专题07 相似（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期

专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．A 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．A 12．D 13．【答案】（1）； （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【分析】 分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】 解：（1）， ． （2）略 【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 14．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】 解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 15．【答案】4 【分析】 本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 16．【答案】、、 【分析】 设，根据，求得，即可求得△ABC三边的长． 【详解】 解：设，则、、 又∵ ∴ 解得 ∴、、 【点睛】 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的有关性质是解题的关键． 17．【答案】（1）甲，乙     （2） 解：方案：长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 解得， ∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．      【分析】 本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． （1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，构造方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵图甲和图丙中，图丙和图乙中， ∴图甲和图丙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图乙中， ∴图甲和图乙的长与宽成比例， 故答案为：甲，乙； (2) 小问详解： 略 18．【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 19．【答案】（1） 解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为．     （2） 如图，点P即为的黄金分割点． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．D 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 6．【答案】10 【分析】 根据可得，求出，再根据可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握一组平行线被两条直线所截的线段成比例． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理解答即可； （2）根据平行线分线段成比例定理解答即可. (1) 小问详解： 解：∵，，，， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴. 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．【答案】15 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例求出，再计算的长即可． 【详解】 解：∵ ， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．【答案】（1） 解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ．     （2） 解：如图所示，即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1）① （答案不唯一）     （2） 证明：∵，， ∴      【分析】 （1）由相似三角形的判定可得出答案； （2）由题意得出，根据相似三角形的判定可得出结论． (1) 小问详解： ① （答案不唯一） (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 13．【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 14．【答案】（1） 证明：∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 15．【答案】（1） 依题意，如图所示：      （2）方案一：；方案二：；方案三：      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行作图即可； （2）结合（1）的相似分割线，进行分析，证明与相似，再代入数值计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方案一：作，如图所示： ∴， ， ， ∵在中，，， ， ，， ， ； 方案二，作，垂足为D ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， 方案三： 作，垂足为点E， ， 又， ， ， ， ． 16．【答案】（1）     （2） 证明：， ．              ， ．                          【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，根据平行线分线段成比例等量可得，代入数据计算即可； （2）因为，所以，因为，代换可得，则可证． (1) 小问详解： 解：， ，                   ， ．                   ； (2) 小问详解： 略 17．【答案】(1)cm;(2) 【详解】试题分析：(1) 根据平行线分线段成比例定理得到,求得AF的长度. (2)由三角形相似可得，求得AC的长度，再根据FC＝AC-AF求得FC的长度. 试题解析： （1）∵EF∥BC， ∴， 又∵AE=7cm，EB=5cm，FC=4cm， ∴AF＝. (2) ∵EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF, ∴, 又∵AB=10cm，AE=6cm，AF=5cm， ∴AC＝， 又∵FC＝AC-AF， ∴FC＝. 18．【答案】（1）4     （2）     （3）或      【分析】 （1）由折叠的性质得：，即，证明，得到，则； （2）当时，此时点，，三点共线，证，得，设，则，，，再由勾股定理得，然后证，得，解得，即可解决问题； （3）分类讨论，①当时，②当时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，交于点， 由折叠的性质得：，即， ， ， ， 解得：， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：由折叠和矩形的性质可得，，        当时，， ∴此时点，，三点共线， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ，， ， ，即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． (3) 小问详解： 解：不与，重合, ①当时，如图5， ∵， ∴    ∴， ， 设，则， ，，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ，即， 解得：， ； ②当时，如图6， 同理可得，    ， ， 由折叠的性质得：，， 设，则， ，，，， ， 同②得：， ， 解得：， ； 综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．【答案】（1）证明:∵， ∴． （2）3； （3） 【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】 解：（1）略 （2）共有3组相似三角形，线段的数量关系为，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共有3组相似三角形，线段的数量关系为． 故答案为：3；； （3）由（2）可知，，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）     （3）存在，坐标为或      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）作交于N，交于M，则，得到，求出，设，求出的坐标为，根据待定系数法求解即可； （3）设，过点P作直线轴交于点E，则，求出，根据列方程求解，即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点， ； (2) 小问详解： 解：如图，作交于N，交于M， ∴， ∴ ∴， 即 ， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得， 的坐标为． 设直线表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下 设，过点P作直线轴交于点E，则， 又 解得：， 当时， 当时，； 的坐标为或 21．【答案】（1） 证明：，为直角三角形， ， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 为的中点，          （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形． （1）利用可证，利用全等三角形对应边相等可证结论成立； （2）过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，由勾股定理可知，因为，所以可得：； （3）当点在延长线上时，过点作交于点，可证：、，根据相似三角形的性质可证，由勾股定理可得，可得；当点在线段上时，连接，过点作交于点，可证、，利用相似三角形的性质可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，过点作， ，， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，      在中，， ， 同法可求， ， ， ， ；    (3) 小问详解： 解：当点在延长线上时，如下图所示，过点作交于点， ，， ，， 又， ， ， ， 又在中， ， ， 又，， ， 又在中，， ； 当点在线段上时，如下图所示，连接，过点作交于点， ，， ，， 又， ，， 在中，， 在中，， 又， ， ， 综上可知． 22．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， 平行于， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质得到相似； （2）利用相似三角形得到相似比即可算出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）当时，成立，理由如下： 如图所示，在的延长线上取点，使，则．    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由矩形的性质得出，由角的互余关系得出，即可得出； （2）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出．由平行四边形的性质得出，，证出，得出，因此．证明，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，        ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，∴，∴， ∴，即，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵，∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键． 24．【答案】（1）； （2）证明：，， ． ， ， ， ； （3） 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出． （1）根据同角的余角相等得到，根据平行线的性质得到，根据两角相等的两个三角形相似证明结论； （2）根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】 解：（1）， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）同探究的方法得出，， ， 点是边的中点， ， ， ， 解得， ， ， ， ，， 在中，． 25．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和正方形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 当四个点在三角形的边上时面积为最大，对此进行分类讨论进行求解面积进行比较即可． 【详解】 解：当正方形为下图的情况时， ∵四边形为正方形， ∴设，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的面积为， 当正方形为下图的情况时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴面积最大的正方形的边长是， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 如图，延长交于点Q．由正方形的性质可证明可得，，设，，则，，正方形边长为，即．结合折叠的性质可得．，；再在和中运用勾股定理求得、，最后求比即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点Q， ∵， ∴． ∴， ∴，， ∴， 设，，则，，正方形边长为， ∴， ∵将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点落在点处，与交于点，折痕分别与边交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得（舍），， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】 正确作出辅助线构造相似三角形以及弄清线段间的关系是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．A 8．【答案】（1） 如图所示，点E即为所求；         （2）      【分析】 本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键． （1）过点作的垂线，即可确定点； （2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 9．【答案】乙 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得点P到的距离与的比等于点C到的距离为与的比，据此结合网格的特点求出点P到的距离即可得到答案． 【详解】 解：由网格的特点可知，且点C到的距离为6， ∴点C到的距离与的比为， ∵， ∴点P到的距离与的比等于点C到的距离与的比，即为， ∵， ∴点P到的距离为3， ∴由网格的特点可知， 点的位置可以是乙， 故答案为：乙． 10．【答案】（1），     （2）不存在时间t，使得，理由： ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在时间t，使得；     （3）或      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键． （1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长； （2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可； （3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，． 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时， 则， ∴， 解得； 当时， 则， ∴， 解得． 综上可知，当t的值为或时，与相似． 11．【答案】（1） 证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形可得，，，推出，即可证明； （2）先证明，再根据，，得到，最后证明，得到. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在等边三角形中，当点是中点时， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∵中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ．     （2） 证明：由（1）得， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】 （1）略 （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 14．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）证明：∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【分析】 （1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 15．【答案】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）解：四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）DH＝1+ 【分析】 （1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】 能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 3．【答案】12 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ∵尺，尺，尺， ， 尺， 故答案为：12． 4．【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 5．【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】 根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】 解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】 此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 6．【答案】任务一：；任务二： 【分析】 本题考查相似三角形性质和判定的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：由题意，的长为，，，则可表示； 任务二：可证，，则，因为，所以可得，设列方程即可求得，再根据可求长，则可求． 【详解】 解：任务一：的长为，，， 故答案为：；              任务二：， ． ， ． ， 同理：． ．                     ， ． ， ． ．                   ． ， 即， ， ， ， ∴旗杆的高为． 考点06 位似 1．D 2．D 3．B 4．D 5．【答案】（1） 如图，即为所求；         （2） 如图，即为所求；         （3）      【分析】 （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再首尾相连即可； （2）根据位似变换的性质分别作出的对应点，再首尾相连即可； （3）根据点的位置，写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，的对应点．    故答案为：． 【点睛】 本题考查作图—位似变换，作图—平移变换等知识，解题的关键是掌握平移和位似的性质． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知，，，是成比例线段，若，，，则（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）黄金分割在生活中应用比较广泛．某校舞台的长为10米，在举办纪念“12·9”运动文艺汇演活动中，主持人站在黄金分割点处最自然得体，那么线段的长约为（       ） A. 0.382米 B. 0.618米 C. 3.82米 D. 6.18米 4．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的为（        ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 7．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（     ） A.  B. 3 C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知点C是线段延长线上一点，且，那么为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）下列各线段的长度成比例的是（       ） A. 2、5、6、8 B. 1、2、3、4 C. 3、6、7、9 D. 3、6、9、18 13．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 14．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为　　　　　米．（结果保留根号的形式） 15．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长． 17．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） （2）改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 18．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若，则　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．     这一画图过程体现的数学依据是（       ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，，若，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 6．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，，，，，，则线段长为　　　　． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，，，，， （1）求的长； （2）的值． 9．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求的长． （2）如果，求的长． 10．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（       ） A. 3组 B. 2组 C. 1组 D. 0组 5．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，，点P在上，，，若的面积为5，则的面积是（       ） A.  B. 10 C. 9 D.  8．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，是的角平分线，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）在矩形中，点为中点，点为中点，连接交于点，若，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 8 D.  11．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： （1）求证：． （2）画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 12．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． （1）请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； （2）写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 13．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 14．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）求的值． 15．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）从直角三角形斜边上一点引出一条射线与直角边相交，这点与交点之间的线段把这个直角三角形分割成一个小三角形和一个四边形，如果分得的小三角形与原直角三角形相似，我们把这条线段叫做这个直角三角形的相似分割线．如图，在中，D是边上的一点，，，，． （1）请画出图中所有的相似分割线（画出示意图即可）； （2）请在你画出的图形中，选择一种计算的长度． 16．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接交于点，且． （1）若，求CE的长； （2）求证：． 17．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）如图所示,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC． (1)如果AE=7cm，EB=5cm，FC=4cm，那么AF的长是多少? (2)如果AB=10cm，AE=6cm，AF=5cm，那么FC的长是多少? 18．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图1，在矩形中，，点分别是边上的动点（不与，重合），． 将沿直线对折，点对应点为点，连接．    （1）如图2，当点落在对角线上时，则的长为__________； （2）如图3，当时，求的长； （3）若直线交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 19．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图1，在中，D，E分别是边上的点，且，易证． 【探究】如图2，在中，点D与点B重合，且． （1）求证：； （2）如图3，当时，则图中共有______组相似三角形，线段之间的数量关系为______； 【应用】 （3）如图4，在中，，作于点D，于点E，于点F．若，，求的值． 20．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，已知点A的坐标为，反比例函数的图象经过点A，过点A作直线交x轴于点B，交反比例函数的图象于点C． （1）求k的值； （2）若，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，位于点A与点C之间的部分反比例函数图象上是否存在一点P，使的面积等于，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）问题情境：在中，，点在上． （1）如图①，作，，连接交于点，求证：点是的中点； （2）如图②，若点在的延长线上，且，请探究与之间的数量关系； （3）如图③，在中，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，连接，当线段与线段交于点，且满足时．请探究与之间的数量关系． 22．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）中，，交于． （1）求证：； （2），求． 23．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点． （1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论； （3）如图③，若，，，，请直接写出的值． 24．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如本题图1，在四边形中，，，点在边上，当时． （1）可知___________（不要求证明）． 探究： （2）如本题图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． 拓展： （3）如本题图3，在中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长． 25．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在中，，这个直角三角形上可以剪出一个面积最大的正方形的边长是　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点落在点处，与交于点，折痕分别与边交于点，连接．若，则的值是　　　　　　　　　　　． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，已知，若，则的长为（   ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝，则此三角形移动的距离PP′是(     ) A.  B.  C. 1 D. -1 4．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）已知与相似，相似比为，的周长是，的周长（            ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（     ） A. 3或1 B. 或 C.  D. 或 7．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（       ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 8．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，在中，，平分交于点D．    （1）在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 9．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，棋盘上有三颗白子与六颗黑子，要使，则点的位置可以是　　　　　．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 10．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，_______； （2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，与相似． 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在等边三角形中，点是边上一点，以为一边向右作等边三角形，与交于点．连接． （1）证明：； （2）当点是中点时，，求线段长． 12．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． （1）求证：； （2）求证： 13．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 14．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）（多选）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 15．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·贵州六盘水·一模）如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口点B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点D观察同在井水水面和井壁上的点C，视线与井口的直径交于点E（点A，B，C，D，E在同一平面上），如果测得尺，尺，尺，那么　　　尺． 4．（2026·贵州六盘水·一模）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高　　　　　m． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）（多选）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 6．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到，则点的对应点的坐标为（　　） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（       ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为．    （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在第四象限将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点是的中点，经过（1）、（2）两次变换，的对应点的坐标是______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】 解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：A． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知，，，是成比例线段，若，，，则（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】 解：∵、、、是成比例线段，，，， ∴，即， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）黄金分割在生活中应用比较广泛．某校舞台的长为10米，在举办纪念“12·9”运动文艺汇演活动中，主持人站在黄金分割点处最自然得体，那么线段的长约为（       ） A. 0.382米 B. 0.618米 C. 3.82米 D. 6.18米 【答案】D 【分析】 本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】 解：∵，米， ∴（米）， 故选：D． 4．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点定义进行求解即可． 【详解】 解：根据黄金分割点可得， ∵，， ∴， ∴的长是， 故选：A． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的相似比等于对应边的比即可得解，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵矩形矩形，且，， ∴矩形与矩形的相似比为， 故选：A． 6．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的为（        ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】 解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（     ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为整条线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】 解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故选：A． 8．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知点C是线段延长线上一点，且，那么为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求解线段长度的知识及比例的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，然后得出各线段长度之间的关系即可得出答案．根据题意画出图形，然后设，从而可求出，继而可得出答案． 【详解】 解：∵点C是线段延长线上一点，且，如下图， 设， ， ， 故选：B． 9．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：A． 10．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】 解：A、，这四条线段不成比例，故不符合题意； B、，这四条线段成比例，故符合题意； C、，这四条线段不成比例，故不符合题意； D、，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选B． 11．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质列方程是解题的关键． 利用比例线段得到，然后根据比例性质求，即可解答． 【详解】 解：，即， ， ． 经检验是原方程的解， 故选：A． 12．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）下列各线段的长度成比例的是（       ） A. 2、5、6、8 B. 1、2、3、4 C. 3、6、7、9 D. 3、6、9、18 【答案】D 【分析】 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、2×8≠5×6，故本选项错误； B、1×4≠2×3，故本选项错误； C、3×9≠6×7，故本选项错误； D、3×18=6×9，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】 考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 13．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【分析】 分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】 解：（1）， ． （2）略 【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 14．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为　　　　　米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】 解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长． 【答案】、、 【分析】 设，根据，求得，即可求得△ABC三边的长． 【详解】 解：设，则、、 又∵ ∴ 解得 ∴、、 【点睛】 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的有关性质是解题的关键． 17．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） （2）改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【答案】（1）甲，乙     （2） 解：方案：长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 解得， ∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．      【分析】 本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． （1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，构造方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵图甲和图丙中，图丙和图乙中， ∴图甲和图丙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图乙中， ∴图甲和图乙的长与宽成比例， 故答案为：甲，乙； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 19．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为．     （2） 如图，点P即为的黄金分割点． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．     这一画图过程体现的数学依据是（       ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】 根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】 解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】 本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，，若，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，然后代入即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】 解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ，即， 解得． 故选：B． 4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例的定理．根据平行线分线段成比例可得，代入数据求得，进一步计算即可求解． 【详解】 解：∵，，， ，即， ∴， 解得：， 故选：A． 5．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 6．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，，，，，，则线段长为　　　　． 【答案】10 【分析】 根据可得，求出，再根据可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握一组平行线被两条直线所截的线段成比例． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故答案为：． 8．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，，，，， （1）求的长； （2）的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理解答即可； （2）根据平行线分线段成比例定理解答即可. (1) 小问详解： 解：∵，，，， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴. 9．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求的长． （2）如果，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例求出，再计算的长即可． 【详解】 解：∵ ， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（       ） A. 3组 B. 2组 C. 1组 D. 0组 【答案】A 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 5．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可得，，再证明是等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案． 【详解】 解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质． 6．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】 解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；        C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，，点P在上，，，若的面积为5，则的面积是（       ） A.  B. 10 C. 9 D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解本题的关键． 设，则，可得，再证明，可求得，，得出，最后用三角形面积法求解即可． 【详解】 解：设，则， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，是的角平分线，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得到，证明得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】 解：， 平分， ∴， ； ∵ 设，则， ， 解得(不符合题意，舍去)或， ， 故选：B. 9．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故选：C． 10．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）在矩形中，点为中点，点为中点，连接交于点，若，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 8 D.  【答案】B 【分析】 延长交的延长线于H，设，则，证明，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：延长交的延长线于H， ∵在矩形中，，， ∴，， ∵点F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形，中点等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找相似三角形，并学会利用参数构建方程． 11．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： （1）求证：． （2）画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【答案】（1） 解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ．     （2） 解：如图所示，即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． （1）请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； （2）写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】（1）① （答案不唯一）     （2） 证明：∵，， ∴      【分析】 （1）由相似三角形的判定可得出答案； （2）由题意得出，根据相似三角形的判定可得出结论． (1) 小问详解： ① （答案不唯一） (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 13．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 14．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 15．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）从直角三角形斜边上一点引出一条射线与直角边相交，这点与交点之间的线段把这个直角三角形分割成一个小三角形和一个四边形，如果分得的小三角形与原直角三角形相似，我们把这条线段叫做这个直角三角形的相似分割线．如图，在中，D是边上的一点，，，，． （1）请画出图中所有的相似分割线（画出示意图即可）； （2）请在你画出的图形中，选择一种计算的长度． 【答案】（1） 依题意，如图所示：      （2）方案一：；方案二：；方案三：      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行作图即可； （2）结合（1）的相似分割线，进行分析，证明与相似，再代入数值计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方案一：作，如图所示： ∴， ， ， ∵在中，，， ， ，， ， ； 方案二，作，垂足为D ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， 方案三： 作，垂足为点E， ， 又， ， ， ， ． 16．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接交于点，且． （1）若，求CE的长； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：， ．              ， ．                          【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，根据平行线分线段成比例等量可得，代入数据计算即可； （2）因为，所以，因为，代换可得，则可证． (1) 小问详解： 解：， ，                   ， ．                   ； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）如图所示,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC． (1)如果AE=7cm，EB=5cm，FC=4cm，那么AF的长是多少? (2)如果AB=10cm，AE=6cm，AF=5cm，那么FC的长是多少? 【答案】(1)cm;(2) 【详解】试题分析：(1) 根据平行线分线段成比例定理得到,求得AF的长度. (2)由三角形相似可得，求得AC的长度，再根据FC＝AC-AF求得FC的长度. 试题解析： （1）∵EF∥BC， ∴， 又∵AE=7cm，EB=5cm，FC=4cm， ∴AF＝. (2) ∵EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF, ∴, 又∵AB=10cm，AE=6cm，AF=5cm， ∴AC＝， 又∵FC＝AC-AF， ∴FC＝. 18．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图1，在矩形中，，点分别是边上的动点（不与，重合），． 将沿直线对折，点对应点为点，连接．    （1）如图2，当点落在对角线上时，则的长为__________； （2）如图3，当时，求的长； （3）若直线交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4     （2）     （3）或      【分析】 （1）由折叠的性质得：，即，证明，得到，则； （2）当时，此时点，，三点共线，证，得，设，则，，，再由勾股定理得，然后证，得，解得，即可解决问题； （3）分类讨论，①当时，②当时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，交于点， 由折叠的性质得：，即， ， ， ， 解得：， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：由折叠和矩形的性质可得，，        当时，， ∴此时点，，三点共线， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ，， ， ，即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． (3) 小问详解： 解：不与，重合, ①当时，如图5， ∵， ∴    ∴， ， 设，则， ，，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ，即， 解得：， ； ②当时，如图6， 同理可得，    ， ， 由折叠的性质得：，， 设，则， ，，，， ， 同②得：， ， 解得：， ； 综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图1，在中，D，E分别是边上的点，且，易证． 【探究】如图2，在中，点D与点B重合，且． （1）求证：； （2）如图3，当时，则图中共有______组相似三角形，线段之间的数量关系为______； 【应用】 （3）如图4，在中，，作于点D，于点E，于点F．若，，求的值． 【答案】（1）证明:∵， ∴． （2）3； （3） 【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】 解：（1）略 （2）共有3组相似三角形，线段的数量关系为，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共有3组相似三角形，线段的数量关系为． 故答案为：3；； （3）由（2）可知，，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）如图，已知点A的坐标为，反比例函数的图象经过点A，过点A作直线交x轴于点B，交反比例函数的图象于点C． （1）求k的值； （2）若，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，位于点A与点C之间的部分反比例函数图象上是否存在一点P，使的面积等于，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，坐标为或      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）作交于N，交于M，则，得到，求出，设，求出的坐标为，根据待定系数法求解即可； （3）设，过点P作直线轴交于点E，则，求出，根据列方程求解，即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点， ； (2) 小问详解： 解：如图，作交于N，交于M， ∴， ∴ ∴， 即 ， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得， 的坐标为． 设直线表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下 设，过点P作直线轴交于点E，则， 又 解得：， 当时， 当时，； 的坐标为或 21．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）问题情境：在中，，点在上． （1）如图①，作，，连接交于点，求证：点是的中点； （2）如图②，若点在的延长线上，且，请探究与之间的数量关系； （3）如图③，在中，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，连接，当线段与线段交于点，且满足时．请探究与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：，为直角三角形， ， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 为的中点，          （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形． （1）利用可证，利用全等三角形对应边相等可证结论成立； （2）过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，由勾股定理可知，因为，所以可得：； （3）当点在延长线上时，过点作交于点，可证：、，根据相似三角形的性质可证，由勾股定理可得，可得；当点在线段上时，连接，过点作交于点，可证、，利用相似三角形的性质可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，过点作， ，， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，      在中，， ， 同法可求， ， ， ， ；    (3) 小问详解： 解：当点在延长线上时，如下图所示，过点作交于点， ，， ，， 又， ， ， ， 又在中， ， ， 又，， ， 又在中，， ； 当点在线段上时，如下图所示，连接，过点作交于点， ，， ，， 又， ，， 在中，， 在中，， 又， ， ， 综上可知． 22．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）中，，交于． （1）求证：； （2），求． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， 平行于， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质得到相似； （2）利用相似三角形得到相似比即可算出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 23．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点． （1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论； （3）如图③，若，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）当时，成立，理由如下： 如图所示，在的延长线上取点，使，则．    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）由矩形的性质得出，由角的互余关系得出，即可得出； （2）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出．由平行四边形的性质得出，，证出，得出，因此．证明，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，        ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，∴，∴， ∴，即，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵，∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键． 24．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如本题图1，在四边形中，，，点在边上，当时． （1）可知___________（不要求证明）． 探究： （2）如本题图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． 拓展： （3）如本题图3，在中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：，， ． ， ， ， ； （3） 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出． （1）根据同角的余角相等得到，根据平行线的性质得到，根据两角相等的两个三角形相似证明结论； （2）根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】 解：（1）， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）同探究的方法得出，， ， 点是边的中点， ， ， ， 解得， ， ， ， ，， 在中，． 25．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在中，，这个直角三角形上可以剪出一个面积最大的正方形的边长是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和正方形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 当四个点在三角形的边上时面积为最大，对此进行分类讨论进行求解面积进行比较即可． 【详解】 解：当正方形为下图的情况时， ∵四边形为正方形， ∴设，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的面积为， 当正方形为下图的情况时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴面积最大的正方形的边长是， 故答案为：． 26．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点落在点处，与交于点，折痕分别与边交于点，连接．若，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，延长交于点Q．由正方形的性质可证明可得，，设，，则，，正方形边长为，即．结合折叠的性质可得．，；再在和中运用勾股定理求得、，最后求比即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点Q， ∵， ∴． ∴， ∴，， ∴， 设，，则，，正方形边长为， ∴， ∵将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点落在点处，与交于点，折痕分别与边交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得（舍），， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】 正确作出辅助线构造相似三角形以及弄清线段间的关系是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的周长比等于相似比”解答即可． 【详解】 解：两个相似三角形的相似比是， 这两个三角形的周长比是， 故选：B． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如图，已知，若，则的长为（   ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝，则此三角形移动的距离PP′是(     ) A.  B.  C. 1 D. -1 【答案】D 【分析】根据面积比等于相似比的平方，先求出P′Q的长度，然后再求PP′即可解答． 【详解】解：根据题意，可得△PQR∽△P′Q′R′， ∵面积的比等于相似比的平方； ∴， ∴P′Q＝×＝1； ∴移动的距离PP′＝﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 平移的性质. 4．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）已知与相似，相似比为，的周长是，的周长（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可得. 【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3， ∴周长比为2：3， ∵△ABC的周长是10cm， ∴△DEF的周长是15cm， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键. 5．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】 解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 6．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（     ） A. 3或1 B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】 解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 7．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（       ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1 【答案】A 【详解】 ∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：A． 8．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，在中，，平分交于点D．    （1）在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点E即为所求；         （2）      【分析】 本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键． （1）过点作的垂线，即可确定点； （2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 9．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如图，棋盘上有三颗白子与六颗黑子，要使，则点的位置可以是　　　　　．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得点P到的距离与的比等于点C到的距离为与的比，据此结合网格的特点求出点P到的距离即可得到答案． 【详解】 解：由网格的特点可知，且点C到的距离为6， ∴点C到的距离与的比为， ∵， ∴点P到的距离与的比等于点C到的距离与的比，即为， ∵， ∴点P到的距离为3， ∴由网格的特点可知， 点的位置可以是乙， 故答案为：乙． 10．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，_______； （2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，与相似． 【答案】（1），     （2）不存在时间t，使得，理由： ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在时间t，使得；     （3）或      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键． （1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长； （2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可； （3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，． 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时， 则， ∴， 解得； 当时， 则， ∴， 解得． 综上可知，当t的值为或时，与相似． 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在等边三角形中，点是边上一点，以为一边向右作等边三角形，与交于点．连接． （1）证明：； （2）当点是中点时，，求线段长． 【答案】（1） 证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形可得，，，推出，即可证明； （2）先证明，再根据，，得到，最后证明，得到. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在等边三角形中，当点是中点时， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∵中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ．     （2） 证明：由（1）得， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】 （1）略 （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 14．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）（多选）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）证明：∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【分析】 （1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 15．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）解：四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）DH＝1+ 【分析】 （1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·贵州六盘水·一模）如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题．设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】 解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：B． 2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】 能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口点B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点D观察同在井水水面和井壁上的点C，视线与井口的直径交于点E（点A，B，C，D，E在同一平面上），如果测得尺，尺，尺，那么　　　尺． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ∵尺，尺，尺， ， 尺， 故答案为：12． 4．（2026·贵州六盘水·一模）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高　　　　　m． 【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）（多选）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】 根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】 解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】 此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 6．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】 本题考查相似三角形性质和判定的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：由题意，的长为，，，则可表示； 任务二：可证，，则，因为，所以可得，设列方程即可求得，再根据可求长，则可求． 【详解】 解：任务一：的长为，，， 故答案为：；              任务二：， ． ， ． ， 同理：． ．                     ， ． ， ． ．                   ． ， 即， ， ， ， ∴旗杆的高为． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到，则点的对应点的坐标为（　　） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质，以原点为位似中心，将图形扩大为原来的2倍，对应点的坐标可能为原坐标乘以2或，分两种情况讨论即可． 【详解】 解：以原点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，位似变换有两种情况： 1. 同侧位似（图形在原方向放大）：此时点C的坐标为原坐标乘以2，则，即； 2. 异侧位似（图形在反方向放大）：此时点C的坐标为原坐标乘以，则即． 综上，点C的坐标为或， 故选：D． 2．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（       ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 【答案】D 【分析】 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】 解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】 解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 4．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 5．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为．    （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，在第四象限将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点是的中点，经过（1）、（2）两次变换，的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，即为所求；         （2） 如图，即为所求；         （3）      【分析】 （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再首尾相连即可； （2）根据位似变换的性质分别作出的对应点，再首尾相连即可； （3）根据点的位置，写出坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，的对应点．    故答案为：． 【点睛】 本题考查作图—位似变换，作图—平移变换等知识，解题的关键是掌握平移和位似的性质． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $