期中测试卷2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 这份九年级数学期中卷以函数与方程为核心，融合科技（酒精传感器）、社会热点（赣超联赛、头盔销售）及项目式学习（测量盒子质量），突出数学应用与思维进阶。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|一元二次方程定义、抛物线顶点、反比例函数图像|第5题结合酒精传感器图像判断函数关系，体现数学眼光| |填空题|6/18|根与系数关系、抛物线平移、等腰三角形与反比例函数|第10题“赣超”单循环比赛建模，体现模型意识| |解答题|11/84|解方程、函数综合、新定义“理想方程”、项目式测量|21题测量盒子质量（实验数据反推函数关系），23题“不动点函数”探究（结合利润问题），体现数学思维与应用|

九年级数学上学期期中测试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟。 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分。 1.下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A．3 B． C． D． 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 3.点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4.反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A．6 B．10 C． D． 5.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 （第4题） （第5题） （第6题） 6.如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.一元二次方程的一次项系数是 ． 8.已知方程的两个根分别为，则的值为 ． 9.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析 式为 10.2025年江西省城市足球联赛（简称“赣超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ． 11.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） （第12题） （第11题） 12.已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则点坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解方程. (1) (2) ． 14.已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点均在抛物线上，求的值． 15.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，交x轴于点D，且D为的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，在x轴上找出点F，使四边形为矩形，作出矩形； (2)在图②中，作出菱形． 16.已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 17.如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.南昌市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 19.定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； 20. 如图是江西师大附中瑶湖学校初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． (1)若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； (2)设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 22.综合与实践 (1) 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2) 如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 六、解答题（本大题共12分） 23.问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 九年级数学上学期期中测试卷参考答案及评分标准 说明： 1．如果考生的解答与本答案不同，可根据试题的主要考查内容参考评分标准制定相应的评分细则后评卷。 2．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半，如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分， 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.D 2.C 3.B 4.A 5. D 6. B 解：1.，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断符合定义，故选：D． 2.∵顶点式的顶点为，∴的顶点为， ；故选C 3.∵函数，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小，∵，∴，故选：B． 4..根据反比例函数的图象性质可知，，结合图象得，只有A选项在此范围内；故选：A． 5.由图象得，当时，，故A正确；由图象得，随的增大而减小，故B正确；由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应，∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即；当时，，即；∵∴图中曲线不是反比例函数的图象．故选：D． 6.设方程的两个根为，，，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间，，当x在0.5和1之间时，另一根在与之间，取，， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是．故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.-2 8. 2 9. ． 10. 13 11.不能 12.或或（说明：每写对一个给1分） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解：（1）解：， ∴， ∴， 或， ． 3分 （2）解：， ∴， ， 4分 ， 5分 ， 6分 14.（1）解：，即． 3分 （2）解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 6分 15.．(1)解：如图，四边形即为所求； 1分 3分 （2）解：如图，四边形即为所求； 4分 6分 16. （1）解：∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2，解得k=3； 2分 （2）解：∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0，解得k＜1； 4分 （3）解：∵k=13，有k﹣1=12， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数的图象上， 将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数的图象上． 6分 17.（1）解∵反比例函数的图象经过点， ∴， 1分 ∵直线经过点， ∴， 解得， 2分 ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 3分 （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 4分 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， 5分 ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得，∴直线l平移的距离为． 6分 4、 解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.（1）解：该品牌头盔销售量的月增长率是 ； 2分 （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 4分 解得，， 6分 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． 8分 19.（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； 4分 （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； 8分 20. 解：（1）若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为 m； 2分 （2）由（1）可得，车库面积为：， 由题意得到，解得， 4分 ∴． 5分 （3）解：有必要，理由如下： 6分 由（1）可得：，解得：或（不符合题意舍去）， 当时，． ∴机动车停车位向外移动． ∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 8分 21.（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； 3分 （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入，得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． 6分 （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 9分 22. （1）解：猜想，的积最大，理由如下： 1分 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ， ∴当时，有最大值， 故的积最大． 4分 （2）解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 9分 23.解：（1）以上结论中，你认为正确的是__③___（填写正确结论的序号）． 2分 （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点，得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； 5分 （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； 8分 （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 12分 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $