30.3正多边形与圆（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

（人教版）九年级上 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3.2 等分圆周及作正多边形 2 学习目标 1.同圆中相等的圆心角所对的弧相等、弦相等.掌握量角器等分法，能绘制任意圆内接正n边形. 熟练掌握尺规作图法. 2.在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，体验数学与生活的紧密联系，感受正多边形与圆的和谐美． 正多边形与圆 正多边形与圆的关系 正多边形的有关概念 正多边形的性质 正多边形的外接圆和内切圆 各边相等，各角相等. 所有的正多边形都是轴对称图形 若有偶数条边，还是中心对称图形 正n边形的有关计算 中心 半径 中心角 边心距 内角 中心角、外角 半径（）、边长（）、边心距（）之间的关系 周长 面积 复习导入 实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关.要制造图中的零件，需要等分圆周. 2 合作探究 新知探究 探究点1 等分圆周作正多边形的核心原理 议一议 在同圆中，相等的圆心角 ►若将圆的圆心角n等分，对应的圆周会被几等分？依据是什么？ 将圆的圆心角n等分 圆周被n等分 顺次连接等分点 得到圆内接正n边形. 所对的弧相等 所对的弦相等 等分圆周的方法 等分圆周的依据 所有正多边形作图，本质都是等分圆心角、等分圆周. 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 活 动 第三步：在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得到正六边形. 利用等分圆心角实现等分圆周，可以画出任意正n边形 画一个边长为1.5cm的正六边形时 画法分析 第一步：以1.5cm为半径作一个⊙O 第二步：用量角器画一个60°的圆心角，它对着一段弧 O 60° 提示 假设已经画出了⊙O的内接正六边形ABCDEF，你能得到什么结论？ 2 合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 结论1：正六边形ABCDEF的中心角是60°； 结论2：正六边形ABCDEF的半径等于边长. 你找到作图方法了吗？ 作图 请选择你喜欢的方法完成作图. 思路1：画60°的中心角→等分圆周 作图工具：直尺，量角器 思路2：截取弦长等于半径→等分圆周 作图工具：直尺，圆规 2 合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 活 动 画一个边长为1.5cm的正六边形时 作法：（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 规范画图 O 　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°， 60° A B （3）再用圆规依次截取= = = = = ，得到圆的 6 个等分点； C D E F （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 还有其他方法吗？ 新知探究 活 动 画一个边长为1.5cm的正六边形时 作法：（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 规范画图 O 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°， 60° A B F 60° E 60° D 60° C 60° 　　(3)用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°， 将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 方法归纳： 算角度、 分圆心角、 定点、连线， 适用于画所有正多边形 作法1： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE =∠EOF=∠FOA=60°，就得到圆的6个等分点； （点B、C、D、E、F在圆上） 3.顺次连接各分点，即可得到正六边形ABCDEF. 2 合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 作法2： 1.画⊙O的半径OA； 2.以点A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点B， 得到，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧， 就得到圆的6个等分点； 3.顺次连接各分点，即可得到正六边形ABCDEF. 2 合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 （1）正六边形的边长a与半径R有什么关系？半径与边长可以组成哪种特殊的三角形？ 议一议 O . R a 60° A B 正六边形的中心角等于60°，所以边长与半径相等, 图中的△AOB是等边三角形 在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形 （2）利用正六边形的边长与半径的大小关系能实现等分圆周？如何画图？ 可以作出正三角形、正十二边形 (3)如果将圆的六等分点隔一个想连结可得到哪种正多边形？如果作正六边形边的垂直平分线分圆周又可得到哪种正多边形？ 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 归 纳 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作． 原理：正六边形中心角60˚，半径与边长相等. 步骤： ①先作一个⊙O 、画半径； ②以半径长为弦长，在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，在圆上依次截取六等分点，把圆六等分； ③顺次连接各分点即可得到正六边形. O R 提别提示： 在正六边形等分点中，间隔取点，顺次连接即可得正三角形. 2 合作探究 作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的n个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正n边形. 归纳总结 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以 等分圆周，从而得到相应的正多边形.对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图.利用这种方法，可以画出任意的正n边形. 2 合作探究 归纳总结 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以 等分圆周，从而得到相应的正多边形.对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图.利用这种方法，可以画出任意的正n边形. 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 议一议 步骤： ①作圆的两条互相垂直的直径，四等分圆周，得正四边形； ②平分正四边形各边对应的弧，八等分圆周，得正八边形（倍边规律）. 方法归纳： 可尺规作图的正多边形可无限倍边拓展. 在上一章的数学活动中，我们已经用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点，便可以得到正方形，进而可以作出正八边形、正十六边形. 尺规作正四边形、正八边形 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 归一归 等 分 圆 周 法 工具 适用范围及优缺点 作图方法 用量 角器 等分 可以画任意正n边形，但边数很多时，容易有较大的误差 先计算正n边形的中心角为,把以圆心O为顶点的圆周角分成n个的角;确定圆周的n等分点，然后依次连接各等分点分 用 尺 规 作 图 等 分 可以画一些特殊的正多边形，不能将圆任意等分。 如:①在半径为R的圆上依次藏取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得正六边形;隔一个分点取一个，顺次连接其中三个分点可得正三角形;作出六个分点后，再依次平分每条弧可得正十二边形、正二十四边形...... ②作⊙O的两条互相垂直的直径得正方形，再依次平分每条弧可得正八边形、正十六边形...... 正多边形画法总结 3 典例分析 例 用等分圆周法画出下列正多边形： （1）正方形； （2）正五边形. （1）作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=90°(点B在圆上)， 得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆 的4个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正方形ABCD. 3 典例分析 （2）作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=72°(点B在圆上)， 得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆 的5个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正五边形ABCDE. 例 用等分圆周法画出下列正多边形： （1）正方形； （2）正五边形. 新知巩固 作法：(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆; (2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧; (3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点; (4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形; (5)连接正五边形的各条对角线得到五角星 1. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 【教材P164】 72° 新知巩固 2. 用等分圆周的方法画出下列图案: 【教材P164】 第 3 个图形（五瓣花） ①画出中间的圆； ②把圆周五等分，标记 5 个等分点； ③依次过相邻两点向外画弧，画出 5 片花瓣； ④整理线条，涂色。 第 1 个图形（三瓣花） ①画一个圆； ②把圆周三等分得到 3 个分点； ③分别以 3 个分点为圆心、原圆半径为半径，在圆内画弧，相交得到 3 片花瓣； 第 2 个图形（六瓣花） ①画中心圆； ②将中心圆的圆周六等分； ③以相邻两等分点间线段的中点为圆心，中心圆半径为直径，向外画圆弧，画出 6 片花瓣 通用要点：利用圆的等分与圆弧作图，图形都是旋转、轴对称图形。 1.以点O为圆心，2 cm为半径画圆； 2.画⊙O的半径OA； 3.用量角器画圆心角∠AOB=72°(点B在圆上)， 得到； 4.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆 的5个等分点； 作法： 4 巩固练习 1. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的n个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正n边形. 6 课堂小结 等分圆周法画正多边形 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 25 课堂小结 （1）数形结合思想： 用角度运算指导图形作图，实现数与形统一； （2）一般与特殊思想： 通用量角器法适配所有图形，尺规法聚焦特殊图形； （3）转化思想： 将正多边形作图问题转化为等分圆周、等分圆心角问题. 思想与方法 谢谢大家聆听 $