专题03 二次函数（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）若是关于x的二次函数，则　　　　　　． 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）二次函数的图象过点，则a的值是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）二次函数的图象的开口向　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）请写出一个二次函数，使得它的图象的顶点在y轴上：　　　　　　． 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则　　　　　　　　． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）若二次函数，则它的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）将的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 14．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）抛物线经过平移可以得到抛物线，下列平移方法正确的是（     ） A. 先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 15．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（       ） A. 向上平移5个单位长度 B. 向下平移5个单位长度 C. 向左平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度 16．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　 22．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）抛物线的对称轴是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A.  B. 函数的最大值为 C. 当时， D.  6．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）2024年12月4日中国春节申遗成功，人们为了庆祝春节喜欢燃放礼花．某礼花厂为春节特意设计了一款礼花，已知礼花的升空高度h（单位：m）与升空时间t（单位：s）之间的关系式是，若这种礼花在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）当时，与的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（     ） A.  B. 顶点的坐标为 C. 当时，y随着x的增大而增大 D. 当时， 9．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 11．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（     ）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知二次函数的图象如图所示，有如下6个结论：①；②；③；④：⑤（的实数）；⑥其中正确的结论有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 13．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论正确的是（       ） A.  B. 抛物线与 轴正半轴交点坐标为 C.  D. 若点，在该抛物线上，则 14．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，已知二次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：；；；，其中正确的是（     ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 17．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 18．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①；②；③若且，则；④若，则；其中结论正确的是（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 20．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）二次函数的图象的开口方向为　　　　　．（填“向上”或“向下”） 23．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 24．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）二次函数，当自变量时，函数的最大值为　　　　　． 25．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）抛物线的最小值是　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 28．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知抛物线的图象如图所示，则　　　　　（选填“”或“”）． 29．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知二次函数的图象经过点和， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 30．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）该抛物线如何平移可得到抛物线． 31．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 32．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（，是常数）经过，两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交线段于点，当时，求点的坐标． 34．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）下列3条抛物线中，开口向下，且开口最小的是　　　　　　　　；(填序号) ①；②；③． 35．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 3 6 11 18 … （1）请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； （2）请求出该二次函数的解析式； （3）当时，求y的取值范围． 36．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）已知二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该函数图象的顶点坐标； （3）请写出自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大． 37．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． （3）直接写出时x的取值范围． 38．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知二次函数与二次函数交于点． （1）求，的值； （2）若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当点在两点间的曲线上运动时，求线段的最大值； （3）设 ，当时． 请从下列两个问题中任选一个作答： ①若的最大值为，求的值； ②求的最大值． 40．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 41．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 42．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____； （2）如图2是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求的值． 43．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求顶点和点的坐标； （3）若是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，求的取值范围． 44．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，菱形中，，，是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最大值为　　　　　　　　． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝﹣2 C. 顶点坐标是（2，1） D. 与x轴有两个交点 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A. 或 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 6．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ）． A. -7 B. 7 C. -10 D. 10 8．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）由下表可知，关于x的一元二次方程的一个根的取值范围是（     ） x 5.17 5.18 5.19 5.20 0.01 0.04 0.1 A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·贵州遵义·学业水平监测）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（     ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（             ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 17．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 18．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 19．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 20．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）通过“列表—描点—连线”得到函数图象，再结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．小宇在课后对函数进行自主探究，请补全以下探究过程． （1）①列表： … 0 1 2 … … 2 0 1 a b 2 … 其中，______，______； ②请补全函数图象； ③根据函数的图象，任写一条函数图象性质：______； （2）根据图象直接写出不等式的取值范围． 21．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： （1）二次函数的顶点坐标为             ，的值为             ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是             ； ②当时，的取值范围是             ． 22．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． （1）填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） （2）求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； （3）当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　　　　　　　　　　　s时，小球达到最高点． 3．（2026·贵州遵义·学业水平监测）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．        （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元? （3）每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元? 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 6．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 7．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元；②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元；方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 8．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 9．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出千克． （1）当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？ （2）设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？ 10．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得，最高处点P与地面的距离为．现以点O为原点，所在直线为x轴，过点O作的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中，，为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在上，已知，则“装饰门”高多少米？ 11．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是             ． （2）求满足条件的抛物线的解析式． （3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 12．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 13．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与的函数解析式； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； （3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 14．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线经过点，求的值； （3）若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 15．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第次，球的运动路径可看作抛物线的一部分，以边界线上的为原点，分别以水平直线，竖直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为的处出手，在距离地面垂直高度，与出手点水平距离的处到达最高点，最后在处落到地面． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）小丽第1次投掷的成绩是多少米？ （3）小丽计划在第2次投掷时将成绩提升到以上，且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） 16．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ （3）该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 17．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）[生活观察]小星通过观察发现，将运动中的气排球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图1、图2所示． [数学建模]小星发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．气排球运动轨迹的剖面图如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离，球网上端点B到地面的距离，人与球网之间的距离．假设两种击球路线都经过点B正上方处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线对应的函数解析式． [模型应用] （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是______m． （3）甲在A点击球，扣杀球时，气排球的平均速度约为．网前吊球时，气排球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 18．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为：多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 19．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 20．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 21．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S．    （1）用含有的代数式表示为____； （2）当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 22．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 23．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． （1）这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． （2）为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ （3）这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 24．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB为4m，跨度OC为10m． （1）请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）如图，在AB右边1m的D处所对应桥洞离水面的高是多少？ 25．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 26．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）蔬菜大棚（如图1）是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图2，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形和抛物线构成，其中，取的中点O，过点O作线段的垂直平分线，交抛物线于点E，若以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的顶点E的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图3，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置、，其中L，R两点在抛物线上．若，求两个正方形装置的间距的长． （3）太阳光线与大棚截面抛物线的交点需满足特定要求．如图4，过点A的太阳光线为直线l，直线l与x轴正半轴交于点，且直线l与抛物线的另一个交点P的纵坐标满足，求t的取值范围． 27．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）若是关于x的二次函数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数，解得：． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）二次函数的图象过点，则a的值是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，直接求解a的值． 【详解】 解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 2．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：C． 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】 解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数和二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的性质，逐项判断各函数在时的增减性即可． 【详解】 解：A．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； B．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，随增大而减小，故此选项符合题意； C．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； D．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）二次函数的图象的开口向　　　　　　　　　　　． 【答案】下 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】 解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 6．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）请写出一个二次函数，使得它的图象的顶点在y轴上：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，明确中是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质解题即可． 【详解】 由题意可得：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，只要中即可）． 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】 解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 2．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的顶点式，识别顶点式中的h和k是解题关键． 对比顶点式，可直接读出顶点坐标． 【详解】 解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 顶点坐标为 ． 故选 C． 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】 解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， 故选B． 4．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）若二次函数，则它的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，其顶点是． 直接根据顶点式作答即可． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的对称轴是直线． 故选：D． 6．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）把抛物线沿轴向左平移2个单位后，再沿轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接利用二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进而得出平移后的解析式即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是：，即． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 7．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 8．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解． 【详解】 解：将抛物线向上平移2个单位长度， 得到的抛物线是， 即， 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 9．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）将的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移， 根据二次函数图象平移的规律解答即可.即“左加右减，上加下减”. 【详解】 解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式为. 故选：B. 10．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 11．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 12．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查函数图形的平移，涉及函数图像的平移法则：左加右减、上加下减等知识，根据题中要求，按照函数图像平移法则求解即可得到答案，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是， 故选：C． 13．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意； C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 14．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）抛物线经过平移可以得到抛物线，下列平移方法正确的是（     ） A. 先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求出平移前后抛物线的顶点坐标，根据“上加下减，左减右加”的平移规律判断出顶点的平移方式即可得到答案． 【详解】 解：原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵点先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得到点， ∴抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得到抛物线， 故选：D． 15．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（       ） A. 向上平移5个单位长度 B. 向下平移5个单位长度 C. 向左平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度 【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，通过比较两抛物线的顶点坐标，原顶点与新顶点仅y坐标变化，故为上下平移，据此可解答． 【详解】 解：∵原抛物线的顶点为，新抛物线的顶点为 ， ∴顶点纵坐标从变为2，增加了5，横坐标不变， ∴平移过程为向上平移5个单位. 故选：A． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据函数图像平移规则：“左加右减”针对自变量x，“上加下减”针对函数值y，然后问题可求解． 【详解】 解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是； 故选B． 17．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析可得对称轴和离对称轴越远，函数值越小，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，，）都在该抛物线上，且， ∴， 故选：B． 18．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据抛物线平移规则：向右平移个单位，替换为；向上平移个单位，替换为或整个函数加． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式是． 故选：A． 19．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，比较各点到对称轴的距离，距离越大函数值越小，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点F作于点H，连接，证明，得到，分别计算和，即可得，结合t的范围即可确定函数的图象． 【详解】 解：过点F作于点H，连结， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理是等边三角形， ， ， 由题意知， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的面积y与运动时间t之间的关系大致是抛物线的一部分， ， 当或2时，， 当时，， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，二次函数的图象，熟练掌握这些知识，表示出的面积是解题的关键． 21．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数比较大小，涉及二次函数图象与性质、二次函数增减性等知识，先判断增减性，再求出对称轴，根据点到对称轴的距离求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴点B离对称轴最近，点C离对称轴最远， ∴． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）抛物线的对称轴是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数对称轴方程，解题的关键是掌握二次函数对称轴公式．由二次函数的对称轴为直线，代入公式即可得答案． 【详解】 解：∵抛物线方程为，其中,， ∴对称轴为， 故对称轴为， 故选：A． 2．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∵， ∴抛物线与的交点为顶点， ∴为y轴， ∵二次函数与y轴的交点为，且， ∴为x轴， 故答案为：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，① 一般式： (a，b，c为常数，)；② 顶点式： (a，b，c为常数，)；③ 交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】 解：， 所以，； 故选B． 4．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确求出函数图象的顶点．求出二次函数图象的顶点，据此判断图象． 【详解】 解：，， ∴该二次函数图象的顶点为，开口向上， 符合条件的图象为：C． 故选C． 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A.  B. 函数的最大值为 C. 当时， D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴，即b=2a，则b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 则abc＞0，故A正确； 当x=-1时，y取最大值为，故B正确； 由于开口向下，对称轴为直线x=-1， 则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0）， 即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0）， ∴当时，，故C正确； 由图像可知：当x=-2时，y＞0， 即，故D错误； 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 6．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）2024年12月4日中国春节申遗成功，人们为了庆祝春节喜欢燃放礼花．某礼花厂为春节特意设计了一款礼花，已知礼花的升空高度h（单位：m）与升空时间t（单位：s）之间的关系式是，若这种礼花在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，灵活应用二次函数的性质求顶点坐标是解题的关键． 由礼花升空高度与时间的关系为二次函数，当抛物线开口向下时，最高点对应的时间由顶点坐标的横坐标求解即可． 【详解】 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，顶点横坐标公式为． ∴当时，抛物线取得最大值， 即从点火升空到引爆需要的时间为． 故选：A． 7．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）当时，与的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】 解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 8．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（     ） A.  B. 顶点的坐标为 C. 当时，y随着x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：二次函数对称轴为直线， ，得，故选项A正确； 该函数图象过点， ，得， ， 该抛物线的顶点坐标为，故选项B正确； 二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大，故选项C正确； 二次函数对称轴为直线，过点， 该函数过点， 又抛物线的顶点坐标为， 当时，，故选项D不正确； 故选：D． 9．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 【详解】 解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 10．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（     ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论① ② ；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③ ；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④ ． 【详解】 解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论① 正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③ 正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④ 正确； 综上所述，结论正确的有① ② ③ ④ ，合计4个． 故选：D． 11．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】 解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ① 当直线过点时，则交点有3个，此时； ② 当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 12．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知二次函数的图象如图所示，有如下6个结论：①；②；③；④：⑤（的实数）；⑥其中正确的结论有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】 解：① 由图象可知，抛物线开口向下，即，对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故① 错误； ② 当时，，即，故② 错误； ③ 由对称性知，当时，函数值大于0， ∴，故③ 正确； ④ 当时，函数值小于0， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④ 正确； ⑤ 当时，y有最大值，此时， 当时，， ∴， ∴，即（的实数）．故⑤ 正确． ⑥ 由图象知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故⑥ 正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系． 13．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论正确的是（       ） A.  B. 抛物线与 轴正半轴交点坐标为 C.  D. 若点，在该抛物线上，则 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数图象和性质，直接利用二次函数的图象和性质逐一判断即可求解． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A错误， ∵二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与 轴正半轴交点坐标为，故B正确， ∴，则，即，故C错误 若点，在该抛物线上，， ∵ ∴，故D错误． 故选：B． 14．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】 A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C.   ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 15．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数值的大小比较，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先配方函数解析式抛物线的开口方向向下，对称轴为，再根据二次函数的增减性和对称性即可解答． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵关于的对称点为，， ∴． 故选A． 16．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，已知二次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：；；；，其中正确的是（     ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．① 由抛物线的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，得到，结论① 错误；② 由抛物线的对称轴以及与轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论② 正确；③ 由点的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③ 正确；④ 由抛物线对称轴为可得出，结论④ 错误． 【详解】 解：①二次函数的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点）， 当时，，结论① 错误； ②二次函数的图象与轴负半轴交于点，对称轴为直线， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，结论② 正确； ③二次函数的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），抛物线开口向上， 抛物线顶点纵坐标，， ，结论③ 正确； ④抛物线的对称轴为直线， ，即，结论④ 错误； 综上所述，正确的结论有② ③ ， 故选：B． 17．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，该二次函数的图象的对称轴为，则，即可判断A；根据对称性可求出另一交点，即可判断B；由图象可知，求出，即可判断C；根据点到对称轴越近，函数值越小可判断D，即可求解． 【详解】 解：∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故① 错误； ∵二次函数的图象的对称轴为，且图象过点， ∴图象过另一点，故② 正确； 由图象可知， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确； ∵二次函数的图象的对称轴为，开口向上， ∴点到对称轴的距离越近，函数值越小 ∵到对称轴的距离； 到对称轴的距离； 到对称轴的距离 ∵, ∴,故④ 正确， 综上，正确的结论是② ③ ④ ， 故选：B． 18．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和函数特殊值对应的图象位置是解题的关键．通过二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合函数表达式的特殊值，逐一判断选项． 【详解】 解：∵图象开口向上，∴； ∵对称轴，∴； ∵图象与轴交于负半轴，∴； ∴，故A项错误． ∵图象与轴有2个交点，∴，故B项错误． ∵当时，，且图象过，∴，故C项正确． ∵当时，，且图象过上方，∴，故D项错误． 故选：C． 19．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①；②；③若且，则；④若，则；其中结论正确的是（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数图象，得出的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】 解：由所给图象可知， ， 所以，， 故① ② 正确． ∵且， ∴且， ∴点和都在抛物线上，且关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 故③ 错误． ∵抛物线与轴的正半轴交于点， ∴, ∴点A的坐标为， ∴把代入得， 整理得 ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴，， 代入得， ∴， ∴， 故④ 正确． 综上所述，结论正确的是：① ② ④ ， 故选：D． 20．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了函数解析式与图象的性质，掌握一次函数和二次函数解析式与图象的关系是解答本题的关键； 先根据一次函数经过的象限与y轴的交点确定a，c的正负； 然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点进行分析，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相吻合，符合题意； D．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意． 故选C． 21．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断A；根据抛物线与轴的交点情况可判断B；由对称轴的位置即可判断C；根据时的函数值的符号即可判断D． 【详解】 解：抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线开口向下，， ，故A正确，不合题意； 抛物线与轴有两个交点， ，故B正确，不合题意； ，， ， ，故C错误，符合题意； 由图象知，当时，，故D正确，不合题意． 故选：C． 22．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）二次函数的图象的开口方向为　　　　　．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】 本题主要考查二次函数图象，掌握二次函数的图象的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向上，当时开口向下，即可解答． 【详解】 解：对于二次函数，二次项系数， 因此图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 23．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 【答案】（1）     （2）点不在该抛物线上， 理由：当时，．        ∵， ∴点不在该抛物线上．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点的坐标代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得       解得       ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）二次函数，当自变量时，函数的最大值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题， 先将解析式化为顶点式，再利用顶点式求解即可，掌握顶点式是解题的关键． 【详解】 解：二次函数 配方得 ，顶点坐标为 ， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∵自变量取值范围为 ， ∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此将原解析式中的 替换为 即可得到新抛物线的解析式． 【详解】 解：原抛物线解析式为 ， ∴关于 轴对称的解析式为：． 故答案为： ． 26．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）抛物线的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式或配方法的应用是解题的关键．抛物线图象开口向上，其最小值在抛物线顶点处取得，通过顶点公式计算即可求解． 【详解】 抛物线的系数，，， 顶点横坐标， 将顶点横坐标代入得， 因为抛物线图象开口向上， 其最小值在抛物线顶点处取得， 所以抛物线的最小值是， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 【答案】（1）直线     （2）最大值，      【分析】 （）根据，可得，由抛物线在对称轴右侧呈下降趋势可得，进而可求出抛物线的解析式即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵抛物线在对称轴右侧呈下降趋势， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的开口向下， ∴二次函数有最大值， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的值最大，． 28．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知抛物线的图象如图所示，则　　　　　（选填“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向上，可知，根据抛物线的对称轴在轴的右侧，可知，所以可知． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知二次函数的图象经过点和， （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 【答案】（1），直线     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用． （1）将，代入二次函数求解即可； （2）先求出，进而求出直线解析式为，过E作轴交x轴于C，交直线于F，设，则，求出解析式，可知当时，有最大值，求出的面积，可知当最大时，的面积最大，即可求出面积的最大值． (1) 小问详解： 解：将，代入二次函数，得： ，解得： ， 二次函数的解析式为， ∴对称轴为：直线； (2) 小问详解： 解：当时，， 即， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得： ， 即直线解析式为， 如图，过E作轴交x轴于C，交直线于F， 设，则， ∴， 可知当时，有最大值， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 此时． 30．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）该抛物线如何平移可得到抛物线． 【答案】（1），     （2） 先向左平移0.5个单位长度，再向下平移4.5个单位长度，可得到抛物线．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象的平移，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入，求出m的值，再化为顶点式，即可作答． （2）根据二次函数的平移规律，即可作答． (1) 小问详解： 解：把代入得：， 解得： ∴该抛物线顶点坐标为 (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． (1) 小问详解： 解：， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； (3) 小问详解： 解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得 ， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 32．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为     （2）      【分析】 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）将点代入，即可求出直线的解析式；将点，代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ． 将点，代入，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 如图，抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 当时，， ∴点． 33．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（，是常数）经过，两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交线段于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数的几何应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；当时，解方程即可求得点的坐标； （2）根据的坐标得出，根据题意得出，设，则，表示出，列出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：将代入直线得：，解得， ∴， 将代入直线得：， ∴， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． 当时， 解得： ∴ (2) 小问详解： ∵，， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴或 ∴或 34．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）下列3条抛物线中，开口向下，且开口最小的是　　　　　　　　；(填序号) ①；②；③． 【答案】③ 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，二次项系数的符号决定开口方向：系数为负时开口向下；开口大小由系数的绝对值决定，绝对值越大开口越小． 【详解】 解：抛物线①的二次项系数为，开口向上，不符合条件； 抛物线②的二次项系数为，开口向下，绝对值是； 抛物线③的二次项系数为，开口向下，绝对值是． 由于， 所以抛物线③的开口最小． 故答案为：③． 35．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 3 6 11 18 … （1）请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； （2）请求出该二次函数的解析式； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据表格即可求解； （2）设该二次函数的解析式为，由表格可知，该二次函数的图象过点，再代入求解即可； （3）根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格可得，当和时函数值均为， ∴对称轴为直线， ∴由表格可得顶点为； (2) 小问详解： 解：设该二次函数的解析式为． 由表格可知，该二次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 即该二次函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：当时，，当时， 当时，； ∴当时，． 36．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）已知二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该函数图象的顶点坐标； （3）请写出自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大． 【答案】（1）     （2）     （3）时，y随x的增大而增大      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式即可写出顶点坐标； （3）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把和代入，得 ， 解得 ∴这个二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由配方得， ∴该函数图象的顶点坐标为 (3) 小问详解： 解：由可知该抛物线的开口方向向上，对称轴为：直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 37．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）一般式化成顶点式，求出顶点坐标即可； （3）图象法确定自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点，，， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (3) 小问详解： 由图象可知，时x的取值范围为或． 38．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）对称轴为直线、顶点坐标为     （3）存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 39．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知二次函数与二次函数交于点． （1）求，的值； （2）若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当点在两点间的曲线上运动时，求线段的最大值； （3）设 ，当时． 请从下列两个问题中任选一个作答： ①若的最大值为，求的值； ②求的最大值． 【答案】（1），     （2）     （3）① ；②      【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)把点代入中得，求出，再把点代入中，求出，即可解答； （2）设，，得到，则当时，取最大值，即可解答； （3）① 分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可；② 分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可． (1) 小问详解： 解：把点代入中得：， 解得： 把点代入中得： 解得； (2) 小问详解： 解：由题意可知点M在上，点N在上 设， ∴ ， ∵ ∴当时，取最大值． 即：线段的最大值为． (3) 小问详解： 解：① （ⅰ）若时，， ∵时，y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值 即 解得：（不符合题意，舍去），， （ⅱ）若时，， 当时， 当时，， ∴ 令 当时，的最小值为， ∴ ∴时，y随x的增大而减小．当取得最大值， ∴ 解得（不符合题意，舍去） 综上所述： 时，t的值为，，t的值 ② （ⅰ）若时，， ∵y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值， （ⅱ）若时，， 当 当时，， ∴ 令 时，的最小值为 ∴ ∴最大值在的图象上取得． ∴当时，， 当 ∵y随x的增大而减小 取得最大值， 综上所述：的最大值为． 40．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或．      【分析】 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得 ， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ① 如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ② 如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 41．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2）米     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，求自变量的取值范围等知识，解题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）利用抛物线的对称轴列式计算即可； （2）根据题意，设抛物线的解析式为，，再将代入求值即可； （3）先根据题意，抛物线的解析式为，再将代入整理得，，最后根据的取值范围，即可求出m的取值范围． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得，， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，， ． 根据题意，设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点M到地面的距离为米． (3) 小问详解： 解：由题意得，，， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 又抛物线的顶点的纵坐标为， 抛物线的解析式为， 将代入得，， 整理得，， 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）； 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）． 且， 当时，． 答：当时，m的取值范围是． 42．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____； （2）如图2是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求的值． 【答案】（1）     （2）①；②或．      【分析】 本题考查正比例函数的性质，二次函数的图象与性质，能够读懂题中的“虫洞距离”的概念是解题关键． （1）先利用正比例函数求出两点坐标，然后求出，进而可求解； （2）① 根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可； ② 分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∵正比例函数，且轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点， ∵，， ∴，， ∴， 当时，取到最小值为， ∴正比例函数当时的“虫洞距离”为2， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① ∵和， ∴，， ∴ ， 当时，的最小值为， ∴函数的“虫洞距离”为； ② 当时，，，，， ∵， ∴当时，取到最小值为， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，，，， ，且对称轴为直线， 时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，， ∵两个函数的“虫洞距离”相等， ∴， 解得：或． ∴或． 43．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求顶点和点的坐标； （3）若是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式，二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）运用待定系数法求得函数解析式； （2）运用配方法求出顶点M的坐标；令，则，解方程可得点的坐标； （3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点，然后分点P在点Q的下方和上方两种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线顶点M的坐标为； 令，则， 解得或， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设直线的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得： ， 直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点P在点Q的下方，即时，， ∴时，线段的长随n的增大而增大； 当点P在点Q的上方时，， ∴当时，线段的长随n的增大而增大． 综上所述，当线段的长随n的增大而增大时，n的取值范围为或． 44．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，菱形中，，，是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最大值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质；先证明得出，设，则，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理表示出，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，在上截取，连接，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即 ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查函数表示法，通过代入给定的x值计算y值，验证哪个函数解析式匹配所有对应值. 【详解】 解：A、当时，，故此函数解析式不符合题意； B、当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； C、当时，故此函数解析式不符合题意； D、当时，，故此函数解析式不符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝﹣2 C. 顶点坐标是（2，1） D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断． 【详解】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）， 当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，整理得：，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查根据二次函数与一次函数图像的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】 解：由图可知，当时，抛物线在直线上方，因此不等式的解集是． 故选C． 4．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】 解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 5．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】 解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】 此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 6．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】 解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ）． A. -7 B. 7 C. -10 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根，即，则函数与函数只有一个交点，结合图象求解即可． 【详解】 一元二次方程有两个相等的实数根， 即，则函数与函数只有一个交点， ，解得． 故选：B． 8．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）由下表可知，关于x的一元二次方程的一个根的取值范围是（     ） x 5.17 5.18 5.19 5.20 0.01 0.04 0.1 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现的值，再看对应的的值即可得． 【详解】 解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：B． 9．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，得到和关于m的表达式，结合m的取值范围比较大小即可． 【详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴． 故选:D． 10．（2026·贵州遵义·学业水平监测）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得． 【详解】 解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， ∴点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， ∴关于的一元二次方程的两个解为，， 即关于的一元二次方程的解是，， 故选：C． 11．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（     ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】 解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 12．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 13．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的关系；利用函数图像，将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过抛物线的开口方向和与轴的交点位置，判断根的分布范围． 【详解】 解：如图 设，， ，是与轴的交点，且抛物线开口向上， 当或时，；当时，． 方程即求与抛物线的交点， ， 交点位于和． 又、为方程两根，且， ． 故选：C． 14．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】 解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在   到   之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 15．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数与x轴的交点横坐标可得一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，， ∴，是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 ，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， ∵ 无论  为何值，， ∴ ， 即无论  为何值时，该二次函数的图像与  轴都有交点；     （2） 和      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的判别式和对称轴性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的判别式与图像与x轴交点的关系． （1）通过计算判别式并化简，证明其非负，从而说明函数图像与x轴总有交点； （2）利用对称轴公式求出k值，再代入函数求与x轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 二次函数  的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 令 ，则 ， 解得 ， ∴  或 ， ∴ 它与  轴的交点坐标为  和 ． 17．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），，     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围； （3）将，联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解． (1) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． (2) 小问详解： 解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． (3) 小问详解： 解：由 得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 18．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴一次函数， 由 ，解得 或 ， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 19．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【分析】 （1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】 解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得 ， 解这个方程组，得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 20．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）通过“列表—描点—连线”得到函数图象，再结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．小宇在课后对函数进行自主探究，请补全以下探究过程． （1）①列表： … 0 1 2 … … 2 0 1 a b 2 … 其中，______，______； ②请补全函数图象； ③根据函数的图象，任写一条函数图象性质：______； （2）根据图象直接写出不等式的取值范围． 【答案】（1）①0，； ② 函数图象如下： ③ 函数的图象关于直线对称（答案不唯一）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． （1）① 把，代入，即可求出a，b； ② 描点连线即可画出该函数的图象； ③ 由图象得到函数的一条性质即可； （2）根据图象即可得不等式的取值范围． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， 把代入，得． 故答案为：0，； ② 略 ③ 函数图象性质：函数的图象关于直线对称， 故答案为：函数的图象关于直线对称；（答案不唯一） (2) 小问详解： 解：当时，或， 根据图象可知不等式的取值范围为：或． 21．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： （1）二次函数的顶点坐标为             ，的值为             ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是             ； ②当时，的取值范围是             ． 【答案】（1），5；     （2） 抛物线图象如图所示：      （3）①；②      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征等， （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据三点表格中的点，描点，连线，画出函数图象即可； （3）① 根据函数图象直接写出自变量取值范围即可； ② 根据函数图象直接写出函数值取值范围即可． (1) 小问详解： 解：根据表格数据可得：顶点坐标，对称轴为，根据抛物线的对称性可知，； 故答案为：，5； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 根据函数图象，当时，的取值范围是； 故答案为：． ② 根据函数图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． （1）填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） （2）求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； （3）当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 【答案】（1）是     （2） 证明：∵是“精致函数”， ∴ 当时，， ． ∵， ∴， ∴“精致函数”的图象与直线总有两个不相同的交点．     （3）      【分析】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义和数形结合是解题的关键． （1）分别求出，，即可求解； （2）由题意可得，即可求解； （3）先求出该函数图象的对称轴为直线，顶点为．然后分3种情况讨论． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴二次函数是“精致函数”． 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵是“精致函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点为． 分以下3种情况讨论： ① 当，即时， ∴当时，； 当时，． ∵函数最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）． ② 当，即时， ∴当时，；当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 解得（舍去）． ③ 当时， ∴当时，； 当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得（舍去），（舍去）． 综上所述，n的值为． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】 解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　　　　　　　　　　　s时，小球达到最高点． 【答案】2 【分析】 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】 根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 3．（2026·贵州遵义·学业水平监测）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】（1）     （2）解：不能抛到观众区， 理由如下：令，则，解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区．      【分析】 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．        （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元? （3）每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）     （2）每个毛绒玩具售价应定为45元     （3）每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元      【分析】 本题考查二次函数的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解； （3）根据利润等于单价乘以数量列出二次函数的解析式，结合二次函数的性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； (2) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元； (3) 小问详解： 解：根据题意，得：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，元． 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）；     （2）此球一定能投中．      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． (1) 小问详解： 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 6．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）；     （2）能，     （3）的最大值为800，此时      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； (3) 小问详解： 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 7．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元；②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元；方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 【答案】任务一：； 任务二：元，最大值元； 任务三：方案一的利润更高，理由如下： 方案一：， 由任务二知，当时，有最大值，最大值为1000； 方案二： ，解得， ∵， ∴在内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴方案一的利润更高． 【分析】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据题意列出函数关系式即可； 任务二：根据题意列出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答； 任务三：分别求出方案一和方案二的利润最大值，比较大小即可得出结论． 【详解】 解：任务一： 由题意得，， ∴函数关系式为； 任务二： 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1000， 答：销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大值为1000元； 任务三：略 8．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）；     （2）60元/件     （3）销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式． （1）根据月销售量（定价-50），月销售利润=每件利润×销售数量，根据以上所列等量关系可得函数解析式； （2）根据月销售利润达到8000元列方程求解即可； （3）将w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵售价为x元/件，，且当时，，售价每涨1元，销量减少10件 ∴月销售量； 月销售利润 ∴y与x的函数解析式为，w与x的函数解析式为， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得， 整理得， 解得或。 ∵要尽量让利给顾客。 ∴销售价应定为60元/件。 答：销售价应定为60元/件； (3) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，w有最大值9000， 答：当销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元． 9．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出千克． （1）当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？ （2）设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？ 【答案】（1）160元     （2）当定价为14元时，每天的总利润最大，最大值是180元      【分析】 本题考查二次函数的实际应用， （1）利用每千克的利润乘以每天的销售量求解即可； （2）由题意列y关于x的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：元， 答：每天的利润是160元． (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴当时，y的最大值为180元， 答：该电商平台定价为14元时，每天的总利润y的值最大，最大值是180元． 10．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得，最高处点P与地面的距离为．现以点O为原点，所在直线为x轴，过点O作的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中，，为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在上，已知，则“装饰门”高多少米？ 【答案】（1）     （2）“装饰门”高      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）先求得点的横坐标为2，利用二次函数的性质求得，据此即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意，得该拋物线的顶点坐标为， 设该抛物线对应的函数解析式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：，矩形关于抛物线的对称轴对称，， ， 点的横坐标为2． 当时，， ， 即“装饰门”高． 11．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是             ． （2）求满足条件的抛物线的解析式． （3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）王阳在此次投掷中得到满分      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． (1) 小问详解： 解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； (2) 小问详解： 设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 12．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 【答案】（1）     （2）雷莹不能碰到篮球      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解； （2）当时，得，求解可得． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为，把代入解析式得， 解得． ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：雷莹不能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴雷莹不能碰到篮球． 13．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与的函数解析式； （2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； （3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 【答案】（1）     （2）能，     （3）当时，有最大值      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； (3) 小问详解： 解：， 当时，有最大值． 14．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线经过点，求的值； （3）若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 【答案】（1）抛物线，     （2）n的值为     （3）4和5      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， (2) 小问详解： 将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． (3) 小问详解： 解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 15．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第次，球的运动路径可看作抛物线的一部分，以边界线上的为原点，分别以水平直线，竖直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为的处出手，在距离地面垂直高度，与出手点水平距离的处到达最高点，最后在处落到地面． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）小丽第1次投掷的成绩是多少米？ （3）小丽计划在第2次投掷时将成绩提升到以上，且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） 【答案】（1）     （2）小丽第1次投掷的成绩是米     （3）她至少需要升高米      【分析】 本题考查了二次函数的应用； （1）依题意，抛物线顶点为，点，设抛物线表达式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）依题意，新抛物线解析式为，代入，进而求得时的函数值，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线顶点为，点， 设抛物线表达式为，代入， ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得：（舍去） 答：小丽第1次投掷的成绩是米 (3) 小问详解： 解：设新抛物线解析式为 当抛物线经过时， 解得： ∴ 当时， ， ∴她至少需要升高米 16．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）某文具店销售一款进价为元/个的篮球，经统计发现，当销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与的函数关系式； （2）若文具店计划销售该款篮球每日获利元，且尽可能让利于顾客，求该款篮球的销售单价应定为多少元？ （3）该款篮球销售单价定为多少元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）该款篮球的销售单价应定60元     （3）该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多800元      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． （1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）设当天玩具的销售单价是元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）设文具店所获日销售利润为，根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． (1) 小问详解： 解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点和点代入，得 ，解得 ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设该款篮球的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴该款篮球的销售单价应定60元； (3) 小问详解： 解：设文具店所获日销售利润为，根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是800元． 17．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）[生活观察]小星通过观察发现，将运动中的气排球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图1、图2所示． [数学建模]小星发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．气排球运动轨迹的剖面图如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离，球网上端点B到地面的距离，人与球网之间的距离．假设两种击球路线都经过点B正上方处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线对应的函数解析式． [模型应用] （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是______m． （3）甲在A点击球，扣杀球时，气排球的平均速度约为．网前吊球时，气排球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 扣杀球击球路线解析式为， 网前吊球击球路线函数解析式为； （2）； （3）乙能接到网前吊球的击球； 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键 （1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，则点，． 设直线AD对应的函数解析式为， ∴ 解得 ∴扣杀球击球路线对应的函数解析式为． 设网前吊球击球路线对应的函数解析式为， ∴， ∴， ∴网前吊球击球路线对应的函数解析式为． （2）令，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）对于， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵扣杀球时，气排球的平均速度约为27m/s， ∵． ∵， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A处击球，击球点是抛物线的最高点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴乙能接到网前吊球的击球． 18．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为：多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】 此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可得到答案． 【详解】 解：任务1：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴图① 中抛物线的函数表达式为； 任务2：当时，， 即为确保小龙能跳过绳子，他至少跳得高于地面的高度为； 任务3：令，， 解得， 抛物线上两点的坐标分别为， ∵最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为， ∴为确保他能跳过绳子，的取值范围为． 19．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 20．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 【答案】（1）     （2）每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，根据二次函数的性质，结合自变量x的取值范围，求出的最大值以及对应的值，即可解答． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数表达式为， 代入和得， ， 解得 ， ∴y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 21．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S．    （1）用含有的代数式表示为____； （2）当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1）     （2），矩形花圃面积的最大值为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确地列出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据篱笆总长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出二次函数关系式，求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32； 答：，矩形花圃面积的最大值为． 22．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）关于的函数表达式为：     （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分；     （3）的值为或      【分析】 （1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）① 如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 23．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． （1）这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． （2）为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ （3）这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 【答案】（1）     （2）50元     （3）60元      【分析】 本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据销售量的变化与价格的变化的关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据销售量就将减少的数量是台灯的售价上涨数量的10倍列代数式； （2）基本关系：月销售利润=（售价-成本）×销售量，据此建立一元二次方程求解； （3）根据“月销售利润=（售价-成本）×销售量”建立函数关系式，结合自变量的取值范围，利用函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴售价上涨x元，其销售量就将减少个， ∴售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个个台灯， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意，得， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：这款台灯的售价应定为50元． (3) 小问详解： 解：设每月销售利润为元，根据题意，得 ， ∵， 随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 24．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB为4m，跨度OC为10m． （1）请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）如图，在AB右边1m的D处所对应桥洞离水面的高是多少？ 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点，即可求出这条抛物线所对应的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度． (1) 小问详解： 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设这条抛物线所对应的函数关系式是， ∵该函数过点， ∴， 解得，， ∴这条抛物线所对应的函数关系式是； (2) 小问详解： 解：当时，， 即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的二次函数解析式． 25．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-2x+60，10≤x≤18；（2）16元/kg；（3）W=-2（x-20）2+200，18元，192元． 【分析】 （1）根据一次函数过（12，36）（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据总利润为168元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【详解】 （1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得： ， 解得：k=-2，b=60， ∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60， 通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式， 因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60． 自变量的取值范围为：10≤x≤18． （2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168， 解得：x=16，x=24舍去， 答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg； （3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200， ∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵10≤x≤18， ∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元， 答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 26．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）蔬菜大棚（如图1）是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图2，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形和抛物线构成，其中，取的中点O，过点O作线段的垂直平分线，交抛物线于点E，若以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的顶点E的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图3，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置、，其中L，R两点在抛物线上．若，求两个正方形装置的间距的长． （3）太阳光线与大棚截面抛物线的交点需满足特定要求．如图4，过点A的太阳光线为直线l，直线l与x轴正半轴交于点，且直线l与抛物线的另一个交点P的纵坐标满足，求t的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）因抛物线顶点为，可设解析式为；再结合矩形的边长、及为中点，确定点坐标为，将点代入所设解析式，解出，进而得到抛物线解析式； （2）先由正方形的边长及在上，可知点纵坐标为，将其代入抛物线解析式，解得、的横坐标为，即、；由此确定的长度为2，再用减去两个正方形的边长和，得到； （3）先设直线的解析式为，是直线与轴交点的横坐标，即；接着找的临界值1和，分别代入抛物线解析式，解得对应点坐标为和；将与这两个点分别代入直线解析式，列二元一次方程组，求解，且两者均大于2，最终确定的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵矩形中，，为中点， ∴． 将代入，得，解得． ∴抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵正方形的边长，且在上，在抛物线上， ∴点纵坐标为， 令，解得． ∴，． ∴点坐标为，点坐标为， ∴； (3) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 令，得，则． 当时，解得， ∴． 代入和，得 ， 得， 此时； 当时，解得， ∴． 代入和，得 ， 同理，． 综上，的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查二次函数的实际应用，是二次函数与矩形、正方形的综合应用题，核心考查二次函数的顶点式应用、待定系数法求解析式，矩形和正方形的性质，直线解析式的设列与方程组求解，以及根据函数值范围确定参数的取值，同时涉及抛物线上点的坐标计算和平面直角坐标系中水平距离的运算． 27．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）该零件的实际售价应定为50元； （3）当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 【分析】 本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； （3）依据由题，结合（2）该零件的实际售价定为y元，则月销售利润为，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】 解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， ， 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）结合（2），该零件的实际售价定为y元， 月销售利润为 ， 当时，月利润W最大，最大值为， 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数，解得：． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．D 2．C 3．C 4．B 5．【答案】下 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】 解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 6．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，明确中是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质解题即可． 【详解】 由题意可得：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，只要中即可）． 7．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】 解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 13．C 14．D 15．A 16．B 17．B 18．A 19．A 20．D 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查二次函数比较大小，涉及二次函数图象与性质、二次函数增减性等知识，先判断增减性，再求出对称轴，根据点到对称轴的距离求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴点B离对称轴最近，点C离对称轴最远， ∴． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．D 11．D 12．C 13．B 14．C 15．A 16．B 17．B 18．C 19．D 20．C 21．C 22．【答案】向下 【分析】 本题主要考查二次函数图象，掌握二次函数的图象的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向上，当时开口向下，即可解答． 【详解】 解：对于二次函数，二次项系数， 因此图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 23．【答案】（1）     （2）点不在该抛物线上， 理由：当时，．        ∵， ∴点不在该抛物线上．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点的坐标代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得       解得       ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 24．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题， 先将解析式化为顶点式，再利用顶点式求解即可，掌握顶点式是解题的关键． 【详解】 解：二次函数 配方得 ，顶点坐标为 ， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∵自变量取值范围为 ， ∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查轴对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此将原解析式中的 替换为 即可得到新抛物线的解析式． 【详解】 解：原抛物线解析式为 ， ∴关于 轴对称的解析式为：． 故答案为： ． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式或配方法的应用是解题的关键．抛物线图象开口向上，其最小值在抛物线顶点处取得，通过顶点公式计算即可求解． 【详解】 抛物线的系数，，， 顶点横坐标， 将顶点横坐标代入得， 因为抛物线图象开口向上， 其最小值在抛物线顶点处取得， 所以抛物线的最小值是， 故答案为：． 27．【答案】（1）直线     （2）最大值，      【分析】 （）根据，可得，由抛物线在对称轴右侧呈下降趋势可得，进而可求出抛物线的解析式即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵抛物线在对称轴右侧呈下降趋势， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的开口向下， ∴二次函数有最大值， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的值最大，． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向上，可知，根据抛物线的对称轴在轴的右侧，可知，所以可知． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ． 故答案为：． 29．【答案】（1），直线     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用． （1）将，代入二次函数求解即可； （2）先求出，进而求出直线解析式为，过E作轴交x轴于C，交直线于F，设，则，求出解析式，可知当时，有最大值，求出的面积，可知当最大时，的面积最大，即可求出面积的最大值． (1) 小问详解： 解：将，代入二次函数，得： ，解得： ， 二次函数的解析式为， ∴对称轴为：直线； (2) 小问详解： 解：当时，， 即， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得： ， 即直线解析式为， 如图，过E作轴交x轴于C，交直线于F， 设，则， ∴， 可知当时，有最大值， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 此时． 30．【答案】（1），     （2） 先向左平移0.5个单位长度，再向下平移4.5个单位长度，可得到抛物线．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象的平移，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入，求出m的值，再化为顶点式，即可作答． （2）根据二次函数的平移规律，即可作答． (1) 小问详解： 解：把代入得：， 解得： ∴该抛物线顶点坐标为 (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． (1) 小问详解： 解：， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； (3) 小问详解： 解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得 ， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 32．【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为     （2）      【分析】 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）将点代入，即可求出直线的解析式；将点，代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ． 将点，代入，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 如图，抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 当时，， ∴点． 33．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数的几何应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；当时，解方程即可求得点的坐标； （2）根据的坐标得出，根据题意得出，设，则，表示出，列出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：将代入直线得：，解得， ∴， 将代入直线得：， ∴， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． 当时， 解得： ∴ (2) 小问详解： ∵，， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴或 ∴或 34．【答案】③ 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，二次项系数的符号决定开口方向：系数为负时开口向下；开口大小由系数的绝对值决定，绝对值越大开口越小． 【详解】 解：抛物线①的二次项系数为，开口向上，不符合条件； 抛物线②的二次项系数为，开口向下，绝对值是； 抛物线③的二次项系数为，开口向下，绝对值是． 由于， 所以抛物线③的开口最小． 故答案为：③． 35．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据表格即可求解； （2）设该二次函数的解析式为，由表格可知，该二次函数的图象过点，再代入求解即可； （3）根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格可得，当和时函数值均为， ∴对称轴为直线， ∴由表格可得顶点为； (2) 小问详解： 解：设该二次函数的解析式为． 由表格可知，该二次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 即该二次函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：当时，，当时， 当时，； ∴当时，． 36．【答案】（1）     （2）     （3）时，y随x的增大而增大      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式即可写出顶点坐标； （3）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把和代入，得 ， 解得 ∴这个二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由配方得， ∴该函数图象的顶点坐标为 (3) 小问详解： 解：由可知该抛物线的开口方向向上，对称轴为：直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 37．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）一般式化成顶点式，求出顶点坐标即可； （3）图象法确定自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点，，， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (3) 小问详解： 由图象可知，时x的取值范围为或． 38．【答案】（1）     （2）对称轴为直线、顶点坐标为     （3）存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 39．【答案】（1），     （2）     （3）① ；②      【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)把点代入中得，求出，再把点代入中，求出，即可解答； （2）设，，得到，则当时，取最大值，即可解答； （3）① 分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可；② 分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可． (1) 小问详解： 解：把点代入中得：， 解得： 把点代入中得： 解得； (2) 小问详解： 解：由题意可知点M在上，点N在上 设， ∴ ， ∵ ∴当时，取最大值． 即：线段的最大值为． (3) 小问详解： 解：① （ⅰ）若时，， ∵时，y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值 即 解得：（不符合题意，舍去），， （ⅱ）若时，， 当时， 当时，， ∴ 令 当时，的最小值为， ∴ ∴时，y随x的增大而减小．当取得最大值， ∴ 解得（不符合题意，舍去） 综上所述： 时，t的值为，，t的值 ② （ⅰ）若时，， ∵y随x的增大而减小 ∴当时，取得最大值， （ⅱ）若时，， 当 当时，， ∴ 令 时，的最小值为 ∴ ∴最大值在的图象上取得． ∴当时，， 当 ∵y随x的增大而减小 取得最大值， 综上所述：的最大值为． 40．【答案】（1）     （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或．      【分析】 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得 ， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ① 如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ② 如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 41．【答案】（1）     （2）米     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，求自变量的取值范围等知识，解题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）利用抛物线的对称轴列式计算即可； （2）根据题意，设抛物线的解析式为，，再将代入求值即可； （3）先根据题意，抛物线的解析式为，再将代入整理得，，最后根据的取值范围，即可求出m的取值范围． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得，， 抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：当时，， ． 根据题意，设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点M到地面的距离为米． (3) 小问详解： 解：由题意得，，， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 又抛物线的顶点的纵坐标为， 抛物线的解析式为， 将代入得，， 整理得，， 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）； 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）． 且， 当时，． 答：当时，m的取值范围是． 42．【答案】（1）     （2）①；②或．      【分析】 本题考查正比例函数的性质，二次函数的图象与性质，能够读懂题中的“虫洞距离”的概念是解题关键． （1）先利用正比例函数求出两点坐标，然后求出，进而可求解； （2）① 根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可； ② 分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∵正比例函数，且轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点， ∵，， ∴，， ∴， 当时，取到最小值为， ∴正比例函数当时的“虫洞距离”为2， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① ∵和， ∴，， ∴ ， 当时，的最小值为， ∴函数的“虫洞距离”为； ② 当时，，，，， ∵， ∴当时，取到最小值为， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，，，， ，且对称轴为直线， 时，取最小值为， ∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，， ∵两个函数的“虫洞距离”相等， ∴， 解得：或． ∴或． 43．【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式，二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）运用待定系数法求得函数解析式； （2）运用配方法求出顶点M的坐标；令，则，解方程可得点的坐标； （3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点，然后分点P在点Q的下方和上方两种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线顶点M的坐标为； 令，则， 解得或， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设直线的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得： ， 直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点P在点Q的下方，即时，， ∴时，线段的长随n的增大而增大； 当点P在点Q的上方时，， ∴当时，线段的长随n的增大而增大． 综上所述，当线段的长随n的增大而增大时，n的取值范围为或． 44．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质；先证明得出，设，则，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理表示出，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，在上截取，连接，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即 ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C 13．C 14．C 15．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数与x轴的交点横坐标可得一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解 【详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，， ∴，是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 ，， ∴， 故答案为：． 16．【答案】（1） 证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， ∵ 无论  为何值，， ∴ ， 即无论  为何值时，该二次函数的图像与  轴都有交点；     （2） 和      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的判别式和对称轴性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的判别式与图像与x轴交点的关系． （1）通过计算判别式并化简，证明其非负，从而说明函数图像与x轴总有交点； （2）利用对称轴公式求出k值，再代入函数求与x轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 二次函数  的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 令 ，则 ， 解得 ， ∴  或 ， ∴ 它与  轴的交点坐标为  和 ． 17．【答案】（1），，     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围； （3）将，联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解． (1) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． (2) 小问详解： 解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． (3) 小问详解： 解：由 得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 18．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴一次函数， 由 ，解得 或 ， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 19．【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【分析】 （1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】 解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得 ， 解这个方程组，得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 20．【答案】（1）①0，； ② 函数图象如下： ③ 函数的图象关于直线对称（答案不唯一）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． （1）① 把，代入，即可求出a，b； ② 描点连线即可画出该函数的图象； ③ 由图象得到函数的一条性质即可； （2）根据图象即可得不等式的取值范围． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， 把代入，得． 故答案为：0，； ② 略 ③ 函数图象性质：函数的图象关于直线对称， 故答案为：函数的图象关于直线对称；（答案不唯一） (2) 小问详解： 解：当时，或， 根据图象可知不等式的取值范围为：或． 21．【答案】（1），5；     （2） 抛物线图象如图所示：      （3）①；②      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征等， （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据三点表格中的点，描点，连线，画出函数图象即可； （3）① 根据函数图象直接写出自变量取值范围即可； ② 根据函数图象直接写出函数值取值范围即可． (1) 小问详解： 解：根据表格数据可得：顶点坐标，对称轴为，根据抛物线的对称性可知，； 故答案为：，5； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 根据函数图象，当时，的取值范围是； 故答案为：． ② 根据函数图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． 22．【答案】（1）是     （2） 证明：∵是“精致函数”， ∴ 当时，， ． ∵， ∴， ∴“精致函数”的图象与直线总有两个不相同的交点．     （3）      【分析】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义和数形结合是解题的关键． （1）分别求出，，即可求解； （2）由题意可得，即可求解； （3）先求出该函数图象的对称轴为直线，顶点为．然后分3种情况讨论． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴二次函数是“精致函数”． 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵是“精致函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点为． 分以下3种情况讨论： ① 当，即时， ∴当时，； 当时，． ∵函数最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）． ② 当，即时， ∴当时，；当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 解得（舍去）． ③ 当时， ∴当时，； 当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得（舍去），（舍去）． 综上所述，n的值为． 考点06 实际问题与二次函数 1．D 2．【答案】2 【分析】 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】 根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 3．【答案】（1）     （2）解：不能抛到观众区， 理由如下：令，则，解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区．      【分析】 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1）     （2）每个毛绒玩具售价应定为45元     （3）每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元      【分析】 本题考查二次函数的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解； （3）根据利润等于单价乘以数量列出二次函数的解析式，结合二次函数的性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； (2) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元； (3) 小问详解： 解：根据题意，得：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，元． 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 5．【答案】（1）；     （2）此球一定能投中．      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． (1) 小问详解： 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 6．【答案】（1）；     （2）能，     （3）的最大值为800，此时      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； (3) 小问详解： 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 7．【答案】任务一：； 任务二：元，最大值元； 任务三：方案一的利润更高，理由如下： 方案一：， 由任务二知，当时，有最大值，最大值为1000； 方案二： ，解得， ∵， ∴在内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴方案一的利润更高． 【分析】 本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据题意列出函数关系式即可； 任务二：根据题意列出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答； 任务三：分别求出方案一和方案二的利润最大值，比较大小即可得出结论． 【详解】 解：任务一： 由题意得，， ∴函数关系式为； 任务二： 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1000， 答：销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大值为1000元； 任务三：略 8．【答案】（1）；     （2）60元/件     （3）销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式． （1）根据月销售量（定价-50），月销售利润=每件利润×销售数量，根据以上所列等量关系可得函数解析式； （2）根据月销售利润达到8000元列方程求解即可； （3）将w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵售价为x元/件，，且当时，，售价每涨1元，销量减少10件 ∴月销售量； 月销售利润 ∴y与x的函数解析式为，w与x的函数解析式为， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：令，则， 整理得， 整理得， 解得或。 ∵要尽量让利给顾客。 ∴销售价应定为60元/件。 答：销售价应定为60元/件； (3) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，w有最大值9000， 答：当销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元． 9．【答案】（1）160元     （2）当定价为14元时，每天的总利润最大，最大值是180元      【分析】 本题考查二次函数的实际应用， （1）利用每千克的利润乘以每天的销售量求解即可； （2）由题意列y关于x的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：元， 答：每天的利润是160元． (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴当时，y的最大值为180元， 答：该电商平台定价为14元时，每天的总利润y的值最大，最大值是180元． 10．【答案】（1）     （2）“装饰门”高      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）先求得点的横坐标为2，利用二次函数的性质求得，据此即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意，得该拋物线的顶点坐标为， 设该抛物线对应的函数解析式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：，矩形关于抛物线的对称轴对称，， ， 点的横坐标为2． 当时，， ， 即“装饰门”高． 11．【答案】（1）     （2）     （3）王阳在此次投掷中得到满分      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． (1) 小问详解： 解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； (2) 小问详解： 设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 12．【答案】（1）     （2）雷莹不能碰到篮球      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解； （2）当时，得，求解可得． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为，把代入解析式得， 解得． ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：雷莹不能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴雷莹不能碰到篮球． 13．【答案】（1）     （2）能，     （3）当时，有最大值      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； (3) 小问详解： 解：， 当时，有最大值． 14．【答案】（1）抛物线，     （2）n的值为     （3）4和5      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， (2) 小问详解： 将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． (3) 小问详解： 解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 15．【答案】（1）     （2）小丽第1次投掷的成绩是米     （3）她至少需要升高米      【分析】 本题考查了二次函数的应用； （1）依题意，抛物线顶点为，点，设抛物线表达式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）依题意，新抛物线解析式为，代入，进而求得时的函数值，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线顶点为，点， 设抛物线表达式为，代入， ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得：（舍去） 答：小丽第1次投掷的成绩是米 (3) 小问详解： 解：设新抛物线解析式为 当抛物线经过时， 解得： ∴ 当时， ， ∴她至少需要升高米 16．【答案】（1）     （2）该款篮球的销售单价应定60元     （3）该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是多800元      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． （1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）设当天玩具的销售单价是元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）设文具店所获日销售利润为，根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． (1) 小问详解： 解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点和点代入，得 ，解得 ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设该款篮球的销售单价应定为元，根据题意得， ， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴该款篮球的销售单价应定60元； (3) 小问详解： 解：设文具店所获日销售利润为，根据题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴该款篮球销售单价定为元时，文具店所获日销售利润最大，最大利润是800元． 17．【答案】（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 扣杀球击球路线解析式为， 网前吊球击球路线函数解析式为； （2）； （3）乙能接到网前吊球的击球； 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键 （1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，则点，． 设直线AD对应的函数解析式为， ∴ 解得 ∴扣杀球击球路线对应的函数解析式为． 设网前吊球击球路线对应的函数解析式为， ∴， ∴， ∴网前吊球击球路线对应的函数解析式为． （2）令，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）对于， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵扣杀球时，气排球的平均速度约为27m/s， ∵． ∵， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A处击球，击球点是抛物线的最高点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴乙能接到网前吊球的击球． 18．【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】 此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可得到答案． 【详解】 解：任务1：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴图① 中抛物线的函数表达式为； 任务2：当时，， 即为确保小龙能跳过绳子，他至少跳得高于地面的高度为； 任务3：令，， 解得， 抛物线上两点的坐标分别为， ∵最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为， ∴为确保他能跳过绳子，的取值范围为． 19．【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 20．【答案】（1）     （2）每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，根据二次函数的性质，结合自变量x的取值范围，求出的最大值以及对应的值，即可解答． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数表达式为， 代入和得， ， 解得 ， ∴y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 21．【答案】（1）     （2），矩形花圃面积的最大值为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确地列出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据篱笆总长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出二次函数关系式，求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32； 答：，矩形花圃面积的最大值为． 22．【答案】（1）关于的函数表达式为：     （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分；     （3）的值为或      【分析】 （1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）① 如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 23．【答案】（1）     （2）50元     （3）60元      【分析】 本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据销售量的变化与价格的变化的关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据销售量就将减少的数量是台灯的售价上涨数量的10倍列代数式； （2）基本关系：月销售利润=（售价-成本）×销售量，据此建立一元二次方程求解； （3）根据“月销售利润=（售价-成本）×销售量”建立函数关系式，结合自变量的取值范围，利用函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴售价上涨x元，其销售量就将减少个， ∴售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个个台灯， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意，得， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：这款台灯的售价应定为50元． (3) 小问详解： 解：设每月销售利润为元，根据题意，得 ， ∵， 随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 24．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点，即可求出这条抛物线所对应的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度． (1) 小问详解： 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设这条抛物线所对应的函数关系式是， ∵该函数过点， ∴， 解得，， ∴这条抛物线所对应的函数关系式是； (2) 小问详解： 解：当时，， 即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的二次函数解析式． 25．【答案】（1）y=-2x+60，10≤x≤18；（2）16元/kg；（3）W=-2（x-20）2+200，18元，192元． 【分析】 （1）根据一次函数过（12，36）（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据总利润为168元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【详解】 （1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得： ， 解得：k=-2，b=60， ∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60， 通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式， 因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60． 自变量的取值范围为：10≤x≤18． （2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168， 解得：x=16，x=24舍去， 答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg； （3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200， ∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵10≤x≤18， ∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元， 答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】 考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 26．【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）因抛物线顶点为，可设解析式为；再结合矩形的边长、及为中点，确定点坐标为，将点代入所设解析式，解出，进而得到抛物线解析式； （2）先由正方形的边长及在上，可知点纵坐标为，将其代入抛物线解析式，解得、的横坐标为，即、；由此确定的长度为2，再用减去两个正方形的边长和，得到； （3）先设直线的解析式为，是直线与轴交点的横坐标，即；接着找的临界值1和，分别代入抛物线解析式，解得对应点坐标为和；将与这两个点分别代入直线解析式，列二元一次方程组，求解，且两者均大于2，最终确定的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵矩形中，，为中点， ∴． 将代入，得，解得． ∴抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵正方形的边长，且在上，在抛物线上， ∴点纵坐标为， 令，解得． ∴，． ∴点坐标为，点坐标为， ∴； (3) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 令，得，则． 当时，解得， ∴． 代入和，得 ， 得， 此时； 当时，解得， ∴． 代入和，得 ， 同理，． 综上，的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查二次函数的实际应用，是二次函数与矩形、正方形的综合应用题，核心考查二次函数的顶点式应用、待定系数法求解析式，矩形和正方形的性质，直线解析式的设列与方程组求解，以及根据函数值范围确定参数的取值，同时涉及抛物线上点的坐标计算和平面直角坐标系中水平距离的运算． 27．【答案】（1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）该零件的实际售价应定为50元； （3）当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 【分析】 本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； （3）依据由题，结合（2）该零件的实际售价定为y元，则月销售利润为，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】 解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， ， 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）结合（2），该零件的实际售价定为y元， 月销售利润为 ， 当时，月利润W最大，最大值为， 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $