专题08 锐角三角函数，投影与试图（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数，投影与试图 6大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点04 投影 考点05 画物体的三视图 考点06 由三视图想象物体形状 考点01 正弦、余弦与正切 1．（2026·贵州六盘水·一模）（1）计算：； （2）解不等式：． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）（1）计算： （2）小芳同学解方程的解答过程如下： 解：，，                      第一步                  第二步                                        第三步解得，．                                 第四步 小芳同学的解题过程从第____________步开始出错，请写出你的正确解答过程． 3．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧． (1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； (2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 4．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，四边形是一张平行四边形纸片（），要求利用所学知识作一个菱形．下面是小红和小星的做法： （1）请你选择一位同学的做法，补全图形并进行证明； （2）在（1）的图形中，若，，，求四边形的面积． 5．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则　　　　　． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交于点D，连接，若，，则的长为（       ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，点D在延长线上，，点H在的延长线上，． （1）图中与相等的角是_____（写出一个即可）；图中与相似的三角形是__（写出一个即可）； （2）求证：； （3）若，，求的面积． 4．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为          ，位置关系为          ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）在中，，点B在直线l上，直线l与的夹角为，且，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E． （1）【问题解决】 如图①，若，则的度数为______，的值为______； （2）【问题探究】 如图②，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，，交于点F，点F在线段上，若，，求线段的长． 6．（2026·贵州六盘水·一模）当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 7．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点的直线，，于点． 问题探究： （1）如图（1），直接写出的数量关系_____；（提示：过点作于点，与交于点） （2）当绕旋转到如图（2）位置时，、、满足什么样的数量关系，请说明理由； （3）当绕旋转到如图（3）位置时，，，求和的值． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，小明在参加骑行活动时，途中遇到一段斜坡，已知斜坡的坡度，他沿着斜坡从点A骑行到B点的路程为，则小明上升的高度为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）某校数学实践小组利用所学数学知识测量学校旗杆的高度．测量方案及数据如下： 项目 测量旗杆的高度 方案 利用锐角三角函数，测量：的长度，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 两次平均值 测量数据 ____________ （1）测量数据表中，长度的平均值为____________ ；在中，设的长为，请用含x和的代数式表示的长为____________ ； （2）根据测量数据，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 3．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 考点04 投影 1．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（       ） A. 逐渐远离路灯 B. 在路灯正下方 C. 逐渐走向路灯 D. 无法确定 2．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 3．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 4．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 考点05 画物体的三视图 1．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图所示的几何体，其俯视图是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）某几何体的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·贵州六盘水·一模）下列立体图形的俯视图为圆的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（       ） A.  B.  C.  D.  考点06 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． （1）请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）这个几何体的表面积（包括底面）是___________．． 2．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． （1）图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； （2）根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 3．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） （1）请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数，投影与试图 6大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点04 投影 考点05 画物体的三视图 考点06 由三视图想象物体形状 考点01 正弦、余弦与正切 1．（2026·贵州六盘水·一模）（1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】 本题考查了零指数幂的运算，特殊角三角函数值，解一元一次不等式，熟练掌握零指数幂的运算，特殊角三角函数值及解一元一次不等式是关键． （1）先化简绝对值，零指数幂的计算及求特殊角三角函数值，再进行有理数的混合运算即可； （2）通过去括号，移项，合并同类项等步骤计算即可． 【详解】 解：（1） ； （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）（1）计算： （2）小芳同学解方程的解答过程如下： 解：，，                      第一步                  第二步                                        第三步解得，．                                 第四步 小芳同学的解题过程从第____________步开始出错，请写出你的正确解答过程． 【答案】（1）3； （2）观察解题过程可知，从第二步开始出错，错误原因是判别式计算错误， 正确过程如下： 解：∵，，； ∴； ∴ 解得，． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，接着去绝对值和计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）观察可知第二步中判别式的值计算错误，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解：（1）        ； （2）略 3．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧． (1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； (2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 【答案】（1），；（2）的最大值为6 【分析】 （1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出； 求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出； 解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出； （2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°． 【详解】 (1)① 如图，作AE⊥PB于点E， ∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝， ∴AE＝PE＝×＝1， ∵PB＝4， ∴BE＝PB﹣PE＝3， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴AB＝＝． ② 解法一： 如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A． ∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90° ∴PP′＝PA＝2， ∴PD＝P′B＝＝＝； 解法二： 如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G． 在Rt△AEG中， 可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝． 在Rt△PFG中， 可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝． 在Rt△PDF中，可得， PD＝＝＝． (2)如图所示， 将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝   PA＝2，PB＝4， 且P、D两点落在直线AB的两侧， ∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图） 此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6． 此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°． 【点睛】 考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置． 4．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，四边形是一张平行四边形纸片（），要求利用所学知识作一个菱形．下面是小红和小星的做法： （1）请你选择一位同学的做法，补全图形并进行证明； （2）在（1）的图形中，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 小星：如图： 证明：由作图可知，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小红：如图： 证明：由作图可知，，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角函数． （1）根据做法画出图形，进而证明即可； （2）过作交于点，根据三角函数求出，根据菱形的性质得到，进而求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过作交于点， ∵，， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 5．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先求得平分，作于点N，证明，求得，，再证明，求得，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，即平分， 作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可． 【详解】 解：如图所示： 由对顶角相等可得， ∵此三角形是直角三角形， ∴，即． 故选：C． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交于点D，连接，若，，则的长为（       ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质． 设，根据得到，根据勾股定理求出，即，，由作图可知垂直平分，得到，即可求出的长． 【详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 由作图可知垂直平分， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，点D在延长线上，，点H在的延长线上，． （1）图中与相等的角是_____（写出一个即可）；图中与相似的三角形是__（写出一个即可）； （2）求证：； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）；     （2） 证明：，        又 又    ；     （3）12      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质： （1）根据对顶角相等，相似三角形的判定和性质解答即可； （2）相似三角形的判定和性质解答即可； （3）过点D作，交的延长线于点N．设，则，结合勾股定理可得，证明，可得，再证明，可得，从而得到，证明四边形为矩形，即可求解． (1) 小问详解： 解：，； 理由：，        又 又 ∵， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点D作，交的延长线于点N． ，， ∴设，则， ， ， ∵，， ， ，      又，， ， ， ， ， ， 而， ∴四边形为矩形， ， 的面积． 4．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为          ，位置关系为          ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3） 【分析】 （1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，，进行边的运算，即可作答． 【详解】 解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）略 （3）∵点H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）在中，，点B在直线l上，直线l与的夹角为，且，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E． （1）【问题解决】 如图①，若，则的度数为______，的值为______； （2）【问题探究】 如图②，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，，交于点F，点F在线段上，若，，求线段的长． 【答案】（1）；     （2） 解：的值不变，理由如下： 延长交直线l于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键， （1）由，，则，故，，然后，可得，从而求解； （2）延长交直线l于点，证明，则，再证明即可求解； （3）过点作交，于点，，即四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证，得到，设，则，，利用勾股定理求得，再利用线段和差即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作交，于点，，    ∵， ∴，即四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即H是的中点， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴． 6．（2026·贵州六盘水·一模）当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）证明，得出即可； （2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】 （1）略 （2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， ∴在中，根据勾股定理得：， ，， ∴在中，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 7．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点的直线，，于点． 问题探究： （1）如图（1），直接写出的数量关系_____；（提示：过点作于点，与交于点） （2）当绕旋转到如图（2）位置时，、、满足什么样的数量关系，请说明理由； （3）当绕旋转到如图（3）位置时，，，求和的值． 【答案】（1）；     （2） 解：猜想：；理由如下： 过点作于点，与交于点，交于点， ∵， ∴． ∵， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ∴．     （3），．      【分析】 （1）过点作于点，与交于点，证明，则为等腰直角三角形，根据勾股定理得，根据，即可得出结论； （2）过点作于点，与交于点，交于点，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得； （3）过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，证明，则为等腰直角三角形，进而推出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理和所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：证明：如图，过点作于点，与交于点， ∵， ∴， ∵四边形内角和为，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ． ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点， ∵，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质、勾股定理等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，小明在参加骑行活动时，途中遇到一段斜坡，已知斜坡的坡度，他沿着斜坡从点A骑行到B点的路程为，则小明上升的高度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；坡度表示高度与水平距离之比为，设高度为h，则水平距离为，斜坡长为斜边，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：∵坡度， ∴设高度为h，水平距离为， ∵斜坡长， ∴由勾股定理可得：， 解得：； 即上升的高度为； 故选：C． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）某校数学实践小组利用所学数学知识测量学校旗杆的高度．测量方案及数据如下： 项目 测量旗杆的高度 方案 利用锐角三角函数，测量：的长度，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 两次平均值 测量数据 ____________ （1）测量数据表中，长度的平均值为____________ ；在中，设的长为，请用含x和的代数式表示的长为____________ ； （2）根据测量数据，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8，     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用． （1）先根据平均数公式计算平均值，再根据正切的定义作答即可； （2）根据正切的定义求出，，再根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：长度的平均值为， 在中，设的长为，则，即， 故答案为：8，； (2) 小问详解： 解：∵在中， ， 在中， ∵ 解得 答：旗杆高度约为． 3．（2026·贵州六盘水·一模）（多选）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】（1）     （2）峡谷AC的宽度约为      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； (2) 小问详解： 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 考点04 投影 1．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（       ） A. 逐渐远离路灯 B. 在路灯正下方 C. 逐渐走向路灯 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和小星的顶端并延长交平面于一点，这点到小星的底端的距离就是小星的影长，画出相应图形，比较即可． 【详解】 解：如图所示： 由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， ∵他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长， 则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯 故选：A 2．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 【答案】（1）15米；     （2）4米．      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答； （2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． (1) 小问详解： ∵，米， 米． 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：明德楼的高为15米． (2) 小问详解： 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：塑像的影长为4米． 3．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 【答案】（1）     （2）18米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． (2) 小问详解： 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 4．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）     （2）旗杆高度为；     （3）雕塑高度为．      【分析】 本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； (3) 小问详解： 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 考点05 画物体的三视图 1．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查几何体的三视图知识点，解题的关键是理解主视图是从物体的正前方观察得到的视图． 从给定彩瓷杯子的正面观察，确定其形状对应的选项． 【详解】 从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状． 故选：D． 2．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图所示的几何体，其俯视图是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】 解：由图可知：该几何体的俯视图为 ； 故选C． 3．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）某几何体的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三视图，掌握相关知识是解决问题的关键．几何体的左视图就是从左面看所得到的图形，根据左视图的定义判断即可． 【详解】 解：根据左视图的定义，C选项图形符合． 故选：C． 4．（2026·贵州六盘水·一模）下列立体图形的俯视图为圆的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据各个几何体的俯视图的形状进行判断即可． 本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提． 【详解】 解：选项中只有球的俯视图是圆， 故选：B． 5．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查从不同方向看几何体，从左面看，有2列，第1列有1个小正方形，第2列有2个小正方形，进行判断即可． 【详解】 解：从左面看到的形状图为： 故选：D． 考点06 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． （1）请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）这个几何体的表面积（包括底面）是___________．． 【答案】（1） 如图所示：      （2）26      【分析】 本题主要考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．计算方法是：从三个方向的看到的图形的面积乘以2，再加上被遮挡的两个面积之和， (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：这个几何体的表面积为： ． 2．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． （1）图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； （2）根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 【答案】（1）主视图；左视图     （2）      【分析】 本题考查简单几何体的三视图以及几何体的体积，解题的关键是掌握三视图所看的位置．也考查了正多边形的计算． （1）找到从正面和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中； （2）根据题目所给尺寸及棱柱的体积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：图① 是主视图；图② 是左视图， 故答案为：主视图；左视图； (2) 小问详解： 解：如图，过正六边形的中心点作于点， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， 即这个正六棱柱的体积为． 3．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） （1）请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，      （2）2      【分析】 本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，理解三视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；据此可画出图形． （2）结合主视图和左视图不变得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在第一层第一列的第一行添加一个小正方体，在第一层第三列的第三行添加一个小正方体，则即可保持主视图和左视图不变，即最多可以再添加2个这样的小正方体． 故答案为：2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数，投影与试图 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点04 投影 考点05 画物体的三视图 考点06 由三视图想象物体形状 考点01 正弦、余弦与正切 1．【答案】（1）3；（2） 【分析】 本题考查了零指数幂的运算，特殊角三角函数值，解一元一次不等式，熟练掌握零指数幂的运算，特殊角三角函数值及解一元一次不等式是关键． （1）先化简绝对值，零指数幂的计算及求特殊角三角函数值，再进行有理数的混合运算即可； （2）通过去括号，移项，合并同类项等步骤计算即可． 【详解】 解：（1） ； （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 2．【答案】（1）3； （2）观察解题过程可知，从第二步开始出错，错误原因是判别式计算错误， 正确过程如下： 解：∵，，； ∴； ∴ 解得，． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，接着去绝对值和计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）观察可知第二步中判别式的值计算错误，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解：（1）        ； （2）略 3．【答案】（1），；（2）的最大值为6 【分析】 （1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出； 求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出； 解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出； （2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°． 【详解】 (1)① 如图，作AE⊥PB于点E， ∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝， ∴AE＝PE＝×＝1， ∵PB＝4， ∴BE＝PB﹣PE＝3， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴AB＝＝． ② 解法一： 如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A． ∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90° ∴PP′＝PA＝2， ∴PD＝P′B＝＝＝； 解法二： 如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G． 在Rt△AEG中， 可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝． 在Rt△PFG中， 可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝． 在Rt△PDF中，可得， PD＝＝＝． (2)如图所示， 将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝   PA＝2，PB＝4， 且P、D两点落在直线AB的两侧， ∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图） 此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6． 此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°． 【点睛】 考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置． 4．【答案】（1） 小星：如图： 证明：由作图可知，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小红：如图： 证明：由作图可知，，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角函数． （1）根据做法画出图形，进而证明即可； （2）过作交于点，根据三角函数求出，根据菱形的性质得到，进而求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过作交于点， ∵，， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 5．【答案】 【分析】 本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先求得平分，作于点N，证明，求得，，再证明，求得，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，即平分， 作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点02 解直角三角形 1．C 2．A 3．【答案】（1）；     （2） 证明：，        又 又    ；     （3）12      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质： （1）根据对顶角相等，相似三角形的判定和性质解答即可； （2）相似三角形的判定和性质解答即可； （3）过点D作，交的延长线于点N．设，则，结合勾股定理可得，证明，可得，再证明，可得，从而得到，证明四边形为矩形，即可求解． (1) 小问详解： 解：，； 理由：，        又 又 ∵， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点D作，交的延长线于点N． ，， ∴设，则， ， ， ∵，， ， ，      又，， ， ， ， ， ， 而， ∴四边形为矩形， ， 的面积． 4．【答案】（1）； （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3） 【分析】 （1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，，进行边的运算，即可作答． 【详解】 解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）略 （3）∵点H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．【答案】（1）；     （2） 解：的值不变，理由如下： 延长交直线l于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键， （1）由，，则，故，，然后，可得，从而求解； （2）延长交直线l于点，证明，则，再证明即可求解； （3）过点作交，于点，，即四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证，得到，设，则，，利用勾股定理求得，再利用线段和差即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作交，于点，，    ∵， ∴，即四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即H是的中点， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴． 6．【答案】（1）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）证明，得出即可； （2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】 （1）略 （2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， ∴在中，根据勾股定理得：， ，， ∴在中，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 7．【答案】（1）；     （2） 解：猜想：；理由如下： 过点作于点，与交于点，交于点， ∵， ∴． ∵， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ∴．     （3），．      【分析】 （1）过点作于点，与交于点，证明，则为等腰直角三角形，根据勾股定理得，根据，即可得出结论； （2）过点作于点，与交于点，交于点，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得； （3）过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，证明，则为等腰直角三角形，进而推出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理和所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：证明：如图，过点作于点，与交于点， ∵， ∴， ∵四边形内角和为，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ． ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点， ∵，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质、勾股定理等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 考点03 应用举例 1．C 2．【答案】（1）8，     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用． （1）先根据平均数公式计算平均值，再根据正切的定义作答即可； （2）根据正切的定义求出，，再根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：长度的平均值为， 在中，设的长为，则，即， 故答案为：8，； (2) 小问详解： 解：∵在中， ， 在中， ∵ 解得 答：旗杆高度约为． 3．【答案】（1）     （2）峡谷AC的宽度约为      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； (2) 小问详解： 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 考点04 投影 1．A 2．【答案】（1）15米；     （2）4米．      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答； （2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． (1) 小问详解： ∵，米， 米． 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：明德楼的高为15米． (2) 小问详解： 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：塑像的影长为4米． 3．【答案】（1）     （2）18米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． (2) 小问详解： 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 4．【答案】（1）     （2）旗杆高度为；     （3）雕塑高度为．      【分析】 本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； (3) 小问详解： 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 考点05 画物体的三视图 1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 考点06 由三视图想象物体形状 1．【答案】（1） 如图所示：      （2）26      【分析】 本题主要考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．计算方法是：从三个方向的看到的图形的面积乘以2，再加上被遮挡的两个面积之和， (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：这个几何体的表面积为： ． 2．【答案】（1）主视图；左视图     （2）      【分析】 本题考查简单几何体的三视图以及几何体的体积，解题的关键是掌握三视图所看的位置．也考查了正多边形的计算． （1）找到从正面和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中； （2）根据题目所给尺寸及棱柱的体积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：图① 是主视图；图② 是左视图， 故答案为：主视图；左视图； (2) 小问详解： 解：如图，过正六边形的中心点作于点， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， 即这个正六棱柱的体积为． 3．【答案】（1） 解：如图，即为所求，      （2）2      【分析】 本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，理解三视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；据此可画出图形． （2）结合主视图和左视图不变得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在第一层第一列的第一行添加一个小正方体，在第一层第三列的第三行添加一个小正方体，则即可保持主视图和左视图不变，即最多可以再添加2个这样的小正方体． 故答案为：2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $