专题06 直线与圆（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查的是点与圆的位置关系，点与圆的位置关系由点到圆心的距离d和半径r决定：时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与的半径大小即可判断． 【详解】 解：∵的半径，， ∴， ∴点P在内． 故选：A 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】 解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 3．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（       ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 【答案】A 【分析】 由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可． 【详解】 解： ∵点A在半径为2cm的圆内， ∴点A到圆心的距离小于2cm， 故选：A． 【点睛】 本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 4．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,-4) 与⊙O的位置关系是（       ） A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外部 C. 点P在⊙O内部 D. 不能确定 【答案】A 【详解】由题意得，OP=5，由于⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P在⊙O上 ．故选A. 5．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米     （2）水面下盛水筒的最大深度为2米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． (1) 小问详解： 解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； (2) 小问详解： 解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 6．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查结合矩形的性质考查轴对称求最短路径问题以及点圆最值问题，分析出点的运动轨迹是解决问题的关键．作点关于的对称点，利用轴对称性质得，将转化为．在中，为中点，由直角三角形斜边中线性质得，故在以为圆心、2为半径的圆上，根据两点之间线段最短，；结合圆的性质，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接，，则， ∴． ∵为直角三角形，为中点，， ∴，即点在以为圆心、为半径的圆上， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的最小值． ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（     ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理求出的长即可求解， 【详解】 解：根据题意由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球半径， ∴， 在中， ， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（       ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【分析】 连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：连接， 半径弦于点，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（       ） A. 4 B.  C. 5 D.  【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】 解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 5．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，连接，设半径为，根据垂径定理得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，设半径为 ∵的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】 解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则　　　　　　． 【答案】寸 【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 8．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】13米 【分析】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，设圆心是O，半径为r米，连接．根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接．则O、D、C三点共线， ∵拱高米， ∴， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， 即拱桥的半径为13米． 故答案为：13米． 9．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为　　　　　　． 【答案】90° 【分析】 本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】 解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 【答案】（1）5     （2）144     （3）40；40     （4）480      【分析】 （1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解； （2）用乘以B组对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和中位数的意义，即可求解； （4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； 故答案为：5 (2) 小问详解： 解：B组对应扇形的圆心角为； 故答案为：144 (3) 小问详解： 解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多， ∴阅读时间在范围内的数据的众数是； 把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55， ∵， ∴调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40， ∴调查的20名同学课外阅读时间的中位数是； 故答案为：40；40 (4) 小问详解： 解：根据题意得：， ∴全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人． 【点睛】 本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 4．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴．     （2）      【分析】 本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ． 5．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图①中的m的值为_________； （2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是_________度； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 【答案】（1）30，30     （2）144     （3）36人      【分析】 （1）根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出的值； （2）根据扇形统计图中的数据，运用96分所占的百分比与相乘，即可作答．； （3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、求圆心角的度数，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答． (1) 小问详解： 解：本次随机抽样抽取的学生人数为：（人）， ， 即的值是30， 故答案为：30，30； (2) 小问详解： 解：依题意， ∴扇形统计图中96分所占圆心角度数是度， 故答案为：144； (3) 小问详解： 解：（人）， 即估计其中获得满分的学生有36人 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】 解：四边形内接于，， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，是半圆O的直径，点在半圆O上．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理可知，然后根据圆内接四边形对角互补可知，据此即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理与等腰三角形的性质，关键是先求出圆心角的度数，再利用“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解． 【详解】 解：∵，， ∴； ∴； ∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴； 故选：C． 4．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 根据是的直径得出，再由圆周角定理可得，即可求出． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】 解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，是的直径，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理并能熟练运用求解． 利用圆周角定理求解． 【详解】 解：∵是的直径，， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，点A、B、C在上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可求解． 【详解】 解：在中，， ， 故选：A． 9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 10．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，，为的弦，连接，．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．据此解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则　　　　　　度． 【答案】28 【分析】 本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）__________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）或     （2）是等腰三角形     （3）      【分析】 （）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可； （2）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （3）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴； 综上，； (2) 小问详解： 解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 小问详解： 解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，余角性质，等腰三角形的判定，圆心角和弧的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弓形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 14．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，． （1）计算：__________； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）30     （2）证明：连接 所对的圆心角是，                          又 而      （3）      【分析】 本题主要考查了圆的基本性质（圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等）、等腰三角形的判定，以及含特殊角的直角三角形的性质与勾股定理的应用． 解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出角度，再结合等腰三角形判定、特殊角的三角函数和勾股定理进行推理计算． （1）根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，由得到，同理得到，从而． （2）证明：连接，由，结合，可推出，进而得到，根据等角对等边得． （3）作于，利用及求出、；再结合、求出，从而得到． (1) 小问详解： 解： 故答案为：30 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，连接 在中，， 是直径 在中，， 在中，， 在中，， 15．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理的综合应用，解题的关键是结合弧的关系推导圆周角，再利用直角三角形性质和勾股定理建立方程． 先由垂径定理得的一半长度，结合弧的关系推导的度数，再在直角三角形中求出的长，最后通过勾股定理建立关于半径的方程求解． 【详解】 解：由垂径定理得： 直径，是中点， ． 设，则． ， ， ． 由圆周角定理，． ，，， （直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半）． ，， 由勾股定理得 设， ， 在中，， 即； 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】 本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】 解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 17．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． (1) 小问详解： 解：如图1中， 是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． (2) 小问详解： 解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． (3) 小问详解： 解：如图中，连接，．     ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 18．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）设E是的中点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ；     （2）的度数为     （3）．      【分析】 （1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）令交于点G，连接，作于点H，利用勾股定理求得，利用等积法求得，，证明，求得，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； (3) 小问详解： 解：令交于点G，连接，作于点H，如图所示： 由（2）知， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 19．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键． 先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明，易得：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值，然后运用勾股定理以及圆的基本性质即可解答． 【详解】 解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 20．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，根据、，可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理可证，连接交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的性质求出的长度即可． 【详解】 解：如下图所示， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ，， ， 在四边形中，， ， 点、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ， 连接交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，， ， ， . 故答案为： ． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了弧长公式，由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为，再由弧长公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为， 的长为， 故选：A． 2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理以及求圆锥侧面积．本题关键在于理解“所需纸板面积为圆锥侧面积”，并熟练运用勾股定理求母线长和圆锥侧面积公式．解题时需明确圆锥的高、底面半径与母线的几何关系，再结合公式完成计算．要计算制作圆锥形漏斗所需纸板的面积，即求圆锥的侧面积．需先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算． 【详解】 解：圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，其中高为8，底面半径为6， 根据勾股定理，母线长：； 圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， 将， 代入公式得：． 故选：C． 3．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查扇形的面积公式，不规则图形的面积，根据矩形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：B． 4．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长． 【详解】 解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 5．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】 解：如图所示，连接，    ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 6．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】（1） 如图所示，      （2）弧的长为      【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． (1) 小问详解： 解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点， ∴点即为所求圆心． (2) 小问详解： 解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　　　　　　　　　　m．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查弧长的计算．根据题意得到重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同，再根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】 解：由题知，重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同， ， 重物上升了； 故答案为：． 8．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别为． （1）请画出与关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕点C顺时针旋转后得到的； （3）请求出点A运动到点的路径长． 【答案】（1） 解：如图，即为所作：      （2） 解：如图，即为所作：     （3）      【分析】 本题考查了作图-中心对称变换、旋转变换、勾股定理以及弧长公式等知识，熟练掌握弧长公式，正确作出中心对称变换和旋转变换的图形是解题的关键． （1）利用关于原点O成中心对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质，得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （3）先利用勾股定理计算出的长，再根据弧长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴点A经过的路径长为． 9．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 10．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】 解：∵∠C=90°，AC=BC=1， ∴AB=； 根据题意得：△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动； ∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示： ∴点A经过的路线与x轴围成的图形是： 一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形； ∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积 ． 故答案为：π+． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键． 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 考点06 圆的切线 1．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理、切线的定义、圆周角定理，根据切线的定义可知，利用勾股定理求出，根据直径所对的圆周角是直角可知，利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】 解：是的切线， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，与相切于点A，且平分，过点C作，交的延长线于点D． （1）请写出一个与相等的角：            ； （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径． 【答案】（1）或     （2） 证明：作， ∵平分，， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线；      （3）3      【分析】 本题考查切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质和判定方法是解题的关键： （1）根据切线的性质，得到，，得到，根据对顶角相等，以及三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）作，根据角平分线的性质，得到，得到为的半径，即可得证； （3）等积法求出的半径即可． (1) 小问详解： 解：∵与相切于点A，， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴的半径3． 3．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线；     （2）4      【分析】 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）     （2） 是等腰三角形，理由如下： 连接， ， ． ， ． 是的切线， ，即， 在中，， ， ， ， ∴是等腰三角形．     （3）3      【分析】 本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据对顶角相等即可解答； （2）连接，由题意易得，，，然后可得，进而，即可解答； （3）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由对顶角相等可得． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在中，，，， ． ． 设的半径为r，则，， 在中， ． 解得． 即的半径为3． 5．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 【答案】（1） 与相切．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切．     （2）      【分析】 （1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】 本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵，， ∴为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）证明是等边三角形，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，线段为的弦，直线经过点，连接，，． （1）求证：直线为的切线； （2）为的上一点，连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段为的弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线为的切线；     （2） ，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的弧上一点， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键． （1）根据得，再根据得，即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得，然后根据圆周角定理得，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． （1）连接，，则四边形的形状为______； （2）若与相切于点，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形     （2）1     （3）      【分析】 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系． （1）根据切线的性质结合已知得，，再根据正方形的判定定理，即可得出结论； （2）如图，连接、、，根据切线的性质得，，，，则，根据勾股定理得，再由可得关于r的方程，解方程即可； （3）根据计算面积即可． (1) 小问详解： 解：∵与直角边，相切于点，，， ∴，， ∴四边形的形状为正方形， 故答案为：正方形； (2) 小问详解： 解：如图，连接、、， ∵与直角边，相切于点，，与相切于点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 由（1）知四边形的形状为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：阴影部分的面积为： ． 考点07 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为　　． 【答案】 【分析】 连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则，证明得，在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长． 【详解】 解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（       ） A. 72° B. 60° C. 48° D. 36° 【答案】A 【分析】 根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】 解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．A 2．D 3．A 4．A 5．【答案】（1）该圆的半径为5米     （2）水面下盛水筒的最大深度为2米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． (1) 小问详解： 解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； (2) 小问详解： 解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 6．【答案】 【分析】 本题考查结合矩形的性质考查轴对称求最短路径问题以及点圆最值问题，分析出点的运动轨迹是解决问题的关键．作点关于的对称点，利用轴对称性质得，将转化为．在中，为中点，由直角三角形斜边中线性质得，故在以为圆心、2为半径的圆上，根据两点之间线段最短，；结合圆的性质，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接，，则， ∴． ∵为直角三角形，为中点，， ∴，即点在以为圆心、为半径的圆上， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的最小值． ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：． 考点02 垂直于弦的直径 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】 解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 7．【答案】寸 【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】 解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 8．【答案】13米 【分析】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，设圆心是O，半径为r米，连接．根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接．则O、D、C三点共线， ∵拱高米， ∴， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， 即拱桥的半径为13米． 故答案为：13米． 9．【答案】90° 【分析】 本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】 解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 考点03 圆心角 1．D 2．B 3．【答案】（1）5     （2）144     （3）40；40     （4）480      【分析】 （1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解； （2）用乘以B组对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和中位数的意义，即可求解； （4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； 故答案为：5 (2) 小问详解： 解：B组对应扇形的圆心角为； 故答案为：144 (3) 小问详解： 解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多， ∴阅读时间在范围内的数据的众数是； 把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55， ∵， ∴调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40， ∴调查的20名同学课外阅读时间的中位数是； 故答案为：40；40 (4) 小问详解： 解：根据题意得：， ∴全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人． 【点睛】 本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 4．【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴．     （2）      【分析】 本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ． 5．【答案】（1）30，30     （2）144     （3）36人      【分析】 （1）根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出的值； （2）根据扇形统计图中的数据，运用96分所占的百分比与相乘，即可作答．； （3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、求圆心角的度数，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答． (1) 小问详解： 解：本次随机抽样抽取的学生人数为：（人）， ， 即的值是30， 故答案为：30，30； (2) 小问详解： 解：依题意， ∴扇形统计图中96分所占圆心角度数是度， 故答案为：144； (3) 小问详解： 解：（人）， 即估计其中获得满分的学生有36人 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．A 9．A 10．C 11．【答案】�度 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 12．【答案】28 【分析】 本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 13．【答案】（1）或     （2）是等腰三角形     （3）      【分析】 （）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可； （2）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （3）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴； 综上，； (2) 小问详解： 解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 小问详解： 解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，余角性质，等腰三角形的判定，圆心角和弧的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弓形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 14．【答案】（1）30     （2）证明：连接 所对的圆心角是，                          又 而      （3）      【分析】 本题主要考查了圆的基本性质（圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等）、等腰三角形的判定，以及含特殊角的直角三角形的性质与勾股定理的应用． 解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出角度，再结合等腰三角形判定、特殊角的三角函数和勾股定理进行推理计算． （1）根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，由得到，同理得到，从而． （2）证明：连接，由，结合，可推出，进而得到，根据等角对等边得． （3）作于，利用及求出、；再结合、求出，从而得到． (1) 小问详解： 解： 故答案为：30 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，连接 在中，， 是直径 在中，， 在中，， 在中，， 15．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理的综合应用，解题的关键是结合弧的关系推导圆周角，再利用直角三角形性质和勾股定理建立方程． 先由垂径定理得的一半长度，结合弧的关系推导的度数，再在直角三角形中求出的长，最后通过勾股定理建立关于半径的方程求解． 【详解】 解：由垂径定理得： 直径，是中点， ． 设，则． ， ， ． 由圆周角定理，． ，，， （直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半）． ，， 由勾股定理得 设， ， 在中，， 即； 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 16．【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】 本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】 解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 17．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． (1) 小问详解： 解：如图1中， 是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． (2) 小问详解： 解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． (3) 小问详解： 解：如图中，连接，．     ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 18．【答案】（1） 证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ；     （2）的度数为     （3）．      【分析】 （1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）令交于点G，连接，作于点H，利用勾股定理求得，利用等积法求得，，证明，求得，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； (3) 小问详解： 解：令交于点G，连接，作于点H，如图所示： 由（2）知， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键． 先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明，易得：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值，然后运用勾股定理以及圆的基本性质即可解答． 【详解】 解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 20．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，根据、，可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理可证，连接交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的性质求出的长度即可． 【详解】 解：如下图所示， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ，， ， 在四边形中，， ， 点、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ， 连接交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，， ， ， . 故答案为： ． 考点05 弧长和扇形面积 1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．【答案】（1） 如图所示，      （2）弧的长为      【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． (1) 小问详解： 解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点， ∴点即为所求圆心． (2) 小问详解： 解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 7．【答案】 【分析】 本题考查弧长的计算．根据题意得到重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同，再根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】 解：由题知，重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同， ， 重物上升了； 故答案为：． 8．【答案】（1） 解：如图，即为所作：      （2） 解：如图，即为所作：     （3）      【分析】 本题考查了作图-中心对称变换、旋转变换、勾股定理以及弧长公式等知识，熟练掌握弧长公式，正确作出中心对称变换和旋转变换的图形是解题的关键． （1）利用关于原点O成中心对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质，得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （3）先利用勾股定理计算出的长，再根据弧长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴点A经过的路径长为． 9．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 10．【答案】 【分析】 由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】 解：∵∠C=90°，AC=BC=1， ∴AB=； 根据题意得：△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动； ∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示： ∴点A经过的路线与x轴围成的图形是： 一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形； ∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积 ． 故答案为：π+． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键． 11．【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 考点06 圆的切线 1．B 2．【答案】（1）或     （2） 证明：作， ∵平分，， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线；      （3）3      【分析】 本题考查切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质和判定方法是解题的关键： （1）根据切线的性质，得到，，得到，根据对顶角相等，以及三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）作，根据角平分线的性质，得到，得到为的半径，即可得证； （3）等积法求出的半径即可． (1) 小问详解： 解：∵与相切于点A，， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴的半径3． 3．【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线；     （2）4      【分析】 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 4．【答案】（1）     （2） 是等腰三角形，理由如下： 连接， ， ． ， ． 是的切线， ，即， 在中，， ， ， ， ∴是等腰三角形．     （3）3      【分析】 本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据对顶角相等即可解答； （2）连接，由题意易得，，，然后可得，进而，即可解答； （3）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由对顶角相等可得． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在中，，，， ． ． 设的半径为r，则，， 在中， ． 解得． 即的半径为3． 5．【答案】（1） 与相切．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切．     （2）      【分析】 （1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】 本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 7．【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵，， ∴为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）证明是等边三角形，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．【答案】（1） 证明：∵线段为的弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线为的切线；     （2） ，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的弧上一点， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键． （1）根据得，再根据得，即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得，然后根据圆周角定理得，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1）正方形     （2）1     （3）      【分析】 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系． （1）根据切线的性质结合已知得，，再根据正方形的判定定理，即可得出结论； （2）如图，连接、、，根据切线的性质得，，，，则，根据勾股定理得，再由可得关于r的方程，解方程即可； （3）根据计算面积即可． (1) 小问详解： 解：∵与直角边，相切于点，，， ∴，， ∴四边形的形状为正方形， 故答案为：正方形； (2) 小问详解： 解：如图，连接、、， ∵与直角边，相切于点，，与相切于点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 由（1）知四边形的形状为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：阴影部分的面积为： ． 考点07 三角形的内切圆 1．【答案】 【分析】 连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则，证明得，在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长． 【详解】 解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 考点08 正多边形与圆 1．A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（       ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 4．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,-4) 与⊙O的位置关系是（       ） A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外部 C. 点P在⊙O内部 D. 不能确定 5．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 6．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（     ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 2．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（       ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 3．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（       ） A. 4 B.  C. 5 D.  4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（     ） A. 2 B.  C.  D.  6．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则　　　　　　． 8．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为　　　　　　． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 4．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 5．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图①中的m的值为_________； （2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是_________度； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，是半圆O的直径，点在半圆O上．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，是的直径，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，点A、B、C在上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，，为的弦，连接，．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则　　　　　　度． 13．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）__________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为，，求阴影部分的面积． 14．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，． （1）计算：__________； （2）求证：； （3）若，求的长． 15．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为　　　　　． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 18．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）设E是的中点，若，求的长． 19．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　　　　　　　　　　m．（结果保留） 8．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别为． （1）请画出与关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕点C顺时针旋转后得到的； （3）请求出点A运动到点的路径长． 9．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 10．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为　　　　　　． 考点06 圆的切线 1．（2026·贵州遵义·学业水平监测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）如图，与相切于点A，且平分，过点C作，交的延长线于点D． （1）请写出一个与相等的角：            ； （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径． 3．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的半径． 5．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 6．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 8．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，线段为的弦，直线经过点，连接，，． （1）求证：直线为的切线； （2）为的上一点，连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 9．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． （1）连接，，则四边形的形状为______； （2）若与相切于点，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 考点07 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为　　． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（       ） A. 72° B. 60° C. 48° D. 36° 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $