专题10 锐角三角函数（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题10 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（       ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）的值是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，，， ，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）在中，，若，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D. 3 11．（九上·甘肃兰州·期末）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若的顶点均是格点，则的值是（     ） A.  B. 0.5 C.  D. 2 12．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）　　　　　　． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）计算：． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）计算： （1） （2） 15．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）计算：． 16．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）计算：． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）计算：． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）（1）计算：．              （2）求中锐角α的值． 19．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）计算：； 21．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 22．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）计算： （1） （2） 23．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图 （1）如图1，在中，，在上取一点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度（点E在的内部），连结，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，求的值． 24．（九上·甘肃兰州·期末）（1）解不等式： （2） （3）解方程： 25．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）（1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 26．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）计算： （1） （2） 27．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是　　　　　　． 28．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）已知、分别与相切于点，，延长交直径的延长线于点． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，在上取一点，连接，，，当四边形是平行四边形时，求及的大小． 29．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）（1）计算： （2） 30．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是和上的动点． （1）当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； （2）当时，以C，D，N为顶点的三角形与相似，求的长． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（        ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 2．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，在中， ，若，则的值为(     ) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（九上·甘肃兰州·期末）如图，正方形ABCD的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接AE，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）在中，，，，则的度数为　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）已知在矩形纸片中，,，P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，过点E作的平行线，交于点M，交于点N． （1）【思考】如图1，当E为线段的中点时，的度数为______； （2）【探究】如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求线段的长； （3）【拓展】在点P的移动过程中，当时，连接，直接写出线段的长． 9．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，在中，，，，求的长． 10．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 12．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． （1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； （2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W：，，，；点到上的点的最小距离为，到上的点的最大距离为，则．因此在上存在点M，N，使得，则点P是的一个“2倍关联点”． （1）如图2，已知，． ①判断点______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”） ②若点是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值； （2）如图3，的圆心为原点，半径为1，若在直线l：上存在点Q是的．“2倍关联点”，求b的取值范围． 15．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图1，中，，于点H，点D在上，且，连接． （1）求证：； （2）将绕点H旋转，得到（点B，D分别与点E，F对应），连接． ①如图2，当点F落在上时（F不与C重合），若，，求的长； ②如图3，当是由绕点H逆时针旋转得到时，设射线与相交于点G，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（       ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 35米 3．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如果一个斜坡的坡角的余弦值为，那么该斜坡的坡度为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为　　　　　　　　　米． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为，2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量某塔的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离 26米 请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，） 9．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，）    （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 10．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，这是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 11．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为315米，求河的宽度．【参考数据，，】 12．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图、小华想要测量道路交通标志杆的高度（标志杆底部不可到达），首先，小华站在点处用高度为米的测倾器（即米）测得交通标志杆顶端处的仰角，然后从点沿着方向行走米到达点处（即米），此时交通标志杆在太阳光线下的影子顶端与小华在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点处，已知小华的身高米，米，，，，，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求交通标志杆的高度．（参考数据：、、） 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 14．（九上·甘肃兰州·期末）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 15．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 16．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图     说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 17．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为　　　　　　米． 18．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 31° 42° 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 19．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处．2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且．3.在点处测得塔顶的俯角为．4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握常见特殊角的三角函数值是解题关键． 利用特殊角的三角函数值，直接计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：． 2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】 解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】 本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 3．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】 解：， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 4．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，，， ，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义．根据解题即可． 【详解】 ∵在中，，， ， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】 解：， ， 在中，． 故选：C． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先画出图形，然后利用勾股定理计算出AC的长，再利用三角函数定义计算即可； 【详解】 如图，    ∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】 本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算是解题的关键． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】B 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，以及正切的定义，由矩形的性质可得出，，由正切的定义可得出，即，即可求出答案． 【详解】 解：由题意可得：为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）在中，，若，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查求正切值，勾股定理求出的长，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，若，， ， ． 故选：D． 9．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过 C 作 CD⊥AB 于 D ，首先根据勾股定理求出 AC ，然后在 RtΔACD 中即可求出 cos∠BAC 的值． 【详解】 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD＝3，CD＝4， ∴由勾股定理可知：， ∴cos∠BAC＝， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，要注意三种锐角三角函数的区别，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】 ∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 11．（九上·甘肃兰州·期末）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若的顶点均是格点，则的值是（     ） A.  B. 0.5 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理、正弦，解题的关键是正确构造直角三角形，延长到D，连接，利用勾股定理及其逆定理得到，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】 解：如图，延长到D，连接， ∵，，， ∴，则， ∴， 故选：C． 12．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：0． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）计算：． 【答案】1 【分析】 本题考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式等． 本题涉及特殊角的三角函数、零指数幂、有理数的乘方、二次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求出结果． 【详解】 解：原式 ． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】 解： ． 16．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数计算．将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】 解： ． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）计算：． 【答案】 【分析】 代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】 解：原式 ． 【点睛】 本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）（1）计算：．              （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键． 根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：如图所示： 根据三角函数值定义：， ， 在中，， ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）计算：； 【答案】 【分析】 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可． 【详解】 解：原式 ． 21．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程． （1）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质，进行计算即可求解 （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：． 22．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质、开立方运算和二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先根据特殊角的三角函数值计算，然后再根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质和开立方运算化简各项，然后根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 23．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图 （1）如图1，在中，，在上取一点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度（点E在的内部），连结，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到； （2）先证明，再由，可证明，则； （3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则． (1) 小问详解： 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（九上·甘肃兰州·期末）（1）解不等式： （2） （3）解方程： 【答案】(1) (2) 2 (3) 【分析】 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，以及含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）直接移项， 系数化为1求解即可； （2）分别化简二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的混合运算； （3）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】 解：（1） ， 解得； （2） ； （3） 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为． 25．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）（1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）． 【分析】 本题考查了二次根式的加减，含三角函数值的混合运算，用公式法、因式分解法解一元二次方程，灵活运用相关知识正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行计算； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】 （1）原式 ， ； （2）原式 ， ， ； （3） ， ， ， ， ； （4）， ， ， 或 ． 26．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式以及特殊角的三角函数值： （1）先化简根式，再算乘法，最后相减； （2）先代入特殊角的三角函数值，再分别计算各项，最后加减． (1) 小问详解： 解：， ， ， (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 27．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是　　　　　　． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】 此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】 解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 28．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）已知、分别与相切于点，，延长交直径的延长线于点． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，在上取一点，连接，，，当四边形是平行四边形时，求及的大小． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据切线长定理可得，，根据可得，根据锐角三角函数，即可求解； （2）根据圆周角定理可得，根据切线长定理，可得，即可求出的度数，进而得出，通过证明四边形为菱形，得出为等边三角形，则． (1) 小问详解： 解：∵、分别与相切于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵、分别与相切于点，， ∴，， ∴在四边形中，， 解得：， ∴， ∴， ∵、分别与相切于点，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 综上：，． 【点睛】 本题主要考查了圆的综合，解题的关键是掌握切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质． 29．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）（1）计算： （2） 【答案】（1）； （2） 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法和乘方，再算加减即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按二次根式的混合运算数序计算即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ． 30．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是和上的动点． （1）当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； （2）当时，以C，D，N为顶点的三角形与相似，求的长． 【答案】（1）     （2）的长为      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质和线段的中点的定义解答即可； （2）设，则，，利用等腰直角三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：∵三角形为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设，则，， ∵等腰直角三角形，，， ∵，，， ∵点M是的中点， ∴， ① 当时，可得：， ∴，此方程无解，不符合题意； ② 当时，可得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得，的长为． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（        ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】B 【分析】 过点作于点，设，先解直角三角形可得，从而可得，，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点， 设， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为30， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出的面积的函数表达式是解题关键． 2．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，在中， ，若，则的值为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】 解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 3．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分两段来分析：① 点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 4．（九上·甘肃兰州·期末）如图，正方形ABCD的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接AE，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴． 在△DAP与△ABQ中， ， ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵，， ∴ ， ∴， ∴=， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故② 错误； 在△CQF与△BPE中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴． 在△ADF与△DCE中， ， ∴， ∴， 即，故③ 正确； ∵， ∴． ∵， ∴==， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④ 错误． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义的综合运用，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 由可得推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为． 【详解】 解：∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 设的中点为， ∴当C、E、共线时的最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴经过点O，，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选B． 6．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）在中，，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 本题考查解直角三角形，根据，由特殊角三角函数值即可得出角度，从而求解． 【详解】 解：，，， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）已知在矩形纸片中，,，P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，过点E作的平行线，交于点M，交于点N． （1）【思考】如图1，当E为线段的中点时，的度数为______； （2）【探究】如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求线段的长； （3）【拓展】在点P的移动过程中，当时，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先根据矩形的判定与性质得到，进而，由折叠性质得，在中，利用正弦定义可求解； （2）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，，由列方程求解即可； （3）分当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时两种情况，根据折叠性质和勾股定理分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， 由折叠性质得， 在中，， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，,， ∴， 由折叠性质得，，， 由得， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：当点P在线段上时，如图， ∵，， ∴， 由折叠性质得，， ∴四边形是正方形， ∴； 当点P在线段的延长线上时，如图， 由折叠性质得，， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查矩形的性质、折叠性质、解直角三角形、平行线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质和矩形的性质，分类讨论是解答的关键． 9．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，通过作辅助线将转化为两个直角三角形是解题关键． 作，交延长线于，将转化为两个直角三角形，由得，在中，用求出，在中，利用计算出． 【详解】 解：如图，过点作交 的延长线于点， ， ， 在中，，， ， 在中，， ． 10．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）14     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ， ， 由勾股定理可得； (2) 小问详解： 解：设， ，， 由（1）知， 在中，由勾股定理， ， 解得， ，， ． 12．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接、交于点，可以证明是等边三角形，同时判断直线必过点，作于，连接，由于，于是和的长度均为定值，在中根据三角形三边关系即可求得的最小值． 【详解】 解：如图，连接与交于点，作于，连接． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， 直线将矩形的面积分成相等的两部分， 必过点， ， ， ， 、、三点在以为圆点，以为半径的圆上， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，矩形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点．判断直线必过矩形中心、判断为等边三角形、取中点构造圆是解答本题的关键． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． （1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； （2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1），     （2）或     （3）或      【分析】 （1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可； （2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分和两种情况，分别求出其临界值，从而得到b的取值范围． (1) 小问详解： 解：，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则不是直角边，故不是线段的“从属点”； ，则，故不是线段的“从属点”； 综上：线段AB的“从属点”是， (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， 点P为线段AB的“从属点”， ①时，由题意可知：， 为等腰直角三角形， ，∴， 过点P作轴，垂足为F，交y轴于点E， 可知和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：，点P的坐标为，此时； ②时，过点P作轴，垂足为G，交x轴于点H， 同理可知：， 和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：， 点P的坐标为，此时； 综上，点P的坐标为：或 (3) 小问详解： 解：如图， 由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线，，上， 当时，当点B和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点C在线段上 此时点，代入，得： 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”， 如图，当点E和M重合时， 为等腰直角三角形 可得：，即，代入，得： 而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点， 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 综上，b的取值范围是：或 【点睛】 本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W：，，，；点到上的点的最小距离为，到上的点的最大距离为，则．因此在上存在点M，N，使得，则点P是的一个“2倍关联点”． （1）如图2，已知，． ①判断点______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”） ②若点是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值； （2）如图3，的圆心为原点，半径为1，若在直线l：上存在点Q是的．“2倍关联点”，求b的取值范围． 【答案】（1）（1）① 不是，②     （2）      【分析】 （1）① 根据“2倍关联点”的定义判断即可．② 过点P作于点C，当时，点是线段的“2倍关联点”，此时m的值最小，根据定义解直角三角形，即可求出m的值． （2）由题得出交y轴于，分两种情况，① 当直线I在的左上方时，记为直线，过圆心O作于点Q，若是直线上的唯一“2倍关联点”， 此时，得出，然后判定为等腰三角形，解直角三角形得出，② 当直线l在的右下方时，记为直线，过圆心O作于点 ．同① 的方法求得，即可求出b得取值范围． (1) 小问详解： 解：① 不是， 由题意得：， ， ∵点到线段的最小距离为，最大距离为，且， ∴点不是线段AB的一个“2倍关联点”． ② 如下图，过点P作于点C． 当时，点是线段的“2倍关联点”，此时m的值最小． ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得： ∴点m的最小值为． (2) 小问详解： 如下图，交y轴于． ① 当直线I在的左上方时，记为直线， 过圆心O作于点Q， 若是直线上的唯一“2倍关联点”， 此时． ∵的半径为1， ∴ ∴． ∵直线， ∴，． ∴， ∴ ∴在中， ，． ② 当直线l在的右下方时，记为直线， 过圆心O作于点 ．同① 的方法求得． 综上，b的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与圆的综合问题，“2倍关联点”的新定义下的运算，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．理解并会运用“2倍关联点”是解题的关键. 15．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】 解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 16．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图1，中，，于点H，点D在上，且，连接． （1）求证：； （2）将绕点H旋转，得到（点B，D分别与点E，F对应），连接． ①如图2，当点F落在上时（F不与C重合），若，，求的长； ②如图3，当是由绕点H逆时针旋转得到时，设射线与相交于点G，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）①； ② 结论：． 如图， ∵是由绕点H逆时针旋转得到， ∴， ∴， 由① 有，和都为等腰三角形， ∴， ∴， ∴点C，H，G，A四点共圆， ∴， 设与交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵是由绕点H逆时针旋转得到， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 即：．      【分析】 （1）先判断出，再判断出即可； （2）① 先根据，求出，然后根据，得到，，可得结论； ② 先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 略 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据勾股定理求出，再根据坡面坡度等于即可得出答案． 本题考查了坡度的定义，坡度， 【详解】 解：在中，，，， ∴， ∴桥的坡面AC的坡度， 故选D． 2．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（       ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 35米 【答案】A 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡比问题，设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米，由题意得出，求解即可得出答案． 【详解】 解：斜坡的坡度为， 设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米， 由题意得：， 解得：， 此时该小车离水平面的垂直高度为25米， 故选：A． 3．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可． 【详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴杯中水的最大深度为． 故选：B． 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如果一个斜坡的坡角的余弦值为，那么该斜坡的坡度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，特殊角的三角函数值，设坡角为，由余弦值为得，最后通过斜坡的坡度，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设坡角为， ∵一个斜坡的坡角的余弦值为， ∴， ∴， ∴该斜坡的坡度为， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，由题意得：斜坡的坡度：米，， ， 米， ∴在中， （米） 故答案为：． 【点睛】 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为，2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】甘州木塔的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键． 设的长为，则，分别根据三角函数值表示，再列方程求解． 【详解】 解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 设的长为，则 在中，， ， 在中，， ， ∴ 解得， ， ∴， 甘州木塔的高度约为． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量某塔的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离 26米 请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，） 【答案】米 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，据此的性质与判定，设为米，则米，在中可以得出，在中，可以得到，再列方程即可求解． 【详解】 解：由题意得，米，，，四边形，，为矩形，则米，                                    设为米，则米， 在中，，即，解得， 在中，，即， 解得， ∴， 解得， ∴（米），                                                          答：白塔的高约为米． 9．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，）    （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 【答案】（1）的长约为8米；     （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． (1) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，    由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； (2) 小问详解： 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 10．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，这是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】最大宽度为 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握角的三角函数是解题关键． 通过作辅助线，构造含角的直角三角形，利用角的三角函数求出、的长度，最后将、、相加即可得到可通过物体的最大宽度． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ， 同理，在中，， 端点与之间的距离为， 可通过闸机的物体的最大宽度为． 答：最大宽度为． 11．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点，以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为315米，求河的宽度．【参考数据，，】 【答案】河宽约为 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，通过作高构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系即可求出答案，掌握直角三角形的边角关系及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 【详解】 解：如图，过点作于， 在中，， ， ， 同理，， ，即，而，， ， 解得， 即河宽约为． 12．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图、小华想要测量道路交通标志杆的高度（标志杆底部不可到达），首先，小华站在点处用高度为米的测倾器（即米）测得交通标志杆顶端处的仰角，然后从点沿着方向行走米到达点处（即米），此时交通标志杆在太阳光线下的影子顶端与小华在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点处，已知小华的身高米，米，，，，，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求交通标志杆的高度．（参考数据：、、） 【答案】约米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，由题意可得米，，，设米，则米，解得米，再根据求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，米，，， 设米，则米， 在中，， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， 答：交通标志杆的高度约为米． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 14．（九上·甘肃兰州·期末）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，延长CE交AB于G，根据题意得，，，，，，，．根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：如图，延长交于G． 由题意：，，，，，，． ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中，，， 设，． ∵，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． 所以，教学楼的高度约为. 15．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长为210米；     （2）黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．      【分析】 本题考查了含30度的三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念． （1）在中，根据，可得即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， 米， ∴的长为210米； (2) 小问详解： 解：，， ∴，     ∴四边形是矩形，，米，米， 在中，， ∴米， ∴米． ∴黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米． 16．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图     说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【分析】 过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】 解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，．        ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 17．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为　　　　　　米． 【答案】26 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作，，由，可设，，结合，利用勾股定理可求得x的值，再根据等腰三角形的性质可得出，进一步即可得出． 【详解】 解：如图，过点A作于点E，过点A作，交延长线于点F， 由， 可设，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 则，， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， 故答案为：26． 18．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 31° 42° 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】 如图，延长交于，设 利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案． 【详解】 解：如图，延长交于， 由题意得： 设 由 由 经检验：符合题意， “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 【点睛】 本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 19．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为     （2）慈氏塔的高度约为      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； (2) 小问详解： 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处．2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且．3.在点处测得塔顶的俯角为．4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 【答案】的高度为米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】 解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11．C 12．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：0． 13．【答案】1 【分析】 本题考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式等． 本题涉及特殊角的三角函数、零指数幂、有理数的乘方、二次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求出结果． 【详解】 解：原式 ． 14．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】 解： ． 16．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数计算．将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】 解： ． 17．【答案】 【分析】 代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】 解：原式 ． 【点睛】 本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 18．【答案】（1）（2） 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】1 【分析】 根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键． 根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：如图所示： 根据三角函数值定义：， ， 在中，， ， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可． 【详解】 解：原式 ． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程． （1）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质，进行计算即可求解 （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质、开立方运算和二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先根据特殊角的三角函数值计算，然后再根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值性质和开立方运算化简各项，然后根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到； （2）先证明，再由，可证明，则； （3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则． (1) 小问详解： 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．【答案】(1) (2) 2 (3) 【分析】 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，以及含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）直接移项， 系数化为1求解即可； （2）分别化简二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的混合运算； （3）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】 解：（1） ， 解得； （2） ； （3） 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为． 25．【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）． 【分析】 本题考查了二次根式的加减，含三角函数值的混合运算，用公式法、因式分解法解一元二次方程，灵活运用相关知识正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行计算； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】 （1）原式 ， ； （2）原式 ， ， ； （3） ， ， ， ， ； （4）， ， ， 或 ． 26．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了二次根式以及特殊角的三角函数值： （1）先化简根式，再算乘法，最后相减； （2）先代入特殊角的三角函数值，再分别计算各项，最后加减． (1) 小问详解： 解：， ， ， (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 27．【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】 此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】 解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 28．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据切线长定理可得，，根据可得，根据锐角三角函数，即可求解； （2）根据圆周角定理可得，根据切线长定理，可得，即可求出的度数，进而得出，通过证明四边形为菱形，得出为等边三角形，则． (1) 小问详解： 解：∵、分别与相切于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵、分别与相切于点，， ∴，， ∴在四边形中，， 解得：， ∴， ∴， ∵、分别与相切于点，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 综上：，． 【点睛】 本题主要考查了圆的综合，解题的关键是掌握切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质． 29．【答案】（1）； （2） 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法和乘方，再算加减即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按二次根式的混合运算数序计算即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ． 30．【答案】（1）     （2）的长为      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质和线段的中点的定义解答即可； （2）设，则，，利用等腰直角三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：∵三角形为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设，则，， ∵等腰直角三角形，，， ∵，，， ∵点M是的中点， ∴， ① 当时，可得：， ∴，此方程无解，不符合题意； ② 当时，可得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 综上可得，的长为． 考点02 解直角三角形 1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 7．【答案】<度 【分析】 本题考查解直角三角形，根据，由特殊角三角函数值即可得出角度，从而求解． 【详解】 解：，，， ∴ ∴ 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先根据矩形的判定与性质得到，进而，由折叠性质得，在中，利用正弦定义可求解； （2）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，，由列方程求解即可； （3）分当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时两种情况，根据折叠性质和勾股定理分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， 由折叠性质得， 在中，， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，,， ∴， 由折叠性质得，，， 由得， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：当点P在线段上时，如图， ∵，， ∴， 由折叠性质得，， ∴四边形是正方形， ∴； 当点P在线段的延长线上时，如图， 由折叠性质得，， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查矩形的性质、折叠性质、解直角三角形、平行线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质和矩形的性质，分类讨论是解答的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，通过作辅助线将转化为两个直角三角形是解题关键． 作，交延长线于，将转化为两个直角三角形，由得，在中，用求出，在中，利用计算出． 【详解】 解：如图，过点作交 的延长线于点， ， ， 在中，，， ， 在中，， ． 10．【答案】（1）14     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ， ， 由勾股定理可得； (2) 小问详解： 解：设， ，， 由（1）知， 在中，由勾股定理， ， 解得， ，， ． 12．【答案】 【分析】 连接、交于点，可以证明是等边三角形，同时判断直线必过点，作于，连接，由于，于是和的长度均为定值，在中根据三角形三边关系即可求得的最小值． 【详解】 解：如图，连接与交于点，作于，连接． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， 直线将矩形的面积分成相等的两部分， 必过点， ， ， ， 、、三点在以为圆点，以为半径的圆上， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，矩形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点．判断直线必过矩形中心、判断为等边三角形、取中点构造圆是解答本题的关键． 13．【答案】（1），     （2）或     （3）或      【分析】 （1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可； （2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分和两种情况，分别求出其临界值，从而得到b的取值范围． (1) 小问详解： 解：，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则不是直角边，故不是线段的“从属点”； ，则，故不是线段的“从属点”； 综上：线段AB的“从属点”是， (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， 点P为线段AB的“从属点”， ①时，由题意可知：， 为等腰直角三角形， ，∴， 过点P作轴，垂足为F，交y轴于点E， 可知和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：，点P的坐标为，此时； ②时，过点P作轴，垂足为G，交x轴于点H， 同理可知：， 和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：， 点P的坐标为，此时； 综上，点P的坐标为：或 (3) 小问详解： 解：如图， 由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线，，上， 当时，当点B和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点C在线段上 此时点，代入，得： 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”， 如图，当点E和M重合时， 为等腰直角三角形 可得：，即，代入，得： 而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点， 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 综上，b的取值范围是：或 【点睛】 本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析． 14．【答案】（1）（1）① 不是，②     （2）      【分析】 （1）① 根据“2倍关联点”的定义判断即可．② 过点P作于点C，当时，点是线段的“2倍关联点”，此时m的值最小，根据定义解直角三角形，即可求出m的值． （2）由题得出交y轴于，分两种情况，① 当直线I在的左上方时，记为直线，过圆心O作于点Q，若是直线上的唯一“2倍关联点”， 此时，得出，然后判定为等腰三角形，解直角三角形得出，② 当直线l在的右下方时，记为直线，过圆心O作于点 ．同① 的方法求得，即可求出b得取值范围． (1) 小问详解： 解：① 不是， 由题意得：， ， ∵点到线段的最小距离为，最大距离为，且， ∴点不是线段AB的一个“2倍关联点”． ② 如下图，过点P作于点C． 当时，点是线段的“2倍关联点”，此时m的值最小． ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得： ∴点m的最小值为． (2) 小问详解： 如下图，交y轴于． ① 当直线I在的左上方时，记为直线， 过圆心O作于点Q， 若是直线上的唯一“2倍关联点”， 此时． ∵的半径为1， ∴ ∴． ∵直线， ∴，． ∴， ∴ ∴在中， ，． ② 当直线l在的右下方时，记为直线， 过圆心O作于点 ．同① 的方法求得． 综上，b的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与圆的综合问题，“2倍关联点”的新定义下的运算，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．理解并会运用“2倍关联点”是解题的关键. 15．【答案】4 【分析】 根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】 解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 16．【答案】（1） 证明：在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）①； ② 结论：． 如图， ∵是由绕点H逆时针旋转得到， ∴， ∴， 由① 有，和都为等腰三角形， ∴， ∴， ∴点C，H，G，A四点共圆， ∴， 设与交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵是由绕点H逆时针旋转得到， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 即：．      【分析】 （1）先判断出，再判断出即可； （2）① 先根据，求出，然后根据，得到，，可得结论； ② 先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 略 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用． 考点03 应用举例 1．D 2．A 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，特殊角的三角函数值，设坡角为，由余弦值为得，最后通过斜坡的坡度，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设坡角为， ∵一个斜坡的坡角的余弦值为， ∴， ∴， ∴该斜坡的坡度为， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，由题意得：斜坡的坡度：米，， ， 米， ∴在中， （米） 故答案为：． 【点睛】 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 6．【答案】白塔的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 7．【答案】甘州木塔的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键． 设的长为，则，分别根据三角函数值表示，再列方程求解． 【详解】 解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 设的长为，则 在中，， ， 在中，， ， ∴ 解得， ， ∴， 甘州木塔的高度约为． 8．【答案】米 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，据此的性质与判定，设为米，则米，在中可以得出，在中，可以得到，再列方程即可求解． 【详解】 解：由题意得，米，，，四边形，，为矩形，则米，                                    设为米，则米， 在中，，即，解得， 在中，，即， 解得， ∴， 解得， ∴（米），                                                          答：白塔的高约为米． 9．【答案】（1）的长约为8米；     （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． (1) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，    由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； (2) 小问详解： 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 10．【答案】最大宽度为 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握角的三角函数是解题关键． 通过作辅助线，构造含角的直角三角形，利用角的三角函数求出、的长度，最后将、、相加即可得到可通过物体的最大宽度． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ， 同理，在中，， 端点与之间的距离为， 可通过闸机的物体的最大宽度为． 答：最大宽度为． 11．【答案】河宽约为 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，通过作高构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系即可求出答案，掌握直角三角形的边角关系及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 【详解】 解：如图，过点作于， 在中，， ， ， 同理，， ，即，而，， ， 解得， 即河宽约为． 12．【答案】约米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，由题意可得米，，，设米，则米，解得米，再根据求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，米，，， 设米，则米， 在中，， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， 答：交通标志杆的高度约为米． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 14．【答案】 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，延长CE交AB于G，根据题意得，，，，，，，．根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：如图，延长交于G． 由题意：，，，，，，． ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中，，， 设，． ∵，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． 所以，教学楼的高度约为. 15．【答案】（1）的长为210米；     （2）黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．      【分析】 本题考查了含30度的三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念． （1）在中，根据，可得即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， 米， ∴的长为210米； (2) 小问详解： 解：，， ∴，     ∴四边形是矩形，，米，米， 在中，， ∴米， ∴米． ∴黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米． 16．【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【分析】 过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】 解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，．        ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 17．【答案】26 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作，，由，可设，，结合，利用勾股定理可求得x的值，再根据等腰三角形的性质可得出，进一步即可得出． 【详解】 解：如图，过点A作于点E，过点A作，交延长线于点F， 由， 可设，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 则，， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， 故答案为：26． 18．【答案】 【分析】 如图，延长交于，设 利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案． 【详解】 解：如图，延长交于， 由题意得： 设 由 由 经检验：符合题意， “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 【点睛】 本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 19．【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为     （2）慈氏塔的高度约为      【分析】 本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； (2) 小问详解： 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 20．【答案】的高度为米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】 解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $