专题06 全等三角形（期中真题汇编，江西专用）八年级数学上学期

专题06 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ）． A.  B.  C.  D. 以上都有可能 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列命题的逆命题正确的是（       ） A. 全等三角形的周长相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 直角三角形的两个锐角互余 4．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，已知两个三角形全等，若，则的值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，，若，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三顶点均在坐标轴上，若要使，则满足条件的点的坐标为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 8．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，． （1）求的度数； （2）求的长． 9．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为　　　　　　　时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 11．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知点A(0，1)，B(3，1)，C(4，3)．如果在y轴的左侧存在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为　　． 12．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6，则　　　　　　． 13．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，点B，F，C，E在同一条直线上，若，，求的长． 14．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 15．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）（1）如图，，，．求的长． （2）如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数． 16．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）若，且∠A=110°，∠B=30°，则∠C1=　　　　　°． 17．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，已知，且B、D、E、C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）若，，求的度数． 18．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于(     ) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° 2．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在和中，，，则的理由是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A. 60° B. 65° C.  D.  9．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（     ）判定三角形全等． A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（     ）                          图1                                                                           图2 A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 13．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）陈师傅在野外作业时意外磕破了三角形模具，使其碎裂成3块（如图所示），无法直接手工拼接，只能带碎片到实验室通过3D打印复刻，那么他最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②去 15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（     ） A. 作等边三角形 B. 作的角平分线 C. 作 D. 作 16．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列条件中不一定能确定的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（       ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 23．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 24．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，已知，，则下列说法正确的是　　 A.  B.  C.  D. 以上说法都不对 25．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（        ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 26．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 27．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 28．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，，还需补充一个条件　　　　　　　　　　　　　　，就可直接根据“”证明． 31．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 34．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在四边形ABCD中，E是CB的中点，延长AE、DC相交于点F，∠CEA＝∠B+∠F．求证：AB＝FC． 35．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）（多选）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是　　　　　　． 36．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，相交于点O，，．求证：． 37．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是　　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（多选）如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 39．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，E为边上一点，F为的中点，过点A作，交的延长线于点B． （1）求证：； （2）若，，求的长． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 41．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，D为边上一点，连接并延长到点E，使，过点E作，交于点F，交于点G，求证：． 42．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图是折叠凳撑开后的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 43．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件　　　　　　，使得．（只添一种情况即可） 44．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 45．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为　　　　　． 46．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 47．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，，，要使，应添加的条件是　　　　　　　　　．（只需写出一个条件即可） 48．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 49．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 50．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知，若添加一个条件后可以证明，则这个条件可以是　　　　　　． 51．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 52．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）已知：如图，，，．    （1）当，时，求的度数； （2）求证：． 54．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 55．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 56．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，在中，，BD和CE分别是，的角平分线，且BD，CE相交于点O． （1）求的度数； （2）求证：． 57．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 58．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图所示，若，，请添加一个条件，可以证得，则添加的条件是　　　　． 59．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，，分别平分，，且的延长线交于点D，过点O作交的延长线于点E． （1）的度数是_______． （2）求证：． 60．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在的网格系中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． （1）在图中作格点线段，垂足为； （2）在图中作点，使得． 61．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小王买来通过测量得到一组数据：，．求证：． 62．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在四边形中，平分，点在线段上，，．求证：． 63．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求的周长 64．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，，，，求证：． 65．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，，分别是，上的点，且，．求证：． 66．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 68．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 69．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）（多选）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到了两墙之间，如图所示，，，，点C在上这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）试说明的理由； （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出两墙之间距离的长度． 70．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝　　　　　　°． 71．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 72．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知，平分． （1）如图①，若，，求证：平分； （2）如图②，若，求证：． 73．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 74．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动　　　　　　秒时，与全等． 75．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为　　　　　　． 76．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，点D在上，E在上，，，求证：． 77．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是　　　　　　． 78．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1．的顶点、、均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图1中的上取点，使与面积相等； （2）在图2中取格点，使得（不可与重合）． 79．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，海岸上有，两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，如果从观测点看海岛，的视角与从观测点看海岛，的视角相等，那么海岛，到观测点，所在海岸距离，相等．请你证明：． 80．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在x轴，y轴上的点A，B处，，． （1）若，，则点C的坐标为______； （2）若点C的坐标为，求点A，B的坐标． 81．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，等腰直角中，，为线段上一动点（不含、端点），连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为的中点． 82．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为　　　　　　　　　　m． 83．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 84．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 85．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，为边的中点，为边上一动点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则四边形周长的最小值是______．（直接填写结果，不需要说明理由） 86．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）人字屋顶（又称“坡屋顶”“双坡屋顶”）是建筑中最经典的屋顶形式之一，其设计天然与数学概念结合．如图是人字屋顶设计图，在中，，点在边上，以下条件：①，②，③，④平分． （1）能说明成立的一个条件是______．（填写所有可能的序号即可，中间用“或”连接） （2）请选择（1）中的一个条件，证明． 87．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图1，，，，，垂足分别为，，，．    （1）求的长． （2）如图2，连接，，求四边形的面积． （3）如图3，改变的位置，其他条件不变，直接写出下列求解的结果． ①的长为______； ②四边形的面积为______． 88．（25-26学年八上·江西宜春·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 89．（25-26学年八上·江西宜春·期中）（1）如图所示的图形中x的值是多少？ （2）已知：如图，，相交于点O，，．求证：． 90．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则　　　　　　　　　　． 91．（25-26学年八上·江西宜春·期中）已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 92．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，是边上的中线，点是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 93．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是　　　　　　　　　　　 94．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 95．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是　　　　　　　　． 96．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和                 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 97．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（－2，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点；∠ABC＝90°，BA＝BC，则ab的值为　　　　　　． 98．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为　 　时，△ABP与△CBP为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长； 综合应用： （3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：△ABC与△AEF为偏等积三角形． 99．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）求证：全等三角形对应边上的中线相等．我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示，并进行证明． 已知：如图，___________，线段，分别是边，上的中线．求证：__________． （2）证明： 100．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，是的角平分线，与相交于点E．    （1）求的度数； （2）求证：． 101．（25-26学年八上·江西南昌·期中）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离　　　　　　　． 102．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 103．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是                 ． A．               B．                    C．                       D． （2）求得的取值范围是                  ． A．     B．          C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 104．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 105．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明的解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 106．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 107．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 　　　　　　　　 秒时，与全等． 108．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． （1）若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． （2）如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 109．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作∥，且DF＝AB，连接FA． （1）依题意补全图形； （2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是        ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系． （3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值． 110．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 111．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，点C的坐标是，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且，则的长度为　　　　　　　． 112．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． （2）如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． （3）点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 113．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）（多选）如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 114．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 115．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示， ，结论： ①； ②；③； ④， 其中正确的有(写序号)　　　　　　　　　． 116．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． （2）在（1）的条件下，当时，那么___________． （3）设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 117．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，，，，则的度数=　　　　　　． 118．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 119．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 2．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，为的平分线，于E，，，，则的面积是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，，，若，，，则（       ） A. 26° B. 29° C. 58° D. 32° 4．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图所示，P为平分线上的点，于D，，则点P到OB的距离为（     ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 5．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（       ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 6．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（     ） A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 以上都不是 7．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 9．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 11．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 13．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 15．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． （1）试探索与的关系； （2）若，求的度数． 16．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）（多选）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长． 17．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 18．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点　　　　　　　．（填“M”或“N”） 19．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 20．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 21．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 22．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）教材再现，请你完成解答 （1）【问题背景】如图1，，，，与交于点F．求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）【问题解决】如图3，在（1）的条件下，当，连接，求_____．（用含的式子表示） 24．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则　　　　　　°． 25．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 26．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，分别在，上取点，，作，，使． 27．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）【基础回顾】 （1）如图1，，且点D在边上，求证：平分． 【变式探究】 （2）如图2，，，且点E在上，若的延长线与交于点F．求证：点F在的平分线上． 【问题解答】 （3）如图3，在四边形中，，，的平分线与交于点E，且，，请直接写出四边形的面积（用含m的代数式表示）． 28．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，射线为的平分线，点P为射线上一点，于点M，且，点C为上一点，，则　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）【课本再现】题目来自课本第59页中的习题4，请你完成题（1）（2）． 问题背景：如图1，，与交于点．求证：． 【方法应用】 （1）如图2，，，与交于点，求的度数； （2）如图3，，，与交于点，连接，求的度数（用含的式子表示）． 30．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，平分，．若，，则　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 32．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 33．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． （1）如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； （2）如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； （3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 35．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　　　．（填序号）①平分；②；③；④． 36．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ）． A.  B.  C.  D. 以上都有可能 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】 解：由图可知：是边长为的边的一个邻角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选A． 2．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据全等三角形的性质得出，确定，结合图象求解即可． 【详解】 解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 题目主要考查全等三角形的判定和性质及坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 3．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列命题的逆命题正确的是（       ） A. 全等三角形的周长相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果，那么 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【分析】 写出命题的逆命题，后根据所学知识判断真假即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 【详解】 A. 周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； B. 对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C. 如果，那么，假命题，不符合题意； D. 两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意； 故选D． 4．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，已知两个三角形全等，若，则的值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决此题的关键是熟练掌握大角对大边；根据三角形全等的性质可知，的两个夹边是8和5，根据，可知所对的边为大边即可得到答案； 【详解】 解：∵两个三角形全等，为对应角，夹边为对应边分别是8和5， 又， ∴， 故选D． 5．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵在同一直线上， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，，若，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三角形内角和定理，得到，根据全等三角形的性质，，利用角的和差计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三顶点均在坐标轴上，若要使，则满足条件的点的坐标为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形性质，平面直角坐标系中两点之间的水平距离和竖直距离，是解题的关键． 根据全等三角形性质，得，设，由 ，得点A与B、C的水平距离为4，点D与点C、B的水平距离为，得，解得，，A与B的竖直距离为2，C与D的竖直距离为，令，解方程，即得点坐标． 【详解】 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴点A与B、C的水平距离为，点D与C、B的水平距离为， ∴， ∴， ∴，， ∵A与B的竖直距离为，C与D的竖直距离为， ∴， ∴， ∴，或， ∵在B、C的纵坐标之间， ∴不合，舍去， ∴满足条件的点坐标是或． 故选：C． 8．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“全等三角形的性质”“三角形外角的性质”，利用全等三角形的性质求出所需边、角的大小是解题关键． 根据，可知，． （1）是的外角，故，代入即可求出的度数． （2）由，代入即可求出的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． 9．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：∵点A，D的坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 10．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为　　　　　　　时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 【答案】或或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据点A和点B的坐标得出，根据点C不与点A重合，点D不与点B重合，进行分类讨论：当时；当时；即可解答． 【详解】 解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 当时，点C的坐标为或． 当时， ∵点C不与点A重合，点D不与点B重合， ∴， 故答案为或或． 11．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知点A(0，1)，B(3，1)，C(4，3)．如果在y轴的左侧存在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为　　． 【答案】（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）（﹣1，﹣1）或（﹣1，3） 【分析】 根据三角形三边对应相等的三角形全等可确定D的位置，再根据平面直角坐标系可得D的坐标． 【详解】 如图所示，点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）． 因为要求是y轴的左侧，所以只有（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）两点满足题意． 故答案为∶ （﹣1，3）或（﹣1，﹣1） 【点睛】 本题主要考查全等三角形的有关知识，知道三边对应相等的三角形全等是解答此题的关键． 12．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】 解：∵两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，点B，F，C，E在同一条直线上，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】 解：， ． ，， ． ． 点、、、在同一条直线上， ． 14．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或     （2）点Q的运动速度为或      【分析】 本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：① 当点P在上时；② 当点P在上时；③ 当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：① 当点P位于，点Q位于上时；② 当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：① 当点P在上时，不存在； ② 当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③ 当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； (2) 小问详解： 解：∵， ∴只存在两种情况：① 当点P位于，点Q位于上时；② 当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ① 当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ② 当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 15．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）（1）如图，，，．求的长． （2）如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数． 【答案】（1）7 （2） 【分析】 （1）根据，得到，结合，．求的长即可． （2）根据外角性质，角的平分线定义解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，线段的和差计算，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 （1）解：∵，， ∴， ∵， ． ∴． （2）解：∵是的外角的角平分线， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴． 16．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）若，且∠A=110°，∠B=30°，则∠C1=　　　　　°． 【答案】40 【分析】 先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形全等的性质即可得． 【详解】 在中，， ， ， ， 故答案为：40． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理、三角形全等的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题关键． 17．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，已知，且B、D、E、C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． （1）根据全等三角形的性质，可得出，根据，，从而得出的长； （2）根据全等三角形的性质可得出，即可得出，计算即得出答案． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ， ． 18．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】（1），     （2）a的值为2或      【分析】 （1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． (1) 小问详解： 解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； (2) 小问详解： 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】 本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于(     ) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° 【答案】B 【详解】在△AOC和△BOD中 ， ∴△AOC≌△BOD（SSS）， ∴∠C＝∠D， 又∵∠D＝30°， ∴∠C＝30°， 又∵在△AOC中，∠A=95°， ∴∠AOC=(180-95-30) °=55°, 又∵∠AOC+∠AOB＝180°（邻补角互补）， ∴∠AOB＝(180－55）°＝125 °. 故选B. 2．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据已知三角形，利用两角及其夹边分别相等的两个三角形全等即可求解． 【详解】 解：根据所给三角形，小明根据“”，画了一个与原三角形一样的三角形， 故选：B． 3．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在和中，，，则的理由是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 【详解】 解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 4．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定．根据，证明三角形全等即可． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故选C． 5．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 【详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了用证明三角形全等（），解题关键是掌握上述知识点并能运用它来求解． 根据求解即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】 解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是， 故选：C 7．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解作图过程，得，即可证明，故． 【详解】 解：结合作图过程，得出， ∴， ∴， 即证明两个角相等时用到了判定方法， 故选：B． 8．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A. 60° B. 65° C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选A． 9．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据所给图可得，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，即可得． 【详解】 解：根据所给图可得，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量， 即可根据画一个完全一样的一个三角形， 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定． 10．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（     ）判定三角形全等． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】 解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 11．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（     ）                          图1                                                                           图2 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 12．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【分析】 认真阅读作法，可得出，结论可得． 【详解】 解：根据题意得：， ∴△ODM≌△CEN的依据是“”， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 13．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】 A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 14．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）陈师傅在野外作业时意外磕破了三角形模具，使其碎裂成3块（如图所示），无法直接手工拼接，只能带碎片到实验室通过3D打印复刻，那么他最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②去 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：根据题意得：带③去满足 “角边角”，满足全等三角形的判定， 即他最省事的办法是带③去． 故选：C 15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（     ） A. 作等边三角形 B. 作的角平分线 C. 作 D. 作 【答案】D 【分析】 本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，根据判定定理“”可证，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：连接， 由作图可知，，，， ∴， ∴， ∴尺规作图痕迹显示的是作， 故选：． 16．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列条件中不一定能确定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟悉SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，注意SSA（边边角）不一定能判定三角形全等． 分别分析每个选项是否符合全等三角形的判定定理，判断能否确定两个三角形全等． 【详解】 解：A、因为，三边对应相等，符合SSS判定定理，所以能确定； B、因为，两角及夹边对应相等，符合ASA判定定理，所以能确定； C、因为，两边及其中一边的对角对应相等，届于SSA，所以不一定能确定； D、因为，两角及其中一角的对边对应相等，符合AAS判定定理，所以能确定． 综上，不一定能确定全等的是选项C． 故选：C． 17．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】 解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 18．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 19．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 20．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 21．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 22．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（       ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查三角形全等的判定条件，三角形的三边关系，根据ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】 解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意； B项：, ，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意； C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意； D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 23．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】 解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，已知，，则下列说法正确的是　　 A.  B.  C.  D. 以上说法都不对 【答案】D 【分析】根据，无法得出与全等，进而解答即可． 【详解】由，，，无法得出与全等， 所以无法得出，，， 故选D． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，注意全等三角形的判定和性质的应用． 25．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（        ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【详解】 解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 26．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【详解】 解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 27．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】 解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 28．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断① ；推出，根据证明即可，即可判断② ；证明，得，，根据外角的性质可判断③ ；通过等量代换可判断④ ．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论② 正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③ 错误； 又∵， ∴， 即，故结论④ 正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】 解：由作图痕迹得，， ． 30．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，，还需补充一个条件　　　　　　　　　　　　　　，就可直接根据“”证明． 【答案】 【分析】 本题旨在依据“ASA”的三角形全等判定定理，结合已知的，找出还需补充的条件，使和满足“ASA”的要求 【详解】 ASA判定定理要求两个三角形有两角及其夹边对应相等 已知，且两个三角形有公共角 此时，若补充，那么在和中： 满足“ASA”的判定条件，可证明 故答案为： 【点睛】 本题考查了三角形全等的“ASA”判定定理，掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）是解题的关键 31．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用证明，即可解答． 【详解】 解： 点既是的中点，也是的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 32．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据已知条件和全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可，此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：由图可知，，， 当时，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 33．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）二     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． (1) 小问详解： 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 34．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在四边形ABCD中，E是CB的中点，延长AE、DC相交于点F，∠CEA＝∠B+∠F．求证：AB＝FC． 【答案】证明：∵∠CEA＝∠B+∠F，∠CEA＝∠B+∠BAE， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB∥DC， ∴∠B＝∠ECF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝FC． 【分析】 证明△AEB≌△FEC（AAS），即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，熟记定理性质是解此题的关键． 35．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）（多选）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是　　　　　　． 【答案】AD=CB（答案不唯一） 【分析】 根据垂直定义得出∠ABD=∠CDB=90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】 解：需要添加的条件是AD=CB． 理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°． 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故答案为：AD=CB． 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 36．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 37．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定；需“两角夹边”，补充即可． 【详解】 解：∵，， ∴补充：， ∴， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）（多选）如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD． 【答案】证明：在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 【分析】 利用AAS证明三角形全等即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定：找到∠A是公共角这一隐含条件是解题的关键． 39．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，E为边上一点，F为的中点，过点A作，交的延长线于点B． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵F为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴．     （2）16      【分析】 （1）由可得，，，又根据题意知，即可利用“角角边”证明，然后利用其性质即可证明． （2）根据三角形全等的性质可知，再根据题意得，最后由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴，- ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定定理和性质是解答本题的关键． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质．根据题意得出，，证明，再利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 41．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，D为边上一点，连接并延长到点E，使，过点E作，交于点F，交于点G，求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；先根据平行线的性质得，再根据全等三角形的性质和判定即可得解． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图是折叠凳撑开后的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 【答案】38 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴； 答：的长度是． 43．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件　　　　　　，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 44．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）在三角形中，若，，则中线的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 46．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， 所以． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键． 直接运用“边角边”证明三角形全等即可． 【详解】 略 47．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，，，要使，应添加的条件是　　　　　　　　　．（只需写出一个条件即可） 【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分） 【分析】 根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可． 【详解】 解：如图所所示， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD． ∴∠BAC=∠EAD． （1）当∠B=∠E时， （2）当∠C=∠D时， （3）当AB=AE时， 故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键． 【详解】 48．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）3      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 49．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】 略 50．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，已知，若添加一个条件后可以证明，则这个条件可以是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由全等三角形的判定，即可得到答案． 【详解】 解：添加一个条件， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 51．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：在和中， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ， ． 52．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【详解】 如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 53．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）已知：如图，，，．    （1）当，时，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 解：由（1）得，， 在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， ∴， ∵． (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）证明即可得证． 【详解】 解：（1）在中，，， ， ； （2）略 55．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，在中，，BD和CE分别是，的角平分线，且BD，CE相交于点O． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；     （2） 证明：解法1：如图1，在BC上截取，连接OF， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 解法2：如图2，过点O分别作，，，垂足分别为点M，N，G， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线的性质构造全等三角形． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线性质求，再由三角形内角和求； （2）通过构造全等三角形（SAS或AAS）证明线段相等． (1) 小问详解： 解：在中，∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 57．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）（多选）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【分析】 因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 58．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图所示，若，，请添加一个条件，可以证得，则添加的条件是　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据的条件进行解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴由可知，添加可证明； 由可知：添加可证明； 由可知：添加可证明； 故答案为：（答案不唯一）． 59．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，，分别平分，，且的延长线交于点D，过点O作交的延长线于点E． （1）的度数是_______． （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵平分， ∴， ， ∴ ， ∴， 又， ， ．      【分析】 本题考查了三角形角平分线的定义，与角平分线有关的三角形内角和问题，全等三角形的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据角平分线的意义，得出，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明，再利用证明，即可得出． (1) 小问详解： 解：∵，分别平分，， ∴，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在的网格系中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． （1）在图中作格点线段，垂足为； （2）在图中作点，使得． 【答案】（1） 如图中，线段即为所求（答案不唯一），      （2） 如图中，点即为所求： 【分析】 本题考查的知识点是作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，解题关键是灵活运用全等三角形的判定与性质解决问题． 构造全等三角形即可解决问题； 构造全等三角形，利用对应边相等求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小王买来通过测量得到一组数据：，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在和中，根据全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】 略 62．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在四边形中，平分，点在线段上，，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】 先根据角平分线的定义得到，然后利用全等三角形的判定可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法是解答的关键． 63．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求的周长 【答案】7cm 【分析】 根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】 解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处， ∴DE=CD，BE=BC， ∵AB=8cm，BC=6cm， ∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm， ∴△ADE的周长=AD+DE+AE， =AD+CD+AE， =AC+AE， =5+2， =7cm． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键． 64．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证明是解题的关键； 根据可得，根据可得，证明，即可得到结论． 【详解】 略 65．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，，分别是，上的点，且，．求证：． 【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 由全等三角形的判定定理，即可得出结论． 【详解】 略 66．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据证明，可得再根据三角形内角和即可求出结果． 【详解】 解：如图， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 67．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）6      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 68．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 【答案】（1）见解析     （2）21      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 证明：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， ． 69．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）（多选）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到了两墙之间，如图所示，，，，点C在上这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）试说明的理由； （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出两墙之间距离的长度． 【答案】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）70cm 【分析】 （1）由AAS证明△ADC≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质得出AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC，得出DE=70cm． 【详解】 解：（1）略 （2）由题意得： ∵△ADC≌△CEB，a=10cm， ∴AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC， ∴DE=70cm． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 70．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝　　　　　　°． 【答案】47 【分析】 根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】 解：在△ABC和△ADE中， ， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 71．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）9．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 72．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知，平分． （1）如图①，若，，求证：平分； （2）如图②，若，求证：． 【答案】（1） 证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分；     （2） 证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立； （2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线判定定理和性质定理，平行线性质，以及等角对等边，解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形进行解题． 73．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 74．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动　　　　　　秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 此题要分两种情况：① 当在线段上时，② 当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】 解：① 当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去； ② 当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ③ 当在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ④ 当在上，时，，， ∴点的运动时间为（秒）， 故答案为：2或6或8． 75．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】 解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 故答案为：或或． 76．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】 略 77．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 78．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1．的顶点、、均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图1中的上取点，使与面积相等； （2）在图2中取格点，使得（不可与重合）． 【答案】（1） 如图1，取的中点，则点即为所求．      （2） 如图2，点即为所求． 【分析】 本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、三角形的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可得与面积相等； （2）可通过网格和勾股定理得，，，再由即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，海岸上有，两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，如果从观测点看海岛，的视角与从观测点看海岛，的视角相等，那么海岛，到观测点，所在海岸距离，相等．请你证明：． 【答案】证明：如图1所示：记交于点 ，， ， 又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 先证明，再证明，可得，得即可； 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键． 80．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在x轴，y轴上的点A，B处，，． （1）若，，则点C的坐标为______； （2）若点C的坐标为，求点A，B的坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查平面直角坐标系点的坐标、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标的性质是解题的关键． （1）过点C作轴交于点D，证得，根据全等三角形的性质证得、，进而求得点C的坐标即可； （2）过点C作轴交于点D，同（1）证得，根据全等三角形的性质证得，，结合点，求得和，进而求得点A，B的坐标即可． (1) 小问详解： 解：过点C作轴交于点D， 则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ， 、， ， ∴点C的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点C作轴交于点D， 则， ， ， ， ． ∵， ， ，, ， 、， ， ， ，， 答：点A，B的坐标为，． 81．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，等腰直角中，，为线段上一动点（不含、端点），连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为的中点． 【答案】证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∴； （2）如图所示，作， 由（1）可知，则，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：点为的中点． 【分析】 （1）由余角的性质可得，从而运用“角角边”证明即可； （2）作，同（1）证明过程可得，，从而证明，则可得为的中点，最终可得点为的中点． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键． 82．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为　　　　　　　　　　m． 【答案】0.4 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义，余角的性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：，， ． ． ， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：0.4． 83．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵． ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是正确的找出全等的条件； （1）先求出全等的判定条件，根据边角边判定全等，根据全等三角形角相等即可得到答案； （2）由（1）的全等得到相关角的度数，运用三角形的内角和即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知：，且，， ∴， ∴． 84．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴.     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴. 85．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在中，，为边的中点，为边上一动点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则四边形周长的最小值是______．（直接填写结果，不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等，垂线段最短等知识点，确定的最小值是解题的关键． （1）根据平行线的性质及中点可得，，，然后根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知：， ∴，， ∵，， ∴四边形的周长：， ∴当最小时，即时四边形的周长有最小值， 此时， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 86．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）人字屋顶（又称“坡屋顶”“双坡屋顶”）是建筑中最经典的屋顶形式之一，其设计天然与数学概念结合．如图是人字屋顶设计图，在中，，点在边上，以下条件：①，②，③，④平分． （1）能说明成立的一个条件是______．（填写所有可能的序号即可，中间用“或”连接） （2）请选择（1）中的一个条件，证明． 【答案】（1）① 或③ 或④     （2）答案不唯一， 证明：选择① ， ∵，， ∴， ∴； 选择③ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择④ ， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据邻补角的定义、全等三角形的判定可得结论； （2）选择① ，根据邻补角的定义即可得证；选择③ 或④ ，根据全等三角形的判定即可得证． (1) 小问详解： 解：能说明成立的一个条件是① 或③ 或④ ， 故答案为：① 或③ 或④ ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，垂直的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 87．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图1，，，，，垂足分别为，，，．    （1）求的长． （2）如图2，连接，，求四边形的面积． （3）如图3，改变的位置，其他条件不变，直接写出下列求解的结果． ①的长为______； ②四边形的面积为______． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）由题意可得，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）① 由可得，再根据线段的和差即可解答；② 直接用梯形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）可得：，，， ∵，， ∴． (3) 小问详解： 解：① 由（1）可得， ∴， ∴． ②． 88．（25-26学年八上·江西宜春·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1） ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴．     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 89．（25-26学年八上·江西宜春·期中）（1）如图所示的图形中x的值是多少？ （2）已知：如图，，相交于点O，，．求证：． 【答案】（1）60； （2）证明：∵， ，， 又， ． 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定． （1）根据三角形外角的性质得，解方程即可； （2）先由平行线的性质得，，再结合，根据证明即可． 【详解】 解：（1）由题意得：， ； （2）略 90．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则　　　　　　　　　　． 【答案】-度 【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】 解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 91．（25-26学年八上·江西宜春·期中）已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 92．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，是边上的中线，点是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，结合得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 93．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是　　　　　　　　　　　 【答案】（或或或） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 ∵，， ∴，， ① 添加条件为：， 在和中， ， ∴； ② 添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③ 添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④ 添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 94．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵ ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【分析】 （1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 95．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 如图，延长到E使，连接，通过证明就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】 解： 延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在△ACD和△EBD中 ， ∴， ∴． ∵， ∴由三角形的三边关系为：， 即． ∴ 故答案为：． 96．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和                 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】（1）是     （2） 证明：延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 97．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（－2，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点；∠ABC＝90°，BA＝BC，则ab的值为　　　　　　． 【答案】-14或-6-6或-14 【分析】 分两种情况讨论：① 当点C在AB左边时，过点C作CD⊥x轴于D，② 当点C在AB右边时，过点C作CD⊥x轴于D；根据△BCD≌△ABO可得CD=BO=2，BD=AO=5，结合C点所在象限求得C点坐标再计算求值即可； 【详解】 解：① 如图，当点C在AB左边时，过点C作CD⊥x轴于D， ∠ABC=90°，则∠CBD+∠ABO=90°， ∵∠CBD+∠C=90°， ∴∠C=∠ABO， ∵∠CDB=∠BOA=90°，BC=AB， ∴△BCD≌△ABO（AAS）， ∴CD=BO=2，BD=AO=5， ∵点C在第三象限， ∴C（-7，2）， ∴ab=-14； ② 如图，当点C在AB右边时，过点C作CD⊥x轴于D， 同理可得△BCD≌△ABO（AAS），CD=BO=2，BD=AO=5， ∵点C在第四象限， ∴C（3，-2）， ∴ab=-6； 故答案为：-14或-6； 【点睛】 本题考查了坐标的规律，全等三角形的判定和性质，结合C点位置分情况讨论是解题关键． 98．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为　 　时，△ABP与△CBP为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长； 综合应用： （3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：△ABC与△AEF为偏等积三角形． 【答案】（1）； （2）4或6； （3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H， ∴∠H=∠ACB=90°， ∴∠HEA+∠EAH=90° ∵四边形ABDE为正方形， ∴AB=AE，∠EAB=90°， ∴∠EAH+∠HAB=90°， ∴∠HAB=∠HEA， ∵四边形ACGF是正方形， ∴AF=AC，AFCG， ∴∠HAB=∠ABC， ∴∠HEA=∠ABC， ∴△EAH≌BAC（ASA）， ∴EH=BC， ∵，， ∴， 又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90° ∴△ABC与△AEF不是全等三角形， ∴△ABC与△AEF为偏等积三角形． 【分析】 （1）利用三角形中线的性质即可求解； （2）先证明△ABD≌△ECD，推出AD=DE，CE=AB=2，AE=2AD，再根据三角形三边的关系求解即可； （3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，然后证明△EAH≌BAC，得到EH=BC， 根据，，即可得到，再判定两个三角形不全等即可得到答案． 【详解】 解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴，， ∵△ABP与△CBP为偏等积三角形， ∴， ∴； （2）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，△ABD与△ACD为等高三角形 ∴BD=DC， ∵ABCE， ∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AD=DE，CE=AB=2 ∴AE=2AD， ∵AC-CE<AE<AC+CE， ∴3<AE<7， ∴1.5<AD<3.5， ∵AD的长为正整数， ∴AD=2或3， ∴AE=4或6； （3）略 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 99．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）求证：全等三角形对应边上的中线相等．我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示，并进行证明． 已知：如图，___________，线段，分别是边，上的中线．求证：__________． （2）证明： 【答案】（1），；     （2） 证明：∵， ∴，，， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，写出一个命题的已知、求证及证明过程，三角形中线性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意写出已知和求证即可； （）由，可得，，，根据中线性质可得，证明，然后由全等三角形性质即可求证． (1) 小问详解： 解：已知：，求证：； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 100．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，是的角平分线，与相交于点E．    （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，作的平分线，交于点，    由（1）得， ， 平分， ， 平分平分， ， 在与中， ， ， ， 同理可得， ， ．      【分析】 （1）先根据三角形的内角和求出，则可求出答案； （2）作的平分线，交于点，由（1）得，则，因为平分，，又因为平分平分，则，利用证明，则，同理可得，所以，则． (1) 小问详解： 解：平分平分， ， 在中，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 101．（25-26学年八上·江西南昌·期中）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 【详解】 解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 102．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1）见解析     （2），见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． (1) 小问详解： 证明：， ， 即， 在和中， ． (2) 小问详解： 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 103．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是                 ． A．               B．                    C．                       D． （2）求得的取值范围是                  ． A．     B．          C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【分析】 本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 （1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3） 略 104．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1）， 理由如下，如图所示，延长 到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长 到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）延长到点，使得，可证，，，再证，，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长到点，使得，可证，，，再证，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，同理可证，由此即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ∴，轴，则， ∴，则， ∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进， ∴，（海里），（海里）， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴（海里）， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 105．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明的解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．     ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3） 【分析】 该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）理解题意，结合已有的过程，以及运用全等三角形的判定与性质，进行分析和补充，即可作答． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，那么，即可作答． 【详解】 解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）略 （3）如图中，在上截取，使，连接．     ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 106．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），； （2），， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ② 【分析】 （1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】 （1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）① 略 ② 解：由① 可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 107．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当 　　　　　　　　 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】 分两种情况：① 当E在线段AB上时，② 当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可． 【详解】 解：①当E在线段AB上，AC=BE时，    AC=6， BE=6， AE=12-6=6， 点 E 的运动时间为 (秒)． ②当E在BN上，AC=BE时， AC=6， BE=6， AE=12+6=18． 点 E 的运动时间为 (秒)． ③ 当E在BN上，AB=BE时， AE=12+12=24. 点E的运动时间为 (秒) ④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：2或6或8． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 108．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． （1）若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． （2）如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 【答案】（1），的长为；     （2） ①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的面积为．      【分析】 （）证明，可得，继而得到，再代入数据计算可得答案； （）① 利用三角形外角的性质分别证明，即可证明，得到，可得结论； ② 设的面积为，根据全等三角形的性质可得，继而得到，根据可得，，再根据可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的长为； (2) 小问详解： ① 略 ② 设的面积为， 由① 知：，且的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的面积等知识点．正确理解题意并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 109．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作∥，且DF＝AB，连接FA． （1）依题意补全图形； （2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是        ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系． （3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值． 【答案】（1）补全图形如图图所示， （2）平行，相等， （3）120°或40° 【分析】 （1）依据题意画图即可； （2）连接BF，证明△BDF≌△FAB，即可得出AF与BD的位置关系和数量关系； （3）证明△DFG≌△ACF，利用平行线的性质和全等三角形的性质导角可求度数． 【详解】 （1）略 （2）AF与BD的位置关系是平行，数量关系是相等， 连接BF， ∵∥， ∴∠BFD＝∠ABF， ∵DF＝AB，BF＝FB， ∴△BDF≌△FAB， ∴DB＝AF，∠DBF＝∠AFB， ∴DB∥AF； 故答案为：平行，相等， （3）如图所示，当DG1＝DB，FG1＝FC时， ∵DB＝AF，AB＝AC，DF＝AB， ∴DG1＝AF，DF＝AC， ∴△DFG1≌△ACF， ∴∠FDG1＝∠CAF， ∵DB∥AF， ∴∠ABM+∠BAF＝180°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM+∠FDB＝180°， ∴∠BAF＝∠FDB， ∴∠BDG1＝∠BAC＝40°； 当DG2＝DB，FG2＝FC时， 同理，△DFG2≌△ACF， ∴∠FDG2＝∠CAF， ∵DB∥AF，∠ABM＝80°， ∴∠BAF＝100°， ∵∠BAC＝40°； ∴∠FDG2＝∠CAF＝140°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM＝∠FDM＝80°， ∴∠MDG2＝60°， ∴∠BDG2＝120°； 综上，∠BDG的度数为120°或40°； 【点睛】 本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定证明三角形全等． 110．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴；     （2） ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ；     （3）21      【分析】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， ∵，， ，， ， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长，过点作于，如图所示：   ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 111．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，点C的坐标是，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且，则的长度为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形综合，全等的性质和（）综合，根据正方形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是矩形，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得四边形是正方形，于是可求出的长度． 【详解】 解：如图，过点作两坐标的垂线， 则， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ， ， 又点C的坐标是， ，， ， ， ， 又四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：． 112．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． （2）如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． （3）点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）     （2）的面积为     （3）不变，的面积为2      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：的面积不发生变化，理由如下： ① 如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ② 当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 113．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）（多选）如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP； （2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ， 证明：延长BQ交AP于G， 由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°， ∴∠PQC=45°=∠QPC， ∴CQ=CP， ∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC， ∴在△BCQ和△ACP中 ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBQ+∠BQC=90°， ∵∠CQB=∠AQG， ∴∠AQG+∠PAC=90°， ∴∠AGQ=180°-90°=90°， ∴AP⊥BQ； （3）成立． 证明：如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ， CQ=CP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ=AP； 延长BQ交AP于点N， ∴∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC=∠APC． 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴BQ⊥AP． 【分析】 （1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可； （2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可； （3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样． 【详解】 （1）AB=AP且AB⊥AP， 证明：∵AC⊥BC且AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=, 又∵△ABC与△EFP全等， 同理可证∠PEF=45°， ∴∠BAP=45°+45°=90°， ∴AB=AP且AB⊥AP； （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 114．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【分析】 本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 115．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示， ，结论： ①； ②；③； ④， 其中正确的有(写序号)　　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定和性质解决问题． 先证明得即可推出② 正确；由即可推出① 正确；由可以推出④ 错误；由可以推出③ 正确，由此即可得出结论． 【详解】 解：在和中， ， ， ，，， ，故② 正确； 在和中， ， ， ，，故① 正确； ， ， 在和中， ， ， ，故④ 错误； 在和中， ， ，故③ 正确； 综上所述，① ② ③ 正确， 故答案为：① ② ③ ． 116．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． （2）在（1）的条件下，当时，那么___________． （3）设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】（1）     （2）     （3） ①， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定： （1）首先证明，再证明后即可得到； （2）根据得到，利用三角形内角和求解即可； （3）当在线段上时，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到；当点在线段的延长线上，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到．　 (1) 小问详解： 解：． 理由如下：， ， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：①略 ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 117．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，，，，则的度数=　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题． 由三角形的内角和定理求出，再证明，即可得到答案． 【详解】 ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 故答案为：． 118．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 119．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 2．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，在中，为的平分线，于E，，，，则的面积是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于点F，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，解答即可． 【详解】 解：作于点F， ∵为的平分线，于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，，，若，，，则（       ） A. 26° B. 29° C. 58° D. 32° 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】 ， 平分， ． 故选：B． 4．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图所示，P为平分线上的点，于D，，则点P到OB的距离为（     ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得点P到OB的距离等于 【详解】 解：∵P为平分线上的点，于D，， ∴点P到OB的距离为3cm 故选：C 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（       ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 【答案】A 【分析】 根据题意可得到 再结合 从而可得△OMC≌△ONC，于是可得判定两个三角形全等的依据. 【详解】 解：由题意得：MC=NC． 在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（SSS）． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，理解题意，熟练运用判定两个三角形全等是解决本题的关键． 6．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（     ） A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 以上都不是 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】 解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 7．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】 解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴； 故选B． 8．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】 解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 9．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ① 作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可得出① 正确； ② 假设，则，由已知条件可知：，已知条件中并不能推出，所以② 不一定成立； ③ 由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，③ 正确； ④ 由全等三角形的性质得出，，即可得出④ 正确；即可得出答案． 【详解】 解：① 作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故① 正确； ② 假设，则， 由已知条件可知：， ∴， 题干中并没有这个条件，所以② 不一定成立； ③平分，平分， ，， ∴， ，③ 正确； ④ 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ，④ 正确； 故选C． 10．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】 解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有① ② ④． 故选：B． 11．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图—基本做题，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由作图可得平分，，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由作图可得：平分，，故C正确； ∴，故A正确， ∵， ∴，故D正确； 和不一定相等，故B错误， 故选：B． 12．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键．由，，推导出，则，可判断①正确；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断② 正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断③ 正确，于是得到问题的答案． 【详解】 解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故② 正确， 如图，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故③ 正确； 故选：C． 13．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】 解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 14．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 15．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． （1）试探索与的关系； （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． (1) 小问详解： 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 16．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）（多选）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长． 【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE＝DF， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF； （2） 【分析】 （1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论； （2）根据DE＝DF，得，代入计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵DE＝DF， ∴， ∵AB+AC＝10， ∴DE＝3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 17．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）10      【分析】 （1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 18．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点　　　　　　　．（填“M”或“N”） 【答案】M 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． 根据证明得，进而可求出结论． 【详解】 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上， ∴点M到两边距离相等． 故答案为：M． 19．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 20．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 【答案】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：（1）12； （2）证明：过点P作于点D，于点E， 则， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【分析】 定理证明：由垂直可得，然后证明，进而问题可求证； 定理应用： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解； （2）过点P作于点D，于点E，则，，由已知与平角性质可得，即得，． 【详解】 [定理证明]：略 [定理应用]： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，于点D， ， ∴， ∴ ， ∵的周长是12， 即， ∴； 故答案为：12；　 （2）略 【点睛】 本题主要考查角平分线的性质定理．熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键． 22．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】 ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 设，则， 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 故答案为：2． 23．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）教材再现，请你完成解答 （1）【问题背景】如图1，，，，与交于点F．求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）【问题解决】如图3，在（1）的条件下，当，连接，求_____．（用含的式子表示） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴；     （2） ，证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则　　　　　　°． 【答案】125 【分析】 点O到三边距离相等，故O为的角平分线的交点，利用角平分线判定定理和三角形内角和定理求解即可． 本题考查了三角形角的平分线的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵点O是内一点，且点O到三边的距离相等， ∴O为的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：125． 25．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，分别在，上取点，，作，，使． 【答案】（1）      （2） 【分析】 本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点， （1）如解图所示，射线即为所求； （2）如解图所示，点E，F即为所求； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． (1) 小问详解： 如图所示，过A，D作射线， 即为所求 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴平分， ∴射线即为所求； (2) 小问详解： 如图所示，延长交于点 由（1）知：， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴点E，F即为所求． 27．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）【基础回顾】 （1）如图1，，且点D在边上，求证：平分． 【变式探究】 （2）如图2，，，且点E在上，若的延长线与交于点F．求证：点F在的平分线上． 【问题解答】 （3）如图3，在四边形中，，，的平分线与交于点E，且，，请直接写出四边形的面积（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分． （2）证明：连接，如图， ∵， ∴，， 又点E在上， ∴在上， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线上，即：点F在的平分线上． （3） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理与判定定理，等腰三角形的性质，灵活运用角平分线性质定理与判定定理是解答本题的关键． （1）由得出，，由可得出，从而得出结论； （2）根据证明可得结论； （3）根据求出，过点作于点，得，；过点作于点，证明，得到，求出，根据可得结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵平分，， ∴， ∴； 过点作于点， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26学年八上·江西宜春·期中）如图，射线为的平分线，点P为射线上一点，于点M，且，点C为上一点，，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了“角平分线的性质”的知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点P作的垂线，根据角平分线的性质可知的边上的高与的长相等，再利用已知条件代入计算即可求出的长． 【详解】 解：如答图，过点P作，垂足为N． ∵为的平分线，， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 6． 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）【课本再现】题目来自课本第59页中的习题4，请你完成题（1）（2）． 问题背景：如图1，，与交于点．求证：． 【方法应用】 （1）如图2，，，与交于点，求的度数； （2）如图3，，，与交于点，连接，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】[课本再现]证明：， ， ， ， ， ， ， [方法应用]（1）证明：设与的交点为G，如下图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [方法应用]（1）（2） 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，外角的性质，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； [课本再现]根据证明，即可得证； [方法应用]（1）根据证明，可得，再根据外角的性质即可得解． （2）过点C作，根据全等可得，，可证，再根据角平分线的判定可证平分，即可得解． 【详解】 [课本再现]证明：略； （2）解：过点C作，如下图， 同理可证，， ，， ， ， ， 平分， ， 由（1）知， ． ． 30．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，平分，．若，，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形中边上的高是解题的关键． 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 解得， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 【答案】（1） 证明： .， 在和中， ， ．     （2） 证明： 于，于 平分．      【分析】 (1)由“”可证 (2)根据全等三角形的性质得到，又由于，于，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 32．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【答案】（1）6；     （2） 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断① ；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断② ；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④ ；没有条件得出，即可判断③ ；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故② 正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④ 正确； 没有条件得出，故③ 错误； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ 34．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． （1）如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； （2）如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； （3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴① ，② ，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． 即③ 由① ② ③ 得． ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； （2）过点C作于M，于N，证明即可； （3）过点C作于M，于N，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴① ，② ， ∵， ∴． ∴． ∴． 即③ 由① ② ③ 得． ∴． 35．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　　　．（填序号）①平分；②；③；④． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断① ；证明，根据全等三角形的性质得出，判断② ；根据三角形的外角性质判断③ ；根据全等三角形的性质判断④ ． 【详解】 解：① 过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故① 正确； ② ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，② 正确； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴，③ 正确； ④ 由② 可知，， ∴，， ∴，故④ 正确， 故答案为：① ② ③ ④ ． 36．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． (1) 小问详解： 证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．C 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“全等三角形的性质”“三角形外角的性质”，利用全等三角形的性质求出所需边、角的大小是解题关键． 根据，可知，． （1）是的外角，故，代入即可求出的度数． （2）由，代入即可求出的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． 9．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：∵点A，D的坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 10．【答案】或或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据点A和点B的坐标得出，根据点C不与点A重合，点D不与点B重合，进行分类讨论：当时；当时；即可解答． 【详解】 解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 当时，点C的坐标为或． 当时， ∵点C不与点A重合，点D不与点B重合， ∴， 故答案为或或． 11．【答案】（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）（﹣1，﹣1）或（﹣1，3） 【分析】 根据三角形三边对应相等的三角形全等可确定D的位置，再根据平面直角坐标系可得D的坐标． 【详解】 如图所示，点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）． 因为要求是y轴的左侧，所以只有（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）两点满足题意． 故答案为∶ （﹣1，3）或（﹣1，﹣1） 【点睛】 本题主要考查全等三角形的有关知识，知道三边对应相等的三角形全等是解答此题的关键． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】 解：∵两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】的长为． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】 解：， ． ，， ． ． 点、、、在同一条直线上， ． 14．【答案】（1）或     （2）点Q的运动速度为或      【分析】 本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：① 当点P在上时；② 当点P在上时；③ 当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：① 当点P位于，点Q位于上时；② 当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：① 当点P在上时，不存在； ② 当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③ 当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； (2) 小问详解： 解：∵， ∴只存在两种情况：① 当点P位于，点Q位于上时；② 当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ① 当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ② 当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 15．【答案】（1）7 （2） 【分析】 （1）根据，得到，结合，．求的长即可． （2）根据外角性质，角的平分线定义解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，线段的和差计算，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 （1）解：∵，， ∴， ∵， ． ∴． （2）解：∵是的外角的角平分线， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴． 16．【答案】40 【分析】 先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形全等的性质即可得． 【详解】 在中，， ， ， ， 故答案为：40． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理、三角形全等的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题关键． 17．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． （1）根据全等三角形的性质，可得出，根据，，从而得出的长； （2）根据全等三角形的性质可得出，即可得出，计算即得出答案． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ， ． 18．【答案】（1），     （2）a的值为2或      【分析】 （1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． (1) 小问详解： 解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； (2) 小问详解： 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】 本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B 11．A 12．B 13．C 14．C 15．D 16．C 17．B 18．B 19．A 20．D 21．C 22．B 23．B 24．D 25．C 26．D 27．B 28．C 29．【答案】 【分析】 利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】 解：由作图痕迹得，， ． 30．【答案】 【分析】 本题旨在依据“ASA”的三角形全等判定定理，结合已知的，找出还需补充的条件，使和满足“ASA”的要求 【详解】 ASA判定定理要求两个三角形有两角及其夹边对应相等 已知，且两个三角形有公共角 此时，若补充，那么在和中： 满足“ASA”的判定条件，可证明 故答案为： 【点睛】 本题考查了三角形全等的“ASA”判定定理，掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）是解题的关键 31．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用证明，即可解答． 【详解】 解： 点既是的中点，也是的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 32．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据已知条件和全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可，此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：由图可知，，， 当时，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 33．【答案】（1）二     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． (1) 小问详解： 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 34．【答案】证明：∵∠CEA＝∠B+∠F，∠CEA＝∠B+∠BAE， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB∥DC， ∴∠B＝∠ECF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝FC． 【分析】 证明△AEB≌△FEC（AAS），即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，熟记定理性质是解此题的关键． 35．【答案】AD=CB（答案不唯一） 【分析】 根据垂直定义得出∠ABD=∠CDB=90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】 解：需要添加的条件是AD=CB． 理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°． 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故答案为：AD=CB． 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 36．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 37．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定；需“两角夹边”，补充即可． 【详解】 解：∵，， ∴补充：， ∴， 故答案为：． 38．【答案】证明：在△ABE与△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． 【分析】 利用AAS证明三角形全等即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定：找到∠A是公共角这一隐含条件是解题的关键． 39．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵F为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴．     （2）16      【分析】 （1）由可得，，，又根据题意知，即可利用“角角边”证明，然后利用其性质即可证明． （2）根据三角形全等的性质可知，再根据题意得，最后由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴，- ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定定理和性质是解答本题的关键． 40．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质．根据题意得出，，证明，再利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 41．【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；先根据平行线的性质得，再根据全等三角形的性质和判定即可得解． 【详解】 略 42．【答案】38 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴； 答：的长度是． 43．【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 44．【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】 略 45．【答案】 【分析】 如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 46．【答案】证明：在和中， ， 所以． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键． 直接运用“边角边”证明三角形全等即可． 【详解】 略 47．【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分） 【分析】 根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可． 【详解】 解：如图所所示， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD． ∴∠BAC=∠EAD． （1）当∠B=∠E时， （2）当∠C=∠D时， （3）当AB=AE时， 故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键． 【详解】 48．【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）3      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 49．【答案】证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】 略 50．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由全等三角形的判定，即可得到答案． 【详解】 解：添加一个条件， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 51．【答案】（1） 解：在和中， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ， ． 52．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【详解】 如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 53．【答案】（1）     （2） 解：由（1）得，， 在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， ∴， ∵． (2) 小问详解： 略 54．【答案】（1）； （2）证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）证明即可得证． 【详解】 解：（1）在中，，， ， ； （2）略 55．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．【答案】（1）；     （2） 证明：解法1：如图1，在BC上截取，连接OF， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 解法2：如图2，过点O分别作，，，垂足分别为点M，N，G， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线的性质构造全等三角形． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线性质求，再由三角形内角和求； （2）通过构造全等三角形（SAS或AAS）证明线段相等． (1) 小问详解： 解：在中，∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 57．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【分析】 因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 58．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据的条件进行解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴由可知，添加可证明； 由可知：添加可证明； 由可知：添加可证明； 故答案为：（答案不唯一）． 59．【答案】（1）     （2） 证明：∵平分， ∴， ， ∴ ， ∴， 又， ， ．      【分析】 本题考查了三角形角平分线的定义，与角平分线有关的三角形内角和问题，全等三角形的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据角平分线的意义，得出，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明，再利用证明，即可得出． (1) 小问详解： 解：∵，分别平分，， ∴，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1） 如图中，线段即为所求（答案不唯一），      （2） 如图中，点即为所求： 【分析】 本题考查的知识点是作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，解题关键是灵活运用全等三角形的判定与性质解决问题． 构造全等三角形即可解决问题； 构造全等三角形，利用对应边相等求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在和中，根据全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】 略 62．【答案】证明：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】 先根据角平分线的定义得到，然后利用全等三角形的判定可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法是解答的关键． 63．【答案】7cm 【分析】 根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】 解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处， ∴DE=CD，BE=BC， ∵AB=8cm，BC=6cm， ∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm， ∴△ADE的周长=AD+DE+AE， =AD+CD+AE， =AC+AE， =5+2， =7cm． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键． 64．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证明是解题的关键； 根据可得，根据可得，证明，即可得到结论． 【详解】 略 65．【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 由全等三角形的判定定理，即可得出结论． 【详解】 略 66．【答案】 【分析】 根据证明，可得再根据三角形内角和即可求出结果． 【详解】 解：如图， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 67．【答案】（1）见解析     （2）6      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 68．【答案】（1）见解析     （2）21      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 证明：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， ． 69．【答案】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）70cm 【分析】 （1）由AAS证明△ADC≌△CEB即可； （2）由全等三角形的性质得出AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC，得出DE=70cm． 【详解】 解：（1）略 （2）由题意得： ∵△ADC≌△CEB，a=10cm， ∴AD=4a=40cm=CE，BE=3a=30cm=DC， ∴DE=70cm． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 70．【答案】47 【分析】 根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】 解：在△ABC和△ADE中， ， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 71．【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）9．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 72．【答案】（1） 证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分；     （2） 证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立； （2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线判定定理和性质定理，平行线性质，以及等角对等边，解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形进行解题． 73．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 74．【答案】2或6或8 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 此题要分两种情况：① 当在线段上时，② 当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】 解：① 当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去； ② 当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ③ 当在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ④ 当在上，时，，， ∴点的运动时间为（秒）， 故答案为：2或6或8． 75．【答案】或或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】 解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 故答案为：或或． 76．【答案】证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】 略 77．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 78．【答案】（1） 如图1，取的中点，则点即为所求．      （2） 如图2，点即为所求． 【分析】 本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、三角形的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可得与面积相等； （2）可通过网格和勾股定理得，，，再由即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．【答案】证明：如图1所示：记交于点 ，， ， 又点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 先证明，再证明，可得，得即可； 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的应用，方向角等知识；熟练掌握方向角的含义，证明三角形全等是解题的关键． 80．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查平面直角坐标系点的坐标、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标的性质是解题的关键． （1）过点C作轴交于点D，证得，根据全等三角形的性质证得、，进而求得点C的坐标即可； （2）过点C作轴交于点D，同（1）证得，根据全等三角形的性质证得，，结合点，求得和，进而求得点A，B的坐标即可． (1) 小问详解： 解：过点C作轴交于点D， 则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ， 、， ， ∴点C的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点C作轴交于点D， 则， ， ， ， ． ∵， ， ，, ， 、， ， ， ，， 答：点A，B的坐标为，． 81．【答案】证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∴； （2）如图所示，作， 由（1）可知，则，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：点为的中点． 【分析】 （1）由余角的性质可得，从而运用“角角边”证明即可； （2）作，同（1）证明过程可得，，从而证明，则可得为的中点，最终可得点为的中点． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键． 82．【答案】0.4 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义，余角的性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：，， ． ． ， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：0.4． 83．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵． ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是正确的找出全等的条件； （1）先求出全等的判定条件，根据边角边判定全等，根据全等三角形角相等即可得到答案； （2）由（1）的全等得到相关角的度数，运用三角形的内角和即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知：，且，， ∴， ∴． 84．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴.     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴. 85．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等，垂线段最短等知识点，确定的最小值是解题的关键． （1）根据平行线的性质及中点可得，，，然后根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知：， ∴，， ∵，， ∴四边形的周长：， ∴当最小时，即时四边形的周长有最小值， 此时， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 86．【答案】（1）① 或③ 或④     （2）答案不唯一， 证明：选择① ， ∵，， ∴， ∴； 选择③ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择④ ， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据邻补角的定义、全等三角形的判定可得结论； （2）选择① ，根据邻补角的定义即可得证；选择③ 或④ ，根据全等三角形的判定即可得证． (1) 小问详解： 解：能说明成立的一个条件是① 或③ 或④ ， 故答案为：① 或③ 或④ ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，垂直的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 87．【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）由题意可得，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）① 由可得，再根据线段的和差即可解答；② 直接用梯形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）可得：，，， ∵，， ∴． (3) 小问详解： 解：① 由（1）可得， ∴， ∴． ②． 88．【答案】（1） ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴．     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 89．【答案】（1）60； （2）证明：∵， ，， 又， ． 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定． （1）根据三角形外角的性质得，解方程即可； （2）先由平行线的性质得，，再结合，根据证明即可． 【详解】 解：（1）由题意得：， ； （2）略 90．【答案】-度 【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】 解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 91．【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 92．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可． （2）先证明，由全等三角形的性质得出，结合得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 93．【答案】（或或或） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 ∵，， ∴，， ① 添加条件为：， 在和中， ， ∴； ② 添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③ 添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④ 添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 94．【答案】证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵ ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【分析】 （1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 95．【答案】 【分析】 本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 如图，延长到E使，连接，通过证明就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】 解： 延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在△ACD和△EBD中 ， ∴， ∴． ∵， ∴由三角形的三边关系为：， 即． ∴ 故答案为：． 96．【答案】（1）是     （2） 证明：延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 97．【答案】-14或-6-6或-14 【分析】 分两种情况讨论：① 当点C在AB左边时，过点C作CD⊥x轴于D，② 当点C在AB右边时，过点C作CD⊥x轴于D；根据△BCD≌△ABO可得CD=BO=2，BD=AO=5，结合C点所在象限求得C点坐标再计算求值即可； 【详解】 解：① 如图，当点C在AB左边时，过点C作CD⊥x轴于D， ∠ABC=90°，则∠CBD+∠ABO=90°， ∵∠CBD+∠C=90°， ∴∠C=∠ABO， ∵∠CDB=∠BOA=90°，BC=AB， ∴△BCD≌△ABO（AAS）， ∴CD=BO=2，BD=AO=5， ∵点C在第三象限， ∴C（-7，2）， ∴ab=-14； ② 如图，当点C在AB右边时，过点C作CD⊥x轴于D， 同理可得△BCD≌△ABO（AAS），CD=BO=2，BD=AO=5， ∵点C在第四象限， ∴C（3，-2）， ∴ab=-6； 故答案为：-14或-6； 【点睛】 本题考查了坐标的规律，全等三角形的判定和性质，结合C点位置分情况讨论是解题关键． 98．【答案】（1）； （2）4或6； （3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H， ∴∠H=∠ACB=90°， ∴∠HEA+∠EAH=90° ∵四边形ABDE为正方形， ∴AB=AE，∠EAB=90°， ∴∠EAH+∠HAB=90°， ∴∠HAB=∠HEA， ∵四边形ACGF是正方形， ∴AF=AC，AFCG， ∴∠HAB=∠ABC， ∴∠HEA=∠ABC， ∴△EAH≌BAC（ASA）， ∴EH=BC， ∵，， ∴， 又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90° ∴△ABC与△AEF不是全等三角形， ∴△ABC与△AEF为偏等积三角形． 【分析】 （1）利用三角形中线的性质即可求解； （2）先证明△ABD≌△ECD，推出AD=DE，CE=AB=2，AE=2AD，再根据三角形三边的关系求解即可； （3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，然后证明△EAH≌BAC，得到EH=BC， 根据，，即可得到，再判定两个三角形不全等即可得到答案． 【详解】 解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴，， ∵△ABP与△CBP为偏等积三角形， ∴， ∴； （2）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，△ABD与△ACD为等高三角形 ∴BD=DC， ∵ABCE， ∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AD=DE，CE=AB=2 ∴AE=2AD， ∵AC-CE<AE<AC+CE， ∴3<AE<7， ∴1.5<AD<3.5， ∵AD的长为正整数， ∴AD=2或3， ∴AE=4或6； （3）略 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 99．【答案】（1），；     （2） 证明：∵， ∴，，， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，写出一个命题的已知、求证及证明过程，三角形中线性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意写出已知和求证即可； （）由，可得，，，根据中线性质可得，证明，然后由全等三角形性质即可求证． (1) 小问详解： 解：已知：，求证：； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 100．【答案】（1）     （2） 证明：如图，作的平分线，交于点，    由（1）得， ， 平分， ， 平分平分， ， 在与中， ， ， ， 同理可得， ， ．      【分析】 （1）先根据三角形的内角和求出，则可求出答案； （2）作的平分线，交于点，由（1）得，则，因为平分，，又因为平分平分，则，利用证明，则，同理可得，所以，则． (1) 小问详解： 解：平分平分， ， 在中，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 101．【答案】米 【分析】 本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 【详解】 解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 102．【答案】（1）见解析     （2），见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． (1) 小问详解： 证明：， ， 即， 在和中， ． (2) 小问详解： 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 103．【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【分析】 本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 （1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3） 略 104．【答案】（1）， 理由如下，如图所示，延长 到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长 到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）延长到点，使得，可证，，，再证，，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长到点，使得，可证，，，再证，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，同理可证，由此即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ∴，轴，则， ∴，则， ∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进， ∴，（海里），（海里）， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴（海里）， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 105．【答案】（1）， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．     ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3） 【分析】 该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）理解题意，结合已有的过程，以及运用全等三角形的判定与性质，进行分析和补充，即可作答． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，那么，即可作答． 【详解】 解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）略 （3）如图中，在上截取，使，连接．     ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 106．【答案】（1），； （2），， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ② 【分析】 （1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】 （1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）① 略 ② 解：由① 可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 107．【答案】2或6或8 【分析】 分两种情况：① 当E在线段AB上时，② 当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可． 【详解】 解：①当E在线段AB上，AC=BE时，    AC=6， BE=6， AE=12-6=6， 点 E 的运动时间为 (秒)． ②当E在BN上，AC=BE时， AC=6， BE=6， AE=12+6=18． 点 E 的运动时间为 (秒)． ③ 当E在BN上，AB=BE时， AE=12+12=24. 点E的运动时间为 (秒) ④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：2或6或8． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 108．【答案】（1），的长为；     （2） ①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的面积为．      【分析】 （）证明，可得，继而得到，再代入数据计算可得答案； （）① 利用三角形外角的性质分别证明，即可证明，得到，可得结论； ② 设的面积为，根据全等三角形的性质可得，继而得到，根据可得，，再根据可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的长为； (2) 小问详解： ① 略 ② 设的面积为， 由① 知：，且的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的面积等知识点．正确理解题意并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 109．【答案】（1）补全图形如图图所示， （2）平行，相等， （3）120°或40° 【分析】 （1）依据题意画图即可； （2）连接BF，证明△BDF≌△FAB，即可得出AF与BD的位置关系和数量关系； （3）证明△DFG≌△ACF，利用平行线的性质和全等三角形的性质导角可求度数． 【详解】 （1）略 （2）AF与BD的位置关系是平行，数量关系是相等， 连接BF， ∵∥， ∴∠BFD＝∠ABF， ∵DF＝AB，BF＝FB， ∴△BDF≌△FAB， ∴DB＝AF，∠DBF＝∠AFB， ∴DB∥AF； 故答案为：平行，相等， （3）如图所示，当DG1＝DB，FG1＝FC时， ∵DB＝AF，AB＝AC，DF＝AB， ∴DG1＝AF，DF＝AC， ∴△DFG1≌△ACF， ∴∠FDG1＝∠CAF， ∵DB∥AF， ∴∠ABM+∠BAF＝180°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM+∠FDB＝180°， ∴∠BAF＝∠FDB， ∴∠BDG1＝∠BAC＝40°； 当DG2＝DB，FG2＝FC时， 同理，△DFG2≌△ACF， ∴∠FDG2＝∠CAF， ∵DB∥AF，∠ABM＝80°， ∴∠BAF＝100°， ∵∠BAC＝40°； ∴∠FDG2＝∠CAF＝140°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM＝∠FDM＝80°， ∴∠MDG2＝60°， ∴∠BDG2＝120°； 综上，∠BDG的度数为120°或40°； 【点睛】 本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定证明三角形全等． 110．【答案】（1） ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴；     （2） ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ；     （3）21      【分析】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， ∵，， ，， ， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长，过点作于，如图所示：   ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 111．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形综合，全等的性质和（）综合，根据正方形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是矩形，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得四边形是正方形，于是可求出的长度． 【详解】 解：如图，过点作两坐标的垂线， 则， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ， ， 又点C的坐标是， ，， ， ， ， 又四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：． 112．【答案】（1）     （2）的面积为     （3）不变，的面积为2      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：的面积不发生变化，理由如下： ① 如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ② 当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 113．【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP； （2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ， 证明：延长BQ交AP于G， 由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°， ∴∠PQC=45°=∠QPC， ∴CQ=CP， ∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC， ∴在△BCQ和△ACP中 ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBQ+∠BQC=90°， ∵∠CQB=∠AQG， ∴∠AQG+∠PAC=90°， ∴∠AGQ=180°-90°=90°， ∴AP⊥BQ； （3）成立． 证明：如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ， CQ=CP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ=AP； 延长BQ交AP于点N， ∴∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC=∠APC． 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴BQ⊥AP． 【分析】 （1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可； （2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可； （3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样． 【详解】 （1）AB=AP且AB⊥AP， 证明：∵AC⊥BC且AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=, 又∵△ABC与△EFP全等， 同理可证∠PEF=45°， ∴∠BAP=45°+45°=90°， ∴AB=AP且AB⊥AP； （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 114．【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【分析】 本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 115．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定和性质解决问题． 先证明得即可推出② 正确；由即可推出① 正确；由可以推出④ 错误；由可以推出③ 正确，由此即可得出结论． 【详解】 解：在和中， ， ， ，，， ，故② 正确； 在和中， ， ， ，，故① 正确； ， ， 在和中， ， ， ，故④ 错误； 在和中， ， ，故③ 正确； 综上所述，① ② ③ 正确， 故答案为：① ② ③ ． 116．【答案】（1）     （2）     （3） ①， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定： （1）首先证明，再证明后即可得到； （2）根据得到，利用三角形内角和求解即可； （3）当在线段上时，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到；当点在线段的延长线上，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到．　 (1) 小问详解： 解：． 理由如下：， ， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：①略 ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 117．【答案】 【分析】 此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题． 由三角形的内角和定理求出，再证明，即可得到答案． 【详解】 ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 故答案为：． 118．【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 119．【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考点03 角的平分线 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．B 12．C 13．【答案】6 【分析】 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】 解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 14．【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． (1) 小问详解： 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 16．【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE＝DF， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF； （2） 【分析】 （1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论； （2）根据DE＝DF，得，代入计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵DE＝DF， ∴， ∵AB+AC＝10， ∴DE＝3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 17．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）10      【分析】 （1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 18．【答案】M 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． 根据证明得，进而可求出结论． 【详解】 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上， ∴点M到两边距离相等． 故答案为：M． 19．【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 20．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．【答案】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：（1）12； （2）证明：过点P作于点D，于点E， 则， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【分析】 定理证明：由垂直可得，然后证明，进而问题可求证； 定理应用： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解； （2）过点P作于点D，于点E，则，，由已知与平角性质可得，即得，． 【详解】 [定理证明]：略 [定理应用]： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，于点D， ， ∴， ∴ ， ∵的周长是12， 即， ∴； 故答案为：12；　 （2）略 【点睛】 本题主要考查角平分线的性质定理．熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键． 22．【答案】2 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】 ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 设，则， 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 故答案为：2． 23．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴；     （2） ，证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 故答案为：． 24．【答案】125 【分析】 点O到三边距离相等，故O为的角平分线的交点，利用角平分线判定定理和三角形内角和定理求解即可． 本题考查了三角形角的平分线的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵点O是内一点，且点O到三边的距离相等， ∴O为的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：125． 25．【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 26．【答案】（1）      （2） 【分析】 本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点， （1）如解图所示，射线即为所求； （2）如解图所示，点E，F即为所求； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． (1) 小问详解： 如图所示，过A，D作射线， 即为所求 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴平分， ∴射线即为所求； (2) 小问详解： 如图所示，延长交于点 由（1）知：， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴点E，F即为所求． 27．【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分． （2）证明：连接，如图， ∵， ∴，， 又点E在上， ∴在上， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线上，即：点F在的平分线上． （3） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理与判定定理，等腰三角形的性质，灵活运用角平分线性质定理与判定定理是解答本题的关键． （1）由得出，，由可得出，从而得出结论； （2）根据证明可得结论； （3）根据求出，过点作于点，得，；过点作于点，证明，得到，求出，根据可得结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵平分，， ∴， ∴； 过点作于点， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 28．【答案】6 【分析】 本题考查了“角平分线的性质”的知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点P作的垂线，根据角平分线的性质可知的边上的高与的长相等，再利用已知条件代入计算即可求出的长． 【详解】 解：如答图，过点P作，垂足为N． ∵为的平分线，， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 6． 29．【答案】[课本再现]证明：， ， ， ， ， ， ， [方法应用]（1）证明：设与的交点为G，如下图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [方法应用]（1）（2） 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，外角的性质，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； [课本再现]根据证明，即可得证； [方法应用]（1）根据证明，可得，再根据外角的性质即可得解． （2）过点C作，根据全等可得，，可证，再根据角平分线的判定可证平分，即可得解． 【详解】 [课本再现]证明：略； （2）解：过点C作，如下图， 同理可证，， ，， ， ， ， 平分， ， 由（1）知， ． ． 30．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形中边上的高是解题的关键． 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 解得， 故答案为：． 31．【答案】（1） 证明： .， 在和中， ， ．     （2） 证明： 于，于 平分．      【分析】 (1)由“”可证 (2)根据全等三角形的性质得到，又由于，于，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 32．【答案】（1）6；     （2） 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 33．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断① ；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断② ；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④ ；没有条件得出，即可判断③ ；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故② 正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④ 正确； 没有条件得出，故③ 错误； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ 34．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴① ，② ，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． 即③ 由① ② ③ 得． ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； （2）过点C作于M，于N，证明即可； （3）过点C作于M，于N，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴① ，② ， ∵， ∴． ∴． ∴． 即③ 由① ② ③ 得． ∴． 35．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断① ；证明，根据全等三角形的性质得出，判断② ；根据三角形的外角性质判断③ ；根据全等三角形的性质判断④ ． 【详解】 解：① 过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故① 正确； ② ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，② 正确； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴，③ 正确； ④ 由② 可知，， ∴，， ∴，故④ 正确， 故答案为：① ② ③ ④ ． 36．【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． (1) 小问详解： 证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $