专题02 实数（期中真题汇编，江西专用）八年级数学上学期

专题02 实数 考点01 实数及其简单运算 考点02 平方根 考点03 立方根 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 实数及其简单运算 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．C 9．B 10．【答案】（1）③ ⑥ ⑧     （2）① ② ⑤ ⑦     （3）⑥ ⑦     （4）④ ⑨      【分析】 本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． (1) 小问详解： 解：， 整数集合：③ ⑥ ⑧； (2) 小问详解： 解：分数集合：① ② ⑤ ⑦； (3) 小问详解： 解：负有理数集合：⑥ ⑦； (4) 小问详解： 解：无理数集合：④ ⑨． 11．【答案】 【分析】 本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】 解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 12．【答案】（1）12     （2）12.54      【分析】 本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 13．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先计算开平方，0次幂，负整数指数幂，绝对值，再依次计算加减即可； （2）等式两边同时除以8，再让方程两边同时开立方，即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2） ． 【点睛】 本题考查了实数的运算、平方根、立方根、绝对值的意义、利用立方根解方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．【答案】（1）     （2）② ，③     （3）      【分析】 本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ② ∵， ∴是“望一”数对； ③ ∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有② ，是“望音”数对的有③ ． (3) 小问详解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 15．【答案】（1）；；     （2）      【分析】 本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． (1) 小问详解： 解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵，， ． 16．【答案】（1）2     （2）阴影部分的面积为2，边长为     （3）或．      【分析】 （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． (1) 小问详解： 解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； (2) 小问详解： 棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； (3) 小问详解： 正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 考点02 平方根 1．A 2．B 3．【答案】 【详解】 解：3的平方根是． 4．【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 5．【答案】① 9    ② ±2    ③ 512 【分析】 根据平方根和立方根的性质和定义，对上式进行一一计算，从而求解． 【详解】 解：=9， =4， ∴4的平方根是±2； ∵83=512， ∴8是512的立方根， 故答案为：9，±2，512． 【点睛】 此题考查立方根的定义和平方根的定义，要注意：一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 6．【答案】2 【分析】 本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案. 【详解】 解：的平方根是 ，； 的立方根是2 ， ∴， ∴； ， 的算术平方根为． 7．【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．根据平方根的定义进行计算即可求解． 【详解】 解：6的平方根为 故答案为：． 8．【答案】（1），     （2）的平方根为      【分析】 本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． (1) 小问详解： 解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 9．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了算术平方根，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的算术平方根是3，的立方根是2，得，，解得，，即可作答． （2）先把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵的算术平方根是3，的立方根是2 ∴，， 解得， 即， 解得， (2) 小问详解： 解：由（1）得，； ∴， 则的平方根是， 的平方根为． 10．【答案】9 【分析】 本题考查平方根，正数的两个平方根互为相反数，和为0，由此列式求出a的值，进而可得m的值． 【详解】 解：正数的平方根是与， ， 解得， ， 故答案为：9． 11．【答案】8 【分析】 本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出a的值，再求出m 的值，最后求出代数式的值． 【详解】 解：∵正数m的两个平方根分别为和， ∴， 解得． 当时，， ∴， ∴． 故答案为：8． 12．【答案】2 【分析】 本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 13．【答案】3 【分析】 本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出、的值． 先根据正数的两个平方根互为相反数求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算的值． 【详解】 解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，解得：， 是8的立方根， ， 则， ． 14．【答案】1 【分析】 本题考查了非负数的性质，平方根，代数式求值，根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：1． 15．【答案】 【分析】 本题考查平方根，立方根，无理数的估算，根据平方根和立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 16．【答案】的周长为18；为等腰三角形 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．依据非负数的性质，即可得到a和b的值，再根据c为方程的解，即可得到或3，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 【详解】 解：∵， ，， 解得，． ∵c为方程的解， ∴， ∴或3． 当时，，不能构成三角形， ∴不符合题意； 当时，，能构成三角形， 此时，的周长为． 综上，的周长为18． ∵， ∴是等腰三角形． 17．【答案】（1），，     （2）      【分析】 此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； (2) 小问详解： 解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 18．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根的概念，无理数的估算： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可求出a、b的值；再根据无理数的估算方法得到，即可求出c的值； （2）根据（1）所求计算出的值，再根据平方根的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：∵的算术平方根是3，是的立方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是3，即； (2) 小问详解： 解：由（1）得，，， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 19．【答案】5 【分析】 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】 ∵x-1的平方根为±2， ∴x-1=4， ∴x=5 ∵3x+y-1的平方根为±4， ∴3x+y-1=16， ∴3×5+y-1=16， ∴y=2， ∴3x+5y=25 ∴3x+5y的算术平方根为5． 【点睛】 此题主要考查了平方根、算术平方根、一元一次方程、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 20．【答案】（1），，；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； (2) 小问详解： 解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 21．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． (1) 小问详解： 解：因为有意义， ∴ ， 解得：， ∴ (2) 小问详解： ， ∴的平方根为． 考点03 立方根 1．【答案】4 【分析】 根据立方根的定义即可求解. 【详解】 解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】 此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 2．【答案】3 【分析】 求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】 解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】 此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 3．【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值． 【详解】 解：（1） （2） 【点睛】 此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 4．【答案】2 【分析】 根据立方根的定义进行计算． 【详解】 解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 5．【答案】（1）x=﹣2，y=1，a=64；（2）3. 【分析】 （1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】 解：（1）由题意得：（x﹣6）+（3x+14）=0， 解得，x=﹣2， 所以，a=（x﹣6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=﹣2，y=1，a=64； （2）由（1）知：x=﹣2， 所以，1﹣4x=1﹣4×（﹣2）=9， 所以，==3， 6．【答案】6 【分析】 本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】 解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 7．【答案】或1或0 【分析】 本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】 解：， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 8．【答案】 【分析】 本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】 解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 9．【答案】（1）；；     （2）的平方根是．      【分析】 本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． (1) 小问详解： 解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． (2) 小问详解： 解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 考点04 二次根式及其性质 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，直接根据二次根式有意义的条件作答即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】 解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴的取值范围是， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出 ，求出，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】 解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为： ． 9．【答案】3 【分析】 本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】 解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的性质及绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键；根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再结合给定范围确定绝对值符号内的正负性，从而化简即可． 【详解】 解：由二次根式的性质，，， 故原式； ∵， ∴原式， 故答案为． 11．【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】 解：有意义， ， 解得： ． 12．【答案】 【分析】 利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】 解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ， ， ， ． 14．【答案】（1）x=±2；（2）x=5． 【详解】试题分析：（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解． 试题解析：（1）方程整理得：4x2=16，即x2=4， 开方得：x=±2； （2）方程整理得：（x-2）3=27， 开立方得：x-2=3， 解得：x=5． 考点：1.立方根；2.平方根． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．【答案】 【详解】 解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 9．【答案】587.9 【详解】因为,≈5.879, 所以,故答案为. 点睛:本题主要考查二次根式乘法法则的逆用,解决本题的关键是对二次根式法则得逆向运用. 10．【答案】③ 【分析】 本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③ 段， 故答案为：③ ． 考点06 二次根式的加法与减法 1．C 2．D 3．D 4．D 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，正确化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题关键． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先根据算术平方根、立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，利用平方根的含义解方程． （1）先化简二次根式，计算绝对值，再合并即可． （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， 解得：或． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次根式的混合运算法则及二次根式的除法运算法则即可求解． （2）根据二次根式的混合运算法则及二次根式的乘法运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算及乘法和除法运算，分母有理化，熟练掌握二次根式的混合运算法则及乘法和除法运算法则是解题的关键． 9．【答案】2 【分析】 根据图形可以求得图中两个正方形的边长，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得，    大正方形ABCD的边长为，小正方形EFHG的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 10．【答案】， 【分析】 先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】 解：原式 ， 将代入得：原式． 【点睛】 本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．【答案】（1）0；（2） 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用二次根式的运算法则和平方差公式进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】 （1）解：（1）原式； （2） ，得， 解得， 把代入① ，得， 解得， 所以原方程组的解是 ． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式， 先根据完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 14．【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题主要考查二次根式的运算及利用平方根解方程，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据二次根式的运算可进行求解； （2）根据平方根可求解方程． 【详解】 解：（1）原式； （2） ∵， ∴， ∴或． 15．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了负整数指数幂的计算、二次根式的混合运算、零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再加减即可； （2）先化简二次根式，计算二次根式的乘法和除法，再加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 17．【答案】（1）     （2）9     （3）5      【分析】 本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为： (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将的分子与分母同时乘以，化简即可． （2）根据可得整数部分为1，所以小数部分为，代入式子计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：是的小数部分， ， 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简法则是解题关键． 19．【答案】（1） 15 （2） 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，利用立方根求未知数，二次根式的运算法则及立方根的概念是解题的关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加法； （2）方程变形为，再利用立方根的概念即可求解． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）整理得：， 开立方得：， 解得：． 20．【答案】（）； （）证明：在和中， ， ∴． 【分析】 （）根据二次根式的运算法则先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （）利用判定定理“”即可求证； 本题考查了二次根式的混合运算，全等三角形的判定，掌握二次根式的运算法则和全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 （）解：原式 ； （）略 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的加减混合运算和二次根式的乘除混合运算，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据二次根式的性质先把分母有理化，有绝对值符号的取绝对值，再进行加减即可； （2）根据二次根式的乘除法则先乘除，再根据二次根式的性质化简二次根式，进而得到答案即可； (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ． 22．【答案】（1）①；②     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）① 仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． (1) 小问详解： 解：①； ②； (2) 小问详解： 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． (3) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1），；     （2） 解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”．      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． (1) 小问详解： 解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 ． 25．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，利用平方根解方程等知识． （1）先计算二次根式的乘除法，再合并同类项即可． （2）利用平方根解方程即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ， 26．【答案】（1）      （2） 22      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的化简、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意仿照化简即可； （2）将第一个括号内的每一项分母有理化，进而解题． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 同理可得：， ， ， ∴原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 6大高频考点概览 考点01 实数及其简单运算 考点02 平方根 考点03 立方根 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】 解：3.14为有限小数，不是无理数，故A不符合题意； 是分数，不是无理数，故B不符合题意； 是无理数，故C符合题意； ，为整数，不是无理数，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】 本题考查了无理数的概念．解题的关键是掌握无理数的概念，注意初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 2．（25-26学年八上·江西抚州·期中）若，且x是整数，则满足条件的x值有（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 此题考查实数的大小比较． 先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合条件的数即可． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴符合条件的x的值为：，共4个． 故选：B． 3．（25-26学年八上·江西抚州·期中）下列实数中，为无理数的是（             ） A.  B. 0 C.  D. 0.8 【答案】C 【分析】 根据有理数和无理数的定义即可判断． 【详解】 解：A、是分数，是有理数，故选项错误，不符合题意； B、0是整数，是有理数，故选项错误，不符合题意； C、是无理数，故选项正确，符合题意； D、0.8是有限小数，是有理数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了有理数和无理数的定义，熟练记忆是解题的关键． 4．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）满足的整数x是（） A. -2,-1,0,1,2,3 B. -1,0,1,2 C. -2,-1,0,1,2 D. -1,0,1,2,3 【答案】B 【分析】由和的近似值，即可求得整数x. 【详解】∵-2<<-1，2<<3， ∴满足的整数x是-1,0,1,2， 故选B. 【点睛】本题主要考查无理数的估算以及整数的概念，估算出无理数的近似值，是解题的关键. 5．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）在数，，，中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的识别，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】 解：，，是有理数，是无理数． 故选：C． 6．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A. 0 B.  C. 3.14 D.  【答案】B 【分析】 本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】 解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】 A. ，∵10不是完全平方数，∴是无理数，符合题意； B. ，循环小数可化为分数，是有理数，故不符合题意； C. ，∵，∴，是整数，是有理数，故不符合题意； D. ，是分数形式，是有理数，故不符合题意． ∴故选：A． 8．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）下列各数：﹣2，，0，，0.020020002，π，，其中无理数的个数是（　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在﹣2，，0，，0.020020002，π，，中，无理数有，π这2个数，故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 9．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）下列实数，，，，，，（每两个之间的个数比前面多一个），其中无理数有（       ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；② 开方开不尽的数，如，等；③ 具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数定义进行判断即可． 【详解】 解：，， 实数，，，，，，（每两个之间的个数比前面多一个）中，无理数有：，，（每两个之间的个数比前面多一个），共3个． 故选：B． 10．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）负有理数集合：{____________…}； （4）无理数集合：{____________…}． 【答案】（1）③ ⑥ ⑧     （2）① ② ⑤ ⑦     （3）⑥ ⑦     （4）④ ⑨      【分析】 本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． (1) 小问详解： 解：， 整数集合：③ ⑥ ⑧； (2) 小问详解： 解：分数集合：① ② ⑤ ⑦； (3) 小问详解： 解：负有理数集合：⑥ ⑦； (4) 小问详解： 解：无理数集合：④ ⑨． 11．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】 解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． （1）填空：的整数部分的值为　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）12     （2）12.54      【分析】 本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 13．（25-26学年八上·江西吉安·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先计算开平方，0次幂，负整数指数幂，绝对值，再依次计算加减即可； （2）等式两边同时除以8，再让方程两边同时开立方，即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2） ． 【点睛】 本题考查了实数的运算、平方根、立方根、绝对值的意义、利用立方根解方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 【答案】（1）     （2）② ，③     （3）      【分析】 本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ② ∵， ∴是“望一”数对； ③ ∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有② ，是“望音”数对的有③ ． (3) 小问详解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 15．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． （1）用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； （2）化简：． 【答案】（1）；；     （2）      【分析】 本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． (1) 小问详解： 解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵，， ． 16．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】（1）2     （2）阴影部分的面积为2，边长为     （3）或．      【分析】 （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． (1) 小问详解： 解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； (2) 小问详解： 棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； (3) 小问详解： 正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 考点02 平方根 1．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根．解题的关键是掌握相关定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义即可进行解答． 【详解】 解：A、25的平方根是．故A正确，符合题意； B、∵， ∴的平方根是不是3．故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴的算术平方根为．故C不正确，不符合题意； D、．故D不正确，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】 解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 3．（25-26学年八上·江西抚州·期中）3的平方根是　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：3的平方根是． 4．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）16的平方根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）计算：＝　　　，的平方根是　　　，8是　　　的立方根． 【答案】① 9    ② ±2    ③ 512 【分析】 根据平方根和立方根的性质和定义，对上式进行一一计算，从而求解． 【详解】 解：=9， =4， ∴4的平方根是±2； ∵83=512， ∴8是512的立方根， 故答案为：9，±2，512． 【点睛】 此题考查立方根的定义和平方根的定义，要注意：一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 6．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】 本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，以及一元一次方程的解法，熟记概念并列出方程是解题的关键．根据平方根求出，由立方根求出，然后代入即可求出答案. 【详解】 解：的平方根是 ，； 的立方根是2 ， ∴， ∴； ， 的算术平方根为． 7．（25-26学年八上·江西抚州·期中）6的平方根为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．根据平方根的定义进行计算即可求解． 【详解】 解：6的平方根为 故答案为：． 8．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），     （2）的平方根为      【分析】 本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． (1) 小问详解： 解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 9．（25-26学年八上·江西吉安·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2， （1）求，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了算术平方根，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的算术平方根是3，的立方根是2，得，，解得，，即可作答． （2）先把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵的算术平方根是3，的立方根是2 ∴，， 解得， 即， 解得， (2) 小问详解： 解：由（1）得，； ∴， 则的平方根是， 的平方根为． 10．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）若一正数的平方根是与，则　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查平方根，正数的两个平方根互为相反数，和为0，由此列式求出a的值，进而可得m的值． 【详解】 解：正数的平方根是与， ， 解得， ， 故答案为：9． 11．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出a的值，再求出m 的值，最后求出代数式的值． 【详解】 解：∵正数m的两个平方根分别为和， ∴， 解得． 当时，， ∴， ∴． 故答案为：8． 12．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）的算术平方根是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 13．（25-26学年八上·江西九江·期中）如果一个正数x的两个平方根分别是和，b是8的立方根，求的值． 【答案】3 【分析】 本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出、的值． 先根据正数的两个平方根互为相反数求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算的值． 【详解】 解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，解得：， 是8的立方根， ， 则， ． 14．（25-26学年八上·江西九江部分学校）若，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了非负数的性质，平方根，代数式求值，根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：1． 15．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】 【分析】 本题考查平方根，立方根，无理数的估算，根据平方根和立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 16．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）已知，，为的三边长，且，满足，为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为18；为等腰三角形 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．依据非负数的性质，即可得到a和b的值，再根据c为方程的解，即可得到或3，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 【详解】 解：∵， ，， 解得，． ∵c为方程的解， ∴， ∴或3． 当时，，不能构成三角形， ∴不符合题意； 当时，，能构成三角形， 此时，的周长为． 综上，的周长为18． ∵， ∴是等腰三角形． 17．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； (2) 小问详解： 解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 18．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． （1）求 的值； （2）求的平方根， 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根的概念，无理数的估算： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可求出a、b的值；再根据无理数的估算方法得到，即可求出c的值； （2）根据（1）所求计算出的值，再根据平方根的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：∵的算术平方根是3，是的立方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是3，即； (2) 小问详解： 解：由（1）得，，， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 19．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根． 【答案】5 【分析】 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】 ∵x-1的平方根为±2， ∴x-1=4， ∴x=5 ∵3x+y-1的平方根为±4， ∴3x+y-1=16， ∴3×5+y-1=16， ∴y=2， ∴3x+5y=25 ∴3x+5y的算术平方根为5． 【点睛】 此题主要考查了平方根、算术平方根、一元一次方程、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 20．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； (2) 小问详解： 解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 21．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． (1) 小问详解： 解：因为有意义， ∴ ， 解得：， ∴ (2) 小问详解： ， ∴的平方根为． 考点03 立方根 1．（25-26学年八上·江西吉安·期中）64的立方根是　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据立方根的定义即可求解. 【详解】 解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】 此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 2．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）计算：　　　． 【答案】3 【分析】 求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】 解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】 此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 3．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）求下列各式中的x． （1）4（x+1）2＝1．                                 （2）（2x﹣1）3＝﹣27． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值． 【详解】 解：（1） （2） 【点睛】 此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 4．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）计算：=　　　． 【答案】2 【分析】 根据立方根的定义进行计算． 【详解】 解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 5．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知：x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y+2是a的立方根． （1）求x，y，a的值； （2）求1﹣4x的算术平方根． 【答案】（1）x=﹣2，y=1，a=64；（2）3. 【分析】 （1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】 解：（1）由题意得：（x﹣6）+（3x+14）=0， 解得，x=﹣2， 所以，a=（x﹣6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=﹣2，y=1，a=64； （2）由（1）知：x=﹣2， 所以，1﹣4x=1﹣4×（﹣2）=9， 所以，==3， 6．（25-26学年八上·江西抚州·期中）有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】 解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 7．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知，则的值为　　　　　　. 【答案】或1或0 【分析】 本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】 解：， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 8．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】 本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】 解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 9．（25-26学年八上·江西九江部分学校）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；；     （2）的平方根是．      【分析】 本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． (1) 小问详解： 解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． (2) 小问详解： 解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而得出答案． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·江西九江部分学校）要使二次根式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】 解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 3．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）下列各式是二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式定义逐个判断即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， ∵可以任意取值，即可以为负值， ∴A不是二次根式，不符合题意； ∵， ∴B不是二次根式，不符合题意； ∵， ∴， ∴C是二次根式符合题意； 是三次根式，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查二次根式的定义，解题的关键是数量掌握二次根式的条件． 4．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如果，，那么下列各式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵， ∴D的结论不正确， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的意义等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·江西抚州·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】 解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 6．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件列不等式，求最小整数解即可． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取的最小整数值是． 故选：B． 7．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，直接根据二次根式有意义的条件作答即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】 解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴的取值范围是， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）若、都是实数，且，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出 ，求出，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】 解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为： ． 9．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】 解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 10．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）当时，化简的正确结果是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的性质及绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键；根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再结合给定范围确定绝对值符号内的正负性，从而化简即可． 【详解】 解：由二次根式的性质，，， 故原式； ∵， ∴原式， 故答案为． 11．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）要使二次根式有意义，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】 解：有意义， ， 解得： ． 12．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】 利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】 解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 13．（25-26学年八上·江西九江部分学校）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由 ，得 （1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （2）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ， ， ， ． 14．（25-26学年八上·江西抚州·期中）解方程： （1）4x2-16=0； （2）（x-2）3=18． 【答案】（1）x=±2；（2）x=5． 【详解】试题分析：（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解． 试题解析：（1）方程整理得：4x2=16，即x2=4， 开方得：x=±2； （2）方程整理得：（x-2）3=27， 开立方得：x-2=3， 解得：x=5． 考点：1.立方根；2.平方根． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·江西抚州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，被开方数是小数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、，被开方数含有能开的尽方的数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·江西吉安·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】 解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、是最简二次根式，故该选项符合题意； C、的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、的分母位置有根号，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B 3．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数不含能开的尽方的因数，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、的被开方数，含能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、的被开方数，含能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了最简二次根式的定义,最简二次根式须满足两个要素：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． 4．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】 解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，正确的计算是解题的关键． 5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则、二次根式的加减法法则对各项进行计算即可得到答案． 【详解】 解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； B．，故B计算正确，符合题意； C．，故C计算错误，不符合题意；        D．，故D计算错误，不符合题意；        故选：B． 6．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】 解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 7．（25-26学年八上·江西九江部分学校）下列根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：① 被开方数中的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·江西九江·期中）计算：　　　． 【答案】 【详解】 解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知≈1.859，≈5.879，则≈　　　　　　　　. 【答案】587.9 【详解】因为,≈5.879, 所以,故答案为. 点睛:本题主要考查二次根式乘法法则的逆用,解决本题的关键是对二次根式法则得逆向运用. 10．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的　　　　　　　段．（填序号） 【答案】③ 【分析】 本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③ 段， 故答案为：③ ． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、二次根式的乘法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解：A、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，二次根式根号内是负数，无意义，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可． 【详解】 解：A、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键． 3．（25-26学年八上·江西九江·期中）若能与合并，则a的值可以是（     ） A.  B. 1 C. 6 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是掌握同类二次根式可以合并的性质． 根据同类二次根式的定义，判断每个选项中的化简后是否与是同类二次根式（即被开方数相同），从而确定能否合并． 【详解】 解：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式可以合并． A、因为二次根式的被开方数不能为负数，时无意义，所以不符合要求； B、当时，，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C、当时，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； D、当时，，与的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并． 故选：D． 4．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）已知，则的关系是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】将a进行分母有理化，比较a与b即可. 【详解】∵，， ∴. 故选D. 【点睛】此题考查了分母有理化，分母有理化时正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键. 5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，正确化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题关键． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 6．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先根据算术平方根、立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·江西抚州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，利用平方根的含义解方程． （1）先化简二次根式，计算绝对值，再合并即可． （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， 解得：或． 8．（25-26学年八上·江西抚州·期中）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次根式的混合运算法则及二次根式的除法运算法则即可求解． （2）根据二次根式的混合运算法则及二次根式的乘法运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算及乘法和除法运算，分母有理化，熟练掌握二次根式的混合运算法则及乘法和除法运算法则是解题的关键． 9．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据图形可以求得图中两个正方形的边长，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得，    大正方形ABCD的边长为，小正方形EFHG的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 10．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】 解：原式 ， 将代入得：原式． 【点睛】 本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）（1）计算：        （2）解方程组： 【答案】（1）0；（2） 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用二次根式的运算法则和平方差公式进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】 （1）解：（1）原式； （2） ，得， 解得， 把代入① ，得， 解得， 所以原方程组的解是 ． 12．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 13．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式， 先根据完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 14．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】 本题主要考查二次根式的运算及利用平方根解方程，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据二次根式的运算可进行求解； （2）根据平方根可求解方程． 【详解】 解：（1）原式； （2） ∵， ∴， ∴或． 15．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了负整数指数幂的计算、二次根式的混合运算、零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再加减即可； （2）先化简二次根式，计算二次根式的乘法和除法，再加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 16．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： （1）化简：． （2）若，求的值． （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 17．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）9     （3）5      【分析】 本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为： (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 18．（25-26学年八上·江西抚州·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式． （1）； （2）若是的小数部分，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将的分子与分母同时乘以，化简即可． （2）根据可得整数部分为1，所以小数部分为，代入式子计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：是的小数部分， ， 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简法则是解题关键． 19．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）（1）计算：； （2）求的值． 【答案】（1） 15 （2） 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，利用立方根求未知数，二次根式的运算法则及立方根的概念是解题的关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加法； （2）方程变形为，再利用立方根的概念即可求解． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）整理得：， 开立方得：， 解得：． 20．（25-26学年八上·江西上饶·期中）（）计算：； （）如图，，，求证：． 【答案】（）； （）证明：在和中， ， ∴． 【分析】 （）根据二次根式的运算法则先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （）利用判定定理“”即可求证； 本题考查了二次根式的混合运算，全等三角形的判定，掌握二次根式的运算法则和全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 （）解：原式 ； （）略 21．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的加减混合运算和二次根式的乘除混合运算，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据二次根式的性质先把分母有理化，有绝对值符号的取绝对值，再进行加减即可； （2）根据二次根式的乘除法则先乘除，再根据二次根式的性质化简二次根式，进而得到答案即可； (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ． 22．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；②     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）① 仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． (1) 小问详解： 解：①； ②； (2) 小问详解： 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． (3) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． （1）4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． （2）若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】（1），；     （2） 解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”．      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． (1) 小问详解： 解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算： ． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 ． 25．（25-26学年八上·江西九江部分学校）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，利用平方根解方程等知识． （1）先计算二次根式的乘除法，再合并同类项即可． （2）利用平方根解方程即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ， 26．（25-26学年八上·江西九江·期中）【问题背景】在进行二次根式化简时，通常会遇到分母含有二次根式，例如：，这一类的式子，这时我们需要将其进行化简，，．这种化简的步骤叫作分母有理化． 【问题解决】 （1）仿照上面的解题过程，化简：               ． （2）计算的值． 【答案】（1）      （2） 22      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的化简、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意仿照化简即可； （2）将第一个括号内的每一项分母有理化，进而解题． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 同理可得：， ， ， ∴原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 6大高频考点概览 考点01 实数及其简单运算 考点02 平方根 考点03 立方根 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西抚州·期中）若，且x是整数，则满足条件的x值有（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3．（25-26学年八上·江西抚州·期中）下列实数中，为无理数的是（             ） A.  B. 0 C.  D. 0.8 4．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）满足的整数x是（） A. -2,-1,0,1,2,3 B. -1,0,1,2 C. -2,-1,0,1,2 D. -1,0,1,2,3 5．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）在数，，，中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A. 0 B.  C. 3.14 D.  7．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）下列各数：﹣2，，0，，0.020020002，π，，其中无理数的个数是（　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）下列实数，，，，，，（每两个之间的个数比前面多一个），其中无理数有（       ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）负有理数集合：{____________…}； （4）无理数集合：{____________…}． 11．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． （1）填空：的整数部分的值为　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 13．（25-26学年八上·江西吉安·期中）（1）计算： （2）解方程： 14．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 15．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． （1）用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； （2）化简：． 16．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 考点02 平方根 1．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D.  2．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西抚州·期中）3的平方根是　　　　　　． 4．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）16的平方根是　　　　　　． 5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）计算：＝　　　，的平方根是　　　，8是　　　的立方根． 6．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 7．（25-26学年八上·江西抚州·期中）6的平方根为　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 9．（25-26学年八上·江西吉安·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2， （1）求，的值． （2）求的平方根． 10．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）若一正数的平方根是与，则　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为　　　　　　． 12．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）的算术平方根是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·江西九江·期中）如果一个正数x的两个平方根分别是和，b是8的立方根，求的值． 14．（25-26学年八上·江西九江部分学校）若，则　　　　　　． 15．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 16．（25-26学年八上·江西赣州上犹县·期中）已知，，为的三边长，且，满足，为方程的解，求的周长，并判断的形状． 17．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 18．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． （1）求 的值； （2）求的平方根， 19．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根． 20．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 21．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 （1）试求出x，y的值； （2）请你求出的平方根． 考点03 立方根 1．（25-26学年八上·江西吉安·期中）64的立方根是　　　　　　　． 2．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）计算：　　　． 3．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）求下列各式中的x． （1）4（x+1）2＝1．                                 （2）（2x﹣1）3＝﹣27． 4．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）计算：=　　　． 5．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知：x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y+2是a的立方根． （1）求x，y，a的值； （2）求1﹣4x的算术平方根． 6．（25-26学年八上·江西抚州·期中）有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长　　　　　　． 7．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知，则的值为　　　　　　. 8．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 9．（25-26学年八上·江西九江部分学校）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西九江部分学校）要使二次根式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）下列各式是二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如果，，那么下列各式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西抚州·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）若、都是实数，且，则　　　　　　． 9．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）当时，化简的正确结果是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）要使二次根式有意义，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 13．（25-26学年八上·江西九江部分学校）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由 ，得 （1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （2）拓展创新：已知，求的值． 14．（25-26学年八上·江西抚州·期中）解方程： （1）4x2-16=0； （2）（x-2）3=18． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·江西抚州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西吉安·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·江西九江部分学校）下列根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·江西九江·期中）计算：　　　． 9．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知≈1.859，≈5.879，则≈　　　　　　　　. 10．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的　　　　　　　段．（填序号） 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西九江·期中）若能与合并，则a的值可以是（     ） A.  B. 1 C. 6 D. 12 4．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）已知，则的关系是(       ) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）计算： （1）； （2）． 6．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）计算： （1） （2） 7．（25-26学年八上·江西抚州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 8．（25-26学年八上·江西抚州·期中）计算∶ （1）； （2）． 9．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）（1）计算：        （2）解方程组： 12．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）计算：． 13．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）计算：． 14．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 15．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）计算题： （1）； （2）． 16．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： （1）化简：． （2）若，求的值． （3）已知，求代数式的值． 17．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 18．（25-26学年八上·江西抚州·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：，用上述类似的方法化简下列各式． （1）； （2）若是的小数部分，求的值． 19．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）（1）计算：； （2）求的值． 20．（25-26学年八上·江西上饶·期中）（）计算：； （）如图，，，求证：． 21．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 22．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 23．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． （1）4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． （2）若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 24．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算： ． 25．（25-26学年八上·江西九江部分学校）计算： （1） （2） 26．（25-26学年八上·江西九江·期中）【问题背景】在进行二次根式化简时，通常会遇到分母含有二次根式，例如：，这一类的式子，这时我们需要将其进行化简，，．这种化简的步骤叫作分母有理化． 【问题解决】 （1）仿照上面的解题过程，化简：               ． （2）计算的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $