专题01 四边形（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 2．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 8．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件　　　　　　　　　　　　　使四边形是矩形．（写一个即可） 9．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长为　　　　　． 10．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 12．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 13．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（多选）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 14．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 15．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，矩形中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的面积． 16．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 17．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为　　　　　． 18．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，四边形是矩形，点、分别是、上的点，若，．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．    （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，将沿方向平移1个单位长度． 19．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是一张长方形纸片，已知，，E为上一点，，现要剪下一张以为一边的等腰三角形纸片()，且使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的底边长是　　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 22．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在四边形中，是对角线，，，分别是，的中点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的边上确定一点，使． （2）在图2中的边上确定一点，使． 24．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积． 25．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 26．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为　　　　． 27．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，点是矩形内任意一点．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·江西吉安·期中）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 29．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，中，、、分别是边、、的中点，是边上的高，连接、，猜想、的数量关系并说明理由． 30．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，若P为矩形边上任意一点，则当为直角三角形时，斜边长为　　　　　　　． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 2．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 3．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（        ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在菱形中，，已知菱形的周长为16，则菱形的对角线的长为（       ） A. 4 B. 16 C.  D.  6．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）下列说法不正确的是（     ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC 8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）若菱形的周长为8，则菱形的边长为　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．    （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 11．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是                         ； A.非特殊的平行四边形          B.矩形            C.菱形            D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 12．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）（多选）如图，已知四边形为萎形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点．求证：． 13．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 14．（25-26学年九上·江西吉安·期中）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为　　　　　　． 15．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，．求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 16．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作边上的高； （2）在图2中，作边上的高． 18．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，求证：四边形是菱形． 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证；四边形是菱形． （2）点作于点，若，，求的值． 20．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F．若，则菱形ABCD的面积为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，菱形及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图． （1）如图1，若点P在上，请在上作出点Q，使． （2）如图2，若点P在菱形外，请在菱形外作点Q，使． 22．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·江西吉安·期中）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二 次操作;……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形； ②为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形； （2）操作与计算： 已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a>1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 24．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    （1）如图1，在上找一点，使的周长最短． （2）如图2，在上找一点，作线段，使得． 28．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 2．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 3．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）下列命题正确的是（       ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）下列命题，其中是真命题的是（       ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为（   ） A. ①②④⑤ B. ②③④⑤ C. ①②⑤ D. ②④⑤ 9．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是，那么大正方形的边长应该是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的中点． 15．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，一副直角三角板ABC和DEF，∠F＝30°，将ABC和DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，ABC固定不动，当EDF绕点D逆时针旋转至180°的过程中（不含180°），当旋转角为　　　　　时，EF与ABC的边垂直． 17．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形； （2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形． 19．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）综合与实践 如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内，射线交边于点．射线交正方形的边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，两点重合时，的长为_____． 【问题探究】 （2）如图2，当为线段的中点时． ①求证：． ②求的长． 【拓展延伸】 （3）当为线段的三等分点时，请直接写出的长． 20．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 22．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． （1）当为多少度时，四边形为正方形？ （2）若，，求的长． 23．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 24．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 25．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，作于，当时，求的长． 26．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 27．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； （1）【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； （2）【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 28．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 29．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1）      °直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 30．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 31．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 32．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，直线交两坐标轴于点．    （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，连接．证明：，且线段； （3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】C 【分析】 对角线相等的平行四边形是矩形，根据矩形的判定定理即可得出答案． 【详解】 因为对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的判定定理，掌握判定定理是本题的关键． 2．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】 解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，则，在中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就可以求出的值． 【详解】 解：设， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】 此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 4．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图所示，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形对角线互相平分且相等是解题关键．由矩形的性质可得，，从而推出是等边三角形，得到，，再利用等边对等角和三角形内角和定理进一步求解即可． 【详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，理解相关知识是解答关键． 根据三角形中位线的性质求出CM的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解． 【详解】 解：分别为、的中点，， ， ． 在中，，是斜边上的中线， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】（1） 线段即为所求，      （2） 点即为所求， 【分析】 本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件　　　　　　　　　　　　　使四边形是矩形．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】 解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠可以得到，，，由勾股定理可求出对角线的长，在中，设，用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ 在中， 由于折叠 ∴， 设 在中 ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【详解】 解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形．     （2）      【分析】 （1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 12．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形． 【分析】 本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 【详解】 略 13．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）（多选）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【分析】 （1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】 略 15．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，矩形中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的面积． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形；     （2）的面积为      【分析】 本题考查的是矩形性质、勾股定理及平行四边形的判定， （1）先根据矩形性质得出，得出，，即可证明结论； （2）连接交于点O，根据矩形性质结合勾股定理求出，进而求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 16．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 又∵为的中点， ∴ ∴(AAS)， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】 由，得，，由得(AAS)，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 17．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为　　　　　． 【答案】或或5 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．分情况讨论：① 当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；② 当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③ 当时，底边；即可得出结论． 【详解】 解：如图所示： ① 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边； ② 当时， ∵，， ∴， ∴底边； ③ 当时，底边； 综上所述：等腰三角形的对边长为或或； 故答案为：或或 【点睛】 18．（2026·江西九江外国语学校·五模）如图，四边形是矩形，点、分别是、上的点，若，．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．    （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，将沿方向平移1个单位长度． 【答案】（1） 如图，点即为所求；         （2） 如图，线段即为所求． 【分析】 （1）根据矩形的性质，得到点为中点，连接、交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长，交于点，由（1）可知，点为的中点，进而得出，再连接并延长，交于点，连接，此时四边形是平行四边形，得到，且，则线段即为所求． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形，， ，， ， 点为中点， 连接、交于点，连接并延长，交于点，由矩形性质可知，点即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接、交于点，连接并延长，交于点， 由（1）可知，点为的中点， ， ， ， ， 连接并延长，交于点，连接，此时四边形是平行四边形， ，且， 线段即为所求． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，作图—平移变换，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 19．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝　　　　　　　． 【答案】1或或． 【分析】 分类考虑△ADG为等腰三角形当DG=AG时，利用矩形性质可得IG＝AE＝AB＝，根据折叠性质可得AG＝AB＝1，结合勾股定理可求AI＝； 当AG=DG时利用折叠性质AD＝AG＝AB＝1；当AD=AG时； 由勾股定理EG＝，设AD＝DG＝x，可得FG＝x﹣，再利用勾股定理DG2＝DF2+GF2，构造方程x2＝+（x﹣）2，可求AD＝即可． 【详解】 解：①AG＝DG， 作GI⊥AD， ∴I为AD中点，AD＝2AI， ∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1， ∴在矩形ABCD中， EF∥AD∥BC， 即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°， 四边形AEFD为矩形， ∴IG＝AE＝AB＝， ∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成， ∴AG＝AB＝1， ∴AI＝， ∴AD＝2AI＝， ②AD＝AG， ∴AD＝AG＝AB＝1， ③AD＝DG， EG＝， 设AD＝DG＝x， ∴FG＝x﹣， 连接DG， ∵DG2＝DF2+GF2， ∴x2＝+（x﹣）2， 化简得1﹣x＝0， 解得x＝， ∴AD＝， 故答案为：1或或． 【点睛】 本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键． 20．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图是一张长方形纸片，已知，，E为上一点，，现要剪下一张以为一边的等腰三角形纸片()，且使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的底边长是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】6或或 【分析】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，结合等腰三角形的性质分三种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由矩形的性质可得：， 如图，的垂直平分线交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，，， ∴， ∴底边； 综上所述：等腰三角形的底边长是6或或， 故答案为：6或或． 21．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． 【详解】 略 22．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在四边形中，是对角线，，，分别是，的中点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴，， ∴， 又是的中点， ∴；     （2）的长为      【分析】 本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，，可得，由分别是的中点，利用等腰三角形三线合一性质得到； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，，等边对等角得，，由三角形外角得，，可得，用勾股定理求长，最后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得出长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴． 23．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的边上确定一点，使． （2）在图2中的边上确定一点，使． 【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、格点作图题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，连接交于点，则即为所作； （2）取格点，连接交于点，点即为所作． (1) 小问详解： 解：取格点，连接交于点，则即为所作， 由格点的特点可得，四边形为矩形， 由矩形的性质可得，，， 再由直角三角形的性质可得，； (2) 小问详解： 解：取格点，连接交于点，点即为所作， 由格点的特点可得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 24．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1） 证明：∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴四边形AECD是矩形， ∴AC＝ED；     （2）      【分析】 （1）根据AE∥DC，CE∥AB，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得到结论成立； （2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10， ∴CD＝AD＝5， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴四边形AECD是菱形， ∴DE＝4， ∴AC＝， ∴AC＝6， ∴四边形ADCE的面积是AC•DE＝×6×8＝24， 即四边形ADCE的面积是24． 【点睛】 本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 【答案】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； ；     （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【分析】 （1）如图，取格点，连接交于即可； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； (1) 小问详解： 解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； 理由：∵， 而由网格矩形的性质可得：， ∴平分． (2) 小问详解： 解：如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 理由：由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是复杂作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 26．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为　　　　． 【答案】6或9或3.5． 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，分若；以及三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠对称性：． 在中，， ∴， 分三种情形讨论： 若， ∵， ∴， 若，则， 解得， 若，在中，， ∴ 解得， 综合得或9或3.5． 故答案为6或9或3.5． 27．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，点是矩形内任意一点．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 四边形是矩形得到，设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则，利用即可得到阴影部分的面积． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则， ∴； 故答案为：． 【点睛】 此题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质和准确计算是解题的关键． 28．（25-26学年九上·江西吉安·期中）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】（1） 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ．     （2）      【分析】 本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 29．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，中，、、分别是边、、的中点，是边上的高，连接、，猜想、的数量关系并说明理由． 【答案】，理由如下：是边上的高， ， 是的中点， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ． 【分析】 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，等量代换证明结论． 【详解】 略 30．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，若P为矩形边上任意一点，则当为直角三角形时，斜边长为　　　　　　　． 【答案】，或4 【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 分析题意，求出图中相关线段长和角度，根据直角三角形的直角顶点不确定，可知需分三种情况讨论，分情况作出图形，并进行求解． 【详解】 解：在矩形中，，，， ，， ， 当点F为直角顶点时，过点F作交直线于点P，过点P作于点G，如图① ， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当点P为直角顶点时，易知此时点P与点B重合，如图② ， 斜边， 当点E为直角顶点时，过点E作交于点P，如图③ ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，斜边为，或4， 故答案为：，或4． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·江西抚州·期中）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　） A. 6cm2 B. 12cm2 C. 24cm2 D. 48cm2 【答案】C 【分析】 已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】 根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据， 故选：C． 【点睛】 考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 先判断出是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出． 【详解】 解：∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 3．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意有一个内角为的菱形，连接对角线可得出等边三角形．根据菱形有一个内角为，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案． 【详解】 解：由题意可知，菱形的边长为， ∵菱形的一个内角是， ∴角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， ∴这个菱形较短的对角线长是． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（        ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断② ④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故① ②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④ 正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 5．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在菱形中，，已知菱形的周长为16，则菱形的对角线的长为（       ） A. 4 B. 16 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质． 令的交点为，先求出菱形边长，再利用含角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，令的交点为， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）下列说法不正确的是（     ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】 本题考查矩形和菱形的判定定理．分别根据矩形的判定以及菱形的判定判定各选项进而得出答案． 【详解】 解：A、四边形内角和为，三个角都是直角则第四个角也是直角，∴四个角都是直角的四边形是矩形，故本选项正确，不符合题意； B、对角线互相垂直平分，则对角线互相平分∴是平行四边形；对角线垂直∴是菱形，故本选项正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形（如筝形），∴不一定是菱形，故本选项错误，符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，这是矩形的判定定理之一，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可． 【详解】 A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°， 不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查菱形的判定定理、矩形的判定定理以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键． 8．（25-26学年九上·江西抚州·期中）若菱形的周长为8，则菱形的边长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查菱形性质：菱形四边相等，根据菱形性质：菱形四边相等直接求解即可得到答案． 【详解】 解：∵菱形的周长是8， ∴菱形边长是：， 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半求得． 【详解】 解：由已知得，菱形的面积． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，掌握菱形的面积的计算公式是解题的关键． 10．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．    （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 11．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长交于点，连接． （1）根据条件与作图信息知四边形是                         ； A.非特殊的平行四边形          B.矩形            C.菱形            D.正方形 （2）设与相交于点，四边形的周长为，，求的长． 【答案】（1）C     （2）      【分析】 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 12．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）（多选）如图，已知四边形为萎形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AB=BC，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C=∠CBE， ∵BE=AB， ∴CD=BE， ∵EF∥AD， ∴EF∥BC， ∴∠DBC=∠F，∠E=∠CBE， ∴∠C=∠E， 在△DCB和△BEF中， ， ∴△DCB≌△BEF（AAS）， ∴BC=EF， ∴DC=EF． 【分析】 由“AAS”可证△DCB≌△BEF，可得EF=BC=CD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 13．（25-26学年九上·江西湖南中学·期中）如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·江西吉安·期中）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 15．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，．求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 【答案】赞同小辰，补充条件：， 证明：四边形为矩形， ，，，， 在和中， ， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【分析】 先补充条件，借助矩形性质证明，得到一组对边平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再用邻边相等证出菱形． 【详解】 略 16．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 17．（25-26学年九上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作边上的高； （2）在图2中，作边上的高． 【答案】（1） 解：如图，高即为所求；      （2） 解：如图，高即为所求． 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． (1) 小问详解： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； (2) 小问详解： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 18．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的顶点E，G分别在的边，上，顶点F，H在的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ，得， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ．     （2） 证明：连接， E为的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据平行四边形性质得到，得，证明即可得到结论； （2）连接，根据中点的性质求得，在证四边形是平行四边形，得，求得，根据．得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证；四边形是菱形． （2）点作于点，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴. ∴四边形是菱形．     （2）      【分析】 此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论成立. （2）求解，证明，再结合菱形的面积可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴. 20．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F．若，则菱形ABCD的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】 解：连接AC交BD于O，如图，    ∵四边形ABCD为菱形， ∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝2， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝2， ∵， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6， ∴OB＝OD＝3， 在Rt△BOC中，， ∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故答案为． 【点睛】 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 21．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，菱形及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图． （1）如图1，若点P在上，请在上作出点Q，使． （2）如图2，若点P在菱形外，请在菱形外作点Q，使． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求．      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求． （2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握，菱形的性质是解题关键．由菱形的性质可知，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，进而得到，，再利用三角形内角和定理与外角的性质求解即可． 【详解】 解：四边形是菱形，， ，， ∵， 在中，， ，， ， ， ， 故答案为： 23．（25-26学年九上·江西吉安·期中）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二 次操作;……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形； ②为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形； （2）操作与计算： 已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a>1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 【答案】（1）①2； ② 如图2，由BE是四边形ABFE的对称轴，即知∠ABE=∠FBE，且AB=BF，EA=EF，又因为AE∥BF，所以∠AEB=∠FBE，从而有∠AEB=∠ABE，因此AB=AE，据此可知AB=AE=EF=BF，故四边形ABFE为菱形； （2）如图，必为a＞3，且a=4； 如图，必为2，且a=2.5； 如图，必为，解得a=； 如图，必为1，且3（a-1）=1，解得a= 综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 【分析】 （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案； ②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案； （2）利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形． 【详解】 解：（1）① 邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； 故答案为：2； ② 略 （2）略 【点睛】 本题考查图形的剪拼，平行四边形的性质，菱形的性质，作图---应用与作图设计． 24．（25-26学年九上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）6      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 25．（25-26学年九上·江西九江经开区·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【分析】 本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】 略 26．（25-26学年九·江西景德镇珠山区·期末）在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】 解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图① ， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图② ， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③ ， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④ ， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 27．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    （1）如图1，在上找一点，使的周长最短． （2）如图2，在上找一点，作线段，使得． 【答案】（1） 如图1，点P为所作；         （2） 如图2，为所作． 【分析】 （1）利用菱形的性质可得到点A、C关于对称，则，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，从而得到此时的周长最短； （2）连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则F点为的中点，所以． (1) 小问详解： 解：如图1，连接交于P点，则点P为所作； (2) 小问详解： 解：如图2，连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则为所作． ∵菱形中，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，则， ∵点O是的中点，是边的中点， 由菱形的对称性质，点M是边的中点， ∴点N是的重心， ∴点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】 本题考查了作图-——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、重心的知识和最短路径问题． 28．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形．     （2）      【分析】 本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质可得两直边与对角线组成直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】 解：正方形的边长为1，相邻两直角边与对角线可组成直角三角形， ∴对角线长为， 故选：B ． 2．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【分析】 过点D作于点N，延长交直线于M，连接，如图，根据四边形、四边形是正方形，可得，判断①正确；证明，可得，又，可得，判断②正确；在中，，可判断③正确；根据，，有，可得四边形的面积与正方形的面积不相等，判断④不正确． 【详解】 过点D作于点N，延长交直线于M，连接，    四边形、四边形是正方形， ，， ，故①正确； ， ， 又，， ， ，， 又， ， ，故②正确； 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，， ，故③正确； ，， ， ， 四边形的面积与正方形的面积不相等，故④不正确； 正确的有① ② ③， 故选：C． 【点睛】 本题考查正方形的性质与应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积，解题的关键是掌握正方形的性质． 3．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】 解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）下列命题正确的是（       ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意. 故选：D． 【点睛】 考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 5．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）下列命题，其中是真命题的是（       ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】 分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（25-26学年九上·江西吉安吉水县·期末）下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 【详解】 解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 7．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】 解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 8．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为（   ） A. ①②④⑤ B. ②③④⑤ C. ①②⑤ D. ②④⑤ 【答案】A 【分析】 ① 根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中， ，求得； ② 先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为； ③ 根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形； ④ 由② 可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明； ⑤ 当最小时，最小，的最小值等于； 【详解】 解：① 如图，延长交于，连，延长交于 ∵，四边形是正方形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， 在中， ，故① 符合题意； ② ∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故② 符合题意； ③ ∵点是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故③ 不符合题意； ④ ∵四边形为矩形， ∴， 由正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④ 符合题意； ⑤ 由， ∴当最小时，最小， 则当时， 即时，的最小值等于故⑤ 符合题意； 综上，符合题意的有：① ② ④ ⑤ ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 9．（25-26学年九上·江西景德镇一中·期中）如图，分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是，那么大正方形的边长应该是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据勾股定理即可计算AB与AI的比值，观察图形可以求得Al的值，根据AI的值即可求得AB的值，即可解题. 【详解】解：如图 ∵△BMI△ABI， ∴ MI=BM ， ∴AI=3MB+MB=MB， 又∵在直角△ABI中，AB：AI=3：， ∴ ∵MB与小正方形的边长相等， ∴ 故选C. 【点睛】本题考查几何的综合问题，几何正方形性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理综合运用分析. 10．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 ① 过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故① 正确； ② 利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故② 正确； ③ 根据② 的结论可得，所以，故③ 正确； ④ 当时，点C与点F重合，得到不一定等于，故④ 错误． 【详解】 解：① 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ， 故① 正确； ② ∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， 故② 正确； ③ 根据② 得， ， ， 故③ 正确； ④ 当时，点C与点F重合， 不一定等于， 故④ 错误， 综上所述：① ② ③ 正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（25-26学年九上·江西萍乡·期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据四边形是正方形，得到，即可判断；根据已知条件求出，得到，即可判断；连接，交于点，证明，则，，根据勾股定理求出即可判断；根据三角形面积的关系计算，即可判断． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； 如图，连接，交于点， ∵四边形和是正方形， ∴，，，，，， ∴，即 ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴，故错误； 综上可知：正确的是，共2个， 故选：B． 12．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】 解：的周长为18， ． 为的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 13．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【详解】 解：如图所示，       依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，画出的中点． 【答案】（1） 如图点为所作中点      （2） 如图点为所作中点 【分析】 本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·江西赣州兴国县·期中）如图，一副直角三角板ABC和DEF，∠F＝30°，将ABC和DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，ABC固定不动，当EDF绕点D逆时针旋转至180°的过程中（不含180°），当旋转角为　　　　　时，EF与ABC的边垂直． 【答案】75°或120°或165° 【分析】 分EF⊥AC，EF⊥BC，EF⊥AB三种情况利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图1所示，当EF⊥AC时，延长CA交EF于G， ∵∠F=30°，EF⊥AC，即∠FGH=90°， ∴∠GHF=60°， ∴∠DHC=60°， 又∵∠ACB=45°， ∴∠HDC=180°-∠HCD-∠DHC=75°， ∴当旋转角为75°时，EF⊥AC； 如图2所示，当EF⊥BC时，延长CB交EF于G， ∴∠EGD=90°， ∵∠F=30°，∠EDF=90°， ∴∠E=60°， ∴∠EDG=180°-∠EGD-∠E=30°， ∴∠FDG=60°， ∴∠FDC=120°， ∴当旋转角为120°时，EF⊥BC； 如图3所示，当EF⊥AB时，延长AB交EF于G，设DF与AB交于H， ∴∠FGH=90°， ∵∠F=30°， ∴∠FHG=60°， ∴∠BHD=120°， 又∵∠ABC=45°，    ∴∠BDH=180°-∠BHD-∠HBD=15°， ∴∠HDC=165°， ∴当旋转角为165°时，EF⊥AB； 综上所述，当旋转角为75°或120°或165°时，EF与△ABC的边垂直， 故答案为：75°或120°或165°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的计算，熟练运用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 17．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图1，2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】 解：如图1，2中，连接．    如图1中，∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．（25-26学年九上·江西九江湖口县·期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形； （2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形． 【答案】（1） 四边形即为所求，      （2） 等腰三角形即为所求， 【分析】 （1）连接，过点与对角线的交点作交于点，则四边形即为所求， （2）在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，则△ADM≌△CDF，则AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM,则△AEM即为所求． (1) 小问详解： 如图（1）所示，连接，过点与对角线的交点作交于点， 则四边形即为所求， (2) 小问详解： 如图（2）所示，等腰三角形即为所求， 在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M， ， ， ∴， ，AD=CD， △ADM≌△CDF，则AM=CF， 由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM，则△AEM即为所求． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 19．（25-26学年九上·江西九江永修县虬津片区·期中）综合与实践 如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内，射线交边于点．射线交正方形的边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，两点重合时，的长为_____． 【问题探究】 （2）如图2，当为线段的中点时． ①求证：． ②求的长． 【拓展延伸】 （3）当为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）① 证明：连接， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ②的长为． （3）的长为2或． 【分析】 此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质， （1）根据勾股定理求出，由折叠得，即可求出的长； （2）① 连接，由折叠得，证明，即可证得． ② 连接，证明，得到，设，则，由勾股定理得到，代入得，求出，即可； （3）分两种情况，① 当点E为邻近点B的三等分点时，② 当点E为邻近点C的三等分点时，利用勾股定理求出的长． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 当，两点重合时，， 由折叠得， ∴， 故答案为：； （2）① 略 ② 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴的长为． （3）① 当点E为邻近点B的三等分点时，则， 连接， 由（2）② 得， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得， 即； ② 当点E为邻近点C的三等分点时，则， 可得， 设，则， ∵， ∴ 解得， 即； 综上，的长为2或． 20．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为　　　　　　． 【答案】5cm或cm 【分析】 作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形以AC为边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】 解：∵AC=6cm，BD=4cm， ∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2cm， 如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G， BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm， 在Rt△BFG中，BF===cm， 如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G， BG=AO=3cm， FG=AF-AG=6-2=4cm， 在Rt△BFG中，BF===5cm， 综上所述，BF长为cm或5cm， 故答案为：cm或5cm． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观． 21．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 【答案】（1）如图1，BEDF即为所求； （2）如图2．菱形BEDF即为所求． 【分析】 （1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】 解：（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】 本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 22．（25-26学年九上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． （1）当为多少度时，四边形为正方形？ （2）若，，求的长． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； (2) 小问详解： 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26学年九上·江西九江第一中学·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．     （2）四边形是菱形； 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （3）45      【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 24．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2） 四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形．      【分析】 （）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年九上·江西临川第一中学·期中）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，作于，当时，求的长． 【答案】． 【分析】 本题考查了正方形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识．连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】 解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 26．（25-26学年九上·江西南昌南昌县·期中）已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 【答案】（1）如图，直线OF即为所求； （2）如图，直线GH即为所求； 【分析】 （1）连接BD与AC相交于O，连接AE与BD相交于P，连接CP并延长交AD于F，直线OF即为所求； （2）设AE与OF交于G，连接OE交CF于H，则直线GH即为所求． 【详解】 （1）∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP， ∴△ADP△CDP， ∴∠DAE=∠DCF， ∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°， ∴△ADE△CDF， ∴DE=DF， ∵点E是CD的中点， ∴点F是AD的中点， ∵∠AOD=90°，且AO=OD， ∴∠AOF=45°； （2）由三角形中位线定理知OG=CF=1，OH=AF=1，且∠GOH=90°， ∴OG=OH， ∴△GOH是等腰直角三角形， ∴∠HOC=∠OHG=45°， ∴GH∥AC，且OG =1． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 27．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； （1）【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； （2）【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 【答案】（1） ， ，      （2） ， 理由：∵四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴．     （3）3      【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在正方形ABCD中，， ∴． 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 28．（25-26学年九上·江西抚州东乡区·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 【答案】（1）45； （2）① 证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②4； （3）； （4） 【分析】 （1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）① 由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】 解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）① 略 ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （4）过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 29．（25-26学年九上·江西抚州·期中）如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1）      °直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 【答案】（1）45     （2） ①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ②2      【分析】 （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作于G，则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；②设根据已知条件得到，由①得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； (2) 小问详解： ① 略 ②解：设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理，， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为2． 【点睛】 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 30．（25-26学年九上·江西九江瑞昌·期中）中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 【答案】（1）；     （2）结论成立，结论不成立，， 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故结论仍然成立； ， ， ， ， 故结论不成立，正确结论是：；     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，，根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中，    ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（25-26学年九上·江西吉安·期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；     （2）四边形是菱形，理由见解析；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 32．（25-26学年九上·江西江西师大附·期中）如图，直线交两坐标轴于点．    （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，连接．证明：，且线段； （3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2） 方法一：如图1，过点作轴于． 可得与都是Rt． ， ． ． ． ，即．    方法二：如图2，连接． ， ； ． ． 是等腰直角三角形． ，且．        方法三：由方法一可知：． 设直线的解析式为，可得 直线的解析式为． 又直线与的解析式的一次项系数的积． ．     （3）      【分析】 （1）待定系数法求直线解析式即可求解； （2）如图，过点，作轴于， （3）根据一次函数的平移可得的解析式为，即可求解． (1) 小问详解： 直线经过点， ．解得 ． 直线的解析式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 方法一：如图3． 四边形为正方形， ． 将点向右平移4个单位， 再向下平移3个单位 可得到点． 将同样平移 可得点． 也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标． 方法二：如图4．四边形为正方形． ． 直线的解析式为． 设直线的解析式为． 又直线经过点． ． 直线的解析式为． 同理可得，直线的解析式为． 点是直线与直线的交点， 有 解得 点． 也可以用类似的垂直法得出点的坐标．    方法三：如图5．连接，两线交于点 四边形为正方形． 点是的中点，也是的中点． ， 点． 即点． 又点．    方法四：如图6．过点作轴于点． 可证得Rt． 得到． ． 点在轴的正半轴． 点在第四象限． 点． 【点睛】 本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．【答案】（1） 线段即为所求，      （2） 点即为所求， 【分析】 本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】 解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 9．【答案】3 【分析】 本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠可以得到，，，由勾股定理可求出对角线的长，在中，设，用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ 在中， 由于折叠 ∴， 设 在中 ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 10．【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【详解】 解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形．     （2）      【分析】 （1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 12．【答案】证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形． 【分析】 本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 【详解】 略 13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【分析】 （1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．【答案】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】 略 15．【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形；     （2）的面积为      【分析】 本题考查的是矩形性质、勾股定理及平行四边形的判定， （1）先根据矩形性质得出，得出，，即可证明结论； （2）连接交于点O，根据矩形性质结合勾股定理求出，进而求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 16．【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 又∵为的中点， ∴ ∴(AAS)， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】 由，得，，由得(AAS)，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 17．【答案】或或5 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．分情况讨论：① 当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；② 当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③ 当时，底边；即可得出结论． 【详解】 解：如图所示： ① 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边； ② 当时， ∵，， ∴， ∴底边； ③ 当时，底边； 综上所述：等腰三角形的对边长为或或； 故答案为：或或 【点睛】 18．【答案】（1） 如图，点即为所求；         （2） 如图，线段即为所求． 【分析】 （1）根据矩形的性质，得到点为中点，连接、交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长，交于点，由（1）可知，点为的中点，进而得出，再连接并延长，交于点，连接，此时四边形是平行四边形，得到，且，则线段即为所求． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形，， ，， ， 点为中点， 连接、交于点，连接并延长，交于点，由矩形性质可知，点即为所求； (2) 小问详解： 解：如图，连接、交于点，连接并延长，交于点， 由（1）可知，点为的中点， ， ， ， ， 连接并延长，交于点，连接，此时四边形是平行四边形， ，且， 线段即为所求． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，作图—平移变换，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 19．【答案】1或或． 【分析】 分类考虑△ADG为等腰三角形当DG=AG时，利用矩形性质可得IG＝AE＝AB＝，根据折叠性质可得AG＝AB＝1，结合勾股定理可求AI＝； 当AG=DG时利用折叠性质AD＝AG＝AB＝1；当AD=AG时； 由勾股定理EG＝，设AD＝DG＝x，可得FG＝x﹣，再利用勾股定理DG2＝DF2+GF2，构造方程x2＝+（x﹣）2，可求AD＝即可． 【详解】 解：①AG＝DG， 作GI⊥AD， ∴I为AD中点，AD＝2AI， ∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1， ∴在矩形ABCD中， EF∥AD∥BC， 即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°， 四边形AEFD为矩形， ∴IG＝AE＝AB＝， ∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成， ∴AG＝AB＝1， ∴AI＝， ∴AD＝2AI＝， ②AD＝AG， ∴AD＝AG＝AB＝1， ③AD＝DG， EG＝， 设AD＝DG＝x， ∴FG＝x﹣， 连接DG， ∵DG2＝DF2+GF2， ∴x2＝+（x﹣）2， 化简得1﹣x＝0， 解得x＝， ∴AD＝， 故答案为：1或或． 【点睛】 本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键． 20．【答案】6或或 【分析】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，结合等腰三角形的性质分三种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由矩形的性质可得：， 如图，的垂直平分线交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，底边为； 如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点， ， 此时为等腰三角形，，， ∴， ∴底边； 综上所述：等腰三角形的底边长是6或或， 故答案为：6或或． 21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． 【详解】 略 22．【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴，， ∴， 又是的中点， ∴；     （2）的长为      【分析】 本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，，可得，由分别是的中点，利用等腰三角形三线合一性质得到； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，，等边对等角得，，由三角形外角得，，可得，用勾股定理求长，最后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得出长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴． 23．【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、格点作图题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，连接交于点，则即为所作； （2）取格点，连接交于点，点即为所作． (1) 小问详解： 解：取格点，连接交于点，则即为所作， 由格点的特点可得，四边形为矩形， 由矩形的性质可得，，， 再由直角三角形的性质可得，； (2) 小问详解： 解：取格点，连接交于点，点即为所作， 由格点的特点可得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 24．【答案】（1） 证明：∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴四边形AECD是矩形， ∴AC＝ED；     （2）      【分析】 （1）根据AE∥DC，CE∥AB，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得到结论成立； （2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10， ∴CD＝AD＝5， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴四边形AECD是菱形， ∴DE＝4， ∴AC＝， ∴AC＝6， ∴四边形ADCE的面积是AC•DE＝×6×8＝24， 即四边形ADCE的面积是24． 【点睛】 本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25．【答案】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； ；     （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【分析】 （1）如图，取格点，连接交于即可； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； (1) 小问详解： 解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； 理由：∵， 而由网格矩形的性质可得：， ∴平分． (2) 小问详解： 解：如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 理由：由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是复杂作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 26．【答案】6或9或3.5． 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，分若；以及三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠对称性：． 在中，， ∴， 分三种情形讨论： 若， ∵， ∴， 若，则， 解得， 若，在中，， ∴ 解得， 综合得或9或3.5． 故答案为6或9或3.5． 27．【答案】 【分析】 四边形是矩形得到，设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则，利用即可得到阴影部分的面积． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则， ∴； 故答案为：． 【点睛】 此题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质和准确计算是解题的关键． 28．【答案】（1） 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ．     （2）      【分析】 本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 29．【答案】，理由如下：是边上的高， ， 是的中点， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ． 【分析】 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，等量代换证明结论． 【详解】 略 30．【答案】，或4 【分析】 本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 分析题意，求出图中相关线段长和角度，根据直角三角形的直角顶点不确定，可知需分三种情况讨论，分情况作出图形，并进行求解． 【详解】 解：在矩形中，，，， ，， ， 当点F为直角顶点时，过点F作交直线于点P，过点P作于点G，如图① ， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当点P为直角顶点时，易知此时点P与点B重合，如图② ， 斜边， 当点E为直角顶点时，过点E作交于点P，如图③ ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，斜边为，或4， 故答案为：，或4． 考点02 菱形 1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．C 7．D 8．【答案】 【分析】 本题考查菱形性质：菱形四边相等，根据菱形性质：菱形四边相等直接求解即可得到答案． 【详解】 解：∵菱形的周长是8， ∴菱形边长是：， 故答案为：2． 9．【答案】 【分析】 根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半求得． 【详解】 解：由已知得，菱形的面积． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，掌握菱形的面积的计算公式是解题的关键． 10．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 11．【答案】（1）C     （2）      【分析】 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形得出，证明，得出四边形是平行四边形，再由即可得出结论； （2）先根据菱形的周长求出其边长，再由得出，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意得：平分， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：C； (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，且周长为16， ∴．垂直平分， ∵， ∴． ∴， ∴． 12．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AB=BC，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C=∠CBE， ∵BE=AB， ∴CD=BE， ∵EF∥AD， ∴EF∥BC， ∴∠DBC=∠F，∠E=∠CBE， ∴∠C=∠E， 在△DCB和△BEF中， ， ∴△DCB≌△BEF（AAS）， ∴BC=EF， ∴DC=EF． 【分析】 由“AAS”可证△DCB≌△BEF，可得EF=BC=CD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 13．【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】 略 14．【答案】 【分析】 过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 15．【答案】赞同小辰，补充条件：， 证明：四边形为矩形， ，，，， 在和中， ， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【分析】 先补充条件，借助矩形性质证明，得到一组对边平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再用邻边相等证出菱形． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 17．【答案】（1） 解：如图，高即为所求；      （2） 解：如图，高即为所求． 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． (1) 小问详解： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； (2) 小问详解： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 18．【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ，得， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ．     （2） 证明：连接， E为的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据平行四边形性质得到，得，证明即可得到结论； （2）连接，根据中点的性质求得，在证四边形是平行四边形，得，求得，根据．得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1） 证明：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴. ∴四边形是菱形．     （2）      【分析】 此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论成立. （2）求解，证明，再结合菱形的面积可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴. 20．【答案】 【分析】 连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】 解：连接AC交BD于O，如图，    ∵四边形ABCD为菱形， ∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝2， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝2， ∵， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6， ∴OB＝OD＝3， 在Rt△BOC中，， ∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故答案为． 【点睛】 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 21．【答案】（1） 如图所示，点即为所求．      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求． （2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握，菱形的性质是解题关键．由菱形的性质可知，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，进而得到，，再利用三角形内角和定理与外角的性质求解即可． 【详解】 解：四边形是菱形，， ，， ∵， 在中，， ，， ， ， ， 故答案为： 23．【答案】（1）①2； ② 如图2，由BE是四边形ABFE的对称轴，即知∠ABE=∠FBE，且AB=BF，EA=EF，又因为AE∥BF，所以∠AEB=∠FBE，从而有∠AEB=∠ABE，因此AB=AE，据此可知AB=AE=EF=BF，故四边形ABFE为菱形； （2）如图，必为a＞3，且a=4； 如图，必为2，且a=2.5； 如图，必为，解得a=； 如图，必为1，且3（a-1）=1，解得a= 综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 【分析】 （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案； ②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案； （2）利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形． 【详解】 解：（1）① 邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； 故答案为：2； ② 略 （2）略 【点睛】 本题考查图形的剪拼，平行四边形的性质，菱形的性质，作图---应用与作图设计． 24．【答案】（1） 证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）6      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 25．【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【分析】 本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】 略 26．【答案】或或 【分析】 连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】 解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图① ， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图② ， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③ ， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④ ， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 27．【答案】（1） 如图1，点P为所作；         （2） 如图2，为所作． 【分析】 （1）利用菱形的性质可得到点A、C关于对称，则，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，从而得到此时的周长最短； （2）连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则F点为的中点，所以． (1) 小问详解： 解：如图1，连接交于P点，则点P为所作； (2) 小问详解： 解：如图2，连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则为所作． ∵菱形中，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，则， ∵点O是的中点，是边的中点， 由菱形的对称性质，点M是边的中点， ∴点N是的重心， ∴点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】 本题考查了作图-——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、重心的知识和最短路径问题． 28．【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形．     （2）      【分析】 本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 考点03 正方形 1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．【答案】 【分析】 利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】 解：的周长为18， ． 为的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【详解】 解：如图所示，       依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．【答案】（1） 如图点为所作中点      （2） 如图点为所作中点 【分析】 本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．【答案】75°或120°或165° 【分析】 分EF⊥AC，EF⊥BC，EF⊥AB三种情况利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图1所示，当EF⊥AC时，延长CA交EF于G， ∵∠F=30°，EF⊥AC，即∠FGH=90°， ∴∠GHF=60°， ∴∠DHC=60°， 又∵∠ACB=45°， ∴∠HDC=180°-∠HCD-∠DHC=75°， ∴当旋转角为75°时，EF⊥AC； 如图2所示，当EF⊥BC时，延长CB交EF于G， ∴∠EGD=90°， ∵∠F=30°，∠EDF=90°， ∴∠E=60°， ∴∠EDG=180°-∠EGD-∠E=30°， ∴∠FDG=60°， ∴∠FDC=120°， ∴当旋转角为120°时，EF⊥BC； 如图3所示，当EF⊥AB时，延长AB交EF于G，设DF与AB交于H， ∴∠FGH=90°， ∵∠F=30°， ∴∠FHG=60°， ∴∠BHD=120°， 又∵∠ABC=45°，    ∴∠BDH=180°-∠BHD-∠HBD=15°， ∴∠HDC=165°， ∴当旋转角为165°时，EF⊥AB； 综上所述，当旋转角为75°或120°或165°时，EF与△ABC的边垂直， 故答案为：75°或120°或165°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的计算，熟练运用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 17．【答案】 【分析】 如图1，2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】 解：如图1，2中，连接．    如图1中，∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．【答案】（1） 四边形即为所求，      （2） 等腰三角形即为所求， 【分析】 （1）连接，过点与对角线的交点作交于点，则四边形即为所求， （2）在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，则△ADM≌△CDF，则AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM,则△AEM即为所求． (1) 小问详解： 如图（1）所示，连接，过点与对角线的交点作交于点， 则四边形即为所求， (2) 小问详解： 如图（2）所示，等腰三角形即为所求， 在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M， ， ， ∴， ，AD=CD， △ADM≌△CDF，则AM=CF， 由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM，则△AEM即为所求． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 19．【答案】（1）； （2）① 证明：连接， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ②的长为． （3）的长为2或． 【分析】 此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质， （1）根据勾股定理求出，由折叠得，即可求出的长； （2）① 连接，由折叠得，证明，即可证得． ② 连接，证明，得到，设，则，由勾股定理得到，代入得，求出，即可； （3）分两种情况，① 当点E为邻近点B的三等分点时，② 当点E为邻近点C的三等分点时，利用勾股定理求出的长． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 当，两点重合时，， 由折叠得， ∴， 故答案为：； （2）① 略 ② 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴的长为． （3）① 当点E为邻近点B的三等分点时，则， 连接， 由（2）② 得， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得， 即； ② 当点E为邻近点C的三等分点时，则， 可得， 设，则， ∵， ∴ 解得， 即； 综上，的长为2或． 20．【答案】5cm或cm 【分析】 作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形以AC为边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】 解：∵AC=6cm，BD=4cm， ∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2cm， 如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G， BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm， 在Rt△BFG中，BF===cm， 如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G， BG=AO=3cm， FG=AF-AG=6-2=4cm， 在Rt△BFG中，BF===5cm， 综上所述，BF长为cm或5cm， 故答案为：cm或5cm． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观． 21．【答案】（1）如图1，BEDF即为所求； （2）如图2．菱形BEDF即为所求． 【分析】 （1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】 解：（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】 本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 22．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； (2) 小问详解： 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．     （2）四边形是菱形； 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；     （3）45      【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 24．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2） 四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形．      【分析】 （）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】． 【分析】 本题考查了正方形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识．连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】 解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 26．【答案】（1）如图，直线OF即为所求； （2）如图，直线GH即为所求； 【分析】 （1）连接BD与AC相交于O，连接AE与BD相交于P，连接CP并延长交AD于F，直线OF即为所求； （2）设AE与OF交于G，连接OE交CF于H，则直线GH即为所求． 【详解】 （1）∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP， ∴△ADP△CDP， ∴∠DAE=∠DCF， ∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°， ∴△ADE△CDF， ∴DE=DF， ∵点E是CD的中点， ∴点F是AD的中点， ∵∠AOD=90°，且AO=OD， ∴∠AOF=45°； （2）由三角形中位线定理知OG=CF=1，OH=AF=1，且∠GOH=90°， ∴OG=OH， ∴△GOH是等腰直角三角形， ∴∠HOC=∠OHG=45°， ∴GH∥AC，且OG =1． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 27．【答案】（1） ， ，      （2） ， 理由：∵四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴．     （3）3      【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在正方形ABCD中，， ∴． 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 28．【答案】（1）45； （2）① 证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②4； （3）； （4） 【分析】 （1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）① 由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】 解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）① 略 ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （4）过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 29．【答案】（1）45     （2） ①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ②2      【分析】 （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作于G，则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；②设根据已知条件得到，由①得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； (2) 小问详解： ① 略 ②解：设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理，， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为2． 【点睛】 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 30．【答案】（1）；     （2）结论成立，结论不成立，， 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故结论仍然成立； ， ， ， ， 故结论不成立，正确结论是：；     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，，根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中，    ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 31．【答案】（1）见解析；     （2）四边形是菱形，理由见解析；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2) 小问详解： 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 32．【答案】（1）     （2） 方法一：如图1，过点作轴于． 可得与都是Rt． ， ． ． ． ，即．    方法二：如图2，连接． ， ； ． ． 是等腰直角三角形． ，且．        方法三：由方法一可知：． 设直线的解析式为，可得 直线的解析式为． 又直线与的解析式的一次项系数的积． ．     （3）      【分析】 （1）待定系数法求直线解析式即可求解； （2）如图，过点，作轴于， （3）根据一次函数的平移可得的解析式为，即可求解． (1) 小问详解： 直线经过点， ．解得 ． 直线的解析式为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 方法一：如图3． 四边形为正方形， ． 将点向右平移4个单位， 再向下平移3个单位 可得到点． 将同样平移 可得点． 也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标． 方法二：如图4．四边形为正方形． ． 直线的解析式为． 设直线的解析式为． 又直线经过点． ． 直线的解析式为． 同理可得，直线的解析式为． 点是直线与直线的交点， 有 解得 点． 也可以用类似的垂直法得出点的坐标．    方法三：如图5．连接，两线交于点 四边形为正方形． 点是的中点，也是的中点． ， 点． 即点． 又点．    方法四：如图6．过点作轴于点． 可证得Rt． 得到． ． 点在轴的正半轴． 点在第四象限． 点． 【点睛】 本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $