专题05 三角形（期中真题汇编，江西专用）八年级数学上学期

专题05 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．B 2．C 3．C 考点02 三角形的边 1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 13．C 14．C 15．C 16．C 17．B 18．D 19．C 20．C 21．D 22．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 23．【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】 解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 24．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】 解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形具有的稳定性， 故答案为：稳定性． 25．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形具有稳定性，即可求解． 【详解】 解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】 本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 26．【答案】三角形具有稳定性 【分析】钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 【详解】结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案是：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 27．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形稳定性的概念． 本题直接考查三角形稳定性这一特性，只需明确该特性的定义即可解答． 【详解】 解：三角形具有稳定性，即三角形的三边一旦确定，其形状和大小就固定不变．空调外机安装时采用三角形结构固定，就是利用了三角形的这一特性，使外机的固定结构更加牢固，不易变形． 故答案为：稳定性． 28．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形稳定性的实际应用． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】 在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的稳定性 故答案为：稳定性． 29．【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】 解：起重机的底座，输电线路支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 30．【答案】10 【分析】 先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：∵实数x，y满足， ∴x−2＝0，y−4＝0， ∴x＝2，y＝4， ∵以x，y的值为两边长的等腰三角形， ∴若以x的值为腰长则有：2＋2＝4＝4构不成三角形，故排除， ∴等腰三角形的腰长为4边长为2，故此三角形的周长为：4＋4＋2＝10． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键掌握基本概念，属于中考常考题型． 31．【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 32．【答案】9 【分析】 本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】 解：设第三边的长为x， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为整数， ∴第三边是4， ∴该三角形的周长． 33．【答案】15 【分析】 先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， 或， ， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．【答案】（1），，或2     （2）① 等腰；②7．      【分析】 本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断三角形的类型，再计算三角形的周长． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， ∴，， 又根据绝对值的意义可知或， ∴或2． 综上所述，，，或2． (2) 小问详解： 解：① 当时，边长为2、3、6，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2，满足三角形三边关系，构成等腰三角形， 故答案为：等腰． ② 当时，周长为， ∴的周长为7． 35．【答案】17或19 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】 解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 故答案为：17或19． 36．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键；根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】 射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 37．【答案】10 【分析】 本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】 解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 38．【答案】（1）；；     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ． 39．【答案】（1）这个等腰三角形各边长分别是，，     （2）其余两边的长分别为与      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，由题意列出关于的方程求解，再求出腰长，结合三边关系求解即可； （2）分腰为、底为两种情况，结合三边关系，分别求出其余两边的长即可． (1) 小问详解： 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得：，则，此时能构成三角形． 这个等腰三角形各边长分别是，，； (2) 小问详解： 当腰为时，底边长为：， ，不能构成三角形，故舍去； 当底为时，腰长为：，此时能构成三角形； 综上所述，其余两边的长分别为与． 40．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】 解：设第三边长为， 由三角形的三边关系得，， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 41．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性这一特性． 根据三角形稳定性的性质直接得出结论． 【详解】 解：三角形具有稳定性，而其他多边形不具有稳定性，延长桌板撑开时用钢质三角形支架作为支撑，就是利用了三角形具有稳定性这一性质． 故答案为：三角形具有稳定性． 42．【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 43．【答案】（1）     （2）三角形的周长为16或18      【分析】 此题考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边． （1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）根据（1）中的取值范围，再根据c为偶数解答即可． (1) 小问详解： 解：根据三角形三边关系可得， 即； (2) 小问详解： 解： 又第三边的长为偶数， 取6或8． 三角形的周长为16或18． 44．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答． 【详解】 解：南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥均桥构成三角形的结构，这样设计是利用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型． 45．【答案】 【分析】 本题主要考查三角形三边关系以及代数式化简求值，掌握三角形三边关系、绝对值的化简和合并同类项是解题的关键；根据三角形三边关系，得，，再对绝对值化简以及合并同类项，即可求解. 【详解】 解：∵，，是的三边， ∴，，， ∴，， ∴ . 46．【答案】（1）     （2）42      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论． (1) 小问详解： 解： ，，， ， 解得； (2) 小问详解： 解：当时，的周长； 当时，，不能构成三角形． 综上，的周长为42． 47．【答案】（1）     （2）这个三角形的周长为12      【分析】 本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． (1) 小问详解： 解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 48．【答案】 【分析】 根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简． 【详解】 解： ∵a、b、c 是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系以及根据绝对值性质进行化简，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边． 49．【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； (2) 小问详解： 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 51．【答案】17 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 52．【答案】3 【分析】 根据三角形的三边关系解答． 【详解】 由题意得：8-5， ∴3， 故答案为：3． 【点睛】 此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．【答案】 【分析】 本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了画三角形的高线，正确理解高的概念是解题的关键．根据三角形高的定义判断即可求解． 【详解】 解：， 中边上的高是． 故答案为：． 11．【答案】（1） 解：所作边上的高如图所示：      （2） 解：所作边上的中线如图所示．      【分析】 本题主要考查格点作图、三角形的高线及中线，解题的关键是正确理解三角形的高线和中线； （1）根据三角形高线的定义及格点特征可进行作图； （2）根据三角形中线的定义可进行作图． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】平方厘米 【分析】 根据三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵点E是的中点，， ∴， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质是解题的关键． 13．【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可求出阴影部分面积． 【详解】 解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：2． 14．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据题意连接、，再根据三角形中线的性质由是的中点，是的中点，是的中点推出，，，从而结合图形利用各三角形面积之间的关系进行计算即可，解题的关键是根据三角形中线的性质推出，，． 【详解】 解：如图，连接、，    是的中点，是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】10 【分析】 本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】 解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 16．【答案】会 【分析】 根据三条中线的交点即为重心进行求解即可． 【详解】 解：∵三角形三边中线的交点是三角形的重心， ∴这块三角形木板的重心是这个平衡点． 故答案为：会． 【点睛】 本题主要考查了重心的性质，熟知三角形三条中线的交点是重心是解题的关键． 17．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的中线，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三角形中线的定义分别填空即可． 【详解】 解：D、E是边的三等分点， ， 是三角形的中线． 故答案为：． 18．【答案】4 【分析】 连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： 则， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． (1) 小问详解： 解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； (2) 小问详解： 解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； (3) 小问详解： 解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； (4) 小问详解： 解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 20．【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，AF平分△ABC的外角， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵DF∥BA， ∴∠4=∠ADE，∠1=∠F， ∴∠3=∠ADE，∠2=∠F， ∴DE=EA ，EF=EA， ∴DE=EF. 【详解】 试题分析：根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠3=∠ADE、∠2=∠F，然后得到DE=EA、EF=EA，从而证得结论． 略 21．【答案】（1） 解：                          由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ∵与等高， ∴，即 故答案为；． (3) 小问详解： 解：是的重心， ∴由（2）知，， ， ， ． 22．【答案】（1） 解，如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题主要考查了中位线的性质和利用网格算面积，解决此题的关键是熟练的运用网格； （1）根据中线的性质即可得到答案； （2）根据四边形的面积一共是14，平分分开每边是7即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 24．【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 25．【答案】（1），     （2）6      【分析】 本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． (1) 小问详解： 解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即① ， 又② ， ①② 得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 26．【答案】30 【分析】 由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC． 【详解】 解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD． ∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE． 又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 27．【答案】（1） 如图1：点G即为所求．      （2） 如图2：线段即为所求． 【分析】 本题主要考查了重心的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的高等知识点，理解题意是解题的关键． （1）如图1：取的中点D，取的中点E，连接的交点即为重心G； （2）如图2：取格点E、F，连接相交于D，连接即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：证明：由网格可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的高． 考点04 三角形的内角 1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．【答案】360 【分析】 根据多边形的外角和等于解答． 【详解】 解：十边形的外角和是． 故答案为：360． 【点睛】 本题主要考查了多边形的外角和等于，解题的关键是掌握多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 11．【答案】， 【分析】 本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可设，则，然后可得，进而求解即可． 【详解】 解：设，则， ， ， 解得， ， 则． 12．【答案】（1）     （2）①是“准互余三角形”；②的度数是或      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：是“准互余三角形”，， ， ； (2) 小问详解： 解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ② 如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 13．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高．先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后计算即可． 【详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．【答案】∠A=40°，∠B=60°，∠C=80° 【详解】 ∵在△ABC中，∠B=∠A+20°代入∠C=∠B+20°中，得∠C=∠A+40° 设∠A=x ∵∠A+∠B+∠C=180°，得x+x+20°+x+40°=180° 解方程得x=40° ∴ ∠A=40°， ∠B=60°，∠C=80°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 15．【答案】直角 【分析】 由，，三角之间的关系，可求出的度数，进而可得出是直角三角形． 【详解】 解：在中，，且， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是°”是解题的关键． 16．【答案】直角三角形 【分析】 根据三角形的内角和定理求出，然后进行判读即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形； 故答案为：直角三角形． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类．熟练掌握三角形的内角和定理 是解题的关键． 17．【答案】（1）5°； （2）证明：∵ ∴∠CAB＋∠CBA=180°－∠A=180°－ ∵△ABC中， AE、BF是角平分线， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA ∴∠OAB＋∠OBA=∠CAB＋∠CBA=（∠CAB＋∠CBA）=（180°－）=90°－ ∴∠AOB=180°－（∠OAB＋∠OBA）=180°－（90°－）=90°＋ 【分析】 （1）根据角平分线的定义即可求出∠CAE，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠CAD，从而求出结论； （2）根据三角形的内角和定理求出∠CAB＋∠CBA，然后根据角平分线的定义可得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，从而求出∠OAB＋∠OBA，最后根据三角形内角和定理即可求出结论． 【详解】 解：（1）∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠BAC=25° ∵∠C=70°，AD是高， ∴∠ADC=90° ∴∠CAD=180°－∠ADC－∠C=20° ∴∠EAD=∠CAE－∠CAD=5° （2）略 【点睛】 此题考查的是三角形中的角度的计算，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键． 18．【答案】直角 【分析】 根据三角形内角和，结合，，求出∠B和∠C的度数即可得出三角形的形状． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则，根据题意得： ， 解得：， 则， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和的应用和一元一次方程的应用，根据题意求出，是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：， ． 由题意，得， ． 21．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，推得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．【答案】结论：且； 理由如下： ， ． ． 在和中 ， ≌（SAS） ，， ， ， 即， ， ． 【分析】 先判断出△DAB≌△EAC，得出BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，进一步利用角之间的关系即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形性质、三角形的内角和定理等知识，判断出△DAB≌△EAC是解本题的关键． 23．【答案】80° 【分析】三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】由三角形内角和定理得： ∠C=180°-∠A-∠B=80°， 故答案为80°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 24．【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； (2) 小问详解： 正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 25．【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理得，根据角平分线的性质得，在中，，，进行计算即可得． 【详解】 解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴． 在中，，， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 26．【答案】10 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 27．【答案】（1） 证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即．     （2） 证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等得出，结合图形求解即可； （2）由（1）及平角得出，根据角平分线得出，再利用垂直及三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 题目主要考查几何图形中的角度计算，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的计算等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 29．【答案】（1），；     （2）、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”．      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； (2) 小问详解： 略 30．【答案】或 【分析】 分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】 解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ① 当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ② 当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 31．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．【答案】（1）     （2） 能， 平分， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）在中，由三角形内角和定理得到，再由为的角平分线得到，再根据是的一个外角，利用外角性质得到，结合垂直，在中由两锐角互余即可得到答案； （2）由角平分线定义得到，由直角三角形两锐角互余得到，再由，等量代换化简即可得到． (1) 小问详解： 解：在中，，， ， 为的角平分线， ， 是的一个外角， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合，准确找到相关角度的和差倍分关系是解决问题的关键． 33．【答案】（1）    （2）， 证明：∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【分析】 此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理整理即可得解； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义表示出和，再根据三角形的内角和定理解答． 【详解】 解：（1）， ． 和的平分线交于点O， ，， ． ． 故答案为：． （2）略 34．【答案】【探究】（1）50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【分析】 探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】 探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）略 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查平行线的性质，角平分线定义和三角形定理，由平行线性质得，由角平分线定义得，最后根据三角形定理得出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴． 36．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识，找出角的和差关系是解题的关键．根据三角形内角和定理，角平分线的定义可得，在中，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：． 37．【答案】（1）     （2）这个多边形的边数是8      【分析】 此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为是解决问题的关键． （1）根据四边形内角和等于列方程并解出即可； （2）设这个多边形的边数为n，依题意得，解此方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：，，解得． (2) 小问详解： 解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数是8． 38．【答案】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）， 证明：，， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【分析】 （1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 39．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了长方形的性质、折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由可求得，再由折叠的性质得，在中，即可求得答案； （2）① 由题意可知，，因此，，进而可得，在中，即可用含x的代数式表示y； ② 由① 知，，根据，可求得，代入即可求出y的值． (1) 小问详解： 由题意可知， ， 又， ， 由折叠的性质得：， ， 由折痕角可知： 在中，； (2) 小问详解： ① 由题意可知，， ，， ， 设度，度，则度， 在中，， ； ② 由① 知，， ，， 由， ， ， 即， 由① 知， ． 40．【答案】（1）180     （2）     （3） 解：作的平分线交于M， ∵， ， ， 平分， ， 在与中 ， ， ， 同理， ．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由余角性质可得，进而由即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可求解； （3）作的平分线交于，可证，得到，同理，进而即可求证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：180． (2) 小问详解： 解：∵平分，平分， ， ， (3) 小问详解： 略 41．【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】 解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ． 42．【答案】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）．     （2）．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即．     （3），理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴．      【分析】 （1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 43．【答案】43 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 44．【答案】（1） ① 证明：和是等边三角形， ，，． ． ． 在和中， ． ． ②     （2）的度数发生改变，此时的度数为     （3）      【分析】 （1）利用全等三角形的判定与性质定理解答即可； 利用全等三角形的性质定理得到，利用等边三角形的判定与性质得到，再利用三角形的内角和定理解答即可∶ （2）当点不在线段上时，利用全等三角形的判定与性质得到，利用等边三角形的判定与性质得到， ，再利用三角形的内角和定理解答得到，则结论可求； （3）利用直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质和（2）的结论得到，将两式相减即可得出结论． (1) 小问详解： 略 ② 由（1）知∶ ， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． (2) 小问详解： 解：当点D不在线段上时，的度数发生改变，此时的度数为． ， ． 在和中， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． ． (3) 小问详解： 解∶设于O， ， ． 为等边三角形， ． ． 由(2)知∶， ． 得∶ ． 故答案为∶ ． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点05 三角形的外角 1．C 2．C 3．A 4．B 5．【答案】 【分析】 本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质． 首先，由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义可知，再利用三角形外角的性质，即可求得结果． 【详解】 解：∵，， ． 平分， ． ． 6．【答案】15 【分析】 此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键． 依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数． 【详解】 解：如图所示： 依题意得：，， 根据三角形的外角性质得：， ， ． 故答案为：15． 7．【答案】A度 【分析】 本题考查三角形外角和定理，熟练掌握三角形外角和定理是解题的关键． 根据是的外角，的度数等于与的度数和，据此求出的度数即可． 【详解】 解：根据题意得，是的外角， 则， 故答案为：． 8．【答案】（1）是     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1），根据定义“一个角的2倍减去另一个角等于”解答； 对于（2），先根据三角形外角的性质可得，进而说明，再结合差余三角形的定义得，即可求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴内角分别为，和的三角形是差余三角形， 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵， ∴在中，和是锐角． ∵， ∴． ∵是差余三角形， ∴， 即， ∴， ∴． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的定义和性质，求角的邻补角，根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【详解】 解：， 故答案为： 10．【答案】> 【分析】 本题考查了三角形的外角的定义及性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：是的一个外角， 所以， 故答案为：>． 11．【答案】40 【分析】 正多边形的外角都相等，用外角和360°除以边数9，即得一个外角度数． 【详解】 ∵正多边形每个内角都相等 ∴正多边形每个外角都相等． 又∵多边形外角和为360° ∴正九边形的一个外角为：360°÷9=40°． 故答案为：40． 【点睛】 此题考查正多边形角的计算．其关键点是要抓住外角和为360°与边数无关，和每个内角都相等． 12．【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接，由三角形外角的性质可推出，则可证明，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 15．【答案】 【分析】 利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】 解：， ， ． 16．【答案】， 【分析】 此题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，根据角平分线的定义求出，再用三角形内角和定理求出，再用外角的性质求出的度数即可． 【详解】 解：平分， ， ， ， 是的外角， ． 17．【答案】H度 【分析】 本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质；由平行可求得，又由折叠的性质可得，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此计算即可求解． 【详解】 解：四边形是长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ∴， ∴ 故答案为：． 18．【答案】证明：如图， ∵∠BPO是△PDC的外角， ∴∠BPO=∠C+∠D， ∵∠POA是△OEF的外角， ∴∠POA=∠E+∠F， ∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，    点睛：本题考查了三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，解决本题的关键是熟记三角形外角的性质． 【详解】 分析：根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答． 本题解析： 略． 19．【答案】， 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质求出． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 20．【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； (2) 小问详解： ∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 延长至F，     为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 21．【答案】（1）∵，， ∴； （2）； （3）或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义和平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）① 当点E在点O的上方时，如图所示：     ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ② 当点E在点O的下方时，如图：     由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 22．【答案】【问题】（1）；（2）； 【探究】（1）； （2）解：． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解． 【详解】 问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）略 23．【答案】30 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线，运用两次三角形的外角性质即可得到答案； 【详解】 解：如图，延长至点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：30． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】 解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 2．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，以为边的三角形有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形的认识；根据三角形的定义找出以为边的三角形即可． 【详解】 解：以为边的三角形有； ∴以为边的三角形有2个， 故选：C． 3．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（     ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，2，5 B. 2，2，4 C. 2，3，5 D. 2，3，4 【答案】D 【分析】 根据三角形三边关系分析判断即可． 【详解】 解：根据三角形任意两边之和大于第三边得： A、∵1+2＜5， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵2+2=4， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵3+2=5， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵3+2＞4， ∴能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能组成三角形，否则不能构成三角形；熟练应用三角形三边关系是解题的关键． 2．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】 解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 3．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．注意：判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系逐项判定即可． 【详解】 解：A、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】 解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 5．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A.  太阳能热水器 B.  活动衣架 C.  三脚架 D.  篮球架 【答案】B 【分析】 根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可． 【详解】 A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 6．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，进行求解即可． 【详解】 解：A．，因此，，不能构成三角形，故A不符合题意； B．，因此，，不能构成三角形，故B不符合题意； C．，因此，，能构成三角形，故C符合题意； D．，因此，，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可． 【详解】 A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意；        D.，符合题意， 故选D． 【点睛】 本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 8．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】 解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 9．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，6，11 C. 6，3，10 D. 4，4，8 【答案】A 【分析】 根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】 解：A、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项正确； B、5＋6＝11，不能组成三角形，故此选项错误； C、6＋3＜10，不能组成三角形，故此选项错误； D、4＋4＝8，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查了能够组成三角形三边的条件．用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 10．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（     ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】 解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 11．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】 A：∵，∴ 不能构成三角形； B：∵，∴ 不能构成三角形； C：∵，∴ 能构成三角形； D：∵，∴ 不能构成三角形， 故选：C． 12．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在下列各组线段中，能组成三角形的是（     ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 【答案】A 【分析】 此题考查组成三角形的条件：较短两条线段的和大于较长线段，据此依次判断即可． 【详解】 解：A.由，则三条线段能组成三角形，符合题意； B.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； D.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 13．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）下列各项中，给出的三条线段不能组成三角形的是（          ） A. a=2m、b=3m、c=5m-1（m＞1） B. 三边之比为5：6：10 C. 30cm、8cm、10cm D. a+1、a+3、a+2（a＞0） 【答案】C 【详解】此题考查能够构成三角形三边应该满足的条件，即任意两边之和要大于第三边，或任意两边之差小于第三边；对于A： ，满足条件，所以能够构成三角形；对于B：设三边分别为， ，满足条件，所以能够构成三角形；对于C：不大于第三边30，所以不能够构成三角形；对D： ，满足条件，所以能够构成三角形；所以选C 14．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 都可以组成三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一检查各选项，判断是否满足条件即可． 【详解】 解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，故本选项符合题意； D、A和B不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 15．（25-26学年八上·江西宜春·期中）老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（     ） A.     B.    C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 16．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 【答案】C 【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边进行分析即可． 【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形，故此选项错误； B、8+7=15，不能组成三角形，故此选项错误； C、13+12＞20，能组成三角形，故此选项正确； D、5+5=10＜11，不能组成三角形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 17．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　） A. 1，2，4 B. 2，3，4 C. 2，2，4 D. 2，3，6 【答案】B 【分析】 本题考查了构成三角形的条件，三角形三边的关系应用是解题的关键． 根据三角形的三边关系在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D 、不能构成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 18．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，4，9 D. 4，6，7 【答案】D 【分析】 此题主要考查了三角形三边关系，直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】 解：A、不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 19．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 【答案】C 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C． 20．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】 解：设三角形的第三边为x，则 9-4＜x＜4+9 即5＜x＜13， ∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 21．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知边长求第三边的取值范围为：，因此只有选项D符合． 【详解】 解：设第三边长为， 则， 即， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 22．（25-26学年八上·江西上饶·期中）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 23．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】 解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 24．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】 解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形具有的稳定性， 故答案为：稳定性． 25．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 　　　　　　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形具有稳定性，即可求解． 【详解】 解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】 本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 26．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在做门窗时，工人叔叔常把还没有安装的门窗钉上两根斜拉的木条．工人叔叔这样做的数学道理根据　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 【详解】结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案是：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 27．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有　　　　　　　　　　　的特性． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形稳定性的概念． 本题直接考查三角形稳定性这一特性，只需明确该特性的定义即可解答． 【详解】 解：三角形具有稳定性，即三角形的三边一旦确定，其形状和大小就固定不变．空调外机安装时采用三角形结构固定，就是利用了三角形的这一特性，使外机的固定结构更加牢固，不易变形． 故答案为：稳定性． 28．（25-26学年八上·江西宜春·期中）4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形稳定性的实际应用． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】 在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的稳定性 故答案为：稳定性． 29．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】 解：起重机的底座，输电线路支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 30．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）已知实数x，y满足|x−2|+（y−4）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　　　　　． 【答案】10 【分析】 先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：∵实数x，y满足， ∴x−2＝0，y−4＝0， ∴x＝2，y＝4， ∵以x，y的值为两边长的等腰三角形， ∴若以x的值为腰长则有：2＋2＝4＝4构不成三角形，故排除， ∴等腰三角形的腰长为4边长为2，故此三角形的周长为：4＋4＋2＝10． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键掌握基本概念，属于中考常考题型． 31．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是　　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 32．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【答案】9 【分析】 本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】 解：设第三边的长为x， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为整数， ∴第三边是4， ∴该三角形的周长． 33．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 　　　　　． 【答案】15 【分析】 先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， 或， ， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①按边分，是_____三角形； ②求出此时的周长． 【答案】（1），，或2     （2）① 等腰；②7．      【分析】 本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断三角形的类型，再计算三角形的周长． (1) 小问详解： 解：由题意得，，， ∴，， 又根据绝对值的意义可知或， ∴或2． 综上所述，，，或2． (2) 小问详解： 解：① 当时，边长为2、3、6，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2，满足三角形三边关系，构成等腰三角形， 故答案为：等腰． ② 当时，周长为， ∴的周长为7． 35．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长　　　　　　　　　　　． 【答案】17或19 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】 解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 故答案为：17或19． 36．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）年月日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽米气步枪和米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键；根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】 射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 37．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】 解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 38．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知，，是的三边， （1）比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） （2）化简． 【答案】（1）；；     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ． 39．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的3倍，求这个等腰三角形各边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1）这个等腰三角形各边长分别是，，     （2）其余两边的长分别为与      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，由题意列出关于的方程求解，再求出腰长，结合三边关系求解即可； （2）分腰为、底为两种情况，结合三边关系，分别求出其余两边的长即可． (1) 小问详解： 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得：，则，此时能构成三角形． 这个等腰三角形各边长分别是，，； (2) 小问详解： 当腰为时，底边长为：， ，不能构成三角形，故舍去； 当底为时，腰长为：，此时能构成三角形； 综上所述，其余两边的长分别为与． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知三角形的两边长分别为和，则第三边长可以是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】 解：设第三边长为， 由三角形的三边关系得，， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 41．（25-26学年八上·江西上饶·期中）延长桌板撑开时一般会有钢质三角形支架作为支撑，这是由于　　　　　　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性这一特性． 根据三角形稳定性的性质直接得出结论． 【详解】 解：三角形具有稳定性，而其他多边形不具有稳定性，延长桌板撑开时用钢质三角形支架作为支撑，就是利用了三角形具有稳定性这一性质． 故答案为：三角形具有稳定性． 42．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 43．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知三角形的两边，第三边是． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边的长是偶数，求三角形的周长． 【答案】（1）     （2）三角形的周长为16或18      【分析】 此题考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边． （1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）根据（1）中的取值范围，再根据c为偶数解答即可． (1) 小问详解： 解：根据三角形三边关系可得， 即； (2) 小问详解： 解： 又第三边的长为偶数， 取6或8． 三角形的周长为16或18． 44．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥面均构成三角形的结构，这样设计的数学道理是　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答． 【详解】 解：南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥均桥构成三角形的结构，这样设计是利用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型． 45．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）设，，是的三边，化简：． 【答案】 【分析】 本题主要考查三角形三边关系以及代数式化简求值，掌握三角形三边关系、绝对值的化简和合并同类项是解题的关键；根据三角形三边关系，得，，再对绝对值化简以及合并同类项，即可求解. 【详解】 解：∵，，是的三边， ∴，，， ∴，， ∴ . 46．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）在中，，，． （1）m的取值范围为                       ；． （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】（1）     （2）42      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论． (1) 小问详解： 解： ，，， ， 解得； (2) 小问详解： 解：当时，的周长； 当时，，不能构成三角形． 综上，的周长为42． 47．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x． （1）求x的取值范围； （2）若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】（1）     （2）这个三角形的周长为12      【分析】 本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． (1) 小问详解： 解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 48．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：． 【答案】 【分析】 根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简． 【详解】 解： ∵a、b、c 是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系以及根据绝对值性质进行化简，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边． 49．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； (2) 小问详解： 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 50．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 51．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是　　　　　　　　　　． 【答案】17 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 52．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为　　． 【答案】3 【分析】 根据三角形的三边关系解答． 【详解】 由题意得：8-5， ∴3， 故答案为：3． 【点睛】 此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，边上的高作法正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】 解：A、为上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】 解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是 ， 故选：A． 3．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）画出边上的高，下列画法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查画三角形的高．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】 解：画出边上的高为 故选：C． 4．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【分析】 本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】 解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 5．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（　　） A. 115° B. 110° C. 100° D. 90° 【答案】A 【分析】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数． 【详解】∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°， ∵BE、CF是△ABC的角平分线， ∴ ∴ ∴∠BDC=180°﹣65°=115°， 故选A． 【点睛】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键. 6．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】 解：点O是的重心， 是的中线， ，故A正确； 其它三个选项均不一定成立． 故选：A． 7．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中线的意义求得，，再利用三角形的周长求得，从而可求得与的周长之差． 【详解】 解：∵是边上的中线，， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 8．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，，是的两条中线，连接．若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可得． 【详解】 解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线，即D为的中点， ∴是的中线， ∴， 故选C． 9．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 10．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，中，，垂足分别为D、E、F，则线段 　　　　　　　 是中边上的高． 【答案】 【分析】 本题考查了画三角形的高线，正确理解高的概念是解题的关键．根据三角形高的定义判断即可求解． 【详解】 解：， 中边上的高是． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）已知的三个顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图． （1）作边上的高； （2）作边上的中线． 【答案】（1） 解：所作边上的高如图所示：      （2） 解：所作边上的中线如图所示．      【分析】 本题主要考查格点作图、三角形的高线及中线，解题的关键是正确理解三角形的高线和中线； （1）根据三角形高线的定义及格点特征可进行作图； （2）根据三角形中线的定义可进行作图． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，点E是的中点，点F是的中点，且，则阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】平方厘米 【分析】 根据三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵点E是的中点，， ∴， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质是解题的关键． 13．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可求出阴影部分面积． 【详解】 解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：2． 14．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则=　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据题意连接、，再根据三角形中线的性质由是的中点，是的中点，是的中点推出，，，从而结合图形利用各三角形面积之间的关系进行计算即可，解题的关键是根据三角形中线的性质推出，，． 【详解】 解：如图，连接、，    是的中点，是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】 解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 16．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板 　　　　　（填“会”或“不会”）保持平衡． 【答案】会 【分析】 根据三条中线的交点即为重心进行求解即可． 【详解】 解：∵三角形三边中线的交点是三角形的重心， ∴这块三角形木板的重心是这个平衡点． 故答案为：会． 【点睛】 本题主要考查了重心的性质，熟知三角形三条中线的交点是重心是解题的关键． 17．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，D、E是边的三等分点，则是三角形　　　　　　的中线． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的中线，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三角形中线的定义分别填空即可． 【详解】 解：D、E是边的三等分点， ， 是三角形的中线． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： 则， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 19．（25-26学年八上·江西上饶·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 （1）任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． （2）任务2：如图1，若的面积为，求的面积． （3）任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． (1) 小问详解： 解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； (2) 小问详解： 解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； (3) 小问详解： 解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； (4) 小问详解： 解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 20．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）（多选）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E． 求证：DE=EF． 【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，AF平分△ABC的外角， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵DF∥BA， ∴∠4=∠ADE，∠1=∠F， ∴∠3=∠ADE，∠2=∠F， ∴DE=EA ，EF=EA， ∴DE=EF. 【详解】 试题分析：根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠3=∠ADE、∠2=∠F，然后得到DE=EA、EF=EA，从而证得结论． 略 21．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （2）由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． （3）图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：                          由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知， ∵与等高， ∴，即 故答案为；． (3) 小问详解： 解：是的重心， ∴由（2）知，， ， ， ． 22．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，，均在格点上，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作线段使其平分的面积； （2）如图2，过点作线段使其平分四边形的面积． 【答案】（1） 解，如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题主要考查了中位线的性质和利用网格算面积，解决此题的关键是熟练的运用网格； （1）根据中线的性质即可得到答案； （2）根据四边形的面积一共是14，平分分开每边是7即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 24．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 25．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】（1），     （2）6      【分析】 本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． (1) 小问详解： 解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即① ， 又② ， ①② 得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 26．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是　　　　　． 【答案】30 【分析】 由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC． 【详解】 解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD． ∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE． 又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 27．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出的重心． （2）在图2中作出的高． 【答案】（1） 如图1：点G即为所求．      （2） 如图2：线段即为所求． 【分析】 本题主要考查了重心的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的高等知识点，理解题意是解题的关键． （1）如图1：取的中点D，取的中点E，连接的交点即为重心G； （2）如图2：取格点E、F，连接相交于D，连接即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：证明：由网格可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的高． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·江西宜春·期中）为纪念台湾光复日（10月25日），小春制作了一个三角形纪念牌，已知其两个内角的度数分别为和，则第三个内角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和． 利用三角形内角和为的性质，直接计算第三个内角的度数． 【详解】 解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和， ∴第三个内角． 故选：B． 2．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求解，掌握三角形内角和为是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，需要补的角的度数是． 故选：B． 3．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（       ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】A 【分析】 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案． 【详解】 解：根据多边形的内角和可得：， 解得：． 则这个多边形是五边形． 故选：A． 【点睛】 此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式． 4．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】 解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 5．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】 解：直角三角形中，一个锐角等于， 另一个锐角的度数． 故选：B． 6．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，根据题意得，，再根据三角形内角和定理求即可． 【详解】 解：根据题意得，， ∴． 故选：C． 7．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】 解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数是（               ） A. 25° B. 10° C. 15° D. 35° 【答案】C 【详解】解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=40°．∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=55°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15°．故选C． 9．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 【答案】C 【详解】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCB=×78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． 10．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）十边形的外角和是　　　　　°． 【答案】360 【分析】 根据多边形的外角和等于解答． 【详解】 解：十边形的外角和是． 故答案为：360． 【点睛】 本题主要考查了多边形的外角和等于，解题的关键是掌握多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 11．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）在中，，，求的各内角的度数． 【答案】， 【分析】 本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可设，则，然后可得，进而求解即可． 【详解】 解：设，则， ， ， 解得， ， 则． 12．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】（1）     （2）①是“准互余三角形”；②的度数是或      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：是“准互余三角形”，， ， ； (2) 小问详解： 解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ② 如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 13．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高．先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后计算即可． 【详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）在△ABC中，∠B=∠A+20°，∠C=∠B+20°，求△ABC的三个内角的度数． 【答案】∠A=40°，∠B=60°，∠C=80° 【详解】 ∵在△ABC中，∠B=∠A+20°代入∠C=∠B+20°中，得∠C=∠A+40° 设∠A=x ∵∠A+∠B+∠C=180°，得x+x+20°+x+40°=180° 解方程得x=40° ∴ ∠A=40°， ∠B=60°，∠C=80°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 15．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）在中，若，则是　　　　　　　　　　　三角形．(填“钝角”“锐角”或“直角”) 【答案】直角 【分析】 由，，三角之间的关系，可求出的度数，进而可得出是直角三角形． 【详解】 解：在中，，且， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是°”是解题的关键． 16．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，若 ，则这个三角形是　　　　　　　　　　　　． 【答案】直角三角形 【分析】 根据三角形的内角和定理求出，然后进行判读即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形； 故答案为：直角三角形． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类．熟练掌握三角形的内角和定理 是解题的关键． 17．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O， （1）当∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数． （2）当时，求∠AOB，请写出证明过程． 【答案】（1）5°； （2）证明：∵ ∴∠CAB＋∠CBA=180°－∠A=180°－ ∵△ABC中， AE、BF是角平分线， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA ∴∠OAB＋∠OBA=∠CAB＋∠CBA=（∠CAB＋∠CBA）=（180°－）=90°－ ∴∠AOB=180°－（∠OAB＋∠OBA）=180°－（90°－）=90°＋ 【分析】 （1）根据角平分线的定义即可求出∠CAE，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠CAD，从而求出结论； （2）根据三角形的内角和定理求出∠CAB＋∠CBA，然后根据角平分线的定义可得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，从而求出∠OAB＋∠OBA，最后根据三角形内角和定理即可求出结论． 【详解】 解：（1）∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠BAC=25° ∵∠C=70°，AD是高， ∴∠ADC=90° ∴∠CAD=180°－∠ADC－∠C=20° ∴∠EAD=∠CAE－∠CAD=5° （2）略 【点睛】 此题考查的是三角形中的角度的计算，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键． 18．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在中，若，，则是　　　　　　三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”） 【答案】直角 【分析】 根据三角形内角和，结合，，求出∠B和∠C的度数即可得出三角形的形状． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则，根据题意得： ， 解得：， 则， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和的应用和一元一次方程的应用，根据题意求出，是解题的关键． 19．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知、分别是的高和角平分线，且，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴． 20．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：， ． 由题意，得， ． 21．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，推得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】结论：且； 理由如下： ， ． ． 在和中 ， ≌（SAS） ，， ， ， 即， ， ． 【分析】 先判断出△DAB≌△EAC，得出BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，进一步利用角之间的关系即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形性质、三角形的内角和定理等知识，判断出△DAB≌△EAC是解本题的关键． 23．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C的度数是　　　　　． 【答案】80° 【分析】三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】由三角形内角和定理得： ∠C=180°-∠A-∠B=80°， 故答案为80°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 24．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； (2) 小问详解： 正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 25．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，平分交于D，于E，，，求的度数． 【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理得，根据角平分线的性质得，在中，，，进行计算即可得． 【详解】 解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴． 在中，，， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 26．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，中，是上的高，平分，，则　　　　　　　　　度． 【答案】10 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 27．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即．     （2） 证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，于点平分，过点A作直线，且 （1）求的外角的度数． （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等得出，结合图形求解即可； （2）由（1）及平角得出，根据角平分线得出，再利用垂直及三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 题目主要考查几何图形中的角度计算，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的计算等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】（1），；     （2）、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”．      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】 解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ① 当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ② 当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 31．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，平分交于点D，且，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，为边上的高，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，还能求的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 能， 平分， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）在中，由三角形内角和定理得到，再由为的角平分线得到，再根据是的一个外角，利用外角性质得到，结合垂直，在中由两锐角互余即可得到答案； （2）由角平分线定义得到，由直角三角形两锐角互余得到，再由，等量代换化简即可得到． (1) 小问详解： 解：在中，，， ， 为的角平分线， ， 是的一个外角， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合，准确找到相关角度的和差倍分关系是解决问题的关键． 33．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）（1）如图1所示，中，，和的平分线交于点，则______；    （2）如图2所示，的外角平分线和的外角平分线交于点，写出与的关系，并证明． 【答案】（1）    （2）， 证明：∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【分析】 此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理整理即可得解； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义表示出和，再根据三角形的内角和定理解答． 【详解】 解：（1）， ． 和的平分线交于点O， ，， ． ． 故答案为：． （2）略 34．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　     　度，∠P＝　     　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　     　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　     　． 【答案】【探究】（1）50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【分析】 探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】 探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）略 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 35．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过点D作交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查平行线的性质，角平分线定义和三角形定理，由平行线性质得，由角平分线定义得，最后根据三角形定理得出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴． 36．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，，分别平分，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识，找出角的和差关系是解题的关键．根据三角形内角和定理，角平分线的定义可得，在中，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）计算： （1）如图，求出图中x的值． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1）     （2）这个多边形的边数是8      【分析】 此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为是解决问题的关键． （1）根据四边形内角和等于列方程并解出即可； （2）设这个多边形的边数为n，依题意得，解此方程即可得出答案． (1) 小问详解： 解：，，解得． (2) 小问详解： 解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数是8． 38．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【答案】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）， 证明：，， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【分析】 （1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 39．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角，求帽子顶角的度数． （2）设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了长方形的性质、折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由可求得，再由折叠的性质得，在中，即可求得答案； （2）① 由题意可知，，因此，，进而可得，在中，即可用含x的代数式表示y； ② 由① 知，，根据，可求得，代入即可求出y的值． (1) 小问详解： 由题意可知， ， 又， ， 由折叠的性质得：， ， 由折痕角可知： 在中，； (2) 小问详解： ① 由题意可知，， ，， ， 设度，度，则度， 在中，， ； ② 由① 知，， ，， 由， ， ， 即， 由① 知， ． 40．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）已知，点D、F分别为线段上两点，连接交于点E． （1）若，，如图1所示，______度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】（1）180     （2）     （3） 解：作的平分线交于M， ∵， ， ， 平分， ， 在与中 ， ， ， 同理， ．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由余角性质可得，进而由即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可求解； （3）作的平分线交于，可证，得到，同理，进而即可求证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：180． (2) 小问详解： 解：∵平分，平分， ， ， (3) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】 解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ． 42．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）综合实践： （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）．     （2）．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即．     （3），理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴．      【分析】 （1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则　　　　　　　　度． 【答案】43 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 44．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． （1）当点在线段上时， 求证：．        求的度数． （2）当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． （3）当时，请直接写出与的数量关系：_____． 【答案】（1） ① 证明：和是等边三角形， ，，． ． ． 在和中， ． ． ②     （2）的度数发生改变，此时的度数为     （3）      【分析】 （1）利用全等三角形的判定与性质定理解答即可； 利用全等三角形的性质定理得到，利用等边三角形的判定与性质得到，再利用三角形的内角和定理解答即可∶ （2）当点不在线段上时，利用全等三角形的判定与性质得到，利用等边三角形的判定与性质得到， ，再利用三角形的内角和定理解答得到，则结论可求； （3）利用直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质和（2）的结论得到，将两式相减即可得出结论． (1) 小问详解： 略 ② 由（1）知∶ ， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． (2) 小问详解： 解：当点D不在线段上时，的度数发生改变，此时的度数为． ， ． 在和中， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． ． (3) 小问详解： 解∶设于O， ， ． 为等边三角形， ． ． 由(2)知∶， ． 得∶ ． 故答案为∶ ． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，直线，，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质得到即可． 【详解】 解：如图， ∵直线，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 2．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在四边形中，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 延长交于点E，利用外角性质求出，再次利用外角性质即可求出结论． 【详解】 解：延长交于点E，如图：    是的外角，，， ， 是的外角，， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是三角形外角的性质，熟练应用三角形外角的性质是解题关键． 3．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】 解：把含有角的直角三角板的斜边放在直线上， 则， 故选A 4．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，点E在AC上，则的度数是（       ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 【答案】B 【分析】 由三角形外角的性质可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案． 【详解】 解：由三角形外角的性质可得， ∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°． 故选：B． 【点睛】 本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质． 5．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质． 首先，由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义可知，再利用三角形外角的性质，即可求得结果． 【详解】 解：∵，， ． 平分， ． ． 6．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）将一副含，的三角板按图中的方式放置，则　　　　　　度． 【答案】15 【分析】 此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键． 依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数． 【详解】 解：如图所示： 依题意得：，， 根据三角形的外角性质得：， ， ． 故答案为：15． 7．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，，则　　　　　　． 【答案】A度 【分析】 本题考查三角形外角和定理，熟练掌握三角形外角和定理是解题的关键． 根据是的外角，的度数等于与的度数和，据此求出的度数即可． 【详解】 解：根据题意得，是的外角， 则， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为和，则这个三角形          （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）如图，在中，，D是边上一点，若是差余三角形，求的度数． 【答案】（1）是     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1），根据定义“一个角的2倍减去另一个角等于”解答； 对于（2），先根据三角形外角的性质可得，进而说明，再结合差余三角形的定义得，即可求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴内角分别为，和的三角形是差余三角形， 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵， ∴在中，和是锐角． ∵， ∴． ∵是差余三角形， ∴， 即， ∴， ∴． 9．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，已知，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的定义和性质，求角的邻补角，根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【详解】 解：， 故答案为： 10．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，点D在AB的延长线上，则　　　　　　　．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【分析】 本题考查了三角形的外角的定义及性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：是的一个外角， 所以， 故答案为：>． 11．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）正九边形的一个外角为　　　　　　　　　度． 【答案】40 【分析】 正多边形的外角都相等，用外角和360°除以边数9，即得一个外角度数． 【详解】 ∵正多边形每个内角都相等 ∴正多边形每个外角都相等． 又∵多边形外角和为360° ∴正九边形的一个外角为：360°÷9=40°． 故答案为：40． 【点睛】 此题考查正多边形角的计算．其关键点是要抓住外角和为360°与边数无关，和每个内角都相等． 12．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，延长至点，若，，则　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）小聪一笔画成了如图所示的图形，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接，由三角形外角的性质可推出，则可证明，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】 解：， ， ． 16．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，平分．求，的度数． 【答案】， 【分析】 此题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，根据角平分线的定义求出，再用三角形内角和定理求出，再用外角的性质求出的度数即可． 【详解】 解：平分， ， ， ， 是的外角， ． 17．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于　　　　　　． 【答案】H度 【分析】 本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质；由平行可求得，又由折叠的性质可得，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此计算即可求解． 【详解】 解：四边形是长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ∴， ∴ 故答案为：． 18．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【答案】证明：如图， ∵∠BPO是△PDC的外角， ∴∠BPO=∠C+∠D， ∵∠POA是△OEF的外角， ∴∠POA=∠E+∠F， ∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，    点睛：本题考查了三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，解决本题的关键是熟记三角形外角的性质． 【详解】 分析：根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答． 本题解析： 略． 19．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 【答案】， 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质求出． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 20．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． （3）如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； (2) 小问详解： ∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 延长至F，     为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 21．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 【答案】（1）∵，， ∴； （2）； （3）或 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义和平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）① 当点E在点O的上方时，如图所示：     ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ② 当点E在点O的下方时，如图：     由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】【问题】（1）；（2）； 【探究】（1）； （2）解：． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解． 【详解】 问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）略 23．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．若，，则　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线，运用两次三角形的外角性质即可得到答案； 【详解】 解：如图，延长至点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：30． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，以为边的三角形有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（     ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边都不相等的三角形 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·江西上饶·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，2，5 B. 2，2，4 C. 2，3，5 D. 2，3，4 2．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 3．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 5．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A.  太阳能热水器 B.  活动衣架 C.  三脚架 D.  篮球架 6．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 9．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，6，11 C. 6，3，10 D. 4，4，8 10．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（     ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 11．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 4，5，10 C. 6，8，11 D. 7，9，16 12．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在下列各组线段中，能组成三角形的是（     ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 13．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）下列各项中，给出的三条线段不能组成三角形的是（          ） A. a=2m、b=3m、c=5m-1（m＞1） B. 三边之比为5：6：10 C. 30cm、8cm、10cm D. a+1、a+3、a+2（a＞0） 14．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 都可以组成三角形 15．（25-26学年八上·江西宜春·期中）老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（     ） A.     B.    C.  D.  16．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 17．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　） A. 1，2，4 B. 2，3，4 C. 2，2，4 D. 2，3，6 18．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 4，4，9 D. 4，6，7 19．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 20．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·江西上饶·期中）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 　　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，在做门窗时，工人叔叔常把还没有安装的门窗钉上两根斜拉的木条．工人叔叔这样做的数学道理根据　　　　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有　　　　　　　　　　　的特性． 28．（25-26学年八上·江西宜春·期中）4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的　　　　　　． 29．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是　　　　　． 30．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）已知实数x，y满足|x−2|+（y−4）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　　　　　． 31．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是　　　　　　． 32．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 33．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①按边分，是_____三角形； ②求出此时的周长． 35．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）已知是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）年月日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽米气步枪和米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是　　　　　　． 37．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）已知，，是的三边， （1）比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） （2）化简． 39．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的3倍，求这个等腰三角形各边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 40．（25-26学年八上·江西上饶·期中）已知三角形的两边长分别为和，则第三边长可以是　　　　　　． 41．（25-26学年八上·江西上饶·期中）延长桌板撑开时一般会有钢质三角形支架作为支撑，这是由于　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 43．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知三角形的两边，第三边是． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边的长是偶数，求三角形的周长． 44．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，南昌八一大桥的桥梁拉杆和桥面均构成三角形的结构，这样设计的数学道理是　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）设，，是的三边，化简：． 46．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）在中，，，． （1）m的取值范围为                       ；． （2）若是等腰三角形，求的周长． 47．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x． （1）求x的取值范围； （2）若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 48．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：． 49．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 50．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 51．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为　　． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，边上的高作法正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）画出边上的高，下列画法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（　　） A. 115° B. 110° C. 100° D. 90° 6．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图，，是的两条中线，连接．若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 9．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，中，，垂足分别为D、E、F，则线段 　　　　　　　 是中边上的高． 11．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）已知的三个顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图． （1）作边上的高； （2）作边上的中线． 12．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，点E是的中点，点F是的中点，且，则阴影部分的面积为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　　　． 14．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则=　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 16．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板 　　　　　（填“会”或“不会”）保持平衡． 17．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，D、E是边的三等分点，则是三角形　　　　　　的中线． 18．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·江西上饶·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 （1）任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． （2）任务2：如图1，若的面积为，求的面积． （3）任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 20．（25-26学年八上·江西新余第一中学·期中）（多选）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E． 求证：DE=EF． 21．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （2）由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． （3）图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 22．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，，均在格点上，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作线段使其平分的面积； （2）如图2，过点作线段使其平分四边形的面积． 23．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 24．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 26．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是　　　　　． 27．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出的重心． （2）在图2中作出的高． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·江西宜春·期中）为纪念台湾光复日（10月25日），小春制作了一个三角形纪念牌，已知其两个内角的度数分别为和，则第三个内角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（       ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 4．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数是（               ） A. 25° B. 10° C. 15° D. 35° 9．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 10．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）十边形的外角和是　　　　　°． 11．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）在中，，，求的各内角的度数． 12．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 13．（25-26学年八上·江西赣州安远县·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数． 14．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）在△ABC中，∠B=∠A+20°，∠C=∠B+20°，求△ABC的三个内角的度数． 15．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）在中，若，则是　　　　　　　　　　　三角形．(填“钝角”“锐角”或“直角”) 16．（25-26学年八上·江西南昌南昌县·期中）在中，若 ，则这个三角形是　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O， （1）当∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数． （2）当时，求∠AOB，请写出证明过程． 18．（25-26学年八上·江西宜春·期中）在中，若，，则是　　　　　　三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”） 19．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）已知、分别是的高和角平分线，且，，求的度数． 20．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 21．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，求的度数． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由． 23．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C的度数是　　　　　． 24．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 25．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，在中，平分交于D，于E，，，求的度数． 26．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）如图，中，是上的高，平分，，则　　　　　　　　　度． 27．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 28．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，在中，于点平分，过点A作直线，且 （1）求的外角的度数． （2）求的度数． 29．（25-26学年八上·江西上饶·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 30．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，在中，，平分交于点D，且，求的度数． 32．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在中，为边上的高，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，还能求的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 33．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）（1）如图1所示，中，，和的平分线交于点，则______；    （2）如图2所示，的外角平分线和的外角平分线交于点，写出与的关系，并证明． 34．（25-26学年八上·江西赣州南康区·期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　     　度，∠P＝　     　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　     　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　     　． 35．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过点D作交于点E，，求的度数． 36．（25-26学年八上·江西上饶·期中）如图，，分别平分，则　　　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）计算： （1）如图，求出图中x的值． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 38．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 39．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角，求帽子顶角的度数． （2）设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 40．（25-26学年八上·江西南昌南昌中学·期中）已知，点D、F分别为线段上两点，连接交于点E． （1）若，，如图1所示，______度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 41．（25-26学年八上·江西赣州于都县·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 42．（25-26学年八上·江西宜春高安第六片区·期中）综合实践： （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 43．（25-26学年八上·江西宜春高安高安城区·期中）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则　　　　　　　　度． 44．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． （1）当点在线段上时， 求证：．        求的度数． （2）当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． （3）当时，请直接写出与的数量关系：_____． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，直线，，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西赣州大余县部分学校·期中）如图，在四边形中，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西宜春丰城联·期中）如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图，点E在AC上，则的度数是（       ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 5．（25-26学年八上·江西上饶广信区·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 6．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）将一副含，的三角板按图中的方式放置，则　　　　　　度． 7．（25-26学年八上·江西赣州章贡区·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，，则　　　　　　． 8．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为和，则这个三角形          （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）如图，在中，，D是边上一点，若是差余三角形，求的度数． 9．（25-26学年八上·江西上饶信州区·期中）如图，已知，则的度数为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西宜春万载县·期中）如图，点D在AB的延长线上，则　　　　　　　．（填“>”“=”或“<”） 11．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）正九边形的一个外角为　　　　　　　　　度． 12．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）如图，在中，延长至点，若，，则　　　　　 13．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）小聪一笔画成了如图所示的图形，则的度数为　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 15．（25-26学年八上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·江西赣州兴国县第三中学·期中）如图，在中，平分．求，的度数． 17．（25-26学年八上·江西赣州瑞金·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于　　　　　　． 18．（25-26学年八上·江西新余分宜县·期中）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 19．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 20．（25-26学年八上·江西赣州蓉江新区·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． （3）如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 21．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）综合与探究 请结合图形，完成下列探究． 探究一：定理证明 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这一定理的证明．已知：如图1，是的一个外角，求证：； 探究二：基础应用 （2）如图2，在中，，点D在边上，交于点F，．请你求出的度数，并写出求解过程； 探究三：动态探究 （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线上运动（不与点C，O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，则的度数是________． 22．（25-26学年八上·江西宜春丰城第九中学·期中）【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 23．（25-26学年八上·江西南昌南昌第二十八中学·期中）一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．若，，则　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $