2026-2027学年度九年级上学期期中质量检测数学模拟试题

**基本信息** 以深度求索AI下载量、《给阿嬷的情书》票房等时代情境为载体，覆盖一元二次方程、二次函数等核心知识，通过基础巩固（如解方程）到创新探究（如充电站运营模型）的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|方程根的判别、函数图像识别|结合科技热点（第4题下载量增长率）| |填空题|6/18|代数式求值、函数图像性质|注重图像信息转化（第9题二次函数结论判断）| |解答题|11/84|方程应用、函数与几何综合、实际问题建模|突出真实情境建模（第22题充电站收支平衡）和跨知识综合（第23题函数与菱形动态探究）|

2026-2027学年度九年级上学期期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，本试卷满分120分，考试时间120分钟 2．请将答案正确填写在答题卡上，共3大题，23小题 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．关于x的一元二次方程3x²-2x=x+1的根的情况是（        ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若已知a是方程x²+2x=3的一个根，则代数式2a²+4a+2026的值为___________． 8．将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________． 9．二次函数的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为；②当时，或；③函数解析式为；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有________（填写序号）    （第9题） （第11题） （第12题） 10．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 11．如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 12．如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共84分） 13．解下列方程： (1) (2) 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 15．先化简．再求值：．其中是方程的解． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 17．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 18．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 19．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 20．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 21．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 22．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 23．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 数学试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年度九年级上学期期中质量检测数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B D B 1．B 2．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，是一元二次方程，时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 6．B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 7．2032 8． 【分析】本题考查了二次函数的平移平移规律，根据二次函数的平移，“上加下减，左加右减”即可作答． 【详解】将抛物线向下平移2个单位，得新抛物线的解析式为． 故答案为． 9．①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数的解析式．由图象可知二次函数的图象的对称轴为，图象过原点，从而可求得、，再根据二次函数的图象及性质进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知对称轴为，图象过原点， ，， ∴二次函数的解析式为， 由图象可知当时， 当时，y随x的增大而增大． 正确的有①③④． 故答案为：①③④． 10． 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 11． 【分析】根据反比例函数图象与正比例函数图象的对称性，可知交点与点关于原点对称，从而得出，，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：反比例函数与直线的图象均关于原点对称 它们的交点与关于原点对称 ， 点在反比例函数的图象上 ． 12． 【分析】先证明，，设，可得，，求得，过点作于，再利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再求出即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 15．， 【分析】本题主要考查分式的化简求解及一元二次方程的解，熟练掌握分式的化简求解及一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【详解】解：原式 ； ∵是方程的解， ∴，即， ∴原式． 16．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 17．(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 18．(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 19．(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 20．(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 21．(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 22．(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 23．(1) (2) (3)①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $