30.2 三角形的内切圆课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”，系统讲解内切圆、内心的概念及性质，通过回顾三角形外接圆与外心，自然引出新知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知过渡到未知。 其亮点在于以互动探究和典例精讲为主线，通过切线长定理建立方程解决边长问题，对比外心与内心表格明晰概念，体现数学思维的推理与运算能力。结合木模实例培养几何直观，当堂练习巩固应用，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

M A T H E M A T I C S 直线与圆 L I N E & C I R C L E 离在毫厘 交在咫尺 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 数缺形时少直观，形少数时难入微。 ——华罗庚 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 1 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2　三角形的内切圆 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 3 1.掌握三角形内切圆和内心的概念及性质. （重点） 2.会利用三角形内切圆和内心的性质解决问题. （难点） 学习目标 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 5 同学们，我们已经学过三角形的外接圆及三角形的外心，你们想知道三角形的内切圆及三角形的内心又是什么吗？ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 7 1 知识点 三角形的内切圆 下图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 归 纳 如图，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.过点I作BC的垂线， 垂足为D.以点I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三 条边都相切，⊙I即为所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的 内切圆. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D, E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长. 解：设AF=x，则AE=x. 则BD=BF=AB-AF=9-x， CD=CE=AC-AE=13-x. 由BD+CD=BC,可得 （9-x）+（13-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 例题1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心. 3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 11 B A C o 问题1 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？ 互动探究 线段OA，OB ,OC 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线. 2 知识点 三角形的内心的性质 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 B A C O 问题2 如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？ E F G OE=OF=OG 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C O E F G OA，OB，OC是△ABC的角平分线，OE=OF=OG. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 如图，在△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ ABC，∠ACB的平分线. 在△IBC中， 例题2 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为如下几何图形. 例题3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 C A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA，OB，OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的平分线. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm) ∴OD= cm. 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF，BD，CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 例题3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， ∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C E D F O B 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 垂直平分线的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． A B O A B C O 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 C A B O D 1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知BC=6cm, ∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC. ∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. 内切圆半径 外接圆半径 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比. C A B R r O D 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 A B C O D E F A B C D E F O 2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 A B C O c D E r 3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）. 解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F. F 则AD=AC-DC=b-r, BF=BC-CE=a-r, 因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c, 所以a-r+b-r=c, 所以 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 25 1 (5分) 选择题 如图，⊙O是△ABC的内切圆．若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°， 则∠BOC的度数为（　） A．110° B．125° C．135° D．140° 答案 答案：B 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 2 (5分) 填空题 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆， 与三边的切点分别为D，E，F，则⊙O的面积为________．(结果保留π) 答案 答案：4π 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 3 (10分) 解答题 如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心， CE的延长线交⊙O于点D，连接AD，AE.求证：AD＝ED. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 3 (10分) 解答题（续） 答案 证明：∵点E是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCD，∠CAE＝∠BAE. ∴弧AD与弧BD相等. ∴∠ACD＝∠BAD. ∴∠ACD＋∠CAE＝∠BAD＋∠BAE. ∵∠AED＝∠ACD＋∠CAE，∠EAD＝∠BAD＋∠BAE， ∴∠AED＝∠EAD. ∴AD＝ED. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 30 三角形的内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内心概念及性质 应用 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿图形与数量之间的对话，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 三角形的内切圆 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 三角形的内切圆 32 $