赛场数的计算逻辑是解题的关键．根据单循环赛制 “每两队只赛一场” 的规则，每个队需与其余个队比赛，但会出现重复计算的情况，因此实际比赛场数需除以，进而根据总场数列出对应的方程． 【详解】 解：设邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题为二次函数的应用，由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案． 【详解】 解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大，最大值为， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）如图，有一面墙长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝的长方形 （1）当的长是多少时，围成的长方形的面积为？ （2）能围成总面积为的长方形吗？请说明原因 【答案】（1）10米     （2）不能， 原因如下： 设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能围成总面积为的长方形．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设的长是米，则的长是米，根据长方形的面积为列出方程，解出的值，再判断的长是否超过墙的长即可得出答案； （2）设的长是米，则的长是米，根据题意列出方程，再利用判别式判断方程根的情况即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：当的长是10米时，围成的长方形的面积为． (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年九上·江西宜春高安高安城区学校·期中）某种商品的标价为75元／件，经过两次降价后的价格为48元／件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，建立一元二次方程求解是解决问题的关键． 设该商品每次降价的百分率为，由平均降价率问题建立一元二次方程，直接开平方解方程即可得到答案． 【详解】 解：设该商品每次降价的百分率为，则 ， ， 即， （舍）或， ∵为平均降价率， ∴该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 31．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． （1）求该水果销售量的月增长率． （2）若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 【答案】（1）该水果销售量的月增长率为．     （2）每件火龙果降价13元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据销售的数量原来销售量增加的销售量求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据日盈利可达到2295元列一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设该水果销售量的月增长率为m．由题意得 解得，（不合题意，舍去） 答：该水果销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设每件火龙果降价x元时，日盈利可达到2295元．由题意得： 解得，， ∵尽可能的让利给消费者 ∴每件火龙果降价13元． 32．（25-26学年九上·江西抚州·期中）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； （2）为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）①；     （2）元      【分析】 此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）① 根据售价进价利润，进而得出答案；② 销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； (1) 小问详解： 解：① 依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ② ∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； (2) 小问详解： 解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 33．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过　　　　　　秒落回地面． 【答案】 【分析】 此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】 解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·江西宜春丰城联·期中）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递快递总件数的月平均增长率为，则可列方程：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键 根据题意列出等量关系：10月份投递总件数月份投递总件数月平均增长率，即可解出此题． 【详解】 解：根据题意， 可得方程：． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列方程即可． 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为， 根据“两天不练丢一半”，可得． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？ 【答案】（1）     （2）当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据每件玩偶套装降价x元，用x的代数式表示出每天可销售件数； （2）根据题意，列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设每件玩偶套装降价x元， ∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件， ∴每天可销售件， 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得：， ， ， ， 为了尽快减少库存， ， 答：当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元． 37．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 【答案】（1）     （2）当商品降价2或3元时，商场获利6240元      【分析】 设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解． 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解． (1) 小问详解： 设四、五这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：四、五这两个月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键． 38．（25-26学年九上·江西新余第四中学·期中）央广网报道礼嘉中学校史舞台剧《弦歌不辍与国同行》的文章，在上线后第三天点击率达到万次，其中第一天的点击率为20万次．若每天点击率的平均增长率为x，则根据题意可列方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每天点击率的平均增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】 解：设每天点击率的平均增长率为x，依题意得： ， 故答案为：． 39．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，列出二元一次方程组，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是20支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行7场比赛，即可作答． 【详解】 解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得： ， 解得： ， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 40．（25-26学年九·江西赣州南康区·期末）要把一块长为30米，宽为20米的矩形空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路（如图），且小路的总面积为96平方米，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x米． （1）用含x的代数式表示小路的总面积：_______． （2）求小路的宽． 【答案】（1）平方米     （2）小路的宽为2米      【分析】 本题主要考查一元二次方程与图形面积，因式分解法解一元二次方程． （1）水平方向小路面积为平方米，竖直方向小路面积为平方米，由此即可求解； （2）根据题意列式得，用因式分解法求一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：水平方向小路面积为平方米，竖直方向小路面积为平方米， 故所有路的总面积为：． 故答案为：平方米； (2) 小问详解： 解：由题意：， 化简得：， 解得：， 经检验：不符合题意，舍去． 即， 答：小路的宽为2米． 41．（25-26学年九上·江西九江·期末）某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． （1）假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． （2）工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 【答案】（1）每个月的平均增长率为     （2）销售单价应降低3万元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每个月的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设销售单价降低万元，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设每个月的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每个月的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设销售单价降低万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵尽快减少库存， ∴， 答：销售单价应降低3万元． 42．（25-26学年九上·江西赣州·期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元     （2）每件恤衫的销售价应该定为元     （3） 解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； (2) 小问详解： 解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年九上·江西宜春高安第六片区·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． （3）在（2）的条件下，若该款汽车销售单价为正整数，将该款汽车销售单价定为多少万元时，该店每周的汽车销售利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）     （2）18万元     （3）将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，1月份销售量为30万辆，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．据此列出方程，解方程即可； （2）设下调后每辆汽车降低a万元，该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．据此列出方程并解方程，选择合适的解即可； （3）设该店每周的汽车销售利润w万元，该款汽车销售单价定x万元时，列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 则， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每辆汽车售价下调a万元， 则， 解得， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴a应取7， ∴（万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为18万元． (3) 小问详解： 解：设该店每周的汽车销售利润w万元，该款汽车销售单价定y万元时， 由题意得，， ∵，函数开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∵y为正整数， ∴当或21时，w有最大值，最大值为144万元， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴． 答：将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元． 44．（25-26学年九上·江西上饶婺源县·期中）如图，一幅书画在装裱前的尺寸大小是，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上边衬宽度是左边衬宽度的一半．若装裱前的面积是装裱后面积的，求左边衬的宽度． 【答案】左边衬的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设左边衬的宽度为，则上边衬的等宽为，根据装裱前的面积是装裱后面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设左边衬的宽度为，则上边衬的等宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， 答：左边衬的宽度为． 45．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 46．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 【答案】任务一：；任务二：4或16；任务三：10 【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务二：设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到3640 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 任务三：设日销售利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 任务一：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 任务二：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：每个玩偶降价4或16元； 任务三：设日销售利润为w， 根据题意得， ∵ ∴当时，w有最大值4000． ∴应将每个玩偶降价10元． 47．（25-26学年九上·江西上饶弋阳县·期中）某商场在国庆期间将单价为100元的某种商品经过两次降价后，以81元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）     （2） 售货员的方案对顾客更优惠．理由如下： （元）． ， 售货员的方案对顾客更优惠．      【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算，并比较大小，即可解答． (1) 小问详解： 解：设平均每次降价的百分率是． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年九上·江西赣州安远县·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）假设该网购平台玩偶销售量的日平均增长率保持不变，3月7日玩偶的销量能否达到350个，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 不能达到350个，理由如下： 日平均增长率保持不变，3月7日销量为（个）． ∵， ∴3月7日玩偶的销量不能达到350个．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用． （1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列方程求解即可；（2）基于（1）的增长率，计算下一日的销量并比较判断即可． (1) 小问详解： 解：设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为， 根据题意，3月4日销量为200个，3月6日销量为288个， 则， ， ， 解得：，（舍去）， ∴日平均增长率为； (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年九上·江西新余分宜县·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为　　　　　岁． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·江西上饶广信区·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为人，第二轮传染新增患病人数为人，两轮后总患病人数为人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 51．（25-26学年九上·江西赣州章贡区·期中）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为     （2）最少购进甲种商品40件      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 52．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）为了更好推广乐平特产——乐平桃酥，让我们一起制定销售方案吧： 主题：乐平桃酥销售方案制定问题 乐平桃酥被国内食品专家誉为“中国桃酥王”，为了满足消费者的不同需求，某线上平台推出“桶装原味桃酥”，“经典原味桃酥”两种不同包装的乐平桃酥． 素材1 桶装原味桃酥 经典原味桃酥         素材2 经统计，该线上平台8月份“桶装原味桃酥”销售量为320桶，10月份销售量为500桶；“经典原味桃酥”10月份销售量为600箱． 素材3 为了尽快减少库存，决定11月份对“经典原味桃酥”作降价促销，已知每箱“经典原味桃酥”的成本为24元．经试验发现该款经典原味桃酥售价每降低元，月销售量就会增加50箱． 问题解决 任务1 求该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店11月份“经典原味桃酥”的总利润达到5600元，求该款经典原味桃酥应该降价多少元? 【答案】任务1：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是；任务2：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为x，根据8月份销售量和10月份销售量的关系，列出一元二次方程求解；任务2，设“经典原味桃酥”应该降价m元，则每份的利润为元，月销售量为箱，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：任务1，设月平均增长率是x， ∴，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， 答：该线上平台“桶装原味桃酥”8月份到10月份销售量的月平均增长率是； 任务2，∵每降低元，月销售量就会增加50箱， ∴每降低1元，月销售量就会增加100箱． 设经典原味桃酥应该降价m元，则每箱的利润为元，月销售量为箱， ∴， ∴， ∴，， 为了减少库存，∴ 答：该店总利润达到5600元，经典原味桃酥应该降价2元． 53．（25-26学年九上·江西上饶·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 54．（25-26学年九上·江西赣州崇义县部分片区·期中）如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 【答案】每条道路的宽为1米． 【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为， ， 解得：（不合题意，舍去） 答：每条道路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法． 55．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）某种商品的标价为100元/件，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为64元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为40元/件，若以64元/件售出，平均每天能售出30件，若每件降价1元，则每天可多售出3件，如果每天盈利840元，每件应降价多少元? 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为；     （2）每件应降价4元或10元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∴每件应降价4元或10元． 56．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是， （1）求小路的宽； （2）若在小路上铺一层沥青，每平方米沥青路面的造价为20元，请问小路铺好沥青需要花费多少元． 【答案】（1）小路的宽是     （2）元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． （2）根据题意得出小路的面积为：平方米，然后乘以单价即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． (2) 小问详解： 根据题意得：小路的面积为：平方米， ∴需要花费：元． 57．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 【答案】（1）      （2） 40      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，， ∴设关于的函数表达式为， ， 解得， ， ∴关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：进价为30元/个，销售单价为元， ∴每个利润为元， ∴， 整理得，， 解得，， ∵尽量兼顾顾客的利益， ∴艺术瓷盘销售单价定为元． 58．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 59．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达2000个；每降价1元，日销量可增加200个．为了尽快减少库存，当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到44800元？ 【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用． （1）设日平均增长率为x，根据从4日到6日的增长列方程求解； （2）设降价y元，根据利润公式列方程求解，并考虑减少库存选择降价较多的解． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（负值舍去）， 即3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价y元， 由题意得：， 即， 化简得：， 解得或， 为了尽快减少库存，选择降价较多的， 答：每个玩偶降价6元． 60．（25-26学年九·江西南昌南昌中学）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　　　个小分支． 【答案】5 【分析】 设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】 解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：1+x+x2＝31， 解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出5根小分支， 故答案是：5． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 61．（25-26学年九上·江西宜春丰城第九中学·期中）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）填空： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=_______________，x2=_________________ ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到：2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长． （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________． ②对半矩形B的两边长为______________和________________ 【答案】（1）2；     （2）满足要求的矩形B不存在     （3）①12；24；②；      【分析】 （1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）① 由图可知，一次函数解析式为y＝−x＋4.5，反比例函数解析式为y＝4x，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2＝4.5，x1x2＝4，即可． ② 利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． (1) 小问详解： 解：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48=1＞0， ∴ ∴x1=2，x2=． 故答案为：2；． (2) 小问详解： 设所求矩形的一边是x，则另一边为（−x）， 由题意得方程：x（−x）＝3， 化简得：2x2−5x＋6＝0， ∵b2−4ac＝25−48＜0， ∴原方程无解， ∴满足要求的矩形B不存在． (3) 小问详解： ① 设直线的关系式为，把（0，6），（6，0）代入得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把（2，3）代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为6，面积为6， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：12；24． ② 把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：；． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 62．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图所示，在一块长为，宽为的矩形场地上欲修建两条宽度相同的人行道，剩余部分种上花草（阴影部分），若要使花草面积占矩形场地的，求人行道的宽度． 【答案】人行道的宽度为2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设人行道的宽度为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设人行道的宽度为，则 ， ， ， ，（舍）. 答：人行道的宽度为2米． 63．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． （1）求年平均增长率； （2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 【答案】（1）     （2）125      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据该品牌汽车2008年及2010年的年产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该品牌汽车2011年的年产量2010年的年产量（增长率），即可求出结论． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为x， 依题意，得， 解得：（不合题意，舍去）． 答：年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：（万辆）． 答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆． 64．（25-26学年九上·江西赣州蓉江新区·期中）2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）采用双循环赛制（每两队之间比赛两次），已知南区小组赛共进行了30场比赛，若南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本-题考查一元二次方程的应用，双循环赛制下，每两队之间比赛两场，总比赛场次等于球队数x与的乘积，列出方程即可． 【详解】 解：根据题意，总场次为30， 故可列方程为， 故答案为：． 65．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 【答案】60元. 【详解】试题分析：设销售单价定为每千克x元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量列出方程，求出x的值即可． 试题解析：设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500−(x−50)×10]=(1000−10x)千克，每千克的销售利润是：(x−40)元， 则(x−40)(1000−10x)=8000， 解得：x1=60，x2=80. ∵要“薄利多销”， ∴x=60 答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元． 点睛：此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系正确表示出月销售量. 66．（25-26学年九上·江西宜春·期中）2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． （1）宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． （2）如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】（1）10     （2）5      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； (2) 小问详解： 由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 67．（25-26学年九上·江西赣州经开·期中）阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为的正方形的四个边上向外作边长为和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程 ，完全平方公式在几何图形中的应用；根据题意，结合完全平方公式得到一元二次方程，并求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ， ∴如图2阴影部分每个正方形的边长为． 故答案为：． 68．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）在2023年“十一”小长假期间，白鹿洞书院接待游客达7万人次，预计在2025年“十一”小长假期间，接待游客10.08万人次．在白鹿洞书院附近，一家特色小面店希望在“十一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元． （1）求出2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护白鹿洞书院形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入－总成本－其他各种费用） 【答案】（1）     （2）18元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2025年“十一”小长假期间游客人次2023年“十一”小长假期间游客人次（年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，利用净利润总收入总成本其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵每提高0.5元少卖4碗， ∴每提高1元少卖8碗， 设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元． 69．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）随着重庆市成为旅游网红城市，重庆特产也成为游客十分喜爱的产品.洪崖洞一特产商店准备购进品牌麻花和驰名火锅底料共袋，其中购进袋品牌麻花和袋火锅底料共需元，购进袋品牌麻花和袋火锅底料共需元. （1）商店准备将品牌麻花加价，火锅底料加价后出售.当所有物品销售完后，若利润不低于元，则商店至少应购进品牌麻花多少袋？ （2）根据销售需要临时调整销售方案，决定将品牌麻花的售价在进价基础上上涨，火锅底料的售价在进价基础上上涨，在（1）中品牌麻花购买量取得最小值的情况下，将火锅底料的购买量提高，而品牌麻花的购买量保持不变.则全部售出后，最终可获利元.请求出的值. 【答案】（1）至少购3000袋；（2）a=30. 【分析】（1）设每袋品牌麻花进价为m元，每袋火锅底料进价为n元，根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，求得m，n的值，再设商店购进品牌麻花x袋，根据题意列出关于x的不等式，然后解不等式即可； （2）根据题意列出关于a的一元二次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：（1）设每袋品牌麻花进价为m元，每袋火锅底料进价为n元，由题意得： ， 解得： ， 设商店购进品牌麻花x袋， 由题意得：4x+3（5000﹣x）≥18000， 解得：x≥3000， ∴商店至少要购进品牌麻花3000袋； （2）由题意得：10·×3000+15·a%·2000（1+）=21750， 解得：a=30或a=﹣270（舍去）， ∴a=30. 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组、不等式与一元二次方程，以及对其进行求解，解此题的关键在于根据题意准确列出方程或不等式. 70．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）请根据表格中的素材一和素材二完成任务一和任务二． 背景 嘉嘉所在的学校计划为福利院儿童送上一批礼物，礼物由长方体包装盒包装 素材一 制作纸盒的纸板的长为，宽为（图1），将阴影部分裁去，恰好折成如图2所示的长方体盒子，盒子的底面积为 素材二 为了美观，在盒子（图2）的上表面设计如图3所示的花纹 任务一 求纸盒的高 任务二 若花纹设计区域的面积为盒子上表面的，求图3中的值 【答案】任务一：纸盒的高为．任务二：的值为 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用． 任务一：分别表示底面的长与宽，可得，进一步解方程即可． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母，可得，，，再进一步建立方程即可． 【详解】 解：任务一：由题意可得：， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴纸盒的高为． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母， ∴，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验不符合题意，舍去， ∴的值为． 71．（25-26学年九上·江西南昌第二十八中学·期中）小明打算用一块面积为正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面，并且长宽之比为，你认为能做到吗？请通过计算说明． 【答案】不能， 理由如下： 设长方形的长为，则宽为，根据题意得： ，即， 解得：， ，， 面积为正方形木板的边长为， ， 不能够裁出一个长方形面积为，并且长宽之比为的桌面． 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 设长方形的长为，则宽为，根据题意得：，解得，所以长为，宽为，又，即可得出结论． 【详解】 略 72．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． （1）当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱，根据现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 73．（25-26学年九上·江西南昌外国语学校·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】（1）款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元；     （2）售价应降低20元．      【分析】 本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． (1) 小问详解： 解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 74．（25-26学年九上·江西南昌第二中学·期中）2025年9月27日下午，南昌市在建军雕塑广场举办“爱我英雄城·骑行阅赣江”自行车骑行活动，吸引了5800余名骑友参与活动．设置体验骑、欢乐骑、铁人骑三个项目，路线全长约20公里，沿途经过赣江两岸的标志性景观，如滕王阁、南昌之星摩天轮、南昌国际体育中心等，旨在通过骑行展示南昌的城市风貌与生态建设成果．如果今后每年都举行这个活动，豆包预计到2027年有8352人参加． （1）求参加骑行活动的人数的年均增长率； （2）某网店以本次活动的纪念礼品为参考，在活动开始前以每套192元的原价，售卖定制骑行服，平均每日卖出40套．活动结束后，该网店进行降价促销，平均每套每降低6元，每日可多卖出4件，每日最多可售卖80套，已知平均每日收到货款为10368元，则每套降价多少元？ 【答案】（1）     （2）每套降价48元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设参加骑行活动的人数的年均增长率为x，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可； （2）设每件降价y元，根据题意列方程求解，舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设参加骑行活动的人数的年均增长率为x， 则， ， ， 解得，（舍去）； (2) 小问详解： 解：设每件降价y元， 则， ， ， 两边同时乘以3得， 移项并整理得， 因式分解得， 解得，． 当时，，，不符合每日最多售卖80件的条件，舍去． 所以，即每套降价48元． 75．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌的头盔每个应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． (1) 小问详解： 解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 76．（25-26学年九上·江西南昌·期中）俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为　　　　　　．（参考数据） 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ，根据“两天不练丢一半”，有 ，然后解方程并检验即可，读懂题意，列出方程是解题的关键， 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ， 由题意得， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 77．（25-26学年九上·江西南昌一中教·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】 解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 78．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】 解：依题意得， 故答案为： 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 79．（25-26学年九上·江西赣州于都县·期中）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）根据题意，填表： （2）降价4元或36元 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 【分析】 （1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 80．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 【答案】（1）当时，是菱形；边长是     （2）5      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． (2) 小问详解： 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 81．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔的实际售价应定为元      【分析】 （1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 82．（25-26学年九上·江西部分学校·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 83．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】 （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】 （1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 【点睛】 本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $