30.2三角形的内切圆（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形内切圆的有关概念， 掌握三角形内心的性质——内心到三边的距离相等，内心与顶点的连线平分内角。 掌握三角形内切圆的尺规作图方法，能运用切线长定理和内心的性质进行有关的计算和证明。 经历从"三角形铁皮截圆形用料"的实际问题抽象出数学问题的过程，培养学生的数学建模能力. 旧知复习 回顾 我们学过三角形的外接圆，知道这个圆经过三角形的三个顶点。三角形的外接圆的圆心叫什么？是怎么确定的？ B A C （1）外心的定义 三角形的外接圆的圆心叫外心； （2）外心的确定方法 外心是三角形三边垂直平分线的交点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，以此距离为半径，就可以画出三角形的外接圆 O 新知引入 探究 如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 要使圆与三条边都相切，圆心到三条边的距离都等于半径. 那么如何确定圆心和半径呢？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等 所以只需作出三角形两个内角的平分线 它们的交点即这个圆的圆心，圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 思路分析 本节课我们就来研究三角形的内切圆。 探究1：三角形内切圆的作法与概念 新知探究 探究 按照以上分析的思路，我们先做出任意两个角的角平分线，就可以将该三角形的内切圆作出来. ①定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心. 如图，分别作的平分线，设它们相交于点； ②定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆。 过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，为半径作圆. 则与的三条边都相切，即所求作的圆. 点击图片动态演示 探究1：三角形内切圆的作法与概念 新知探究 概念归纳 与内切圆有关的概念 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆； 三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心； 圆的外切三角形：这个三角形叫作圆的外切三角形 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆； 探究1：三角形内切圆的作法与概念 新知探究 注意事项 方法总结 内心一定在三角形的内部（因为角平分线的交点在三角形内部） 【分析】根据三角形内心、内切圆、圆的外切三角形的定义逐一辨析命题真假. 新知巩固 直线与圆的三种位置关系 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）三角形的内切圆只有一个； （2）一个圆只有一个外切三角形； （3）三角形的内心是三条角平分线的交点. （1）正确 理由：三角形三条角平分线交于唯一一点（内心），内心到三边距离唯一确定，所以内切圆只有 1 个。 （2）错误 理由：一个圆可以作出无数个外切三角形，只要作圆的三条切线，两两相交就能构成外切三角形。 （3）正确 理由：三角形内心定义就是三条角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等。 探究2：三角形内心的性质与角度计算 新知探究 探究 结合以上作内切圆的过程以及内切圆的相关概念，你能归纳内心的性质吗？ ①距离相等：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径； ②角平分线：三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角。 如图： 如图：角平分线 性质一 性质一 探究2：三角形内心的性质与角度计算 新知探究 探究 回忆我们所学过的外心，三角形的内心与外心有什么不同？ 形成不同：外心是三边垂直平分线的交点 内心是三条角平分线的交点； 性质不同：外心到三个顶点的距离相等（） 内心到三条边的距离相等（） 角度关系不同：外心满足 内心满足； 位置不同：外心不一定在三角形内部（钝角三角形的外心在外部，直角三角形的外心在斜边中点），内心一定在三角形内部； 【分析】利用内心是角平分线交点，先求出顶角∠BAC，再结合三角形内角和求∠ BOC. 新知巩固 直线与圆的三种位置关系 如图，点 是 的内切圆的圆心，若 ，则 的度数为多少？ 解： 点 是 的内切圆的圆心 分别平分 , , . 三角形内切圆的应用 【分析】利用切线长定理设未知数，再根据底边BC的长度列一元一次方程求解线段长. 如图 ， 的内切圆 与 , , 分别相切于点 , , ，且 , , . 求 , , 的长. 解：设 ，则 . 则 , 由 ，可得 解得 因此 看到内切圆与三边相切，想到切线长定理——从同一点引出的两条切线长相等； 与内切圆解题相关的注意事项 方法总结 新知探究 设未知数，用未知数表示各条切线长； 利用边长关系列方程求解。 【分析】逐一辨析选项，区分三角形外心、内心、重心、垂心的定义与性质，判断命题对错. 巩固训练1 三角形的内心 下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 解：A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误. B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误； C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误； D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 巩固训练1 三角形的内心 变式题 1.三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 巩固训练1 三角形的内心 变式题 如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：, , 是 的内切圆, 平分 , , , . 巩固训练2 三角形的内切圆 【分析】根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 解： 的内切圆 分别与 相切于点 ，且 ，，， ，，， ，，， 的周长 巩固训练2 三角形的内切圆 变式题 1.如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 解：过分别作、、，分别交、、于、、 连接、、，是的内切圆，且半径为 解得 巩固训练2 三角形的内切圆 变式题 2.是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 解：如图所示，连接，，，，， 是的内切圆且半径为 ，，， 的周长为 巩固训练3 三角形的内切圆与外接圆综合 【分析】设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径． 等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是， ∵等腰直角三角形的内切圆半径是，外接圆半径是， ∴所以它们的比为． 巩固训练3 三角形的内切圆与外接圆综合 变式题 如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 解：如图，连接 过点，分别作的垂线，垂足分别为，， 是等边三角形 点是的内心， 巩固训练3 三角形的内切圆与外接圆综合 变式题 RtRt(HL) 又 ， (SSS) . 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! 24 $