专题07 轴对称（期中真题汇编，江西专用）八年级数学上学期

专题07 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A选项，如图 ，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项，如图 ，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D选项，如图 ，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 只有C选项不是轴对称图形，故此选项符合题意． 2．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征．下面篆书属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】 解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 【答案】D 【详解】 本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形，据此解答即可． 【分析】 解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选D． 4．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 5．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A. 经 B. 开 C. 中 D. 学 【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形的概念，解题关键是判断每个标志能否沿某条直线折叠后，直线两旁的部分完全重合． 根据轴对称图形的定义，逐一判断选项中的标志能否沿某条直线折叠后使直线两侧部分完全重合，选出符合条件的选项． 【详解】 解：∵ “中”字的结构关于垂直中线对称，沿该线对折后左右部分能完全重合； ∴ “中”是轴对称图形． 其他选项汉字“经”、“开”、“学”均无对称轴，故不是轴对称图形． 故选：C． 6．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 7．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列交通标志图形中，轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 8．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】 解：选项A、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则A不是轴对称图形； 选项B、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则B不是轴对称图形； 选项C、该图形无法找到沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则C不是轴对称图形； 选项D、该图形沿着中间竖直直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则D是轴对称图形； 故选：D． 10．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称的定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此逐一判断即可得答案. 【详解】 解：A.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B.是轴对称图形，故该选项符合题意； C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意. 故选：B. 11．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】 解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 12．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）地铁图标是城市地铁的独特标识，能让乘客快速识别出地铁系统，不同城市的地铁图标各具特色．下面图案是我国不同城市的地铁图标，其中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 13．（25-26学年八上·江西宜春·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 14．（25-26学年八上·江西上饶·期中）古汉字“羊”的下列四种写法，不可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此逐项分析即可． 【详解】 解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选D． 15．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 16．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】 解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 17．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 故选：． 18．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 19．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】 本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 20．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】 解：A项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 21．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　） A.    小鹏汽车 B.  蔚来汽车 C.  阿维塔汽车 D.  理想汽车 【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】 解：A、B、C选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形， 故A、B、C选项中的图形都是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合， 故D选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）五个大小完全相同的正方形按如图所示的位置摆放，再添加一个大小完全相同的正方形与原来的图形构成轴对称图形，则添加的小正方形是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 直接利用轴对称图形的定义得出答案． 【详解】 解：要在① ，② ，③ ，④ 四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④ 处． 故选：D． 23．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（       ） A.  赵爽弦图 B.  斐波那契螺旋线 C.  笛卡尔心形线 D.  费马螺线曲线 【答案】C 【分析】 根据轴对称图像的定义逐项判断即可． 【详解】 A．赵爽弦图不是轴对称图形，故该选项错误； B．斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故该选项错误； C．笛卡尔心形线是轴对称图形，故该选项正确； D．费马螺线曲线不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的概念：被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合，这样的图形为轴对称图形；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 24．（25-26学年八上·江西南昌·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 25．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（       ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：① ② ④ 正确，③ 错误， 故选：C． 26．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（       ） A. 19° B. 20° C. 24° D. 25° 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】 ∵BD的垂直平分线交AB于点E， ∴ ∴ ∴ ∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解． 27．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）（1）如图，和关于直线l对称．若，，求的度数． （2）如图，在中，，是角平分线，，，求点D到的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用轴对称的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 （1）解：和关于直线l对称，，， ． ， ． （2）解：如图，过点D作，垂足为E， 是的角平分线，，， ， ， ． 即点D到的距离． 28．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）（多选）如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD． 【答案】证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE. ∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C， ∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C， ∴∠EAC=∠C， ∴AE=EC； 则CD=DE+EC=AB+BD. 【分析】 作出关于AD对称的图形，借助轴对称的性质，得到BD=DE，借助∠B=2∠C，得到AE=EC．根据题意有CD=DE+EC，将等量关系代入可得CD=DE+EC=AB+BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 29．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，取一张长方形纸，沿相对角的顶点将纸折叠，重叠部分是一个　　　　　　　　　　　三角形． 【答案】等腰 【分析】 先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，即可得到，则是等腰三角形． 【详解】 解：如图所示，由题意得，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴重叠部分是一个等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，证明得到是等腰三角形． 30．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 31．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，分别在边上，点与点关于直线对称，若，，求的周长． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称， ． ． ． 的周长为10． 32．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． （1）求的度数． （2）求的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． (1) 小问详解： 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 33．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，把沿直线对折，点C恰好落在点B处，若，，则的周长是　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据折叠的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：根据折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴ ∵，， ∴， 故答案为：6． 34．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形全等的判定及图形的对称性，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，结合坐标系的对称性确定点的可能位置． 根据与全等，以为公共边或对应边，结合坐标系对称性（如关于轴对称、关于中垂线对称），确保的边与对应边相等，从而确定点的坐标为或或． 【详解】 如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 35．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P， 当是等腰三角形时，的度数为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．分，，三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】 解：① 当时， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ② 当时 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ③ 当时 ∵， ∴ ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； 综上所述答案为：或或； 36．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使得点A落在处，使与三角形的其中一边平行，则　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查翻折的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折变换的性质，三角形内角和是以及平行线的性质是正确解答的前提．根据翻折分三种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可． 【详解】 解：根据折叠有：， 当时，如图，则，     由折叠性质得： ， ， 当时，如图，则，     由折叠性质得： ， ∴， ∴； 当时，如图，则，     由折叠性质得：， ∵， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 37．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=　　　　　． 【答案】 【分析】 由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】 ∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 38．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）在中，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图． （1）若，求的面积． （2）求证：平分． 【答案】（1）     （2） 证明：过点P分别作垂线，垂足分别为F，H，M，如图． 由题意可知，， ． 平分， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了折叠的性质，直角三角形的面积计算，角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）利用折叠后且，结合的条件，把的面积拆成和的面积之和再计算； （2）核心是要证明点到和的距离相等，思路是利用折叠得出全等和角平分线的性质推导出是角平分线． 【详解】 解：（1）由题意，得， ． （2）略 39．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）或 【分析】 本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（       ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 【答案】A 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行线段转化． 根据垂直平分线的性质得到线段相等，将的周长转化为与的长度和，进而计算结果． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长， 而，已知， 的周长． 故选：A． 3．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】 该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 根据作图得垂直平分，得出，，根据的周长为16，推出，再根据的周长求解即可． 【详解】 解：根据作图可得：垂直平分， 则，，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 4．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（     ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】C 【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】 解：根据作图可知：是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 5．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 6．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据尺规作图的痕迹可得分别作的∠DAC的角平分线和线段AC的垂直平分线，从而可以得到结果． 【详解】 解：如图所示， 根据尺规作图痕迹可知：AE平分∠DAC，EF⊥AC， ∵∠ACB=68°，四边形ABCD是矩形， ∴∠DAC=68°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠EAC=34°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF=90°-34°=56°． 【点睛】 本题主要考查的是尺规作图，掌握角平分线和垂直平分线作图方法是解题的关键． 7．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 8．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A.  B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理．由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出，由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】 解：由题意得到：， 和都在线段的垂直平分线上， ，设交点为O， 的面积，的面积 四边形的面积的面积的面积， ， ． 故选：C． 9．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为13，，则的周长为　　　　　　． 【答案】23 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为13得到，据此求解即可． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，， ∴，， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：23． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 10．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）“全等三角形的对应边相等”的逆命题是　　　　　　． 【答案】对应边相等的两个三角形全等 【分析】 本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】 解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 11．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】 解：是边的垂直平分线，， ， 的周长为18， ， ， ． 12．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是　　　 【答案】37 【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵边上的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：37． 13．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】 解：由题意得是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，如图，连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小，由题意，推出，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接， ∵的周长，， ∴的值最小时，的周长最小， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点． 【答案】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．    ． 【分析】 此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； （2）若，，的周长为19，求的长． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 18．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：　　　　　　　　　　　 【答案】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【分析】 本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】 解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 19．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如果，那么，这个命题的逆命题是　　　　　　　　　　　 ． 【答案】如果，那么 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】 解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 20．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用线段垂直平分线的性质求解． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G， ∴，， ∴的周长等于． 21．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为　　　　　　　　　． 【答案】23 【分析】 由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】 解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． （2）如图②，过点P作直线，使得． 【答案】（1） 如图，直线即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是边的垂直平分线，若，则=　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】5． 【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度． 【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD． ∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 24．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC=10，则ADE周长是多少？ 【答案】10 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB，EA=EC， ∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 25．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上；     （2）      【分析】 （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 26．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 【答案】（1） 证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分．     （2）等边三角形      【分析】 （1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】 本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 27．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：平分且，， ，，， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， （）， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）15      【分析】 （1）可证点D在的垂直平分线上，再证，从而可证点A在的垂直平分线上，即可得证； （2）由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 28．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 【答案】（1） 如图所示，FE即为所求对称轴l，      （2） 如图所示，点即为所求， 【分析】 （1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 29．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】（1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 30．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据 证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 31．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G． 求证：（1）BF＝CG； （2）AB+AC＝2AF． 【答案】(1) 证明：如图，连接BE和CE. ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG. 在Rt△BFE和Rt△CGE中， BE=CE，EF=EG， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)， ∴BF＝CG. （2）证明：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE. 在△AFE和△AGE中， ∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE， ∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG. ∵BF＝CG， ∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF. 【详解】 分析：（1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG； （2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG=AF，于是得到结论． 详解：(1)略 (2)略 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.关键在于结合题意熟练运用相关性质. 32．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）     （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将线段进行转化． 利用线段垂直平分线的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短，确定的最小值，进而求出周长的最小值． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分线段， ∴当、、共线时，的值最小， ， ∴的最小值就是线段的长， ∴周长的最小值为， 故答案为：10． 34．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： （1）直线是线段的________线，射线是的________线； （2）求的度数． 【答案】（1）线段垂直平分；角平分     （2）23°      【分析】 （1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可； (1) 小问详解： 解：根据作图痕迹可知， 直线是线段的线段垂直平分线； 射线是的角平分线； (2) 小问详解： ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 【点睛】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n的值（　　） A. ﹣14 B. ﹣8 C. 3 D. 7 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算m＋n即可． 【详解】由题意，得 m＋2＝−4，n＋5＝−3， 解得m＝−6，n＝−8． 所以m＋n＝−14． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的性质，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记性质是解题的关键．点关于轴对称时，坐标不变，坐标变为相反数． 【详解】 解：∵点关于轴对称， ∴坐标不变，为；坐标取相反数，为 ∴对称点的坐标为． 故选：A． 3．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 点关于x轴的对称点的坐标为． 故选A． 【点睛】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征．掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键． 4．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（       ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【分析】 先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】 解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴点关于y轴对称， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键． 5．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）若点，关于y轴对称，则（       ） A. 8 B.  C. 1 D. 7 【答案】D 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】 ∵点，关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 7．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是， 故选A． 【点睛】 本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 8．（25-26学年八上·江西吉安·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（     ） A. 0 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的值，即可作答． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ，． 故选：B． 【点睛】 直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），即可得出a，b的值，进而得出答案． 10．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：B． 11．（25-26学年八上·江西上饶·期中）小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质，关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变号．依次应用两次轴对称即可求解． 【详解】 解：∵点与B关于x轴对称， ∴点B的坐标为； ∵点与C关于y轴对称， ∴点C的坐标为． 故选：． 12．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）点关于轴对称点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 根据题意得关于轴对称的点，即可得． 【详解】 解：关于轴对称的点， 点在第三象限， 故选：C． 【点睛】 本题考查了关于x轴对称点的坐标特点，象限内点的坐标符号，解题的关键是掌握这些知识点． 13．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知和关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了点的坐标特征，求代数式的值，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【详解】 解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年八上·江西九江·期中）已知点关于x轴对称的点的坐标是，则的平方根为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，求一个数的平方根．根据关于x轴对称的点坐标特征，x坐标不变，y坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的平方根，即可作答． 【详解】 解：∵点关于x轴对称的点的坐标是， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：C 15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解． 【详解】 ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 16．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】 解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称的点的坐标是． 17．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为： 18．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）已知点，点关于轴对称，则的值是　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称点的坐标特点和代数式求值，其中根据轴对称点的坐标特点确定a、b的值是解答本题的关键. 先根据关于y轴对称点的坐标特点确定a、b的值，然后代入求值即可. 【详解】 解：由题意得：，则 故答案为. 19．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形； （2）的面积为                 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出图形即可； （2）利用割补法求出三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　． 【答案】 【分析】 本题坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标是点， 故答案：． 22．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为： 23．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查关于y轴对称点的坐标特点，掌握关于y轴对称点的坐标特成为解题的关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”即可解答． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）点与点关于轴对称，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，利用横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 是的相反数， 即． 25．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知点和关于轴对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特点，求解代数式的值，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的值，最后求幂． 【详解】 解：点和关于轴对称， 因此，，且， 解得，， 所以， 故， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 点与点关于x轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】（1） 如图，为所作；      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：，，； (3) 小问详解： 解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 28．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． (3) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求． 29．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在图中作出关于y轴对称的图形（A，B，C的对称点分别是，，）； （2）关于x轴对称的图形为（A，B，C的对称点分别是、，），不画图直接写出点、，的坐标； （3）的形状是______． 【答案】（1） 如图：      （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）等腰三角形      【分析】 本题考查轴对称变换作图，两点间的距离，等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称变换点的坐标规律是解题的关键． （1）根据关于y轴对称，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到，，的坐标，顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称，对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相同，得到点、，的坐标； （3）通过三条边的关系进行判断即可． (1) 小问详解： 解：根据关于y轴对称得，，，， (2) 小问详解： 解：根据关于x轴对称，对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相同， 则、，， 答：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）得，、，， 则， ， ， 由于， 则是等腰三角形． 30．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 【答案】（1）如图所示：即为所求，      （2）5     （3） 如图所示：点P即为所求． 【分析】 （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：， (2) 小问详解： △ABC的面积为： ； 故答案为：5； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解本题的关键. 31．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 32．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）已知点与点关于x轴对称，求的平方根． 【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系下点关于x轴对称的特点，以及平方根的概念，解决本题的关键是求解出a与b的值． 点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，根据此性质列方程求解a和b，再计算的平方根即可． 【详解】 解：点与点关于x轴对称， ∴横坐标相等：，解得； 纵坐标互为相反数：，解得 ∴， 又16的平方根为． ∴的平方根为． 33．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3） 【分析】 本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）点的坐标为． 35．（25-26学年八上·江西九江部分学校）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）画出关于y轴对称的，并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，点．      【分析】 本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中） 若点和点关于y轴对称， 则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，关于轴对称的点的特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得a与b的值，从而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：． 38．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1） 解：所作如图所示：      （2） 解：所作如图所示：      （3）      【分析】 本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ． 故答案为：1． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出该图形的对称轴l． （2）在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【答案】（1） 如图，直线l为所求作．      （2） 如图，点F为所求作． 【分析】 本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于x轴对称的，并写出的3个顶点坐标：______，______，______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为10，请直接写出所有满足条件的点P的坐标______． 【答案】（1）如图，即为所求，，，      （2）或      【分析】 本题考查了图形与坐标——轴对称，三角形面积的计算等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）根据点和点都在轴上，直接利用三角形面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中，点为，点为，点为， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 42．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的 (点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)； （2）在x轴上找出点P，使得点P到点E，F的距离之和最短(保留作图痕迹)． 【答案】（1）如图，      （2）如图，点P即为所求作．      【分析】 （1）先求出各顶点坐标，再描点连线即可； （2）连接交x轴于点P，利用三边关系可以说明：点P到点E，F的距离之和最短． (1) 小问详解： 解：∵，，，关于x轴对称的， ∴，，， ∴即为所求作． (2) 小问详解： 连接交轴于点P，连接， 取点为轴上异于点P的任意一点，连接、， 则， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴仅当与点P重合时，点P到点E，F的距离之和最短， ∴点P即为所求作． 【点睛】 本题考查了最短路径问题，三角形三边关系的应用，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 43．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． （3）在轴上作出一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求；，，．      （2）     （3）如图，点P即为所求 ；      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、点的坐标、割补法求三角形的面积、两点之间线段最短等知识点，根据成轴对称图形的特征进行求解是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定的对应点、、的位置，再依次连接即可得出；然后写出、、的坐标即可； （2）运用割补法列式计算即可； （3）如图：连接交y轴于一点，即为点P，此时最小，再观察坐标系，写出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，； (3) 小问详解： 解：因为， 所以连接交y轴于点P，此时最小，点P即为所求， 观察平面直角坐标系可得． 44．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示： ；     （2）     （3）点即为所求： 【分析】 本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： (2) 小问详解： 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 45．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点关于的对称点；②作射线交于点；③连接.试用所作图形进行判断，　　　　　　　　　　　　　.(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】 利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】 解：如图，    ，关于对称， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 46．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析     （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）先根据轴对称性质得到对应点，再顺次连接可得图形； （2）根据图形可得答案； （3）根据网格特点和割补法求解三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：由图得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 47．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点坐标、、． （1）在网格中画出关于y轴对称的． （2）写出关于x轴对称的的各顶点坐标． （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）6.5      【分析】 本题考查了轴对称变换以及三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再写出的各顶点坐标即可； （3）运用分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：的面积． 48．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，的顶点，，都在方格纸的格点上，试在方格纸上按下列要求作图：    （1）在图1中作出一个以为公共边且与面积相等的三角形（三角形的顶点在格点上）； （2）在图2中作出与关于直线对称的三角形，并用直角三角尺作出中边的高． 【答案】（1）如图，即为所求；         （2） 如图，，即为所求 【分析】 本题考查了全等三角形，网格中画轴对称图形，三角形的高； （1）以为对称轴画全等三角形即可； （2）找到，，关于直线的对称点，依次连接，再利用直角三角尺画出高 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）在如图所示的方格纸中，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为； （1）作出关于y轴对称的（其中分别和对应）； （2）将先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到的，请画出（其中分别和对应） （3）试在x轴上找一点P，使得的值最小，不用画图，请直接写出P点坐标． 【答案】（1） 解：作出点关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求，如图所示：      （2） 解：作出点平移后的对应点，顺次连接，则即为所求，如图所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换，平移作图，与轴对称有关的最短路径问题，解题的关键是作出相应点的坐标． （1）作出点关于轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为所求作的点，如图所示： ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小， ∴． 50．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】（1） 如图1：即为所求；      （2）     （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为      【分析】 此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ； (3) 小问详解： 解：点P的坐标为． 51．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作图：画出关于轴对称的． （2）填空：写出以下各点的坐标：（       ）；（       ）；（       ）． （3）作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． （4）若小正方形的边长为1，多边形的面积为______． 【答案】（1） 如图所示：      （2）；；     （3）如图；     （4）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质，根据网格求面积； （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可直接得出点，，的坐标； （3）连接与轴交点即为点； （4）多边形的面积等于以轴为界的两个梯形面积之和，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则，当在上时的值最小． (4) 小问详解： 多边形的面积为， 故答案为：． 52．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知点． （1）若点关于轴对称，试求的值； （2）若点关于轴对称，试求． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键． （1）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数建立方程组，解方程组即可得； （2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等建立方程组，解方程组求出m，n的值，然后再代入代数式求解即可． (1) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴ ， 解得 ． (2) 小问详解： 解：点关于y轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴ 53．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上找一点D，使得最小，请你直接写出D点坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 点的坐标是     （2）在y轴上找一点D，作图如图，D点坐标是      【分析】 本题主要考查了轴对称变换作图、最短路径问题、求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据题意得到点关于轴的对称点，即可求解； （2）作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，再利用坐标系即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小， 根据坐标系可得：． 54．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中， （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点D，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 【答案】（1） 及如图所示；      （2）10     （3）或或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中描点，作关于坐标轴对称的图形，三角形全等的性质； （1）先描点，再依次连接、、三点即可得到，作出、、关于轴的对称点、、，依次连接即可得到； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：；，即可求得点D的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：如图，，，， 故答案为：或或． 55．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）如图，是一个正方形格纸，中A点坐标为，B点的坐标为． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出关于x轴对称图形，并直接写出：、、的坐标； （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标．（在图中标出M点位置，保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图，建立直角坐标系，和关于轴对称；      （2）如图，即为所求作，、、；     （3）如图，点即为所求作，．      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，坐标关于坐标轴对称的特征，线段最短问题，熟练掌握网格的结构，正确作出对应点是解题关键． （1）根据、两点坐标建立直角坐标系，进而利用轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质画出图形，得到坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出其与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 由轴对称的性质可知，， 的周长， 即当、、三点共线时，的周长有最小值， 关于轴的对称点的坐标为，， 设直线的函数解析式为， 则 ，解得： ， 直线的函数解析式为， 令，则，解得：， M点的坐标为． 56．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）已知两点． （1）若A，B两点关于x轴对称，求的值； （2）若点A到y轴的距离是3，且轴，求点A的坐标． 【答案】（1）4；（2）A(3，3)或(﹣3，3) 【分析】 （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可； （2）根据一点到y轴的距离即为该点横坐标的绝对值，从而求出A点的横坐标，再由AB平行x轴，得到A、B纵坐标相同，即可求解． 【详解】 解：（1）∵A，B两点关于x轴对称， ∴， ∴，， ∴； （2）∵点A到y轴的距离是3， ∴点A的横坐标为3或﹣3， 又∵AB∥x轴， ∴点A的纵坐标为3， ∴A(3，3)或(﹣3，3)． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离的知识． 57．（25-26学年八上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 58．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）     （3）1      【分析】 本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求作： (2) 小问详解： 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 59．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（1）若点与点关于x轴对称，求m的值． （2）如图，，在中，是最长边．且．在中，最长边______，的长为______；与相等的角为______． 【答案】（1）（2）；2.1； 【分析】 本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，全等三角形的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的两个点的坐标特征，列方程即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】 （1）解：点与点关于x轴对称， ， 解得； （2）解：，在中，是最长边， 在中，最长边为，，，， ， 故答案为：；；． 60．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知矩形，请按要求完成下列作图： （1）在图中用尺规做出关于的轴对称图形（保留作图痕迹）； （2）在图（1）的基础上，仅用无刻度直尺做出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 为所求作的三角形；      （2） 如图所示： 【分析】 （1）作点B关于的对称点，连接、即可； （2）连接交于点O，设为、的交点，连接即可． (1) 小问详解： 解：如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧，与交于M、N两点，以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点P，以点P为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接、，则为所求作的三角形； (2) 小问详解： 解：连接交于点O，设为、的交点，连接，则为所求作的的垂直平分线，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 根据轴对称可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，作轴对称图形，尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上． 61．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图如下： ； （）如图， ，； （） 【分析】 本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】 （）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（       ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】 解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8． 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）两个底角为、顶角为的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又标准．如图，在中，，，，为的角平分线，则图中“黄金三角形”的个数是（       ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 由在中，，，角平分线与相交于点O，利用等边对等角与角平分线的性质，易求得图中各角的度数，然后利用“黄金三角形”的定义，即可判定，，，，都是“黄金三角形”． 【详解】 解：∵在等腰中，，， ∴， ∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴图中 “黄金三角形”有：，，，，共5个． 故选：C． 【点睛】 此题考查新定义，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的角平分线．此题难度适中，正确理解“黄金三角形”的定义是解题的关键． 3．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意上点，PDOA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD=4，则PE的长为（          ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】 解：过点作于，如图所示： 平分，， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． 5．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______． A. 6 B. 8 C. 13 D. 10 【答案】C 【分析】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故选：C． 6．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 7．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，射线平分，，于点D，，等于5，等于（     ） A. 5 B. 10 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，得到，平行线的性质，得到，进而得到即可． 【详解】 过点作， ∵射线平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．过作于，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可． 【详解】 解：过作于， 则，， ， ， ， 故选：B． 9．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了含的直角三角形. 先求出，通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质计算． 【详解】 解：垂直平分， ， ， ， (cm) ， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形判定和性质以及30°直角三角形的性质．掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 11．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）将两块全等的含的直角三角板如图放置，，，，则的长为（       ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，30度角的性质． 根据全等三角形的性质得到，，根据30度角的性质得到，即可求出的长． 【详解】 解：∵两块全等的含的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， 即． 故选：D． 12．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，是的平分线，且，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】在AB上截取AC′=AC，连接DC′，由题知AB=AC+CD，得到DC=C′B，可证得△ADC≌△ADC′，即可得到△BDC′是等腰三角形，设∠B=x，利用三角形的内角和公式即可求解． 【详解】解：在AB上截取AC′=AC，连接DC′ 如图所示： ∵AB=AC+CD ∴BC′=DC ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠C′AD=∠DAC 在△ACD和△AC′D中 ∴△ACD≌△AC′D ∴C′D=DC，∠ACD=∠AC′D ∴DC′=BC′ ∴△BC′D是等腰三角形 ∴∠C′BD=∠C′DB 设∠C′BD=∠C′DB=x，则∠ACD=∠AC′D=2x ∵∠BAC=81° ∴x+2x+81°=180° 解得：x=33° ∴∠ACB=33°×2=66° 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定以及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键． 13．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 由等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义计算可得，再由三角形内角和定理即可判断① ；延长、交于点，，得出，证明，得出，即可判断② ；根据三角形面积公式计算即可判定③ ；由全等三角形的性质即可判定④ ；过点作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式即可判断⑤ ． 【详解】 解：① 在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故① 正确； ② 延长、交于点， ， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故② 正确； ③ ∵， ∴， ∴，故③ 错误； ④ 由② 可得，， ∴，， ∴，故④ 正确； ⑤ 如图，过点作于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故⑤ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ⑤ ，共个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在四边形中，，，平分．下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若E是的中点，则 【答案】A 【分析】 本题考查了平行线，角平分线的性质，等边对等角等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行线的性质可证A选项正确，结合题意，逐一判定B，C，D选项错误即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，即，故A选项正确，符合题意； ∵是否平行，题干中缺少条件确定其关系， ∴无法得到，故B选项错误，不符合题意； 如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵与的关系不确定，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 设点到的高为，则， ∵E是的中点， ∴， ∵无法确定值的大小，故D选项错误； 故选：A ． 15．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，按如下步骤操作：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在三角形内部交于点D；③画射线，已知的重心E恰好在射线上，连接，．下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、三角形重心的性质及等腰三角形的三线合一；解题的关键是由重心在上推导出是中线，结合角平分线得出 【详解】 解：由尺规作图知平分，故，A选项成立； ∵E是的重心且在上， ∴是边上的中线，即； 又平分， ∴，故（），C选项成立， 又（等腰三角形三线合一）,在上，故，D选项成立； 而需，题中仅，故B选项不一定成立． 故选：B． 16．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，已知，若，求的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．由题意易得，，…然后根据三角形外角的性质可得…．．，由此可得规律． 【详解】 解：∵，，，，， ∴，，…．．； ∵， ∴， 同理可得，……； ∴ 故选B． 17．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（             ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理计算即可. 【详解】 ①中，作任意一底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高即可；④中，在BC边上截取CD=CA即可．故答案选D． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理;等腰三角形的判定定理．运用三角形内角的度数来判断等腰三角形是解题的关键. 18．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；由斜边大于直角边即可判断④的错误． 【详解】 解：由题意得：，为的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ，故A的结论正确，不符合题意； 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段， ，故B的结论正确，不符合题意； 中，， ， ， ，故C的结论正确，不符合题意； 在中，， ， ， ，故D的结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，A．由对称的性质得，由 等腰三角形的性质得，，即可判断；B．不一定等于，即可判断；C．由对称的性质得，由全等三 角形的性质即可判断；D．过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断． 【详解】 解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、∵由已知不能证明出一定等于， ∴不一定等于，结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 20．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，平分，平分，，过点P作，分别交于M、N，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【分析】 根据平行线的性质，角的平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，平分，平分， ∴ , , ∵， ∴ , , ∴，， ∴， ∵， ，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， 故选：D． 21．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论③；根据题意可证，得到，，从而判断结论②；结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点作于点， 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有① ② ③，共3个， 故选：B． 22．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）等腰三角形有一角的度数是，则底角的度数是　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形有一角的度数是，一个三角形不可能有两个内角是钝角，故顶角为，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】 解：等腰三角形有一角的度数是100°，即当顶角为， 则底角的度数为， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据含度角的直角三角形的性质求得斜边长，再求这棵树在折断前的高度． 【详解】 解：∵一棵竖直的树在一次大风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角， ∴斜边长为米， 即这棵树在折断前的高度为米， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，，，，点E在边上，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】A度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质；由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；掌握全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：， ，， ，， ； 故答案为：． 25．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等边对等角，分类讨论若，若，若，三种情况即可求解； 【详解】 解：由题意得：； 若，如图所示： 则， ∴； 若，如图所示： 则； 若，如图所示： 则， ∴； 故答案为：或或 26．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知，，同时给出了下列四个条件． ①   ②   ③   ④ （1）上述条件中可以得出的条件有______； （2）请你选择一种加以证明． 【答案】（1）① ② ④     （2）① （答案不唯一）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． （2）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，上述条件中可以得出的条件有① ② ④ ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 当选择①时， 则在和中， ∴； 当选择②时， 则在和中， ∴； 当选择④时， ∴ 则在和中， ∴； 27．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 28．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图所示，点E，F在BC上且． （1）求证：AF=DE． （2）若，求证：OP平分∠EOF． 【答案】（1） 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴AF=DE；     （2） 证明：∵Rt△ABF≌Rt△DCE ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∵OP⊥EF， ∴OP平分∠EOF．      【分析】 （1）根据题意证明Rt△ABF≌Rt△DCE即可； （2）由（1）的结论可得∠AFB=∠DEC，根据等角对等边可得OE=OF，根据等腰三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）是解题的关键． 29．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，，，交于点D，，求的长． 【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 30．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，． （1）写出图中三对相等的角___________． （2）求的大小． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了等腰三角形的性质． （1）由在中，，，可得图中的相等的角有：； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． (1) 小问详解： 解：在中，，， 相等的角有：； (2) 小问详解： 解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 31．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 几何命题的证明共有5个步骤：①画图：根据题目中的题设和结论画出图形；②审题：根据题目中的文字语言找出题设和结论；③分析：找到证明的思路和方法；④写已知和求证：用数学符号语言写出已知和求证；⑤证明：写出证明过程.    （1）请你写出正确的排序：________________； （2）请你完善图形后用符号语言写出已知并加以证明. 已知：________________________________； 求证：是直角三角形. 证明： 【答案】（1）② ① ④ ③ ⑤     （2） 解：已知：如图，在中，是边上的中线，且， 求证：是直角三角形， 证明：∵是边上的中线， ∴． 又， ∴， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． 【分析】 本题主要考查了命题与证明；等腰三角形的性质于判定，三角形内角和定理． （1）根据求证命题的步骤排序即可求解； （2）根据直角三角形的性质得到，等量代换得到，再利用等腰三角形的性质得到，，最后根据三角形内角和定理得到来求解． (1) 小问详解： 解：请你写出正确的排序：② ① ④ ③ ⑤ 故答案为：② ① ④ ③ ⑤． (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝　　　． 【答案】9 【分析】 根据已知条件求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长，同理可得的长，即可求得的长． 【详解】 ∠ACB＝90°，∠B＝30°， CH⊥AB 在中， ∠ACB＝90°∠B＝30°， 【点睛】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 33．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）如图1，已知点D，E分别是，的中点，作出的对称轴； （2）如图2，以的两腰为边向外作等边和，作出的对称轴． 【答案】（1） 解：由于，点D，E分别是，的中点，则连接、，且与交于点，连接并延长， 如图1，即为所求：      （2） 解：连接、交于点，连接并延长，如图2即为所求： 延长 交于点，连接并延长，如图3即为所求： 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形中线的性质，作出的对称轴即可； （2）根据等腰三角形的性质，作出的对称轴即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 35．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，， ， 同理可得，． 又双翼边缘的端点与之间的距离为， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大密度为． 36．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； (1) 小问详解： 解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． (2) 小问详解： 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 37．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）在△ABC中，，，则　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 38．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 39．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）（1）在中，，根据图中的数据，求的度数． （2）如图，点B在线段上，，，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， 又∵点B在线段上，，， ∴． 【分析】 本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角得出，再利用三角形内角和定理，得到关于的方程求解，进而求得； （2）先利用平行线的性质得出，再利用证明． 【详解】 （1）解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴； （2）略 40．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）在等腰直角三角形中，，，D为直线上的一动点（不与点B，C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是分类讨论腰的情况． 根据等腰三角形的不同情况分类讨论，根据点在直线上的不同位置，分情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 情况一：当时， 当点D在的延长线上，如图， ∴， ∴． 当点D在的延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 情况二：当时， 此时点D在的延长线上，如图， ∵， ∴． ∴， ∴． 情况三：当时， 此时点D与点C重合，不满足题意． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 41．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，证明得到，据此可证明． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，点D是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图1中，作一个与全等的三角形； （2）在图2中，作边上的高． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形，      （2） 如图，即为所求作， 【分析】 （1）利用等腰三角形的轴对称性与求解； （2）根据三角形的三条高线相交于同一点求解． (1) 小问详解： 解：理由：∵在中，，点D是的中点， ∴为对称轴，点E与F为对应点，点B与C为对应点， ∴，， 又， ∴， ∴即为所求作的三角形， (2) 小问详解： 连结并延长交的延长线于点G，连结交的延长线于点F，即为所求作， 理由：∵在中，，点D是的中点， ∴， ∴为的高的交点， ∴为边上的高． 【点睛】 本题考查了画三角形的高，三线合一，用（）证明三角形全等（或者），全等三角形综合问题,无刻度直尺作图，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 43．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】 解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 44．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）用一条长为 20cm 的细绳围成一个等腰三角形 ①如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少 ②能围成有长是 4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】（1）各边长为：8cm，8cm，4cm; （2）能围成有长是 4cm 的等腰三角形， 理由：① 当 4cm 为底时，腰长＝8cm； ② 当 4cm 为腰时，底边＝12cm，因为 4+4＜12，故不能构成三角形，故舍去； 故能构成有一边长为 4cm 的等腰三角形． 【分析】 (1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长; (2)题中没有指4cm所在边是底还是腰,故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验. 【详解】 解：（1）设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，则 2x+2x+x＝20 解得，x＝4 ∴2x＝8 ∴各边长为：8cm，8cm，4cm． （2）略 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用. 45．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是               三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 【答案】（1）等腰     （2） 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO=∠BOP， ∴∠DOP=∠DPO， ∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形．      【分析】 （1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． (1) 小问详解： 解：猜想△DOP是等腰三角形； 故答案为：等腰． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边． 46．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，图、图均为由边长为的小正方形组成的的方格网络， 的顶点、、都在小正方形的格点上．（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，已知，作的角平分线． 【答案】（1）如图：      （2）如图： 【分析】 本题主要考查角平分线的尺规作图方法在方格网格中的应用，涉及到等腰三角形的性质以及网格的特征等知识．解题的关键在于善于观察网格中线段的长度和角度关系，利用网格的边长为的特点，构造出满足条件的等腰三角形． （１）通过观察得出为等腰三角形，利用“三线合一”的性质（底边上的高、底边的中线、顶角的角平分线为同一条），再利用网格性质找出底边中点，连接顶点与底边中点即可． （２）已知，构建以为腰的合适的等腰三角形，再利用“三线合一”的性质，找出底边中点，连接顶点与底边中点即可． (1) 小问详解： 通过观察得出为等腰三角形，利用“三线合一”的性质（底边上的高、底边的中线、顶角的角平分线为同一条），再利用网格性质找出底边中点，连接顶点与底边中点．可知为等腰三角形的底边中线，再利用“三线合一”的性质，同时也是顶角的平分线． (2) 小问详解： 已知，延长至点，使，连接，构建以为腰的等腰三角形，通过观察和网格的性质可知点为底边的中点，连接，再利用“三线合一”的性质，可知为等腰三角形的底边中线，同时也是顶角的平分线． 47．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭，沿小路种植了三棵小树．经测量发现：景观亭到小树、小树的距离和小树到小树的距离相等（即）．图中所有点都在同一平面内，点在同一条直线上，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．根据等腰三角形的性质可得，再根据外角的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ． 48．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】 解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 49．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 50．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（）按如图放置，顶点P在边上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，当点P在滑动中满足时，且为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等边对等角以及三角形内角和定理的应用，由题意推出；分类讨论当时，当时，当时，即可求解； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， 综上所述：的度数为或或； 故答案为：或或． 51．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证： （2）判断和的位置关系并证明． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴；     （2） 解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，平分，于点F，E为上一点，且．    （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）由平分得到，又由得到，则，得到，又由即可得到结论； （2）由得到，平分得到，又由得到， 根据三角形外角的性质得到，则，又由，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行线的判定和性质、等边对等角、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，理清角之间的关系是解题的关键． 53．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． （1）如图①，当点P为的中点时，求证：． （2）如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】（1） 如图，过点作交于， 点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 在与中， ， ， ；     （2）线段ED的长度保持不变， 理由：由（1）证得，， ，， ， ， 为定值． 【分析】 （1）过点作交于，由题意可证是等腰三角形，，即可得结论； （2）利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 54．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD=　　　　　　　　°. 【答案】25°. 【分析】在△ABC中，∠A=65°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACB=70°，再由线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据等边对等角得出∠DCB=∠B=45°，然后根据∠ACD=∠ACB-∠DCB，计算即可求解． 【详解】在△ABC中, ∵∠A=65°,∠B=45°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=70°−45°=25°. 故答案为25°. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质（等边对等角），能根据已知条件和相关定理利用已知角去表示未知角是解决本题的关键. 55．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图， 在中，， 点C是延长线上一点，是线段的垂直平分线，平分，连接，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形外角定义．先根据线段垂直平分线的定义得出，，，证得，再利用角平分线的性质得出，利用三角形外角定义求得结果． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，平分， ∴， ， ∴． 56．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 【答案】（1）8     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． (2) 小问详解： 略 57．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知，，在射线上找一点（不与点重合），使得为等腰三角形，则的度数是　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分为当时，当时，时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，当时， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可得：为等腰三角形时，的度数是或或， 故答案为：或或． 58．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，中，，，于H，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）请用无刻度尺完成下列作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，，作线段的垂直平分线； （2）如图2，已知，，作线段的垂直平分线． 【答案】（1） 如图，直线即为所求，      （2） 如图，直线即为所求， 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，再由垂直平分线的判定方法即可求解； （）延长交于点，连接，证明，则，即有，所以，从而得，再由垂直平分线的判定方法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴垂直平分， ∴直线即为所求； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴直线即为所求． 60．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如果一条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“上线”；如果两条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“上上线”． （1）如图，在中，，点在边上，且，求的度数； （2）如图，在中，，和是的“上上线”，点在边上，点在边上，且，，求的度数． 【答案】（1）；     （2）的度数为或．      【分析】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的度数； （）设，当时，利用三角形外角的性质得到，解得，当时，利用三角形内角和定理得到，解得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设， 当时，如图， ∵，解得， ∴； 当时，如图： ∵，解得， ∴， ∴的度数为或． 61．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2） 【分析】 （1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】 （1）略 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 62．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先证明得到，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质求，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ， 在中，，， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为． 63．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含 角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据直角三角形角所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 64．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数． 【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△CEF中 ， ∴△DBE≌△CEF， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∠DEF＝67.5°. 【分析】 （1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【详解】 （1）略 （2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠1+∠2＝112.5° ∴∠3+∠2＝112.5° ∴∠DEF＝67.5° 【点睛】 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°． 65．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． ∴， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，再根据证明可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】 略 66．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】 解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 67．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）根据折叠的性质得，平行线的性质得，继而证明得到即可． （2）证明，结合解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，对顶角性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握性质和判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据（1）证明，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 68．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若四边形的周长为14，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 69．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题．一些较复杂的问题，只要依据条件构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，点在边上，，若在上取一点，使得．写出图中一对全等的三角形是___________． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点、的坐标分别是、，边交轴于点，若，求的值； 【拓展探索】 （3）如图3，在和中，，，射线交线段于点，求证：点为线段的中点． 【答案】（1）； （2）3； （3）证明：连接，过N作交的延长线于点C，则，     设，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴为线段的中点． 【分析】 （1）利用等边对等角求得，，推出，再利用即可得到； （2）在x轴上取M，使得，连接，证明，推出即可； （3）连接，过N作交的延长线于点C，证明，推出，，再证明，即可． 【详解】 （1）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：在x轴上取M，使得，连接，     在和中， ， ， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）略 【点睛】 本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是条件合适的辅助线，构造全等三角形． 70．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． （1）求的度数； （2）求的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； (1) 小问详解： 解：， ， 平分平分， ； (2) 小问详解： 解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 71．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，P是平分线上的一点，于点M，交于点N．若，则的长是　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线定理证得和，根据平行线的性质证得，进而求得，根据平行线的性质结合角平分线的性质证得是等腰三角形，从而求得的长． 【详解】 解：过点作于点，如图， 是平分线上的一点，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 故答案为：6． 72．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，，是边上的高，设． （1）则______； （2）求的度数． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理． （1）根据等边对等角得到，根据， 即可得到； （2）根据三角形内角和定理求出，可知，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴． 73．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）已知直线l上有B，C两点，以为底边作等腰，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接，以为边在的右侧作等腰，使，连接． （1）如图1，若点D在线段上，且． ①求证：； ②求的度数； （2）若点D在直线上，且，则______（用含的式子表示）． 【答案】（1） ① 证明：∵， ∴，即． ∵与是等腰三角形， ∴，， 在与中， ， ∴； ②；     （2）或．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质得到，，即可证明； ② 由，得到，再由等腰三角形的性质得到，即可求解； （2）分两种情况：① 当点D在的延长线上时，② 当点D在的延长线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 当点D在的延长线上时，如图： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ② 当点D在的延长线上时，如图： ∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵是和的外角， ∴， ∴， 故答案为：或． 74．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 75．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，，D是边上一点，连接，，且，连接交于点F，交于点H． （1）求证：； （2）当时，求证：H是的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴H是的中点．      【分析】 （1）根据证明即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出相应的角度，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 76．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 【答案】（1）② ③     （2） 是“倍角三角形”．理由如下： ， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”．      【分析】 本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，再根据三角形外角的定义和性质即可得出，再根据 “倍角三角形”的定义判断即可． (1) 小问详解： 解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：② ③； (2) 小问详解： 略 77．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ． ， ， ． 78．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．分四种情况讨论，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：如图，当，时，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，时， 同理，； 当，时， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上，的大小为或或． 故答案为：或或． 79．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，为边上的一点，于，于． （1）若为的中点，求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）40      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积的计算． （1）证明即可． （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ， ． 80．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为9，，求的周长． 【答案】（1）     （2）15      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和外角的性质，解决此题的关键是合理利用垂直平分线的性质； （1）根据垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再根据外角的性质即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质得到线段相等，根据已知线段的长度算出相关线段的长度即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：, ∴， ∵的周长为9， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 81．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，为边上一点，连接，且，若，则　　　　°． 【答案】54 【分析】 本题主要考查了等边对等角和外角的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据等边对等角得到相关角的度数，根据外角的性质得到角的度数，再根据三角形的内角和即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54． 82．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． （1）求证：； （2）如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 【答案】（1） 证明：∵，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 83．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】 解：① 如图1，点P在上时， ， 顶角为； ② 点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 84．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 85．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 86．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴；     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即.      【分析】 （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在同一水平地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，，，，两点之间的距离为，． （1）求的度数． （2）求，两点之间的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角所对直角边是斜边的一半的应用，以及直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，等角对等边，熟练掌握三角形有关的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余，即可求解； （2）根据三角形外角的性质，可得，即，由所对直角边是斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ． (2) 小问详解： ， ． ． ． ，， ． 故，两点之间的距离为． 88．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点D在直线上（不与点B、C重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）解：与的数量关系是；理由： 设，，， ① 如图1，当点D在点B的左侧时， ∴ ，（1）-（2）得，， ∴； ② 如图2，当点D在线段BC上时， ∴ ，∴， ∴； ③ 如图3，当点D在点C右侧时， ∴ ，（2）-（1）得，， ∴． 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是． 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 略 89．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，中，，分别为的垂直平分线，E，G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的长为30，求的周长． 【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据三角形的周长公式计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：的周长． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 90．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在直角三角形中，，，垂足为．若，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据，，得，，根据垂直的定义得，继而求出，得到，可得答案．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】 解：∵在直角三角形中，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 91．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ．     （2） 证明：， ． ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 92．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质等，连接，可证，得到，进而得到，再求出的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 93．（25-26学年八上·江西宜春·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”，例如，在中，其三个内角分别为、、，则是“准等边三角形”． （1）【理解概念】顶角为的等腰三角形______“准等边三角形”（填“是”或“不是”）； （2）【巩固新知】已知是“准等边三角形”，其中，，求的度数． 【答案】（1）是     （2）或      【分析】 （）求出底角度数，再根据“准等边三角形”的定义即可判断求解； （）分，和三种情况，根据“准等边三角形”的定义解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵等腰三角形的顶角是， ∴等腰三角形的底角为， ∵， ∴顶角为的等腰三角形是“准等边三角形”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：① 当时， ∵， ∴， 此时，不合题意； ② 当时， ∵， ∴， ； ③ 当时，则， ， ∴， ，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或． 94．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴ ， ∵点为直线上异于点的一点， ∴当是等腰三角形时，只能或， ① 当时，如图所示： ∴； ②当时，点D在点B的左侧时，如图所示： ∴ ， ∵， ∴； 当时，点D在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴； 综上所述的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类讨论． 95．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，是腰的垂直平分线． （1）若，求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由等腰三角形的性质得，即得，又由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据角的和差关系即可求解； （）由已知可得，由线段垂直平分线的性质得，即得到的周长，再代入已知计算即可求解； (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵是腰的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是腰的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 96．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，点是边上一点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）若，求的度数； （3）设，如图2，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据证明即可得证； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，再根据全等三角形的性质可得，进而可求； （3）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，进而可得，再根据三角形的内角和即可得解． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 97．（25-26学年八上·江西上饶·期中）作图： （1）如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； （2）已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【答案】（1） 如图，点Q即为所求．      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． (1) 小问详解： 解：连接和交于点Q，点Q即为所求． (2) 小问详解： 略 98．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． （1）若．求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=50°，可求得∠BAC=80°，再根据外角的性质、等边对等角得∠AFE=∠AEF=40°； （2）由等腰三角形三线合一得∠BAD =40°=∠AEF，从而AD//EG． 【详解】 （1）解：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 99．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 100．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，且， ， 在和中 ， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ∴垂直平分；     （2）6      【分析】 （1）先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据：，得出，结合，求出，根据垂直平分，得出，再在，根据直角三角形的性质求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴． 【点睛】 本题考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 101．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是的角平分线，，交AB于点E．求证：． 【答案】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】 略 102．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点作等腰直角（其中，且点C落在第一象限内），则点C的坐标为　　　（用t的代数式表示）． 【答案】 【分析】 过点C作轴，垂足为E，根据垂直定义可得，从而可得，再根据平角定义可得，从而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，即可解答． 【详解】 解：过点C作轴，垂足为E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键． 103．（25-26学年八上·江西南昌·期中）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空：                    ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知：, ； （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 104．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．    （1）当时，             ，             ； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25，65     （2） 解：当时，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （3）可以，或      【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：25；65． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ① 当时，， ∴； ② 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③ 当时，， ∴； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等判定方法，证明． 105．（25-26学年八上·江西南昌·期中）小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． （1）试说明点在的角平分线上； （2）已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 【答案】（1） 解：如图，作于点，连接， ∵四边形和四边形是完全相同的长方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴点在的平分线上，     （2）．      【分析】 （）作 于点，连接，由四边形和四边形是完全相同的长方形，可知，，则点在的平分线上； （）连接，则平分，所以，而，则，所以； 本题考查了等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，则平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 106．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图所示，为尺规作图痕迹，若，，则长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，等腰三角形的判定与性质，由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，可得，最后证明，进一步可得答案． 【详解】 解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，，是线段的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为： 6． 107．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E、F，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，则______（用含a的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题考查的是轴对称的性质、等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答； （3）根据等腰三角形的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：，分别是点关于、的对称点， ，， 的周长； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 108．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（多选）如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE∥BC,试说明AE平分∠DAC. 【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AE∥BC， ∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C， ∴∠DAE=∠EAC， ∴AE平分∠DAC． 【分析】 根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即可得∠DAE=∠EAC，所以AE平分∠DAC． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关键． 109．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则　　　　　 ． 【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 110．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，，，，求的面积． 【答案】9 【分析】 首先作，作交的延长线于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再证明，并得出高，即可求出面积． 【详解】 作于，作交的延长线于， ∵ ， ∵， 在和中： ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 111．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， （1）如图①求证：； （2）如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2） 解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1) 根据可证，利用可证； (2) 根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 112．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】 解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 113．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求的长． 【答案】（1） 是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴平分．     （3）5      【分析】 （1）根据线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质解答即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质证明平分即可． （3）根据等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故． 114．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，为任意三角形，以边为边分别向外作等腰三角形和等腰三角形，，，且，连接并且相交于点P． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据得到得到，证明即可得证； （2）根据三角形的全等判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质，熟练掌握等腰的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 115．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，，，作的平分线． （2）如图②，，，作边的垂直平分线． 【答案】（1） 即为所求．     （2） 即为所求．      【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质解答即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴平分， 则即为所求． (2) 小问详解： 解：连接，二线交于点O， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 连接AO，并延长交于点F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 则即为所求． ． 116．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． （2）【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． （3）【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】（1）与，与，与     （2） 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线；     （3）或或或      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当是等腰三角形，如图，时，，     ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，     ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，     ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，     设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 117．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接， （1）直接写出，两点的坐标：________，________； （2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； （3）如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 【答案】（1），     （2）     （3） 证明：在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点， 在和中    ∴ ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴   ， ∴， ∴．      【分析】 （1）非负性求出的值，即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，易得是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明，得到，，即可得出结果； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而推出是等腰直角三角形，证明，推出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 过点作于点，过点作轴于点 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵的横坐标为1， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴    ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，非负性，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 118．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_____． 【拓展延伸】 如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图，李刚同学将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上．已知，，的面积为，求的面积． 【答案】[问题情境]； [类比解答]； [拓展延伸] ， 证明：如图，延长、交于点，       ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， 由[问题情境]可知：， ∴； [实际应用] 【分析】 [问题情境]证明，得，即可； [类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，再由等边对等角得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证明得，再由[问题情境]知，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】 [问题情境] ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：； [类比解答] 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 由[问题情境]可知：， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展延伸] 略 [实际应用] 如图，延长交于， ∵将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上，，， ∴，即， 由[问题情境]可知：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，折叠的性质，角平分线定义以及三角形面积等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 119．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为　　　　　　　　°． 【答案】40 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 120．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）（多选）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=                       度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【分析】 （1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）① 略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】 该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 121．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在方格中，，两点都在小方格的格点上且坐标分别是，，若点也在格点上，且是等腰三角形，则点的坐标是　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．分为底和为腰两种情况考虑，画出图形，即可得出点的坐标． 【详解】 解∶如图所示， 当以为底时，点C的个数有1个，点的坐标是， 当以为腰时，点C的个数有2个， 点的坐标是或， 故答案为∶ 或或． 122．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，点的坐标为．若在平面直角坐标系中存在点（不与点重合），使得与全等，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质说明、，．根据全等三角形的判定画出图形，再读出点P的坐标即可． 【详解】 解：如图：过B作轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴，． ① 如图：当轴时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 如图：当轴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ③ 如图：当轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，点P的坐标为或或． 故答案为或或． 123．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图1，在中，，平分交于点，是边上的动点（不与点，重合），连接，将沿翻折得到，连接． 特例研究 （1）当，点与点重合（如图2）时，求的度数． 拓展延伸 （2）当，点与点不重合时，记，，探究与的关系． 一般推广 （3）当，点与点不重合时，根据（2）中的结论，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、等边对等角、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据折叠的性质可得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）由折叠的性质可得，，再由等边对等角可得，设，则；再说明，即，然后整理即可解答； （3）利用（2）的思路解答即可． 【详解】 解：（1）如图2：∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到，点与点重合， ∴，点D在上，即， ∴， ∴． （2）∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． （3）∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． 124．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）小明家里有一个含有角的直角三角形阳台角落还未装修，他想在这个角落贴相同的瓷砖，且瓷砖能完美填满角落（不浪费空间）．如图，，，按要求画出分割线（画图工具不限，只要求画出一种即可），简单写出画图的关键步骤． （1）在图1中，把这个三角形分割成三个大小、形状都相同的三角形． （2）在图2中，把这个三角形分割成四个大小、形状都相同的三角形． 【答案】（1） 如图，      （2） 如图， 【分析】 本题主要考查作图，涉及全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质或等腰三角形的性质． （1）根据角平分线的性质可知和面积相等，根据垂直平分线的性质得和面积相等即可； （2）作线段和的垂直平分线和，则，，，四边形为矩形，即有，，和面积相等． (1) 小问详解： 解：作的角平分线和作的垂直平分线， ∵，， ∴， ∴， 则， 那么，为等腰三角形的高，和面积相等， ∵，， ∴， 则和面积相等； (2) 小问详解： 解：作线段和的垂直平分线和， 则，，，四边形为矩形， ∴，，和面积相等． 125．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形，三角形外角性质，分四种情况讨论，分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 由折叠得，，， 当为等腰三角形时，分以下四种情况解答： ① 当时，，如图， ∴， ∵， ∴，此时点和点重合，显然不符合题意； ② 当时，，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④ 当点在线段上侧时，，，如图， 由折叠得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 126．（25-26学年八上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 【答案】（1）② （2），理由如下： 如图中，作交延长线于点于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）8 【分析】 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质及全等三角形判定，结合等腰三角形性质进行线段转化． （1）利用角平分线的性质直接得出结论； （2）如图中，作交延长线于点于点，证明，从而证明； （3）如图，在上截取，连接，利用前面结论得到，结合等腰三角形性质求出的长度． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：② ； （2）解：略； （3）如图，在上截取，连接， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 由（2）的结论得， ， ， ， ， ， ， ． 127．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）0.8cm     （3）B点坐标为（4，1）      【分析】 （1）证，再由证即可； （2）证，得，，即可解决问题； （3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作cm，于点E，过B作于点F，交x轴于点H，证，得，，则，，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴cm，， ∴(cm)， 即的长为0.8cm； (3) 小问详解： 解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴A， ∴， ∴B点坐标为（4，1）． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】 解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 故选：C． 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握三线合一是解题的关键；根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：是等边三角形，， ， ， ， 故选：． 3．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（       ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【分析】 本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】 解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 4．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（     ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故① 正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③ 正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故② 错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④ 正确． 【详解】 解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故① 正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③ 正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故② 错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④ 正确； 综上所述：正确的有① ③ ④ ，一共3个； 故选：B． 5．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）下列命题中，其中不正确的是（     ） A. 两个图形是否全等，只取决于图形形状、大小是否一样 B. 两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C. 边长相等的两个正三角形是全等图形 D. “”式子的意义为“小于或等于”，它是个真命题 【答案】B 【分析】 本题考查全等图形的定义和命题的真假判断,关键是熟练应用定义进行判断； 全等图形只取决于形状和大小，与位置无关；正三角形边长相等则全等，不等式“”是真命题． 【详解】 解：∵两个图形全等当且仅当形状和大小相同， ∴选项A正确，不符合题意； ∵两个图形是否全等与位置无关， ∴选项B不正确，符合题意； ∵正三角形三边相等，三角相等， ∴边长相等的两个正三角形全等， ∴选项C正确，不符合题意； ∵表示小于或等于，且成立， ∴是真命题，选项D正确，不符合题意。 故答案为：B． 6．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】 解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 8．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 ① 连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；② 可求得，，从而推出，结合得证；③ 在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④ 过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤ 根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤ 错误； 【详解】 解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故① 正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故② 正确； 如图，在上截取，    ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③ 正确； 如图，过点作于，    ，， ， ， ， . 故④ 正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤ 错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（       ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，利用等边三角形的对称性构造对称点，将“折线和”转化为“直线段”是解题关键． 根据点、关于对称，可将转化为，结合“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是的中点， ，， 点、关于对称， 如图，连接，交于点， 可知此时的值最小，最小值为的长度， 点是的中点， ， ． 故选：D． 10．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】 解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 11．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，已知是等边三角形，D、E分别在、边上． （1）若，求证：是等边三角形、 （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出，且是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，由，得，，则，所以，即可由，，证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得，，而，则，所以，即可由，，证明是等边三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知，平分．、分别在射线、上．    （1）在图（）中，当时，求证：． （2）若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴；     （2）成立      【分析】 （1）由题中条件可得，，在直角三角形中可得，，所以． （2）在上截取，连接，可得为等边三角形，进而可得，即，，进而结论得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：结论成立． 理由如下：在上截取，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题． 13．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在四边形中，垂直平分，，E是上一点，连接交于点F，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形；     （2）2      【分析】 （1）由垂直平分，可得，证明是等边三角形，，由，可得，则，进而结论得证； （2）如图，连接交于，由垂直平分，可得，，则，，由是等边三角形，可得，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接交于， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为2． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 14．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）（1）观察推理：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，、，垂足分别为点、．求证：． （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至（即，），连接，求的面积 （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（即，），设点运动的时间为秒． ①当__________秒时，． ②若要使点恰好落在射线上，请在备用图中画出符合要求的图，并求点运动的时间 【答案】（1）证明：∵、， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）8； （3）① 1； ②如图， 4 【分析】 （1）先利用等角的余角相等得到 ，则可根据“”证明 ； （2）过点作于D，如图，先证明得到，然后根据三角形面积公式计算； （3）①证明出是等边三角形，得到，，是等边三角形，，即可求解； ②如图，利用旋转的性质得 ， ，再证明 得到，则，然后计算点P运动的时间t． 【详解】 （1）略 （2）过点作于D，如图， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，由题意得：，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ② ∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动的时间． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的全等的判定和性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）追本溯源 （1）【课本习题】如图1，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：． （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，判断与大小关系并说明理由． 【答案】（1）证明：为等边三角形 为等边三角形的中线 ； （2），理由如下： 作，交于点，如图 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ，， ， 在和中 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可知，再由等腰三角形的性质可知，结合三角形中线的性质得到，从而得到，即可证明； （2）作，交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得为等边三角形，从而得到，，结合，从而证明，得到，即可得到； 【详解】 （1）略 （2）略 16．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 17．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：是等边三角形． 【答案】（1），     （2） 证明：由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （3） 证明：由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，，都是等边三角形，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而得到，即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，等边中，是边上的中线，且，E为中点，P为上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质等知识，连接交于P，根据等边三角形的性质得到，，是的垂直平分线，从而，得出，即可得到结论． 【详解】 解：连接交于P， ∵是等边三角形，是边上的中线，E为AC中点， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，即此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为8， 故答案为：8． 20．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． （1）试说明； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 在和中， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，结合，然后利用“”即可证明； （2）由全等的性质可得，进而利用外角的性质得到，然后等量代换即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ． 21．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作；      （2） 点即为所求作， 【分析】 （1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，于是得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 【点睛】 本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． 22．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，分别以，为腰向外作等腰，，且，，，点为的中点，连接． （1）如图1，若是等边三角形，则与的数量关系是________； （2）如图2，若是任意三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 成立，理由： 如图，延长到，使得，连接． 点为中点， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出； （2）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出． (1) 小问详解： ； 延长到，使得，连接． 点为中点，， 在与中， ， ，， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． （1）画出关于直线对称的（与，与，与相对应）； （2）在直线上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图，则点即为所求．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）连接交直线l于点，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交直线l于点，连接， 此时，为最小值 24．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，和都是等边三角形，且，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出多边形的对称轴． （2）在图2的内找一点P，使得． 【答案】（1） 如图，      （2） 【分析】 （1）找出对称轴上两点即可求解； （2）连结，交于点P，证明，得到，再根据三角形内角和的“8”字模型得到，即可得到． (1) 小问详解： 解：连结，交于点K，作直线， ∵和都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴多边形是轴对称图形，直线为所求作的多边形的对称轴． (2) 小问详解： 解：如图，连结，交于点P，与交于点， ∵和都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以点P即为所求作的点． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，无刻度直尺作图，画对称轴，根据旋转的性质说明线段或角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 25．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）教材呈现：以下是第十五章“综合与实践最短路径问题”的部分内容，在“活动一”介绍了“牧民饮马问题”． 牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【模型建立】 （1）如图1，在由个小正方形组成的网格中，格点，在直线同侧，请在直线上作一点，使得的值最小． 【模型应用】 （2）如图2，在等边三角形中，于点，，是的中点，是边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）的最小值为 【分析】 本题考查了作图——轴对称，轴对称性质，垂直平分线的性质，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质求解最短路径． （1）作点关于直线的对称点，再连接交直线于点，则，得到，当、、三点共线时，的值最小为，则此时的点即为所求； （2）连接，由题意可得垂直平分，推出，则，当、、三点共线时，的最小值，最小值为，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）如图，连接， 在等边三角形中，于点， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在等边三角形中，，，是的中点， ， 即的最小值为． 26．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为　　　　　　　　 ． 【答案】<度 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据等边三角形的性质证明可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）3      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， 28．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所作：      （2）5     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 29．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）（多选）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【详解】 分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 30．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当　　　　　　　时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，能分类讨论并画出符合的所有图形是解此题的关键．分为以下5种情况讨论，再根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定分别求解即可． 【详解】 解：分为以下5种情况， ① 当时，如图， ， ； ② 当时，如图， ， ， ； ③ 当时，如图， ， ， ； ④ 当时，如图， ， 是等边三角形， ， ； ⑤ 当时，如图， ， ， ， ； 综上所述，当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 31．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 　　　　　　 cm． 【答案】15 【详解】 根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 32．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当是的中点时，作的中线． 【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：即为所求． ，      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形的中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接相交于点D，连接交于E，即是的中线； （2）如图：连接相交于点G，连接交于F，即是的中线； (1) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为的垂直平分线，即是的中线． (2) 小问详解： 解：如图：设与相交于H， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中线， 由三角形三条中线在三角形内相交于一点，即是的中线． 33．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】（1） 作图如下：      （2）两点之间线段最短     （3）①12；②，      【分析】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）① 分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；② 根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； (3) 小问详解： ① 分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 34．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； （3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ；     （2） 证明：， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ；     （3） 证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）综合与实践 材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索． 材料二：如图1，已知直线上方，两个定点，在直线上找一个点，使得最小．小军同学给出以下解答：如图2，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，此时最小．证明过程如图3，在直线上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点与点关于直线对称，∴直线是的垂直平分线， ∴___________，________， ∴        =       ； ∵在中，， ∴，即最小． 任务一：完成材料二的填空． 任务二：如图4，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 任务三：如图5，在（2）的条件下，已知点，，分别是，，上的点，若，则周长的最小值为___________． 【答案】任务一：，，，；任务二：；任务三： 【分析】 本题主要考查最短路径问题，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质，解决此题的关键熟练运用将军饮马问题的模型； （1）根据三边关系即可证明； （2）变成将军饮马的模型解决问题； （3）运用两次对称，得到等边三角形，进而得到答案 【详解】 解：（1）有对称性可知：，，， （2）如图4，当点运动到直线与的交点时，周长最小， 周长， ∵，， ∴的周长为． （3）如图5，过点作，垂足为点，过点分别作，的对称点，，连接，交于点，交于点，则的周长最小， 有对称性可知：,, ∵， ∴， ∴是等边三角形, ∴, ∴的周长， 如图6，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴周长的最小值为． 36．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】（1） 解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ．     （2）     （3）      【分析】 （1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； (3) 小问详解： ， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】 本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 37．（25-26学年八上·江西宜春·期中）【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． （1）【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； （2）【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； （3）【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 【答案】（1） 证明：如图2（2）， 由翻折可知：； ∵， ∴， ∵， ∴；     （2）①， ②，理由如下： 在上取点，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查图形的翻折，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由翻折可知：；根据即可求证； （2）① 将沿翻折，由角平分线得到落在上，则，即可得到 ，代入即可得到； ② 在上取点，使得，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可得到； （3）把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上，由翻折可得，，，，，，再求出，得到是等边三角形，则，最后根据，得到当，在线段上时，最大． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 将沿翻折， ∵平分， ∴落在上； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ② 略 (3) 小问详解： 解：把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上， ∵点C是的中点，， ∴， ∵，， ∴由翻折可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，在线段上时，最大， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征．下面篆书属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 4．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A. 经 B. 开 C. 中 D. 学 6．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列交通标志图形中，轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      12．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）地铁图标是城市地铁的独特标识，能让乘客快速识别出地铁系统，不同城市的地铁图标各具特色．下面图案是我国不同城市的地铁图标，其中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·江西宜春·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·江西上饶·期中）古汉字“羊”的下列四种写法，不可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      20．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　） A.    小鹏汽车 B.  蔚来汽车 C.  阿维塔汽车 D.  理想汽车 22．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）五个大小完全相同的正方形按如图所示的位置摆放，再添加一个大小完全相同的正方形与原来的图形构成轴对称图形，则添加的小正方形是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 23．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（       ） A.  赵爽弦图 B.  斐波那契螺旋线 C.  笛卡尔心形线 D.  费马螺线曲线 24．（25-26学年八上·江西南昌·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（       ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 26．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（       ） A. 19° B. 20° C. 24° D. 25° 27．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）（1）如图，和关于直线l对称．若，，求的度数． （2）如图，在中，，是角平分线，，，求点D到的距离． 28．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）（多选）如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD． 29．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，取一张长方形纸，沿相对角的顶点将纸折叠，重叠部分是一个　　　　　　　　　　　三角形． 30．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 31．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，分别在边上，点与点关于直线对称，若，，求的周长． 32．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． （1）求的度数． （2）求的周长． 33．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，把沿直线对折，点C恰好落在点B处，若，，则的周长是　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P， 当是等腰三角形时，的度数为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使得点A落在处，使与三角形的其中一边平行，则　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=　　　　　． 38．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）在中，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图． （1）若，求的面积． （2）求证：平分． 39．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（       ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 3．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（     ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 28 5．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A.  B. 10 C. 13 D. 26 9．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为13，，则的周长为　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）“全等三角形的对应边相等”的逆命题是　　　　　　． 11．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 12．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是　　　 13．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 15．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点． 17．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； （2）若，，的周长为19，求的长． 18．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：　　　　　　　　　　　 19．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如果，那么，这个命题的逆命题是　　　　　　　　　　　 ． 20．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 21．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． （2）如图②，过点P作直线，使得． 23．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是边的垂直平分线，若，则=　　　　　　　　　　　　　　　 24．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC=10，则ADE周长是多少？ 25．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 26．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 27．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．    （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的面积． 28．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点． 29．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 30．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 31．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G． 求证：（1）BF＝CG； （2）AB+AC＝2AF． 32．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 33．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： （1）直线是线段的________线，射线是的________线； （2）求的度数． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n的值（　　） A. ﹣14 B. ﹣8 C. 3 D. 7 2．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（       ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 5．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 6．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）若点，关于y轴对称，则（       ） A. 8 B.  C. 1 D. 7 7．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西吉安·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（     ） A. 0 B.  C. 1 D.  9．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江西上饶·期中）小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）点关于轴对称点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知和关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 14．（25-26学年八上·江西九江·期中）已知点关于x轴对称的点的坐标是，则的平方根为（     ） A.  B. 1 C.  D.  15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 18．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）已知点，点关于轴对称，则的值是　　　　　　 19．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形； （2）的面积为                 ． 20．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　． 21．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 24．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）点与点关于轴对称，则　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知点和关于轴对称，则　　　　　　． 26．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 28．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 29．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在图中作出关于y轴对称的图形（A，B，C的对称点分别是，，）； （2）关于x轴对称的图形为（A，B，C的对称点分别是、，），不画图直接写出点、，的坐标； （3）的形状是______． 30．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 31．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）已知点与点关于x轴对称，求的平方根． 33．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 35．（25-26学年八上·江西九江部分学校）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）画出关于y轴对称的，并写出的坐标． 37．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中） 若点和点关于y轴对称， 则的值是　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 39．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）已知点与点关于轴对称，则　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出该图形的对称轴l． （2）在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 41．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于x轴对称的，并写出的3个顶点坐标：______，______，______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为10，请直接写出所有满足条件的点P的坐标______． 42．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的 (点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)； （2）在x轴上找出点P，使得点P到点E，F的距离之和最短(保留作图痕迹)． 43．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． （3）在轴上作出一点，使最小，并写出点的坐标． 44．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 45．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点关于的对称点；②作射线交于点；③连接.试用所作图形进行判断，　　　　　　　　　　　　　.(填“”“”或“”) 46．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 47．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点坐标、、． （1）在网格中画出关于y轴对称的． （2）写出关于x轴对称的的各顶点坐标． （3）求的面积． 48．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，的顶点，，都在方格纸的格点上，试在方格纸上按下列要求作图：    （1）在图1中作出一个以为公共边且与面积相等的三角形（三角形的顶点在格点上）； （2）在图2中作出与关于直线对称的三角形，并用直角三角尺作出中边的高． 49．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）在如图所示的方格纸中，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为； （1）作出关于y轴对称的（其中分别和对应）； （2）将先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到的，请画出（其中分别和对应） （3）试在x轴上找一点P，使得的值最小，不用画图，请直接写出P点坐标． 50．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 51．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作图：画出关于轴对称的． （2）填空：写出以下各点的坐标：（       ）；（       ）；（       ）． （3）作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． （4）若小正方形的边长为1，多边形的面积为______． 52．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知点． （1）若点关于轴对称，试求的值； （2）若点关于轴对称，试求． 53．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上找一点D，使得最小，请你直接写出D点坐标． 54．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中， （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点D，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 55．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）如图，是一个正方形格纸，中A点坐标为，B点的坐标为． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出关于x轴对称图形，并直接写出：、、的坐标； （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标．（在图中标出M点位置，保留作图痕迹）． 56．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）已知两点． （1）若A，B两点关于x轴对称，求的值； （2）若点A到y轴的距离是3，且轴，求点A的坐标． 57．（25-26学年八上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 59．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（1）若点与点关于x轴对称，求m的值． （2）如图，，在中，是最长边．且．在中，最长边______，的长为______；与相等的角为______． 60．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知矩形，请按要求完成下列作图： （1）在图中用尺规做出关于的轴对称图形（保留作图痕迹）； （2）在图（1）的基础上，仅用无刻度直尺做出线段的垂直平分线． 61．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（       ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）两个底角为、顶角为的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又标准．如图，在中，，，，为的角平分线，则图中“黄金三角形”的个数是（       ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 3．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意上点，PDOA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD=4，则PE的长为（          ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______． A. 6 B. 8 C. 13 D. 10 6．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，射线平分，，于点D，，等于5，等于（     ） A. 5 B. 10 C.  D.  8．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）将两块全等的含的直角三角板如图放置，，，，则的长为（       ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 12．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，是的平分线，且，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在四边形中，，，平分．下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 若E是的中点，则 15．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，按如下步骤操作：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在三角形内部交于点D；③画射线，已知的重心E恰好在射线上，连接，．下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，已知，若，求的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（             ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 18．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（   ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，平分，平分，，过点P作，分别交于M、N，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 21．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 22．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）等腰三角形有一角的度数是，则底角的度数是　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　米． 24．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，，，，点E在边上，则的度数为　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知，，同时给出了下列四个条件． ①   ②   ③   ④ （1）上述条件中可以得出的条件有______； （2）请你选择一种加以证明． 27．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是　　　　　　． 28．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图所示，点E，F在BC上且． （1）求证：AF=DE． （2）若，求证：OP平分∠EOF． 29．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，，，交于点D，，求的长． 30．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，． （1）写出图中三对相等的角___________． （2）求的大小． 31．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 几何命题的证明共有5个步骤：①画图：根据题目中的题设和结论画出图形；②审题：根据题目中的文字语言找出题设和结论；③分析：找到证明的思路和方法；④写已知和求证：用数学符号语言写出已知和求证；⑤证明：写出证明过程.    （1）请你写出正确的排序：________________； （2）请你完善图形后用符号语言写出已知并加以证明. 已知：________________________________； 求证：是直角三角形. 证明： 32．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝　　　． 33．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）如图1，已知点D，E分别是，的中点，作出的对称轴； （2）如图2，以的两腰为边向外作等边和，作出的对称轴． 34．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 36．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 37．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）在△ABC中，，，则　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 39．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）（1）在中，，根据图中的数据，求的度数． （2）如图，点B在线段上，，，．求证：． 40．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）在等腰直角三角形中，，，D为直线上的一动点（不与点B，C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 42．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，点D是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图1中，作一个与全等的三角形； （2）在图2中，作边上的高． 43．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是　　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）用一条长为 20cm 的细绳围成一个等腰三角形 ①如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少 ②能围成有长是 4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 45．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是               三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 46．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，图、图均为由边长为的小正方形组成的的方格网络， 的顶点、、都在小正方形的格点上．（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，已知，作的角平分线． 47．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭，沿小路种植了三棵小树．经测量发现：景观亭到小树、小树的距离和小树到小树的距离相等（即）．图中所有点都在同一平面内，点在同一条直线上，若，求的度数． 48．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 50．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（）按如图放置，顶点P在边上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，当点P在滑动中满足时，且为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证： （2）判断和的位置关系并证明． 52．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，平分，于点F，E为上一点，且．    （1）求证：； （2）若，求证：． 53．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． （1）如图①，当点P为的中点时，求证：． （2）如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 54．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD=　　　　　　　　°. 55．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图， 在中，， 点C是延长线上一点，是线段的垂直平分线，平分，连接，求的度数． 56．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 57．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知，，在射线上找一点（不与点重合），使得为等腰三角形，则的度数是　　　　　　． 58．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，中，，，于H，若，则　　　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）请用无刻度尺完成下列作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，，作线段的垂直平分线； （2）如图2，已知，，作线段的垂直平分线． 60．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如果一条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“上线”；如果两条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“上上线”． （1）如图，在中，，点在边上，且，求的度数； （2）如图，在中，，和是的“上上线”，点在边上，点在边上，且，，求的度数． 61．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 62．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 63．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F．若，，，求的长 64．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数． 65．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 66．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为　　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 68．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若四边形的周长为14，，求线段的长． 69．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题．一些较复杂的问题，只要依据条件构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，点在边上，，若在上取一点，使得．写出图中一对全等的三角形是___________． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点、的坐标分别是、，边交轴于点，若，求的值； 【拓展探索】 （3）如图3，在和中，，，射线交线段于点，求证：点为线段的中点． 70．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． （1）求的度数； （2）求的周长． 71．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，P是平分线上的一点，于点M，交于点N．若，则的长是　　　　　　． 72．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，，是边上的高，设． （1）则______； （2）求的度数． 73．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）已知直线l上有B，C两点，以为底边作等腰，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接，以为边在的右侧作等腰，使，连接． （1）如图1，若点D在线段上，且． ①求证：； ②求的度数； （2）若点D在直线上，且，则______（用含的式子表示）． 74．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　　　　． 75．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在中，，，D是边上一点，连接，，且，连接交于点F，交于点H． （1）求证：； （2）当时，求证：H是的中点． 76．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 77．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 78．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为　　　　　　． 79．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，为边上的一点，于，于． （1）若为的中点，求证：； （2）若，，求的面积． 80．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若的周长为9，，求的周长． 81．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，为边上一点，连接，且，若，则　　　　°． 82．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． （1）求证：； （2）如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，原题设其它条件不变．求证：． 83．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是　　　　　　　　　　． 84．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 85．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 86．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 87．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在同一水平地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，，，，两点之间的距离为，． （1）求的度数． （2）求，两点之间的距离． 88．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点D在直线上（不与点B、C重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 89．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，中，，分别为的垂直平分线，E，G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的长为30，求的周长． 90．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在直角三角形中，，，垂足为．若，，求的长． 91．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 92．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为　　　　　． 93．（25-26学年八上·江西宜春·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”，例如，在中，其三个内角分别为、、，则是“准等边三角形”． （1）【理解概念】顶角为的等腰三角形______“准等边三角形”（填“是”或“不是”）； （2）【巩固新知】已知是“准等边三角形”，其中，，求的度数． 94．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　． 95．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，是腰的垂直平分线． （1）若，求的度数； （2）若，求的周长． 96．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，点是边上一点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）若，求的度数； （3）设，如图2，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 97．（25-26学年八上·江西上饶·期中）作图： （1）如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； （2）已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 98．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． （1）若．求的度数； （2）求证：． 99．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 100．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 101．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，是的角平分线，，交AB于点E．求证：． 102．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点作等腰直角（其中，且点C落在第一象限内），则点C的坐标为　　　（用t的代数式表示）． 103．（25-26学年八上·江西南昌·期中）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空：                    ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 104．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．    （1）当时，             ，             ； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 105．（25-26学年八上·江西南昌·期中）小莹将两把完全相同的长方形直尺和如图放置，两把直尺的接触点为，的延长线经过点且与相交于点． （1）试说明点在的角平分线上； （2）已知点，在直尺上的刻度读数分别是和，求的长． 106．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图所示，为尺规作图痕迹，若，，则长为　　　　　　． 107．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E、F，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，则______（用含a的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 108．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（多选）如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE∥BC,试说明AE平分∠DAC. 109．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则　　　　　 ． 110．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，，，，求的面积． 111．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， （1）如图①求证：； （2）如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 112．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 113．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求的长． 114．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，为任意三角形，以边为边分别向外作等腰三角形和等腰三角形，，，且，连接并且相交于点P． （1）求证：； （2）若，求的度数． 115．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图①，，，作的平分线． （2）如图②，，，作边的垂直平分线． 116．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． （2）【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． （3）【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 117．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接， （1）直接写出，两点的坐标：________，________； （2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； （3）如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 118．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_____． 【拓展延伸】 如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图，李刚同学将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上．已知，，的面积为，求的面积． 119．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为　　　　　　　　°． 120．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）（多选）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=                       度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 121．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在方格中，，两点都在小方格的格点上且坐标分别是，，若点也在格点上，且是等腰三角形，则点的坐标是　　　　　． 122．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，点的坐标为．若在平面直角坐标系中存在点（不与点重合），使得与全等，则点的坐标为　　　　　　． 123．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图1，在中，，平分交于点，是边上的动点（不与点，重合），连接，将沿翻折得到，连接． 特例研究 （1）当，点与点重合（如图2）时，求的度数． 拓展延伸 （2）当，点与点不重合时，记，，探究与的关系． 一般推广 （3）当，点与点不重合时，根据（2）中的结论，直接写出与的数量关系． 124．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）小明家里有一个含有角的直角三角形阳台角落还未装修，他想在这个角落贴相同的瓷砖，且瓷砖能完美填满角落（不浪费空间）．如图，，，按要求画出分割线（画图工具不限，只要求画出一种即可），简单写出画图的关键步骤． （1）在图1中，把这个三角形分割成三个大小、形状都相同的三角形． （2）在图2中，把这个三角形分割成四个大小、形状都相同的三角形． 125．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，　　　　　　． 126．（25-26学年八上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 127．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（       ） A. A B. B C. C D. D 4．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（     ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）下列命题中，其中不正确的是（     ） A. 两个图形是否全等，只取决于图形形状、大小是否一样 B. 两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C. 边长相等的两个正三角形是全等图形 D. “”式子的意义为“小于或等于”，它是个真命题 6．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（       ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 11．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，已知是等边三角形，D、E分别在、边上． （1）若，求证：是等边三角形、 （2）若，求证：是等边三角形． 12．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知，平分．、分别在射线、上．    （1）在图（）中，当时，求证：． （2）若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 13．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在四边形中，垂直平分，，E是上一点，连接交于点F，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 14．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）（1）观察推理：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，、，垂足分别为点、．求证：． （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至（即，），连接，求的面积 （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（即，），设点运动的时间为秒． ①当__________秒时，． ②若要使点恰好落在射线上，请在备用图中画出符合要求的图，并求点运动的时间 15．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）追本溯源 （1）【课本习题】如图1，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：． （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，判断与大小关系并说明理由． 16．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 17．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：是等边三角形． 18．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，，都是等边三角形，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 19．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，等边中，是边上的中线，且，E为中点，P为上的动点，则的最小值为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． （1）试说明； （2）求的度数． 21．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 22．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在中，分别以，为腰向外作等腰，，且，，，点为的中点，连接． （1）如图1，若是等边三角形，则与的数量关系是________； （2）如图2，若是任意三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 23．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． （1）画出关于直线对称的（与，与，与相对应）； （2）在直线上画出点，使的值最小． 24．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，和都是等边三角形，且，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出多边形的对称轴． （2）在图2的内找一点P，使得． 25．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）教材呈现：以下是第十五章“综合与实践最短路径问题”的部分内容，在“活动一”介绍了“牧民饮马问题”． 牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【模型建立】 （1）如图1，在由个小正方形组成的网格中，格点，在直线同侧，请在直线上作一点，使得的值最小． 【模型应用】 （2）如图2，在等边三角形中，于点，，是的中点，是边上的动点，求的最小值． 26．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为　　　　　　　　 ． 27．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 28．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 29．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）（多选）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 30．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当　　　　　　　时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 31．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 　　　　　　 cm． 32．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当是的中点时，作的中线． 33．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 34．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； （3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 35．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）综合与实践 材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索． 材料二：如图1，已知直线上方，两个定点，在直线上找一个点，使得最小．小军同学给出以下解答：如图2，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，此时最小．证明过程如图3，在直线上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点与点关于直线对称，∴直线是的垂直平分线， ∴___________，________， ∴        =       ； ∵在中，， ∴，即最小． 任务一：完成材料二的填空． 任务二：如图4，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 任务三：如图5，在（2）的条件下，已知点，，分别是，，上的点，若，则周长的最小值为___________． 36．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 37．（25-26学年八上·江西宜春·期中）【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． （1）【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； （2）【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； （3）【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．D 10．B 11．A 12．A 13．C 14．D 15．B 16．B 17．D 18．D 19．C 20．A 21．D 22．D 23．C 24．D 25．C 26．B 27．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用轴对称的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 （1）解：和关于直线l对称，，， ． ， ． （2）解：如图，过点D作，垂足为E， 是的角平分线，，， ， ， ． 即点D到的距离． 28．【答案】证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE. ∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C， ∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C， ∴∠EAC=∠C， ∴AE=EC； 则CD=DE+EC=AB+BD. 【分析】 作出关于AD对称的图形，借助轴对称的性质，得到BD=DE，借助∠B=2∠C，得到AE=EC．根据题意有CD=DE+EC，将等量关系代入可得CD=DE+EC=AB+BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 29．【答案】等腰 【分析】 先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，即可得到，则是等腰三角形． 【详解】 解：如图所示，由题意得，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴重叠部分是一个等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，证明得到是等腰三角形． 30．【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 31．【答案】10 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称， ． ． ． 的周长为10． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． (1) 小问详解： 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 33．【答案】6 【分析】 根据折叠的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：根据折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴ ∵，， ∴， 故答案为：6． 34．【答案】或或 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形全等的判定及图形的对称性，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，结合坐标系的对称性确定点的可能位置． 根据与全等，以为公共边或对应边，结合坐标系对称性（如关于轴对称、关于中垂线对称），确保的边与对应边相等，从而确定点的坐标为或或． 【详解】 如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 35．【答案】或或 【分析】 本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．分，，三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】 解：① 当时， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ② 当时 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ③ 当时 ∵， ∴ ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； 综上所述答案为：或或； 36．【答案】或或 【分析】 本题考查翻折的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折变换的性质，三角形内角和是以及平行线的性质是正确解答的前提．根据翻折分三种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可． 【详解】 解：根据折叠有：， 当时，如图，则，     由折叠性质得： ， ， 当时，如图，则，     由折叠性质得： ， ∴， ∴； 当时，如图，则，     由折叠性质得：， ∵， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 37．【答案】 【分析】 由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】 ∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 38．【答案】（1）     （2） 证明：过点P分别作垂线，垂足分别为F，H，M，如图． 由题意可知，， ． 平分， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了折叠的性质，直角三角形的面积计算，角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）利用折叠后且，结合的条件，把的面积拆成和的面积之和再计算； （2）核心是要证明点到和的距离相等，思路是利用折叠得出全等和角平分线的性质推导出是角平分线． 【详解】 解：（1）由题意，得， ． （2）略 39．【答案】（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）或 【分析】 本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 考点02 线段的垂直平分线 1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．【答案】23 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为13得到，据此求解即可． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，， ∴，， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：23． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 10．【答案】对应边相等的两个三角形全等 【分析】 本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】 解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 11．【答案】 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】 解：是边的垂直平分线，， ， 的周长为18， ， ， ． 12．【答案】37 【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵边上的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：37． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】 解：由题意得是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：． 14．【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，如图，连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小，由题意，推出，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接， ∵的周长，， ∴的值最小时，的周长最小， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 16．【答案】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．    ． 【分析】 此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】 略 17．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 18．【答案】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【分析】 本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】 解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 19．【答案】如果，那么 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】 解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 20．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用线段垂直平分线的性质求解． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G， ∴，， ∴的周长等于． 21．【答案】23 【分析】 由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】 解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 22．【答案】（1） 如图，直线即为所求．      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】5． 【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度． 【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD． ∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 24．【答案】10 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB，EA=EC， ∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 25．【答案】（1） 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上；     （2）      【分析】 （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 26．【答案】（1） 证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分．     （2）等边三角形      【分析】 （1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】 本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 27．【答案】（1） 证明：平分且，， ，，， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， （）， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分；     （2）15      【分析】 （1）可证点D在的垂直平分线上，再证，从而可证点A在的垂直平分线上，即可得证； （2）由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 28．【答案】（1） 如图所示，FE即为所求对称轴l，      （2） 如图所示，点即为所求， 【分析】 （1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 29．【答案】（1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 30．【答案】（1） 证明：， ， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据 证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 31．【答案】(1) 证明：如图，连接BE和CE. ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG. 在Rt△BFE和Rt△CGE中， BE=CE，EF=EG， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)， ∴BF＝CG. （2）证明：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE. 在△AFE和△AGE中， ∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE， ∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG. ∵BF＝CG， ∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF. 【详解】 分析：（1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG； （2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG=AF，于是得到结论． 详解：(1)略 (2)略 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.关键在于结合题意熟练运用相关性质. 32．【答案】（1）     （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形．      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． (2) 小问详解： 略 33．【答案】10 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将线段进行转化． 利用线段垂直平分线的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短，确定的最小值，进而求出周长的最小值． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分线段， ∴当、、共线时，的值最小， ， ∴的最小值就是线段的长， ∴周长的最小值为， 故答案为：10． 34．【答案】（1）线段垂直平分；角平分     （2）23°      【分析】 （1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可； (1) 小问详解： 解：根据作图痕迹可知， 直线是线段的线段垂直平分线； 射线是的角平分线； (2) 小问详解： ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 【点睛】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12．C 13．B 14．C 15．【答案】 【分析】 根据轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解． 【详解】 ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 16．【答案】 【分析】 本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】 解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称的点的坐标是． 17．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为： 18．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称点的坐标特点和代数式求值，其中根据轴对称点的坐标特点确定a、b的值是解答本题的关键. 先根据关于y轴对称点的坐标特点确定a、b的值，然后代入求值即可. 【详解】 解：由题意得：，则 故答案为. 19．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出图形即可； （2）利用割补法求出三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标是点， 故答案：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为： 23．【答案】 【分析】 本题主要考查关于y轴对称点的坐标特点，掌握关于y轴对称点的坐标特成为解题的关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”即可解答． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，利用横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 是的相反数， 即． 25．【答案】 【分析】 本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特点，求解代数式的值，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的值，最后求幂． 【详解】 解：点和关于轴对称， 因此，，且， 解得，， 所以， 故， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 点与点关于x轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 27．【答案】（1） 如图，为所作；      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：，，； (3) 小问详解： 解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 28．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． (3) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求． 29．【答案】（1） 如图：      （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）等腰三角形      【分析】 本题考查轴对称变换作图，两点间的距离，等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称变换点的坐标规律是解题的关键． （1）根据关于y轴对称，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到，，的坐标，顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称，对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相同，得到点、，的坐标； （3）通过三条边的关系进行判断即可． (1) 小问详解： 解：根据关于y轴对称得，，，， (2) 小问详解： 解：根据关于x轴对称，对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相同， 则、，， 答：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）得，、，， 则， ， ， 由于， 则是等腰三角形． 30．【答案】（1）如图所示：即为所求，      （2）5     （3） 如图所示：点P即为所求． 【分析】 （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：， (2) 小问详解： △ABC的面积为： ； 故答案为：5； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解本题的关键. 31．【答案】1 【分析】 根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 32．【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系下点关于x轴对称的特点，以及平方根的概念，解决本题的关键是求解出a与b的值． 点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，根据此性质列方程求解a和b，再计算的平方根即可． 【详解】 解：点与点关于x轴对称， ∴横坐标相等：，解得； 纵坐标互为相反数：，解得 ∴， 又16的平方根为． ∴的平方根为． 33．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 34．【答案】（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3） 【分析】 本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）点的坐标为． 35．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 36．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，点．      【分析】 本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，关于轴对称的点的特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得a与b的值，从而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：． 38．【答案】（1） 解：所作如图所示：      （2） 解：所作如图所示：      （3）      【分析】 本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 39．【答案】1 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ． 故答案为：1． 40．【答案】（1） 如图，直线l为所求作．      （2） 如图，点F为所求作． 【分析】 本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 41．【答案】（1）如图，即为所求，，，      （2）或      【分析】 本题考查了图形与坐标——轴对称，三角形面积的计算等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）根据点和点都在轴上，直接利用三角形面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中，点为，点为，点为， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 42．【答案】（1）如图，      （2）如图，点P即为所求作．      【分析】 （1）先求出各顶点坐标，再描点连线即可； （2）连接交x轴于点P，利用三边关系可以说明：点P到点E，F的距离之和最短． (1) 小问详解： 解：∵，，，关于x轴对称的， ∴，，， ∴即为所求作． (2) 小问详解： 连接交轴于点P，连接， 取点为轴上异于点P的任意一点，连接、， 则， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴仅当与点P重合时，点P到点E，F的距离之和最短， ∴点P即为所求作． 【点睛】 本题考查了最短路径问题，三角形三边关系的应用，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 43．【答案】（1） 即为所求；，，．      （2）     （3）如图，点P即为所求 ；      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、点的坐标、割补法求三角形的面积、两点之间线段最短等知识点，根据成轴对称图形的特征进行求解是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定的对应点、、的位置，再依次连接即可得出；然后写出、、的坐标即可； （2）运用割补法列式计算即可； （3）如图：连接交y轴于一点，即为点P，此时最小，再观察坐标系，写出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，； (3) 小问详解： 解：因为， 所以连接交y轴于点P，此时最小，点P即为所求， 观察平面直角坐标系可得． 44．【答案】（1）如图所示： ；     （2）     （3）点即为所求： 【分析】 本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： (2) 小问详解： 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 45．【答案】 【分析】 利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】 解：如图，    ，关于对称， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 46．【答案】（1）见解析     （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）先根据轴对称性质得到对应点，再顺次连接可得图形； （2）根据图形可得答案； （3）根据网格特点和割补法求解三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． (2) 小问详解： 解：由图得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：． 47．【答案】（1） 如图，即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为     （3）6.5      【分析】 本题考查了轴对称变换以及三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再写出的各顶点坐标即可； （3）运用分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (3) 小问详解： 解：的面积． 48．【答案】（1）如图，即为所求；         （2） 如图，，即为所求 【分析】 本题考查了全等三角形，网格中画轴对称图形，三角形的高； （1）以为对称轴画全等三角形即可； （2）找到，，关于直线的对称点，依次连接，再利用直角三角尺画出高 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．【答案】（1） 解：作出点关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求，如图所示：      （2） 解：作出点平移后的对应点，顺次连接，则即为所求，如图所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换，平移作图，与轴对称有关的最短路径问题，解题的关键是作出相应点的坐标． （1）作出点关于轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为所求作的点，如图所示： ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小， ∴． 50．【答案】（1） 如图1：即为所求；      （2）     （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为      【分析】 此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ； (3) 小问详解： 解：点P的坐标为． 51．【答案】（1） 如图所示：      （2）；；     （3）如图；     （4）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质，根据网格求面积； （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可直接得出点，，的坐标； （3）连接与轴交点即为点； （4）多边形的面积等于以轴为界的两个梯形面积之和，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则，当在上时的值最小． (4) 小问详解： 多边形的面积为， 故答案为：． 52．【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键． （1）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数建立方程组，解方程组即可得； （2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等建立方程组，解方程组求出m，n的值，然后再代入代数式求解即可． (1) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴ ， 解得 ． (2) 小问详解： 解：点关于y轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴ 53．【答案】（1） 如图所示，即为所求， 点的坐标是     （2）在y轴上找一点D，作图如图，D点坐标是      【分析】 本题主要考查了轴对称变换作图、最短路径问题、求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据题意得到点关于轴的对称点，即可求解； （2）作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，再利用坐标系即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小， 根据坐标系可得：． 54．【答案】（1） 及如图所示；      （2）10     （3）或或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中描点，作关于坐标轴对称的图形，三角形全等的性质； （1）先描点，再依次连接、、三点即可得到，作出、、关于轴的对称点、、，依次连接即可得到； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：；，即可求得点D的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：如图，，，， 故答案为：或或． 55．【答案】（1）如图，建立直角坐标系，和关于轴对称；      （2）如图，即为所求作，、、；     （3）如图，点即为所求作，．      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，坐标关于坐标轴对称的特征，线段最短问题，熟练掌握网格的结构，正确作出对应点是解题关键． （1）根据、两点坐标建立直角坐标系，进而利用轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质画出图形，得到坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出其与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 由轴对称的性质可知，， 的周长， 即当、、三点共线时，的周长有最小值， 关于轴的对称点的坐标为，， 设直线的函数解析式为， 则 ，解得： ， 直线的函数解析式为， 令，则，解得：， M点的坐标为． 56．【答案】（1）4；（2）A(3，3)或(﹣3，3) 【分析】 （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可； （2）根据一点到y轴的距离即为该点横坐标的绝对值，从而求出A点的横坐标，再由AB平行x轴，得到A、B纵坐标相同，即可求解． 【详解】 解：（1）∵A，B两点关于x轴对称， ∴， ∴，， ∴； （2）∵点A到y轴的距离是3， ∴点A的横坐标为3或﹣3， 又∵AB∥x轴， ∴点A的纵坐标为3， ∴A(3，3)或(﹣3，3)． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征，点到y轴的距离的知识． 57．【答案】，， 【分析】 本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 58．【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）     （3）1      【分析】 本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求作： (2) 小问详解： 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 59．【答案】（1）（2）；2.1； 【分析】 本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，全等三角形的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的两个点的坐标特征，列方程即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】 （1）解：点与点关于x轴对称， ， 解得； （2）解：，在中，是最长边， 在中，最长边为，，，， ， 故答案为：；；． 60．【答案】（1） 为所求作的三角形；      （2） 如图所示： 【分析】 （1）作点B关于的对称点，连接、即可； （2）连接交于点O，设为、的交点，连接即可． (1) 小问详解： 解：如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧，与交于M、N两点，以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点P，以点P为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接、，则为所求作的三角形； (2) 小问详解： 解：连接交于点O，设为、的交点，连接，则为所求作的的垂直平分线，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 根据轴对称可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，作轴对称图形，尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上． 61．【答案】（）画图如下： ； （）如图， ，； （） 【分析】 本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】 （）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 考点04 等腰三角形 1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．D 12．B 13．C 14．A 15．B 16．B 17．D 18．D 19．B 20．D 21．B 22．【答案】度 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形有一角的度数是，一个三角形不可能有两个内角是钝角，故顶角为，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】 解：等腰三角形有一角的度数是100°，即当顶角为， 则底角的度数为， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据含度角的直角三角形的性质求得斜边长，再求这棵树在折断前的高度． 【详解】 解：∵一棵竖直的树在一次大风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角， ∴斜边长为米， 即这棵树在折断前的高度为米， 故答案为：． 24．【答案】A度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质；由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；掌握全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：， ，， ，， ； 故答案为：． 25．【答案】或或 【分析】 本题考查了等边对等角，分类讨论若，若，若，三种情况即可求解； 【详解】 解：由题意得：； 若，如图所示： 则， ∴； 若，如图所示： 则； 若，如图所示： 则， ∴； 故答案为：或或 26．【答案】（1）① ② ④     （2）① （答案不唯一）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． （2）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，上述条件中可以得出的条件有① ② ④ ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 当选择①时， 则在和中， ∴； 当选择②时， 则在和中， ∴； 当选择④时， ∴ 则在和中， ∴； 27．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 28．【答案】（1） 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴AF=DE；     （2） 证明：∵Rt△ABF≌Rt△DCE ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∵OP⊥EF， ∴OP平分∠EOF．      【分析】 （1）根据题意证明Rt△ABF≌Rt△DCE即可； （2）由（1）的结论可得∠AFB=∠DEC，根据等角对等边可得OE=OF，根据等腰三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）是解题的关键． 29．【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了等腰三角形的性质． （1）由在中，，，可得图中的相等的角有：； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． (1) 小问详解： 解：在中，，， 相等的角有：； (2) 小问详解： 解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 31．【答案】（1）② ① ④ ③ ⑤     （2） 解：已知：如图，在中，是边上的中线，且， 求证：是直角三角形， 证明：∵是边上的中线， ∴． 又， ∴， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． 【分析】 本题主要考查了命题与证明；等腰三角形的性质于判定，三角形内角和定理． （1）根据求证命题的步骤排序即可求解； （2）根据直角三角形的性质得到，等量代换得到，再利用等腰三角形的性质得到，，最后根据三角形内角和定理得到来求解． (1) 小问详解： 解：请你写出正确的排序：② ① ④ ③ ⑤ 故答案为：② ① ④ ③ ⑤． (2) 小问详解： 略 32．【答案】9 【分析】 根据已知条件求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长，同理可得的长，即可求得的长． 【详解】 ∠ACB＝90°，∠B＝30°， CH⊥AB 在中， ∠ACB＝90°∠B＝30°， 【点睛】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 33．【答案】（1） 解：由于，点D，E分别是，的中点，则连接、，且与交于点，连接并延长， 如图1，即为所求：      （2） 解：连接、交于点，连接并延长，如图2即为所求： 延长 交于点，连接并延长，如图3即为所求： 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形中线的性质，作出的对称轴即可； （2）根据等腰三角形的性质，作出的对称轴即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了含角的直角三角形的性质，过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，， ， 同理可得，． 又双翼边缘的端点与之间的距离为， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大密度为． 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； (1) 小问详解： 解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． (2) 小问详解： 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 37．【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 38．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 39．【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， 又∵点B在线段上，，， ∴． 【分析】 本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角得出，再利用三角形内角和定理，得到关于的方程求解，进而求得； （2）先利用平行线的性质得出，再利用证明． 【详解】 （1）解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴； （2）略 40．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是分类讨论腰的情况． 根据等腰三角形的不同情况分类讨论，根据点在直线上的不同位置，分情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 情况一：当时， 当点D在的延长线上，如图， ∴， ∴． 当点D在的延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 情况二：当时， 此时点D在的延长线上，如图， ∵， ∴． ∴， ∴． 情况三：当时， 此时点D与点C重合，不满足题意． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 41．【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，证明得到，据此可证明． 【详解】 略 42．【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形，      （2） 如图，即为所求作， 【分析】 （1）利用等腰三角形的轴对称性与求解； （2）根据三角形的三条高线相交于同一点求解． (1) 小问详解： 解：理由：∵在中，，点D是的中点， ∴为对称轴，点E与F为对应点，点B与C为对应点， ∴，， 又， ∴， ∴即为所求作的三角形， (2) 小问详解： 连结并延长交的延长线于点G，连结交的延长线于点F，即为所求作， 理由：∵在中，，点D是的中点， ∴， ∴为的高的交点， ∴为边上的高． 【点睛】 本题考查了画三角形的高，三线合一，用（）证明三角形全等（或者），全等三角形综合问题,无刻度直尺作图，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 43．【答案】11 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】 解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 44．【答案】（1）各边长为：8cm，8cm，4cm; （2）能围成有长是 4cm 的等腰三角形， 理由：① 当 4cm 为底时，腰长＝8cm； ② 当 4cm 为腰时，底边＝12cm，因为 4+4＜12，故不能构成三角形，故舍去； 故能构成有一边长为 4cm 的等腰三角形． 【分析】 (1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长; (2)题中没有指4cm所在边是底还是腰,故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验. 【详解】 解：（1）设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，则 2x+2x+x＝20 解得，x＝4 ∴2x＝8 ∴各边长为：8cm，8cm，4cm． （2）略 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用. 45．【答案】（1）等腰     （2） 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO=∠BOP， ∴∠DOP=∠DPO， ∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形．      【分析】 （1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． (1) 小问详解： 解：猜想△DOP是等腰三角形； 故答案为：等腰． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边． 46．【答案】（1）如图：      （2）如图： 【分析】 本题主要考查角平分线的尺规作图方法在方格网格中的应用，涉及到等腰三角形的性质以及网格的特征等知识．解题的关键在于善于观察网格中线段的长度和角度关系，利用网格的边长为的特点，构造出满足条件的等腰三角形． （１）通过观察得出为等腰三角形，利用“三线合一”的性质（底边上的高、底边的中线、顶角的角平分线为同一条），再利用网格性质找出底边中点，连接顶点与底边中点即可． （２）已知，构建以为腰的合适的等腰三角形，再利用“三线合一”的性质，找出底边中点，连接顶点与底边中点即可． (1) 小问详解： 通过观察得出为等腰三角形，利用“三线合一”的性质（底边上的高、底边的中线、顶角的角平分线为同一条），再利用网格性质找出底边中点，连接顶点与底边中点．可知为等腰三角形的底边中线，再利用“三线合一”的性质，同时也是顶角的平分线． (2) 小问详解： 已知，延长至点，使，连接，构建以为腰的等腰三角形，通过观察和网格的性质可知点为底边的中点，连接，再利用“三线合一”的性质，可知为等腰三角形的底边中线，同时也是顶角的平分线． 47．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．根据等腰三角形的性质可得，再根据外角的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ． 48．【答案】米 【分析】 本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】 解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 49．【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 50．【答案】或或 【分析】 本题考查了等边对等角以及三角形内角和定理的应用，由题意推出；分类讨论当时，当时，当时，即可求解； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， 综上所述：的度数为或或； 故答案为：或或． 51．【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴；     （2） 解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）由平分得到，又由得到，则，得到，又由即可得到结论； （2）由得到，平分得到，又由得到， 根据三角形外角的性质得到，则，又由，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平行线的判定和性质、等边对等角、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，理清角之间的关系是解题的关键． 53．【答案】（1） 如图，过点作交于， 点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 在与中， ， ， ；     （2）线段ED的长度保持不变， 理由：由（1）证得，， ，， ， ， 为定值． 【分析】 （1）过点作交于，由题意可证是等腰三角形，，即可得结论； （2）利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 54．【答案】25°. 【分析】在△ABC中，∠A=65°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACB=70°，再由线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据等边对等角得出∠DCB=∠B=45°，然后根据∠ACD=∠ACB-∠DCB，计算即可求解． 【详解】在△ABC中, ∵∠A=65°,∠B=45°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=70°−45°=25°. 故答案为25°. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质（等边对等角），能根据已知条件和相关定理利用已知角去表示未知角是解决本题的关键. 55．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形外角定义．先根据线段垂直平分线的定义得出，，，证得，再利用角平分线的性质得出，利用三角形外角定义求得结果． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，平分， ∴， ， ∴． 56．【答案】（1）8     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． (2) 小问详解： 略 57．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分为当时，当时，时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，当时， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可得：为等腰三角形时，的度数是或或， 故答案为：或或． 58．【答案】6 【分析】 根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．【答案】（1） 如图，直线即为所求，      （2） 如图，直线即为所求， 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，再由垂直平分线的判定方法即可求解； （）延长交于点，连接，证明，则，即有，所以，从而得，再由垂直平分线的判定方法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴垂直平分， ∴直线即为所求； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴直线即为所求． 60．【答案】（1）；     （2）的度数为或．      【分析】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的度数； （）设，当时，利用三角形外角的性质得到，解得，当时，利用三角形内角和定理得到，解得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设， 当时，如图， ∵，解得， ∴； 当时，如图： ∵，解得， ∴， ∴的度数为或． 61．【答案】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2） 【分析】 （1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】 （1）略 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 62．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先证明得到，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质求，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ， 在中，，， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为． 63．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含 角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据直角三角形角所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 64．【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△CEF中 ， ∴△DBE≌△CEF， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∠DEF＝67.5°. 【分析】 （1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【详解】 （1）略 （2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠1+∠2＝112.5° ∴∠3+∠2＝112.5° ∴∠DEF＝67.5° 【点睛】 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°． 65．【答案】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． ∴， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，再根据证明可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】 略 66．【答案】或或 【分析】 本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】 解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 67．【答案】（1） 证明：将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）根据折叠的性质得，平行线的性质得，继而证明得到即可． （2）证明，结合解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，对顶角性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握性质和判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据（1）证明，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 68．【答案】（1） 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 69．【答案】（1）； （2）3； （3）证明：连接，过N作交的延长线于点C，则，     设，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴为线段的中点． 【分析】 （1）利用等边对等角求得，，推出，再利用即可得到； （2）在x轴上取M，使得，连接，证明，推出即可； （3）连接，过N作交的延长线于点C，证明，推出，，再证明，即可． 【详解】 （1）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：在x轴上取M，使得，连接，     在和中， ， ， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）略 【点睛】 本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是条件合适的辅助线，构造全等三角形． 70．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； (1) 小问详解： 解：， ， 平分平分， ； (2) 小问详解： 解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 71．【答案】6 【分析】 本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线定理证得和，根据平行线的性质证得，进而求得，根据平行线的性质结合角平分线的性质证得是等腰三角形，从而求得的长． 【详解】 解：过点作于点，如图， 是平分线上的一点，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 故答案为：6． 72．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理． （1）根据等边对等角得到，根据， 即可得到； （2）根据三角形内角和定理求出，可知，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴． 73．【答案】（1） ① 证明：∵， ∴，即． ∵与是等腰三角形， ∴，， 在与中， ， ∴； ②；     （2）或．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质得到，，即可证明； ② 由，得到，再由等腰三角形的性质得到，即可求解； （2）分两种情况：① 当点D在的延长线上时，② 当点D在的延长线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 当点D在的延长线上时，如图： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ② 当点D在的延长线上时，如图： ∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵是和的外角， ∴， ∴， 故答案为：或． 74．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 75．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴H是的中点．      【分析】 （1）根据证明即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出相应的角度，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 76．【答案】（1）② ③     （2） 是“倍角三角形”．理由如下： ， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”．      【分析】 本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，再根据三角形外角的定义和性质即可得出，再根据 “倍角三角形”的定义判断即可． (1) 小问详解： 解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：② ③； (2) 小问详解： 略 77．【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ． ， ， ． 78．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．分四种情况讨论，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：如图，当，时，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，时， 同理，； 当，时， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上，的大小为或或． 故答案为：或或． 79．【答案】（1） 证明：，， ， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）40      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积的计算． （1）证明即可． （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ， ， ． 80．【答案】（1）     （2）15      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和外角的性质，解决此题的关键是合理利用垂直平分线的性质； （1）根据垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再根据外角的性质即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质得到线段相等，根据已知线段的长度算出相关线段的长度即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：, ∴， ∵的周长为9， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 81．【答案】54 【分析】 本题主要考查了等边对等角和外角的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据等边对等角得到相关角的度数，根据外角的性质得到角的度数，再根据三角形的内角和即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54． 82．【答案】（1） 证明：∵，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得； （2）判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 83．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】 解：① 如图1，点P在上时， ， 顶角为； ② 点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 84．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 85．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 86．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴；     （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即.      【分析】 （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角所对直角边是斜边的一半的应用，以及直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，等角对等边，熟练掌握三角形有关的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余，即可求解； （2）根据三角形外角的性质，可得，即，由所对直角边是斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ． (2) 小问详解： ， ． ． ． ，， ． 故，两点之间的距离为． 88．【答案】（1）；     （2）；     （3）解：与的数量关系是；理由： 设，，， ① 如图1，当点D在点B的左侧时， ∴ ，（1）-（2）得，， ∴； ② 如图2，当点D在线段BC上时， ∴ ，∴， ∴； ③ 如图3，当点D在点C右侧时， ∴ ，（2）-（1）得，， ∴． 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是． 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 略 89．【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据三角形的周长公式计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：的周长． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 90．【答案】 【分析】 本题考查含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据，，得，，根据垂直的定义得，继而求出，得到，可得答案．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】 解：∵在直角三角形中，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 91．【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ．     （2） 证明：， ． ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 92．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质等，连接，可证，得到，进而得到，再求出的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 93．【答案】（1）是     （2）或      【分析】 （）求出底角度数，再根据“准等边三角形”的定义即可判断求解； （）分，和三种情况，根据“准等边三角形”的定义解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵等腰三角形的顶角是， ∴等腰三角形的底角为， ∵， ∴顶角为的等腰三角形是“准等边三角形”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：① 当时， ∵， ∴， 此时，不合题意； ② 当时， ∵， ∴， ； ③ 当时，则， ， ∴， ，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或． 94．【答案】或或 【分析】 在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴ ， ∵点为直线上异于点的一点， ∴当是等腰三角形时，只能或， ① 当时，如图所示： ∴； ②当时，点D在点B的左侧时，如图所示： ∴ ， ∵， ∴； 当时，点D在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴； 综上所述的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类讨论． 95．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由等腰三角形的性质得，即得，又由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据角的和差关系即可求解； （）由已知可得，由线段垂直平分线的性质得，即得到的周长，再代入已知计算即可求解； (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵是腰的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是腰的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 96．【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据证明即可得证； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，再根据全等三角形的性质可得，进而可求； （3）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得，进而可得，再根据三角形的内角和即可得解． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 97．【答案】（1） 如图，点Q即为所求．      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． (1) 小问详解： 解：连接和交于点Q，点Q即为所求． (2) 小问详解： 略 98．【答案】（1）； （2）证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=50°，可求得∠BAC=80°，再根据外角的性质、等边对等角得∠AFE=∠AEF=40°； （2）由等腰三角形三线合一得∠BAD =40°=∠AEF，从而AD//EG． 【详解】 （1）解：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 99．【答案】5 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 100．【答案】（1） 证明：∵，且， ， 在和中 ， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ∴垂直平分；     （2）6      【分析】 （1）先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据：，得出，结合，求出，根据垂直平分，得出，再在，根据直角三角形的性质求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴． 【点睛】 本题考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 101．【答案】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】 略 102．【答案】 【分析】 过点C作轴，垂足为E，根据垂直定义可得，从而可得，再根据平角定义可得，从而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，即可解答． 【详解】 解：过点C作轴，垂足为E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键． 103．【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知：, ； （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 104．【答案】（1）25，65     （2） 解：当时，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （3）可以，或      【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：25；65． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ① 当时，， ∴； ② 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③ 当时，， ∴； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等判定方法，证明． 105．【答案】（1） 解：如图，作于点，连接， ∵四边形和四边形是完全相同的长方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴点在的平分线上，     （2）．      【分析】 （）作 于点，连接，由四边形和四边形是完全相同的长方形，可知，，则点在的平分线上； （）连接，则平分，所以，而，则，所以； 本题考查了等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，则平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 106．【答案】 【分析】 本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，等腰三角形的判定与性质，由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，可得，最后证明，进一步可得答案． 【详解】 解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，，是线段的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为： 6． 107．【答案】（1）     （2）     （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题考查的是轴对称的性质、等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答； （3）根据等腰三角形的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：，分别是点关于、的对称点， ，， 的周长； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 108．【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AE∥BC， ∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C， ∴∠DAE=∠EAC， ∴AE平分∠DAC． 【分析】 根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即可得∠DAE=∠EAC，所以AE平分∠DAC． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关键． 109．【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 110．【答案】9 【分析】 首先作，作交的延长线于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再证明，并得出高，即可求出面积． 【详解】 作于，作交的延长线于， ∵ ， ∵， 在和中： ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 111．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2） 解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1) 根据可证，利用可证； (2) 根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 112．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】 解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 113．【答案】（1） 是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴平分．     （3）5      【分析】 （1）根据线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质解答即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质证明平分即可． （3）根据等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故． 114．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据得到得到，证明即可得证； （2）根据三角形的全等判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质，熟练掌握等腰的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 115．【答案】（1） 即为所求．     （2） 即为所求．      【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质解答即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴平分， 则即为所求． (2) 小问详解： 解：连接，二线交于点O， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 连接AO，并延长交于点F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 则即为所求． ． 116．【答案】（1）与，与，与     （2） 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线；     （3）或或或      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当是等腰三角形，如图，时，，     ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，     ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，     ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，     设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 117．【答案】（1），     （2）     （3） 证明：在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点， 在和中    ∴ ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴   ， ∴， ∴．      【分析】 （1）非负性求出的值，即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，易得是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明，得到，，即可得出结果； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而推出是等腰直角三角形，证明，推出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 过点作于点，过点作轴于点 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵的横坐标为1， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴    ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，非负性，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 118．【答案】[问题情境]； [类比解答]； [拓展延伸] ， 证明：如图，延长、交于点，       ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， 由[问题情境]可知：， ∴； [实际应用] 【分析】 [问题情境]证明，得，即可； [类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，再由等边对等角得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证明得，再由[问题情境]知，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】 [问题情境] ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：； [类比解答] 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 由[问题情境]可知：， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展延伸] 略 [实际应用] 如图，延长交于， ∵将一块直角三角形纸片沿折叠，使得点的对应点在的角平分线上，，， ∴，即， 由[问题情境]可知：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，折叠的性质，角平分线定义以及三角形面积等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 119．【答案】40 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 120．【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【分析】 （1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）① 略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】 该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 121．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．分为底和为腰两种情况考虑，画出图形，即可得出点的坐标． 【详解】 解∶如图所示， 当以为底时，点C的个数有1个，点的坐标是， 当以为腰时，点C的个数有2个， 点的坐标是或， 故答案为∶ 或或． 122．【答案】或或 【分析】 本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质说明、，．根据全等三角形的判定画出图形，再读出点P的坐标即可． 【详解】 解：如图：过B作轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴，． ① 如图：当轴时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 如图：当轴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ③ 如图：当轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，点P的坐标为或或． 故答案为或或． 123．【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、等边对等角、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据折叠的性质可得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）由折叠的性质可得，，再由等边对等角可得，设，则；再说明，即，然后整理即可解答； （3）利用（2）的思路解答即可． 【详解】 解：（1）如图2：∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到，点与点重合， ∴，点D在上，即， ∴， ∴． （2）∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． （3）∵在中，，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴， ∴，即． 124．【答案】（1） 如图，      （2） 如图， 【分析】 本题主要考查作图，涉及全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质或等腰三角形的性质． （1）根据角平分线的性质可知和面积相等，根据垂直平分线的性质得和面积相等即可； （2）作线段和的垂直平分线和，则，，，四边形为矩形，即有，，和面积相等． (1) 小问详解： 解：作的角平分线和作的垂直平分线， ∵，， ∴， ∴， 则， 那么，为等腰三角形的高，和面积相等， ∵，， ∴， 则和面积相等； (2) 小问详解： 解：作线段和的垂直平分线和， 则，，，四边形为矩形， ∴，，和面积相等． 125．【答案】或或 【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形，三角形外角性质，分四种情况讨论，分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 由折叠得，，， 当为等腰三角形时，分以下四种情况解答： ① 当时，，如图， ∴， ∵， ∴，此时点和点重合，显然不符合题意； ② 当时，，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④ 当点在线段上侧时，，，如图， 由折叠得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 126．【答案】（1）② （2），理由如下： 如图中，作交延长线于点于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）8 【分析】 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质及全等三角形判定，结合等腰三角形性质进行线段转化． （1）利用角平分线的性质直接得出结论； （2）如图中，作交延长线于点于点，证明，从而证明； （3）如图，在上截取，连接，利用前面结论得到，结合等腰三角形性质求出的长度． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：② ； （2）解：略； （3）如图，在上截取，连接， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 由（2）的结论得， ， ， ， ， ， ， ． 127．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）0.8cm     （3）B点坐标为（4，1）      【分析】 （1）证，再由证即可； （2）证，得，，即可解决问题； （3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作cm，于点E，过B作于点F，交x轴于点H，证，得，，则，，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴cm，， ∴(cm)， 即的长为0.8cm； (3) 小问详解： 解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴A， ∴， ∴B点坐标为（4，1）． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】 解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 11．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出，且是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，由，得，，则，所以，即可由，，证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得，，而，则，所以，即可由，，证明是等边三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴；     （2）成立      【分析】 （1）由题中条件可得，，在直角三角形中可得，，所以． （2）在上截取，连接，可得为等边三角形，进而可得，即，，进而结论得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：结论成立． 理由如下：在上截取，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题． 13．【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形；     （2）2      【分析】 （1）由垂直平分，可得，证明是等边三角形，，由，可得，则，进而结论得证； （2）如图，连接交于，由垂直平分，可得，，则，，由是等边三角形，可得，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接交于， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为2． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 14．【答案】（1）证明：∵、， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）8； （3）① 1； ②如图， 4 【分析】 （1）先利用等角的余角相等得到 ，则可根据“”证明 ； （2）过点作于D，如图，先证明得到，然后根据三角形面积公式计算； （3）①证明出是等边三角形，得到，，是等边三角形，，即可求解； ②如图，利用旋转的性质得 ， ，再证明 得到，则，然后计算点P运动的时间t． 【详解】 （1）略 （2）过点作于D，如图， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，由题意得：，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ② ∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动的时间． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的全等的判定和性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上知识点． 15．【答案】（1）证明：为等边三角形 为等边三角形的中线 ； （2），理由如下： 作，交于点，如图 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ，， ， 在和中 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可知，再由等腰三角形的性质可知，结合三角形中线的性质得到，从而得到，即可证明； （2）作，交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得为等边三角形，从而得到，，结合，从而证明，得到，即可得到； 【详解】 （1）略 （2）略 16．【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 17．【答案】（1），     （2） 证明：由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （3） 证明：由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．【答案】（1） 证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而得到，即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．【答案】8 【分析】 本题考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质等知识，连接交于P，根据等边三角形的性质得到，，是的垂直平分线，从而，得出，即可得到结论． 【详解】 解：连接交于P， ∵是等边三角形，是边上的中线，E为AC中点， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，即此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为8， 故答案为：8． 20．【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 在和中， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，结合，然后利用“”即可证明； （2）由全等的性质可得，进而利用外角的性质得到，然后等量代换即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ． 21．【答案】（1） 解：如图，即为所求作；      （2） 点即为所求作， 【分析】 （1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，于是得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 【点睛】 本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2） 成立，理由： 如图，延长到，使得，连接． 点为中点， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出； （2）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出． (1) 小问详解： ； 延长到，使得，连接． 点为中点，， 在与中， ， ，， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图，则点即为所求．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）连接交直线l于点，点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交直线l于点，连接， 此时，为最小值 24．【答案】（1） 如图，      （2） 【分析】 （1）找出对称轴上两点即可求解； （2）连结，交于点P，证明，得到，再根据三角形内角和的“8”字模型得到，即可得到． (1) 小问详解： 解：连结，交于点K，作直线， ∵和都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴多边形是轴对称图形，直线为所求作的多边形的对称轴． (2) 小问详解： 解：如图，连结，交于点P，与交于点， ∵和都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以点P即为所求作的点． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，无刻度直尺作图，画对称轴，根据旋转的性质说明线段或角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 25．【答案】（1）如图，点即为所求； （2）的最小值为 【分析】 本题考查了作图——轴对称，轴对称性质，垂直平分线的性质，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质求解最短路径． （1）作点关于直线的对称点，再连接交直线于点，则，得到，当、、三点共线时，的值最小为，则此时的点即为所求； （2）连接，由题意可得垂直平分，推出，则，当、、三点共线时，的最小值，最小值为，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）如图，连接， 在等边三角形中，于点， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在等边三角形中，，，是的中点， ， 即的最小值为． 26．【答案】<度 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据等边三角形的性质证明可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）3      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， 28．【答案】（1） 即为所作：      （2）5     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 29．【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【详解】 分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 30．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，能分类讨论并画出符合的所有图形是解此题的关键．分为以下5种情况讨论，再根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定分别求解即可． 【详解】 解：分为以下5种情况， ① 当时，如图， ， ； ② 当时，如图， ， ， ； ③ 当时，如图， ， ， ； ④ 当时，如图， ， 是等边三角形， ， ； ⑤ 当时，如图， ， ， ， ； 综上所述，当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 31．【答案】15 【详解】 根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 32．【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：即为所求． ，      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形的中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接相交于点D，连接交于E，即是的中线； （2）如图：连接相交于点G，连接交于F，即是的中线； (1) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为的垂直平分线，即是的中线． (2) 小问详解： 解：如图：设与相交于H， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中线， 由三角形三条中线在三角形内相交于一点，即是的中线． 33．【答案】（1） 作图如下：      （2）两点之间线段最短     （3）①12；②，      【分析】 （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）① 分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；② 根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； (3) 小问详解： ① 分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 34．【答案】（1） 证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ；     （2） 证明：， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ；     （3） 证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 35．【答案】任务一：，，，；任务二：；任务三： 【分析】 本题主要考查最短路径问题，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质，解决此题的关键熟练运用将军饮马问题的模型； （1）根据三边关系即可证明； （2）变成将军饮马的模型解决问题； （3）运用两次对称，得到等边三角形，进而得到答案 【详解】 解：（1）有对称性可知：，，， （2）如图4，当点运动到直线与的交点时，周长最小， 周长， ∵，， ∴的周长为． （3）如图5，过点作，垂足为点，过点分别作，的对称点，，连接，交于点，交于点，则的周长最小， 有对称性可知：,, ∵， ∴， ∴是等边三角形, ∴, ∴的周长， 如图6，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴周长的最小值为． 36．【答案】（1） 解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ．     （2）     （3）      【分析】 （1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； (3) 小问详解： ， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】 本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 37．【答案】（1） 证明：如图2（2）， 由翻折可知：； ∵， ∴， ∵， ∴；     （2）①， ②，理由如下： 在上取点，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查图形的翻折，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由翻折可知：；根据即可求证； （2）① 将沿翻折，由角平分线得到落在上，则，即可得到 ，代入即可得到； ② 在上取点，使得，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可得到； （3）把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上，由翻折可得，，，，，，再求出，得到是等边三角形，则，最后根据，得到当，在线段上时，最大． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 将沿翻折， ∵平分， ∴落在上； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ② 略 (3) 小问详解： 解：把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上， ∵点C是的中点，， ∴， ∵，， ∴由翻折可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，在线段上时，最大， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $